解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等课后限时作业(二)带答案人教版高中数学
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等午练专题练习(二)带答案新教材高中数学
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．（汇编陕西文数）9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为（）（A）12（B）1（C）2 （D）4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题2．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆x25＋y24＝1的交点个数为________．解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点(m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n )在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．3．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错 评卷人得分三、解答题4．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过点(m ,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（2）将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．5．平面直角坐标系xOy 中，已知⊙M 经过点F 1（0，－c ），F 2（0，c ），A（3c ，0）三点，其中c ＞0．（1）求⊙M 的标准方程（用含c 的式子表示）；（2）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>（其中222a b c -=）的左、右顶点分别为D 、B ，⊙M 与x 轴的两个交点分别为A 、C ，且A 点在B 点右侧，C 点在D 点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围；②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．O x y6．设分别21,F F 是椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左右焦点；(1）若椭圆C 上的点)23,1(A 到两焦点的距离之和为4，求椭圆C 的方程； (2）在（1）的条件下求21F AF ∆内切圆的方程；(3）设MN 是过椭圆C 中心的弦，P 是椭圆上的动点，求证：直线PM ，PN 的斜率之积为定值． 3．7．已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．如图8—3. (Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线；(Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．（汇编北京，21）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．C 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0） 所以2,12=-=-p p第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题2．23．由消去，得．故当，即当时，两曲线有且只有两个不同的公共点．分析：当时，圆的方程为，它与抛物线的公共点的个数为三个（如图1），而不是两个．，仅是其横坐标有两个不同的解的充要条件，而不是有两个公共点的解析：由222212210y x x y ax a ⎧=⎪⎨⎪+-+-=⎩，消去y ，得2212102x a x a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭． 故当22124(1)02a a ⎛⎫∆=---> ⎪⎝⎭，即当178a <时，两曲线有且只有两个不同的公共点．分析：当1a =时，圆的方程为22(1)1x y -+=，它与抛物线的公共点的个数为三个（如图1），而不是两个． 0∆>，仅是其横坐标有两个不同的解的充要条件，而不是有两个公共点的充要条件．正两曲线有且只有两个不同的公共点的充要条件是方程2212102x a x a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭有两个相等的正根或者有一个正根，一个负根，即22124(1)021202a a a ⎧⎛⎫∆=---=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪--> ⎪⎪⎝⎭⎩，，或222124(1)0210a a a ⎧⎛⎫∆=--->⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-<⎩，， 解得178a =或11a -<<． 综上可知，当178a =或11a -<<时，抛物线与圆有且只有两个不同的公共点．说明：“有且只有”、“当且仅当”等用语，都是指既有充分性，又有必要性．三、解答题4．解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.322--=b a c所以椭圆C 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-，离心率为.23==a c e （Ⅱ）由题意知，1||≥m .当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23,1(),23,1(-此时3||=AB 当m =－1时，同理可得3||=AB当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=由0448)41(.14),(2222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得；设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418km k x x k mk x x +-=+=+； 又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切∴212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242km k k m k k +--++=2.3||342+=m m由于当3±=m 时，,3||=AB因为,2||3||343||34||2≤+=+=m m m m AB 且当3±=m 时，|AB |=2，所以|AB |的最大值为2.5．（1）设⊙M 的方程为022=++++F Ey Dx y x ，则由题设，得2220,0,330.c Ec F c Ec F c Dc F ⎧-+=⎪++=⎨⎪++=⎩解得223,30,.D cEF c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩………………………3分 ⊙M 的方程为0332222=--+c cx y x ， ⊙M 的标准方程为22234)33(c y c x =+-． …………………………………5分 （2）⊙M 与x 轴的两个交点(3,0)A c ，)0,33(c C -，又)0,(b B ，)0,(b D -， 由题设3,3,3c b c b ⎧>⎪⎨->-⎪⎩ 即3,3.3c b c b ⎧>⎪⎨<⎪⎩ 所以2222223,1.3c a c c a c ⎧>-⎪⎨<-⎪⎩………………………7分 解得2321<<a c ，即 2321<<e ． 所以椭圆离心率的取值范围为)23,21(．………………………………………10分（3）由（1），得)0,33(c M ．由题设，得c c b b c 33333=-=-． ∴233b c =，23(,0)3D c -． ∴直线MF 1的方程为133x ycc -=， ① 直线DF 2的方程为1233x ycc -+=． ②…………………………………13分 由①②，得直线MF 1与直线DF 2的交点)3,334(c c Q ，易知433=OQ k 为定值， ∴直线MF 1与直线DF 2的交点Q 在定直线x y 433=上．…………………15分 6．（1）椭圆方程为13432=+y x ．(2）圆的半径为21225232=-+=r ，即内切圆的纵坐标为21，可得横坐标也为21， ∴圆的方程为41)21()21(22=-+-y x ． (3）定值—22ab 证明略．7．（Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠0），可求得重心G （3,31cb +），外心F （c b c b 2,2122-+），垂心H （b ，cb b 2-）. 当b =21时，G 、F 、H 三点的横坐标均为21，故三点共线； 当b ≠21时，设G 、H 所在直线的斜率为k G H ，F 、G 所在直线的斜率为k F G . 因为)21(33313222b c b b c b b c b b c k GH--+=-+--=，)21(332131232222b c b b c b c b c b c k FG--+=-+-+-=，所以，k G H =k F G ，G 、F 、H 三点共线. 综上可得，G 、F 、H 三点共线.(Ⅱ）解：若FH ∥OB ，由k F H =)21(3322b c bb c --+=0，得3（b 2－b ）+c 2=0（c ≠0，b ≠21），配方得3（b －21）2+c 2=43，即 1)23()21()21(2222=+-c b . 即2222)23()21()21(y x +-=1（x ≠21，y ≠0）.因此，顶点C 的轨迹是中心在（21，0），长半轴长为23，短半轴长为21，且短轴在x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（21，23），（21，－23）四点.评述：第（Ⅰ）问是要求用解析的方法证明平面几何中的著名问题：三角形的重心、外心、垂心三心共线（欧拉线）且背景深刻，是有研究意义的题目.。
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(2)过点 作直线 交 于点 ，记 的外接圆为圆 .
①求证:圆心 在定直线 上；
②圆 是否恒过异于点 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
5．平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（ c，0）三点，其中c＞0．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线 与圆 相交于 两点，且 ，求椭圆方程；
(3)设点 在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于 ，求椭圆C的短轴长的取值范围．
4．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．DD
【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为 ，故所求圆的方程为 ，即 ，选D。
⊙M的标准方程为 ．…………………………………5分
（2）⊙M与 轴的两个交点 ， ，又 ， ，
由题设 即 所以 ………………………7分
解得 ，即 ．
所以椭圆离心率的取值范围为 ．………………………………………10分
（3）由（1），得 ．由题设，得 ．
∴ ， ．
∴直线MF1的方程为 ，①
直线DF2的方程为 ．②…………………………………13分
所以可得 ,再由 ,得 ---------8分
则线段 的中垂线方程为 ,线段 的中垂线方程为 ,
由 ,解得 的外接圆的圆心坐标为 --------10分
经验证,该圆心在定直线 上…---------11分
解法二:易得直线 ,所以可得 ,
再由 ,得 ---------8分
设 的外接圆 的方程为 ,
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由点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组
解得：
由点O、Q、R共线，得 ,即 ③
由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得
.
将①、②、③代入上式，整理得点Q的轨迹方程
（x－1）2+ =1（x＞0）.
又 ，故y=-1时， 取最大值21.
（III）方法一：
。
故 为定值。
方法二：设P（x0,y0）, E（x1,y1）,F（x2,y2）,
∵N（0，2）,EF为直径，∴x1+x2=0,y1+y2=4.
=x1x2-(x1+x2)x+x02+y1y2-(y1+y2)y0+y02
= x1x2+y1y2+x02+y02-4y0
故圆M面积最大时的方程为 ………………………15分
7．
点E.
(1）求证： ；
(2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，
求直线l的方程；
(3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，
且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M
的方程．
7．已知椭圆 =1，直线l：x=12.P是直线l上一点，射线OP交椭圆于点R.又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.（汇编全国文，26）
(Ⅰ)求直线 与直线 交点M的轨迹方程;
(Ⅱ)设动圆 与 相交于 四点，其中 ，
。若矩形 与矩形 的面积相等，证明： 为定值。【汇编高考真题辽宁理20】(本小题满分12分)
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5．
【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点 的轨迹方程时，要注意首先写出直线 和直线 的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。
6．（Ⅰ）解法1：设M的坐标为 ，由已知得
（A） （B）1（C）2（D）4
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
2．已知 当mn取得最小值时，直线 与曲线 的交点个数为
3．已知圆x2+y2－6x－7=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p=_____.（汇编全国理，16）
评卷人
得分
三、解答题
4．（汇编年高考新课标1（理））已知圆 : ,圆 : ,动圆 与 外切并且与圆 内切,圆心 的轨迹为曲线C.
，
易知圆 上的点位于直线 的右侧.于是 ，所以
.
化简得曲线 的方程为 .
解法2：由题设知，曲线 上任意一点M到圆心 的距离等于它到直线 的距离，因此，曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，故其方程为 .
（Ⅱ）当点P在直线 上运动时，P的坐标为 ，又 ，则过P且与圆
相切得直线的斜率 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 .于是
解析：2
解析：已知圆的方程为（x－3）2+y2=42，∴圆心为（3，0），半径r=4.
∴与圆相切且垂直于x轴的两条切线是x=－1，x=7（舍）
而y2=2px（p＞0）的准线方程是x=－ .
∴由－ =－1，得p=2，∴p=2.
评卷人
得分
三、解答题
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所以 ， ，即：点 的坐标为 或
所以直线 的斜率为 ，故所求直线方和程为
6．题设椭圆的方程为 .…………………………1分
由 消去y得 .…………………………2分
由于直线l与椭圆相切，故△＝(－2a2b)2－4a2(1+a2) (b2－1)＝0，
化简得 .①…………………………4分
且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M
的方程．
7．已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点．如图8—3.
(Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线；
(Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．（汇编北京，21）
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A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
2．设椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的右准线与x轴的交点为M，以椭圆的长轴为直径作圆O，过点M引圆O的切线，切点为N，若△OMN为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为．
3．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆 ＋ ＝1的交点个数为________．
（2）易得A的坐标(－2，0)，B的坐标(2,0)，M的坐标 ，N的坐标 ，
线段AM的中点P ，
直线AM的斜率 ………………………………………5分
又 , 直线 的斜率
直线 的方程 ，
的坐标为 同理 的坐标为 …………………………8分
,即无论t如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值.……………11分
评卷人
得分
一、选择题
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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评卷人
得分
一、选择题
1．（汇编陕西文数）9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为（）
因为点 和点 分别在双曲线和椭圆上，所以 ， ．
即 ， ．…………………………………………6分
所以 ，即 ．…………………………………7分
所以 ．………………………………………………………………………8分
证法3：设点 ，直线 的方程为 ，……………………4分
联立方程组 ………………………………………………5分
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
2．
3．或
评卷人
得分
三、解答题
4．
5．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
（1）解：依题意可得 ， ．……………………………………………1分
（A） （B）1（C）2（D）4
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
2．以椭圆 （a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线交与A，B两点，已知△OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是▲．
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高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编福建理2）以抛物线24y x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________． 解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点(m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n )在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点． 3．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线22y x =-+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为评卷人得分三、解答题4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值. 【汇编高考真题湖南理21】（本小题满分13分）5．设椭圆)22(18:222>=+a y ax M 焦点坐标为F 1（-c,0）, F 2（c,0）,点Q 是椭圆短轴上的顶点，且满足122c QF QF +=. （I ）求椭圆M 的方程;（II ）设A,B 是圆与()12:22=-+y x N 与y 轴的交点，P 是椭圆M 上的任一点，求PA PB ⋅的最大值.（III ）设P 0是椭圆M 上的一个顶点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任一条直径，求证00P E P F ⋅为定值。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等二轮复习专题练习(二)带答案新教材高中数学
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．(汇编四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．圆心在抛物线y x 42=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．3．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ． 评卷人得分三、解答题4．（汇编年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l的交于不同的两点,M N .(1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AFAM AN =⋅,求圆C 的半径.5．已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞的离心率为63，过右顶点A 的直线l 与椭圆C相交于A 、B 两点，且(13)B --，. （1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m-+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．6．已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ,上顶点为A ,P 为1C 上任一点,MN 是圆2:C 22(3)1x y +-=的一条直径.若与AF 平行且在y 轴上的截距为32-的直线l 恰好与圆2C 相切.(Ⅰ）求椭圆1C 的离心率；(7分)(Ⅱ）若PM PN ⋅的最大值为49，求椭圆1C 的方程.(8分)7．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部， 且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．B第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2． 4)1()2(22=-+±y x3．63评卷人得分三、解答题4．解:(Ⅰ)抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-, 由点C 的纵坐标为2,得点C 的坐标为(1,2) 所以点C 到准线l 的距离2d =,又||5CO =. 所以22||2||2542MN CO d =-=-=.(Ⅱ)设200(,)4y C y ,则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+, 即22200202y x x y y y -+-=.由1x =-,得2202102y y y y -++=设1(1,)M y -,2(1,)N y -,则:222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2||||||AF AM AN =⋅,得12||4y y =所以2142y +=,解得06y =±,此时0∆>所以圆心C 的坐标为3(,6)2或3(,6)2-从而233||4CO =,33||2CO =,即圆C 的半径为3325．6．解：（1）直线l 的方程为b x + c y – (3–2)c =0 …………2分因为直线l 与圆C 2: x 2 + (y – 3) 2 = 1相切，所以d =22|332|c c c b c-++=1…………4分可得2 c 2 = a 2，从而e =22…………7分 (2）设P(x , y )，则22222222()()()()PM PN PC C M PC C N PC C N PC C N⋅=++=-+2222PC C N =-= x 2 + (y – 3) 2 – 1 = – (y + 3) 2 + 2 c 2 + 17, ( – c ≤y ≤c ) ………10分(或者设M(x 1, y 1), N(x 2, y 2), P(x , y )，因为x 1 + x 2=0, y 1 + y 2=6, x 1 2+ y 12 – 6 y 1 + 8=0，所以PM PN ⋅=( x 1 – x 2)( x 2 –x 1)+( y 1 – y 2)( y 2 –y 1) =x 2 + y 2 – (x 1 + x 2)x +( x 1 + x 2)y + x 1 x 2+ y 1 y 2= x 2 + y 2 +6y – x 1 2+ y 1(6 – y 1)= x 2 + y 2 +6y +8= – (y + 3)2 + 2c 2+17…………10分）当c ≥3时，(PM PN ⋅)m a x = 2c 2+17=49, 解得c =4，此时椭圆的方程为2213216x y +=…12分 当0<c <3时，(PM PN ⋅)m a x = – (c + 3)2 + 2c 2+17=49, 解得c =523-， 但(523-) – 3=50– 6>0，所以523->3，故c =523-舍去…………14分综上所述，椭圆的方程为2213216x y +=…………15分 7．题设椭圆的方程为2221x y a +=.…………………………1分由2221,x y a y x b⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y 得22222(1)2(1)0a x a bx a b +-+-=. …………………………2分 由于直线l 与椭圆相切，故△＝(－2a 2b )2－4a 2(1+a 2) (b 2－1)＝0，化简得221b a -=. ① …………………………4分(2）由题意知A （a +1，0），B （a +1，1），C （0，1），于是OB 的中点为()11,22a +.…………………………5分因为l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，所以l 过点()11,22a +，即(1)122a b -+=+，亦即22b a -=. ② …………………………6分 由①②解得45,33a b ==，故直线l 的方程为5.3y x =-+ (8)分(3）由（2）知()()57,0,,033E A . 因为圆M 与线段EA 相切，所以可设其方程为2220()()(0)x x y r r r -+-=>.………9分因为圆M 在矩形及其内部，所以0010,25,37.3r x x r ⎧<⎪⎪⎪>⎨⎪⎪+⎪⎩≤≤ ④ (10)分圆M 与 l 相切，且圆M 在l 上方，所以03()532x r r +-=，即03()532x r r +=+.………………………12分代入④得10,253(21)5,335327,33r r r ⎧<⎪⎪⎪+->⎨⎪⎪+⎪⎩≤≤即20.3r <≤………………………13分所以圆M 面积最大时，23r =，这时，0723x -=.故圆M 面积最大时的方程为227222.339x y ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (15)分。
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高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．（汇编陕西文数）9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为（）（A）12（B）1（C）2 （D）4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题2．设椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右准线与x轴的交点为M，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ． 3．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线22y x =-+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为评卷人得分三、解答题4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．5．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的OyxMF1F2射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ． (1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21 2ME MF a⋅=-，求椭圆方程；(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于62，求椭圆C 的短轴长的取值范围．6．已知圆1F ：16)1(22=++y x ，定点，动圆过点2F ，且与圆1F 相内切。
(1）求点M 的轨迹C 的方程；(2）若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于B A ,两点，且1ABF ∆的面积为23，求直线l 的方程。
7．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于 点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部，且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．C 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0） 所以2,12=-=-p p第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2． 3．评卷人得分三、解答题4．（本小题共16分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心 率e 的取值范围；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．18．解：（Ⅰ）（ⅰ）∵ 圆O 过椭圆的焦点，圆O ：222x y b +=， ∴ b c =，∴ 2222b a c c =-=， ∴ 222a c =，∴22e =． ……… 5分 （ⅱ）由90APB ∠=及圆的性质，可得2OP b =， ∴2222,OP b a =≤∴222a c ≤∴212e ≥，212e ≤<． ……… 10分 （Ⅱ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则 011011y y xx x y -=--整理得220011x x y y x y +=+22211x y b += ∴PA 方程为：211x x y y b +=，PB 方程为：222x x y y b +=．∴11x x y y +=22x x y y +，∴021210x y y x x y -=--,直线AB 方程为 ()0110x y y x x y -=--，即 200x x y y b +=． 令0x =，得20b ON y y ==，令0y =，得2b OM x x ==，∴2222222220022442a y b x a b a b a b b bON OM ++===，∴2222a b ON OM+为定值，定值是22a b ……… 16分 5．（1）由条件可知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--ab c P 2,，⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b c Q 2, 因为23=PQ k ，所以得：=e 12………4分 （2）由（1）可知，c b c a 3,2==，所以，()()()0,3,0,,3,01c B c F c A -，从而()0,c M 半径为a ，因为212ME MF a ⋅=-，所以︒=∠120EMF ，可得：M 到直线距离为2a从而，求出2=c ，所以椭圆方程为：2211612x y +=； ………9分 （3）因为点N 在椭圆内部，所以b>3 ………10分 设椭圆上任意一点为()y x K ,，则()()2222263≤-+=y x KN由条件可以整理得：018941822≥+-+b y y 对任意[]()3,>-∈b b b y 恒成立，所以有：()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--+--≤-0189418922b b b b 或者()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--+-->-018949189922b b解之得： 2∈b (6,1226]- ………15分 6．解：（1）设圆M 的半径为r 。
因为圆M 与圆1F ，所以r MF =2所以214MF MF -=，即：421=+MF MF所以点M 的轨迹C 是以21,F F 为焦点的椭圆且设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x 其中 1,42==c a ，所以3,2==b a 所以曲线C 的方程13422=+y x (2）因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，112aoF ABF S S ∆∆=因为231=∆A B FS ，所以431=∆A O F S 。
不妨设点),(11y x A 在x 轴上方，则4321111=⋅⋅=∆y OF S AOF 。
所以231=y ，31±=x ，即：点A 的坐标为)23,3(或)23,3(- 所以直线l 的斜率为21±，故所求直线方和程为02=±y x 7．题设椭圆的方程为2221x y a +=.…………………………1分由2221,x y a y x b⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y 得22222(1)2(1)0a x a bx a b +-+-=. …………………………2分 由于直线l 与椭圆相切，故△＝(－2a 2b )2－4a 2(1+a 2) (b 2－1)＝0，化简得221b a -=. ① …………………………4分(2）由题意知A （a +1，0），B （a +1，1），C （0，1），于是OB 的中点为()11,22a +.…………………………5分因为l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，所以l 过点()11,22a +，即(1)122a b -+=+，亦即22b a -=. ② …………………………6分 由①②解得45,33a b ==，故直线l 的方程为5.3y x =-+ (8)分(3）由（2）知()()57,0,,033E A .因为圆M 与线段EA 相切，所以可设其方程为2220()()(0)x x y r r r -+-=>.………9分因为圆M 在矩形及其内部，所以0010,25,37.3r x x r ⎧<⎪⎪⎪>⎨⎪⎪+⎪⎩≤≤ ④ (10)分圆M 与 l 相切，且圆M 在l 上方，所以03()532x r r +-=，即03()532x r r +=+.………………………12分代入④得10,253(21)5,335327,33r r r ⎧<⎪⎪⎪+->⎨⎪⎪+⎪⎩≤≤即20.3r <≤………………………13分所以圆M 面积最大时，23r =，这时，0723x -=.故圆M 面积最大时的方程为227222.339x y ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (15)分。