2015年东北大学理学院432统计学[专业硕士]考研真题(回忆版)(含部分答案)【圣才出品】

答：因为
则 ＝3， ＝4。
则由期望和方差的性质可得：
E Y ＝E 2X＋3 ＝2 × E X ＋3＝2 × 3＋3＝9 D Y ＝D 2X＋3 ＝4 × D X ＝4 × 4＝16
2．请叙述估计量的无偏性、有效性的概念，并说明意义。 答：无偏性和有效性是评价估计量好坏的两个重要标准，二者的概念和意义分别如下： （1）无偏性 ①概念 无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。设总体参数为θ，所选 择的估计量为 ，如果 E（ ＝θ，则称 为θ的无偏估计量。无偏性的含义是，估计量 是 一随机变量，对于样本的每一次实现，由估计量算出的估计值有时可能偏高，有时可能偏低， 但这些估计值平均起来等于总体参数的真值。在平均意义下，无偏性表示没有系统误差。 ②意义 一个好的估计量首先必须是无偏估计量。 （2）有效性 ①概念 有效性是指估计量与总体参数的离散程度。离散程度是用方差度量的，因此对同一总体 参数的两个无偏估计量，有更小标准差的估计量更有效。假定有两个用于估计总体参数的无 偏估计量，分别用 和 表示，它们的抽样分布的方差分别用 D（ ）和 D（ ）表示，
ln L σ2
n
＝nln（ 1 ）＋（ σ 2π
1 − 2σ2
xi − μ 2）
i＝1
对 求导数：
dln(L σ2 ）
dσ2
＝0
可解得：
。
（2）由样本均值的抽样分布得
，因而，
。
在置信度为
进行区间估计：
由于
；
来代替
，
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3．设（X1，X2，…Xn）为独立同分布（iid）的随机变量，其分布函数为 F（·）。请给出
顺序统计量的定义，并计算极大次序统计量
的分布
函数。
答：（1）顺序统计量的定义
设简单随机样本（X1，X2，…Xn）来自总体 X，将随机样本从小到大排序为 X（1），X（2），…， X（n），则称 X（1），X（2），…，X（n）为顺序统计量。
（2）求参数 置信度为 1-α的置信区间。
解：（1）已知 ①
，所以
fx＝
1
e−
1 2σ2
2
（x−μ） ，
−
∞
ᗀ
＋∞
σ 2π
：
构造最大似然函数：
Lμ＝
n
f
xi
1
n
＝（
）e
σ 2π
n i＝1
−
1 2σ2
（xi
2
−μ）
i＝1
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如果 的方差小于 的方差，即 D（ ）<D（ ），就称 是比 更有效的一个估计量。 在无偏估计的条件下，估计量的方差越小，估计就越有效。
②意义 有效性是比较两个无偏估计量哪个更优良的重要性质，一般选择无偏估计量中最有效的 估计量作为对原有参数的估计量。
样本均值
；
众数为出现频数最多的数据，本组数据中众数为 1； 中位数为将数据排序后处于中间位置的数据，本组数据中中位数为 1。 （2）求得 X 的一阶矩为：
E x ＝0 × θ＋1 × θ＋2 × 1 − 2θ ＝2 − 3θ 令总体矩等于样本矩，则：
解得
：。
2．设
的随机样本，
（1）求参数
的极大似然估计量。
（2）求极大次序统计量
由于
则：
极大次序统计量
的分布函数为 G（ ）＝P
（
），即：G（ ）＝P
（ 。
三、计算和分析题
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1．已知变量 X 的分布为
，16 个样本中取 0,1,2 的个数分布为
5,6,5. （1）计算样本均值、众数、中位数。 （2）求 的矩估计。 解：（1）16 个样本中取 0，1，2 的个数分别为 5，6，5,由此可得：
将似然函数两边取对数：
ln L
n
＝nln（ 1 ）＋（ σ 2π
1 − 2σ2
xi − μ
2）
i＝1
对 求导数：
dln （L μ ）
n1
dμ
＝（ − σ2 xi − μ ）＝0
i＝1
可解得：
。
②
：
构造最大似然函数：
L σ2 ＝
f
xi
1
n
＝（
）e
σ 2π
n i＝1
−
1 2σ2
（xi
2
−μ）
＝1
将似然函数两边取对数：
2
＝ᗀ
＝ᗀ
ᗀ −ᗀ 2
＝1
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二、简答题
1．已知 X～N（3,4）且 Y=2X+3，求 E（Y）与 D（Y）。