2019年全国I卷高考文科数学真题及答案

2019年全国I 卷高考文科数学真题及答案

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的。 1.设3i

12i

z -=+,则z = A .2

B .3

C .2

D .1

2.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则

A .{}1,6

B .{}1,7

C .{}6,7

D .{}1,6,7

3.已知0.20.3

2log 0.2,2,0.2a b c ===,则

A .a b c <<

B .a c b <<

C .c a b <<

D .b c a <<

4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

51-(

51

2

-≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

51

2

-.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26cm ,则其身高可能是

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A .165 cm

B .175 cm

C .185 cm

D .190cm

5.函数f (x )=

2

sin cos x x

x x

++在[-π,π]的图像大致为

A .

B .

C .

D .

6.某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是 A .8号学生 B .200号学生

C .616号学生

D .815号学生

7.tan255°= A .-2-3

B .-2+3

C .2-3

D .2+3

8.已知非零向量a ,b 满足a =2b ,且(a -b )⊥b ,则a 与b 的夹角为 A .

π6

B .

π3

C .

2π3

D .

5π6

9.如图是求

112122

+

+的程序框图,图中空白框中应填入

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A .A =

12A

+ B .A =12A

+

C .A =

1

12A

+

D .A =112A

+

10.双曲线C :22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为

A .2sin40°

B .2cos40°

C .

1

sin50?

D .

1

cos50?

11.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14

,则

b c

=

A .6

B .5

C .4

D .3

12.已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -,过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,

1||||AB BF =,则C 的方程为

A .2212x y +=

B .22132x y +=

C .22

143x y +=

D .22

154

x y +=

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.曲线2

)3(e x

y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________.

14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若133

1

4

a S ==,,则S 4=___________. 15.函数3π

()sin(2)3cos 2

f x x x =+

-的最小值为___________.

16.已知∠ACB=90°,P 为平面ABC 外一点,PC =2,点P 到∠ACB 两边AC ,BC P 到平

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面ABC 的距离为___________.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:60分。 17.(12分)

某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:

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(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?

附:

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

P(K2≥k)0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

18.(12分)

记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S9=-a5.

(1)若a3=4,求{a n}的通项公式;

(2)若a1>0,求使得S n≥a n的n的取值范围.

19.(12分)

如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.

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(1)证明:MN∥平面C1DE;

(2)求点C到平面C1DE的距离.

20.(12分)

已知函数f(x)=2sin x-x cos x-x,f′(x)为f(x)的导数.

(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;

(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.

21.(12分)

已知点A,B关于坐标原点O对称,│AB│=4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.

(1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径;

(2)是否存在定点P ,使得当A 运动时,│MA │-│MP │为定值?并说明理由.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4?4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22

21141t x t t y t ?-=??+??=?+?

,(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正

半轴为极轴建立极坐标系,直线l

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的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值. 23.[选修4?5:不等式选讲](10分)

已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1.证明: (1)

222111

a b c a b c

++≤++; (2)3

3

3

()()()24a b b c c a +++≥++.

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学·参考答案

一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.B

5.D

6.C 7.D

8.B

9.A

10.D 11.A

12.B

二、填空题

13.y =3x 14.

58

15.?4

16

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三、解答题 17.解:

(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为40

0.850

=,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.

女顾客中对该商场服务满意的比率为

30

0.650

=,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.

(2)2

2

100(40203010) 4.76250507030

K ??-?=

≈???. 由于4.762 3.841>,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18.解:

(1)设{}n a 的公差为d . 由95S a =-得140a d +=. 由a 3=4得124a d +=. 于是18,2a d ==-.

因此{}n a 的通项公式为102n a n =-.

(2)由(1)得14a d =-,故(9)(5),2

n n n n d

a n d S -=-=

. 由10a >知0d <,故n n S a …

等价于2

11100n n -+…,解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟

. 19.解:

(1)连结1,B C ME .因为M ,E 分别为1,BB BC 的中点,所以1 ME B C ∥,且11

2

ME B C =

.又因为N

为1A D 的中点,所以11

2

ND A D =

. 由题设知11=A B DC ∥,可得11=BC A D ∥,故=ME ND ∥,

因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ED ∥.又MN ?平面1C DE ,所以MN ∥平面1C DE . (2)过C 作C 1E 的垂线,垂足为H .

由已知可得DE BC ⊥,1DE C C ⊥,所以DE ⊥平面1C CE ,故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ,故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离, 由已知可得CE =1,C 1C =4,所以117C E =,故417

CH =

. 从而点C 到平面1C DE 的距离为

417

.

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20.解:

(1)设()()g x f x '=,则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2

x ∈时,()0g x '>;当π,π2x ??∈ ???时,()0g x '<,所以()g x 在π(0,)2单调递增,在π,π2??

???

调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ??

=>=-

???

,故()g x 在(0,π)存在唯一零点.

所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.

(2)由题设知(π)π,(π)0f a f =…,可得a ≤0.

由(1)知,()f x '在(0,π)只有一个零点,设为0x ,且当()00,x x ∈时,()0f x '>;当()0,πx x ∈时,

()0f x '<,所以()f x 在()00,x 单调递增,在()0,πx 单调递减.

又(0)0,(π)0f f ==,所以,当[0,π]x ∈时,()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈…时,ax ≤0,故()f x ax …. 因此,a 的取值范围是(,0]-∞.

21.解:(1)因为M e 过点,A B ,所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上,且,A B 关

于坐标原点O 对称,所以M 在直线y x =上,故可设(, )M a a . 因为M e 与直线x +2=0相切,所以M e 的半径为|2|r a =+.

由已知得||=2AO ,又MO AO ⊥u u u u r u u u r ,故可得22

24(2)a a +=+,解得=0a 或=4a .

故M e 的半径=2r 或=6r .

(2)存在定点(1,0)P ,使得||||MA MP -为定值. 理由如下:

设(, )M x y ,由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .

由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ,故可得2224(2)x y x ++=+,化简得M 的轨迹方程为2

4y x =.

因为曲线2

:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点,以直线1x =-为准线的抛物线,所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---,所以存在满足条件的定点P .

22.解:(1)因为221111t t --<≤+,且()

2

2

2

22

222141211y t t x t t ??-??+=+= ? ?+????+,所以C 的直角坐标方程为2

2

1(1)4

y x x +=≠-.

l

的直角坐标方程为2110x +=.

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(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,

2sin x y αα

=??

=?(α为参数,ππα-<<).

C 上的点到l

π4cos 11

α?

?-+ ?=.

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当2π3α=-

时,π4cos 113α?

?-+ ??

?取得最小值7,故C 上的点到l

.

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23.解:(1)因为2

2

2

2

2

2

2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥,又1abc =,故有

222111

ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c

++++≥++=

=++.

所以

222111

a b c a b c

++≤++. (2)因为, , a b c 为正数且1abc =,故有

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333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c

3≥???

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=24.

所以3

3

3

()()()24a b b c c a +++++≥.

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