(完整版)八年级数学下册重难点
部编数学八年级下册二次根式专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优【人教版】含答案
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题16.1专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•南湖区校级期中）要使二次根式有意义，x的值可以是（ ）A．4B．2C．1D．0【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣3≥0，再解即可．【解答】解：要使二次根式有意义，则x﹣3≥0，解得：x≥3，故x的值可以是4．故选：A．2．（2022秋•北碚区校级期中）要使式子有意义，则a的取值范围是（ ）A．a≠0B．a≥﹣2C．a＞﹣2且a≠0D．a≥﹣2且a≠0【分析】根据分子的被开方数不能为负数，分母不能为零，可得答案．【解答】解：由题意得，a+2≥0且a≠0，即a≥﹣2且a≠0，故选：D．3．（2022秋•惠山区期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的定义进行判断．【解答】解：A．被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不合题意；B．根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意；C．a﹣1的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故此选项不合题意；D．被开方数恒为正数，是二次根式，故此选项符合题意．4．（2022秋•奉贤区期中）使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：2x﹣1＞0，解得：x＞，故选：B．5．（2022秋•南湖区校级期中）已知y＝++4，y x的平方根是（ ）A．16B．8C．±4D．±2【分析】根据二次根式有意义的条件可得，据此可得x的值，进而得出y的值，再代入所求式子计算即可．【解答】解：∵y＝++4，∴，解得x＝2，∴y＝4，∴y x＝42＝16．∴y x的平方根是±4．故选：C．6．（2022秋•通州区期中）已知n是一个正整数，且是整数，那么n的最小值是（ ）A．6B．36C．3D．2【分析】先把＝2，从而判断出6n是完全平方数，所以得出答案正整数n的最小值是6．【解答】解：＝2，则6n是完全平方数，∴正整数n的最小值是6，故选：A．7．（2022秋•新蔡县校级月考）已知x、y为实数，且y＝+1，则x+y的值是（ ）A．2022B．2023C．2024D．2025【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求出x的值，代入求得y的值，代入代数式求【解答】解：∵x﹣2023≥0，2023﹣x≥0，∴x﹣2023＝0，∴x＝2023，∴y＝1，∴x+y＝2023+1＝2024，故选：C．8．（2022春•东平县期中）已知a满足|2018﹣a|+＝a，则a﹣20182＝（ ）A．0B．1C．2018D．2019【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出a的取值范围，化简绝对值即可得出答案．【解答】解：根据题意得：a﹣2019≥0，∴a≥2019，∴原式可变形为：a﹣2018+＝a，∴＝2018，∴a﹣2019＝20182，∴a﹣20182＝2019．故选：D．9．已知a为实数，若在实数范围内有意义，那么等于（ ）A．a B．﹣a C．﹣1D．0【分析】根据非负数的性质与被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据非负数的性质a2≥0，所以，﹣a2≤0，又∵﹣a2≥0，∴﹣a2＝0，∴＝0．故选：D．10．（2022春•荣昌区校级期末）若二次根式有意义，且关于分式方程﹣3＝有正整数解，则符合条件的整数m的和是（ ）A．5B．3C．﹣2D．0【分析】根据二次根式有意义，可得m≤4，解出关于x的分式方程﹣3＝的解为x＝，解为正整数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．【解答】解：去分母得，2﹣3（x﹣1）＝﹣m，解得x＝，∵关于x的分式方程﹣3＝有正整数解，∴＞0，∴m＞﹣5，又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣2∴m≠﹣2，∵有意义，∴4﹣m≥0，∴m≤4，因此﹣5＜m≤4且m≠﹣2，∵m为整数且关于x的分式方程﹣3＝有正整数解，∴m可以为1，4，其和为5．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•南安市期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤4 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：12﹣3x≥0，解得x≤4，故答案为：x≤4．12．（2022秋•罗湖区校级期中）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＜4 ．【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为0，即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意得：4﹣x＞0，故答案为：x＜4．13．（2022秋•海曙区校级期中）若，则x y＝ ．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而代入得出答案．【解答】解：∵，∴2x﹣3≥0且3﹣2x≥0，解得：x＝，则y＝2，则x y＝（）2＝．故答案为：．14．（2022秋•卧龙区校级月考）若y＝+﹣3，则点P（x，y）在第 四 象限．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，求出x的值，进而得到y的值，再根据点的坐标特征解答即可．【解答】解：根据题意，得x﹣4≥0且4﹣x≥0，．所以x＝4．所以y＝﹣3．所以P（4，﹣3），位于第四象限．故答案为：四．15．（2022春•东莞市校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 6 ．【分析】24＝22×6，所以要想能开平方，必须再乘一个6．【解答】解：＝2，∵是整数，∴满足条件的最小正整数n＝6．故答案为：6．16．（2022春•东平县期中）已知y＝++2022，则x2+y﹣3的值为 2023 ．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x2＝4，进而求出y的值，代入代数式求值即可．【解答】解：根据题意得：x2﹣4≥0，4﹣x2≥0，∴y＝2022，∴原式＝4+2022﹣3＝2023．故答案为：2023．17．（2022•沙坪坝区校级开学）已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，则该三角形的周长为 10 ．【分析】根据题意求出a、b的值，根据等腰三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长．【解答】解：由题意得，a﹣2≥0，2﹣a≥0，解得a≥2，a≤2，∴a＝2，则b＝4，∵2+2＝4，∴2、2、4不能组成三角形，∴该三角形的三边分别为2、4、4，∴此三角形的周长为2+4+4＝10．18．（2021春•南通期中）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，，b为整数，则a+b＝ ﹣2 ．【分析】通过识图可得a＜b＜，从而利用二次根式的性质进行化简．【解答】解：∵a＜b＜，∵|b﹣2|＝b﹣2，∵a+4≥0，b﹣2≥0，∴b≥2，∵b＜，∴2≤b＜，b为整数，∴b＝2，将b＝2代入|b﹣2|＝b﹣2，∴a+b＝﹣4+2＝﹣2，故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•新泰市期中）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；（2）若x，y都是实数，且y＝+8，求x+3y的立方根．【分析】（1）根据平方根的定义求出a、b的值，然后代入a+2b即可求出答案．（2）根据二次根式有意义的条件可求出x与y的值，然后代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2，∴a+2b＝5+4＝9，∴9的平方根是±3，即a+2b的平方根为±3．（2）由题意可知：，∴x＝3，∴y＝8，∴x+3y＝3+24＝27，∴27的立方根是3，即x+3y的立方根是320．（2019秋•松北区期末）已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4++3，求此三角形的周长．【分析】根据题意求出a、b的值，根据三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长．【解答】解：由题意得，3a﹣6≥0，2﹣a≥0，解得，a≥2，a≤2，则a＝2，则b＝4，∵2+2＝4，∴2、2、4不能组成三角形，∴此三角形的周长为2+4+4＝10．21．（2022秋•济南期中）已知实数a，b，c满足：．（1）a＝ ﹣3 ；b＝ 5 ；c＝ 2 ；（2）求﹣b﹣3a+2c的平方根．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求得b＝5，再根据绝对值以及算术平方根的非负性求得a与c．（2）将（1）中a、b与c的值代入，再求得﹣b﹣3a+2c的平方根．【解答】解：（1）由题意得，b﹣5≥0，5﹣b≥0．∴b＝5．∴|a+3|+＝0．∵|a+3|≥0，，∴a+3＝0，c﹣2＝0．∴a＝﹣3，c＝2．故答案为：﹣3；5；2．（2）由（1）得，a＝﹣3，b＝5，c＝2．∴﹣b﹣3a+2c＝﹣5+9+4＝8．∴﹣b﹣3a+2c的平方根是±＝．22．（2022秋•锦江区校级月考）（1）若m﹣2＝+，求n m的值；（2）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：①用“＜”或“＞”填空：a+c ＜ 0，b﹣c ＞ 0；②化简：|a+c|﹣+．【分析】（1）利用二次根式有意义的条件得到n﹣3≥0且3﹣n≥0，则n＝3，所以m﹣2＝0，则m＝2，然后利用乘方的意义计算n m；（2）①利用数轴表示数的方法进行判断；②根据二次根式的性质和立方根的定义得到原式|＝|a+c|﹣|b﹣c|+b+c，再利用①中的结论去绝对值，然后取括号合并即可．【解答】解：（1）根据题意得n﹣3≥0且3﹣n≥0，解得n＝3，∴m﹣2＝0，解得m＝2，∴n m＝32＝9；（2）①a+c＜0，b﹣c＞0；故答案为：＜，＞；②|a+c|﹣+＝|a+c|﹣|b﹣c|+b+c＝﹣（a+c）﹣（b﹣c）+b+c＝﹣a﹣c﹣b+c+b+c＝﹣a+c．23．（2022春•定远县期末）在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：结论①：若实数a≥0时，＝a；结论②：对于任意实数a，＝|a|．请根据上面的结论，对下列问题进行探索：（1）若m＜2，化简：+|m﹣3|．（2）若＝4，|b|＝8，且ab＞0，求a+b的值．（3）若A＝+|1﹣m|有意义，化简A．【分析】（1）先根据二次根式的性质和绝对值进行计算，再算加减即可；（2）先根据二次根式的性质和绝对值求出a、b的值，再求出a+b的值即可；（3）根据二次根式的性质得出m﹣2≥0，求出m≥2，再进行化简即可．【解答】解：（1）分为两种情况：①当m≤﹣3时，+|m﹣3|．＝|m+3|+|m﹣3|＝﹣m﹣3﹣m+3＝﹣2m，②当﹣3＜m＜2时，+|m﹣3|＝|m+3|+|m﹣3|＝m+3+3﹣m＝6；（2）∵，∴|a|＝4，∴a＝±4，∵|b|＝8，∴b＝±8，∵ab＞0，∴a＝4，b＝8或a＝﹣4，b＝﹣8，当a＝4，b＝8时，则a+b＝4+8＝12，当a＝﹣4，b＝﹣8时，则a+b＝﹣4﹣8＝﹣12，∴a+b＝±12；（3）∵有意义，∴m﹣2≥0，∴m≥2，∴1﹣m＜0，∴A＝m﹣2+m﹣1＝2m﹣3．24．（2022春•天门校级月考）二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果≥0，利用的双重非负性解决以下问题：（1）已知＝0，则a+b的值为 ﹣2 ；（2）若x，y为实数，且x2＝+9，求x+y的值；（3）已知实数m，n（n≠0）满足|2m﹣4|+|n+2|++4＝2m，求m+n的值．【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得a+b的值为﹣2；（2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得x+y的值；（3）是上两个题目的综合运用，利用（1）（2）可出得m+n的值．【解答】解：（1）∵，且，∴a﹣1＝0，且3+b＝0，∴a＝1，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2．（2）∵，∴y﹣5≥0且5﹣y≥0，∴y≥5且y≤5，∴y＝5，∴x2＝9，∴x＝±3，当x＝3时，x+y＝3+5＝8；当x＝﹣3时，x+y＝﹣3+5＝2．（3）∵|2m﹣4|+|n+2|++4＝2m，∴（m﹣3）n2≥0，∴m≥3，∴2m﹣4＞0，∴|2m﹣4|+|n+2|++4＝2m2m﹣4+|n+2|++4＝2m∴|n+2|+＝0，∵|n+2|≥0，≥0，∴n+2＝0，（m﹣3）n2＝0，∴n＝﹣2，m＝3，∴m+n＝3﹣2＝1．。
八年级数学下册知识点总结(全)
八年级数学下知识点总结函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）这时，y 叫做x 的正比例函数。
2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线。
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。
（如下图） 4. 正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。
5、一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质： （1）当k>0时，y 随x 的增大而增大 （2）当k<0时，y 随x 的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。
北师大八年级数学下册知识点重点总结重点难点
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cb c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, cb c a < 2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b是负数;反过来,如果a-b是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0 (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为ab x >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为a b x <; 5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)一元一次不等式解集图示叙述语言表达x>b两大取较大x>a两小取小a<x<b大小交叉中间找无解在大小分离没有解(是空集)第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。
(完整版)新人教版八年级下册数学知识点总结归纳期末总复习
新人教版八年级下册数学知识点总结归纳期末总复习 一、 第十六章 二次根式 【知识回顾】 ： 1.二次根式：式子 a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质： （1）（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =·（a ≥0，b ≥0）； （b ≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，ab a b b b a a=（＞0）（＜0） 0 （=0）；都适用于二次根式的运算二、第十七章 勾股定理 归纳总结1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么c b a 222=+应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b =，a =）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。
2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足c b a 222=+那么这个三角形是直角三角形。
应用： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。
八年级数学下册4.2提公因式法重难点突破素材(新版)北师大版
八年级数学下册4.2提公因式法重难点突破素材（新版）
北师大版
本节课的教学重点是要求学生能熟练运用提公因式法因式分解．
突破建议：让学生经历探究得到因式分解的概念的过程，让学生知道什么是整式乘法，什么是因式分解，以及两者有什么关系．介绍公因式的概念时，教师可结合具体实例讲解，允许学生作出不同的尝试，使学生能准确、熟练地确定公因式，提出公因式后，用多项式除以公因式得到的商就是另一个因式，从而将原多项式因式分解．在教科书例题的教学过程中，教师要注重结合例题对提公因式法公进行解读，并通过练习题加以巩固，使学生达到一定的熟练程度．
本节课的教学难点是使学生能准确、熟练地确定多项式的公因式．
突破建议：在教科书引入公因式概念的例子中，教师要让学生理解式子中字母的含义，尤其是公因式“”，它可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式．在后面的例题中教科书分别做了介绍．
当公因式是单项式时，确定公因式分三个步骤：一是确定各项系数的最大公约数，二是找到各项所含的相同字母，三是确定相同字母的次数（取最低的次数）．
当公因式是多项式时，运用整体思想，按上述步骤也可以确定公因式，不同的是此时的“”是一个多项式．
有时，多项式的公因式并不明显，需要变形，例如：多项式中的项有互为相反数的两个因式和，此时可先运用添括号法则将两个因式变为相同，任然可以用提公因式法因式分解．教学时，教师要提醒学生认真观察，准确、熟练地确定多项式的公因式是提公因式法的关键．
1。
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 规律性问题与折叠问题初探大视野(解析版)
2.【2018·泗县期末】如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第 n 个三角形的面积为
．
【答案】 n ． 2
【解析】解：根据勾股定理：
第一个三角形中：OA12=1+1=2，S1= 1 ； 2
第二个三角形中：OA22=OA12+1=3，S2= 2 ； 2
第三个三角形中：OA32=OA22+1=4，S3= 3 ； 2
故答案为：4， 3 5 ． 例 4. 【2019·阜阳临泉县期末】如图 1，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折叠，顶点 C 落到点 E 处，BE 交 AD 于点 F． （1）求证：BF=DF； （2）如图 2，过点 D 作 DG∥BE，交 BC 于点 G，连结 FG 交 BD 于点 O． ①求证：四边形 BFDG 是菱形； ②若 AB=3，AD=4，求 FG 的长．
【答案】见解析. 【解析】解： （1）证明：如图 1，根据折叠，∠DBC=∠DBE， 又 AD∥BC， ∴∠DBC=∠ADB， ∴∠DBE=∠ADB， ∴DF=BF； （2）① ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴FD∥BG， 又∵DG∥BE， ∴四边形 BFDG 是平行四边形， ∵DF=BF， ∴四边形 BFDG 是菱形； ②∵AB=3，AD=4， ∴BD=5． ∴OB= 1 BD= 5 ．
【答案】（219，0）. 【解析】 解：当 x=1 时，y= 3 x= 3 ，即 A1B1= 3 ，
在 Rt△OA1B1 中，由勾股定理得 OB1=2， ∵OB1=OA2， ∴A2（2，0） 同理可求：A3（4，0）、A4（8，0）、A5（16，0）…… 即：A1（20，0）、A2（21，0）、A3（22，0）、A4（23，0）、A5（24，0）……可得 An（2n-1，0） ∴点 A20 的坐标是（219，0）， 故答案为：（219，0）． 例 2. 【2019·孝感市期末】如图，在平面直角坐标系中，正方形 OA1B1C1，B1A2B2C2，B2A3B3C3，…的顶点 B1，B2，B3，…在 x 轴上，顶点 C1，C2，C3，…在直线 y=kx+b 上，若正方形 OA1B1C1，B1A2B2C2 的对角线 OB1=2，B1B2=3，则点 C3 的纵坐标是______．
八年级(初二)下册 数学 思维导图+重点知识梳理
思维导图+重点知识梳理二次根式加、减、乘、除运算二次根式性质最简二次根式2 = 0 a a a ≥()()()()==-⎧⎪⎨⎪⎩200＜a a a a a a ≥ ⋅⋅ = 0 0 a b a b a b (≥, ≥)()00＞，bba b a a ≥= 0 0a a ≥≥()【例题展示】 已知a ，b 为等腰三角形的两条边长，且a，b 满足 ，求此三角形的周长．3264b a a =-+-+解：由题意得∴a =3，∴b =4.当a 为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b 为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．30260a a -⎧⎨-⎩≥，≥，【例题展示】 化简：(1)16;2(2)(5)-；解：2164 4.==22(2)(5)5 5.-==210;-2(3.14).-π()22111101010=10.----2(3.14) 3.14= 3.14.---πππ ，而3.14＜π，要注意a 的正负性.注意2a a =32327+63---（）；06(2)20163+312.2--（）-63336=--+解：(1)原式33.=-(2)原式333=--3 2.=-【例题展示】计算：有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.归纳勾股定理 直角三角形边长的数量关系 勾股定理的逆定理 直角三角形的判定 互逆定理勾股定理【例题展示】 有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m ，高AB 是5 m ，π取3）?AB AB A 'B '解：油罐的展开图如图，则AB '为梯子的最短距离.∵AA '=2×3×2=12, A 'B '=5,∴AB '=13. 即梯子最短需13米.【例题展示】 如图，南北方向PQ 以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A 处发现其正西方向的C 处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ 上B 处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC =10海里，BC =8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？东北P AB C Q D分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD ，然后再利用勾股定理便可求CD .解：∵AC =10，AB =6，BC =8，∴AC 2=AB 2+BC 2，即△ABC 是直角三角形.设PQ 与AC 相交于点D ，根据三角形面积公式有 BC·AB= AC·BD ，即6×8=10BD ，解得BD=在Rt △BCD 中，2222248 6.4().5CD BC BD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭海里又∵该船只的速度为12.8海里/时，6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.东北P A B C QD 24.512125种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系平行四边形【例题展示】如图，已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AC=24，BD=18，AB=16，求△OCD的周长及AD边的取值范围．解：由题意得OA=OC=12，OB=OD=9，CD=AB=16,∴△OCD的周长为12+9+16=37.在△ACD中，24-16＜AD＜24+16，∴8＜AD＜40；在△ABD中，18-16＜AD＜18+16，∴2＜AD＜34；在△AOD中，12-9＜AD＜12+9，∴3＜AD＜21．综上所述，AD的取值范围应是8＜AD＜21．【例题展示】 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．证明：（1）∵点C是AB的中点，∴AC=BC.在△ADC与△CEB中，AD＝CE , CD＝BE , AC＝BC ,∴△ADC≌△CEB（SSS），（2）∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴CD∥BE.又∵CD=BE，∴四边形CBED是平行四边形．【例题展示】 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB，∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.∵E为AB的中点，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.F∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE .【例题展示】 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE ＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四边形ADCE为矩形．1 212 12【例题展示】 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，∴四边形ACFD是菱形．()22226810cm. AC AB BC∴=+=+=某些运动变化 的现实问题 函数建立函数模型定义自变量取值范围 表示法 一次函数 y =kx +b (k ≠0)应用图象：一条直线性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大 k ＜0，y 随x 的增大而减小数形结合一次函数与方程（组）、 不等式之间的关系一次函数【例题展示】小明所在学校与家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家.如图，能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系图象D的是（ ）【例题展示】 已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式.解：设直线l为y=kx+b, ∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2.又∵直线过点（0，2），∴2=-2×0+b,∴b=2,∴直线l的解析式为y=-2x+2.【例题展示】小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y （元）与存钱月数 x （月）之间的关系如图所示，根据下图回答下列问题：（1）求出y 关于x 的函数解析式.（2）根据关系式计算，小明经过几个月才能存够200元？4080120y /元x /月12345o解: (1)设函数解析式为y =kx ＋b ，由图可知图象过(0，40),(4，120)，∴这个函数的解析式为y =20x +40.(2)当y =200时，20x +40=200, 解得x =8，∴小明经过8个月才能存够200元.解得20,40,k b =⎧⎨=⎩∴{040,4120,k b k b ⨯+=+=4080120y /元x /月12345o数据的集中趋势数据的波动程度 方差用样本平均数估计总体平均数 用样本方差估计总体方差平均数 中位数 众 数 用样本估计总体数据的分析 数据收集—数据整理—数据描述—数据分析 【例题展示】 已知一组数据10，10，x，8(由大到小排列)的中位数与平均数相等，求x值及这组数据的中位数.解：∵10，10，x，8的中位数与平均数相等∴ (10+x)÷2＝ (10+10+x+8)÷4∴x＝8(10+x)÷2＝9∴这组数据的中位数是9.【例题展示】.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a3 5.6=_____，这五个数的方差_____.。
数学八年级下册第一章知识点
以下是®⽆忧考⽹为⼤家整理的数学⼋年级下册第⼀章知识点的⽂章，供⼤家学习参考！重点、难点:重点：有平⽅根、⽴⽅根的概念及意义和点的坐标。
难点：平⽅根、⽴⽅根等概念的理解、简单实数运算及⽆理数⼤⼩的⽐较。
⼀、知识框架图：⼆、重要知识点⼀）、知识点提⽰：1、平⽅根、算术平⽅根、⽴⽅根、⽆理数、实数等概念的理解，举例说明。
2、实数怎样分类？3、如何在产⾯直⾓坐标系中，说出点的坐标及根据坐标找点。
4、在实数范围内找⼀个数的绝对值、倒数、相反数、及各种运算的运算顺序。
⼆）知识点平⽅根：1、概念：如果有⼀个数r，使得r2a，那么我们把r叫作a的⼀个平⽅根。
①、⼀个正数的平⽅根有两个，它们互为相反数；②、负数没有平⽅根；③、0的平⽅根有且只有⼀个（它就是0）④、a的正平⽅根叫作a的算术平⽅根，记作a2、求⼀个⾮负数的平⽅根，叫作开平⽅。
⼀个正．数先开平⽅再2次⽅等于它本⾝；⼀个正．数先2次⽅再开平⽅也等于它本⾝。
⽴⽅根1、概念：如果有⼀个数b，使得b2a，那么我们把b叫作a的⼀个⽴⽅根。
①、⼀个正数有⼀个⽴⽅根，它是正数；②、负数有⼀个负的⽴⽅根；③、0的平⽅根有且只有⼀个（它就是0）④、a的⽴⽅根记作a。
2、求⽴⽅根号a，叫作开⽴⽅。
⼀个数先开⽴⽅再3次⽅等于它本⾝；⼀个数先3次⽅再开⽴⽅也等于它本⾝。
实数：1、有理数和⽆理数统称为实数。
2、实数的分类3、 4、实数⼤⼩的⽐较。
⽆理数：⽆限不循环⼩数。
有效数字：从左边第⼀个不为0的数字起，到时精确到的数位⽌共有⼏个数字则这个数的有效数字就是⼏位。
平⽽直⾓坐标系：1、能写出点的坐标和根据点的坐标描点。
2、关于y轴的轴反射公式：（x的坐标不变，y坐标变为它的相反数）3、关于x轴的轴反射公式：（x的坐标变为它的相反数，y坐标不变）4、平移公式：左右平移则x的坐标值减⼩或增加，上下平移则y的坐标增加或减⼩。
5、会⽤⽅位⾓和距离描述点的位置。
第⼀章复习题⼀、填空题：（本题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）１、４的平⽅根是________，算术平⽅根是_________的算术平⽅根是_________。
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八年级数学下册重难点、考点
9.3平行四边形
重点：平行四边形的概念；平行四边形的性质和判定
考点：综合运用平行四边形的性质和判定来解决有关线段、角、面积、周长等问题以及图形的全等、直线的位置关系等问题是中考必考的内容。
题型以基础题和中档题为主，在综合题中经常涉及。
9.4矩形、菱形、正方形
重点：矩形、菱形、正方形的定义和性质，矩形、菱形、正方形的判定，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
难点：平行线间的距离
考点：以考查各种平行四边形的性质和判定及其应用为主。
单独命题时，主要以选择、填空、解答的形式出现；综合考查时，主要以探究、开放、阅读理解的形式出现。
9.5三角形的中位线
重点：三角形的中位线；三角形中位线的性质
难点：中点四边形
考点：三角形的中位线和性质是中考命题的重点，多与其他平面图形结合在一起综合考查。
单独命题时以填空或选择的形式出现。
第十章分式
重点：理解分式的意义；会利用分式的基本性质进行约分和通分；会进行简单的分式加、减、乘、除运算；会解可化为一元一次方程的分式方程，能够用它解决实际问题。
难点：分式的约分和通分；分式的运算；解分式方程，增根的来源及运用；如何用分式方程解决具体问题。
10.1分式
重点：分式的概念；分式有意义、无意义或等于0的条件。
考点：分式有意义、无意义或等于0的条件为中考热点，题型以选择、填空为主，或以综合性的题目为载体综合考查。
10.2分式的基本性质
重点：分式的基本性质。
难点：分式的约分和通分；分式恒等变形。
考点：分式的基本性质是中考中重要的考点之一，它是以后运算的基础，题型多以选择、填空形式出现。
10.3分式的加减
重点：同分母分式的加减；异分母分式的加减。
考点：常与分式的化简、求值相结合，题型以选择、填空或分值不高的解答题为主。
10.4分式的乘除
重点：分式的乘除；分式的混合运算。
考点：分式的运算是中考的重要考点之一，重点考查分式的混合运算、分式的求值，有时和其他知识结合起来考查。
题目有选择、填空和解答。
10.5分式方程
重点：分式方程的定义；分式方程的解法及增根
难点：分式方程的应用。
考点：解分式方程和列分式方程解应用题都是中考命题的重要考点，大部分以解答题的形式出现，也有一些以选择、填空的形式出现。
第十一章反比例函数
第十一章反比例函数
重点：反比例函数的概念和性质，用反比例函数解决生活中的问题。
难点：对反比例函数的概念、图像、性质的理解与应用。
11.1反比例函数
重点：反比例函数的概念；确定实际问题中的反比例函数表达式。
难点：用待定系数法求反比例函数的表达式。
考点：以认识反比例函数、求k值及自变量的取值范围为主，题目难度较小，题型以选择、填空为主。
11.2反比例函数的图像与性质
重点：反比例函数的图像和画法；反比例函数的性质。
难点：反比例函数中的比例系数k的几何意义。
考点：反比例函数的图像和性质是中考命题的主要考点，常以客观题的形式出现。
把反比例函数与一次函数、方程、不等式以及几何知识综合起来的解答题，侧重对探究能力的考查和数形结合思想的应用，题型新颖、综合性、开放性强。
11.3用反比例函数解决问题
重点：反比例函数在实际问题中的应用
考点：填空、选择、动点问题。
第十二章二次根式
重点：二次根式性质的应用以及二次根式的化简与运算。
难点：对二次根式乘除法公式中的条件的正确理解。
12.1二次根式
重点：二次根式的定义；二次根式被开方数中字母的取值范围的确定；二次根式的性质。
考点：二次根式有意义的条件、二次根式的非负性及化简，主要以填空、选择的形式出现。
12.2二次根式的乘除
重点：二次根式的乘法法则；积的算数平方根的性质；二次根式的除法法则；二次根式商的算术平方根的性质；最简二次根式
考点：二次根式乘除运算及积的算术平方根、商的算术平方根性质的应用。
以填空、选择和解答为主。
12.3二次根式的加减
重点：同类二次根式；二次根式的加减及混合运算。
考点：与分式、负整数指数幂、绝对值以及直角三角形的勾股定理等内容结合在一起进行综合考查。