高二数学(新人教A版选修2-1)第一章知识点总结《1.4 全真量词与存在量词》(教师版) Word版含答案
高考数学二轮复习章节概述(人教版选修2-1)第一章
数学·选修2－1(人教A版)
常用逻辑用语
本章知识概述
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正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想．在本章中，同学们在义务教育阶段的基础上，将学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流．
学习内容
1．命题及其关系．
(1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．
(2)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．
2．简单的逻辑联结词．
通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
3．全称量词与存在量词．
(1)通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
在本章学习中，应特别注意以下几个问题：
(1)命题是指明确地给出条件和结论的语句，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件．
(2)对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，能正确地表述相关的数学内容．
(3)对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义．
(4)在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性．避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释．
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【同步课堂】人教A版高中数学选修2-1第一章1.4全称量词与存在量词(共14张PPT)
词语
所有x成立
个
个
一个
成立
词语的否 一个也没 至多有
定
有
n-1个
至少有 存在一个x不 存在有一
成立 两个
个成立
工具
第一章 常用逻辑用语
栏目导引
课堂检测
(11·辽宁卷)已知命题p：∃n∈N,2n＞1 000，则¬p为( )
A．∀n∈N,2n≤1 000
B．∀n∈N,2n＞1 000
C．∃n∈N,2n≤1 000
求实数a的取值范围。
工具
第一章 常用逻辑用语
栏目导引
完全达标教学
2. 已知命题 p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0； 命题 q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0. (1)若命题“p∧q”是真命题，求实数 a 的取值范围； (2)若命题“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题， 求 a 的取值范围．
第一章 常用逻辑用语
栏目导引
2.存在量词和特称命题
存在量词
存在一个 、 至少有一个
、
有些 、 有的 .
符号表示 特称命题
含有
∃ 存在量词
的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可用符号 记为 “∃x0∈M；p(x0)” .
否定
工具
x M ,p(x)
第一章 常用逻辑用语
栏目导引
3．如何判定全称命题和特称命题的真假？ 对全称命题，若要判定为真命题，需对每一个x都验 证使p(x)成立； 若要判定为假命题，只需举一个反例．
工具
第一章 常用逻辑用语
栏目导引
【解析】若命题 p 为真命题，即 a≤x2 恒成立． 因为 x∈[1,2]，所以 a≤1； 若命题 q 为真命题，即 x2＋2ax＋2－a＝0 有实根， 所以 Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即 a≥1 或 a≤－2.
高二数学选修2-1知识点总结
A．q1，q3 B．q2，q3
A．②③ B．②④
C．q1，q4 D．q2，q4
C．③④ D．①②③
[审题视点] 依据复合函数的单调性推断 p1，p2 的'真假．
解析 命题 p 是假命题，命题 q 是真命题，故③④正确．
解析 可推断 p1 为真，p2 为假；则 q1 为真，q2 为假，q3 为假，
答案 C
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出 m 的取值范围． 解 由 p 得：－m＜0，Δ1＝m2－4＞0，则 m＞2. 由 q 得：Δ2＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0， 则 1＜m＜3. 又∵“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，∴p 与 q 一真一假． ①当 p 真 q 假时，m≤1 或 m≥3，m＞2，解得 m≥3； ②当 p 假 q 真时，1＜m＜3，m≤2，解得 1＜m≤2. ∴m 的取值范围为 m≥3 或 1＜m≤2. 含有规律联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的
(2)特称命题的否认是全称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．
魏
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特称命题 p：x0∈M，p(x0)，它的否认 p：x∈M，p(x)．
2．(2021·北京)若 p 是真命题，q 是假命题，则( )．
2．复合命题的否认
A．p∧q 是真命题 B．p∨q 是假命题
“p∧q”、“q”形式命题的真假．
答案 存在 x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3
【训练 1】 已知命题 p：x0∈R，使 sin x0＝25；命题 q：x∈R，
考向一 含有规律联结词命题真假的推断
都有 x2＋x＋1＞0.给出以下结论
高二数学(新人教A版选修2-1)第一章知识点总结《1.4 全真量词与存在量词》(学生版) Word版无答案
全称量词与存在量词
．全称量词、全称命题
()短语“”、“”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题叫做．
()常见的全称量词有：“所有的”、“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“全部的”．
()全称命题的形式：对中任意一个，有()成立，可简记为：．
．存在量词特称命题
()短语“”、“”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号∃
表示，含有存在量词的命题叫做．
()常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”．
()特称命题的形式：存在中的一个，使()成立，可简记为．
．含有一个量词的命题的否定
()全称命题：∀∈，()，它的否定非：
，全称命题的否定是命题．
()特称命题：∃∈，()，它的否定非：
，特称命题的否定是命题．。
高中数学选修2-1常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词
1. 构造一个特称命题, 使 “{x|ax2} 为空集” 是真命题.
解: 特称命题为 ∃a0R, 使 {x|ax2} 为空集.
即存在一个 a00 , 使 {x|ax2} 为空集.
2. 将下列全称命题改为特称命题, 并使命题为假: (1) ∀xR, |sinx|≤1; (2) ∀mR, 直线 mx+y-30 不经过定点 P(0, 3).
1. 构造一个全称命题, 使 |x|>0 是假命题. 解: 当 x0 时, |x|>0 不成立.
只要限制范围内有 x0 的即可. 如: ∀xR, |x|>0.
∀x≥0, |x|>0. ∀x≤0, |x|>0. ∀x(-1, 1), |x|>0. ……
2. 判断下列全称命题的真假:
(1) ∀xR, |sinx|<1;
(2) ∀mR, 直线 mx+y-30 经过定点 P(0, 3).
解:
(1)
当 x k
+
2
,
kZ 时,
|sinx|1,
∴ 全称命题 “∀xR, |sinx|<1” 是假命题.
(2) 将点 P(0, 3) 代入直线的方程 mx+y-30 得
0+3-30, ∴ m 为任意实数时, x0, y3 都是方程的解,
解: (1) ¬p: ∀xR, x2+2x+2>0. (2) ¬p: 所有的三角形都不是等边三角形. (3) ¬p: 所有素数都不含三个正因数.
例5. 写出下列命题的否定, 并判断它们的真假: (1) p: 任意两个等边三角形都是相似的; (2) q: ∃x0R, x02+2x0+20. 解: (1) ¬p: 存在两个等边三角形, 它们不相似. ¬p是假命题.
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词课时规范训练 新人教A版高二选修2-1数学
1.4 全称量词与存在量词基础练习1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A ．所有不能被2整除的整数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 【答案】D【解析】原命题是全称命题，其否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数． 2．给出下列几个命题：①至少有一个x 0，使x 20＋2x 0＋1＝0成立； ②对任意的x ，都有x 2＋2x ＋1＝0成立； ③对任意的x ，都有x 2＋2x ＋1＝0不成立； ④存在x 0，使x 20＋2x 0＋1＝0成立． 其中是全称命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0【答案】B【解析】命题②③都含有全称量词“任意的”，故②③是全称命题． 3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2【答案】B【解析】选项A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；选项B 中x ＝0时，x 2＝0，所以选项B 既是特称命题又是真命题；选项C 中因为3＋(－3)＝0，所以选项C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以选项D 是假命题．4．已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )【答案】B【解析】因为x ＝－1时，2－1＞3－1，所以命题p ：“∀x ∈R,2x ＜3x”为假命题，则¬p 为真命题．令f (x )＝x 3＋x 2－1，因为f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以函数f (x )＝x 3＋x 2－1在(0,1)上存在零点，即命题q ：“∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20”为真命题．则(¬p )∧q 为真命题．故选B ．5．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋3＝0”的否定是__________． 【答案】∀x ∈R ，x 2－x ＋3≠0【解析】∵命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋3＝0”是特称命题，∴其否定命题为“∀x ∈R ，x 2－x ＋3≠0”．6．给出下列命题： ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．其中是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号) 【答案】①②③④【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)∀x ∈N ，x 3>x 2；(2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； (3)∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0；(4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．解：(1)当x ＝1时，13＝12，∴x ＝1时，x 3>x 2不成立，即此命题是假命题． 命题的否定：∃x 0∈N ，x 30≤x 20.(2)15可以被5整除，但15的末位数字不是0， ∴此命题是假命题．命题的否定：有些可以被5整除的整数，末位数字不是0.(3)∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，∴此命题是假命题．命题的否定：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.(4)菱形的对角线互相垂直且平分，∴此命题是真命题．命题的否定：任何一个四边形，它的对角线不互相垂直或不互相平分．8．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，某某数a的取值X围．解：若命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”为真命题，则a≤x2在区间[1,2]恒成立，所以a≤(x2)min＝1.若命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”为真命题，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≥1或a≤－2.命题“p且q”为真命题，即命题p，q都为真命题，所以取两个X围的交集，实数a的取值X围为a≤－2或a＝1.能力提升9．(2019年某某某某模拟)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)的值为( )A．－1 B．0C．1 D．2【答案】B【解析】若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)＝0.10．(2019年某某某某期中)下列关于函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x的描述，正确的是( )A．∃a0∈R，当x>a0时，总有f(x)<g(x)B．∀x∈R，f(x)<g(x)C．∀x<0，f(x)≠g(x)D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解【答案】A【解析】在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．当x>4时，由图象知f(x)<g(x)，选项A正确，选项B，C，D均错误．11．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.则m的取值X围是________．【答案】(－4，－2)【解析】由题意知m ≠0，∴f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数．若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则f (x )必须开口向下，即m <0.f (x )＝0的两根x 1＝2m ，x 2＝－m －3，则x 1－x 2＝3m ＋3.(1)当x 1>x 2，即m >－1时，必须大根x 1＝2m <1，即m <12；(2)当x 1<x 2，即m <－1时，大根x 2＝－m －3<1，即m >－4；(3)当x 1＝x 2，即m ＝－1时，x 1＝x 2＝－2<1也满足条件．∴满足条件①的m 的取值X 围为－4<m <0.若∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，则满足方程f (x )＝0的小根小于－4.(1)当m >－1时，小根x 2＝－m －3<－4且m <0，无解；(2)当m <－1时，小根x 1＝2m <－4且m <0，解得m <－2；(3)当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2≤0恒成立，∴不满足②.∴满足①②的m 的取值X 围是－4<m <－2.12．已知命题p ：∃x ∈R ，使得x 2－2ax ＋2a 2－5a ＋4＝0；命题q ：∀x ∈[0,1]，都有(a 2－4a ＋3)x －3<0.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，某某数a 的取值X 围．解：若p 为真命题，则Δ＝4a 2－4(2a 2－5a ＋4)≥0， 解得1≤a ≤4.对于q ，令f (x )＝(a 2－4a ＋3)x －3，若q 为真命题，则f (0)＜0且f (1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3＜0，a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4.由“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，知p ，q 一真一假，所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，a ≤0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1或a ＞4，0＜a ＜4.解得0＜a ＜1 或a ＝4.故a 的取值X 围是{a |0＜a ＜1 或a ＝4}．。
高中数学新人教A版选修2-1课件：第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词
解:由已知得,不等式 x+ − 1 − 2 + 2 > 0 对一切x>0 恒成立.
4
所以 a2-2a<x+ − 1.
4
4
由基本不等式可知 x+ − 1 ≥ 2 · − 1 = 3,
4
当且仅当x=2 时取等号,即 x+ − 1 的最小值为3,
因此,要使不等式恒成立,应满足a2-2a<3,解得-1<a<3.
.
重难聚焦
1.全称命题与特称命题的真假
剖析:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一
个元素x验证p(x)成立;但要判定一个全称命题是假命题,却只需找
出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的
“举出一个反例”).要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合
M中,至少能找到一个x=x0,使得p(x0)成立即可;否则,这一特称命题
(2)假命题,如边长为 1 的正方形,对角线长为 2, 就不是正有理数.
(3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解.
(4)假命题,只有x=2或x=1时,等式x2-3x+2=0才成立.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
对含有一个量词的命题的否定
(1)有些质数是奇数;
请分别给出(1)和(2)的否定.
错解:(1)三颗种子都不发芽;(2)三颗种子至多有两颗发芽.
错因分析:(1)“都”在否定中是“不都”而不是“都不”;(2)“至少有两
颗发芽”的否定应是“至多有一颗发芽”.因为至多有两颗和至少有
高中数学选修2-1、2-2知识点小结
选修2-1、2-2知识点选修2-1第一章 常用逻辑用语 1. 命题及其关系① 四种命题相互间关系： ② 逆否命题同真同假 2. 充分条件与必要条件p 是q 的充要条件：p q ⇔p 是q 的充分不必要条件：,p q q p ⇒¿ p 是q 的必要不充分条件：,q p p q ⇒¿ p 是q 的既充分不必要条件：,p q q p 靠3. 逻辑联结词 “或”“且”“非”4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化. 例：“a=1”是“0,21ax x x∀>+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第二章 圆锥曲线与方程 1.2. “回归定义” 是一种重要的解题策略。
如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。
3. 直线与圆锥曲线的位置关系（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；②点差法 （主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：12122100212,2,22x x y y y yx y k x x ++-===-） （2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）① 直线具有斜率k ，两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y1212AB x y =-==- ② 直线斜率不存在,则12AB y y =-.（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
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全称量词与存在量词
．全称量词、全称命题
()短语“所有的”、“任意一
个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题叫做全称命题．
()常见的全称量词有：“所有的”、“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“全部的”．
()全称命题的形式：对中任意一个，有()成立，可简记为：∀∈，()．
．存在量词特称命题
()短语“存在一个”、“至少有一
个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号∃
表示，含有存在量词的命题叫做特称命题．
()常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”．
()特称命题的形式：存在中的一个，使()成立，可简记为∃∈，() ．含有一个量词的命题的否定
()全称命题：∀∈，()，它的否定非：∃∈，()，全称命题的否定是特称命题．
()特称命题：∃∈，()，它的否定非：∀∈，()，特称命题的否定是全称命题．。