临考押题卷01-2020年高考数学临考押题卷(天津专版)(原卷和解析)
临考押题卷02-2020年高考数学临考押题卷(天津专版)(解析版)
2020年高考临考押题卷（二）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单选题1．已知集合2{|24},{|}x A x B x x x =<=>，则A B =U （ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0)(1,2)-∞UC ．(,0)(1,4)-∞UD ．R【答案】D【解析】{|2},{|01},A x x B x x x A B =<=<>∴=R U 或． 2．复数z 满足()12z i i +=，则复数z 的共轭复数是（ ）A ．1i +B ．1i -C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】由(1)2z i i +=，得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-， ∴1z i =-，3．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50% 【答案】D【解析】对于A ，2016年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为6.30.8100%687.5%0.8-⨯=，高于2018年的增长率47.723.2100%105.6%23.2-⨯≈，A 错误；对于B ，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是21.4，故中位数为21.4万台，B 错误； 对于C ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为4.914.121.430.044.723.025++++=万台，C 错误；对于D ，从2017年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为52.0%，61.4%，57.5%，均超过50%，D 正确.4．已知a i j =+r r ，2b i =r r，其中i r ，j r 是互相垂直的单位向量，则3a b -=r r （ ）A．B．C ．28D ．24【答案】A【解析】a i =r r Q ，2b i =r r，且i r ，j r 是互相垂直的单位向量3325a b i j i i ∴-=-⨯=-r r r r r ，0i j ⋅=r r3a b ∴-====r r5．在ABC V 中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC V 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】B 【解析】sin sin sin cos cos B CA B C+=+Q ，∴由正弦定理及余弦定理可得22222222b ca a cb a bc ac ab+=+-+-+，22222222a c b a b c a a b c ac ab +-+-∴⨯+⨯=+，22222222a c b a b c b c c b+-+-∴+=+，()()2222222222b a c b c a b c bc b c ∴+-++-=+， 223322a b a c b c b c bc ∴+--=+，()()()()222a b c c b b c bc b c bc ∴+-++-=+，222a b c ∴=+，ABC ∴V 是直角三角形.6．已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2y kx =-与C 交于A ，B 两点，若FA 为HFB ∠的角平分线，且||2||AB AH =，则||AF =( ) A ．2 B ．83C ．3D ．4【答案】B【解析】如图,连接AF ,BF ,过A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为M ,N ,易知(0,2)F ,(0,2)H -,||4FH =.由角平分线定理可得||||2||||BF BA FH AH ==,则||||1||||3AH AM BH BN ==.∵||||2||8BN BF FH ===,∴8||||3AM AF ==.7．关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【解析】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==Q ，()f x ∴为偶函数，①正确；令()0f x =，则0x =或sin 0x =，当sin 0x =时，0x =或x π=-或x π=，()f x ∴的零点为0x =或x π=-或x π=，共3个，②正确； ()sin cos f x x x x '=+Q ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，cos 0x >，()0f x '∴>， ()f x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，③正确.8．已知函数()()222sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以223562πωπωππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，所以02ππω≤≤， 所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 9．存在两个正实数x ，y ，使得等式(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-，其中e 为自然对数的底数，则a 的范围为（ ） A ．(,0)-∞ B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1(,0),e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-得(2)ln 0yx a y ex x+-=， 即1(2)ln 0y ya e x x+-=， 即设yt x=，则0t >， 则条件等价为1(2)ln 0a t e t +-=， 即1(2)ln t e t a-=-有解， 设()(2)ln g t t e t =-，2()ln 1eg t t t'=+-为增函数， ()g e 'Q 2ln 11120ee e=+-=+-=， ∴当t e >时，()0g t '>，当0t e <<时，()0g t '<，即当t e =时，函数()g t 取得极小值，为()ge (2)ln e e e e =-=-，即()g t g …（e ）e =-， 当0t→时，()(2)ln +g t t e t =-→∞，当x →+∞时，()(2)ln +g t t e t =-→∞.若1(2)ln t e t a -=-有解， 则1e a--…，即1e a„， 则0a <或1a e…， 二、填空题10．已知tan α=，则sin 2α=__________．【答案】3【解析】2222sin cos 2tan sin 22sin cos cos sin 1tan 3ααααααααα====++.11．在ABC V 中，60A =︒，2AB =，且ABC V AC =________；【答案】1【解析】由题得，ABC V 的面积为13sin 6022S AB AC =⨯=o ，解得1AC =. 12．在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）【答案】21【解析】721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()773177211rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令731r -=，得2r =，()227121C -=，故答案为21.13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 【答案】5【解析】1335,0,0,155x y xy x y y x+=>>∴+=Q ， ()13133121331234342555555555x y x yx y x y y x y xy x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x yy x=，即21x y ==时取等号． 14．已知四面体ABCD 中，26AB AD ==，43BD =，BCD ∆为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______. 【答案】64π 【解析】取BD 的中点E ，连接AE ，CE ， 取CE 的三等分点为O ，使得2CO OE =， 则O 为等边BCD ∆的中心.由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，CE BD ⊥，CE ⊥平面ABD .而22248AB AD BD +==，所以ABD ∆为等腰直角三角形，且E 为ABD ∆的外心， 所以OA OB OD ==，又OB OC OD ==， 所以O 为四面体ABCD 外接球的球心，其半径243r ==. 故四面体ABCD 外接球的表面积为24464S ππ=⋅=.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为__________.【答案】3【解析】取渐近线方程为by xa=，即0bx ay -=，()2,0F c 到直线的距离为3d ==，故3b =；122FQ QF =u u u r u u u u r ，则122PF PF =，122PF PF a -=，故14PF a =，22PF a =，根据余弦定理：2224416242cos60c a a a a =+-⨯⋅︒，整理得到：223c a =，故e =三、解答题16．为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关； 非网购达人 网购达人 总计 男 女 10 总计（2）将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“网购达人”有(0.0200.005)1010025+⨯⨯=（人）.补充完整的22⨯列联表如下：非网购达人 网购达人 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计752510022100(30104515)100 3.030 2.7067525455533K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关.（2）由频率分布直方图知，“网购达人”对应的频率为0.0200.0051025(.)0+⨯=， 将频率视为概率即从该地随机抽取1名网民，该网民是“网购达人”的概率为14. 由题意知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 从而X 的分布列为 X1 2 3P2764 2764 964 164由二项分布的数学期望与方差公式得13()344E X np ==⨯=， 139()(1)34416D X np p =-=⨯⨯=，17．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值. 【解析】(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ⊆平面11A B E ，故EFBC ⊥.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH=，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==，据此可得：()()()1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B的坐标为132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用中点坐标公式可得：34F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于()0,0,0E ， 故直线EF的方向向量为：34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则：()()133,,3302233,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩， 据此可得平面1A BC的一个法向量为()m =u r，34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r此时4cos ,5EF m EF m EF m ⋅===⨯u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55EF m θθ===u u u r u r . 18．给定()3,n n n N *≥∈个不同的数1、2、3、L 、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ；（2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1kk N k n *∈≤≤使得2k n S S =；②求n T （用n 表示）．【解析】（1）1、2、3的所有排列为1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1. 因为36S =，所以对应的P k 分别为2、1、2、1、1、1，所以38T =；（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ，因为41n l =+，l N *∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =（ii ）因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+①，且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②，考虑排列P 的对应倒序排列:P 'n a 、1n a -、L 、1a ，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++，由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-；又1、2、3、L 、n 这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． 19．已知直线l 与椭圆22:162x y C +=交于不同的两点A ，B . （1）若线段AB 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||||FN AB 为定值. 【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ， 则22112222162162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2112211213y y x x x x y y -+=-⨯-+，AB Q 中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，2121l y y k x x -=-，12233l k ∴=-⨯=-， ∴直线l 的方程为：()12123y x -=--，即：4670x y +-=. （2）由椭圆方程知：()2,0F -，可设直线l 的方程：()2y k x =+，联立()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()222213121260k x k x k +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则21221213k x x k +=-+，212212613k x x k -=+， ()3121222124441313k k y y k x x k k k k∴+=++=-+=++， 21226213x x k k +∴=-+，1222213y y k k +∴=+， 当0k =时，AB =2FN =，FNAB ∴=； 当0k ≠时，AB 的垂直平分线方程为：2222161313k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 令0y =得：22413k x k =-+，224,013k N k ⎛⎫∴- ⎪+⎝⎭，()222221421313k k FN k k +∴=-+=++，AB ==Q )22113k k +=+， ()2222113k FN AB k +∴==+； 综上所述：FN AB 20．已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +> （1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.【解析】(1)当34a =-时，()3ln 4f x x =-+()0,∞+，且： ()3433'4x x f x x -+=-== 因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3.(2)由1(1)2f a ≤，得0a <≤当04a <≤时，()fx ≤2ln 0x≥， 令1t a=，则t ≥ 设()22ln gt t x =，t ≥，则2()2ln g t t x =--， （i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤则()2ln g xg x =…，记1()ln ,7p xx x =≥，则1()p x x '=-==列表讨论：()(1)0,()2()0p x p g t g p x ∴=∴=厖?（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q x'=+>， 故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x ≤，综上所述，所求的a 的取值范围是0,4⎛⎝⎦．。
2020年高考数学仿真押题试卷(Word版,含答案解析)
高考数学仿真押题试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z i -=，则下列关于复数z 说法正确的是( ) A ．1z i =--B ．||2z =C ．2z z =D ．22z =【解析】解：由(1)2i z i -=，得，故A 错；||z =B 错；2||2z z z ==，故C 正确；，故D 错误．【答案】C ．2．命题“x R ∀∈，210x x -+…”的否定是( ) A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．0x R ∃∈，C ．0x R ∃∈，2010x x -+… D ．0x R ∃∈，2010x x -+… 【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题， 则命题的否定是：0x R ∃∈，【答案】B ．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．171B ．342C ．683D ．341【解析】解：根据程序框图可知：1i =1S =；2i =2S =；3i =3S =；4i =6S =；5i =，11S =；6i =22S =；7i =，43S =；8i =，86S =；9i =171S =；10i =，342S =；11i =683S =，1110i =>满足条件． 输出683S =， 【答案】C ．4．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且，则( )A ．4παβ-=B ．2παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【解析】解：由，可得，，即，又(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，则，．故，即22παβ+=．【答案】D ．5．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为()A B C．2 D．4【解析】解：作出可行域，的几何意义表示可行域中点(,)x y与定点(1,0)D-的距离的平方，可知当1y=时，目标函数取到最小值，x=，0最小值为，【答案】D．6．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A．27 B．24 C．18 D．12【解析】解：由三视图可知，该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为3，其体积为．【答案】B ．7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若1x ，2x R ∈，则“120x x +=”是“”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若120x x +=，则12x x =-， 则，即成立，即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时， 满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“120x x +=”是“”的充分不必要条件，【答案】A ． 8．已知函数，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，点3(0,)2-，(3π，0)，7(,0)3π在图象上，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则12()(f x x += )A ．3B ．32C ．0D ．32-【解析】解：由条件知函数的周期满足，即24ππω=，则12ω=， 由五点对应法得03πωϕ+=，即1032πϕ⨯+=，得6πϕ=-， 则，则，得3A =，即，在7(,)33ππ内的对称轴为，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则1x ，2x 关于43x π=对称， 则，则，【答案】D ． 9．若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,0)-D ．(2,0)-【解析】解：根据题意，圆的圆心为(1,0)，半径1r =，与x 轴的交点为(0,0)，(2,0)，设B 为(2,0)； 直线即，恒过经过点(0,1)，设(0,1)A ；当直线经过点A 、B 时，即2m =-，若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限， 必有20m -<<，即m 的取值范围为(2,0)-；【答案】D ．10．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为(2A ，2，1)，(2B ，2，1)-，(0C ，2，1)，(0D ，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．D ．6π【解析】解：通过各点的坐标可知，A ，B ，C ，D 四点恰为棱长为2的正方体的四个顶点，故此四面体与对应正方体由共同的外接球，故其表面积为：12π， 【答案】B ．11．设P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与(OQ O 为坐标原点）垂直，则P 到l 的距离的最小值的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，1]D ．(0，2]【解析】解：抛物线24y x =上的准线方程是1x =-设点Q 的坐标为(1,)t -，(0)t ≠． 则直线l 的方程为．设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+=．代入抛物线方程可得，由△，可得2m t =．故与直线l 平行且与抛物线相切的直线方程为20x ty t -+=．∴则P 到l 的距离的最小值．【答案】B ． 12．已知函数．若不等式()0f x >的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是( ) A ．(13ln -，0]B ．(13ln -，22]lnC ．(13ln -，12]ln -D ．[0，12]ln -【解析】解：，当10a -…时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，不满足条件，舍去．当10a -<时，，可得11x a=-时取得极大值即最大值．．而f （1）10a =->，f （2）20ln =>，∴必须f （3），f （4）．解得：．a ∴的取值范围是(13ln -，12]ln -．【答案】C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-，则实数λ= 2 ． 【解析】解：向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-；∴；2λ∴=． 【答案】2．14．若21(2)n x x -展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 60 ．【解析】解：若21(2)n x x-展开式的二项式系数之和为64，则264n =，6n ∴=．则展开式中的通项公式为，令1230r -=，求得4r =，可得常数项为426260C =， 【答案】60．15．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，且75a b +=，则cos(2)2πα+的值是 2425- ． 【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，∴由任意角的三角函数的定义得，sin b α=，cos a α=．75a b +=，可得：，∴两边平方可得：，可得：，解得：，∴．【答案】2425-． 16．图（1）为陕西博物馆收藏的国宝--唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯型几何体的主体部分可近似看作是双曲线的右支与直线0x =，4y =，2y =-围成的曲边四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图（2）．N ，P 分别为C 的渐近线与4y =，2y =-的交点，曲边五边形MNOPQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖恒原理（祖恒原理：幂势既同，则积不容异）．意思是：两登高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等．那么这两个几何体的体积相等）据此求得该金杯的容积是 18π ．（杯壁厚度忽略不计）【解析】解：由双曲线，得a =3b =，则渐近线方程为y =．设y h =在y 轴右侧与渐近线的交点N 的横坐标x ，与双曲线第一象限的交点M 的横坐标x =，∴金杯的容积是．【答案】18π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若点D 为BC 中点，且AD =4a =，求ABC ∆的面积．【解析】解：（1），，，1cos 2C ∴=-，0C π<<， 23C π∴=；（2）ADC ∆中，AD =4a =， 由余弦定理可得，，，，解可得4AC =，6AC =-（舍)，．18．如图，在三棱柱中，四边形11AA C C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，160A AC ∠=︒，90BCA ∠=︒．（Ⅰ）求证：11A B AC ⊥；（Ⅱ）已知点E 是AB 的中点，BC AC =，求直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．【解析】（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接1A O ， 由于平面ABC ⊥平面11AA C C ，1AO AC ⊥， 所以：1A O ⊥平面ABC ， 所以：1AO BC ⊥， 又BC AC ⊥，所以：BC ⊥平面1A AC ，又11AC AC ⊥，1A C 为1A B 的射影， 所以：11A B AC ⊥．（Ⅱ）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，(0A ，1-，0)，(2B ，1，0)，(0C ，1，0)，1(0C ，2，则：(2,2,0)AB =，，设(m x =，y ，)z 是平面11ABB A 的法向量， 所以：100m AB m BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2200x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩求得：，由(1E ，0，0) 求得：，直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．19．一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在20至60的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：（Ⅰ）为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关？（Ⅲ）现从该超市这200位顾客年龄在[55，60]的人中，随机抽取2人，记这两人中使用移支付的顾客为X 人，求X的分布列．附：【解析】解：（Ⅰ）根据图中数据，由频率估计概率，根据已知可预计该超市顾客使用移动支付的概率为：，所以超市当天应准备的环保购物袋个数为：．（Ⅱ）由（1）知列联表为：假设移动支付与年龄无关，则，，所以有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关．（Ⅲ）X可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：20．已知两点(2,0)A -、(2,0)B ，动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-．（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若H 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，则曲线E 上是否存在两点M ，N ，使得HMN ∆是以H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明满足条件的点M 、N 有几对；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，因为斜率PA k ，PB k 存在，故2x ≠±， 则2PA y k x =+，2PB yk x =-， 又动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-，所以，化简得，动点P 的轨迹E 的方程为：2214x y +=，(2)x ≠±（2）设能构成等腰直角三角形HMN ，其中H 为(0,1)，由题意可知，直角边HM ，HN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设HM 所在直线的方程为1y kx =+，（不妨设0)k >则HN 所在直线的方程为11y x k =-+，由求得交点28(14kM k -+，2281)14k k -++，（另一交点(0,1))H ，，用1k-代替上式中的k ，得，由||||HM HN =，得，，解得：1k =或k ．当HM 斜率1k =时，HN 斜率1-；当HM 斜率k =时，HN ；当HM 斜率k =时，HN ．21．设函数，实数[0a ∈，)+∞，是自然对数的底数，．（Ⅰ）若()0f x …在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若x e lnx m +…对任意0x >恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.3． 【解析】解：（Ⅰ），()0f x …在x R ∈上恒成立，12x e a x ∴+…，设()12x e h x x =+，，令()0h x '=，解得12x =， 当12x >，即()0h x '>，函数单调递增， 当12x <，即()0h x '<，函数单调递减， ，0a ∴<…故a的取值范围为；（Ⅱ）设，∴，()0g x '>，可得x >；()0g x '<，可得0x <．()g x ∴在，)+∞上单调递增；在上单调递减．， ，∴ 1.6>，() 2.3g x ∴>．由（Ⅰ）可得，x e lnx ∴-的最小值大于2.3，故若x e lnx m +…对任意0x >恒成立，则m 的最大值一定大于2.3． 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[极坐标与参数方程]22．已知直线l 的参数方程为，点(1,2)P 在直线1上．（1）求m 的值；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:4C ρ=与直线l 交于两点A 、B ，求||||PA PB 的值．【解析】解：（1）由于点(1,2)P 在直线1上．直线l 的参数方程为，故代入直线的参数方程得到：2m =+． （2）曲线1:4C ρ=，转换为直角坐标方程为：2216x y +=， 由于圆与直线l 交于两点A 、B ， 把直线的参数方程代入圆的方程得到：，故：12111(t t t =-和2t 为A 、B 对应的参数）． 故：．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数．（Ⅰ）若对(0,)…恒成立，求实数m的取值范围；f x ma∀∈+∞，()（Ⅱ）若f（2）1a<+，求a的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）0a>，a=时取等号，a>时，，当且仅当1，()…恒成立，f x m∴…，2m（Ⅱ）f（2），，等价于或，a…或，解得2故a的取值范围为，)+∞．。
2020天津市高考压轴卷(数学)含答案
2020天津高考压轴卷数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ）A ．{|22}x x -<<B ．{|24}x x -≤≤C ．{|22}x x -≤≤D ．{|24}x x -<≤2．已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则的值为（ ）A ．B ．1-C ．D ．2-3．已知不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件是1x ≤或2x ≥，则实数的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数()f x 是定义在上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ）A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-< 5．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ． C ．7-D ．3- 6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A．3 B．3 CD ．7．已知sin α，sin()10αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45B ．35C ．25D ．159．已知函数()()23201120x x f x x x a x ax x ⎧≤⎪=-⎨⎪-++>⎩，，，若方程()f x ax =有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（0，1]D ．（1，+∞）第II 卷（非选择题)二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．10．若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________．11．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为 ．（用数字作答）12．抛物线，直线l 经过抛物线的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，若，则（O 为坐标原点）的面积为______．13．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.14．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>，x ∈R .若函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点，则的取值范围为_________．15．已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为____．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．16．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 已知函数2()2sin cos 23cos 3,f x x x x x R =-+∈.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间2[,]243ππ上的最大值和最小值； (3)若关于x 的不等式()3()mf x m f x +≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ；（2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知抛物线2:C y =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =．（1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列{}n a 的前项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑．20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分． 已知函数2(2)1ln f x x ax x =-+，a R ∈． （1）试判断函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数，使函数()f x 的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分已知数列{}n a 的前项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑．2020天津高考压轴卷数学Word 版含解析参考答案1．【答案】B【解析】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B2．【答案】A【解析】∵()()2243,m i i i +-=+∴()2m 2443m i i ++-=+，∴22443m m +=⎧⎨-=⎩，即m 1= 故选A3．【答案】C【解析】()()()()2224220x mx m x m x m -+-=-+-->Q ，2x m ∴<-或2x m >+， 1x ≤Q 或2x ≥是不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件，2122m m -≤⎧∴⎨+≥⎩，解得：03m ≤≤，则实数的最大值为3. 故选：C .4．【答案】C【解析】()f x Q 为上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.故选：C .5．【答案】C【解析】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==，所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-.故选：C6．【答案】A【解析】 双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则tan 63π=，所以该条渐近线方程为3y x =；=，解得a =所以c ==，所以双曲线的离心率为3c e a ===． 故选：A ．7．【答案】C【解析】由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2π.又.又 ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝5×10－5×10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝2.∴β＝4π. 8．【答案】C选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种， 由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项.9．【答案】B【解析】解：由题意0x =满足方程()f x ax =，①当0x <时，只需1x a x =-有一个负根，即01a x a =-＜， 解得：01a <<；②当0x >时，只需()210x a x a -++=有两个正根即可， 方程可化为()()10x x a --=，故两根为：1x =或，由题意只需0a >且1a ≠，综合①②可知，当01a <<时，方程()f x ax =有4个不同的实数根． 所以实数的取值范围是（0，1）.故选：B ．10．【答案】-1【解析】当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1-11．【答案】-160【解析】由6662166(2)(1)(2)()r r r r r r r r T C x C x x ---+⎛=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=得3r =，所以62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-. 12．【答案】【解析】由题意可知：，结合焦半径公式有：，解得：，故直线AB 的方程为：，与抛物线方程联立可得：， 则， 故的面积.13．【答案】16【解析】设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长AB BC a ==，高1AA b =， 则111121ABCD A B C D ABCD V S AA a b -=⨯=， 111211113326P D DB B D DP D DP V V S BC ab a a b --∆==⋅=⨯⋅= 1111116ABCD D P D D A B BC V V --∴=即116V V = 故答案为：1614．【答案】7(6，17]12 【解析】 因为()sin 32sin()3f x x x x πωωω==+， 所以令2sin()03x πω+=，()3x k k Z πωπ+=∈，解得(31)()3k x k Z πω-=∈ 0>ω，则非负根中较小的有：258111417,,,,,,333333ππππππωωωωωωL 因为函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点， 所以1443ππω<且1743ππω≥，解得717612ω<≤. 故答案为：717(,]612 15．【答案】42【解析】已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数恒成立，再由0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，可得1640,4ab ab ∆=-≥∴≤，4ab ∴=，22221642,,04a a b a a b a a b a a ++∴>==>--， 令22168a t a +=>，则()22222221664816161632488a a b t a t a b t t a a ⎛⎫+ ⎪⎛⎫+===-++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪-⎝⎭ （当16t =时，等号成立），所以，222a b a b ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭的最小值为32， 故22a b a b+-=，故答案为16．【答案】(1);(2)最大值为，最小值为;(3) 25m ≥. 【解析】2()2sin cos =-+f x x xx sin 22x x =2sin(2)3x π=- (1)22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为. (2)当2[,]243x ππ∈时, 2[,]34x πππ-∈-, 当234x ππ-=-时,即24x π=时函数求得最小值()24f π=当232x ππ-=时,即512x π=时函数求得最大值5()212f π=; 所以()f x 在区间2,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为，最小值为 (3)对x ∀∈R ，2()2f x -≤≤，所以不等式()3()mf x m f x +≥恒成立等价于，对x ∀∈R ，()()3f x m f x ≥+恒成立，即max()()3f x m f x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭， 设()()()3f x g x f x =+，则()3()1()3()3f xg x f x f x ==-++，令()t f x =，且313y t=-+在[]22-,上为增函数， 所以，max 2()(2)5g x g ==， 所以，25m ≥. 17．【答案】（1）证明过程见详解；（2）459；（3）13.【解析】（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ， 因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点， 所以//ON AB ，//OM AC ，又AB Ì平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC AB A ⋂=，所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ⊂平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，1(0,0,2)A ， 所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，因此1(1,2,0)B M =u u u u r ，(0,2,1)MN =-u u u u r ，(1,2,0)BM -=u u u u r，设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =u r，则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u u v v ，所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩u u u u v v u u u u v v ，令1y =，则22x z =⎧⎨=⎩，因此()2,1,2m =u r；设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =r，则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u u v v ，所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩u u u u v v u u u u v v ，令1y =，则22x z =-⎧⎨=⎩，因此()2,1,2n =-r，设二面角1B MN B --的大小为θ，则4141cos cos ,9414414m nm n m nθ⋅-++=<>===++⨯++u r r u r r u r r ，所以245sin 1cos θθ=-=； （3）因为是棱11B C 上一点，设[]1110,1B Pt B C =∈，则(0,2,0)P t ， 所以()1,22,0PM t u u u u r=-，由（2）知，平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-r，又直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，记直线PM 与平面1MNB 所成角为 则有222222sin cos ,151(22)34853PM n t PM n PM n t t t α⋅-+-=<>====+-⨯-+⨯u u u u r r u u u u r r u u u ur r ， 整理得221850t t +-=，解得13t =或57t =-（舍）所以11113B P t BC ==.18．【答案】（1）22142x y +=；（2）220x y ++=. 【解析】（1）因为抛物线2:C y =的焦点为)，由题意，可得：椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两焦点为()),，又抛物线C 的准线与交于，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=，所以2by a =±，则222b a=，即2b a =①，又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆的方程为22142x y +=；（2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+，因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+，则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交于点M ，则M 与关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭， 因为直线AM 的斜率为1，所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=.19．【答案】（Ⅰ）n a n =；12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+．【解析】（Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式， 所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122nn n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b-+-==，22222i i i b ==，212122ii i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭，设()()2311231,0,1n n M x x x n xn x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠L ，①∴()23411231nn xM x x x n x n x+=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ，②①﹣②得()()2311111n n n n x x x M x x x x n x n x x++--=++++-⋅=-⋅-L ，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-，∴()()112122122122(12)n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n ni ni n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122n n i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑．20．【答案】（1）见解析；（2）存在，实数的取值范围为(0,2)．【解析】（1）由题可得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1ax x x a f x x'x ---+=-=． ①当0a =时，1()0f x 'xx+=>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． ②当0a ≠时，令'()0f x =，即210ax x x--=，即210ax x --=，14a ∆=+．当0∆≤，即14a -≤时，210ax x --≤， 故'()0f x ≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．当>0∆，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为1x =2x =． 若104a -<<，则10x <，20x <， 此时'()0f x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 若0a >，则10x <，20x >，此时当2(0,)x x ∈时，'()0f x >，当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在1(0,2a+上单调递增，在12),(a+∞+上单调递减．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在1(0,2a+单调递增，在12)(a+∞+上单调递减．（2）由（1）可得，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在1(0,)2a+上单调递增，在12)(a+∞+上单调递减，此时函数()f x 有极大值，极大值为222221ln ()2f x ax x x =-+，其中212x a=． 又2()0f 'x =，所以22210ax x --=，即2221ax x =+，所以2221l 2)n (x f x x -=+． 令1ln (2)x h x x =+-，则11(2)0h'x x =+>，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．又(1)0h =，所以当1x >时，()0h x >，所以222()1ln 02x f x x =+>-等价于21>x ， 即当0a >1>21a >-，显然当0a >|21|a >-，所以214(21)a a +>-，即220a a -<，解得02a <<， 故存在满足条件的实数，使函数()f x 的极值大于，此时实数的取值范围为(0,2)．21. （Ⅰ）n a n =；12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+．（Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式， 所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122nn n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b-+-==，22222i i i b ==，212122i i i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭，设()()2311231,0,1n n M x x x n xn x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠L ，①∴()23411231nn xM x x x n x n x +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ，②①﹣②得()()2311111n nn n x x x M x x x x n xn x x++--=++++-⋅=-⋅-L ，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-，∴()()112122122122(12)n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n ni ni n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122nn i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑．。
2020年高考数学仿真押题试卷(Word版,含答案解析)
高考数学仿真押题试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()(a bi += ) A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i +【解析】解：a i -与2bi +互为共轭复数，则2a =、1b =，，故选：D ．2．已知全集U R =，{|0}A x x =…，{|1}B x x =…，则集合()(U A B =ð )A ．{|0}x x …B ．{|1}x x …C ．{|01}x x 剟D ．{|01}x x <<【解析】解：或0}x …，，故选：D ．3．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：设数列{}n a 的公差为d ，则由1510a a +=，47a =，可得12410a d +=，137a d +=，解得2d =， 故选：B ．4．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A．13πB．23πC．43πD．53π【解析】解：圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，该几何体的体积，故选：C．5．若变量x，y满足约束条件，则3z x y=+的最小值为()A．3 B．4 C．2 D．1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数3z x y=+为3y x z=-+，由图可知，当直线3y x z=-+过(0,1)A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：D．6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．32【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个， 当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列33A ， 当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列33A ， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列33A ， 当最右边三辆时，有车之间的一个排列33A ，总上可知共有不同的排列法33424A ⨯=种结果， 故选：C ．7．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是( )A ．716B ．916 C ．35D ．12【解析】解：由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成， 设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A ，由几何概型中的面积型可得：P （A ），故选：B ．8．在ABC ∆中，2AD DB =，2CE EA =，则( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：，故选：A ．9．已知双曲线，O 为坐标原点，过C 的右顶点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于A ，B ，过C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于M ，N ，若O A B ∆与OMN ∆的面积之比为1:9，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．y =±C ．y =±D ．8y x =±【解析】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则2219a c =， ∴2229a b a +=，∴ba=C ∴的渐近线方程为y =±， 故选：B ．10．设0sin a xdx π=⎰，则8()ax x+展开式中的常数项为( )A ．560B ．1120C ．2240D ．4480 【解析】解：设，则展开式中的通项公式为，令820r -=，求得4r =，可得展开式中的常数项为48161120C =， 故选：B ．11．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，90ABC ∠=︒，12AB AA ==，BC =1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解析】解：在堑堵中，90ABC ∠=︒，12AB AA ==，BC =∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0C ，0)，1(2A ，0，2)，1(2A C =-，2)-，平面11ABB A 的法向量(0n =，1，0)，设1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为θ，则，1CA ∴与平面11ABB A 所成角的大小为45︒．故选：B ．12．已知函数，若方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)3B ．1(,2)3C ．14(,)25D ．1(,1)2【解析】解：方程()1f x kx =+有四个不相等的实根， 等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点，易得：①当直线1y kx =+与函数相切时，12k =， ②当直线1y kx =+与函数相切时，利用导数的几何意义可得：1k =，即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时， 实数k 的取值范围是112k <<， 故选：D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．10的展开式中含2x 项的系数为 5 ．【解析】解：10的展开式的通项公式为，令10223r-=，求得2r =， 故展开式中含2x 项的系数为210159C =， 故答案为：5．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且3tan 4B =，则的值是53． 【解析】解：a ，b ，c 成等比数列，2b ac ∴=，，3tan 4B =，3sin 5B ∴=．则．故答案为：53．15．已知0x >，0y >，且121x y+=，则xy x y ++的最小值为 7+ 【解析】解：121x y+=， 2xy x y ∴=+，，当且仅当26y xx y=时，即y =时取等号， 故xy x y ++的最小值为7+故答案为：7+16．如图，已知过椭圆的左顶点(,0)A a -作直线1交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为．【解析】解：AOP ∆是等腰三角形，(A a -，0)(0P ∴，)a ． 设0(Q x ，0)y ，2PQ QA =，0(x ∴，，0)y -．∴，解得002313x a y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．代入椭圆方程得，化为2215b a=．∴．． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数．（1）求函数()y f x =的单调增区间；（2）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f （A ）0=，1a =，求b c +的取值范围．【解析】解：（1）函数，由，可得，可得函数的单调递增区间是(6k ππ-，)3k ππ+，k Z ∈．（2）ABC ∆中，已知f （A ），，3A π∴=．1a =，由正弦定理可得，．2(0,)3B π∈，(66B ππ∴+∈，5)6π，，2]．所以b c +的范围是(1，2]．18．椭圆的左右焦点分别为1(F 0)、2F 0)，点A 1)2在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆交于E 、F 两点，以EF 为直径的圆过坐标原点O ，求证：坐标原点O 到直线l 距离为定值．【解析】解：（1）由椭圆定义可知，，所以2a =，因为c =，所以1b =，椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）证明：由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，△，即2241k m +>，设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，又，，∴，，，所以坐标原点O 到直线l． 19．某校学业水平考试中，某两个班共100名学生，物理成绩的优秀率为20%，数学成绩的频率分布直方图如图所示，数学成绩大于90分的为优秀．（1）利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数（中位数保留小数点后两位）；（2）如果数学、物理都优秀的有12人，补全下列22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？（3）在物理优秀的20人中，随机抽取2人，记数学物理都优秀的人数为X ，求X 的概率分布列及数学期望．附：，其中．【解析】解：（1）由频率分布直方图估计数学成绩的众数是：8090852+=，由频率分布直方图得：[60，80)的频率为：，[80，90)的频率为：．估计数学成绩的中位数是：．⋯（2）列联表是：，所以有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关⋯（3）X的可能取值为0，1，2，，，，X 概率分布列为：数学期望．⋯20．如图①在四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AB =4BC =，6AD =，E 是AD 上的点，13AE AD =，P 为BE 的中点将ABE ∆沿BE 折起到△1A BE 的位置，使得14A C =，如图②． （1）求证：平面1A CP ⊥平面1A BE ；（2）点M 在线段CD 上，当直线1A M 与平面1A PD 1M A P D --的余弦值．【解析】证明：（1）BPC ∆中，2BP =，PC =，4BC =，所以BP PC ⊥，同理△1A PC 中，12A P =，PC =，14A C =， 所以1A P PC ⊥，因为1A P ⊂平面1A BE ，PB ⊂平面1A BE ，，所以PC ⊥平面1A BE ，又PC ⊂平面1A PC ， 所以平面1A CP ⊥平面1A BE ．⋯解：（2）以点P 为坐标原点，PE ，PC 所在直线为x ，y 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，1(0A ，1，C ，0，0)，D ，4，0)，(0E ，2，0)设M a ，0)，则1A M =1a -，，1(0PA =，1，PD =4，0)，设平面1A PD 的法向量为(m x =，y ，)z ，由100m PA m PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得．令2x =，得(2m =，1)，直线1A M 与平面1A PD ，，解得2a =或8a =（舍)，∴1A M =1，， 设平面1A PD 的法向量为(n x =，y ，)z ，由，取1x =，得(1n =，1)，设二面角1M A P D --的平面角为θ，则，所以当直线1A M 与平面1A PD 1M A P D --．⋯21．某财团欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格y （单位：万元）是每日产量x （单位：吨）的函数：．（1）求当日产量为3吨时的边际成本（即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数）； （2）记每日生产平均成本yx为m ，求证：16m <； （3）若财团每日注入资金可按数列2241n na n =-（单位：亿元）递减，连续注入60天，求证：这60天的总投入资金大于111n 亿元．【解析】解：（1）因为22321x y lnx x =-，(1)x >，所以，当3x =时，；证明：（2）要证，只需证设，则所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以()h x h <（1）0= 所以16yx<， 即16m <； 证明（3）因为，又由（2）知，当1x > 时，12x lnx x ->， 所以，所以，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线（其中t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线关于1C 对称．（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移2个单位长度，按照12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1C 距离的最大值．【解析】解：（1）由2121x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得20x y --=，由2c os a ρθ=得，得，依题意2C 的圆心2(,0)C a 在上，所以020a --=，解得2a =，故曲线1C 的普通方程为20x y --=，曲线2C 的直角坐标方程为．即．（2）2C 向左平移2各单位长度后得224x y +=，再按照12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'⎪⎩变换得到，设P 点坐标为，P 点到1C 的距离为，当23πθ=时，点P 到1C的距离最大，最大值为 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知．（1）解关于x 的不等式()4f x >；（2）对于任意正数m 、n ，求使得不等式恒成立的x 的取值集合M ．【解析】解：（1）函数，当0x …时，不等式()4f x >化为，解得1x <-；当01x <<时，不等式()4f x >化为，解得3x >，所以x ∈∅； 当1x …时，不等式()4f x >化为，解得53x >； 综上，不等式()4f x >的解集为{|1x x <-或5}3x >；⋯（2）对于任意正数m 、n ，，当且仅当1m n ==时“=”成立， 所以不等式恒成立，等价于，由（1）知，该不等式的解集为5{|1}3x x-剟， 所以x 的取值集合是[1M =-，5]3．⋯。
2020年高考数学临考押题卷02(天津专版)(含解析)
2020年高考临考押题卷（二）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．1．已知集合2{|24},{|}x A x B x x x =<=>，则A B =U （ ） A ．(,0)-∞B ．(,0)(1,2)-∞UC ．(,0)(1,4)-∞UD ．R2．复数z 满足()12z i i +=，则复数z 的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i -C ．12i +D ．12i -3．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%4．已知a i =+r r ，2b i =r r，其中i r ，j r 是互相垂直的单位向量，则3a b -=r r （ ）A ．B ．C ．28D ．245．在ABC V 中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC V 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能6．已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2y kx =-与C 交于A ，B 两点，若FA 为HFB ∠的角平分线，且||2||AB AH =，则||AF =( ) A ．2B ．83C ．3D ．47．关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③8．已知函数()()222sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭9．存在两个正实数x ，y ，使得等式(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-，其中e 为自然对数的底数，则a 的范围为（ ） A ．(,0)-∞B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1(,0),e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）10．已知tan α=，则sin 2α=__________．11．在ABC V 中，60A =︒，2AB =，且ABC V AC =________；12．在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答） 13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.14．已知四面体ABCD 中，26AB AD ==，43BD =，BCD ∆为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =u u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为__________. 三、解答题：（本大题5个题，共75分）16．为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关； 非网购达人 网购达人 总计 男 女 10 总计（2）将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82817．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.18．给定()3,n n n N*≥∈个不同的数1、2、3、L、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ； （2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =；②求n T （用n 表示）．19．已知直线l 与椭圆22:162x y C +=交于不同的两点A ，B .（1）若线段AB 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||||FN AB 为定值.20．已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.一、单选题1．已知集合2{|24},{|}x A x B x x x =<=>，则A B =U （ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0)(1,2)-∞UC ．(,0)(1,4)-∞UD ．R【答案】D【解析】{|2},{|01},A x x B x x x A B =<=<>∴=R U 或． 2．复数z 满足()12z i i +=，则复数z 的共轭复数是（ ） A ．1i + B ．1i -C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】由(1)2z i i +=，得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-， ∴1z i =-，3．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50% 【答案】D【解析】对于A ，2016年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为6.30.8100%687.5%0.8-⨯=，高于2018年的增长率47.723.2100%105.6%23.2-⨯≈，A 错误；对于B ，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是21.4，故中位数为21.4万台，B 错误；对于C ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为4.914.121.430.044.723.025++++=万台，C 错误；对于D ，从2017年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为52.0%，61.4%，57.5%，均超过50%，D 正确.4．已知a i =+r r ，2b i =r r，其中i r ，j r 是互相垂直的单位向量，则3a b -=r r （ ）A． B．C ．28 D ．24【答案】A【解析】a i =+r r Q ，2b i =r r，且i r ，j r 是互相垂直的单位向量3325a b i j i i ∴-=-⨯=-r r r r r ，0i j ⋅=r r3a b ∴-====r r5．在ABC V 中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC V 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】B 【解析】sin sin sin cos cos B CA B C+=+Q ，∴由正弦定理及余弦定理可得22222222b ca a cb a bc ac ab+=+-+-+，22222222a c b a b c a a b c ac ab +-+-∴⨯+⨯=+，22222222a c b a b c b c c b+-+-∴+=+，()()2222222222b a c b c a b c bc b c ∴+-++-=+， 223322a b a c b c b c bc ∴+--=+，()()()()222a b c c b b c bc b c bc ∴+-++-=+，222a b c ∴=+，ABC ∴V 是直角三角形.6．已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2y kx =-与C 交于A ，B 两点，若FA 为HFB ∠的角平分线，且||2||AB AH =，则||AF =( ) A ．2 B ．83C ．3D ．4【答案】B【解析】如图,连接AF ,BF ,过A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为M ,N ,易知(0,2)F ,(0,2)H -,||4FH =.由角平分线定理可得||||2||||BF BA FH AH ==,则||||1||||3AH AM BH BN ==. ∵||||2||8BN BF FH ===,∴8||||3AM AF ==.7．关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==Q ，()f x ∴为偶函数，①正确； 令()0f x =，则0x =或sin 0x =， 当sin 0x =时，0x =或x π=-或x π=，()f x ∴的零点为0x =或x π=-或x π=，共3个，②正确； ()sin cos f x x x x '=+Q ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，cos 0x >，()0f x '∴>，()f x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，③正确.8．已知函数()()222sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以223562πωπωππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤， 所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 9．存在两个正实数x ，y ，使得等式(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-，其中e 为自然对数的底数，则a 的范围为（ ） A ．(,0)-∞ B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1(,0),e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-得(2)ln 0yx a y ex x+-=， 即1(2)ln 0y ya e x x+-=，即设yt x=，则0t >， 则条件等价为1(2)ln 0a t e t +-=， 即1(2)ln t e t a-=-有解，设()(2)ln g t t e t =-， 2()ln 1eg t t t'=+-为增函数， ()g e 'Q 2ln 11120ee e=+-=+-=， ∴当t e >时，()0g t '>，当0t e <<时，()0g t '<，即当t e =时，函数()g t 取得极小值，为()g e (2)ln e e e e =-=-， 即()g t g …（e ）e =-， 当0t →时，()(2)ln +g t t e t =-→∞，当x →+∞时，()(2)ln +g t t e t =-→∞. 若1(2)ln t e t a -=-有解，则1e a--…，即1e a „，则0a <或1a e…，二、填空题10．已知tan α=，则sin 2α=__________．【答案】3【解析】2222sin cos 2tan sin 22sin cos cos sin 1tan 3ααααααααα====++.11．在ABC V 中，60A =︒，2AB =，且ABC V AC =________； 【答案】1【解析】由题得，ABC V 的面积为13sin 6022S AB AC =⨯=o ，解得1AC =. 12．在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）【答案】21【解析】721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()773177211rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令731r -=，得2r =，()227121C -=，故答案为21.13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 【答案】5【解析】1335,0,0,155x y xy x y y x+=>>∴+=Q ， ()13133121331234342555555555x y x yx y x y y x y xy x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x yy x=，即21x y ==时取等号． 14．已知四面体ABCD 中，26AB AD ==，43BD =，BCD ∆为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______.【答案】64π 【解析】取BD 的中点E ，连接AE ，CE ， 取CE 的三等分点为O ，使得2CO OE =， 则O 为等边BCD ∆的中心.由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，CE BD ⊥，CE ⊥平面ABD .而22248AB AD BD +==，所以ABD ∆为等腰直角三角形，且E 为ABD ∆的外心， 所以OA OB OD ==，又OB OC OD ==， 所以O 为四面体ABCD 外接球的球心，其半径243r ==. 故四面体ABCD 外接球的表面积为24464S ππ=⋅=.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =u u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为__________.【答案】3【解析】取渐近线方程为by xa=，即0bx ay -=，()2,0F c 到直线的距离为3d ==，故3b =；122FQ QF =u u u r u u u u r ，则122PF PF =，122PF PF a -=，故14PF a =，22PF a =，根据余弦定理：2224416242cos60c a a a a =+-⨯⋅︒，整理得到：223c a =，故e =三、解答题16．为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关； 非网购达人 网购达人 总计 男 女 10 总计（2）将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“网购达人”有(0.0200.005)1010025+⨯⨯=（人）.补充完整的22⨯列联表如下：非网购达人 网购达人 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计752510022100(30104515)100 3.030 2.7067525455533K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关.（2）由频率分布直方图知，“网购达人”对应的频率为0.0200.0051025(.)0+⨯=， 将频率视为概率即从该地随机抽取1名网民，该网民是“网购达人”的概率为14. 由题意知1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 从而X 的分布列为 X 0123P2764 2764 964 164由二项分布的数学期望与方差公式得13()344E X np ==⨯=， 139()(1)34416D X np p =-=⨯⨯=，17．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值. 【解析】(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH =，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==，据此可得：()()()1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B的坐标为132B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用中点坐标公式可得：34F ⎛⎫⎪⎝⎭，由于()0,0,0E ， 故直线EF的方向向量为：34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r，则：()()133,,3302233,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩， 据此可得平面1A BC的一个法向量为()m =u r，34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r此时4cos ,5EF m EF m EF m⋅===⨯u u u r u ru u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55EF m θθ===u u u r u r .18．给定()3,n n n N*≥∈个不同的数1、2、3、L、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ； （2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =；②求n T （用n 表示）．【解析】（1）1、2、3的所有排列为1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1.因为36S =，所以对应的P k 分别为2、1、2、1、1、1，所以38T =；（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ， 因为41n l =+，l N *∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =（ii ）因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+①， 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②， 考虑排列P 的对应倒序排列:P 'n a 、1n a -、L 、1a ，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++， 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-；又1、2、3、L 、n 这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． 19．已知直线l 与椭圆22:162x y C +=交于不同的两点A ，B .（1）若线段AB 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||||FN AB 为定值.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222162162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2112211213y y x x x x y y -+=-⨯-+， AB Q 中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，2121l y y k x x -=-，12233l k ∴=-⨯=-，∴直线l 的方程为：()12123y x -=--，即：4670x y +-=. （2）由椭圆方程知：()2,0F -，可设直线l 的方程：()2y k x =+，联立()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()222213121260k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则21221213k x x k +=-+，212212613k x x k-=+， ()3121222124441313k ky y k x x k k k k∴+=++=-+=++， 21226213x x k k+∴=-+，1222213y y k k +∴=+， 当0k=时，AB =2FN =，FN AB∴=； 当0k ≠时，AB 的垂直平分线方程为：2222161313k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =得：22413k x k =-+，224,013k N k ⎛⎫∴- ⎪+⎝⎭，()222221421313k k FN k k +∴=-+=++，AB ==Q )22113k k +=+， ()2222113k FN AB k +∴==+； 综上所述：FN AB20．已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数. 【解析】(1)当34a =-时，()3ln 4f x x =-+()0,∞+，且： ()3433'4x x f x x -+=-== 因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3. (2)由1(1)2f a ≤，得0a <≤当04a <≤时，()f x≤2ln 0x-≥，令1t a=，则t ≥， 设()22lng t t x =，t ≥，则2()2ln g t t x =--， （i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()2ln g x gx =…，记1()ln ,7p xx x =≥，则1()p x x '=-== 列表讨论：()(1)0,()2()0p x p g t g p x ∴=∴=厖?（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q x'=>， 故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦．。
临考押题卷05-2020年高考数学临考押题卷(天津专版)(原卷版)
2020年高考临考押题卷（五）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．1．已知集合{}2|2A x x x =>，{}|13B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．{}|01x x ≤<B ．{0x x <或}1x ≥C ．{}|23x x <≤D ．{1x x ≤或}3x > 2．设，则“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()0,∞+ 4．已知12a log 3-=，b 1=52⎛⎫ ⎪⎝⎭，3c=log 2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<5．以椭圆22194y x +=的长轴端点作为短轴端点，且过点()4,1-的椭圆的焦距是（ ） A ．16 B ．12 C ．8 D ．66．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（ ）A ．23B ．13C ．12D ．567．在“志愿和平”活动中，某校高二年级3名男教师和4名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务.根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少有1名男教师；另外4人测量出入人员体温.则这7名教师不同的安排方法有（ ）A ．15种B ．18种C ．31种D ．45种8．已知0a >，0b >，则22(1)(1)b a a b+++的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．12 D ．49．()()()(),0f x g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()''f x g x f x g x ＜，且()30f -=，则()()0f x g x ＜的解集为（ ） A ．()(),33,-∞-+∞ B ．()()3,00,-+∞ C ．()()3,03,-⋃+∞ D ．()(),30,3-∞-第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．） 10．若复数3()12ai a R i-∈-是纯虚数，则2a i +=______. 11．73)x 的展开式中3x 的系数为______.12．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．13．在平画直角坐标系xOy 中，直线():220l mx y m m R ---=∈交圆221:8C x y +=所得弦的中点为M ，N 为圆()()222:431C x y -+-=上任意一点，则||MN 长的取值范围是________.14．函数()cos(2)f x x ϕ=+的图像向左平移3π单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为______.15．A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为32，C 是劣弧AB （包含端点）上一动点，若OC OA OB λμ=+ (,)R λμ∈，则λμ+的取值范围为___.三、解答题：（本大题5个题，共75分）16．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=． （1）求角A 的大小；（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．17．我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能常见的口罩有90KN 和95KN （分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒）两种，某口罩厂两条独立的生产线分别生产90KN 和95KN 两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下： 总分 [)75,80[)80,85 [)85,90 [)90,95 [)95,100 90KN 614 42 31 7 95KN4 6 47 35 8 （1）试分别估计两种口罩的合格率；（2）假设生产一个90KN 口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品，则亏损1元；生产一个95KN 口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，①设X 为生产一个90KN 口罩和生产一个95KN 口罩所得利润的和，求随机变量X 的分布列和数学期望； ②求生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E ，M ，N 分别是线段BC ，AE ，1CD 的中点.（1）求证：//MN 平面11ADD A ；（2）在线段11A D 上有一点P ，若二面角P AE D --221，求点1D 到平面PAE 的距离. 19．已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，n *∈N ． (1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)记12111n n S a a a =+++，若S n <100，求最大正整数n ； (3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m －1，a s －1，a n －1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．20．已知函数()1ln x f x x+=. （1）求函数()f x 的图象在x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程；（2）若对任意的x D ∈，均有()()m x n x ≤，则称()m x 为()n x 在区间D 上的下界函数，()n x 为()m x 在区间D 上的上界函数.①若()1xe g x x =+，求证：()g x 为()f x 在()0,∞+上的上界函数； ②若()1k g x x =+，()g x 为()f x 在[)1,+∞上的下界函数，求实数k 的取值范围.。
天津市2020年高考压轴卷(数学 含解析)
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =（）A ．{|22}x x -<<B ．{|24}x x -≤≤C ．{|22}x x -≤≤D ．{|24}x x -<≤2．已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则m 的值为（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件是1x ≤或2x ≥，则实数m 的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（） A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<5．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（） A ．3B ．7C ．7-D ．3-6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．27．已知sin α，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，则β=（） A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．159．已知函数()()23201120x x f x x x a x ax x ⎧≤⎪=-⎨⎪-++>⎩，，，若方程()f x ax =有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（0，1]D ．（1，+∞）第II 卷（非选择题)二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 10．若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________．11．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为 ．（用数字作答）12．抛物线，直线l 经过抛物线的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．13．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.14．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>，x ∈R .若函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点，则ω的取值范围为_________．15．已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为____．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．16．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分．已知函数2()2sin cos 23cos 3,f x x x x x R =-+∈. (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 在区间2[,]243ππ上的最大值和最小值； (3)若关于x 的不等式()3()mf x m f x +≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ； （2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知抛物线2:2C y x =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =． （1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑． 20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分． 已知函数2(2)1ln f x x ax x =-+，a R ∈． （1）试判断函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a ，使函数()f x 的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 21.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求()*21121ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑． 参考答案1．答案：B由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 2．答案：A∵()()2243,m i i i +-=+ ∴()2m 2443m i i ++-=+，∴22443m m +=⎧⎨-=⎩，即m 1=故选A 3．答案：C()()()()2224220x mx m x m x m -+-=-+-->，2x m ∴<-或2x m >+，1x ≤或2x ≥是不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件，2122m m -≤⎧∴⎨+≥⎩，解得：03m ≤≤，则实数m 的最大值为3. 故选：C . 4．答案：C()f x 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，0.633322log 9log 13log 273<=<<=且()f x 在()0,∞+上单调递增，()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.故选：C . 5．答案：C由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 6．答案：A双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则tan63π=，所以该条渐近线方程为3y x =；=，解得a =所以c ==所以双曲线的离心率为3cea===．故选：A．7．答案：C由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π<α－β<2π.又.又∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝5×10－5×10⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭＝2.∴β＝4π.8．答案：C选取两支彩笔的方法有25C种，含有红色彩笔的选法为14C种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105CpC===.本题选择C选项.9．答案：B解：由题意0x=满足方程()f x ax=，①当0x<时，只需1xax=-有一个负根，即01axa=-＜，解得：01a<<；②当0x>时，只需()210x a x a-++=有两个正根即可，方程可化为()()10x x a--=，故两根为：1x=或a，由题意只需0a>且1a≠，综合①②可知，当01a<<时，方程()f x ax=有4个不同的实数根．所以实数a 的取值范围是（0，1）. 故选：B ． 10．答案：-1当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1- 11．答案：-160由6662166(2)(1)(2)()r r r r r r rr T C x C x x ---+⎛=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=得3r =，所以62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-.12．答案：由题意可知：，结合焦半径公式有：， 解得：，故直线AB 的方程为：，与抛物线方程联立可得：，则，故的面积.13．答案：16设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长AB BC a ==，高1AA b =， 则111121ABCD A B C D ABCD V S AA a b -=⨯=，111211113326P D DB B D DP D DP V V S BC ab a a b --∆==⋅=⨯⋅=1111116ABCD D P D D A B B C V V --∴=即116V V =故答案为：1614．答案：7(6，17]12因为()sin 2sin()3f x x x x πωωω==+，所以令2sin()03x πω+=，()3x k k Z πωπ+=∈，解得(31)()3k x k Z πω-=∈ 0>ω，则非负根中较小的有：258111417,,,,,,333333ππππππωωωωωω因为函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点， 所以1443ππω<且1743ππω≥，解得717612ω<≤. 故答案为：717(,]61215．答案：已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，0a ∴>，且1640,4ab ab ∆=-≤∴≥；再由0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，可得1640,4ab ab ∆=-≥∴≤，4ab ∴=，22221642,,04a a b a a b a a b a a++∴>==>--， 令22168a t a +=>，则()22222221664816161632488a a b t a t a b t t a a ⎛⎫+ ⎪⎛⎫+===-++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪-⎝⎭ （当16t =时，等号成立），所以，222a b a b ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭的最小值为32，故22a b a b+-=，故答案为16．答案：(1)π;(2)最大值为2，最小值为25m ≥.2()2sin cos =-+f x x xx sin 22x x =2sin(2)3x π=-(1)22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为π. (2)当2[,]243x ππ∈时,2[,]34x πππ-∈-,当234x ππ-=-时,即24x π=时函数求得最小值()24f π=当232x ππ-=时,即512x π=时函数求得最大值5()212f π=; 所以()f x 在区间2,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为 (3)对x ∀∈R ，2()2f x -≤≤，所以不等式()3()mf x m f x +≥恒成立等价于， 对x ∀∈R ，()()3f x m f x ≥+恒成立，即max()()3f x m f x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，设()()()3f x g x f x =+，则()3()1()3()3f xg x f x f x ==-++，令()t f x =，且313y t =-+在[]22-,上为增函数， 所以，max 2()(2)5g x g ==，所以，25m ≥. 17．答案：（1）证明过程见详解；（2（3）13.（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ， 因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点，所以//ON AB ，//OM AC ， 又AB平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC AB A ⋂=，所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ⊂平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，1(0,0,2)A ， 所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，因此1(1,2,0)B M =，(0,2,1)MN =-，(1,2,0)BM -=， 设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =，则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =⎧⎨=⎩，因此()2,1,2m =；设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =，则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =-⎧⎨=⎩，因此()2,1,2n =-，设二面角1B MN B --的大小为θ， 则4141cos cos ,9414414m n m n m nθ⋅-++=<>===++⨯++，所以245sin 1cos 9θθ=-=；（3）因为P 是棱11B C 上一点，设[]1110,1B P t B C =∈，则(0,2,0)P t ， 所以()1,22,0PM t =-，由（2）知，平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-， 又直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，记直线PM 与平面1MNB 所成角为α 则有222222sin cos ,151(22)34853PM n tPM n PM n t t t α⋅-+-=<>====+-⨯-+⨯， 整理得221850t t +-=，解得13t =或57t =-（舍） 所以11113B P t BC ==.18．答案：（1）22142x y +=；（2）220x y ++=.（1）因为抛物线2:2C y x =的焦点为)2,0， 由题意，可得：椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的两焦点为())2,0,2,0-， 又抛物线C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=，所以2b y a =±，则222b a=，即2b a =①， 又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆E 的方程为22142x y +=； （2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ， 由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+， 因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+， 则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，则M 与B 关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭， 因为直线AM 的斜率为1， 所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=.19．答案：（Ⅰ）n a n =；12222nn n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+．（Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式，所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122n n n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列， ∴12222nn n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b -+-==，22222ii i b ==， 212122i i i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭， 设()()2311231,0,1n n M x x x n x n x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠，① ∴()23411231n n xM x x x n x n x +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，②①﹣②得()()2311111n n n n x x x M x x x x n x n x x ++--=++++-⋅=-⋅-， ∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-， ∴()()112122122122(12)n n i n i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n n i n i n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122n n i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑． 20．答案：（1）见解析；（2）存在，实数a 的取值范围为(0,2)．（1）由题可得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1ax x x a f x x'x ---+=-=． ①当0a =时，1()0f x 'x x+=>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． ②当0a ≠时，令'()0f x =，即210ax x x--=，即210ax x --=，14a ∆=+． 当0∆≤，即14a -≤时，210ax x --≤， 故'()0f x ≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．当>0∆，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为112x a -=，212x a +=． 若104a -<<，则10x <，20x <， 此时'()0f x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；若0a >，则10x <，20x >，此时当2(0,)x x ∈时，'()0f x >，当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在1(0,2a +上单调递增，在12),(a+∞+上单调递减．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在单调递增，在)+∞上单调递减． （2）由（1）可得，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，此时函数()f x 有极大值，极大值为222221ln ()2f x ax x x =-+，其中212x a=． 又2()0f 'x =，所以22210ax x --=，即2221ax x =+，所以2221l 2)n (x f x x -=+． 令1ln (2)x h x x =+-，则11(2)0h'x x =+>， 所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．又(1)0h =，所以当1x >时，()0h x >，所以222()1ln 02x f x x =+>-等价于21>x ， 即当0a >时，112a>21a >-， 显然当0a >|21|a >-，所以214(21)a a +>-，即220a a -<，解得02a <<，故存在满足条件的实数a ，使函数()f x 的极值大于0，此时实数a 的取值范围为(0,2)．21.（Ⅰ）n a n =；12222nn n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+． （Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式，所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122n n n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列， ∴12222nn n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b -+-==，22222ii i b ==， 212122i i i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭， 设()()2311231,0,1n n M x x x n x n x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠，① ∴()23411231n n xM x x x n x n x +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，②①﹣②得()()2311111n n n n x x x M x x x x n x n x x ++--=++++-⋅=-⋅-，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-， ∴()()112122122122(12)n n i n i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n n i n i n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122n n i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑．。
2024年高考考前押题冲刺模拟卷01(天津专用)解析版
绝密★启用前2024年高考考前押题冲刺模拟卷01（天津专用）数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设全集{0U =，1，2，4，6，8}，集合{0M =，4，6}，{0N =，1，6}，则(U M N = ð)A ．{0，2，4，6，8}B ．{0，1，4，6，8}C ．{1，2，4，6，8}D ．U 【答案】A【分析】直接利用集合的补集和并集运算求出结果．【解答】解：由于{2U N =ð，4，8}，所以{0U M N = ð，2，4，6，8}．故选：A ．2．“1x <”是“|21|1x -<”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先求出不等式|21|1x -<的解集，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：|21|1x -< ，1211x ∴-<-<，01x ∴<<，{|01}{|1}x x x x <<< Ü，1x ∴<是01x <<的必要不充分条件，故选：B ．3．函数2|sin |()2x f x x =+在区间[π-，]π的部分图象大致为()A ．B ．C ．D ．A ． 1.113(2)(3)(log 2)f f ln f >>B ． 1.113(2)(log 2)(3)f f f ln >>C ． 1.113(3)(2)(log 2)f ln f f >>D ． 1.113(3)(log 2)(2)f ln f f >>5．设0a >，0b >．若3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为()A ．8B ．4C ．1D ．146．下列说法不正确的是()A ．甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18B ．设一组样本数据1x ，2x ，⋯，n x 的方差为2，则数据14x ，24x ，⋯，4n x 的方差为32C ．在一个22⨯列联表中，计算得到2χ的值，则2χ的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大D ．已知随机变量2~(2,)N ξσ，且(4)0.8P ξ<=，则(04)0.6P ξ<<=7．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x=的准线上，则双曲线的方程为()A ．22136108x y -=B ．221927x y -=C ．22110836x y -=D ．221279x y -=【解答】解：因为抛物线224y x =的准线方程为6x =-，则由题意知，点(6,0)F -是双曲线的左焦点，所以22236a b c +==，又双曲线的一条渐近线方程是3y x =，所以3ba=，解得29a =，227b =，所以双曲线的方程为221927x y -=．故选：B ．8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =．设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为()A ．12B ．13C ．16D ．18【答案】C【分析】根据给定的几何体，利用等体积法及锥体体积、柱体体积公式计算作答．【解答】解：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =，则1111111113326P D DB B D DP D DP V V V S BC DD CD BC V --===⋅=⋅⋅⋅= ，所以1V V 的值为16．故选：C ．9．已知函数()sin()(4f x x x R ω=+∈，0)ω>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象()A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.10．若i为虚数单位，则11ii+=-i．11．6(2x的二项展开式中的常数项为60．厂产品的合格率是80%，在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为0.86；如果买到的灯泡是合格品，那么它是甲厂产品的概率为．14．已知平行四边形ABCD 的面积为23BAD ∠=，||6AD =，E 为线段BC 的中点，若F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+，则λ=13；AF AE ⋅的值为．15．设函数2()1f x x =-，对任意3[2x ∈，)+∞，2(4()(1)4()f m f x f x f m m--+恒成立，则实数m的取值范围是3(,])2-∞-+∞ ．【分析】由已知得214m -三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b c =，2sin B A =，（1）求sin B 的值；（2）求sin(2)6B π-的值．1111111分别是BC ，BA 中点．（Ⅰ）求证：1//B B 平面1C MA ；（Ⅱ）求二面角1A C M N --的正弦值；（Ⅲ）求点C 到平面1C MA 的距离．则(0A ，0，0)，1(0C ，1，2)，(1M (1AM = ，1，0)，1(0AC = ，1，2)，设平面1AC M 的法向量为(n x =，y ，则120n AC y z n AM x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1z =，得n 设平面1MNC 的法向量为(m a =，b ，则120m NC a b c m NM b ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1c =，得设二面角1A C M N --的平面角为θ，由图知则||55cos ||||335m n m n θ⋅===⋅，∴二面角A C M N --的正弦值为sinn n 15n n n （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1(1)(1)nn n n b c b b +=++，数列{}n c 的前n 项和为n M ，求n M ；（3）设(1)()n n n n n d a b lnS =-+，求数列{}n d 的前n 项和．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，点(t t>是椭圆C上的动点，直线AM与y轴M s，)(0)交于点D，点E是y轴上一点，EF DF⊥，EA与椭圆C交于点G，若AMG∆的面积为线AM的方程．（1）设2()()h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图象在点0(A x ，0())g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()1|1|f x a x --<成立．。
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3x
−
p 2
与
C
交
于
A
，
B
两点，若 |
AH
|=
43 3
，则 |
AF
|=
（
）
A．3
B．
8 3
C．2
D．4
7．已知实数
x,
y
满足
1 2
x
<
1 2
y
，则下列关系式中恒成立的是(
)
A． tanx > tany
B． ln ( x2 + 2) > ln ( y2 +1)
C． 1 > 1 xy
D． x3 > y3
10．复数
z
=
1
1 +
i
（
i
为虚数单位），则
|
z
|=
________.
11．
x
−
1 x
6
的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答）
12．已知四棱锥 P − ABCD 的底面 ABCD 为矩形， AC = 4, PA = 2 3 ．当四棱锥 P − ABCD 的体积最大
A． {−1}
B． {0,1}
C．{−1, 2,3}
D．{−1, 0,1,3}
2．命题
p
:
∀x
∈
(0, +∞)
， ex
>
x
+1+
1 2
x2
，则
¬p
为（
）
A．
∀x
∈
(0,
+∞)
，
e xx
+
1
+
1 2
x2
B． ∃x0
∈ (0, +∞) ， ex0
<
x0
+1+
1 2
x02
C． ∀x
∈ (0, +∞)
， ex
C． 55
D．
4．已知 ΔABC 中 a = 4, b = 4 3, A = 30 ，则 B 等于（ ）
A．60°或 120°
B．30°
C．60°
D．30°或 150°
5．已知
tan
α
+
π 12
=
−2
Hale Waihona Puke ，则tanα
+
π 3
=
（
）
A．
−
1 3
B．
1 3
C．-3
D．3
6．已知抛物线 C : x2 = 2 py( p > 0) 的焦点为 F ， C 的准线与对称轴交于点 H ，直线 y =
2．命题
p
:
∀x
∈
(0, +∞)
， ex
>
x
+1+
1 2
x2
，则 ¬p
为（
）
A．
∀x
∈
(0,
+∞)
，
e xx
+
1
+
1 2
x2
B． ∃x0
∈ (0, +∞) ， ex0
<
x0
+1+
1 2
x02
C． ∀x
∈ (0, +∞)
， ex
<
x
+1+
1 2
x2
D．
∃x0
∈
(0,
+∞)
，
e x0x0
+
1
+
1 2
x02
| |
=
3 2
,
又|
AH
|=
43 3
，
所以 | AM |= 2 ，由抛物线的定义可得 | AF |= | AM |= 2 .
7．已知实数
x,
y
满足
1 2
x
<
1 2
y
，则下列关系式中恒成立的是(
)
A． tanx > tany
B． ln ( x2 + 2) > ln ( y2 +1)
11 C． >
（1）求数列{an},{bn} 的通项公式；
（2）记 Cn =
an 2bn
,
n
∈
N∗
,
证明： C1 + C2 + + Cn < 2
n, n ∈ N∗.
19．已知抛物线 C : x2 = 2 py( p > 0) ，过 Q(0,1) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点，点 A 在第一象限，抛
f
(x)
=
ln 2x
x+1
−
1 2
,
+ x
ln x
≤
x 0
−1,
x
>
0 ，则满足方程 2
f
(
f
(m))
+1=
2f
( m ) +1
的实数 m
的取值范围是
（）
A． (−∞, −1] ∪ (0,1] B． (−∞,1]
C．
−∞
,
−
1 e
D．
(−∞,
−1]
∪
1 e
,1
第Ⅱ卷（共 105 分）
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在题中横线上．）
2020 年高考临考押题卷（一）
数学（天津卷）
注意事项：
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
=
3 ∴ B = 60,120 2
5．已知
tan
α
+
π 12
=
−2
，则
tan
α
+
π 3
=
（
）
A．
−
1 3
B．
1 3
C．-3
【答案】A
D．3
【解析】
tan
α
+
π 3
=
tan
α
+
π 12
+
π 4
=
tan
α
+
π 12
+
tan
π 4
1
−
tan
α
+
π 12
tan
π 4
=
−
1 3
，故选
A.
6．已知抛物线 C : x2 = 2 py( p > 0) 的焦点为 F ， C 的准线与对称轴交于点 H ，直线 y =
所以该班的学生人数是 15÷0.3=50.
4．已知 ΔABC 中 a = 4, b = 4 3, A = 30 ，则 B 等于（ ）
A．60°或 120° 【答案】A
B．30°
C．60°
D．30°或 150°
【解析】由正弦定理
a sin
A
=
b sin B
得
4 sin 30
=
4 sin
3 B
∴sin
B
时，其外接球的表面积为_______．
13．已知双曲线 C
:
x2 4
−
y2 b2
= 1(b
>
0) 的左、右顶点分别为
A、B
，点 P
在双曲线 C 上，若
∠PBA
=
∠PAB
+
π 2
，则双曲线
C
的焦距为_________．
14．已知正实数 x ， y 满足 x + 2 y = 3 ，则 xy 的最大值为________， x2 + 3y 的最小值为________． xy
π 8
个单位长度，
可以得到函数
y=sin2（x﹣
π 8
xy
D． x3 > y3
【答案】D
【解析】根据题意，实数
x，y
满足（
1 2
）x<（
1 2
）y，则
x>y，依次分析选项：对于
A，y=tanx
在其定义域
上不是单调函数，故 tanx>tany 不一定成立，不符合题意；对于 B，若 0>x>y，则 x2+2>y2+2 不成立，故 ln
（x2+2）>ln（y2+2）不一定成立，不符合题意；对于 C，当 x>y>0 时， 1 < 1 ，不符合题意；对于 D，函数 xy
物线 C 在 A, B 两点处的切线相互垂直.
（1）求抛物线 C 的标准方程；
（2）若点 P 为抛物线 C 上异于 A, B 的点，直线 AP, BP 均不与 x 轴平行，且直线 AP 和 BP 交抛物线 C 的
准线分别于
M
,
N
两点，
AQ
=
4QB
.
（i）求直线 AB 的斜率；
（ⅱ）求| MN | 的最小值.
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，