函数题(困难)

三角函数1．已知二次函数2(),(0)f x ax bx c a =++≠,且不等式()2f x x <的解集为(12)-，.(1) 方程()30f x a +=有两个相等的实根,求()f x 的解析式.(2) ()f x 的最小值不大于3a -,求实数a 的取值范围.(3) a 如何取值时,函数2()()y f x x a x m =--+(||1>)存在零点,并求出零点.2．（Ⅰ）已知函数()y f x =,若存在0x ，使得()00f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一个不动点，设二次函数()()212f x ax b x b =+++-.(Ⅰ) 当2,1a b ==时，求函数()f x 的不动点；(Ⅱ) 若对于任意实数b ，函数()f x 恒有两个不同的不动点，求实数a 的取值范围； (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若函数()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围. 3．设函数()(01,)xxf x ka a a a k R -=->≠∈且， ()f x 是定义域为R 上的奇函数． （1）求k 的值，并证明当1a >时，函数()f x 是R 上的增函数；（2，函数22()4()x xg x a a f x -=+-，[1,2]x ∈，求()g x 的值域； （3）若4a =，试问是否存在正整数λ，使得(2)()f x f x λ≥⋅对若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由． 4．（本小题满分14分）已知函数y ＝x ＋有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）研究函数y ＝2x ＋（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋和y ＝2x ＋（常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．（4）（理科生做）研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F（n 是正整数）在区间2]上的最大值和最小值（可利用的研究结论）．参考答案1．（3）当1a =时有一个零点；当0a >且1a ≠时有2个零点. 【解析】试题分析：(1)因为()2f x x <的解集为(12)-，，所以-1和2是方程f(x)-2x=0的两个根，得到a 、b 、c 之间的关系，又由于方程()30f x a +=有两个相等的实根，所以利用判别式为0可以求出a 、b 、c 的值，从而求出函数解析式.(2)因为函数图像是开口向上的抛物线，所以最小值在顶点处取得，所以得到顶点的纵坐标后，让纵坐标小于等于-3a 就行了.(3)先判断方程是不是一元二次方程，如果是一元一次方程就直接求方程的根，如果是一元二次方程就需要讨论判别式，讨论方程是不是有根.试题解析：∵()2f x x <的解集为(12)-，, ∴220ax b x c +-+<（）的解集为(12)-，, 1分∴0a >,且方程220ax b x c +-+=（）的两根为12-和 即202a4402a b c b a b c c a-++==-⎧⎧⇒⎨⎨+-+==-⎩⎩2，∴2()(2)2,(0)f x ax a x a a =+--> 2分 （1）∵方程()30f x a +=有两个相等的实根,即2(2)0ax a x a +-+=有两个相等的实根 ∴222(2)403440a a a a ∆=--=⇒+-=,∴2a =-或分∵0a >,∴分（2∵0a >,∴()f x 的最小值为分,23440a a +-≤,分 ∵0a >,∴分（3得2(1)2(2)0a x x a m -+-+= (※)①当1a =时,方程(※) 函数2()()y f x x ax m =--+有一零点 9分 ②当1a ≠时, 24[2(2)(1)]a m a m ∆=+-+-方程(※)有一解24[2(2)(1)]0a m a m ⇔∆=+-+-=, 令214440m m ∆=+-≥∵||1m >即11m m ><-或，∴ i)当1m >，函数2()()y f x x ax m =--+有一零点分 ii) 时，α的两根都为正数，∴当 函数2()()y f x x ax m =--+有一零点分 ⅲ) 时，214440m m ∆=+-<，∴0∆> ③方程(※)有二解24[2(2)(1)]0a m a m ⇔∆=+-+->,ⅰ）若1m >,214440m m ∆=+->，,），函数2()()y f x x ax m =--+有两个零 12分时，214440m m ∆=+->，a 的两根都为正数，∴当函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点分ⅲ) 时，214440m m ∆=+-≤，∴0∆>恒成立， ∴α取大于0(1α≠)的任意数，函数2()()y f x x a x m=--+有两个零点1)-14分考点：1.函数解析式的求法；2.二次函数最小值的求法；3.分式不等式的解法；4.含参方程的解法.2．(Ⅰ)函数()f x 的不动点为。

（Ⅱ）02a << （Ⅲ）实数b 的取值范围 【解析】 试题分析：思路分析：(Ⅰ) 解方程确定函数()f x 的不动点为。

（Ⅱ）由题意，得到方程2(1)2ax b x b x +++-=恒有两个不相等的实数根， 根据判别式24(2)0x b a b ∆=-->，解得 02a <<。

（Ⅲ）设函数()f x 的两个不同的不动点为12,x x 得到()11,A x x ,()22,B x x ，且12,x x 是220ax bx b ++-=的两个不等实根， 直至AB 中点坐标为1k =-，且a,b 的关系。

解：(Ⅰ) 当2,1a b ==时，2()221f x x x =+-， 解2221x x x +-=，得所以函数()f x 的不动点为。

（Ⅱ）因为 对于任意实数b ，函数)(x f 恒有两个不同的不动点， 所以，对于任意实数b ，方程()f x x =恒有两个不相等的实数根， 即方程2(1)2ax b x b x +++-=恒有两个不相等的实数根， 所以 24(2)0x b a b ∆=-->，即 对于任意实数b ，2480b ab a -+>，所以 2(4)480b a a ∆=--⨯<，解得 02a <<（Ⅲ）设函数()f x 的两个不同的不动点为12,x x ，则()11,A x x ,()22,B x x 且12,x x 是220ax bx b ++-=的两个不等实根，直线AB 的斜率为1，线段AB 中点坐标为因为 是线段AB 的垂直平分线， 所以 1k =-，且则(0,2)a ∈当且仅当1(0,2)a =∈时等号成立 又 0b <所以 实数b 的取值范围 考点：新定义问题，均值定理的应用，一元二次方程根的研究。

点评：难题，本题给出“不动点”的概念，解题过程中，应注意理解并应用这一概念。

将问题转化成一元二次方程问题，结合直线方程，应用均值定理，达到解题目的。

3．（1）如下（23）存在正整数λ=3或4 【解析】试题分析：解：（1）()x x f x ka a =- 是定义域为R 上的奇函数， (0)0f ∴=，得1k =． 此时，()x x f x a a -=-，()()x x f x a a f x --=-=-，即()f x 是R 上的奇函数． 设21x x >，则 1a > ，21x x a a ∴>，21()()0f x f x ∴->， ()f x ∴在R 上为增函数．（2，即22320a a --=，2a ∴=， 222()224(22)(22)4(22)2x x x x x x x x g x ----∴=+--=---+令22(12)x x t x -=-≤≤，由（1）知()t h x =在[1，2] 22()()42(2)2g x t t t t ϕ∴==-+=--，时，()g x 有最大值；当2t =时，()g x 有最小值2-， ∴()g x 的值域（3）22(2)44x x f x -=-=(44)(44)x x x x --+⋅-，()44x x f x -=-， 假设存在满足条件的正整数λ，则(44)(44)(44)x x x x x x λ---+⋅-≥⋅-， ①当0x =时，R λ∈．时，440x x -->，令4xu =，则(]1,2u ∈，在(]1,2u ∈上是增函数，∴440x x --<4x u =，∵λ是正整数，∴λ=3或4． ∴存在正整数λ=3或4，使得(2)()f x f x λ≥⋅对 考点：函数的单调性点评：本题难度较大。

函数的单调性对求最值、判断函数值大小关系和证明不等式都有较大帮助，而求函数的单调性有时可以结合导数来求。

4．解：（1（2）y ＝2x ＋易知，（3当n 为奇数时，，y 是减函数；，y 是增函数。

，y 是增函数；，y 是减函数。

当n 为偶数时，，y 是减函数；，y 是增函数。

y 是减函数；，y 是增函数。

（4）（理科生做）)(x F ＝时，1min 2+=n y 。

，y 是减函数；[]2,1∈x ，y 是增函数。

∴函数)(x F ＝2]为12+n 。

【解析】略。