北京市第四中学2019届高三高考调研卷文科数学试题(一)(解析版)
2019年北京卷文科数学高考真题(1)
数学（文）（北京卷）本试卷共 5页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 (选择题共40分)一、选择题共 8 小题，每题 5分 ,共 40分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
(1)已知会合 A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB=(A)(-1 ， 1)(B)（1，2）(C)(-1, +∞ )(D)(1， +∞ )(2)已知复数 z=2+i ，则=(A)3(B)5(C)3(D)5(3)以下函数中，在区间(0,+∞ )上单一递加的是1(A)y = x 2(B)y = 2- x(C)y log 1 x21(D)y =x(4)履行以下图的程序框图，输出的s值为（A） 1（B） 2（C） 3（D） 4(5)已知双曲线x2 - y2 = 1(a >) 的离心率是 5 ，则a=a2(A) 6(B) 4(C) 21(D)2(6)设函数 f ( x ) = cos x + b sin x （b为常数），则“b= 0”是“f(x)为偶函数”的（A）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件（C）充足必需条件（D）即不充足也不用要条件(7)在天文学中，天体的明暗程度能够用星等或亮度来描绘，两颗星的星等与亮度知足5 lg E1，此中星等为 m k的星的亮度为E k (k 1,2) 。
已知太阳的星等是，m2- m1=E22天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ A）10（B）（ C）（ D）1010.1(8) 如图， A， B 是半径为 2 的圆周上的定点， P 为圆周上的动点，∠ APB 是锐角，大小为β，图中暗影地区的面积的最大值为（A） 4β +4cos βA （ B） 4β +4sin β（ C） 2β +2cos βP（D） 2β +2sin β第二部分 (非选择题共 110 分)B二、填空题共 6 小题 ,每题 5 分,共 30 分。
2019年高考北京卷文科数学试题(含解析)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一、选择题1.已知集合{|12}A x x =-<<，{|1}B x x =>，则AB =（ ）A.(1,1)-B.(1,2)C.(1,)-+∞D.(1,)+∞ 【答案】C【解析】由题意知，(1,)AB =-+∞，故选C.2.已知复数2z i =+，则z z ⋅=（ ）3 D.5 【答案】D【解析】∵2z i =+，则2z i =-，∴2(2)(2)45z z i i i ⋅=+-=-=，故选D. 3.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A.12y x = B.2xy -= C.12log y x = D.1y x=【答案】A【解析】根据选项A 可判断12y x =在(0,)+∞上单调递增，选项B ，C ，D 中的函数在区间(0,)+∞上均单调递减，故选A.4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】B【解析】根据框图进行计算，当1k =，1s =，则221s ==，不合题意，继续循环；2k =，24262s ⨯==-，不合题意，继续循环；3k =，24262s ⨯==-，符合题意，输出2s =，故选B.5.已知双曲线2221(0)x y a a-=>a =（ ）B.4C.2D.12【答案】D【解析】2222215c a e a a +===，∴241a =得12a =，故选D. 6.设函数()cos sin f x xb x =+（b 为常数），则“0b =”是“()f x 为偶函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】当0b =时，()cos f x x =为偶函数，则“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分条件，当()f x 为偶函数时，()cos sin ()=cos sin f x x b x f x x b x -=-=+，则0b =，即“0b =”是“()f x 为偶函数”的必要条件，所以“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110-【答案】A【解析】∵126.7m =-，2 1.45m =-， ∴121222225.25lg()( 1.4526.7)10.1555E m m E ⨯=-=⨯-+==，∴10.11210E E =.8.如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A.44cos ββ+B.44sin ββ+C.22cos ββ+D.22sin ββ+ 【答案】B 【解析】如图所示，当P 运动到o P 时满足o P O AB ⊥，阴影区域面积最大，此时，002OP B OP A β∠=∠=，2AOB β∠=，122242ββ=⨯⨯⨯=， 00122sin()2sin 2OAP OBP S S πββ∆∆==⨯⨯⨯-=，因此44sin ββ=+，故选B.二、填空题9.已知向量(4,3)a =-，(6,)b m =，且a b ⊥，则m = . 【答案】8【解析】∵a b ⊥，∴4630a b m ⋅=-⨯+=，∴8m =.10.若x ，y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩，则y x -的最小值为 ，最大值为 .【答案】3-；1【解析】根据线性约束条件，画出可行域如下，令y x z -=，则y x z =+，画出直线y x =，利用平移直线的方法，可知，在点(2,3)处，y x -取得最大值1，在(2,1)-处，y x -取得最小值3-.11.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 .【答案】22(1)4x y -+=【解析】抛物线焦点F 坐标为(1,0)，准线为直线1x =-，根据题意可知，焦点到准线的距离为圆的半径，∴由圆心(1,0)，半径为2，可得圆的方程为22(1)4x y -+=.12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】正方体体积为44464⨯⨯=，去掉的四棱柱体积为(24)24242+⨯⨯=，∴几何体体积为642440-=.13.已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l m ⊥；②//m α； ③l α⊥.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .【答案】若②③，则①（或若①③，则②）【解析】若l m ⊥且//m α，则l α⊥，//l α，l α⊂，以及l 与α相交均有可能，∴①②¿③，若l m ⊥且l α⊥，∵直线m 是平面α外的直线，∴//m α 若//m α且l α⊥，根据线面垂直的性质，可知l m ⊥.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 .【答案】①130元；②15【解析】①一次购买草莓和西瓜各1盒，需支付608010130+-=元.②设订单总金额为m 元，若120m <，可知所得金额为总金额80%，满足题意. 若120m ≥，则有()80%70%m x m -⨯≥，解得8m x ≤为满足题意，只需x 小于等于8m 的最小值即可，∴120158x ≤=，∴x 的最大值为15. 三、解答题15.在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-. （Ⅰ）求b 、c 的值； （Ⅱ）求sin(+)BC 的值.【解析】（I ）在ABC ∆中，2222cos b a c ac B =+-⋅，有2293b c c =++，又2b c -=，即2b c =+，∴22(2)93c c c +=++，解得5c =，7b =.（II ）由题意得(,)2B ππ∈，∴sin B ==，在ABC ∆中sin sin a b A B=3sin sin 2714a A Bb ⇒=⋅==，又∵A B C π++=，B C A π+=-，∴sin()sin()sin 14B C A A π+=-==.16.设{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值.【解析】（I ）因为210a +，38a +，46a +成等比数列，所以2324(8)(10)(6)a a a +=++，因为{}n a 是等差数列且110a =-，所以2(1010)(1036)(1028)d d d -++⋅-++=-++，化简得2440d d -+=，解得2d =，所以102(1)212n a n n =-+-=-. （II ）21(1)10(1)112n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-，设2()11f x x x =-对称轴为0115.52x ==，因为n N +∈，所以5n =或6n =时，n S 取得最小值30-. 17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元.结合（II ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【解析】（I ）在抽取的100人中，仅使用A 支付方式的有30人，仅使用B 支付方式的有25人，A ，B 两种支付方式都不是用的有5人，则A ，B 两种支付方式都使用的人数为1003025540---=，则该校学生中A ，B 两种支付方式都使用的人数为401000400100⨯=人. （II ）设事件A “样本中仅使用B 的学生中随机抽取1人，月支付金额大于2000元”，样本中仅使用B 的学生有25人，样本中仅使用B 的学生中，月支付金额大于2000元有1人，则1()25P A =. （III ）不能，根据（II ）的结果，在仅使用B 的学生中随机抽取1人，月支付金额大于2000元的概率为4%，概率表现的是事件发生的可能性，而本月的抽取为随机事件，仅抽取一次不能认为样本中仅使用B 的学生中月支付金额大于2000元的人数有变化.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若60ABC ∠=︒，求证：平面PAB ⊥平面PAE ； （Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得//CF 平面PAE ？ 说明理由.【解析】（I ）PA ⊥平面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A ⋂=，∴BD ⊥平面PAC . （II ）PA ⊥平面ABCD 且AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，即60ADC ∠=︒，∴ADC ∆为等边三角形，且E 为CD 中点，∴AE CD ⊥，又//AB CD ，AE AB ⊥，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PA AB A ⋂=，∴AE ⊥平面PAB ，且AE ⊂平面PAE ，∴平面PAB ⊥平面PAE .（III ）棱PB 上存在F 点，且F 为PB 中点，取PA 中点为M ，连接MF ，ME ，FC ，∵MF 分别PA ，PB 中点，∴//MF AB ，12MF AB =，∵底面ABCD 为菱形，∴//CE AB ，12CE AB =，∴//MF CE 且MF CE =，∴四边形MFCE 为平行四边形，∴//FC EM ，∵EM ⊂平面PAE ，FC ⊄平面PAE ，∴//FC 平面PAE .即棱PB 上存在一点F ，且F 为PB 中点，使得//CF 平面PAE .19.已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若||||2OM ON ⋅=，求证：直线l 经过定点.【解析】（I ）由题意得2222111c ba b c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2212x y +=. （II ）由2222y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，得222(21)4220k x ktx t +++-=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y 由韦达定理12221224212221kt x x k t x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，111AP y k x -=，∴直线AP 为1111y y x x -=⋅+，令0y =得111x x y -=-，∴11(,0)1x M y --，221AQ y k x -=，∴直线AQ 为2211y y x x -=⋅+，令0y =得221x x y -=-，∴22(,0)1x N y --，∴12121212||||||||||11(1)(1)x x x x OM ON y y y y --⋅=⋅=----， 121212)(1)(1)(1y y y y y y --=-++1212()()()1kx t kx t kx t kx t =++-++++22121212((2)1)k x x kt x x t k x x t =+++-+-+221212()()21k x x kt k x x t t =+-++-+，代入韦达定理得22222224()212121t kt k kt k t t k k --⋅+-⋅+-+++222121t t k -+=+， ∴22|2||||21|22t O t t M ON --+==⋅，整理得，0t =， ∴直线l 为y kx =，即直线恒过定点(0,0).20.已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为()M a .当()M a 最小时，求a 的值.【解析】（I ）由题意得，23()2114f x x x '=-+=，解得10x =，283x =，当10x =时，(0)0f =，切点为(0,0)，∴0x y -=，当283x =时，88()327f =切点为(88,)327，∴88273y x -=-，整理得64027x y --=，综上，切线方程为0x y -=或64027x y --=. （II ）要证()6x f x x -≤≤，即证6()0f x x -≤-≤，设231()()4g x f x x x x =-=-，23()204g x x x '=-=，10x =，283x =，得到()g x ，()g x '随x 的变化情况如下表： 其中(2)6g -=-，(0)0g =，864()327g =-，(4)0g =，∴当[2,4]x ∈-时，6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤.（III ）()|()||()|F x f x x a g x a =--=-，[2,4]x ∈-，∵()[6,0]g x ∈-，∴当(3,)a ∈-+∞时，2x =-，()|6|3M a a =-->，当(,3)a ∈-∞-时，0x =或4，()|0|3M a a =->，当3a =-时，2x =-或0或4，()3M a =，∴()M a 最小值为3时，3a =-.。
北京市第四中学2019届高三第三次调研考试数学文科试卷附答案解析
北京市第四中学2019年高考第三次调研考试卷文科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,且,则可以是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为，所以得到且，根据选项可以确定a的值.【详解】解：因为，且集合,所以且,根据选项情况，由此可以判定只能选择C.【点睛】本题考查了集合间的关系、集合中元素的性质，解题时要注意集合元素的互异性这一隐含的条件.2.下列函数中,与函数的单调性和奇偶性相同的函数是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】可以判断函数是定义在R上的奇函数、单调增函数，从定义域角度可以分析出选项A、B、C均不能成立，由此可以得出正确选项。
【详解】解：函数的定义域为R，因为，所以得到为奇函数，又因为恒成立，故在R上为单调递增函数，选项A的定义域为，不成立，选项B的定义域为，不成立，选项C的定义域为，不成立，选项D的定义域为R，由于，所以函数为奇函数，又因为，所以为单调增函数，所以，选项D满足题意。
【点睛】本题考查了函数的基本性质，判断函数性质要遵循“定义域优先”的原则，特别是判断函数的奇偶性时，首先要判断定义域是否关于原点对称；函数的单调性则可以通过图像、导数等等方法进行判断。
3.已知分别为三角形ABC三个内角的对边,且,则三角形ABC中为A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以,即选C.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5.等差数列中,前项和为,公差,且,若,则A. B. C.的值不确定 D.【答案】B【解析】因为，所以，即，因为，所以=-6，选B.6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】抠点法，在长方体中抠点,1.由正视图可知:上没有点;2.由侧视图可知:上没有点;3.由俯视图可知:上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,,，故选.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7.已知直线与圆相交于、两点,是线段的中点,则点到直线的距离的最大值为A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】直线经过定点（-4,0），设，则点，将点B代入圆的方程，则得到点M的轨迹方程，分析轨迹方程可知点M的轨迹为圆，然后再利用直线与圆的知识解决问题。
2019年高考真题——文科数学(北京卷)附答案
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（A）（–1，1）（B）（1，2）（C）（–1，+∞）（D）（1，+∞）（2）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A）3（B）5（C）3 （D）5（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）12y x=（B）y=2x-（C）12logy x=（D）1yx=（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（5）已知双曲线2221xya-=（a>05a=（A ）6 （B ）4 （C ）2 （D ）12（6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10.110-（8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年北京市高考数学试卷(文科)(附详细答案)
2019年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|2．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}C．{1，2}D．{3}3．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．155．（5分）设a，b是实数，则“ａ＞b”是“ａ2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）7．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．48．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x= ．10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= ；sinA= ．13．（5分）若x，y满足，则z=x+y的最小值为．14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序粗加工精加工时间原料原料A915原料B621则最短交货期为个工作日．三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．20．（13分）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f （x）相切？（只需写出结论）2019年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|【分析】根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．2．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}C．{1，2}D．{3}【分析】直接利用交集的运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．3．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．【解答】解：由=（2，4），=（﹣1，1），得：2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．15【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，∵跳出循环的k值为3，∴输出S=1+2+4=7．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．5．（5分）设a，b是实数，则“ａ＞b”是“ａ2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“ａ＞b”是“ａ2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“ａ＞b”是“ａ2＞b2”的不必要条件．故选：D．【点评】判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．6．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．7．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．8．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣=3.75．故选：B．【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x= 2 ．【分析】化简原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等的定义可得．【解答】解：∵（x+i）i=﹣1+2i，∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等可得x=2故答案为：2【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题．10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为x2﹣y2=1 ．【分析】利用双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），可得c=，a=1，进而求出b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），∴c=，a=1，∴b=1，∴C的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【分析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= 2 ；sinA= ．【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．13．（5分）若x，y满足，则z=x+y的最小值为 1 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为，由图可知，当直线过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小．此时．故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序粗加工精加工时间原料原料A915原料B621则最短交货期为42 个工作日．【分析】先完成B的加工，再完成A的加工即可．【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日．故答案为：42．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；（2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n．设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【分析】（1）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；（2）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；（3）利用V E﹣ABC=S△ABC?AA1，可求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC?平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F?平面ABE，EG?平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E﹣ABC=S△ABC?AA1=×（××1）×2=．【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）【分析】（Ⅰ）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；（Ⅱ）根据小矩形的高=求a、b的值；（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为=0.9；（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时），∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，∴a=2，b=，c=，∴椭圆C的离心率e==；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴=0，∴tx0+2y0=0，∴t=﹣，∵，∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=x02+y2++4=x2+++4=+4（0＜x2≤4），因为≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02=4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f （x）相切？（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f（﹣2），f（﹣），f（），f（1）的大小即得结论；（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，（x）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的等价于“ｇ零点情况，得出结论；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3，∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“ｇ（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：x（﹣∞，0）0（0，1）1（1，+∞）g′（x）+0﹣0+g（x）↗t+3↘t+1↗∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．第21页（共21页）。
北京市第四中学2019届高三高考调研卷文科数学试题(一)(解析版)
北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2.复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：化简复数z，写出它的虚部即可．详解：∵复数z====﹣i，∴z的虚部是﹣1．故选：D．点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．详解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形=×16=4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴影=2π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P=1﹣=1﹣π，故选：A．点睛：几何概型问题时，首先分析基本事件的总体，再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积.4.阅读如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的k值是（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行；第二次运行；…∴第次运行，当输入时，由得，程序运行了次，输出的值为．考点：程序框图.5.已知三棱柱的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图①所示，，，分别是三边的中点）后得到的几何体如图②，则该几何体的侧视图为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为平面平面，所以几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选A．6.中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了A. 60里B. 48里C. 36里D. 24里【答案】D【解析】【分析】每天行走的里程数是公比为的等比数列，且前和为，故可求出数列的通项后可得.【详解】设每天行走的里程数为，则是公比为的等比数列，所以，故（里），所以（里），选C.【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题.7.的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则角（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正弦定理可得，可得，，由，可得，，由为三角形内角，可得，由正弦定理可得由，可得，故选D.8.已知直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为（）A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】∵直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得.故选B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.若变量，满足不等式组则的最大值为__________．【答案】1【解析】表示到的斜率，由可行域可知，过点或时，斜率最大，即。
2019年北京市高考数学试卷(文科)(解析版)
2019年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题1. 已知集合A={x|−1<x<2},B={x|x>1}，则A∪B=( )A.(−1,1)B.(1,2)C.(−1,+∞)D.(1,+∞)2. 已知复数z=2+i，则z⋅z¯=()A.√3B.√5C.3D.53. 下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12 B.y=2−x C.y=log12x D.y=1x4. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A.1B.2C.3D.45. 已知双曲线x2a2−y2=1(a>0)的离心率是√5，则a=()A.√6B.4C.2D.126. 设函数f(x)=cos x+b sin x（b为常数），则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg E1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10−10.18. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ二、填空题9. 已知向量a→=(−4,3),b→=(6,m)，且a→⊥b→，则m=________.10. 若x，y满足{x≤2,y≥−1,4x−3y+1≥0,则y−x的最小值为________,最大值为________.11. 设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_______.12. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示. 如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________.13. 已知l，m是平面α外的两条不同直线. 给出下列三个论断：①l⊥m；②m//α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付______元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_______.三、解答题15. 在△ABC中，a=3，b−c=2，cos B=−12.(1)求b，c的值；(2)求sin(B+C)的值.16. 设{a n}是等差数列，a1=−10，且a2+10,a3+8, a4+6成等比数列.(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值.17. 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元.结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由. 18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC=60∘，求证：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF//平面PAE？说明理由.19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|⋅|ON|=2，求证：直线l经过定点.20. 已知函数f(x)=14x3−x2+x.(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x∈[−2，4]时，求证：x−6≤f(x)≤x；(3)设F(x)=|f(x)−(x+a)|(a∈R)，记F(x)在区间[−2，4]上的最大值为M(a). 当M(a)最小值时，求a的值.参考答案与试题解析2019年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题 1.【答案】 C【考点】 并集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：A ={x|−1<x <2},B ={x|x >1}，2\},由图可知A ∪B ={x|x >−1}. 故选C. 2.【答案】 D【考点】 共轭复数复数代数形式的乘除运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：z =2+i ，z ¯=2−i ，则 z ⋅z ¯=(2+i)(2−i) =4−i 2 =4+1 =5. 故选D . 3.【答案】 A【考点】函数单调性的判断与证明 【解析】 此题暂无解析【解答】解：由题意可知，要求函数在(0,+∞)上为增函数， A ：y =x 12=√x 在(0,+∞)为增函数； B:y =2−x =(12)x在(0,+∞)为减函数； C ：y =log 12x 底数为12，在(0,+∞)为减函数；D:y =1x 在(0,+∞)为减函数. 故选A . 4.【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意可知：k =1，s =1，s =2⋅123⋅1−2=2，第一步：k =2，s =2⋅223⋅2−2=2， 第二步：k =3，s =2⋅223⋅2−2=2， 输出值s =2， 故选B . 5. 【答案】 D【考点】双曲线的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由x 2a 2−y 2=1可知b 2=1，c 2=a 2+b 2=a 2+1， e =ca =√5， 即√c 2a 2=√a 2+1a 2=√1+1a 2=√5，解得a=12，故选D.6.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：证明充分条件：因为当b=0时，f(x)=cos x,x∈R. 所以f(x)为偶函数，则充分条件成立.证明必要条件：因为f(x)=cos x+b sin x，而f(−x)=cos(−x)+b sin(−x)=cos x−b sin x，因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，则cos x−b sin x=cos x+b sin x，所以b=0，则必要条件成立.所以“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.7.【答案】A【考点】对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，所以m2−m1=52lg E1E2，且m2=−1.45，m1=−26.7，所以lg E1E2=10.1,即E1E2=1010.1，所以太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1. 故选A.8. 【答案】B【考点】三角形的面积公式扇形面积公式【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，由圆的几何性质可知，∠AOB=2β，∴∠AOP+∠BOP=2π−2β，S阴影=S△AOP+S△BOP+S扇形AOB=2sin∠AOP+2sin∠BOP+4π⋅2β2π=2(sin∠AOP+sin∠BOP)+4β，∵∠APB=β，∴S扇形AOB与|AB|为定值，当P在AB垂直平分线上，即∠AOP=∠BOP=π−β时，取得阴影部分面积的最大值，即4β+4sinβ，故选B.二、填空题9.【答案】8【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积的坐标表达式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵a→=(−4,3),b→=(6,m)且a→⊥b→，∴a→⋅b→=−24+3m=0，∴m=8，故答案为：8.10.【答案】−3,1【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：可行域为图中阴影部分，如图所示，设y−x=z，所以y=x+z，所以当直线y=x+z过A(2, 3)时，得到z max=3−2=1;当直线y=x+z过C(2,−1)时，得到z min=−1−2=−3,故答案为：−3；1.11.【答案】(x−1)2+y2=4【考点】抛物线的性质直线与圆的位置关系圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴焦点F(1,0)，准线l为x=−1.∵F为圆心，l与圆相切，∴圆的半径为2，∴所求圆的方程为：(x−1)2+y2=4. 故答案为：(x−1)2+y2=4.12.【答案】40【考点】由三视图求体积（组合型）柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由三视图得该几何体如图所示，∴ 该几何体的体积为V=4×4×2+12×2×2×4=40. 故答案为：40.13.【答案】②③⇒①【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：设m在α中的投影为m′，∵ m//α，l⊥α，m′⊂α，∴ l⊥m′，m//m′，∴ l⊥m.即②③⇒①.故答案为：②③⇒①.14.【答案】130,15【考点】不等式的概念与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：①买草莓和西瓜共：60+80=140元，∵140元>120元即总价达到120元，∴顾客少付x元即少付10元，∴需要支付140−10=130元.②设促销前总价为m元.当m<120时，李明得到0.8m元，一定大于0.7m元，此时x为0元；当m≥120时，李明得到0.8(m−x)元，促销前总价的七折0.7m元. ∴0.7m≤0.8(m−x)，∴x≤18m对于m≥120恒成立，∴x≤15，∴x最大值为15.故答案为：130；15.三、解答题15.【答案】解：(1)在△ABC中，∵b2=a2+c2−2ac cos B，∴b2=9+c2+3c，又∵b−c=2，∴(c+2)2=9+c2+3c，∴c=5，b=7.(2)∵cos B=−12，B∈(π2, π)，∴sin B=√1−cos2B=√32,∵asin A =bsin B,∴sin A=ab⋅sin B=√32×37=3√314,又∵A+B+C=π，B+C=π−A，∴sin(B+C)=sin(π−A)=sin A=3√314.【考点】诱导公式余弦定理正弦定理同角三角函数基本关系的运用三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，∵b2=a2+c2−2ac cos B，∴b2=9+c2+3c，又∵b−c=2，∴(c+2)2=9+c2+3c，∴c=5，b=7.(2)∵cos B=−12，B∈(π2, π)，∴sin B=√1−cos2B=√32,∵asin A=bsin B,∴sin A=ab⋅sin B=√32×37=3√314,又∵A+B+C=π，B+C=π−A，∴sin(B+C)=sin(π−A)=sin A=3√314.16.【答案】解：(1)∵a2+10,a3+8,a4+6成等比数列，∴(a2+10)⋅(a4+6)=(a3+8)2，∵{a n}是等差数列，且a1=−10，设数列{a n}的公差为d，∴(−10+d+10)⋅(−10+3d+6)=(−10+2d+8)2，化简得d2−4d+4=0，解得d=2，∴a n=−10+2(n−1)=2n−12.(2)S n=na1+n(n−1)d2=−10n+2n(n−1)2=n2−11n，设f(x)=x2−11x，则f(x)的对称轴为x=112=5.5，∵n∈N∗，∴当n=5或n=6时，S n取得最小值−30. 【考点】等比数列的性质等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵a2+10,a3+8,a4+6成等比数列，∴(a2+10)⋅(a4+6)=(a3+8)2，∵{a n}是等差数列，且a1=−10，设数列{a n}的公差为d，∴(−10+d+10)⋅(−10+3d+6)=(−10+2d+8)2，化简得d2−4d+4=0，解得d=2，∴a n=−10+2(n−1)=2n−12.(2)S n=na1+n(n−1)d2=−10n+2n(n−1)2=n2−11n，设f(x)=x2−11x，则f(x)的对称轴为x=112=5.5，∵n∈N∗，∴当n=5或n=6时，S n取得最小值−30.17.【答案】解：(1)根据题意，在抽取的100人中，仅使用A支付方式的有27+3=30人，仅使用B支付方式的有24+1=25人, A，B两种支付方式都不使用的有5人，则A，B两种支付方式都使用的有：100−30−25−5=40人.则该校学生中，A，B两种支付方式都使用的人数为1000×40100=400人.(2)设事件A：在样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生月支付金额大于2000元.已知样本中仅使用B的学生有25人，在样本中仅使用B的学生中，月支付金额大于2000元的有1人，则P(A)=125.(3)不能.根据(2)的结果，在仅使用B支付方式的学生中随机抽取1人，月支付金额大于2000元的概率为4%.概率表现的是事件发生的可能性，而本月的抽取情况为随机事件，仅抽取1次不能认为样本中仅使用B的学生中月支付金额大于2000元的人数有变化. 【考点】统计表概率的应用用样本的频率分布估计总体分布【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)根据题意，在抽取的100人中，仅使用A支付方式的有27+3=30人，仅使用B支付方式的有24+1=25人,A，B两种支付方式都不使用的有5人，则A，B两种支付方式都使用的有：100−30−25−5=40人.则该校学生中，A，B两种支付方式都使用的人数为1000×40100=400人.(2)设事件A：在样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生月支付金额大于2000元.已知样本中仅使用B的学生有25人，在样本中仅使用B的学生中，月支付金额大于2000元的有1人，则P(A)=125.(3)不能.根据(2)的结果，在仅使用B支付方式的学生中随机抽取1人，月支付金额大于2000元的概率为4%.概率表现的是事件发生的可能性，而本月的抽取情况为随机事件，仅抽取1次不能认为样本中仅使用B 的学生中月支付金额大于2000元的人数有变化. 18.【答案】(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥BD ，又在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，即PA ⊥BD ，AC ⊥BD ，PA ∩AC =A , PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴ BD ⊥平面PAC .(2)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，且AE ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥AE ，又在菱形ABCD 中，∠ABC =60∘， 即∠ADC =60∘，∴ △ACD 为等边三角形，且E 为CD 的中点, ∴ AE ⊥CD ， 又∵ AB//CD , ∴ AE ⊥AB ，即AE ⊥PA ，AE ⊥AB ，PA ∩AB =A ， PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴ AE ⊥平面PAB ，且AE ⊂平面PAE ， ∴ 平面PAB ⊥平面PAE .(3)解：假设棱PB 上存在点F ，且F 为PB 的中点， 使CF//平面PAE ，取PA 中点M ，连接ME ，MF ，FC ，如图，∵ M ，F 分别为PA ，PB 的中点， ∴ MF//AB ，MF =12AB , ∵ 底面ABCD 为菱形， ∴ CE//AB ，CE =12AB ,∴ CE//MF ，且CE =MF ,∴ 四边形CEMF 为平行四边形， ∴ CF//ME ，∵ CF ⊄平面PAE ，ME ⊂平面PAE ， ∴ CF//平面PAE ，∴ 假设成立，即PB 上存在一点F ，且F 为PB 的中点， 使CF//平面PAE . 【考点】平面与平面垂直的判定 直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥BD ，又在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，即PA ⊥BD ，AC ⊥BD ，PA ∩AC =A , PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴ BD ⊥平面PAC .(2)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，且AE ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥AE ，又在菱形ABCD 中，∠ABC =60∘， 即∠ADC =60∘，∴ △ACD 为等边三角形，且E 为CD 的中点, ∴ AE ⊥CD ， 又∵ AB//CD , ∴ AE ⊥AB ，即AE ⊥PA ，AE ⊥AB ，PA ∩AB =A ， PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴ AE ⊥平面PAB ，且AE ⊂平面PAE ， ∴ 平面PAB ⊥平面PAE .(3)解：假设棱PB 上存在点F ，且F 为PB 的中点， 使CF//平面PAE ，取PA 中点M ，连接ME ，MF ，FC ，如图，∵ M ，F 分别为PA ，PB 的中点， ∴ MF//AB ，MF =12AB , ∵ 底面ABCD 为菱形，∴ CE//AB ，CE =12AB ,∴ CE//MF ，且CE =MF ,∴ 四边形CEMF 为平行四边形， ∴ CF//ME ，∵ CF ⊄平面PAE ，ME ⊂平面PAE ， ∴ CF//平面PAE ， ∴ 假设成立，即PB 上存在一点F ，且F 为PB 的中点， 使CF//平面PAE . 19. 【答案】解：(1)由题意可得{c =1,1b 2=1,a 2=b 2+c 2,所以{a 2=2,b 2=1,所以x 22+y 2=1. (2)由{y =kx +t,x 2+2y 2=2,得(2k 2+1)x 2+4ktx +2t 2−2=0. 易知Δ>0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)， 由韦达定理得， x 1+x 2=−4kt 2k 2+1,x 1x 2=2t 2−22k 2+1，k AP =y 1−1x 1，所以直线AP 为y =y 1−1x 1x +1.令y =0，得x =−x 1y 1−1，所以M (−x 1y1−1,0). 同理k AQ =y 2−1x 2，所以直线AQ 为y =y 2−1x 2x +1.令y =0，得x =−x 2y2−1.所以N (−x 2y2−1,0).所以|OM|⋅|ON|=|−x 1y 1−1|⋅|−x 2y 2−1|=|x 1x 2(y 1−1)(y 2−1)|.因为(y 1−1)(y 2−1)=y 1y 2−(y 1+y 2)+1， =(kx 1+t )(kx 2+t )−(kx 1+t +kx 2+t )+1， =k 2x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2−k (x 1+x 2)−2t +1， =k 2x 1x 2+(kt −k)(x 1+x 2)+t 2−2t +1, 代入韦达定理，可得：上式=k 22t 2−22k 2+1+(kt−k)−4kt2k 2+1+t 2−2t +1，=t 2−2t+12k 2+1.因为t ≠±1,，所以|OM|⋅|ON|=|2t 2−2t 2−2t+1| =|2(t+1)t−1|=2.整理可得t =0， 所以y =kx .所以直线过定点(0，0).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意可得{c =1,1b 2=1,a 2=b 2+c 2,所以{a 2=2,b 2=1,所以x 22+y 2=1. (2)由{y =kx +t,x 2+2y 2=2,得(2k 2+1)x 2+4ktx +2t 2−2=0. 易知Δ>0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)， 由韦达定理得，x 1+x 2=−4kt2k 2+1,x 1x 2=2t 2−22k 2+1， k AP =y 1−1x 1，所以直线AP 为y =y 1−1x 1x +1.令y =0，得x =−x 1y 1−1，所以M (−x 1y1−1,0). 同理k AQ =y 2−1x 2，所以直线AQ 为y =y 2−1x 2x +1.令y =0，得x =−x 2y 2−1.所以N (−x 2y 2−1,0). 所以|OM|⋅|ON|=|−x 1y 1−1|⋅|−x 2y2−1|=|x 1x 2(y 1−1)(y 2−1)|.因为(y 1−1)(y 2−1)=y 1y 2−(y 1+y 2)+1， =(kx 1+t )(kx 2+t )−(kx 1+t +kx 2+t )+1， =k 2x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2−k (x 1+x 2)−2t +1， =k 2x 1x 2+(kt −k)(x 1+x 2)+t 2−2t +1, 代入韦达定理， 可得：上式=k 22t 2−22k 2+1+(kt −k)−4kt 2k 2+1+t 2−2t +1，=t 2−2t+12k 2+1.因为t ≠±1,，所以|OM|⋅|ON|=|2t 2−2t 2−2t+1| =|2(t+1)t−1|=2.整理可得t =0， 所以y =kx .所以直线过定点(0，0). 20. 【答案】(1)解：f ′(x)=34x 2−2x +1=1，∴ x 1=0，x 2=83，当x 1=0时，f(0)=0，切点(0，0)， ∴ x −y =0，当x 2=83时，f(83)=827，切点(83，827)， ∴ x −y −6427=0.综上，切线方程为x −y =0和x −y −6427=0.(2)证明：要证x −6≤f(x)≤x ，即证−6≤f(x)−x ≤0， 设g(x)=f(x)−x =14x 3−x 2，g ′(x)=34x 2−2x =0，解得x 1=0 ，x 2=83，g(x)，g ′(x)随x 的变化情况如下表：其中f(−2)=6，f(0)=0，f(83)=−6427，f(4)=0，∴ −6≤g(x)≤0， 即x −6≤f(x)≤x .(3)解：F(x)=|f(x)−(x +a)|=|g(x)−a|，x ∈[−2，4]， ∵ g(x)∈[−6，0]，∴ 当a ∈(−3，+∞)时，x =−2，M(a)=|−6−a|>3， 当a ∈(−∞，−3)时，x =0或4，M(a)=|0−a|>3， 当a =−3时，x =−2或0或4，M(a)=3， 所以当M(a)的最小值为3时，a =−3.第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 【考点】利用导数证明不等式利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性简单复合函数的导数【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：f ′(x)=34x 2−2x +1=1，∴ x 1=0，x 2=83，当x 1=0时，f(0)=0，切点(0，0)，∴ x −y =0，当x 2=83时，f(83)=827，切点(83，827)，∴ x −y −6427=0.综上，切线方程为x −y =0和x −y −6427=0.(2)证明：要证x −6≤f(x)≤x ，即证−6≤f(x)−x ≤0， 设g(x)=f(x)−x =14x 3−x 2，g ′(x)=34x 2−2x =0，解得x 1=0 ，x 2=83，g(x)，g ′(x)随x 的变化情况如下表：其中f(−2)=6，f(0)=0，f(83)=−6427，f(4)=0，∴ −6≤g(x)≤0，即x −6≤f(x)≤x .(3)解：F(x)=|f(x)−(x +a)|=|g(x)−a|，x ∈[−2，4]， ∵ g(x)∈[−6，0]，∴ 当a ∈(−3，+∞)时，x =−2，M(a)=|−6−a|>3， 当a ∈(−∞，−3)时，x =0或4，M(a)=|0−a|>3， 当a =−3时，x =−2或0或4，M(a)=3，所以当M(a)的最小值为3时，a =−3.。
2019北京市第四中学高三调研卷数学(文)含答案
2019北京市第四中学高三调研卷数 学（文）页数：4页 题数：20题 满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，{|1}A x x =>，2{|1}B x x =>，那么()UA B 等于A.{|11}x x -<≤B.{|11}x x -<<C.{|1}x x <-C.{|1}x x -≤2. 在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知曲线1:y sinx C =，22:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是 A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C4. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.5．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A. 3:1B. 4:1C. 5:1D. 6:16.若n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是 DA ．若ββα⊥⊥m ,，则α//m ；B ．若m n m ⊥,//α，则α⊥n ；C ．若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα⊥；D ．若n m m =⊂βααβ ,,//，则n m //7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．152π； B ．203π； C ．1521π-； D ．2031π- 8. 若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：22221212112x x x y y x y x y +-+-+的最大值为0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>； ②()()ln 0f x x x e =<<； ③()cos f x x =； ④()24f x x =-． 其中为“柯西函数”的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．曲线()2xf x xe =+在点()()0,0f 处的切线方程为 ．10．若变量,x y 满足则目标函数20,20,360,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为 ．11．将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第m 行的第n 个数为,m n a ，如3,215a =，若,2019m n a =，则m n += ． 12.已知函数()|ln |f x x =，实数,m n 满足0m n <<，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值是2，则nm的值为 . 13．设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=____． 14．若圆221x y +=与圆22680x y x y m +---=相切，则m 的值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，()2*2n n n S a a n N =+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()*0n a n N >∈，令()12n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16.设函数)2π2π,0)(sin(3(<<->+=ϕωϕωx x f ）的图象的一个对称中心为），（012π，且图象上最高点与相邻最低点的距离为124π2+. （1）求ω和ϕ的值； （2）若)2π0(4312π2(<<=+αα）f ，求)4πcos(+α的值． 17. 某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：（1之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.(参考公式及数据：①回归方程y=bx+a ，其中ni ii=1n22ii=1x y -nxyb=,a=y-bx x-nx∑∑；②5i i i=1x y =18.8∑.)18．如图，四棱锥P ABCD -中，22,BC//AD,AB AD,PBD AB AD BC ===⊥∆为正三角形．且PA =(1)证明：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且//PB 平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．19.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．20．已知函数()()32ln ,g x a x f x x x bx ==++.(1)若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；(2)若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0b =时，设()()(),1,1f x x F x g x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．2019北京市第四中学高三调研卷数学（文）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． CDCDADCB二．填空题：本大题共6小题，每小题5分． 9． 20x y -+= ． 10． 28 ． 11． 44 ．12. xe . 13．_－3__． 14． .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.解：（1）1(1)n n a -=-或n a n =；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++． 解析：（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-， 即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+1(1)n n a -∴=-或n a n=（2）由0n a >，n a n ∴=，1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111323[(1)()()][1]2324222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-++-=+--=-+++16.解：（1）解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为1242+π得41212||22πωπ+=+）（∴2=ω函数()f x x ωϕ=+）的图象的一个对称中心为），（012π∴2,12k k Z πϕπ⨯+=∈911-或22πϕπ<<-∴6πϕ=-(2) 由（1）知：)62sin(3(π-=x x f ）∴43sin 3]6)122(2sin[3122(==-+=+αππαπα）f∴41sin =α20πα<< ∴415cos =α∴8230411522)cos sin 22)4cos(-=-⨯=-=+ααπα（ 17.（1）易知123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455x y ++++++++====，522222211234555ii x==++++=∑ ，ni i i=1n222i i=1x y -nxy18.853 1.04b==0.325553x -nx-⨯⨯=-⨯∑∑， a=y-bx 1.040.3230.08=-⨯= 则y 关于x 的线性回归方程为0.320.08y x =+，当6x =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. （2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y 人， 由分层抽样的定义可知6301020x y==，解得2,4x y == 在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为12A A ，，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为1234,,,B B B B ，则所有的抽样情况如下：{}{}{}{}{}{}{}{}121122123124112113114123,,,,A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A B A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}{}{}{}{}124134212213214223224234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}123124134234,,,,,B ,,,,,,B B B B B B B B B B B 共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则16()0.820P A == 18．(1)证明：∵,2AB AD AB AD ⊥==，∴BD = 又PBD ∆为正三角形，所以PB PD BD ===又∵2,AB PA ==AB PB ⊥， 又∵,//AB AD BC AD ⊥，∴,AB BC PBBC B ⊥=，所以AB ⊥平面PBC ，又因为AB ⊥平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PBC .6分 (2)如图，连接AC 交BD 于点O ，因为//BC AD ， 且2AD BC =，所以2OD OB =，连接OE ，因为//PB 平面ACE ，所以//PB OE ，则//2DE PE ， 由(1)点P 到平面ABCD 的距离为2， 所以点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=， 所以111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --∆⎛⎫===⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 即四面体A CDE -的体积为89.12分 19.（1）因为椭圆C 的焦点为，可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以222231143a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()()0000,0,0P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640xy x x x y +-+-=．（*） 12(F F因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()()22222200024443644820x x y y y x∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为)．②因为三角形OAB，所以1262AB OP=，从而AB =．设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,2024x x y=+，所以()()()()222222012122222048214y x x AB x x y y y x y -⎛⎫=-+-=+ ⎪+⎝⎭．因为22003x y +=，所以()()20222016232491x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得()22005202x x ==舍去，则2012y =，因此P 的坐标为2⎝⎭．综上，直线l 的方程为y =+． 20．(1)由()32f x x x bx =++，得()232f x x x b '=++，因()f x 在区间[]1,2上不是单调函数， 所以()232f x x x b '=++在[]1,2上最大值大于0，最小值小于0，()221132333f x x x b x b ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭，∴()()max min 16050f x b f x b '⎧=+>⎪⎨'=+<⎪⎩，∴165b -<<-.(2)由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-，∵[]1,e x ∈，∴ln1x x ≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，即ln 0x x ->，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭，令()[]()22,1,e ln x x t x x x x -=∈-，求导得()()()()2122ln ln x x x t x x x -+-'=-，当[]1,e x ∈时，10x -≥，0ln 1x ≤≤，22ln 0x x +->，从而()0t x '≥， ∴()t x 在[]1,e 上是增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-.(3)由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧， 不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠，∵POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ =，∴()()2320t F t t t -++= (*) 是否存在,P Q 等价于方程(*)在0t >且1t ≠是否有解， ①当01t <<时，方程(*)为 ∴()()232320t t t tt -+-++=，化简4210t t -+=，此方程无解；②当1t >时，方程(*)为()232ln 0t a t t t -++=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解，∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上.。
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北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2.复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：化简复数z，写出它的虚部即可．详解：∵复数z====﹣i，∴z的虚部是﹣1．故选：D．点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．详解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形=×16=4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴影=2π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P=1﹣=1﹣π，故选：A．点睛：几何概型问题时，首先分析基本事件的总体，再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积.4.阅读如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的k值是（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行；第二次运行；…∴第次运行，当输入时，由得，程序运行了次，输出的值为．考点：程序框图.5.已知三棱柱的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图①所示，，，分别是三边的中点）后得到的几何体如图②，则该几何体的侧视图为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 因为平面平面，所以几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选A ．6.中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了 A. 60里 B. 48里C. 36里D. 24里【答案】D 【解析】 【分析】 每天行走的里程数是公比为的等比数列，且前和为，故可求出数列的通项后可得.【详解】设每天行走的里程数为，则是公比为的等比数列，所以，故（里），所以（里），选C.【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题. 7.的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则角（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】由正弦定理可得，可得，，由，可得，，由为三角形内角，可得，由正弦定理可得由，可得，故选D.8.已知直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为（）A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】∵直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得.故选B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.若变量，满足不等式组则的最大值为__________．【答案】1【解析】表示到的斜率，由可行域可知，过点或时，斜率最大，即。
点睛：本题考查线性规划的应用。
首先要正确表示可行域，特别是区域的判断，一般利用特殊点法。
然后要掌握线性最值的求解，一般是直线平移，本题考查的几何性质是两点斜率，要掌握常见的几种几何性质。
10.如图，有5个全等的小正方形，，则的值是__________．【答案】1【解析】由平面向量的运算可知，而，所以，注意到不共线，且，即，所以，即．11.已知四棱锥的外接球为球，底面是矩形，面底面，且，，则球的表面积为__________．【答案】【解析】设球心为，半径为，到底面的距离为，∵四棱锥的底面是矩形，侧面是等边三角形，且有侧面底面，∴四棱锥的高为，底面矩形外接圆半径为，∴，∴，∴，∴四棱锥的外接球表面积为，故答案为.12.如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若，，设的面积为，正方形的面积为，当固定，变化时，则的最小值是__________．【答案】【解析】，令，则，，函数在上递减，因此当时，有最小值，，此时，当时，“规划合理度”最小，最小值为，故答案为.13.如图所示，格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是__________．【答案】【解析】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体为边长为2的正方体中挖去一个圆锥，数形结合可得答案．【详解】解：该几何体直观图为边长为2的正方体中挖去一个如图所示的圆锥，∴该几何体的表面积为S＝6×22+π×1π＝24+π（1），故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键，属于中档题．14.已知首项为2的数列的前项和满足：，记，当取得最大值时，的值为__________．【答案】8【解析】因为，所以，所以.所以，因为，所以，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，所以，即，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，即.所以，因为对称轴，所以当时，取得最大值故答案为：8.点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；（2）可以用或；（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设数列{a n}的前n项之和为，数列{b n}满足.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}前n项之和T n.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用递推关系，两式作差即可得出；（2），利用“分组求和法”与“裂项求和”方法即可得出．【详解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝3，由得∴a n＝S n－S n－1＝3n(n≥2)又a1也符合，∴a n＝3n(n∈N＋)(2)所以.【点睛】本题考查了“分组求和法”、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.函数在它的某一个周期内的单调减区间是．将的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值为1，最小值为【解析】试题分析：根据已知及周期公式求得的值，然后求出的值，从而可求出的解析式，进而得到确定的单调性，然后求出最值解析：（1）,又，（2） g(x)在为增函数，在上为减函数，所以，,故函数在上的最大值和最小值分别为1和-17.已知长轴长为4的椭圆过点，点是椭圆的右焦点.(1)求椭圆方程；(2)是否在轴上的定点，使得过的直线交椭圆于两点.设点为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在定点满足条件.【解析】分析：（1）根据题意得到和，从而得椭圆方程；（2）设，直线方程为，与椭圆联立得，设，，则，由三点共线有：，即，结合韦达定理即可得解.详解：（1），，点代入有：椭圆方程为：（2）存在定点满足条件：设，直线方程为，联立消有，设，，则，且由三点共线有：，存在定点满足条件.点睛：本题考查了直线与椭圆、圆与椭圆的位置关系，在求解此类问题时设出直线方程，联立直线方程与曲线方程，结合根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积，然后按照题目要求给出各量之间的关系，从而计算出结果，本题需要一定的计算能力.18.如图，在棱长为的正方体中，，分别在棱，上，且.（1）求异面直线与所成角的余弦值.（2）求四面体的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过补形法得到异面直线A1E与C1F所成的角，利用余弦定理求解；（2）证明平面，然后利用等积法求四面体的体积．【详解】（1）在正方体中，延长至，使，则.∴.∴为异面直线与所成的角.在中，，，∴.（2）在上取一点，使.∴，从而，平面，∴.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查了利用等积法求多面体的体积，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．19.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度（单位：分贝）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量（，2，…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．表中，．（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且．已知点的声音能量等于声音能量与之和．请根据（1）中的回归方程，判断点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.【解析】分析：（1）根据散点图，可知（2）利用回归系数公式先求出D关于w的回归方程，再转化为D关于I的回归方程；（3）利用对数的运算性质和基本不等式求出I的最小值，计算的最小值，从而作出判断．详解：（1）更适合．（2）令，先建立关于的线性回归方程，由于，∴，∴关于的线性回归方程是，即关于的回归方程是．（2）点的声音能量，∵，∴，根据（1）中的回归方程，点的声音强度的预报值，∴点会受到噪声污染的干扰．点睛：求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数：公式有两种形式，即。
当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；（3）求：；（4）写出回归直线方程．20.已知函数，.（1）若时，求函数的最小值；（2）若，证明：函数有且只有一个零点；（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）最小值；（2）见解析；（3）.【解析】分析：（1）当时，得到，求得，得出函数的单调性，即可求解函数的最小值.（2）由，得，分类讨论，即可证得当时，函数在上有零点. （3）由（2）知，设这个零点为，求得函数在上单调递减；在上单调递增，要使函数在上有两个零点，只需要函数的极小值，即，求得，再作出证明即可.详解：（1）当时，，∴.令，得，当时，；当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴当时，有最小值.（2）由，得，∴当时，，函数在上单调递减，∴当时，在上最多有一个零点.∵当时，，，∴当时，函数在上有零点.综上，当时，函数有且只有一个零点.（3）由（2）知，当时，在上最多有一个零点.∵有两个零点，∴.由，得.令，∵，，∴在上只有一个零点，设这个零点为，当时，，；当时，，；∴函数在上单调递减；在上单调递增，要使函数在上有两个零点，只需要函数的极小值，即.∵，∴，可得，又∵在上是增函数，且，∴，，由，得，∴，即.以下验证当时，函数有两个零点.当时，，，∴.∵，且，∴函数在上有一个零点.又∵（因），且，∴在上有一个零点，∴当时，函数在内有两个零点.综上，实数的取值范围是.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.。