广州10年二模理科数学试卷和答案
试卷类型:A
2010年广州市普通高中毕业班综合测试(二)
数 学(理科)
2010.4 参考公式:
如果事件A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立,那么()()()P A B P A P B ?=?.
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()n
P k =C ()1n k
k k n p p --()0,1,2,,k n = .
两数立方差公式: ()()
3322
a b a b a ab b -=-++.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的. 1. 已知i 为虚数单位,若复数()()11a a -++i 为实数,则实数a 的值为 A .1- B .0 C .1 D .不确定
2. 已知全集U =A B 中有m 个元素,()()U U A B 痧中有n 个元素.若A B I 非空, 则A B I 的元素个数为
A .
mn B .m n +
C .m n -
D . n m - 3. 已知向量a ()sin ,cos x x =,向量b (=,则+a b 的最大值为 A. 134. 若,m n 是互不相同的空间直线,
α是平面, A. 若//,m n n α?,则//m α B. 若//,//m n n α, C. 若//,m n n α⊥,则m α⊥ D. 若,m n n α⊥⊥,5. 在如图1所示的算法流程图, 若()()3
2,x
f x
g x x ==,
则()2h 的值为
(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←” 或“:=”)
A. 9
B. 8
C. 6
D. 4
6. 已知点(),P x y 的坐标满足10,30,2.x y x y x -+≥??
+-≥??≤?
O 为坐标原点, 则PO 的最小值为
7. 已知函数()sin f x x x =, 若12,,22x x ππ??
∈-
???
?且()()12f x f x <, 则下列不等式中正确的是 A. 12x x > B. 12x x < C. 120x x +< D. 2212x x <
8. 一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车25米时交通灯由红变绿, 汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻t 的速度为()v t t =米/秒, 那么, 此人
A. 可在7秒内追上汽车
B. 可在9秒内追上汽车
C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为14米
D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为7米
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题) 9.若函数()()()cos cos 02f x x x π??
=ω-ωω>
???
的最小正周期为π,则ω的值为 . 10. 已知椭圆C 的离心率e =且它的焦点与双曲线22
24x y -=的焦点重合, 则椭圆C 的方 程为 .
11.甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η,其分布列分别为:
12.图2是一个有n 层()2n ≥
图3
算作第一层, 第2层每边有2个点,第3层每边有3个点 ,…, 第n 层每边有n 个点, 则这个点阵的点数共有 个
.
13. 已知2n
x ???的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56︰3,
则该展开式中2
x 的系数为 . 图2
(二)选做题(14~ 15题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的参数方程为1,
42.x t y t =+??
=-?
(参数t ∈R ),
圆C 的参数方程为2cos 2,
2sin .
x y θθ=+??
=?(参数[]0,2θπ∈),
则直线l 被圆C 所截得的弦长为 .
15.(几何证明选讲选做题)如图3, 半径为5的圆O 的两条弦 AD 和BC 相交于点P , ,OD BC P ⊥为AD 的中点, 6BC =, 则弦AD 的长度为 .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤, 16. (本小题满分12分) 已知1tan 2,tan 42παβ??
+==
???
.
(1) 求tan α的值; (2) 求()()
sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++的值.
17. (本小题满分12分)
如图4, 在直角梯形ABCD 中, 90,30,1,ABC DAB CAB BC AD CD ??
∠=∠=∠===, 把△DAC 沿对角线AC 折起后如图5所示(点D 记为点P ), 点P 在平面ABC 上的正投影
D B C
A
E
P
B
C
A E 落在线段A
B 上, 连接PB .
(1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小;
(2) 求二面角P AC B --的大小的余弦值. 图4 图5
18.(本小题满分14分)
一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率p 与运动员离飞碟的距离s (米)成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足()()15104s t t =+≤≤, 每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行第二次射击).该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击, 命中的概率为
4
5
, 当第一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射击后 0.5秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不计.
(1) 在第一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟 的概率;
(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率;
(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命中两个
飞碟的概率.
19. (本小题满分14分) 已知抛物线C :22x py
=()0p >的焦点为F ,A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的
不同两点,抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ,且12l l ⊥,1l 与2l 相交于点D . (1) 求点D 的纵坐标;
(2) 证明:A 、B 、F 三点共线;
(3) 假设点D 的坐标为3,12??- ???
,问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆, 若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
20. (本小题满分14分)
已知函数()32
f x x x ax b =-++(a,b ∈R )的一个极值点为1x =.方程2
0ax x b ++=的两个
实根为,αβ
()αβ<, 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的.
(1) 求a 的值和b 的取值范围;
(2) 若[]12,,x x αβ∈, 证明:()()121f x f x -≤.
21. (本小题满分14分)
已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =,且对任意n ∈N *
都有1n n a b +=,
121n n n n
a b
a a +=-. (1) 求数列{}n a 和{}n
b 的通项公式; (2) 证明:()31324122341123ln 1n n n n
a a a
a a a a a n
b b b b b b b b ++++++<+<++++ .
2010年广州市普通高中毕业班综合测试(二)
数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法
供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变
该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.
二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共
7小题,考生作答6小题,每小题
5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
9.1 10. 22
182
x y += 11. 乙 12. 2331n n -+ 13. 180 14 15. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
(本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)
(1)解法1:∵tan 24πα??
+=
???
, ∴
tan
tan 4
21tan
tan 4+=-π
α
α. …2分
∴
1tan 21tan α
α
+=-. 解得1
tan 3
α=. …4分
解法2:∵tan 24πα??
+=
???
,
∴tan tan 4
4ππαα??
??=+-
???????
tan tan
441tan tan
44ππαππα??
+- ???=??
++ ???
…2分
21
121-=
+?
1
3
=. …4分
(2)解:
()()
sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos cos sin sin αβαβαβ
αβαβαβ+-=
+- …6分
cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβ
αβαβ
-=
+
()
()
sin cos βαβα-=- …8分
()tan βα=- tan tan 1tan tan -=
+βα
βα
…10分
112311123-
=+?
1
7
=. …12分
17. (本小题满分12分)
(本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 方法一:
(1) 解:在图4中,
∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ?
?
∠=∠=∠==
D
B
C
A
图 5
F
E
P
B
C
A
∴tan 30BC AB ?=
==, 121sin302BC AC ?
===, 60DAC ?
∠=. ∵AD CD =,
∴△DAC 为等边三角形. ∴2AD CD AC ===. …2分 在图5中,
∵点E 为点P 在平面ABC 上的正投影,
∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ?平面ABC , ∴PE ⊥BC .
∵90CBA ?
∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.
∵,PE AB E PE =? 平面PAB , AB ?平面PAB , ∴BC ⊥平面PAB .(数学驿站 https://www.360docs.net/doc/0110727075.html, )
∴CPB ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角. …4分 在Rt △CBP 中, 1,2BC PC DC ===, ∴1
sin 2
BC CPB PC ∠=
=. ∵090CPB ?
?
<∠<, ∴30CPB ?
∠=.
∴直线PC 与平面PAB 所成的角为30?
. …6分 (2) 解:取AC 的中点F , 连接PF ,EF .
∵ =PA PC , ∴ ⊥PF AC .
∵PE ⊥平面ABC ,AC ?平面ABC , ∴PE AC ⊥.
∵,=? PF PE P PF 平面PEF , PE ?平面PEF ,
D
B
C
A
∴AC ⊥平面PEF . ∵?EF 平面PEF , ∴⊥EF AC .
∴PFE ∠为二面角P AC B --的平面角. …8分 在R t △EFA 中,1
1302
?=
=∠=AF AC ,FAE , ∴=EF AF tan30?
?3=
3
==AE . 在R t △PFA 中
,=
=PF 在R t △PEF
中,1
cos 3
∠===EF PFE PF .
∴二面角P AC B --的大小的余弦值为1
3
. …12分 方法二: 解:在图4中,
∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ??∠=∠=∠==
∴tan 30BC AB ?=
==, 1
2sin302BC AC ?
===, 60DAC ?∠=. ∵AD CD =,
∴△DAC 为等边三角形. ∴2AD CD AC ===. …2分 在图5中, (数学驿站 https://www.360docs.net/doc/0110727075.html, ) ∵点E 为点P 在平面ABC 上的射影,
∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ?平面ABC , ∴PE ⊥BC .
∵90CBA ?
∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.
图5
C
∵,PE AB E PE =? 平面PAB , AB ?平面PAB ,
∴BC ⊥平面PAB . …4连接EC ,
在R t △PEA 和R t △PEC 中,2,PA PC PE PE ===, ∴R t △PEA ?R t △PEC . ∴EA EC =.
∴30ECA EAC ?
∠=∠=.
∴60CEB ?
∠=.
在R t △CBE
中,tan 60BC EB ?===
∴AE AB EB =-=
在R t △PEA
中,PE =
=
3
. …6分 以点E 为原点,EB 所在直线为x 轴,与BC 平行的直线为y 轴,EP 所在直线为z 轴,建立空
间直角坐标系E xyz -,则()0,0,0E
,A ?? ? ???
,B ?????
,C ?
????
, 0,0,3P ? ?
?. ∴()0,1,0BC =
,0,0,3EP ?= ??
,)
AC =
,33PC ?=- ??
.
(1)∵cos ,BC PC
BC PC BC PC
==
12,
∴,30BC PC ?
= .
∴ 直线PC 与平面PAB 所成的角为30?
. …9分 (2) 设平面PAC 的法向量为n (),,x y z =,
由0,0.
?=?
?=?? n AC n PC
得0,0y x y z +=+-=. 令1x =,
得y =
=z . ∴
n 1,?= ??
为平面PAC 的一个法向量.
∵EP ?= ??
为平面ABC 的一个法向量, ∴cos ,= n EP
n EP
n EP
13=-.
∵二面角P AC B --的平面角为锐角, ∴二面角P AC B --的平面角的余弦值为1
3
. …12分 18. (本小题满分14分)
(本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理
能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意设(k
p k s
=
为常数),由于()()15104s t t =+≤≤, ∴ ()
()04151k
p t t =
≤≤+. …2分
当0.5t =时, 145p =
, 则()
45150.51k =?+,解得18k =. ∴()()
()1860415151p t t t =
=≤≤++. …4分
当1t =时, 263525
p =
=?. ∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为
3
5
. …6分 (2) 解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件A ,“该运动员第二次射击命中飞碟”为事 件B ,则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件:A AB +. …7分 ∵()()43,55
P A P B =
=,
∴()()()
()P A AB P A P A P B +=+
44323
155525
??=
+-?=
???. ∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为
23
25
. …10分 (3) 解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为ξ, 则23325B ,
ξ?? ???
. ∴至少命中两个飞碟的概率为()()23P P P ξξ==+= …12分
=C ()22
31p p -+ C 33
3p
23
232233252525??
??=??+ ?
?????
=15341
15625
. …14分
19. (本小题满分14分)
(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:设点A 、B 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y , ∵ 1l 、2l 分别是抛物线C 在点A 、B 处的切线, ∴直线1l 的斜率1'
11x x x k y p ===,直线2l 的斜率2'
2
2x x x k y p
===. ∵ 12l l ⊥,(数学驿站 https://www.360docs.net/doc/0110727075.html, )
∴ 121k k =-, 得212x x p =-. ① …2分 ∵A 、B 是抛物线C 上的点,
∴ 22
12
12,.22x x y y p p
==
∴ 直线1l 的方程为()21112x x y x x p p -=-,直线2l 的方程为()2
2222x x
y x x p p
-=-.
由()()21112
222,2,2x x y x x p p x x y x x p p ?-=-????-=-??
解得12,2
.
2x x x p y +?
=????=-?? ∴点D 的纵坐标为2
p
-
. …4分 (2) 证法1:∵ F 为抛物线C 的焦点, ∴ 0,
2p F ?? ???
. ∴ 直线AF 的斜率为2
12211111
22202AF
x p p y x p p k x x px --
-===
-, 直线BF 的斜率为2
222
22
222
22202BF
x p p y x p p k x x px ---===-. ∵ 222
2
1212
22AF BF
x p x p k k px px ---=-
…6分 ()()
2222211212
2x x p x x p px x ---=
()()
2121212122x x x x p x x px x -+-=
()()
22121212
2p x x p x x px x --+-=
0=. ∴AF BF k k =.
∴A 、B 、F 三点共线. …8分 证法2:∵ F 为抛物线C 的焦点, ∴ 0,
2p F ?? ???
. ∴2221111,,222x p x p AF x x p p ????-=--=- ? ?????
,
2222
222,,
222x p x p BF x x p p ????
-=--=- ? ??
???
.
∵ 22
12221121122222
2212222p x p x x x x x p
p x p x x x x p
----===----, …6分 ∴ //AF BF .
∴A 、B 、F 三点共线. 证法3:设线段AB 的中点为E , 则E 抛物线C 的准线为:2
p
l y =-
. 作11,AA l BB l ⊥⊥, 垂足分别为11,A B . ∵ 由(1)知点D 的坐标为12
,2
2x x p +??- ???∴DE l ⊥.
∴DE 是直角梯形11AA B B 的中位线. ∴()111
2
DE AA BB =
+. …6分 根据抛物线的定义得:11,AA AF BB BF ==, ∴()()1111
22
DE AA BB AF BF =
+=+. ∵AD DB ⊥,E 为线段AB 的中点,
∴1
2DE AB =
. ∴()11
22
AB AF BF =+,即AB AF BF =+. ∴A 、B 、F 三点共线. …8分 (3)解: 不存在. 证明如下:
假设存在符合题意的圆,设该圆的圆心为M , 依题意得,MA AD MB BD ⊥⊥,且MA MB =, 由12l l ⊥,得AD BD ⊥. ∴ 四边形MADB 是正方形.
∴ AD BD =. …10分
∵点D 的坐标为3,12??- ???
, ∴12
-
=-p
,得2p =. 把点D 3,12??- ???的坐标代入直线1l , 得211131422x x x ??
--=?- ???
解得14x =或11x =-,
∴点A 的坐标为()4,4或11,4?
?- ???
.
同理可求得点B 的坐标为()4,4或11,4??- ???
.
由于A 、B 是抛物线C 上的不同两点,不妨令11,4A ??- ???
,()4,4B .
∴AD == BD ==. …13分
∴AD BD ≠, 这与AD BD =矛盾.
∴经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆不存在. …14分 20. (本小题满分14分)
(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学
思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:∵()3
2
f x x x ax b =-++,
∴()'
232f
x x x a =-+.
∵()3
2
f x x x ax b =-++的一个极值点为1x =, ∴()'
2
131210f a =?-?+=.
∴ 1a =-. …2分 ∴()()()'
2321311f
x x x x x =--=+-,
当13x <-时, ()'0f x >;当1
13
x -
<<时, ()'0f x <;当1x >时, ()'0f x >; ∴函数()f x 在1,3??-∞- ??
?上单调递增, 在1,13
??-????
上单调递减,在[)1,+∞上单调递增.
∵方程2
0ax x b ++=的两个实根为,αβ, 即2
0x x b --=的两根为,αβ
()αβ<,
∴αβ=
=
. ∴1,b αβαβ+==-
,αβ-=…4分 ∵ 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的,
∴区间[],αβ只能是区间1,3??-∞- ???,1,13??-????,[)1,+∞之一的子区间.
由于1,αβ+=αβ<,故[]1,,13αβ???-????
. 若0α<,则1αβ+<,与1αβ+=矛盾. ∴[][],0,1αβ?.
∴方程2
0x x b --=的两根,αβ都在区间[]0,1上. …6分
令()2
g x x x b =--, ()g x 的对称轴为[]1
0,12
x =
∈, 则()()00,
10,140.
g b g b b =-≥??
=-≥???=+>?
解得104b -<≤.
∴实数b 的取值范围为1,04??
-
???
. …8分 说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.
∵1111,2222
αβ+=
≤=≥且函数()f x 在区间[],αβ上是单调的,
∴
[]1,,13αβ??
?-
????
.
由1,
31,140.
b αβ?≥-??≤???=+>?
?
即11
,231,140.b ?-≥-?≤?+>??
??
…6分 解得1
04
b -
<≤. ∴实数b 的取值范围为1,04??
-
???
. …8分 (2)证明:由(1)可知函数()f x 在区间[],αβ上单调递减, ∴函数()f x 在区间[],αβ上的最大值为()f α, 最小值为()f β.
∵[]12,,x x αβ∈,
∴()()()()12f x f x f f αβ-≤-
()(
)
3232
b b αααβββ=--+---+ (
)()
()3322
αβαβαβ=-----
()()()2
1αβαβαβαβ??=-+--+-??
()1b =-
()1b =-. …10分
令t =则()2114b t =-
()1b -()3154
t t =-. 设()()3154h t t t =-, 则()()'2
1534h t t =-.
∵1
04
b -<≤,
∴01t <≤.
∴()()'
21
534h t t =
-0>. ∴函数()()3
154
h t t t =-在(]0,1上单调递增. …12分
∴()()11h t h ≤=.
∴ ()()121f x f x -≤. …14分 21. (本小题满分14分)
(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:∵对任意n ∈N *
都有1n n a b +=,
121n n n n
a b
a a +=-, ∴
122
11111n n n n n n n
a b a a a a a +-===--+. ∴
111
1n n
a a +=+,即1111n n a a +-=. …2分
∴数列1n a ???
?
??
是首项为11a ,公差为1的等差数列. ∵11a b =, 且111a b +=, ∴11a b =1
2
=. ∴
()1
211n
n n a =+-=+. …4分 ∴ 11n a n =
+, 11n n n b a n =-=+. …6分 (2)证明: ∵11n a n =
+, 1n n b n =+, ∴1
n n a b n
=. ∴所证不等式
()31324122341123ln 1n n n n
a a a
a a a a a n
b b b b b b b b ++++++<+<++++ , 即
()1111111
ln 11234123n n n
++++<+<+++++ . ① 先证右边不等式: ()111
ln 1123n n +<++++ .
令()()ln 1f x x x =+-, 则()'
1111x f x x x
=-=-++. 当0x >时, ()'
0f
x <,
所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递减.
∴当0x >时,()()00f x f <=, 即()ln 1x x +<. …8分
分别取1111,
,,,23x n
= . 得()111111ln 11ln 1ln 1ln 112323n n ??????
+++
+++++<++++ ? ? ?
??????
. 即()111111ln 1111112323n n ??
??????++
++<++++ ? ? ???
????????
. 也即341111
ln 212323n n n
+?
??
???<++++ ?
?? . 即()111
ln 1123n n +<++++ . …10分 ② 再证左边不等式: ()1111
ln 12341
n n ++++
<++ . 令()()ln 11x f x x x =+-
+, 则()()()
'22
11111x
f x x x x =-=+++. 当0x >时, ()'
0f
x >,
所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增.
∴当0x >时,()()00f x f >=, 即()ln 11x
x x
+>+. …12分 分别取1111,
,,,23x n
= . 得()11111
1ln 11ln 1ln 1ln 12323
1n n ??????+++
+++++>+++ ? ? ?
+?????? . 即()111ln 1111123n ????????++
++ ? ? ???????????
11
1231n >++++ . 也即341111
ln 223231n n n
+?
??
???>+++ ?+?? . 即()111ln 1231n n +>++++ . ∴()31324122341123ln 1n n n n
a a a
a a a a a n
b b b b b b b b ++++++<+<++++ . …14分