江门市2014年高考模拟考试一数学(文科)

江门市2014年高考模拟考试数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1． 答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

2． 做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3． 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

4． 所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

5． 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． i 是虚数单位，=+-)21(i iA ．2+iB ．2-iC ．i --2D ．i -2 2．已知x x f -=1)(定义域为M ，x e x g =)(值域为N ，则=N M A ．]1 , 0[ B ．]1 , 0( C ．) , 0(∞+ D ．) , 1 [∞+3．已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，x x x f 2)(2+=，则=-)1(fA ．1B ．1-C ．3D ．3- 4．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=A ．)4 , 2(-B ．)4 , 2(-C ．)4 , 2(-或)4 , 2(-D ．)8 , 4(- 5．将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如右所示的茎叶图，由图可知A ．甲、乙两队得分的中位数相等B ．甲、乙两队得分的平均数相等C ．甲、乙两队得分的极差相等D ．甲、乙两队得分的方差相等6．若l ，m ，n 是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是A ．若βα//，α⊂l ，β⊂n ，则n l //B ．若βα⊥，α⊂l ，则β⊥lC ．若n l ⊥，n m ⊥，则m l //D ．若α⊥l ，β//l ，则βα⊥7．设a ，R b ∈，则“0)(2>-a b a ”是“b a >”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 8．执行如图1所示的程序框图，输出的=SA ．2013B ．2014C ．1D ．2秘密★启用前 试卷类型：B图29．已知抛物线x y 82=的焦点F 也是双曲线12222=-by a x 的一个焦点，P 是抛物线与双曲线的一个交点，若5||=PF ，则此双曲线的离心率=eA ．2B ．3C ．2D ．12+ 10．设a ，R b ∈，定义运算“⊗”和“⊕”如下：⎩⎨⎧>≤=⊗b a b b a a b a , , ，⎩⎨⎧>≤=⊕ba a ba b b a , , ．若2≥⊗n m ，2≤⊕q p ，则 A ．4≥mn 且4≤+q p B ．4≥+n m 且4≤pqC ．4≤mn 且4≥+q pD ．4≤+n m 且4≤pq二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题（11～13题）11．某厂对一批产品进行抽样检测，图2是抽检产品净重（单位：克）数据的频率分布直方图，样本数据分组为[76，78）、[78，80)、…、[84，86]。

若这批产品有120个，估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是 ． 12．若变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧>≤≥+≥)2(2a a y y x x y ，y x z 2+=的最大值为7，则实数=a ．13．在数列{}n a 中，11=a ，nn n a a a +=+221（*∈N n ），试归纳出这个数列的通项公式=n a ．⑵求)0(f 的值；⑶设α是第一象限角，且53)3(=+παf ，求αsin 的值．PABD如图4，四棱锥ABCD P -的俯视图是菱形ABCD ，顶点P 的投影恰好为A ．⑴求证：PC BD ⊥；⑵若a AC 2=，a BD 4=，四棱锥ABCD P -的体积32a V =，求PC 的长．18．（本小题满分14分）某药厂测试一种新药的疗效，随机选择600名志愿者服用此药，结果如下：⑵现从服用此药的600名志愿者中选择6人作进一步数据分析，若在三种疗效的志愿者中各取2人，这种抽样是否合理？若不合理，应该如何抽样？（请写出具体人数安排）⑶在选出作进一步数据分析的6人中，任意抽取2人参加药品发布会，求抽取的2人中有病情恶化的志愿者的概率． 19．（本小题满分14分）P 是圆O ：422=+y x 上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PQ 中点M 的轨迹记为Γ．⑴求Γ的方程；⑵若直线l ：3+=kx y 与曲线Γ相切，求直线 l 被圆O 截得的弦长．已知数列{}n a 的前n 项和122-=n S n ． ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵是否存在正整数p 、q （1>p 且1>q ）使1a 、p a 、q a 成等比数列？若存在，求出所有这样的等比数列；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分14分）已知函数)ln ()(2x x a x x f ++=，0>x ，R a ∈是常数．⑴R a ∈∀，试证明函数)(x f y =的图象在点))1( , 1(f 处的切线经过定点； ⑵若函数)(x f y =图象上的点都在第一象限，试求常数a 的取值范围．评分参考（文科）一、选择题 CBDCB DADCA 二、填空题 ⒒ 90 ⒓ 37 ⒔ 12+n ⒕ 25 ⒖ 3 三、解答题 ⒗⑴最小正周期ππωπ===22)||2(T ……3分（列式2分，结果1分） ⑵21)6sin()0(-=-=πf ……6分（代入1分，结果2分） ⑶由53)3(=+παf 得53)22sin(=+πα……7分，所以532cos =α……8分， 53sin 212=-α……10分，所以51sin 2=α（55sin ±=α）……11分， 因为α是第一象限角，所以55sin =α……12分． ⒘⑴依题意，⊥PA 底面ABCD ……2分因为⊂BD 底面ABCD ，所以BD PA ⊥……3分 依题意，ABCD 是菱形，BD AC ⊥……4分因为A AC PA = ，所以⊥BD 平面PAC ……6分，所以PC BD ⊥……7分． ⑵PA S V ABCD ⨯⨯=31……8分，2421a BD AC S ABCD =⨯⨯=……10分， PA a a ⨯⨯=234312，a PA 23=……12分，所以a AC PA PC 2522=+=……14分． ⒙⑴由已知统计表可知在600个病人中，服药后出现病情好转的频率为32600400=……1分 所以估计另一个病人服用此药病情好转的概率为32……3分 ⑵在三种疗效的志愿者中各取2人，这种抽样不合理……4分由于用药后人治疗效果之间存在明显差异，所以要进一步抽样则应该按照治疗效果进行分层抽样……5分，即从病情好转的志愿者中抽4人，从病情无明显变化的志愿者中抽1人，从病情恶化的志愿者中抽1人组成6人样本……7分⑶将6人中病情恶化的1人用符号A 代替，其余5人用分别用符号1，2，3，4，5代替……8分 则从6人中任意抽取2人的基本事件表示如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）， （1，A ），（2，3），（2，4），（2，5），（2，A ），（3，4），（3，5），（3，A ），（4，5）， （4，A ），（5，A ）……10分，一共15个基本事件……11分其中抽到病情恶化志愿者的基本事件为：（1，A ），（2，A ），（3，A ），（4，A ），（5，A ）一共5个基本事件……12分每个基本事件是等可能的……13分，根据古典概型可得，抽取的2人中有病情恶化的志愿者的概率为31155=……14分． ⒚⑴设) , (y x M 是轨迹Γ上任意一点，对应的圆O 上的点为) , (00y x P ……1分，则4220=+y x ……2分，且⎪⎩⎪⎨⎧==.200y y x x 即⎩⎨⎧==.2,00y y x x ……4分， ∴4)2(22=+y x ……5分，即1422=+y x ，曲线Γ方程为1422=+y x ……6分. ⑵由⎪⎩⎪⎨⎧+==+.3,1422kx y y x ……7分，得()032244122=+++kx x k ……8分∵直线l 与曲线Γ相切，∴()032)41(42422=⋅+-=∆k k ……9分解得22=k ，则2±=k ……10分 当2=k 时，直线32:+=x y l ，此时圆O 的圆心到直线l 的距离3123=+=d……12分，直线l 被圆O 截得的弦长为2342=-……13分当2-=k 时，根据椭圆和圆的对称性知，直线l 被圆O 截得的弦长为2……14分.⒛⑴111==S a ……1分1>n 时，241-=-=-n S S a n n n ……3分（列式1分，结果1分） 12214≠=-⨯……4分，所以⎩⎨⎧>-==.1 , 24,1, 1n n n a n ……5分⑵假设存在正整数p 、q （1>p 且1>q ）使1a 、p a 、q a 成等比数列……6分 则q p a a a ⨯=12……8分，由⑴得)24(1)24(2-⨯=-q p ……9分即12)12(22-=-q p ……10分，因为p 、q 是整数，所以12)12(22-=-q p 即21)12(2+-=p q 不可能成立，假设错误……11分所以，不存在正整数p 、q （1>p 且1>q ）使1a 、p a 、q a 成等比数列……12分. 21．⑴)11(2)(/xa x x f ++=……1分 a f +=1)1(，a f 22)1(/+=……2分，函数)(x f y =的图象在点))1( , 1(f 处的切线为)1)(22()1(-+=+-x a a y ，即)12)(1(-+=x a y ……4分R a ∈∀，当21=x 时，0)12)(1(=-+=x a y ，即切线)12)(1(-+=x a y 经过定点)0 , 21(……5分⑵0=a 时，2)(x x f =，因为0>x ，所以点) , (2x x 在第一象限……6分依题意，0)ln ()(2>++=x x a x x f ……7分0>a 时，由对数函数性质知，)1 , 0(∈x 时，)0 , (ln -∞∈x ，)0 , (ln -∞∈x a ，从而“0>∀x ，0)ln ()(2>++=x x a x x f ”不成立……8分0<a 时，由0)ln ()(2>++=x x a x x f 得)ln 11(12x xx a +-<……9分 设)ln 11()(2x x x x g +-=，x x x x x g ln 21)(33/+-=……10分……12分1)1()(-=≥g x g ，从而1)ln 11(12-<+-<x xx a ，01<<-a ……13分 综上所述，常数a 的取值范围01≤<-a ……14分.。