最新北师大版九年级数学下册单元测试题全套及答案
(含答案)九年级数学北师大版下册第1章《单元测试》02
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！北师大版九年级下单元测试第1单元班级________姓名________一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1.已知a Ð为锐角，且1sin 2a =，则a Ð=()A.30°B.45°C.60°D.90°2.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直(A ，D ，B 在同一条直线上)，设CAB a Ð=，则拉线BC 的长度为()A.sin h aB.cos h aC.tan h aD.cos h a×3.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt ACB △中，90C Ð=°，30ABC Ð=°，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得15D Ð=°，所以tan152AC CD ==-°.类比这种方法，计算tan 22.5°的值为()1+1- C. D.124.如图，ABC △的顶点是正方形网格的格点，则cos ABC Ð的值为()A.23B.22C.43D.2235.如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为a 时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为b ，已知3sin cos 5a b ==，则梯子顶端上升了()A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米6.图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图（2）所示的四边形OABC .若1AB BC ==，AOB a Ð=，则2OC 的值为()A.211sin a+ B.2sin 1a + C.211cos a+ D.2cos 1a +7.如图，Rt ABC △中，90BAC Ð=°，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B Ð=Ð，连接CE ，则CEAD的值为()A.323 C.15 D.28.如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和ND .甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度1:1.25i =.若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N2 1.41»3 1.73»）()A.9.0mB.12.8mC.13.1mD.22.7m9.如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，CE 是斜边AB 上的中线，过点E 作EF AB ^交AC 于点F .若4BC =，AEF △的面积为5，则sin CEF Ð的值为()A.355 C.452510.如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为1:0.75i =、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E ）均在同一平面内）.在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据sin240.41°»，cos240.91°»，tan240.45°=）()A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.如图，在四边形ABCD 中，90B Ð=°，2AB =，8CD =，AC CD ^.若1sin 3ACB Ð=，则tan D =______________.12.如图，在ABC 中，6AB AC ==，2sin 3B =，则ABC 的面积=___________.13.如图，ABC △的顶点B ，C 的坐标分别是(1,0)，，且90ABC Ð=°，30A Ð=°，则顶点A 的坐标是____________________.14.如图，运载火箭从地面L 处垂直向上发射，当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达测得AR 的距离是40km ，仰角是30°，n 秒后，火箭到达B 点，此时在R 处测得仰角是45°，则火箭在这n 秒中上升的高度是____________km.15.如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ^，垂足为E ，连接CE .若30ADB Ð=°，则tan DEC Ð的值为______________.三、解答题：本题共2小题，第一小题10分，第二小题15分，共25分.16.小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B ，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选取了一点D ，并在点D 处安装了测倾器DC ，测得古树的顶端A 的仰角为45°；再在BD 的延长线上确定一点G ，使5m DG =，并在点G 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿BG 方向移动，当移动到点F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A 的像，此时，测得2m FG =，小明眼睛与地面的距离 1.6m EF =，测倾器的高0.5m CD =.已知点F ，G ，D ，B 在同一水平直线上，且EF ，CD ，AB 均垂直于FB ，求这棵古树的高AB （小平面镜的大小忽略不计）.17.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB Ð=°，8AB =，5CD =，BC =.（1）求梯形ABCD 的面积；（2）连接BD ，求DBC Ð的正切值.参考答案1.A2.B3.B4.B5.C6.A7.D8.C9.A 10.A 11.3412.13.14.20)15.16.如图，过点C 作CH AB ^于点H ，则CH BD =，0.5m BH CD ==.在Rt ACH △中，45ACH Ð=°，AH CH BD \==.0.5AB AH BH BD \=+=+.EF FB ^ ，AB FB ^，90EFG ABG \Ð=Ð=°.由题意知EGF AGB Ð=Ð，EFG ABG \△△.EF FG AB BG \=，即 1.620.55BD BD=++，解得17.5m BD =.17.50.518(m)AB \=+=.答：这棵古树的高AB 为18m.17.（1）如图，过点C 作CE AB ^于点E .//AB DC ，90DAB Ð=°，90D \Ð=°.90A D AEC \Ð=Ð=Ð=°.\四边形ADCE 是矩形.AD CE \=，5AE CD ==.853BE AB AE \=-=-=.BC = ，6AD CE \==.\梯形ABCD 的面积为1(58)6392´+´=.（2）如图，过点C 作CH BD ^于点H .//CD AB ，CDB ABD \Ð=Ð，又90CHD A Ð=Ð=° ，CDH DBA \△△.CH CDAD BD\=.10BD === ，5610CH \=，解得3CH =.6BH \=.31tan 62CH DBC BH \Ð===.。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测(含答案解析)
一、选择题1．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．对于二次函数2y x bx c =++(b ，c 是常数）中自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x1- 0 1 2 34 y10 52 125A ．函数图像开口向上B ．当5x =时，10y =C ．当2x >时，y 随x 的增大而增大．D ．方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根3．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝04．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①0abc >；②420a b c -+<；③20a b -<；④284b a ac +>．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．抛物线23y x =向左平移5个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（ ） A ．23(5)1y x =-+ B ．23(-5)1y x =- C ．23(5)1y x =+-D ．23(5)1y x =++6．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，下列结论：①0abc >；②240b ac -≥；③80a c +<；④5320a b c -+<，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；③12a <-．其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动，当点E 到达点C 时停止运动．若FE AE ⊥，交CD 于点F 设点E 运动的路程为x ，FC y =，已知y 关于x 的图象如图2所示，则m 的值为（ ）A ．2B ．2C ．1D ．239．函数k y x=与()20y kx k k =-≠在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（ ） A ． B ． C ． D ．10．如图，二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②0a b c -+<；③2ba =-；④80a c +>．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是260 1.5s t t =-，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（ ）A ．10sB ．20sC ．30sD ．40s12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．将抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为_____． 14．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系：x0 1 2 3 y75713则代数式的值为_______．15．若A （m-2，n ），B （m+2，n ）为抛物线2()2020y x h =--+上两点，则n=_______．16．已知函数y b =的图象与函数23|1|43y x x x =----的图象恰好有四个交点，则b 的取值范围是______．17．有五张正面分别标有数字32112---，，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于以x为自变量的二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是____．18．如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴交于不同两点，与y 轴的交点在y 轴正半轴，它的对称轴为直线1x =．有以下结论：①0abc >，②0a c ->，③若点()11,y -和()22,y 在该图象上，则12y y <，④设1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两根，若2am bm c p ++=，则()()120p m x m x --≤．其中正确的结论是____________（填入正确结论的序号）．19．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示，下列说法：x··· 3-2-1- 0 1 ··· y···6-466···①抛物线与轴的交点为0,6；②抛物线的对称轴是在轴右侧；③在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；④抛物线一定过点()3,0．上述说法正确的是____（填序号）．20．如图，抛物线()()1244y x x =+-与x 轴交于A B 、两点，P 是以点()0,3C 为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 上靠近点A 的三等分点，连结OQ ，则线段OQ 的最大值是__________．三、解答题21．已知：抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧）． （1）请在平面直角坐标系内画出二次函数y 1＝﹣x 2﹣2x +3的草图，并标出点A 的位置； （2）点C 是直线y 2＝﹣x +1与抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3异于B 的另一交点，则点C 的坐标为 ；当y 1≥y 2时x 的取值范围是 ．22．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++经过()21,21m m -++､()20,22mm ++两点，其中m 为常数．（1）求b 的值，并用含m 的代数式表示c ；（2）若抛物线2y x bx c =++与x 轴有公共点，求m 的值；（3）设()1,a y ､()22,a y +是抛物线2y x bx c =++上的两点，请比较2y 与1y 的大小，并说明理由．23．如图， 已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2y ax bx c =++与直线交于A ，E 两点，与x 轴交于B (1，0)，C (2，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动， 当△PAE 是直角三角形时， 请通过计算写出一个满足条件点P 的坐标．24．一个二次函数图像上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … 0 1 2 3 4 … y…m﹣13…的值为 ；（2）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图像； （3）根据图像，写出当y ＞0时，x 的取值范围．25．已知二次函数223(0)y mx mx m m =-->的图像与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）连接,BC AC ，若ABC 为等边三角形，求m 的值．26．2020年是国家实施精准扶贫、实现贫困人口全面脱贫的决胜之年．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售，在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销售，采取降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克，第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为()()76120,2030,mx m x x y n x x ⎧-≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为正整数为正整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．（1）m =______，n =______；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到2yx ；当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，利用重叠的面积等于正方形的面积减去△MNE 的面积得到()2221y x x =--，配方得到()222y x =--+，然后根据二次函数的性质对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：当0＜x≤1时，2yx ，当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，如图，CD=x ，则2AD x =-， ∵Rt △ABC 中，AC=BC=2， ∴△ADM 为等腰直角三角形， ∴2DM x =-，∴()222EM x x x =--=-，∴S △ENM ()()22122212x x =-=-， ()()2222214222y x x x x x =--=-+-=--+∴()()()22012212y x x y x x ⎧=≤⎪⎨=--+≤⎪⎩﹤﹤， 故选：A ． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象：通过看图获取信息，考查学生问题分析能力，解题的关键是分两种情况考虑：当0＜x≤1和当1＜x≤2．2．D解析：D 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可得，当x ＜2时，y 随x 的值增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的值增大而增大，该函数开口向上，故选项A 、C 不符合题意； ∴点（−1，10）的对称点是（5，10），∴点（5，10）在该函数的图象上，故选项B 不符合题意；由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x 轴没有交点， ∴方程20x bx c ++=无实数根，故选项D 符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．D解析：D 【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m −n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断． 【详解】解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误； B ．∵抛物线开口向上， ∴m ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴k ＜0，∴mk ＜0，所以B 选项错误；C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴﹣2nm＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2bx a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．4．D解析：D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：①∵a ＜0，2ba-＜0， ∴b ＜0．∵抛物线交y 轴与正半轴， ∴c ＞0．∴abc ＞0，故①正确．②根据图象知，当x=-2时，y ＜0，即4a-2b+c ＜0；故②正确； ③∵该函数图象的开口向下， ∴a ＜0；又∵对称轴-1＜x=2ba-＜0， ∴2a-b ＜0，故③正确；④∵y=244ac b a-＞2，a ＜0，∴4ac-b 2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确． 综上所述，正确的结论有①②③④．故答案为：D ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，掌握相关性质是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=3x 2向左平移5个单位所得直线解析式为：y=3（x+5）2；再向下平移1个单位为：y=3（x+5）2-1．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6．B解析：B【分析】首先根据函数图像分别判断出a 、b 、c 的符号判断结论①；再利用与x 轴交点的个数得出24b ac -的正负判断结论②；利用对称轴以及当2x =时函数值的正负判断结论③；利用当1x =-和2x =-时的函数值的正负来判断结论④.【详解】结论①由抛物线开口方向向上可得0a >；对称轴在y 轴左侧可得a 、b 符号相同，即0b >；函数图像与y 轴交于负半轴，可得0c <；由此可知0abc <，故①错误. 结论②由函数图像与x 轴有两个交点可得240b ac ->，故②正确.结论③由函数图像可知抛物线对称轴为1x =-，所以12b a-=-，整理可得2b a =；当2x =时，420a b c ++>，将2b a =代入420a b c ++>可得，80a c +>，故③错误. 结论④由函数图像可知当2x =-时，420a b c -+<，当1x =-时，0a b c -+<，所以532(42)()0a b c a b c a b c -+=-++-+<，故④正确.综上所述，本题正确结论为②④，共2个.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的系数与图像的关系，关键在利用函数中当1x =-、2x =-和1x =-时的函数值的大小来判断③④结论的对错.7．C解析：C【分析】由二次函数的对称性及题意可得该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，进而可得抛物线的开口方向向下，则有a 0,b 0,c 0<>>，然后根据二次函数的性质可进行排除选项．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标为12212⨯-=-， ∴该点坐标为()1,0-，∴抛物线的开口方向向下，即0a <，根据“左同右异”可得0b >，∴0abc <，故①错误； ∴令y=0，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为：122,1x x ==-，故②正确； 根据根与系数的关系可得122c x x a==-， ∴21c a =->， 解得12a <-，故③正确； ∴正确的个数有2个；故选C ．【点睛】 本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 8．D解析：D【分析】分别求出点E 在AB 、BC 段运动时函数的表达式，即可求解．【详解】解：由图2可知，AB=6，BC=10-6=4，①当点E 在AB 上运动时，y=FC=BE=AB-AE=6-x ，即y=6-x （0≤x≤6），图象为一次函数；②当点E 在BC 上运动时，如下图，则BE=x-AB=x-6，EC=BC-BE=4-（x-6）=10-x ， FC=y ，AB=6，∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠FEC=∠EAB ，∴∠CFE=∠AEB ，∴△ABE ∽△ECF ， ∴BE AB CF CE=，即6610x y x -=-， 整理得：()2181061063y x x x =-+-<≤，图象为二次函数， ∵106-<， 故()2218121086363y x x x =-+-=--+有最大值，最大值为23， 即23m =， 故选：D ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、相似三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．9．B解析：B【分析】根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当k>0时，反比例函数k y x=在一、三象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向上，与y 轴交点在原点下方，故C 选项错误，B 选项正确； ②当k<0时，反比例函数k y x=在二、四象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向下，与y 轴交点在原点上方，故A 选项与D 选项错误．故选B ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象性质和二次函数图象性质．关键是根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．10．B解析：B【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴在原点的右边，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0， b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，∴结论①错误；∵抛物线的对称轴为x=1， ∴12b a-=， ∴2b a =-； ∴结论③正确；∵二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =， ∴1312x +=， ∴11x =-，∴二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的另一个交点为（-1,0），∴0a b c -+=；∴结论②错误；∵当x=-2时，y=4a-2b+c ＞0， ∵12b a-=，则b=-2a ∴80a c +>，∴结论④正确；故选B ．【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．11．B解析：B【分析】当s 取最大值时，飞机停下来，求函数最大值时的自变量即可．【详解】∵当s 取最大值时，飞机停下来，∴t= 6022( 1.5)b a -=-⨯-=20， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题，熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0， 又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误； ∵122b a -= ∴=-a b ， ∴0a b +=，故B 错误； 当12x =时，则11042y a b c =++>， ∵=-a b ， ∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥，∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．y ＝3x2+1【分析】根据抛物线平移规律常数项加1即可【详解】解：抛物线y ＝3x2沿y 轴向上平移1个单位所得的抛物线关系式为y ＝3x2+1故答案为：y ＝3x2+1【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规解析：y ＝3x 2+1．【分析】根据抛物线平移规律，常数项加1即可．【详解】解：抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为y ＝3x 2+1， 故答案为：y ＝3x 2+1．【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规律，解题关键是准确掌握函数平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项．14．91【分析】观察表格可知：x=0时y=7x=2时y=7即可求得抛物线的对称轴为直线x==1根据抛物线的对称性求得x=-1时y=13从而求得4a+2b+c=7a-b+c=13【详解】解：观察表格可知：解析：91【分析】观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，即可求得抛物线的对称轴为直线x=022+=1，根据抛物线的对称性求得x=-1时，y=13，从而求得4a+2b+c=7，a-b+c=13．【详解】解：观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，∴抛物线的对称轴为直线x=022+=1， ∵x=3时，y=13，∴x=-1时，y=13，∴4a+2b+c=7，a-b+c=13，∴（4a+2b+c ）（a-b+c ）的值为91，故答案为91．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．2016【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线的对称轴为再利用m-2+m+2=2h 解得m=h 则可得A （h −2n ）B （h ＋2n ）将B （h ＋2n ）代入函数关系式即可求出结果【详解】解：∵A （m-2n解析：2016【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =，再利用m-2+m+2=2h ，解得m=h ，则可得A （h−2，n ），B （h ＋2，n ），将B （h ＋2，n ）代入函数关系式即可求出结果．【详解】解：∵A （m-2，n ），B （m+2，n ）是抛物线2()2020y x h =--+上两点， ∴抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =，∴m-2+m+2=2h ，解得m=h ，∴A （h−2，n ），B （h ＋2，n ），当x ＝h ＋2时，n ＝−（h ＋2−h ）2＋2020＝2016，故答案为：2016．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数图象上的点的坐标特征并灵活运用所学知识解决问题．16．【分析】根据绝对值的意义分两种情形化简绝对值后根据图像确定b 的范围即可【详解】当x≥1时y=；当x ＜1时y=；∴二图像的交点为（1-6）y=的最小值为画图像如下根据图像可得直线与之间的部分有个交点∴ 解析：2564b -<<- 【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图像确定b 的范围即可.【详解】当x≥1时，y=27x x -；当x ＜1时，y=26x x --； ∴227(1)6(1)x x x y x x x ⎧-≥=⎨--<⎩， 二图像的交点为（1，-6）, y=26x x --的最小值为254-， 画图像如下，根据图像，可得直线6y =-与254y =-之间的部分有4个交点， ∴b 的取值范围为254-＜b ＜-6， 故填254-＜b ＜-6. 【点睛】 本题考查了图像的交点问题，利用分类思想，数形结合思想，最值思想画出图像草图是解题的关键.17．【分析】把点的坐标代入解析式转化为a 的一元二次方程确定方程的根从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值计算概率即可【详解】当二次函数的图象经过点时得解得所以符合题意的a 值有-3-12共三个所以二 解析：35【分析】把点的坐标代入解析式，转化为a 的一元二次方程，确定方程的根，从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值，计算概率即可.【详解】当二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象经过点(1,0)时，得 220a a +-=，解得 122,1a a =-=，所以符合题意的a 值有-3，-1,2，共三个，所以二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是35，故答案为：35. 【点睛】 本题考查了简单事件的概率计算、二次函数，利用二次函数的图象过点的意义，判定符合题意的a 值是解题的关键．18．③④【分析】利用数形结合思想从抛物线的开口与坐标轴的交点对称轴等方面着手分析判断即可【详解】解：∵抛物线的开口向下对称轴在原点的右边与y 轴交于正半轴∴a ＜0b ＞0c ＞0∴abc ＜0∴结论①错误；∵抛解析：③④【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在原点的右边，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0， b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，∴结论①错误；∵抛物线的对称轴为x=1， ∴12b a-=， ∴b=-2a ；∵ c+a+b ＞0，∴c-a ＞0，∴a-c ＜0， ∴结论②错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向下，∵点()11,y -和()22,y 在该图象上，∴()11,y -与x=1的距离比()22,y 与x=1的距离远；∴12y y <，∴结论③正确；∵2am bm c p ++=，1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两根，当0p a+b+c ＜≤时，12m ≤≤x x ；∴()()120＜--p m x m x ；当p=0时，()()12=0--p m x m x当p＜0时，()()120＜--p m x m x∴()()120p m x m x--≤∴结论④正确；③④故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．19．①②④【分析】由表格中数据x=0时y=6x=1时y=6；可判断抛物线的对称轴是x=05根据函数值的变化判断抛物线开口向下再由抛物线的性质逐一判断【详解】解：由表格中数据可知x=0时y=6x=1时y=解析：①②④．【分析】由表格中数据x=0时，y=6，x=1时，y=6；可判断抛物线的对称轴是x=0.5，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断．【详解】解：由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6，①抛物线与y轴的交点为（0，6），正确；②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y轴的右侧，正确；③由表中数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，错误．④根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（-2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确；正确的有①②④．故答案为①②④．【点睛】主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．20．【分析】当BCP三点共线且C在BP之间时BP最大连接PB此时△OAQ∽△BAP且相似比为1:3由此即可求得求出BP的最大值即可求解【详解】解：如下图所示连接BP当BCP三点共线且C在BP之间时BP最解析：7 3【分析】当B、C、P三点共线，且C在BP之间时，BP最大，连接PB，此时△OAQ∽△BAP，且相似比为1:3，由此即可求得13=OQ BP，求出BP的最大值即可求解．【详解】解：如下图所示，连接BP ，当B 、C 、P 三点共线，且C 在BP 之间时，BP 最大，令()()12404=+-=y x x ，求得1224，==x x ， ∴B(4,0)，A(-2,0)， ∵21===63AO AQ AB AP，且∠QAO=∠PAB ， ∴△OAQ ∽△BAP ， ∴13=OQ BP ，故只要BP 最大，则OQ 就最大， 此时BP 最大值为：224327++=BC CP ， ∴OQ 的最大值为：73． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点坐标，相似三角形的性质和判定，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP 的最大值，进而求解．三、解答题21．（1）见解析；（2）()2,3-，21x -≤≤【分析】（1）利用五点法作出二次函数的图像，然后令x=0求出A 点坐标即可；（2）将两个函数联立形成新的一元二次方程，然后求解C 点坐标，最后利用图像判断x 的取值范围即可．【详解】（1）由题意得： x ··· -3 -2 -1 0 1 ···y .. 0 3 4 3 0 (1)由上图得A 点坐标为()3,0-；（2）由题意得：2123x x x -+=--+，解得12x =-，21x =，当2x =-时，()213y =--+=，∴C 点坐标为()2,3-，由上图得，当y 1≥y 2时，21x -≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，重点是根据五点法作出二次函数的图像，然后利用数形结合思想进行判断．22．（1）b =2，c =m 2+2m +2；（2）m =-1；（3）见解析【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b 和c ；（2）令y =0，抛物线和x 轴有公共点，即△≥0，再结合非负数的性质确定出m 的值， （3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y 1，y 2，求出y 2-y 1分情况讨论即可【详解】解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过（-1，m 2+2m +1）、（0，m 2+2m +2）两点， ∴2212122b c m m c m m ⎧-+=++⎨=++⎩， ∴2222b c m m =⎧⎨=++⎩， 即：b =2，c =m 2+2m +2；（2）由（1）得y =x 2+2x +m 2+2m +2，令y =0，得x 2+2x +m 2+2m +2=0，∵抛物线与x 轴有公共点，∴△=4-4（m 2+2m +2）≥0，∴（m +1）2≤0，∵（m +1）2≥0，∴m +1=0，∴m =-1；（3）由（1）得，y =x 2+2x +m 2+2m +2，∵（a ，y 1）、（a +2，y 2）是抛物线的图象上的两点，∴y 1=a 2+2a +m 2+2m +2，y 2=（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2，∴y 2-y 1=[（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2]-[a 2+2a +m 2+2m +2]=4（a +2）当a +2≥0，即a ≥-2时，y 2-y 1≥0，即y 2≥y 1，当a +2＜0，即a ＜-2时，y 2-y 1＜0，即y 2<y 1．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x 轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b ，用m 表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．23．（1）213122=-+y x x ；（2）点P 的坐标为1(,0)2或(1,0)或(3,0)或11(,0)2． 【分析】（1）根据直线的解析式求得点A （0，1），然后利用待定系数法求得函数解析式；（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E 的坐标．△PAE 是直角三角形，应分点P 为直角顶点，点A 是直角顶点，点E 是直角顶点三种情况探讨．【详解】解：（1）解：（1）∵直线y=12x+1与y 轴交于点A ， ∴A （0，1），将A （0，1），B (1，0)，C (2，0)代入2y ax bx c =++中 10420c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：12321a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为：213122=-+y x x （2） 设点E 的横坐标为m ，则它的纵坐标为213122m m -+即E 点的坐标213(,1)22m m m -+，又∵点E 在直线112y x =+上， ∴213111222m m m -+=+解得10m =（舍 去） ，24m =， E ∴的坐标为(4,3)．（Ⅰ）当A 为直角顶点时，过A 作1AP DE ⊥交x 轴于1P 点，设1(,0)P a 易知D 点坐标为(2,0)-，由Rt AOD Rt ∆∽△1POA 得：DO OA OA OP =，即211a=， 12a ∴=， 11(2P ∴，0)． （Ⅱ） 同理，当E 为直角顶点时， 过E 作2EP DE ⊥交x 轴于2P 点，由Rt AOD Rt ∆∽△2P ED 得，2DO DE OA EP =，即221=22EP ∴=，2152DP ∴==， 1511222a ∴=-=， 2P 点坐标为11(,0)2．（Ⅲ） 当P 为直角顶点时， 过E 作EF x ⊥轴于F ，设3(P b ，0)，由90OPA FPE ∠+∠=︒，得OPA FEP ∠=∠，Rt AOP Rt PFE ∆∆∽， 由AO OP PF EF =得143b b =-， 解得13b =，21b =，∴此时的点3P 的坐标为(1,0)或(3,0)，综上所述， 满足条件的点P 的坐标为1(,0)2或(1,0)或(3,0)或11(,0)2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；分类讨论的思想是解题的关键．24．（1）3；（2）见解析；（3）x＜1或x＞3．【分析】（1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，则x=4和x=0时的函数值相等，从而得到m的值；（2）利用描点法画出二次函数图象；（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围．【详解】解：（1）∵抛物线经过点（1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），∴x=4和x=0时的函数值相等，∴m=3；故答案为：3；（2）描点，连线，二次函数图象如图所示，y 时，x＜1或x＞3．（3）观察图象，0【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 25．（1）(1,0)A -，(3,0)B ；（2）32m = 【分析】（1）把y=0代入，解方程即可；（2）求出顶点坐标，过C 作CD AB ⊥于D ，求出CD 即可．【详解】解：（1）2230mx mx m --=，∵0m >，方程两边同时除以m 得， 2230x x --=解得，13x =，21x =-∴A ，B 两点的坐标分别为：(1,0)A -，(3,0)B ．（2）抛物线223(0)y mx mx m m =-->的顶点横坐标为：212m x m-=-=， 把x=1代入223y mx mx m =--得，y=-4m ，抛物线的顶点C 的坐标为：(1,4)C m -由（1）得，AB=4，过C 作CD AB ⊥于D ， ∵ABC 为等边三角形，∴AD=2，AC=4， ∴22224223CD AC AD =-=-=∵点C 在第四象限，∴43m =∴3m =． 【点睛】本题考查求二次函数与x 轴交点，等边三角形的性质，解题关键是熟练的解一元二次方程，根据已知条件，找到坐标与线段的关系．26．（1）12m =-，25n =；（2）当18x =时，968W =最大． 【分析】（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值．【详解】解：（1）第12天的售价为32元/件，代入76y mx m =-得 321276m m =-，解得12m =-， 当地26天的售价为25元/千克时，代入y n =，则25n =， 故答案为：12m =-，25n =． （2）由（1）第x 天的销售量为()2041x +-即416x +．当120x ≤<时，()()22141638182723202189682W x x x x x ⎛⎫=+-+-=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴当18x =时，968W =最大．当2030x ≤≤时，()()416251828112W x x =+-=+，∵280>，∴W 随x 的增大而增大，∴当30x =时，952W =最大．∵968952>，∴当18x =时，968W =最大．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题的关键．。
北师大版数学九年级下册第三章 圆 单元测试卷
第三章 圆 单元测试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1. 已知AB 是半径为5的圆的一条弦，则AB 的长不可能是（ ）A ．4B ．8C ．10D ．122．如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，若∠ABC ＝57.5°，则∠BOC 的度数为（ ）A. 132.5° B ．130° C ．122.5° D ．115°第2题图 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图3．在平面直角坐标系xOy 中，若点P （4，3）在⊙O 内，则⊙O 的半径r 的取值范围是（ ）A ．0＜r ＜4B ．3＜r ＜4C ．4＜r ＜5D ．r ＞54．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠CDA ＝122°，则∠C 的度数为（ ）A ．22°B ．26°C ．28°D ．30°5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝22，则的长是（ ） A. π B ．23π C ．2π D ．21π 6．如图所示方格纸中，点A ，B ，C ，D ，O 均为格点，则点O 是（ ）A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的外心 C ．△ACD 的内心 D ．△ACD 的外心7．一把直尺、含60°角的直角三角尺和光盘如图所示摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为直尺与光盘的切点.若AB ＝3，则光盘的直径是（ ）A ．3B ．33C ．6D ．63第8题图 第9题图 第10题图8．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A ，与y 轴交于B ，C 两点，M 的坐标为（3，5），则B 的坐标为（ ）A ．（0，5）B ．（0，7）C ．（0，8）D ．（0，9）9．如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A ．6π﹣293 B ．6π﹣93 C ．12π﹣293 D ．49 10．如图，在等边三角形ABC 中，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB ，BC 相交于点D ，E ，F 是AC 上的点，下列说法错误的是（ ）A ．若EF ⊥AC ，则EF 是⊙O 的切线B ．若EF 是⊙O 的切线，则EF ⊥ACC ．若BE ＝EC ，则AC 是⊙O 的切线D ．若BE ＝23EC ，则AC 是⊙O 的切线 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11． 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，若∠A ＝n °，则∠DCE ＝ °．第11题图 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图12．已知⊙O 的半径为3 cm ，点A ，B ，C 是直线l 上的三个点，点A ，B ，C 到圆心O 的距离分别为2 cm ，3 cm ，5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置是 ．13．如图，点 A ，B ，C 均在6×6的正方形网格格点上，过A ，B ，C 三点的圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为 ．14. 如图，Rt △ABC 的内切圆⊙I 分别与斜边AB ，直角边BC ，CA 切于点D ，E ，F ，AD=3，BD=2，则Rt △ABC 的面积为 .15．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O 于点A ，并使较长边与⊙O 相切于点C ．记角尺的直角顶点为B ，量得AB ＝2 cm ，BC ＝4 cm ，则⊙O 的半径是 cm ．16．如图，⊙O 的直径为25 cm ，弦AB ⊥弦CD 于点E ，连接AD ，BC ，若AD ＝4 cm ，则BC 的长为 cm ．三、解答题（本大题7小题，共66分）17.（6分）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，且BD ∥OC ，求证：＝．第17题图 第18题图 第19题图18. （8分）如图，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点D ，试判断DB 与DI 相等吗？说明理由.19. （8分）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10 mm 的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道口的距离为8 mm ，求这个孔道的直径AB ．20．（10分）如图，以等边三角形ABC 的边AB 为直径的圆，与另两边BC ，AC 分别交于点E ，F ，请仅用无刻度的直尺作出△ABC 的边AB 上的高CD ．第20题图 第21题图 第22题图21．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC．（1）求证：△ADE是等腰三角形；（2）若∠D＝90°，⊙O的半径为5，BC∶DC＝1∶2，求△CBE的周长．22．（12分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE并延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．23．（12分）如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE 交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．①②③第23题图第24题图24．我们知道，如图①，AB是⊙O的弦，F是的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得E是AB的中点，即AE＝EB．若⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图②），过点F作EF⊥AC于点E，求证：E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB；（2）当点C在弦AB的下方时（如图③），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，那么AE，EC，CB满足怎样的数量关系？（直接写出，不必证明．）第三章 圆 单元测试卷 参考答案 答案详解 10．C 提示：连接OE ，如图所示，则OB ＝OE.因为∠B ＝60°，所以∠BOE ＝60°.因为∠BAC ＝60°，所以∠BOE ＝∠BAC.所以OE ∥AC.因为EF ⊥AC ，所以OE ⊥EF.所以EF 是⊙O 的切线.选项A 正确；因为EF 是⊙O 的切线，所以OE ⊥EF.由A 知OE ∥AC ，所以AC ⊥EF. 选项B 正确；因为∠B ＝60°，OB ＝OE ，所以BE ＝OB.因为BE ＝CE ，所以BC ＝AB ＝2BO.所以AO ＝OB.如图，过点O 作OH ⊥AC 于点H ，所以∠OHA=90°.因为∠BAC ＝60°，所以∠AOH=30°. 在Rt △OAH 中 ，由勾股定理，得OH ＝22OA AH -= 222OA OA ⎛⎫- ⎪⎝⎭=23AO ≠OB. 选项C 错误；因为BE ＝23EC ，所以CE ＝332BE.因为AB ＝BC ，BO ＝BE ，所以AO ＝CE ＝332OB. 在Rt △OAH 中 ，由勾股定理，得OH ＝22OA AH -=23AO ＝OB.所以AC 是⊙O 的切线. 选项D 正确．16．2 提示：如图，作直径DH ，连接AH ，CH ，AC ．因为DH 是直径，所以∠DCH ＝∠DAH ＝90°.因为AB ⊥CD ，所以∠AED ＝∠DCH ＝90°.所以CH ∥AB.所以∠CAB ＝∠ACH.所以＝.所以AH ＝BC. 在Rt △ADH 中，AH ＝22224)52(-=-AD DH =2（cm ），所以BC ＝AH ＝2 cm ．三、17．证明：因为OB ＝OD ，所以∠D ＝∠B.因为BD ∥OC ，所以∠D ＝∠COD ，∠AOC ＝∠B.所以∠AOC ＝∠COD.所以＝．18．解：DB ＝DI.理由：连接BI.由圆周角定理，得∠DBC ＝∠DAC.因为I 是△ABC 的内心，所以∠ABI ＝∠CBI ，∠BAD ＝∠CAD. 由三角形的外角的性质，知∠DIB ＝∠IBA+∠BAI.又∠DBI ＝∠DBC+∠IBC ，所以∠DIB ＝∠DBI.所以DB ＝DI ．19．解：连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AB ＝2AD.答案速览一、1. D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D 7. D 8．D 9．A 10.C二、11. n 12．相交 13．5 14. 6 15．5 16．2三、解答题见“答案详解”因为钢球的直径是10 mm ，所以钢球的半径是5 mm ，即OA=5 mm.因为钢球顶端离孔道口的距离为8 mm ，所以OD ＝3 mm.在Rt △AOD 中，由勾股定理，得AD ＝222235-=-OD OA ＝4（mm ）， 所以AB ＝8 mm ． 20．解：如图所示，CD 即为所求.21．（1）证明：因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A+∠DCB=180°.又∠DCB+∠BCE=180°，所以∠A ＝∠BCE.因为BE ＝BC ，所以∠BCE ＝∠E.所以∠A ＝∠E.所以DA ＝DE ，即△ADE 是等腰三角形.（2）解：连接AC.设BC ＝k ，则CD ＝2k.因为∠D ＝90°，所以∠CBE ＝90°，AC 是⊙O 的直径.因为BE ＝BC ，所以∠E ＝45°.所以BE ＝BC ＝k ，EC ＝2k.所以DA=DE ＝22k.在Rt △DAC 中，由勾股定理，得AC ＝10k.因为⊙O 的半径为5，所以10k ＝10，解得k ＝10.所以BC+BE+CE=210+25，即△CBE 的周长为210+25．22．（1）证明：连接OB.因为E 是弦BD 的中点，所以BE ＝DE ，OE ⊥BD ，＝12.所以∠BOE ＝∠A ，∠OBE+∠BOE ＝90°.因为∠DBC ＝∠A ，所以∠BOE ＝∠DBC.所以∠OBE+∠DBC ＝90°.所以∠OBC ＝90°，即BC ⊥OB.所以BC 是⊙O 的切线.（2）解：因为OB ＝6，BC ＝8，BC ⊥OB ，所以OC ＝22BC OB +=10.因为△OBC 的面积＝12OC •BE ＝12OB •BC ，所以BE ＝OB BC OC ⋅=6810⨯=4.8.所以BD ＝2BE ＝9.6，即弦BD 的长为9.6． 23．证明：（1）因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ADB ＝90°.所以∠A+∠ABD ＝90°.因为∠A ＝∠DEB ，∠DEB ＝∠DBC ，所以∠A ＝∠DBC.所以∠DBC+∠ABD ＝90°.所以BC 是⊙O 的切线.（2）连接OD.因为BF ＝BC ＝2，∠ADB ＝90°，所以∠CBD ＝∠FBD.因为OE ∥BD ，所以∠FBD ＝∠OEB.因为OE ＝OB ，所以∠OEB ＝∠OBE.所以∠OBE=∠FBD.所以∠CBD ＝∠FBD ＝∠OBE ＝13∠ABC ＝13×90°＝30°.所以∠C ＝60°，∠A ＝30°.所以AC=4. 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝22AC BC -=23，所以⊙O 的半径为3.因为OA=OD ，所以∠ODA ＝∠A=30°.所以∠DOB=60°. 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD=22AB BD -=3.所以S 阴影=S 扇形DOB -S △DOB ＝61π×（3）2-12×12×3×3=2π-433． 24．（1）证明：在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，如图①所示.因为F 是的中点，所以FA＝FB.在△FAG和△FBC中，FA FBFAG FBCAG BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，所以△FAG≌△FBC（SAS）.所以FG＝FC.因为FE⊥AC，所以EG＝EC.所以AE＝AG+EG＝BC+CE. （2）解：结论AE＝EC+CB不成立，新结论为CE＝BC+AE.理由：在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，如图②所示.因为F 是的中点，所以FA＝FB ，.所以∠FCG＝∠FCB.在△FCG和△FCB中，CG CBFCG FCBFC FC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，所以△FCG≌△FCB（SAS）.所以FG＝FB.所以FA＝FG.因为FE⊥AC，所以AE＝GE.所以CE＝CG+GE＝BC+AE.①②第24题图。
北师大版九年级数学下册全册同步练习含答案最新版
北师大版初中数学九年级下册全册同步练习1.1锐角三角函数一、选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=3，则下列结论正确的是( ) A． sin A= B．cos A=C．sin A= D．tan A=2．如图l－2l所示的是一水库大坝横截面的一部分，坝高h＝6 m，迎水坡AB＝10 m，斜坡的坡角为a，则tan a的值为 ( )A． B． C． D．3．如图1－22所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且cos a＝，AB＝4，则AD的长为 ( )A．3 B．C. D．二、填空题4．如图1－23所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC＝，则梯子AB的长度为米．5．若a是锐角，且sin2 a+cos2 48°＝1，则a= .6．如图l－24所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，求∠A的三角函数值．三、计算与解答题7．如图1－25所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD =，求sin A，cos A，tan A的值．8．如图1－26所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝．(1)求点B的坐标；(2)求cos∠BAO的值．9．请你画出一个以BC为底边的等腰三角形ABC，使底边上的高AD＝BC(1)求tan∠ABC和sin∠ABC的值；(2)在你所画的等腰三角形ABC中，假设底边BC＝5米，求腰上的高BE．参考答案1．C[提示：sinA=．]2．D[提示：过A点作垂线交底部于C点，则△ACB为直角三角形，∴BC＝＝8(m)，∴tan a＝＝．故选D．]3．B[提示：∠ADE和∠EDC互余，∴cos a＝sin∠EDC＝，sin∠EDC＝∴EC=.由勾股定理，得DE＝．在Rt△AED中，cos a＝,∴AD＝．故选B．]4．4[提示：在Rt△BCA中，AC＝3米，cos∠BAC＝，所以AB＝4米，即梯子的长度为4米．]5．48°[提示：∵sin2a＋cos2 a＝l，∴a＝48°．]6．提示：sin A＝，cos A＝，tan A=.7．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD·DB＝16，∴CD=4，∴AC=．∴sin A==，cos A＝，tan A=. 8．解：(1)如图l－27所示，作BH⊥OA，垂足为H．在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝，∴BH=3，∴OH＝4，∴点B的坐标为(4，3)． (2)∵OA＝10，OH＝4，∴AH＝6．在Rt△AHB中，∵BH=3，∴AB＝，∴cos∠BAO== ．9．解：(1)根据题意画出图形，如图1－28所示，∵AB＝AC，AD⊥BC，AD＝BC，∴BD＝B C= AD，即AD＝2BD，∴AB＝BD，∴tan∠ABC==2,sin∠ABC== (2)作BE⊥AC于E，在Rt△BEC中，sinC=sin∠ABC=.又∵sin C=∴故BE=（米）.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值一．选择题：1.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且 sin A＝，cos B＝，则△ABC三个角的大小关系是（）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠B＞∠C＞∠AC．∠A＞∠B＞∠C D．∠C＞∠B＞∠A2.若0°＜＜90°，且|sin－|＋，则tan的值等于（）A． B． C． D．3．如图1—37所示，在△ABC中，∠A=30°，tan B＝，AC＝，则AB的长是 ( ) A．3＋ B．2＋C. 5 D．4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是( ) A．a B．a C.a D．a或a二、选择题5．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝，AB＝2，则tan= ．6．若a为锐角，且sin a=,则cos a= ．7．在Rt△ACB中，若∠C＝90°，sin A＝,b＋c＝6，则b= ．8．(1)在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则 cos B＝________；(2)已知为锐角，且cos(90°－)＝，则＝________；(3)若，则锐角＝________．三、计算与解答9．计算（1）sin 60°·cos 30°－.(2) 2 cos230°－2 sin 60°·cos 45°；(3) 2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°；10．如图1—38所示，在Rt△ACB中，∠BCA＝90°，CD是斜边上的高，∠ACD＝30°，AD ＝1，求AC，CD，BC，BD，AB的长．11．如图1—39所示，在相距100米的A，B两处观测工厂C，测得∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，则A，B两处到工厂C的距离分别是多少?12．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sin A)x＋5sin A＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．参考答案1． D； 2 。
北师大版九年级下册数学《第2章 二次函数》单元测试题(有答案)
2020-2021学年北师大新版九年级下册数学《第2章二次函数》单元测试题一．选择题1．抛物线y＝x2﹣6x+24的顶点是（）A．（﹣6，﹣6）B．（﹣6，6）C．（6，6）D．（6，﹣6）2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，）所在的象限是（）A．一B．二C．三D．四3．若直线y＝ax+b（a≠0）在第一、二、三象限，则抛物线y＝ax2+bx+c的图象（）A．开口向下，对称轴在y轴左侧B．开口向上，对称轴在y轴左侧C．开口向上，对称轴在y轴右侧D．开口向下，对称轴在y轴右侧4．将抛物线y＝4x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝4（x+2）2+3B．y＝4（x+2）2﹣3C．y＝4（x﹣2）2+3D．y＝4（x﹣2）2﹣35．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c 的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC：CB＝1：2，那么，这个二次函数的顶点坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（，﹣）6．二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则不等式x2﹣x﹣2＜0的解集是（）A．x＜﹣1B．x＞2C．﹣1＜x＜2D．x＜﹣1或x＞2 7．下面给出了6个函数：①y＝3x2﹣1；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝；④y＝x（x2+x+1）；⑤y＝；⑥y＝．其中是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成（）A．1.5m，1m B．1m，0.5m C．2m，1m D．2m，0.5m9．已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于A，与x轴的正半轴交于B、C，且BC＝2，S＝△ABC 3，则c的值为（）A．1B．2C．3D．410．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝（）A．﹣1.3B．﹣2.3C．﹣0.3D．﹣3.3二．填空题11．利用函数图象求得方程x2+x﹣12＝0的解是x1＝，x2＝．12．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）的函数关系式是s＝12t ﹣4t2，汽车刹车后到停下来前进了m．13．圆的面积y（cm2）与圆的半径x（cm）之间的函数关系式是．14．用配方法将二次函数y＝4x2﹣24x+26写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是，对称轴为，顶点坐标为．15．已知点（m+1，m2）在函数y＝x2+2x的图象上，则m＝．16．函数y＝x2中，自变量x的取值范围是，函数值y的取值范围是．17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的函数值y＜0，则x的取值范围为．18．已知抛物线与x轴有两个交点（﹣1，0），（3，0），并且与y轴交点的纵坐标为﹣6，则这个二次函数的解析式为．19．抛物线y＝x2﹣k的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么k ＝．20．将抛物线y＝﹣2x2+4x向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线的解析式为．三．解答题21．用配方法求出下列二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象的顶点坐标和对称轴．22．已知（m，n）是抛物线y＝ax2上的点，求证：点（﹣m，n）也在抛物线y＝ax2上．23．在平面直角坐标系中画出y＝5x2的草图，并且作出将其向右移动2个单位，向上移动1个单位后的抛物线的图象．24．到姜堰观光旅游的客人越来越多，某景点每天都吸引大量的游客前来观光．事实表明，如果游客过多，不利于保护珍贵文物，为了实施可持续发展，兼顾社会效益和经济效益，该景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人数．已知每张门票原价为40元，现设浮动门票为每张x元，且40＜x＜70，经市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；（2）设该景点一天的门票收入为w元．①试用x的代数式表示w；②试问：当门票定为多少时，该景点一天的门票收入最高？最高门票收入是多少？25．在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2+（k﹣1）x+2k﹣1的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．求这个二次函数的解析式及A，B两点的坐标．26．（1）在同一直角坐标系中画抛物线y＝x2﹣2x﹣3与双曲线y＝；（2）观察图形，方程组的解的近似值为．27．已知抛物线y＝x2﹣2x，求抛物线的顶点坐标和对称轴．参考答案与试题解析一．选择题1．解：抛物线y＝x2﹣6x+24＝（x﹣6）2+6，所以抛物线y＝x2﹣6x+24的顶点是（6，6）．故选：C．2．解：由函数图象可得各系数的关系：a＞0，b＜0，c＞0，则a＞0，＜0，因此P（a，）位于第四象限．故选：D．3．解：∵直线y＝ax+b（a≠0）在第一、二、三象限，∴a＞0，b＞0，则抛物线y＝ax2+bx+c开口方向向上，对称轴x＝﹣＜0，在y轴左侧．故选：B．4．解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，3）．）可设新抛物线的解析式为：y＝4（x﹣h）2+k，代入得：y ＝4（x+2）2+3．故选：A．5．解：由图象y＝﹣2x+3知：C（0，3），A（1.5，0）即c＝3，因为y＝x2+bx+3，可设B（a，a2+ba+3），又∵B在函数y＝﹣2x+3的图象上则有a2+ba+3＝﹣2a+3…（1），又∵AC：CB＝1：2，…（2），则由（1）和（2）解得：a＝﹣3，b＝1（负值已舍）．由顶点坐标（﹣，）得（﹣）．故选：A．6．解：由图可知，抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）、（2，0），所以，不等式x2﹣x﹣2＜0的解集是﹣1＜x＜2．故选：C．7．解：①符合二次函数的定义；②符合二次函数的定义；③不是整式，不符合二次函数的定义；④整理后x的最高次数为3，不符合二次函数的定义；⑤不是整式，不符合二次函数的定义；⑥不是整式，不符合二次函数的定义；所以是二次函数的共有2个，故选B．8．解：设长为x，则宽为，S＝x，即S＝﹣x2+2x，要使做成的窗框的透光面积最大，则x＝﹣＝﹣＝＝1.5m．于是宽为＝＝1m，所以要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成1.5m，1m．故选：A．9．解：∵BC＝2，S＝3，△ABC∴×c×2＝3，解得c＝3，故选：C．10．解：方法一：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）∴﹣＝﹣1则﹣＝﹣2∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根∴x1+x2＝﹣又∵x1＝1.3∴x1+x2＝1.3+x2＝﹣2解得x2＝﹣3.3．方法二：根据对称轴为；x＝﹣1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3，则＝﹣1，即＝﹣1，解得：x2＝﹣3.3，故选：D．二．填空题11．解：∵方程x2+x﹣12＝0的解就是函数y＝x2+x﹣12的图象与x轴的交点的横坐标，而y＝x2+x﹣12的图象如图所示：∴y＝x2+x﹣12的图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0）、（3，0），∴方程x2+x﹣12＝0的解是x1＝﹣4，x2＝3．12．解：∵s＝12t﹣4t2＝﹣4（t﹣）2+9，∴汽车刹车后到停下来前进了9m．故答案为9．13．解：由圆的面积计算公式，得y＝πx2．14．解：y＝4x2﹣24x+26＝4（x2﹣6x）+26＝4（x2﹣6x+9﹣9）+26＝4（x﹣3）2﹣10∴对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣10）故本题答案为：y＝4（x﹣3）2﹣10；x＝3；（3，﹣10）．15．解：依题意，得（m+1）2+2（m+1）＝m2，解得m＝﹣．16．解：函数y＝x2中，自变量x的取值范围是全体实数，函数值y的取值范围是非负数．17．解：当y＝0时，即x2﹣2x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴图象与x轴的交点是（﹣1，0），（3，0），当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣1＜x＜3．故填空答案：﹣1＜x＜3．18．解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把（0，﹣6）代入得a•（﹣3）＝﹣6，解得a＝2．所以抛物线解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．故答案为y＝2x2﹣4x﹣619．解：∵抛物线y＝x2﹣k的顶点为P，∴P点的坐标为：（0，﹣k），∴PO＝K，∵抛物线y＝x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，∴OA＝OB，∠OPB＝30°，∴tan30°＝＝，∴OB＝k，∴点B的坐标为：（k，0），点B在抛物线y＝x2﹣k上，∴将B点代入y＝x2﹣k，得：0＝（k）2﹣k，整理得：﹣k＝0，解方程得：k1＝0（不合题意舍去），k2＝3．故答案为：3．20．解：抛物线y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，5），得到新抛物线的解析式是y＝﹣2（x+1）2+5．故答案为：y＝﹣2（x+1）2+5．三．解答题21．解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x2﹣2x+1）﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x＝1．22．证明：∵抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，而点（m，n）与点（﹣m，n）也关于y轴对称，∴当点（m，n）在抛物线y＝ax2上时，点（﹣m，n）也在抛物线y＝ax2上．23．解：原抛物线的顶点为（0，0），分别右移动2个单位，向上移动1个单位后，那么新抛物线的顶点为（2，1）；可设新抛物线的解析式为y＝5（x﹣h）2+k，代入得：y＝5（x﹣2）2+1．24．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），∵函数图象经过点（50，3500），（60，3000），∴，解得．∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+6000；（2）①w＝xy＝x（﹣50x+6000）＝﹣50x2+6000x，即w＝﹣50x2+6000x；②w＝﹣50x2+6000x＝﹣50（x﹣120x+3600）+180000＝﹣50（x﹣60）2+180000，∵a＝﹣50＜0，＝180000．∴当x＝60时，w有最大值，w最大答：当门票定为60元时，该景点一天的门票收入最高，最高门票收入是180000元．25．解：（1）把点C（0，﹣3）代入y＝x2+（k﹣1）x+2k﹣1得，2k﹣1＝﹣3，解得k＝﹣1，所以，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0）．26．解：（1）（2）由题意知，方程组的解即为图象交点的坐标，∴由图象可知交点坐标为（3.2，0.6），∴方程组的解为：．27．解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，故顶点坐标是（1，﹣1），对称轴是直线x＝1．。
(北师大版)九年级数学下册(全册)章节检测卷汇总
(北师大版 )九年级|数学下册 (全册 )章节检测卷汇总北师大版九年级|数学下册单元检测第1章 -直角三角形的边角关系 (3 )附答案参考数值：41.12≈ ,73.13≈一、选择题 (每题3分 ,共30分 )1、在Rt △ABC 中 ,∠C =90° ,AC =3 ,BC =4 ,那么B cos 的值是 ( ) A 、54 B 、53 C 、43 D 、34 2、在Rt △ABC 中 ,如果各边长度都扩大为原来的2倍 ,那么锐角A 的正弦值 ( ) A 、扩大2倍 B 、缩小2倍 C 、扩大4倍D 、没有变化A 、A a c sin =B 、Aac cos =C 、A a c tan ⋅=D 、A a c sin ⋅=4．在△ABC 中 ,假设1tan =A ,22sin =B ,你认为对△ABC 最|确切的判断是 ( ) A ．是等腰三角形 B ．是等腰直角三角形 C ．是直角三角形D ．是一般锐角三角形5、等腰三角形的底角为30° ,底边长为23 ,那么腰长为 ( ) A ．4B ．23C ．2D ．226、如图1 ,在菱形ABCD 中 ,∠ABC =60° ,AC =4 ,那么BD 长为 ( ) A ．83B ．43C ．23D ．87．在△ ABC 中 ,∠C =90° ,53sin =B ,那么A cos 的值是( ) A 、53 B 、34 C 、54 D ．438、如图2 ,沿AC 方向开山修路 ,为了加快施工进度 ,要在小山的另一边AC同时施工．从AC 上的一点B ,取∠ABD =145° ,BD =500米 ,∠D =55° ,要使A ,C ,E 成一直线 ,那么开挖点E 离点D 的距离是 ( ) A 、500sin55°米 B 、500cos55°米 C 、500tan55°米D 、500tan35°米9、如图3 ,在矩形ABCD 中 ,D E ⊥AC ,垂足为E ,设∠ADE =α ,且cos α =35,AB =4 , 那么AD 的长为 ( ) A 、3 B 、163C 、203D 、16510．甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上 (梯子顶端靠墙 ) , 小明测得：甲与地面的夹角为60°；乙的底端距离墙脚3米 ,且顶端距离墙脚3米；丙的坡度为3 .那么 ,这三张梯子的倾斜程度 ( )A ．甲较陡B ．乙较陡C ．丙较陡D ．一样陡二、填空题 (每题5分 ,共25分 )11、在△ABC 中 ,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a 、b 、c ,1=a ,1=b ,2=c ,那么=A sin __________12、比拟以下三角函数值的大小：︒40sin ︒50sin13、小芳为了测量旗杆高度 ,在距旗杆底部6米处测得顶端的仰角是60° ,小芳的身高不计 ,那么旗杆高 米 . (保存根号 ) 14、在ABC ∆中 ,假设90C ∠=︒ ,1sin 2A = ,2AB = ,那么ABC ∆的周长为 (保存根号 )15．如图 ,在某建筑物AC 上 ,挂着 "多彩云南〞的宣传条幅BC ,小明站在点F 处 ,看条幅顶端B ,测的仰角为︒30 ,再往条幅方向前行20米到达点E 处 ,看到条幅顶端B ,测的仰角为︒60 ,那么宣传条幅BC 的长为 米 (小明的身高不计 ,结果精确到0.1米 )三、解答题 (16题6分 ,17题9分 ,18题9分 ,19题10分 ,20题11分 )16、计算：︒+︒-︒60tan 245cos 330sin17、如图10 ,在电线杆上离地面高度5米的C点处引两根拉线固定电线杆．一根拉线AC和地面成60°角,另一根拉线BC与地面成45°角,试求两根拉线的长度. (精确到0.1米)18、某村方案开挖一条长1500米的水渠,渠道的断面为等腰梯形,渠道深0.8米,下底宽1.2米,坡角为450 (如下图) ,求挖土多少立方米.19、如图,CD是平面镜,光线从A出发经CD上点E发射后照射到B点.假设入射角为α,AC⊥CD ,BD⊥CD ,垂足分别为C、D ,且AC =3 ,BD =6 ,CD =11求tanα的值.BαAC E DD CBA20、如图,为测得峰顶A到河面B的高度h ,当游船行至|C处时测得峰顶A的仰角为α ,前进m米至|D处时测得峰顶A的仰角为β (此时C、D、B三点在同一直线上).(2)当α =45°,β =60°,m =50米时,求h的值.(精确到0.1m ,2≈1.41 ,3≈1.73 )如图,在东海中某小岛上有一灯塔A ,A塔附近方圆25海里范围内有暗礁．我海军110舰在O 点处测得A塔在其西北30°方向；再向正西方向行驶20海里到达B处,测得A塔在其西北方向45° ,如果该舰继续向西航行,是否有触礁的危险?请通过计算说明理由．答案：11、2212、< 13、3614、33+解答题 16、解：原式＝3222321⋅+⨯-............3分 ＝62621+-....................5分 ＝2621+＝261+...........6分17、解：根据题意 ,△CDA 和△CDB 是Rt △CD ＝5在Rt △CDA 中︒=60sin ACCD................................1分 ∴8.5331031032523560sin ≈==⨯=÷=︒=CD AC (米 )...................4分在Rt △CDB 中︒=45sin CBCD.................................5分 ∴1.725221021022522545sin ≈===⨯=÷=︒=CD CB (米 ) (8)分答：两根拉线AC 为5.8米 ,CB 为7.1米.....................................9分18、解：过A 、B 两点作AE ⊥DC ,BF ⊥CD ,垂足分别是E 、F..............1分那么AE ＝BF ＝0.8米 ,EF ＝AB ＝1.2米..............................2分 ∵坡角为45° ,CD//AB∴∠EDA ＝∠BCF ＝45°..................................3分 在Rt △DEA 和Rt △FCB 中8.045tan =⋅︒=DE AE ；8.045tan =⋅︒=FC BF ..................................5分 ∴DC ＝DE +EF +FC ＝0.8 +1.2 +0.8＝2.8米..................................6分()150021⨯⋅+⨯=AE AB DC V ..................................7分＝15008.0421⨯⨯⨯ ×1500＝2400 (米3 )..................................8分答：挖出的土有2400米3..................................9分19、解：∵AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,∴∠ACE ＝∠BDE ＝90°..................................1分∴∠A +∠AEC ＝90°..................................2分 又∵∠α +∠AEC ＝90°∴∠A ＝∠α..................................3分根据题意 ,∠AEC ＝∠BED..................................4分 ∠ACE ＝∠BDE∴△AEC ∽△BED..................................5分∴2163===ED CE BD AC ..................................6分 ∴2111=-CE CE ..................................8分 CE CE -=112311=CE ..................................9分∴91133113311tan tan =÷====∠AC CE A α..................................10分20、解：根据题意：△ABD 和△ABC 是Rt △在Rt △ABD 中βtan =BDh..................................1分 βtan hBD =..................................2分 在Rt △ABC 中αtan =BCAB..................................3分 αtan hC B =..................................4分又∵DC ＝BC －BD ∴()βααββαtan tan tan tan tan tan ⋅-=-=h h h m ..................................6分 ()αβαβtan tan tan tan -⋅=m h .......................................7分 (2 )根据 (1 )的结果可得：()3.1181335045tan 60tan 60tan 45tan 50≈-=︒-︒︒⋅︒=h ...........10分答：h 的值为：118.3米............................11分附加题解：不会触礁过A 作AC ⊥BD ,垂足为C 设AC ＝x在Rt △ACB 中 ,∠ABC ＝45° ∴︒=45tan BCACBC BC AC =︒⋅=45tan∴OC ＝BC +BO ＝AC +BO ＝x +20 在Rt △ACO 中 ,∠AOC ＝30° ∴︒=30tan OCAC3120=+x x ；203+=x x203=-x x()2013=-x()()()()73.21310131313201320≈+=+-+=-=x∵253.27>=x ,∴不会触礁 .参考题22． (6分 )某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A B ，两点间的距离时用了以下三种测量方法 ,如以下图所示．图中a b c ，，表示长度 ,β表示角度．请你求出AB 的长度 (用含有a b c β，，，字母的式子表示 )．(1 )______AB =______(2 )______AB =_______ (3 )______AB =_______23． (9分 )如图 ,在梯形ABCD 中 ,AD ∥BC ,∠B =90° ,AD =2 ,BC =5 ,tanC =34．(1 )求点D 到BC 边的距离； (2 )求点B 到CD 边的距离．24． (10分 )一°°方向上．之后 ,轮船继续向东航行多少海里 ,距离小岛C 最|近 ?(参考数据：sin21.3°≈925,°≈25 ,tan21.3°≈25 ,sin63.5°≈910°≈21 ,tan63.5°≈2 )(1 ) A C Bab(2 ) ACBaβ(3 ) AC Ba DEcbA BC北东北师大版九年级|数学下册单元检测第2章 -二次函数 (3 )附答案一、选择题(本大题共8小题 ,每题4分 ,共32分)1．在以下函数关系式中 ,y 是x 的二次函数的是( )．A ．x y＝6 B ．xy ＝－6 C ．x 2＋y ＝6 D ．y ＝－6x 2．抛物线①y ＝2x 2,②y ＝223x －7 ,③y ＝213x ＋5中 ,开口从大到小的顺序为( )．A ．①②③B ．③②①C ．①③②D ．②①③3．如图 ,平面直角坐标系中 ,两条抛物线有相同的对称轴 ,那么以下关系正确的选项是( )．A ．m ＝n ,k ＞hB ．m ＝n ,k ＜hC ．m ＞n ,k ＝hD ．m ＜n ,k ＝h4．在反比例函数y ＝a x中 ,当x ＞0时 ,y 随x 的增大而减小 ,那么二次函数y ＝ax 2－ax 的图象大致是以下图中的( )．5．如下图的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中 ,刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b 2－4ac ＞0；(2)c ＞1；(3)2a －b ＜0；(4)a ＋b ＋c ＜0.你认为其中错误的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个6．二次函数y ＝2x 2＋9x ＋34 ,当自变量x 取两个不同的值x 1 ,x 2时 ,函数值相等 ,那么当自变量x 取x 1＋x 2时的函数值与( )．C ．x ＝14时的函数值相等D ．x ＝94-时的函数值相等 7．函数y 1＝x 2与函数y 2＝12x -＋3的图象如下图 ,假设y 1＜y 2 ,那么自变量x 的取值范围是( )．A ．32-＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜32- C ．－2＜x ＜32 D ．x ＜－2或x ＞328．根据下表中的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 与函数y 的对应值 ,可判断该二次函数的图象与x 轴( ).x … －1 0 1 2 …y … －174-－274-…A ．只有一个交点B ．有两个交点 ,且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点 ,且它们均在y 轴同侧D ．无交点 二、填空题(本大题共5小题 ,每题5分 ,共25分)9．把抛物线y ＝3x 2先向左平移3个单位长度 ,再向上平移2个单位长度 ,所得抛物线的解析式为______．10．二次函数y ＝x 2－mx ＋3的图象与x 轴的交点如下图 ,根据图中信息可得到m 的值是__________．11．二次函数的图象开口向下 ,且与y 轴的正半轴相交．请你写出一个满足条件的二次函数的关系式__________．12．假设直线y ＝ax －6与抛物线y ＝x 2－4x ＋3只有一个交点 ,那么a 的值是__________．13．给出以下命题：命题1.点(1,1)是双曲线y ＝1x 与抛物线y ＝x 2的一个交点． 命题2.点(1,2)是双曲线y ＝2x 与抛物线y ＝2x 2的一个交点．命题3.点(1,3)是双曲线y ＝3x与抛物线y ＝3x 2的一个交点．……请你观察上面的命题 ,猜测出命题n(n是正整数)：__________________________.三、解答题(本大题共4小题 ,共43分)14．(8分)点A(1,1)在二次函数y＝x2－2ax＋b图象上．(1)用含a的代数式表示b；(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点 ,求这个二次函数的图象的顶点坐标．15．(10分)如图① ,是苏州某河上一座古拱桥的截面图 ,拱桥桥洞上沿是抛物线形状 ,抛物线两端点与水面的距离都是1 m ,拱桥的跨度为10 m ,桥洞与水面的最|大距离是5 m ,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯．假设把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②)．(1)求抛物线的解析式；(2)求两盏景观灯之间的水平距离．图①图②16．(12分)如下图 ,二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3,0) ,另一个交点为B ,且与y轴交于点C．(1)求m的值；(3)该二次函数图象上有一点D(x ,y)(其中x＞0 ,y＞0) ,使S△ABD＝S△ABC ,求点D的坐标．17．(13分)宏达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源 ,待货物售出后再进行结算 ,未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时 ,月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润 ,准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时 ,月销售量就会增加吨．综合考虑各种因素 ,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元．设每吨材料售价为x(元) ,该经销店的月利润为y(元)．(1)当每吨售价是240元时 ,计算此时的月销售量；(2)求出y与x的二次函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(3)请把(2)中的二次函数配方成y＝a(x－h)2＋k的形式 ,并据此说明 ,该经销店要获得最|大月利润 ,售价应定为每吨多少元 ?(4)小静说： "当月利润最|大时 ,月销售额也最|大．〞你认为对吗 ?请说明理由参考答案1．答案：C2．解析：二次项系数的绝|对值越小 ,开口越大． ∵1233<-＜2 ,∴抛物线的开口从大到小的顺序为③②① 答案：B 3．答案：A4．解析：在反比例函数y ＝ax中 ,当x ＞0时 ,y 随x 的增大而减小 ,所以a ＞0. 所以二次函数y ＝ax 2－ax 开口向上 ,且与x 轴交于(0,0)和(1,0)点 ,应选A ． 答案：A5．解析：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点 , ∴b 2－4ac ＞0.∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点坐标是(0 ,c ) , 又a ＜0 ,∴2a －b ＜0.当x ＝1时 ,y ＜0 ,即当x ＝1时 ,y ＝a ＋b ＋c ＜0 , ∴只有(2)错误． 答案：D6．解析：利用抛物线的对称性可知 ,x 1＋x 2正好是对称轴的横坐标x 的值的2倍 ,即x 1＋x 2＝ba-.以对称轴为根底 ,正好与x ＝0时的函数值相等． 答案：B7．解析：y 1＜y 2 ,即抛物线在直线下方的那局部对应的自变量x 的取值范围 ,需求出直线与抛物线的两交点坐标．答案：C8．解析：根据表中x ,y 的对应值描出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的大致图象 ,可以看出 ,该二次函数的图象与x 轴有两个交点 ,且它们分别在y 轴两侧．答案：B9．解析：抛物线y ＝3x 2的顶点是(0,0) ,先向左平移3个单位长度 ,再向上平移2个单位长度后是(－3,2)．所以 ,所得抛物线的解析式是y ＝3(x ＋3)2＋2.答案：y ＝3(x ＋3)2＋210．解析：把(1,0)的坐标代入二次函数y ＝x 2－mx ＋3的解析式 ,得1－m ＋3＝0.解得m ＝4.答案：411．答案：y ＝－x 2－2x ＋3(满足条件即可 ,答案不惟一)12．解析：由题意 ,知26,43y ax y x x =-⎧⎨=-+⎩只有一个解 ,即方程x 2－(4＋a )x ＋9＝0有两个相等的实数根．所以(4＋a )2－4×1×9＝0. 解得a ＝2或a ＝－10. 答案：2或－1013．答案：点(1 ,n )是双曲线y ＝n x与抛物线y ＝nx 2的一个交点 14．解：(1)∵点A(1,1)在二次函数y ＝x 2－2ax ＋b 的图象上 ,∴1＝1－2a ＋B ．可得b ＝2A(2)根据题意 ,方程x 2－2ax ＋b ＝0有两个相等的实数根 ,∴4a 2－4b ＝4a 2－8a ＝0.解得a ＝0或a ＝2.当a ＝0时 ,y ＝x 2,这个二次函数的图象的顶点坐标是(0,0)；当a ＝2时 ,y ＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2,这个二次函数的图象的顶点坐标为(2,0)． ∴这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)或(2,0)．15．解：(1)抛物线的顶点坐标为(5,5) ,与y 轴的交点坐标是(0,1)．设抛物线的解析式是y ＝a (x －5)2＋5 , 把(0,1)代入y ＝a (x －5)2＋5得a ＝425-. ∴y ＝425-(x －5)2＋5(0≤x ≤10)． (2)由得两盏景观灯的纵坐标都是4 , ∴4＝425-(x －5)2＋5. ∴425(x －5)2＝1.∴x 1＝152 ,x 2＝52. ∴两盏景观灯间的距离为5米．16．解：(1)将(3,0)代入二次函数解析式 ,得－32＋2×3＋m ＝0.解得m ＝3.(2)二次函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3 ,令y ＝0 ,得－x 2＋2x ＋3＝0 解得x ＝3或x ＝－1.∴点B 的坐标为(－1,0)．(3)∵S △ABD ＝S △ABC ,点D 在第|一象限 , ∴点C ,D 关于二次函数的对称轴对称．∵由二次函数解析式可得其对称轴为x ＝1 ,点C 的坐标为(0,3) ,∴点D 的坐标为(2,3)．17．解：(1)45＋26024010-×＝60(吨)．(2)y ＝(x －100)260457.510x -⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭,化简得y ＝234x -＋315x －24 000.(3)y ＝234x -＋315x －24 000要获得最|大月利润 ,售价应定为每吨210元．(4)小静说的不对．理由：当月利润最|大时 ,x 为210元 ,而对于月销售额W ＝x 260457.510x -⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭＝34-(x －160)2＋19 200来说 ,当x 为160元时 ,月销售额W 最|大．∴当x 为210元时 ,月销售额W 不是最|大． ∴小静说的不对．北师大版九年级|数学下册单元检测第3章 -圆 (3 )附答案一、选择题 (每题4分 ,共40分 )每题只有一个正确答案 ,请将正确答案的番号填在括号内.1、平行四边形的四个顶点在同一圆上 ,那么该平行四边形一定是 ( )A 、正方形B 、菱形C 、矩形D 、等腰梯形2、假设⊙A 的半径为5 ,圆心A 的坐标是(3 ,4) ,点P 的坐标是(5 ,8) ,你认为点P 的位置为 ( )3、以下所述图形中对称轴最|多的是 ( )A 、圆B 、正方形C 、正三角形D 、线段4、以下四个命题中正确的选项是 ( )A 、①②B 、②③C 、③④D 、①④5、过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ,切点为A 和B ,假设AB =8 ,AB 的弦心距为3 ,那么PA 的长为( ) A 、5B 、320C 、325 D 、86、如图1 ,PA 切⊙O 于A ,AB ⊥OP 于B ,假设PO =8 cm ,BO =2 cm ,那么PA 的长为( )A 、16 cmB 、48 cmC 、3 cmD 、43 cmA BOPO 1O2AB C A'C '图1 图2 图37、如图2 ,半径为1的四个圆两两相切 ,那么图中阴影局部的面积为 ()A 、4－πB 、8－πC 、(4－π)D 、4－2πA 、16πB 、38π C 、364π D 、316π 9、如图4 ,△ABC 是正三角形 ,曲线ABCDEF …叫做 "正三角形的渐开线〞 ,其中、 、、 、… 圆心依次按A 、B 、C 循环 ,它们依次相连接 ,如果AB =1 ,那么曲线CDEF 的长是 ( )A 、8πB 、6πC 、4πD 、2πBCDE FABCDE mnOOABC D图4 图5 图6 图7 10、一个圆台形物体的上底面积是下底面积的41.如图5 ,放在桌面上 ,对桌面的压强是200 帕 ,翻过来放 ,对桌面的压强是 ( )A 、50帕B 、80帕C 、600帕D 、800帕 二、填空题(每题3分 ,共30分)11、如果⊙O 的半径为r ,点P 到圆心O 的距离为d ,那么：①点P 在⊙O 外 ,那么______；②______ 那么d =r ；③______那么d <r .12、两个同心圆的直径分别为5 cm 和3 cm ,那么圆环局部的宽度为_____ cm.13、如图6,⊙O ,AB 为直径 ,AB ⊥CD ,垂足为E ,由图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来. .14、 ,⊙O 的直径为10 cm ,点O 到直线a 的距离为d ：①假设a 与⊙O 相切 ,那么d =______；②假设d =4 cm ,那么a 与⊙O 有_____个交点；③假设d =6 cm ,那么a 与⊙O 的位置关系是_____.15、两个同心圆的半径分别为3 cm 和4 cm ,大圆的弦BC 与小圆相切 ,那么BC =_____ cm. 16、如图7 ,在△ABC 中 ,AB =AC ,∠C =72° ,⊙O 过AB 两点且与BC 切于B ,与AC 交于D ,DE EF连结BD ,假设BC =5－1 ,那么AC =_____.17、要修一段如图8所示的圆弧形弯道 ,它的半径是48 m ,圆弧所对的圆心角是60° ,那么这段弯道长_____________________m(保存π).图8 图9 图10 图1118、如图9 ,两个半圆中 ,长为6的弦CD与直径AB平行且与小半圆相切 ,那么图中阴影局部的面积等于_____________.19、要制造一个圆锥形的烟囱帽 ,如图10 ,使底面半径r与母线l的比r∶l =3∶4 ,那么在剪扇形铁皮时 ,圆心角应取_____.20、将一根长24 cm的筷子 ,置于底面直径为5 cm ,高为12 cm的圆柱形水杯中(如图11).设筷子露在杯子外面的长为h cm ,那么h的取值范围是_____.三、解答题 (每题10分 ,共30分 )21、(10分)如图12,小虎牵着小狗上街 ,小虎的手臂与绳长共为2.5 m(手臂与拉直的绳子在一条直线上)手臂肩部距地面1.5 m.当小虎站立不动时 ,小狗在平整的地面上活动的最|大区域是多少 ?并画出平面图.1.5m小图1222、(10分)：三角形ABC 内接于⊙O ,过点A 作直线EF .(1)如图13 ,AB 为直径 ,要使得EF 是⊙O 的切线 ,只需保证∠CAE =∠_____ ,并证明之;(2)如图14 ,AB 为⊙O 非直径的弦 ,(1)中你所添出的条件仍成立的话 ,EF 还是⊙O 的切线吗 ?假设是 ,写出证明过程；假设不是 ,请说明理由并与同学交流.A B CEFOAE F图13图1423、(10分)中华民族的科学文化历史悠久、灿烂辉煌 ,我们的祖先几千年前就能在生产实践中运用数学.1300多年前 ,我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形(如图15).经测量 ,桥拱下的水面距拱顶6 m 时 ,水面宽34.64 m ,桥拱跨度是37.4 m ,运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高.(运算时取37.4 =147 ,34.64 =203)图15参考答案一、选择题 1、C ；2、A ；3、A ；4、C ；5、B ；6、D ；7、A ；8、D ；9、C ；10、D. 二、填空题 1、d >r 点P 在⊙O 上 点P 在⊙O 内；2、1；3、C E =ED ,,AC AD CmB DmB ==；4、①5 cm ②两 ③外离；5、27；6、2；7、16π；8、29π；9、270°；10、11≤h ≤12. 三、解答题21、解：小狗在地平面上环绕跑圆的半径为225.15.2- =2.0(m).小狗活动的区域是以2.0 m 为半径的圆 ,如右图. 22、(1)ABC 证明：∵AB 为⊙O 直径, ∴∠ACB =90°.∴∠BAC +∠ABC =90°. 假设∠CAE =∠ABC . ∴∠BAC +∠CAE =90°, 即∠BAE =90° ,OA ⊥AE . ∴EF 为⊙O 的切线.(2)证明：连接AO 并延长交⊙O 于点D ,连接CD , ∴∠ADC =∠ABC . ∵AD 为⊙O 的直径, ∴∠DAC +∠ADC =90°.∵∠CAE =∠ABC =∠ADC , ∴∠DAC +∠CAE =90°. ∴∠DAE =90°, 即OA ⊥EF ,EF 为⊙O 的切线. 23、解：如图 ,设圆弧所在圆的圆心为O ,AB =37.4 =147 m, CD =34.6 =203 m, GE =6 m.在Rt △OCE 中, OE =OC －6, CE =103. ∵OC 2=CE 2+OE 2, ∴OC 2=(103)2+(OC －6)2.∴OC =28(m) . ∴OA =28. 在Rt △OAF 中 ,AF =77, ∴)m (21)77(282222=-=-=AFOA OF .∴拱高GF =28－21 =7(m) .∴FA =FN +NM －AM =82 +1.6－42 =42≈7.26.ABS 四边形ADEF =21(AF +DE )·EN =21(7.26 +1.6)×≈25.07(m 2). V 体积 =S 四边形ADEF ×××103(m 3).×103m 3的土方.北师大版九年级|数学下册单元检测第4章 -统计与概率 (3 )附答案一、选择题(本大题共8小题 ,每题5分 ,共40分)1．以下说法中 ,不正确的选项是( )．A ．可以很清楚地表示出各局部同总体之间关系的统计图是条形统计图B ．能清楚地反映出数量增减变化的统计图是折线统计图D ．为了清楚地反映出全校人数同各年级|人数之间的关系 ,应选择扇形统计图2．某次考试中 ,某班级|的数学成绩统计图如下．以下说法错误的选项是( )．A ．得分在70～80分之间的人数最|多B ．该班的总人数为40C ．得分在90～100分之间的人数最|少D ．及格(≥60分)人数是263．如图是光明中学乒乓球队队员年龄分布的条形图．这些年龄的众数、中位数、极差依次分别是( )．A ．15,15,5B ．15,15.5,6 ,84．如图 ,将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域 ,假设指针固定不变 ,转动这个转盘一次(如果指针指在等分线上 ,那么重新转动 ,直至|指针指在某个扇形区域内为止) ,那么指针指在甲区域内的概率是( )．5．在拼图游戏中 ,从图①中的四张纸片中 ,任取两张纸片 ,能拼成 "小房子〞(如图②)的概率等于( )．① ②A ．1 B.12 C.13 D.236．小洋在一次转转盘活动中得知获得100元代金券的概率是5% ,获得50元代金券的概率是10% ,获得20元代金券的概率是20% ,无其他面额的代金券 ,那么他每转动一次转盘获得代金券金额的平均数是( )．A ．14元B ．16元C ．18元D ．20元7．如图是两个可以自由转动的转盘 ,每个转盘被分成两个扇形 ,同时转动两个转盘 ,转盘停止后 ,指针所指区域内的数字之和为4的概率是( )．A.12 B.13 C.14 D.158．甲、乙两人打赌 ,甲说： "我从去掉大小|王的一副扑克牌中任意抽取一张 ,如果是红色 ,我赢．〞乙说： "如果我抽到的是方片 ,我赢．〞甲又说： "如果我赢 ,我就弹你一下脑壳．〞乙答复： "如果我赢 ,就弹你两下〞．你认为他们的这个游戏( )．A ．公平B ．不公平 ,对甲有利C ．不公平 ,对乙有利D ．不能判断 二、填空题(本大题共4小题 ,每题5分 ,共20分)9．如图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图．根据统计图 ,甲户、乙户全年食品支出费用相比__________．(填 "甲户多〞 "甲户少〞或 "无法比拟〞)10．某超市在 "六一〞期间开展有奖销售活动 ,凡购物满100元的顾客可得奖券1张．本次活动共发放奖券1 000张 ,经过摇奖产生一等奖1名 ,奖金400元；二等奖2名 ,奖金各200元；三等奖10名 ,奖金各50元．某人在这次活动中购物满100元 ,他中三等奖的概率是________．11．甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏 ,游戏的规那么如下：甲、乙轮流抛掷 ,假设同时抛出两个正面 ,乙得1分；抛出其他结果 ,甲得1分 ,谁先累积到10分 ,谁就获胜 ,你认为________(填 "甲〞或 "乙〞)获胜的可能性更大．12．今年 "五一〞节 ,益阳市某超市开展 "有奖促销〞活动 ,凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的时机(如图 ,转盘被分为8个全等的小扇形) ,当指针最|终指向数字8时 ,该顾客获一等奖；当指针最|终指向2或5时 ,该顾客获二等奖(假设指针指向分界线那么重转)．经统计 ,当天发放一、二等奖奖品共600份 ,那么据此估计参与此次活动的顾客为__________人次．三、解答题(本大题共4小题 ,共40分)13．(10分)某一音响制品店一天的销售情况如下图：(1)民歌类唱片与通俗歌曲唱片销售量之比是多少 ?(2)要使读者更为直观地看出这几类音响制品的销售量之比 ,上图应作怎样的改动 ?14．(8分)如图②是中国象棋棋盘的一局部 ,图中红方有两个马 ,黑方有三个卒子和一个炮 ,按照中国象棋中马的行走规那么(马走日字 ,例如 ,按图①中的箭头方向走) ,红方的马现在走一步能吃到黑方棋子的概率是多少 ?15．(10分)从－2 ,－1,1,2这四个数中任取两个不同的数作为一次函数y＝kx＋b的系数k ,b ,求所得一次函数y＝kx＋b的图象不经过第四象限的概率．16．(12分)在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌 ,它们分别标有数字1,2,3,4.随机地摸取出一张纸牌然后放回 ,再随机摸取出一张纸牌．(1)计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；(2)甲、乙两个人进行游戏 ,如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数 ,那么甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数 ,那么乙胜．这是个公平的游戏吗 ?请说明理由．参考答案1．答案：A2．解析：由图可知 ,及格(≥60分)人数是12＋14＋8＋2＝36 ,所以选项D错误．答案：D3．答案：A4．答案：D5．解析：运用列表法或树状图计算概率 ,注意是 "无放回〞型．答案：D6．解析：每转动一次转盘获得代金券金额的平均数是100×5%＋50×10%＋20×20%＝14(元)．答案：A7．解析：将左边的转盘分成3个相等的扇形区域 ,采取列表法或画树状图法列举所有等可能的情况 ,共有6种 ,其中指针所指区域内的数字之和为4的情况共有2种 ,所以所求概率为13.答案：B8．解析：P(甲胜)＝261522= ,甲平均每次弹乙的下数为12×1＝12；P(乙胜)＝131524= ,乙平均每次弹甲的下数为14×2＝12.因此游戏是公平的．答案：A9．答案：无法比拟10．解析：他中三等奖的概率是101 1000100=.答案：1 10011．解析：共有(正 ,正) ,(正 ,反) ,(反 ,正) ,(反 ,反)四种时机均等的情况 ,其中(正 ,正)发生的概率为14,其余情况发生的概率为34,所以甲获胜的可能性更大．答案：甲12．解析：600÷38＝1 600.答案：1 60013．解：(1)民歌类唱片与通俗歌曲唱片销售量之比为80∶120＝2∶3.(2)纵轴上的数值应从0开始．14．解：红方马走一步可能的走法有14种 ,其中有3种情况吃到了黑方棋子 ,所以红马现在走一步能吃到黑方棋子的概率是3 14.15．－2 －1 1 2－2 (－2 ,－1) (－2,1) (－2,2)－1 (－1 ,－2) (－1,1) (－1,2)1 (1 ,－2) (1 ,－1) (1,2)2 (2 ,－2) (2 ,－1) (2,1)由上表可知 ,共12种等可能结果 ,其中满足k＞0 ,b≥0的有(1,2) ,(2,1)两种 ,所以所得一次函数y＝kx＋b不经过第四象限的概率是21 126=.列表法：列表如下：乙甲1 2 3 41 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 8由上表可以看出 ,摸取一张纸牌然后放回 ,再随机摸取一张纸牌 ,可能结果有16种 ,它们出现的可能性相等．(1)两次摸取纸牌上数字之和为5(记为事件A)的有4个 ,P(A)＝41 164=.(2)这个游戏公平 ,理由如下：两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B)的有8个 ,P(B)＝81 162= ,两次摸出纸牌上数字之和为偶数(记为事件C)的有8个 ,P(C)＝81 162= ,两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同 ,所以这个游戏公平．。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣3x B．xy＝2C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+52．下列各点中，在抛物线y＝x2﹣4上的是（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣5）D．（﹣1，﹣5）3．抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣5，3）B．（5，3）C．（3，5）D．（5，﹣3）4．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2﹣1B．y＝x2﹣5C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3 5．已知b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示：根据图象分析，a的值等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（2﹣4）m D．（﹣2）m 7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y28．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（）A．4B．5C．2D．19．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有两个，则k的值为（）A．﹣1B．1C．0D．±110．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，有下列说法：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的个数有（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共7小题，满分21分）11．已知抛物线y＝（a+3）x2开口向下，那么a的取值范围是．12．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式．13．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．14．抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y＝x+2上，则m＝，n＝．15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…则当x＝2时对应的函数值y＝．16．如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于C点，若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE+EF的最小值为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，并写出该函数图象的顶点坐标．19．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值；（2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值．20．已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且有最小值为﹣2．（1）求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当y＞0时，x的取值范围．21．已知函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．22．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．23．如图1，地面OB上两根等长立柱AO，CB之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AO为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；（3）保持（2）中点N的位置不变，将立柱MN的长度提升为3米，发现抛物线F1和F2的形状和大小都一样，测得抛物线F1和F2的最低点到地面的高度相差0.5米，求抛物线F1对应函数的二次项系数．24．已知二次函数y＝x2+px+q图象的顶点M为直线y＝x与y＝﹣x+m的交点．（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；（2）若二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，3），求二次函数的表达式；（3）当m＝6且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y＝x2+px+q的最小值为2，求t的取值范围．25．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元（x为整数）时，月销售利润为y元．（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？26．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2m，4）（m为常数，且m＞0），将点A绕线段AB中点顺时针旋转90°得到点C．经过A、B、C三点的抛物线记为G．（1）当m＝2时，求抛物线G所对应的函数表达式．（2）用含m的式子分别表示点C的坐标和抛物线G所对应的函数表达式．（直接写出即可）（3）当抛物线G在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出m的取值范围．（4）连结AC，点R在线段AC上，过点R作x轴的平行线与抛物线G交于P、Q两点，连结AP、AQ．当点R将线段PQ分成1：3两部分，且△APQ的面积为时，求m的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：A、y＝﹣3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、xy＝2不是二次函数，故此选项不符合题意；C、a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；D、y＝2x2+5是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．2．解：当x＝1时，y＝x2﹣4＝﹣3；当x＝﹣1时，y＝x2﹣5＝﹣3；∴点（﹣1，﹣3）在抛物线上，点（1，3）、（1，﹣5）、（﹣1，﹣5）都不在抛物线上．故选：B．3．解：抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．故选：B．4．解：将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是y＝（x+2）2﹣3．故选：C．5．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＞0，a＞0，则b＜0，与b＞0矛盾；故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向下，a＝﹣1．故选：B．6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4．故选：C．7．解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是直线x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．8．解：由题意可知：y的函数图象如图所示：观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点，∴y的最大值为4．故选：A．9．解：函数y＝的图象如图：根据图象知道当y＝﹣1或y＝1时，对应成立的x有恰好有2个，则k的值为±1．故选：D．10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，∴4a﹣b＝0，因此①正确；∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，因此②不正确；∵|﹣4﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣2）|，∴（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下，∴y1＞y2，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴＝3，∴b2+12a＝4ac，∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，故④正确；∴正确的有：①③④，故选：B．二．填空题（共7小题，满分21分）11．解：∵抛物线y＝（a+3）x2开口向下，∴a+3＜0，∴a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．12．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，令a＝﹣1，设抛物线的关系式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∵对称轴为直线x＝2，∴h＝2，把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k，解得，k＝7，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．13．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．14．解：∵抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y ＝x+2上，∴，当x＝2时，y＝×2+2＝3，∴m＝﹣1，该抛物线的顶点坐标为（2，3），∴3＝[（﹣1）2﹣2]×22﹣4×（﹣1）×2+n，解得，n＝﹣1，故答案为：﹣1，﹣1．15．解：观察表格可知，当x＝﹣3或5时，y＝7，根据二次函数图象的对称性，（﹣3，7），（5，7）是抛物线上两对称点，对称轴为直线x＝＝1，顶点（1，﹣9），根据对称性，x＝2与x＝0时，函数值相等，都是﹣8．16．解：∵y＝x2+mx+2＝（x+）2+2﹣，∴顶点D（﹣，2﹣），C（0，2），∴OC＝2，∵S△ABC＝AB•OC＝AB×2＝AB，S△ABD＝AB•|2﹣|，△ABC与△ABD的面积比为3：5，∴AB：AB•|2﹣|＝3：5，解得：m＝﹣．故答案是：﹣．17．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，∴CE+EF＝C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，直线AB的解析式为y＝x+3，∵C（0，1），∴C′（2，1），∴直线C′F的解析式为y＝﹣x+，联立直线C′F和直线AB得：x+3＝﹣x+，解得x＝，代入解得y＝，∴F（，），∴C′F＝＝，即CE+EF的最小值为．故答案为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．解：y＝x2﹣4x+5＝（x2﹣8x）+5＝（x2﹣8x+16）+5﹣8＝（x﹣4）2﹣3，∴顶点（4，﹣3）．19．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，解得：；（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，∴对称轴是直线x＝﹣＝2，∵（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，纵坐标相同，∴（5，n），（m，n）是对称点，∴＝2，解得m＝﹣1．20．解：（1）由题意得：函数的对称轴为x＝1，此时y＝﹣2，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣2，把点A坐标代入上式，解得：a＝，则函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣（2）a＝＞0，函数开口向上，对称轴为：x＝1；（3）当y＞0时，x的取值范围为：x＞3或x＜﹣1．21．解：（1）①当m＝1，n≠﹣2时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是一次函数，它一定与x轴有一个交点，∵当y＝0时，（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，∴x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；②当m＝2，n≠﹣1时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是二次函数，当y＝0时，y＝（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，即：（n+1）x2+2x+1﹣n＝0，△＝22﹣4（1+n）（1﹣n）＝4n2≥0；∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；③当n＝﹣1，m≠0时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n是一次函数，当y＝0时，x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；（2）①假命题，若它是一个二次函数，则m＝2，函数y＝（n+1）x2+2x+1﹣n，∵n＞﹣1，∴n+1＞0，抛物线开口向上，对称轴：﹣＝＝﹣＜0，∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y有可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，②当x＝1时，y＝n+1+2+1﹣n＝4．当x＝﹣1时，y＝0．∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．22．解：（1）将（5，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣6x+5．（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，将（5，0），（0，5）代入y＝kx+n得，解得，∴y＝﹣x+5，设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），则点N坐标为（m，﹣m+5），∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，∴MN最大值为．23．解：（1）∵＞0，∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为m；（2）由（1）可知，对称轴为x＝4，则BO＝8，令x＝0得y＝3，∴A（0，3），C（8，3），由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），设F1的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.8，将（0，3）代入得：4a+1.8＝3，解得：a＝0.3，∴抛物线F1为：y＝0.3（x﹣2）2+1.8，当x＝3时，y＝0.3×1+1.8＝2.1，∴MN的长度为2.1米；（3）∵MN＝3，点M（3，3），∵抛物线F1和F2的形状和大小都一样，∴设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣）2+k1，F2的解析式为y＝a（x﹣）2+k2，抛物线F1和F2的最低点到地面的高度分别为k1和k2，由题意，得k1﹣k2＝0.5，把点M（3，3）分别代入y＝a（x﹣）2+k1和y＝a（x﹣）2+k2，得k1＝3﹣a，k2＝3﹣a，∴3﹣a﹣（3﹣a）＝0.5，解得：a＝．∴抛物线F1对应函数的二次项系数为．24．解：（1）由，得，即顶点M坐标为（m，m）；（2）∵此时二次函数为y＝（x﹣m）2+m过点A（0，3），∴3＝（0﹣m）2+m得m1＝﹣3，m2＝，∴y＝（x+2）2﹣1或y＝（x﹣）2+；（3）当m＝6时，顶点为M（4，2），∴抛物线为y＝（x﹣4）2+2，函数的最小值为2，∵x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，∴，解得1≤t≤5．25．解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；26．解：（1）由题意可知，点C为抛物线G的顶点，当m＝2时，C（2，6），设G所对应的函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点A（0，4）代入y＝a（x﹣2）2+6得4＝4a+6，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣2）2+6．（2）∵抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴点C坐标为（m，m+4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+m+4，把（0，4）代入y＝a（x﹣m）2+m+4得4＝am2+m+4，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣m）2+m+4．（3）①0＜m≤2时，在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分的抛物线最高点为顶点（m，m+4），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），m+4﹣（﹣）＝8时，解得m＝2．②当m＞2时，图象最高点为直线x＝2与抛物线交点（2，﹣+8），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），﹣+8﹣（﹣）＝8，∴m＞2符合题意，∴m≥2．（4）作CD⊥PQ于点D，∵点R将线段PQ分成1：3两部分，∴PQ＝4PR＝2PD，∴PR＝RD，∴CD＝RD，∴PQ＝4CD，设CD＝t，则PQ＝4t，∴点Q的坐标为（m+2t，m+4﹣t），∴＝﹣（m+2t﹣m）2+m+4＝m+4﹣t．解得t＝m．∴点Q坐标为（m，m+4），PQ＝m，∵△APQ的面积为，∴m（m+4﹣4）＝，解得m＝或m＝﹣（舍）．∴m＝．。
2019-2020北师大版九年级数学下册单元测试题及答案全套
北师大版九年级数学下册单元测试题及答案第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．cos 30°的值为( )A.12B.32C.22D.332．如图，已知Rt △BAC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( ) A ．2 B ．8 C ．2 5 D ．45(第2题) (第3题)3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD 等于( ) A.53 B.23 C.253 D.524．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°5．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于( )A ．14.7°B ．14°7′C ．75.3°D ．75°3′6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE ＝33°，AB ＝a ，BD ＝b ，则下列求旗杆CD 长的式子中正确的是( )A ．CD ＝b sin 33°＋aB ．CD ＝b cos 33°＋aC ．CD ＝b tan 33°＋a D ．CD ＝b tan 33°＋a(第6题) (第7题)7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC的正切值是( )A ．2 B.255 C.55 D.128．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AB ＝2(1＋3)，则BC 等于( )A ．2 B. 6 C ．2 2 D ．1＋ 39．如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m 到C 点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( )A ．82 mB ．163 mC ．52 mD ．30 m(第9题) (第10题)10．如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′长为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°二、填空题(每题3分，共30分)11．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则tan α＝________． 12．若反比例函数y ＝k x的图象经过点(tan 30°，cos 60°)，则k ＝________．13．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝23，则AB＝________.14．某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6 m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙．15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m的牌子，当他沿山坡前进50 m时，他又看见一个标注海拔70 m的牌子，于是他走过的山坡的坡度是__________．16．如图，△ABC的顶点A，C的坐标分别是(0，23)，(2，0)，且∠ACB＝90°，∠B＝30°，则顶点B的坐标是__________．(第16题) (第17题) (第18题)(第19题) (第20题)17．如图，一棵树的枝叶部分AB在太阳光下的投影CD的长是5.5 m，此时太阳光线与地面的夹角是52°，则AB的长约为__________ (结果精确到0.1 m．参考数据：sin 52°≈0.79，tan 52°≈1.28)．18．如图，秋千链子的长度OA＝3 m，静止时秋千踏板处于A位置，此时踏板距离地面0.3 m，秋千向两边摆动，当踏板处于A′位置时，摆角最大，此时∠AOA′＝50°，则在A′位置，踏板与地面的距离约为________m(sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.642 8，结果精确到0.01 m)．19．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20 n m i l e 的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1 h 后到达码头B 处，此时，观测灯塔C 位于北偏西25°方向上，则灯塔C 与码头B 的距离约是________n m i l e(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)．20．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC ，AE ＝1，连接BE ，则tan E ＝________.三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．计算：(1)2－1－3sin 60°＋(π－2 019)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12；(2)12－3＋4cos 60°·sin 45°－（tan 60°－2）2.22．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，2a ＝3b ，求∠B 的正弦、余弦和正切值．23．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，点E 是AB 的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．(第23题)24．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A ，再在河这边沿河边取两点B 和C ，在B 处测得点A 在北偏东30°方向上，在C 处测得点A 在西北方向上，如图，量得BC 长为200 m ，求该河段的宽度(结果保留根号)．(第24题)25．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为30 n m i l e/h，在此航行过程中，该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)(第25题)26．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15 m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°.假设汽车在高架道路上行驶时，周围39 m以内会受到噪音的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39 m，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(结果精确到1 m，参考数据：3≈1.7)(第26题)答案一、1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7.D 8.A 9.A10．C 点拨：∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ＝45°. ∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°. ∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.二、11.1 12.36 13.9 14.3 3 m 15．3∶4 16.(8，23) 17．7.0 m 点拨：过点B 作BE ∥CD ，交AD 于点E . ∵太阳光线与地面的夹角是52°，且太阳光线是平行的，∴tan 52°＝AB BE，BE ＝CD ＝5.5 m. ∴AB ＝5.5×tan 52°≈5.5×1.28＝7.04≈7.0(m)．18．1.37 点拨：如图，作A ′D ⊥OA 于点D ，A ′C 垂直地面于点C ，延长OA 交地面于点B .(第18题)易得四边形BCA ′D 为矩形，∴A ′C ＝DB .∵∠AOA ′＝50°，且OA ＝OA ′＝3 m ，∴在Rt △OA ′D 中，OD ＝OA ′·cos ∠AOA ′≈3×0.642 8≈1.93(m)． 又AB ＝0.3 m ，∴OB ＝OA ＋AB ＝3.3 m. ∴A ′C ＝DB ＝OB －OD ≈1.37 m.19．2420．23点拨：延长CA 到F 使AF ＝AE ，连接BF ，过B 点作BG ⊥AC ，垂足为G .根据题干条件证明△BAF ≌△BAE ，得出∠E ＝∠F ，然后在Rt △BGF 中，求出tan F 的值，进而求出tan E 的值．三、21.解：(1)原式＝12－3×32＋1＋12＝12－32＋1＋12＝12； (2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－(3－2)＝－2－3＋2－3＋2＝－23＋ 2.22．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32. 设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k . ∴sin B ＝bc ＝2k 13k＝21313， cos B ＝a c ＝3k 13k＝31313， tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23. 23．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°.∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2.∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32， ∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x .在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴AC CD＝2. ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ，∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45. 由AB ＝2，得x ＝25， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455. 24．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .(第24题)根据题意知∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°， ∴∠CAD ＝45°.∴∠ACD ＝∠CAD .∴AD ＝CD .∴BD ＝BC －CD ＝200－AD .在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD， ∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD )·tan 60°＝3(200－AD )． ∴AD ＋3AD ＝200 3.∴AD ＝20033＋1＝300－1003(m)．答：该河段的宽度为(300－1003)m. 25．解：如图，过点A 作AP ⊥BC ， 垂足为P ，设AP ＝x n mi l e.(第25题)在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°， ∠PAC ＝90°－60°＝30°，∴tan ∠PAC ＝CP AP ＝33.∴CP ＝33x n mi l e.在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°， ∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x n mi l e.∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12＝15(n mi l e)，∴33x ＋x ＝15.解得x ＝15（3－3）2.∴PB ＝15（3－3）2n mi l e.∴航行时间为15（3－3）2÷30＝3－34(h)．答：该渔船从B 处开始航行3－34h ，离观测点A 的距离最近．26．解：(1)如图，连接PA.(第26题)由已知得AP＝39 m，在Rt△APH中，PH＝AP2－AH2＝392－152＝36(m)．答：此时汽车与点H的距离为36 m.(2)由题意，隔音板位置应从P到Q，在Rt△ADH中，DH＝AHtan 30°＝1533＝153(m)；在Rt△CDQ中，DQ＝CQsin 30°＝3912＝78(m)．∴PQ＝PH＋HQ＝PH＋DQ－DH＝36＋78－153≈114－15×1.7≈89(m)．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89 m长．第二章达标测试卷1．下列函数属于二次函数的是( )A．y＝5x＋3 B．y＝1x2C．y＝2x2＋x＋1 D．y＝x2＋12．二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是( ) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋43．一小球被抛出后，距离地面的高度h (m)和飞行时间t (s)满足的函数表达式为h＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )A．1 m B．5 m C．6 m D．7 m4．下列抛物线中，开口向下且开口最大的是( )A．y＝－x2B．y＝－23x2C．y＝13x2D．y＝－3x25．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表：x－1 0 1 2 3y 5 1 －1 －1 1 则该二次函数图象的对称轴为( )A．y轴B．直线x＝52C．直线x＝2 D．直线x＝326．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是( ) A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜－27．将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的函数表达式为( )A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－38．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝ax与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是( )9．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( )A．b≥54B．b≥1或b≤－1 C．b≥2 D．1≤b≤210．如图是抛物线y 1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点为B(4，0)，直线y2＝m x＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是( )A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤二、填空题(每题3分，共30分)11．当a ＝________时，函数y ＝(a －1)xa 2＋1＋x －3是二次函数．12．已知抛物线y ＝－2(x －3)2＋1，当x 1>x 2>3时，y 1________y 2(填“＞”或“＜”)． 13．某一型号飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)与滑行时间x (单位：s)之间的函数表达式是y ＝60x －1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行距离为__________时才能停下来． 14．如图是二次函数y ＝ax 2－x ＋a 2－1的图象，则a ＝________．15．已知二次函数的图象经过原点及⎝⎛⎭⎪⎫－12，－14，且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为________________________．16．若抛物线y ＝kx 2－7x －7和x 轴有交点，则k 的取值范围是__________________． 17．抛物线y ＝x 2－2kx ＋4k 通过一个定点，这个定点坐标是____________．18．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是一抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－140x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8 m的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏警示灯的水平距离EF约是________m(结果精确到1 m，5≈2.236)．19．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 k g；销售单价每涨1元，月销售量减少10 k g，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为________元时，获得的月利润最大．20．如图，在边长为10 cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A，B两点重合)，连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为__________．三、解答题(21～24题每题9分，其余每题12分，共60分)21．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：求：(1)这个二次函数的表达式；(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．22.如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．23．如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)若抛物线的顶点为D，求四边形AEDB的面积．24．已知函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图象与x轴总有交点．(1)求m的取值范围；(2)当函数图象与x轴两交点的横坐标的倒数和等于－4时，求m的值．25．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润为6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次．26．有一个例题：有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m．解答下列问题：(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；(2)与上面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明理由．答案一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7．D8．C 点拨：由y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，得a ＜0；由图象，得－b2a＞0；由不等式的基本性质，得b ＞0. ∵a ＜0，∴y ＝a x的图象位于第二、四象限． ∵b ＞0，∴y ＝bx 的图象经过第一、三象限． 9．A10．C 点拨：对于抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，对称轴为直线x ＝－b 2a ，∴－b2a＝1，∴2a＋b ＝0，①正确；由图象可知a ＜0，c ＞0，x ＝－b2a＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，②错误；∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与直线y ＝3只有一个交点，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，③正确；设抛物线与x 轴的另一个交点是(x 2，0)，由抛物线的对称性可知4＋x 22＝1，∴x 2＝－2，即抛物线与x 轴的另一个交点是(－2，0)，④错误； 通过函数图象可直接得到当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，⑤正确． 故选C .二、11.－1 12.＜ 13.600 m14．1 点拨：∵抛物线过原点，∴0＝a ×02－0＋a 2－1，∴a ＝±1.又∵抛物线开口向上，∴a ＝1.15．y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x点拨：由题意知，抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)或(－1，0)，故可得相应函数表达式为y ＝－13x 2＋13x 或y ＝x 2＋x .16．k ≥－74且k ≠0 17.(2，4)18．18 点拨：当y ＝8时，－140x 2＋10＝8，得x ＝±45，∴E (－45，8)，F (45，8)．∴EF ＝2×45＝85≈18(m)．19．70 点拨：设销售单价为x (元)，且利润为y (元)，则y ＝(x －40)·[500－10(x －50)]，即y ＝－10(x －70)2＋9 000(50≤x ≤100)，当x ＝70时，y 有最大值，获得月利润最大． 20.52cm 点拨：设AP ＝x cm ，BE ＝y cm.如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∵PE ⊥DP ，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠1＝∠3.∴△ADP ∽△BPE .∴AD BP ＝APBE ，即1010－x ＝x y .整理得y ＝－110(x －5)2＋52(0＜x ＜10)，∴当x ＝5时，y 有最大值52.三、21.解：(1)将点(－1，－5)，(0，1)，(2，1)的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1.∴这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2＋4x ＋1.(2)y ＝－2x 2＋4x ＋1＝－2(x －1)2＋3，故图象的顶点坐标为(1，3)．当x ＝4时，m ＝－2×16＋16＋1＝－15.22．解：(1)将点A (1，0)的横纵坐标代入y ＝(x －2)2＋m ，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1.∴二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1. 当x ＝0时，y ＝4－1＝3， ∴C 点坐标为(0，3)．∵点C 和点B 关于对称轴直线x ＝2对称，∴B 点坐标为(4，3)．分别将A (1，0)，B (4，3)的坐标代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1.∴一次函数的表达式为y ＝x －1. (2)A ，B 两点的坐标分别为(1，0)，(4，3)．当kx ＋b ≥(x －2)2＋m 时，在坐标系内对应的直线不在抛物线的下方，此时1≤x ≤4. 23．解：(1)因为抛物线与y 轴交于点B (0，3)，所以设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)． 由题意得⎩⎨⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.所以抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)由顶点坐标公式得抛物线的顶点坐标为(1，4)． 作抛物线的对称轴，与x 轴交于点F ， 所以S四边形AEDB ＝S △ABO ＋S梯形BOFD ＋S △DEF＝12AO ·BO ＋12(BO ＋DF )·OF ＋12EF ·DF ＝12×1×3＋12×(3＋4)×1＋12×2×4＝9.24．解：(1)当m ＋6＝0即m ＝－6时，函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1，即y ＝－14x －5的图象与x 轴有交点；当m ＋6≠0时，Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)·(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m ≤－59，即m ≤－59且m ≠－6时抛物线与x 轴有交点．综合m ＋6＝0和m ＋6≠0两种情况可知，当m ≤－59时，此函数的图象与x 轴有交点．(2)设x 1，x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＝－2（m －1）m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4，∴－2（m －1）m ＋1＝－4，解得m ＝－3.当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ＞0，符合题意，∴m 的值是－3.25．解：(1)∵第1档次的产品一天能生产95件，每件利润为6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件，生产第x 档次的产品提高了(x －1)档， ∴y ＝[6＋2(x －1)][95－5(x －1)]，即y ＝－10x 2＋180x ＋400(其中x 是正整数，且1≤x ≤10)．(2)由题意，得－10x 2＋180x ＋400＝1 120，整理得x 2－18x ＋72＝0， 解得x 1＝6，x 2＝12(舍去)． ∴该产品的质量档次为第6档．26．解：(1)由已知得AD ＝54 m ，∴窗户的透光面积为54×1＝54(m 2)．(2)窗户透光面积的最大值变大． 理由：设AB ＝x m ， 则AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－74x m ，∵3－74x ＞0，且x ＞0，∴0＜x ＜127. 设窗户透光面积为S m 2，由已知得S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－74x ＝－74x 2＋3x ＝－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x －672＋97，当x ＝67时(x ＝67在0＜x ＜127的范围内)，S 最大＝97＞1.05.∴与例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．第三章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是( )A．5 B．6 C．7 D．82．如图，在⊙O中，弦AB＝8，OC⊥AB，垂足为C，且OC＝3，则⊙O的半径为( ) A．5 B．10 C．8 D．6(第2题)(第3题)(第4题)3．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则tan∠BAC的值是( )A. 3 B．1 C.32D.334．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD等于( ) A．128° B．100° C．64° D．32°5．已知扇形的面积为4π，扇形的弧长为π，则该扇形的半径为( ) A．4 B．6 C．8 D．8π6．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是( ) A．1 B．2 C. 3 D. 5(第6题)(第7题)(第9题)(第10题)7．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立的是( )A ．∠A ＝∠D B.CB ︵＝BD ︵C ．∠ACB ＝90° D．∠COB ＝3∠D8．同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长之比为( )A ．3∶4 B.3∶2 C ．2∶ 3 D ．1∶29．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A (8，0)，与y 轴分别交于点B (0，4)和点C (0，16)，则圆心M 到坐标原点O 的距离是( ) A ．10 B ．8 2 C ．413 D ．24110．如图，已知⊙O 是等腰直角三角形ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.2 二、填空题(每题3分，共30分)11．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝40°，则∠B ＝________．(第11题)(第12题)(第13题)(第14题)12．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．13．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝________．14．如图，⊙P的半径为2，P在函数y＝8x(x＞0)的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为__________．15．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在圆上，且∠BAC＝30°，∠ABD＝120°，CD⊥BD 于点D，则BD＝________.(第15题)(第16题)(第17题)16．如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC＝30°，则劣弧BC的长为________．17．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及⊙O 上，而且∠POM＝45°，则AB的长为________．18．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝________．(第18题)(第19题)(第20题)19．如图，直线y ＝33x ＋3与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，圆心P 的坐标为(1，0)，⊙P 与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 有________个．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD ︵绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为__________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．如图，A ，B ，C 三点都在⊙O 上，AE 是⊙O 的直径，AD 是△ABC 的高，⊙O 的半径R ＝4，AD ＝6.求证：AB ·AC 的值是一个常数．(第21题)22．如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦DE ⊥AB 于点H ，AH ＝2. (1)求DE 的长；(2)延长ED 到点P ，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，若PC ＝25，求PD 的长．(第22题)23．如图，已知P为反比例函数y＝4x(x>0)图象上一点，以点P为圆心，OP长为半径画圆，⊙P与x轴相交于点A，连接PA，且点A的坐标为(4，0)．求：(1)⊙P的半径；(2)图中阴影部分的面积．(第23题)24．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE.(1)求证：DE是半圆O的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．(第24题)25．如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为(－2，0)，⊙O′与x轴相交于原点O和点A，B，C两点的坐标分别为(0，b)，(1，0)．(1)当b＝3时，求经过B，C两点的直线对应的函数表达式．(2)当B点在y轴上运动时，直线BC与⊙O′有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时b的取值范围．(第25题)26．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于点M，N，点P 在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP.(1)求证：直线CP是⊙O的切线；(2)若BC＝25，sin ∠BCP＝55，求点B到AC的距离；(3)在(2)的条件下，求△ACP的周长．(第26题)答案一、1.A 2.A 3.D 4.A 5.C 6.A7．D 8.B9．D 点拨：连接BM，OM，AM，过点M作MH⊥BC于点H.∵⊙M与x轴相切于点A(8，0)，∴AM⊥OA，OA＝8.∴∠OAM＝∠MHO＝∠HOA＝90°.∴四边形OAMH是矩形，∴AM＝OH.∵点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为(0，16)，∴OB＝4，OC＝16.∴BC＝12.∵MH⊥BC，∴CH＝BH＝12BC＝12×12＝6.∴OH＝OB＋BH＝4＋6＝10.∴AM＝10.在Rt△AOM中，OM＝AM2＋OA2＝102＋82＝241.10．C点拨：∵⊙O是等腰直角三角形ABC的外接圆，BC＝4，∴AB为⊙O的直径，AC＝4，AB＝4 2.∴∠D＝90°.在Rt△ABD中，AD＝45，AB＝42，∴BD＝28 5.∵∠D＝∠C，∠DAE＝∠CBE，∴△ADE∽△BCE.∴AD∶BC＝AE∶BE＝DE∶CE＝45∶4＝1∶5.∴相似比为1∶5.设AE＝x，∴BE＝5x.∴DE＝285－5x.∴CE ＝5DE ＝28－25x . 又∵AC ＝4，∴x ＋28－25x ＝4. 解得x ＝1.二、11.70° 12.70° 13.2 14.(4，2) 15．2 16.4π3 17. 518.392 点拨：延长CO 与圆交于点D ，连接AD ，可得∠B ＝∠D ，故sin B ＝sin D ．∴AH AB ＝AC CD ，即18AB ＝2426，可得AB ＝392. 19．3 20．23－2π3点拨：依题意，有AD ＝BD ，又∠ACB ＝90°，所以CB ＝CD ＝BD ，即△BCD 为等边三角形，∠BCD ＝∠ABC ＝60°，∠BAC ＝∠ACD ＝30°；由AC ＝23，得BC ＝2，AB ＝4.阴影部分面积为S △ACD －S 弓形AD ＝S △ACD －S 弓形BD ＝S △ACD －(S 扇形BCD －S △BCD )＝S △ABC －S 扇形BCD ，根据面积公式计算即可．三、21.证明：连接BE ，如图所示．(第21题)∵AE 为⊙O 的直径，AD 是△ABC 的高， ∴∠ABE ＝∠ADC ＝90°. 又∵∠C ＝∠E ，∴△ADC ∽△ABE .∴AC AE ＝AD AB. ∴AB ·AC ＝AD ·AE ＝6×2R＝6×2×4＝48， 即AB ·AC 的值是一个常数． 22．解：(1)连接OD .∵AB ＝10，∴OA ＝OD ＝5.∵AH＝2，∴OH＝3.∵AB⊥DE，∴∠DHO＝90°，DH＝EH.∴DH＝OD2－OH2＝52－32＝4.∴DE＝2DH＝2×4＝8.(2)连接OC，OP.∵CP与⊙O相切，∴OC⊥CP.∴OP＝OC2＋CP2＝52＋（25）2＝3 5.∴PH＝OP2－OH2＝（35）2－32＝6.∴PD＝PH－DH＝6－4＝2.23．解：(1)过点P作PD⊥x轴于点D.∵A点的坐标为(4，0)，∴OA＝4.∴OD＝2，即点P的横坐标为2.将x＝2代入y＝4x，可得y＝2，即PD＝2.在Rt△OPD中，根据勾股定理可得OP＝22，即⊙P的半径为2 2.(2)由(1)可得PD＝OD，且∠ODP＝90°，∴∠OPD＝45°.又∵OP＝PA，∴∠APD＝∠OPD＝45°.∴∠OPA＝90°.又∵OA＝2OD＝4，∴S阴影＝S扇形OPA－S△OPA＝90×（22）2×π360－4×22＝2π－4.24．(1)证明：连接OD，OE，BD.∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE＝BE.在△OBE和△ODE中，⎩⎨⎧OB ＝OD ，OE ＝OE ，BE ＝DE ，∴△OBE ≌△ODE (SSS )．∴∠ODE ＝∠OBE ＝90°.∴DE 为半圆O 的切线．(2)解：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AC . ∵BC ＝2BE ＝2DE ＝4，∴AC ＝8.由题知∠C ＝60°，DE ＝BE ＝EC ，∴△DEC 为等边三角形．∴DC ＝DE ＝2.∴AD ＝AC －DC ＝8－2＝6.25．解：(1)设经过B ，C 两点的直线对应的函数表达式为y ＝m x ＋n (m≠0且m ，n 为常数)．由题易知B (0，3)，C (1，0)，分别将B (0，3)，C (1，0)的坐标代入y ＝m x ＋n ，得⎩⎨⎧3＝n ，0＝m ＋n ，解得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝3.∴经过B ，C 两点的直线对应的函数表达式为y ＝－3x ＋3.(2)当BC 切⊙O ′于第二象限时，记切点为D ，易得DC ＝ 5.∵BO ＝BD ＝b ，∴BC ＝5－b .在Rt △OBC 中，易得12＋b 2＝(5－b )2，解得b ＝255. 同理当BC 切⊙O ′于第三象限D 1点时，可求得b ＝－25 5. 故当b ＞255或b ＜－255时，直线BC 与⊙O ′相离； 当b ＝255或－255时，直线BC 与⊙O ′相切；当－255＜b ＜255时，直线BC 与⊙O ′相交． 26．(1)证明：如图，连接AN .∵∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC .∵AC 为直径，∴AN ⊥BC .∴∠CAN ＝∠BAN ，BN ＝CN .∵∠CAB ＝2∠BCP ，∴∠CAN ＝∠BCP .∵∠CAN ＋∠ACN ＝90°，∴∠BCP ＋∠ACN ＝90°，即∠ACP ＝90°.∴直线CP 是⊙O 的切线．(第26题)(2)解：如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，由(1)得BN ＝CN ＝12BC ＝ 5. ∵AN ⊥BC ，∴sin ∠CAN ＝CN AC. 又∵∠CAN ＝∠BCP ，sin ∠BCP ＝55， ∴CNAC ＝55，∴AC ＝5. ∴AN ＝AC 2－CN 2＝2 5.∵∠ANC ＝∠BHC ＝90°，∠ACN ＝∠BCH ，∴△CAN ∽△CBH .∴AC BC ＝AN BH. ∴BH ＝4，即点B 到AC 的距离为4.(3)解：易知CH＝BC2－BH2＝2，则AH＝AC－CH＝3.∵BH∥CP，∴BHPC＝AHAC.∴PC＝20 3.∴AP＝AC2＋PC2＝253.∴△ACP的周长是AC＋AP＋PC＝5＋253＋203＝20.。
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解：连接AE，在Rt△ABE中，已知AB＝3，BE＝，∴AE＝＝2.又∵tan∠EAB＝＝，∴∠EAB＝30°.在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝60°，∴EF＝AE·sin∠EAF＝2×sin60°＝2×＝3(m)
最新北师大版九年级数学下册单元测试题全套及答案
本文档含本书3章的单元测试题,同时含期中,期末试题,共5套试题
第一章检测题
(时间：100分钟满分：120分)
一、精心选一选(每小题3分，共30分)
1．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值(A)
A．不变B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍D．不能确定
14．如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小角是∠A，那么tanA的值为__或__．
15．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC＝4，BC＝3，则cos∠BCD的值是____
,第15题图) ,第16题图) ,第17题图) ,第18题图)
16．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE＝9，BC＝12，则cosC＝____．
A．(2，2)B．(，2－)
C．(2，4－2)D．(，4－2)
二、细心填一填(每小题3分，共24分)
11．计算：－4sin30°＋(2016－π)0－22＝__－2__．
12．在△ABC中，∠A，∠B的度数满足：＋(－cosB)2＝0，则∠C＝__105°__．
13．若＜cosα＜1，则锐角α的范围是__0°＜α＜45°__．
5．小强和小明去测量一座古塔的高度(如图)，他们在离古塔60m的A处，用测角仪器测得塔顶B的仰角为30°，已知测角仪器高AD＝1.5m，则古塔BE的高为(B)
A．(20－1.5)mB．(20＋1.5)m
C．31.5mD．28.5m
6．如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是(D)
22．(10分)如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东45°的方向．已知在小岛周围270海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(≈1.732)
解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险．理由如下：由题意可知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°.设AD＝x海里，CD＝x·tan∠BAD＝x·tan(90°－∠ABD)＝x，∴BC＝x－x＝200，解得x＝100(＋1)≈273.2，∵273.2＞270.∴轮船无触礁的危险
A.B．2C.D.
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC长为(C)
A.B．2C．3D.＋2
8．如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为(D)
17．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，旗杆底端B的俯角为45°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是__(9＋3)__m．(结果保留根号)
18．如图，点D在△ABC的边BC上，∠C＋∠BAD＝∠DAC，tan∠BAD＝，AD＝，CD＝13，则线段AC的长为__4__．
24．(10分)如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A，B的供水路线进行优化改造，供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A，B之间的距离为300(＋1)米．求供水站M分别到小区A，B的距离．(结果可保留根号)
2．计算－tan45°的值为(B)
A．1B．0C.D.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为(A)
A．4B．2C.D.
4．如图，∠α的顶点在原点，一条边在x轴上，另外一边经过点P(3，－4)，则sinα的值为(B)
A．－B.C.D．－
,第5题图) ,第6题图) ,第7题图)
A．(11－2)米B．(11－2)米C．(11－2)米D．(11－4)米
,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)
9．如图，在△ADC中，∠C＝90°，B为AC上一点，∠DBC＝30°，AB＝BD，则利用此图可求得tan75°等于(B)
A．2－B．2＋C.＋1D.－1
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为(C)
三、用心做一做(共66分)
19．(6分)计算：(1－)0＋|＋4＝5
20．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，已知CD⊥AB，BC＝1.
(1)如果∠BCD＝30°，求AC的长；
(2)如果tan∠BCD＝，求CD的长．
解：(1)∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵∠DCB＝30°，∴∠B＝60°.在Rt△ACB中，AC＝BC·tan60°＝(2)在Rt△BDC中，tan∠BCD＝＝，设BD＝k，则CD＝3k，由勾股定理得k2＋(3k)2＝12，解得k1＝，k2＝－(不合题意，舍去)，∴CD＝
23．(10分)如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少？(结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732)
解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝30×＝15，在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝40×＝20，∴CE＝CF＋FD＋DE＝15＋20＋2＝17＋20≈51.64≈51.6cm