四川省乐山市中考数学试卷
2023年四川省乐山市中考数学试卷(含答案解析)045916
2023年四川省乐山市中考数学试卷试卷考试总分：148 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1. 下列计算正确的是（ ）A.2a +3b ＝5abB.5a −3a ＝2C.2a 2−3a ＝−aD.−2a 2b +3a 2b ＝a 2b2. 下列几何图形中，是棱锥的是( ) A. B. C. D.3. 若直线y =−x +m 与直线y =x +n 的交点坐标为(a,4)，则m+n 的值为( )A.4B.8C.4+aD.02a +3b 5ab5a −3a22−3aa 2−a −2b +3ba 2a 2b a 2y =−x+m y =x+n (a,4)m+n 484+a4. 2018年俄罗斯世界杯开幕式于6月14日在莫斯科卢日尼基球场举行，该球场可容纳81000名观众，其中数据81000用科学记数法表示为（ ）A.81×103B.8.1×104C.8.1×105D.0.81×1055. 在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（ ）A.5个B.6个C.7个D.8个6. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于( )A.14B.7C.4D.3.57. 设α，β是一元二次方程x 2+2x −1=0的两个根，则αβ的值是 （ ）A.2B.1C.−2D.−18. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在格点上，2018614810008100081×1038.1×1048.1×1050.81×1052200515678ABCD AC BD O H AD ABCD 28OH14743.5α，β+2x−1=0x 2αβ21−2−15×41△ABC则sin ∠BAC 的值为( )A.45B.35C.34D.23 9. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)过点(−1,0)，(0,2)，且顶点在第一象限，设M =4a +2b +c ，则M 的取值范围是( )A.M <2 B.−2<M <0 C.M >−1D.−6<M <610. 已知⊙O 的半径为√3，点P 到圆心O 的距离为2，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A.点P 在⊙O 外B.点P 在⊙O 上C.点P 在⊙O 内D.无法确定二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）11. 不等式2x −1>5的解集为________.12. 祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：5×41△ABCsin ∠BAC 45353423y =a +bx+c(a ≠0)x 2(−1,0)(0,2)M =4a +2MM <2−2<M <0M >−1−6<M <6⊙O 3–√P O 2P ⊙OP ⊙OP ⊙OP ⊙O2x−1>57100数字0123456789频数881211108981214那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为________． 13. 如图①，O 为直线AB 上一点，作射线OC ，使∠AOC =120∘，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O 处，一条直角边OP 在射线OA 上，将图①中的三角尺绕点O 以每秒6∘的速度按顺时针方向旋转(如图②所示)，在旋转一周的过程中第t 秒时，OP 所在直线恰好平分∠BOC ，则t 的值为________．15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE:EC =3:1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为_________.16. 对于抛物线y =4x −4x 2+7，有下列说法：①抛物线的开口向上；②顶点坐标为(2,−3)；③对称轴为直线x =12；④点(−2,−17)在抛物线上.其中正确的有________．三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 10 分 ，共计100分 ）17. 计算：(√3)2+|−2|−(π−2)018. 解方程组： {x −3y =7，4x −3y =10. 19. 如图1，已知AB =AC ，AB ⊥AC. 直线m 经过点A ，过点B 作BD ⊥m 于D ， CE ⊥m 于E ．我们把这种常见图形称为“K”字图．(1)悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE =BD +CE ，现请你替悟空同学完成证明过程；(2)悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB =AC ，∠BAC =∠BDA =∠AEC ，则结论DE =BD +CE 还成立吗？如果成立，请证明之．1000123456789881211108981214100O AB OC ∠AOC =120∘O OP OA O 6∘t OP ∠BOC t =164ABCD E DC DE :EC =3:1AE BD F △DEF △BAFy =4x−4+7x 2(2,−3)x =12(−2,−17)(+|−2|−(π−23–√)2)0{x−3y =7，4x−3y =10.1AB =AC AB ⊥AC.m A B BD ⊥m D CE ⊥m E K(1)1DE =BD+CE(2)2AB =AC ∠BAC =∠DE =BD+CE20. 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A ，B 重合的动点，PC//AB ，点M 是OP 的中点，连结AM 并延长，交PC 于点C ，连结OC ，BC ，AP ．（1）求证：四边形OBCP 是平行四边形；（2）填空：①当∠BOP =________∘时，四边形AOCP 是菱形；②连结BP ，当∠ABP =________∘时，PC 时⊙O 的切线． 21. 甲种茶叶每100克的价格比乙种茶叶每100克的价格高8元，用80元买得的甲种茶叶克数等于用40元买得的乙种茶叶的克数，求甲、乙两种茶叶每100克的价格． 22. 根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：年龄x （岁）人数 男性占比x <20450%20≤x <30m 60%30≤x <402560%40≤x <50875%x >503100%(1)统计表中m 的值为________；(2)若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x <40”部分所对应扇形的圆心角的度数为________；(3)在这50人中女性有________人；(4)若从年龄在“x <20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率． 23. 如图，直线y ＝k 1x +b 与双曲线y =k 2x 相交于A(2,3)，B(m,−2)两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点C 是x 轴正半轴上一点，连接AO 、AC ，AO ＝AC ，求△AOC 的周长．DE =BD+CEAB O P A B PC//AB M OP AM PC C OC BC APOBCP∠BOP =∘AOCP BP ∠ABP =∘PC ⊙O1001008804010020206150x x <20450%20≤x <30m 60%30≤x<402560%40≤x <50875%x >503100%(1)m(2)30≤x <40(3)50(4)x <20422y x+b k 1y =k 2x A(2,3)B(m,−2)C x AO AC AO AC △AOC24. 如图，在⊙O中．（1）若＝，∠ACB ＝80∘，求∠BOC 的度数；（2）若⊙O 的半径为13，且BC ＝10，求点O 到BC 的距离． 25. 已知：如图1，AB 是⊙O 的直径，DB 是⊙O 的切线，C 是⊙O 上的点，连接OD ，AC//OD ．(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)求证：AB 2=2AC ⋅OD ；(3)如图2，AB =√10，tan ∠ABC =13，连接AD 交⊙O 于点E ，连接BC 交OD 于点F ，求EF 的长． 26. 如图，抛物线y =ax 2+bx(a ≠0)经过点A(4,0),B(2,2)，连接OB ，AB ．(1)求抛物线的解析式；(2)求证：△OAB 是等腰直角三角形．⊙O∠ACB 80∘∠BOC⊙O 13BC 10O BC 1AB ⊙O DB ⊙O C ⊙O OD AC//OD (1)DC ⊙O(2)A =B 22AC ⋅OD(3)2AB =10−−√tan ∠ABC =13AD ⊙O E BC OD F EF y =a +bx(a ≠0)x 2A(4,0),B(2,2)OB AB(1)(2)△OAB参考答案与试题解析2023年四川省乐山市中考数学试卷试卷一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】合并同类项【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】认识立体图形【解析】根据棱锥的定义可以得出答案．【解答】解：根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形组成的几何体为棱锥，可知：只有D选项符合定义．故选D．3.【答案】B【考点】一次函数图象上点的坐标特征【解析】本题主要考查一次函数上点的坐标的特征．【解答】解：由题知{4=−a +m ，4=a +n ，两式相加，得m+n =8．故选B ．4.【答案】B【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【解答】解：81000用科学记数法表示为8.1×104.故选B.5.【答案】B【考点】用样本估计总体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】菱形的性质直角三角形斜边上的中线三角形中位线定理【解析】根据菱形的四条边都相等求出AB ，菱形的对角线互相平分可得OB =OD ，然后判断出OH 是△ABD 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH =12AB ．【解答】解：∵菱形ABCD 的周长为28，∴AB =28÷4=7，OB =OD ，∵H 为AD 边中点，∴OH 是△ABD 的中位线，∴OH =12AB =12×7=3.5．故选D ．7.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：由方程式两根之积公式x 1⋅x 2=ac ,可知x 2+2x −1=0的两根之积为α⋅β=−1.故选D.8.【答案】A【考点】解直角三角形【解析】此题暂无解析【解答】解:如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC =90∘，∴AC =√AD 2+CD 2=√32+42=5．∴sin ∠BAC =CDAC =45．故选A ．9.【答案】D【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系【解析】将(−1,0)与(0,2)代入y ＝ax 2+bx +c ，可知b ＝a +2，利用对称轴可知：a >−2，从而可知M 的取值范围．【解答】解：将(−1,0)与(0,2)代入y =ax 2+bx +c ，∴0=a −b +c ，2=c ，∴b =a +2.∵−b2a >0，a <0，∴b >0，∴a >−2，∴−2<a<0，∴M=4a+2(a+2)+2=6a+6，∴−6<M<6.故选D.10.【答案】A【考点】点与圆的位置关系【解析】根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系：“点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外；当d<r时，点在圆内”来求解．【解答】解：由⊙O的半径为√3，点P到圆心O的距离为2，得d>r，则点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外，故选：A．二、填空题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）11.【答案】x>3【考点】解一元一次不等式【解析】不等式可化为2x>6，利用不等式的基本性质，将两边不等式同时除以2，不等号的方向不变．【解答】解：不等式2x−1>5，2x>5+1，2x>6，解得x>3.故答案为：x>3.9【考点】众数【解析】众数：众数数样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值，即在一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．【解答】解：由题目的频数分布表可观察到数字9的频数为14，出现次数最多，所以众数为9．故答案为：9．13.【答案】25或55【考点】角平分线的定义【解析】如图1，如图2，根据平角的定义得到∠BOC =60∘，根据角平分线定义得到结论．【解答】解：∵∠AOC =120∘，∴∠BOC =60∘.∵OP 平分∠BOC ，∴∠BOP =12∠BOC =30∘，或∠BOP =180∘+30∘=210∘，∴t =120∘+30∘6∘=25，或t =180∘+30∘+120∘6∘=55．故t 的值为25或55．故答案为：25或55．14.【答案】幂的乘方与积的乘方【解析】利用幂的乘方求解.【解答】解：1634=(24)34=23=8.故答案为：815.【答案】9:16【考点】平行四边形的性质相似三角形的性质与判定【解析】可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC//AB ，∴△DFE ∼△BFA.∵DE:EC =3:1，∴DE:DC =3:4，∴DE:AB =3:4，∴S △DFE :S △BFA =9:16．故答案为：9:16.16.【答案】③④【考点】二次函数的性质抛物线与x 轴的交点二次函数图象上点的坐标特征【解析】①根据二次项系数的符号即可判断出抛物线的开口方向；②根据x =−b2a 便可求出对称轴方程；③将②中对称轴方程横坐标代入解析式即可求出点的纵坐标，从而得到顶点坐标；④将点(−12,−9)代入抛物线解析式，若等式成立则点在抛物线上，否则点不在抛物线上；⑤根据抛物线交点个数与根的判别式的关系，求出△的值即可判断．【解答】解：∵y =4x −4x 2+7中，二次项系数−4<0，∴抛物线开口向下，故①错误；∵a =−4，b =4，c =7，∴对称轴为x =−42×−4=12，故③正确，②错误；将x =−2代入解析式得y =−8−16+7=−17，故④正确.故答案为：③④．三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 10 分 ，共计100分 ）17.【答案】原式＝3+2−1＝4．【考点】实数的运算零指数幂【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】原式＝3+2−1＝4．18.【答案】解：{x −3y =7，①4x −3y =10，②所以方程组的解为{x=1，y=−2.【考点】加减消元法解二元一次方程组【解析】此题暂无解析【解答】解：{x−3y=7，①4x−3y=10，②②−①得3x=3，x=1，把x=1代入方程①，解得y=−2，所以方程组的解为{x=1，y=−2.19.【答案】(1)证明：在△ABD和△CAE中，{∠ABD=∠EAC，∠BDA=∠AEC，AB=AC，∴△ABD≅△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+DA=BD+CE．(2)解：成立．理由如下：∵∠BAC+∠BAD+∠EAC=180∘，∠ADB+∠BAD+∠ABD=180∘，∠BAC=∠BDA，∴∠ABD=∠EAC，在△ABD和△CAE中，{∠ABD=∠EAC，∠BDA=∠AEC，AB=AC，∴△ABD≅△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴ DE=AE+DA=BD+CE．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】【解答】(1)证明：在△ABD和△CAE中，{∠ABD=∠EAC，∠BDA=∠AEC，AB=AC，∴△ABD≅△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+DA=BD+CE．(2)解：成立．理由如下：∵∠BAC+∠BAD+∠EAC=180∘，∠ADB+∠BAD+∠ABD=180∘，∠BAC=∠BDA，∴∠ABD=∠EAC，在△ABD和△CAE中，{∠ABD=∠EAC，∠BDA=∠AEC，AB=AC，∴△ABD≅△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴ DE=AE+DA=BD+CE．20.【答案】（1）证明：点M是OP的中点，∴OM=PM．∵PC//AB，∴∠AOM=∠CPM．在△AOM和△CPM中，{∠AOM=∠CPM,OM=PM,∠AMO=∠CMP,∴△AOM≅△CPM，∴PC=OA．∵OA=OB，∴PC=OB．又∵PC//OB，∴四边形OBCP是平行四边形．（2）①120,②45矩形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】（1）证明：点M是OP的中点，∴OM=PM．∵PC//AB，∴∠AOM=∠CPM．在△AOM和△CPM中，{∠AOM=∠CPM,OM=PM,∠AMO=∠CMP,∴△AOM≅△CPM，∴PC=OA．∵OA=OB，∴PC=OB．又∵PC//OB，∴四边形OBCP是平行四边形．（2）解：①∵四边形AOCP是菱形，∴AO=AP，又∵AO=OP，∴△AOP是等边三角形，∴∠AOP=60∘，∴∠BOP=120∘．②∵PC//OB，∴∠CPB=∠OBP，又∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠OPB=∠BPC．∵PC是⊙O的切线，∴∠OPC=90∘∴∠ABP=∠OPB=45∘．21.【答案】解：设甲种茶叶每100克的价格是x元，则乙种茶叶每100克的价格是(x−8) 元，由题意，得80x=40x−8,解得x=16，经检验， x=16是原分式方程的解，且符合题意，所以16−8=8.分式方程的应用【解析】设甲种茶叶每100克的价格是x元，则乙种茶叶每100克的价格是 (x−8) 元，等量关系为：用80元买得的甲种茶叶的克数=用40元买得的乙种茶叶的克数；根据等量关系列出方程80x=40x−8，求出x的值，再检验即可．【解答】解：设甲种茶叶每100克的价格是x元，则乙种茶叶每100克的价格是(x−8) 元，由题意，得80x=40x−8,解得x=16，经检验， x=16是原分式方程的解，且符合题意，所以16−8=8.答：甲种茶叶每100克的价格是16元，乙种茶叶每100克的价格是8元．22.【答案】10180∘18(4)设两名男性用A1,A2表示，两名女性用B1B2表示，根据题意：列表：由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，故P（恰好抽到2名男性）=212=16.【考点】统计表扇形统计图列表法与树状图法【解析】(1)用50−4−25−8−3可求出m的值；(3)分别求出每个年龄段女性人数，然后再相加即可；（4）年龄在“x <20的4人中，男性有2人，女性有2人，分别用A 1,A 2表示男性，用B 1,B 2表示女性，然后画出树状图表示出所有等可能结果数，以及关注的事件数，然后利用概率公式进行求解即可．【解答】解：(1)m =50−4−25−8−3=10，故答案为：10.(2)360∘×2550=180∘，故答案为：180∘.(3)在这50人中女性人数为：4×(1−50%)+10×(1−60%)+25×(1−60%)+8×(1−75%)+3×(1−100%)=2+4+10+2+0=18，故答案为：18.(4)设两名男性用A 1,A 2表示，两名女性用B 1B 2表示，根据题意：列表：由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，故P （恰好抽到2名男性）=212=16.23.【答案】把A(2,3)代入y =k 2x ，得k 2＝2×3＝6，∴双曲线的解析式为y =6x ，∵B(m,−2)在双曲线上，∴−2=6m ，解得，m ＝−3，∴B(−3,−2)．把A(2,3)、B(−3,−2)代入y ＝k 1x +b ，得{2k 1+b =3−3k 1+b =−2 ，解得{k 1=1b =1 ，∴直线的解析式为：y ＝x +1．如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，∵AO ＝AC ，∴OE ＝EC ，∴OC ＝2OE ＝4，√OE2+AE2=√22+32=√13，∴AO＝AC=∴△AOC的周长为4+2√13．【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】（1）先把A(2,3)代入y=k2x，求出双曲线的解析式，再利用A，B的坐标求出直线的解析式；（2）过点A作AE⊥OC于点E，根据等腰三角形的性质得出OC＝2OE＝4，再利用勾股定理求√OE2+AE2=√13，进而得到△AOC的周长．出AO＝AC=【解答】把A(2,3)代入y=k2x，得k2＝2×3＝6，∴双曲线的解析式为y=6x，∵B(m,−2)在双曲线上，∴−2=6m，解得，m＝−3，∴B(−3,−2)．把A(2,3)、B(−3,−2)代入y＝k1x+b，{2k1+b=3−3k1+b=−2 ，解得{k1=1b=1 ，得∴直线的解析式为：y＝x+1．如图，过点A作AE⊥OC于点E，∵AO＝AC，∴OE＝EC，∴OC＝2OE＝4，∵AE＝3，√OE2+AE2=√22+32=√13，∴AO＝AC=∴△AOC的周长为4+2√13．24.【答案】∵＝，∴∠ABC＝∠ACB＝80∘，∴∠A＝180∘−80∘−80∘＝20∘，∴∠BOC＝2∠A＝40∘；作OH⊥BC于H，如图BC＝5，在Rt△OBH中，OH＝＝，即点O到BC的距离为12．【考点】圆心角、弧、弦的关系垂径定理圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答25.【答案】(1)证明：如图1，连接OC，∵OA =OC ，∴∠A =∠OCA.∵AC//OD ，∴∠A =∠BOD ，∠ACO =∠COD ，∴∠COD =∠BOD ，∴△COD ≅△BOD(SAS)，∴∠OCD =∠OBD.∵DB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠OBD =90∘，∴∠OCD =∠OBD =90∘，∴DC 是⊙O 的切线.(2)证明：连接BC ，如图1，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90∘.∵∠A =∠BOD ，∠ACB =∠OBD ，∴△ABC ∽△ODB ，∴ABOD =ACOB ，∴AC ⋅OD =AB ⋅OB ，∴AC ⋅OD =AB ⋅12AB ，∴AB 2=2AC ⋅DO.(3)解：如图2，连接BE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =∠ACB =90∘.∵∠ABD =90∘，∴△BDE ∽△ADB ，∴BDDE =ADBD ，∴BD 2=DE ⋅AD.∵AC//OD ，∴OD ⊥BC ，∴△BDF ∽△OBF ∽△ODB ，∴BF 2=OF ⋅DF ，BD 2=DF ⋅DO.∵AB =√10，tan ∠ABC =ACBC =13，∴BC =3AC ，∴BC 2+AC 2=AB 2，∴9AC 2+AC 2=10，∴AC =1，BC =3，∴OB =√102，BF =32，OF =12，∴DB =3√102，AD =√1302，DF =92，∵DF ⋅DO =DE ⋅AD ，∴DFAD =DEDO .∵∠EDF =∠ODA ，∴△DEF ∽△DOA ，∴DFAD =EFOA ，∴EF =DF ⋅OAAD =9√1326.【考点】圆的综合题切线的判定相似三角形的判定相似三角形的性质与判定【解析】（1）先判断出∠COD ＝∠BOD ，再判断出∠OBD ＝90∘，进而得出△COD ≅△BOD(SAS)，即可得出结论；（2）先判断出△ABC ∽△ODB ，得出AC ⋅OD ＝AB ⋅OB ，即可得出结论；（3）先判断出BD 2＝DE ⋅DA ，再判断出△BDF ∽△OBF ∽△ODB ，得出BF 2＝OF ⋅DF ，BD 2＝DF ⋅DO ，进而求出AC ＝1，BC ＝3，进而判断出DF ⋅DO ＝DE ⋅DA ，即可判断出△DEF ∽△DOA ，即可得出结论．【解答】(1)证明：如图1，连接OC ，∵OA =OC ，∴∠A =∠OCA.∵AC//OD ，∴∠A =∠BOD ，∠ACO =∠COD ，∴∠COD =∠BOD ，∴△COD ≅△BOD(SAS)，∴∠OCD =∠OBD.∵DB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠OBD =90∘，∴∠OCD =∠OBD =90∘，∴DC 是⊙O 的切线.(2)证明：连接BC ，如图1，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90∘.∵∠A =∠BOD ，∠ACB =∠OBD ，∴△ABC ∽△ODB ，∴ABOD =ACOB ，∴AC ⋅OD =AB ⋅OB ，∴AC ⋅OD =AB ⋅12AB ，∴AB 2=2AC ⋅DO.(3)解：如图2，连接BE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =∠ACB =90∘.∵∠ABD =90∘，∴△BDE ∽△ADB ，∴BDDE =ADBD ，∴BD 2=DE ⋅AD.∵AC//OD ，∴OD ⊥BC ，∴△BDF ∽△OBF ∽△ODB ，∴BF 2=OF ⋅DF ，BD 2=DF ⋅DO.∵AB =√10，tan ∠ABC =ACBC =13，∴BC =3AC ，∴BC 2+AC 2=AB 2，∴9AC 2+AC 2=10，∴AC =1，BC =3，∴OB =√102，BF =32，OF =12，∴DB =3√102，AD =√1302，DF =92，∵DF ⋅DO =DE ⋅AD ，∴DFAD =DEDO .∵∠EDF =∠ODA ，∴△DEF ∽△DOA ，∴DFAD =EFOA ，∴EF =DF ⋅OAAD =9√1326.26.【答案】(1)解：由题意，得{16a +4b =04a +2b =2.’解得 {a =−12b =2.∴该抛物线的解析式为y =−12x 2+2x ．(2)证明：如图，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ．∵点A(4,0),B(2,2)，∴OC =BC =AC =2，∴∠BOC =∠OBC =∠BAC=∠ABC =45∘，∴∠OBA =90∘,OB =AB ，∴△OAB是等腰直角三角形．【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由题意，得{16a +4b =04a +2b =2.’解得 {a =−12b =2.∴该抛物线的解析式为y =−12x 2+2x ．(2)证明：如图，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ．∵点A(4,0),B(2,2)，∴OC =BC =AC =2，∴∠BOC =∠OBC =∠BAC=∠ABC =45∘，∴∠OBA =90∘,OB =AB ，∴△OAB是等腰直角三角形．。
2022年四川省乐山市中考数学真题(含解析)
z2022年四川省乐山市中考数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10个小题1. 下面四个数中，比0小的数是（ ） A. -2B. 1C.D.2.以下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3. 点所在象限（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（） A.B.C.D.5. 关于x 的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ） A.B.C. 1D.6. 李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（ ）A. 88B. 90C. 91D. 927. 如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ．若AB =6，AC =8，DE =4，则BF 的长为（ ）π(1,2)P -是141323342320x x m -+=1x =132313-zA. 4B. 3C.D. 28. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s （千米）与所用的时间t （分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）A. 前10分钟，甲比乙的速度慢B. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C. 甲的平均速度为0.08千米/分钟D. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少9. 如图，在中，，D 是AC 上一点，连接BD ．若，，则CD 的长为（ ）AB. 3D. 210.如图，等腰△ABC 的面积为AB =AC ，BC =2．作AE ∥BC 且AE =BC ．点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点．那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（ ）52Rt ABC !90C Ð=°BC =1tan 2A Ð=1tan 3ABD Ð=12zA.B. 3C.D. 4第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6个小题11 |－6|＝______．12. 如图6，已知直线a ∥b ，∠BAC =90°，∠1=50°，则∠2=______．13. 已知菱形的对角线相交于点，，，则菱形的面积为__________． 14. 已知，则______．15. 如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为______．16. 如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在x 轴上，点D 在y =(k >0)上，且AD ⊥x 轴，CA 的延长线交y 轴于点E ．若S △ABE =，则k =______． ABCD O 8AC cm =6BD cm =2cm 221062m n m n ++=-m n -=kx32z三、解答题17.18. 解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．解：解不等式①，得______． 解不等式②，得______．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．所以原不等式组解集为______．19. 如图，B 是线段AC 的中点，，求证：．20. 先化简，再求值：，其中21. 第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．22. 为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A ．文学鉴赏，B ．越味数学，C ．川行历史，D ．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工1sin302-°()5131212x x x x ì+>-í-£+î①②,AD BE BD CE !!ABD BCE △≌△211121xx x x æö-÷ç÷+++èøx =的z作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：④结合统计图分析数据并得出结论．（1）请对张老师的工作步骤正确排序______．（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______．A ．随机抽取八年级三班的40名学生B ．随机抽取八年级40名男生C ．随机抽取八年级40名女生D ．随机抽取八年级40名学生（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．23. 如图，己知直线1：y =x +4与反比例函数y=(x <0)的图象交于点A (−1，n )，直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x =−1对称．（1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积．24. 如图，线段AC 为⊙O 的直径，点D 、E 在⊙O 上，=，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．连结CE 交DF 于点G ．kxCD DE（1）求证：CG =DG ；（2）已知⊙O 的半径为6，，延长AC 至点B ，使．求证：BD 是⊙O 的切线． 25. 华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．某数学兴趣小组完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．3sin 5ACE Ð=4BC =在EG FH ^EGFHz（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD 中，，，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且．则______．（3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD 中，，，，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，且．求的值．26. 如图1，已知二次函数的图象与x 轴交于点、，与y 轴交于点C ，且．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示的值，并求的最大值．AB m =BC n =EG FH ^EGFH=90DAB Ð=°60ABC Ð=°AB BC =CE BF ^CEBF()20y ax bx c a =++>()1,0A -()2,0B tan 2OAC Ð=CD x !PBC BCD S S =△△PQ OQ PQOQz2022年四川省乐山市中考数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10个小题1. 下面四个数中，比0小的数是（ ） A. -2 B. 1C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据负数比0小即可求解． 【详解】解：， 故选：A ．【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握负数小于0是解题的关键． 2. 以下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可. 【详解】A.不是轴对称图形，故A 错误； B.不是轴对称图形，故B 错误； C.不是轴对称图形，故C 错误； D.是轴对称图形，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 3. 点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】Bπ201p -<<<<!(1,2)P -【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点（−1，2）所在的象限是第二象限． 故选：B ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．4. 一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由于每个球被取出的机会是均等的，故用概率公式计算即可．【详解】解：根据题意，一个布袋中放着6个黑球和18个红球，根据概率计算公式， 从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了概率公式的知识，解题关键是熟记概率公式．5. 关于x 的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ） A.B.C. 1D.【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：关于x 的一元二次方程有两根，其中一根为， 设另一根为，则， ，，故选：D14132334616184P ==+2320x x m -+=1x =132313-!2320x x m -+=1x =2x 223x x +=213x \=-213xx \=-z【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．6. 李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（ ）A. 88B. 90C. 91D. 92【答案】C 【解析】【分析】根据统计图结合题意，根据加权平均数进行计算即可求解． 【详解】解： 故选C【点睛】本题考查了加权平均数，正确的计算是解题的关键．7. 如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ．若AB =6，AC =8，DE =4，则BF 的长为（ ）A. 4B. 3C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用平行四边形ABCD 的面积公式即可求解． 【详解】解：∵DE ⊥AB ，BF ⊥AC ， ∴S 平行四边形ABCD =DE ×AB =2××AC ×BF ， 9030%9260%8810%x =´+´+´91=5212z∴4×6=2××8×BF， ∴BF =3， 故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD 的面积公式求垂线段的长是解题的关键．8. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s （千米）与所用的时间t （分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）A. 前10分钟，甲比乙的速度慢B. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C. 甲的平均速度为0.08千米/分钟D. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少【答案】D 【解析】【分析】结合函数关系图逐项判断即可．【详解】A 项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A 项正确；B 项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B 正确；C 项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C 项正确；D 项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D 项错误； 故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键．9. 如图，在中，，D 是AC 上一点，连接BD ．若12Rt ABC !90C Ð=°BC =z，，则CD 的长为（ ）A.B. 3D. 2【答案】C 【解析】【分析】先根据锐角三角函数值求出再由勾股定理求出过点D 作于点E ，依据三角函数值可得从而得，再由得AE =2，DE=1，由勾股定理得AD =而可求出CD． 【详解】解：在中，，∴ ∴ 由勾股定理得,过点D 作于点E ，如图，∵，， ∴∴ ∴∴ 1tan 2A Ð=1tan 3ABD Ð=AC =5,AB =DE AB ^11,,23DE AE DE BE ==32BE AE =5AE BE +=Rt ABC !90C Ð=°BC =1tan 2BC A AC Ð==2AC BC ==5AB ===DE AB ^1tan 2A Ð=1tan 3ABD Ð=11,,23DE DE AE BE ==11,,23DE AE DE BE ==1123AE BE =32BE AE =z∵ ∴ ∴ ∴,在中,∴∵ ∴故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键．10.如图，等腰△ABC 的面积为AB =AC ，BC =2．作AE ∥BC 且AE =BC．点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点．那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（ ）B. 3C. D. 4【答案】D 【解析】【分析】当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．求出CF 的长即可解决问题． 【详解】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接CE ， ∵AB =AC ， ∴BD =DC =BC =1， 5,AE BE +=352AE AE +=2,AE =1DE =R t A DE D 222AD AE DE =+AD =AD CD AC +==CD AC AD =-==1212∵AE =BC ， ∴AE =DC =1， ∵AE ∥BC ，∴四边形AECD 是矩形， ∴S △ABC =BC ×AD =×2×AD ∴AD CE =AD 当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在CE 的中点N 处， 当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．∵BC =2，CE 由勾股定理得BE =4， cos ∠EBC =，即∴BF =8，∵点N 是CE 的中点，点M 是EF 的中点， ∴MN =BF =4， ∴点M 的运动路径长为4， 故选：D ．【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M 的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6个小题11. |－6|＝______． 【答案】6121212BC BE BE BF =24=12z【解析】【分析】根据绝对值的意义，直接求解即可． 【详解】故答案为6．【点睛】本题考查了绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；理解绝对值的意义是解题的关键．12. 如图6，已知直线a ∥b ，∠BAC =90°，∠1=50°，则∠2=______．【答案】40°##40度 【解析】【分析】根据平行线的性质可以得到∠3的度数，进一步计算即可求得∠2的度数． 【详解】解：∵a ∥b ， ∴∠1=∠3=50°， ∵∠BAC =90°， ∴∠2+∠3=90°，∴∠2=90°-∠3=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13. 已知菱形的对角线相交于点，，，则菱形的面积为__________． 【答案】24 【解析】|66|=－ABCD O 8AC cm =6BD cm =2cmz【分析】根据菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 故答案为：24．【点睛】本题考查的知识点是菱形的面积公式，掌握求菱形面积的方法是解此题的关键． 14. 已知，则______． 【答案】 【解析】【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得的值，进而代入代数式即可求解．【详解】解：，，即，，，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．15. 如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为______．【答案】5 【解析】【分析】设正方形a 、b 、c 、d 的边长分别为a 、b 、c 、d ，分别求得b =c ，c =d ，由“优美矩形”ABCD 的周长得4d +2c =26，列式计算即可求解． 【详解】解：设正方形a 、b 、c 、d 的边长分别为a 、b 、c 、d ， ∵“优美矩形”ABCD 的周长为26， ∴4d +2c =26，211=862422S AC BD cm ´´=´´=菱形221062m n m n ++=-m n -=4,m n !221062m n m n ++=-2210620m n m n +-+\+=()()22310m n -++=3,1m n \==-()314m n \-=--=41335z∵a =2b ，c =a +b ，d =a +c ， ∴c =3b ，则b =c ， ∴d =2b +c =c ，则c =d ， ∴4d +d =26， ∴d =5，∴正方形d 的边长为5， 故答案为：5．【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．16. 如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在x 轴上，点D 在y =(k >0)上，且AD ⊥x 轴，CA 的延长线交y 轴于点E ．若S △ABE =，则k =______．【答案】3 【解析】【分析】连接OD 、DE ，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S △ADE = S △ABE =，以及S △ADE =S △ADO =，再利用反比例函数的比例系数k 的几何意义求解即可． 【详解】解：连接OD 、DE ，13533565kx323232z∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点B 、点D 到对角线AC 的距离相等， ∴S △ADE = S △ABE=， ∵AD ⊥x 轴， ∴AD ∥OE ， ∴S △ADE =S △ADO=， 设点D (x ，y ) ， ∴S △ADO =OA ×AD =xy =， ∴k =xy =3． 故答案为：3．【点睛】本题考查是反比例系数k 的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S △ADE = S △ABE 是解题的关键．三、解答题17. 【答案】3 【解析】【分析】根据特殊角三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂求解即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值、负整数指数幂、二次根式的性质等知识，熟知相关计算法则是解题的关键．3232121232的1sin302-°113322=+-=z18. 解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．解：解不等式①，得______． 解不等式②，得______．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．所以原不等式组解集为______．【答案】；；见详解； 【解析】【分析】分别解两个不等式，然后在数轴上表示解集，再根据公共部分确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：所以原不等式组解集为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．19. 如图，B 是线段AC 中点，，求证：．【答案】证明过程见详解 【解析】【分析】运行平行线的性质可证∠A =∠EBC ，∠DBA =∠C ，结论即可得证． 【详解】证明∵B 是AC 中点，()5131212x x x x ì+>-í-£+î①②2x >-3x £23x -<£2x >-3x £23x -<£的,AD BE BD CE !!ABD BCE △≌△z∴AB =BC ， ∵， ∴∠A =∠EBC ， ∵， ∴∠DBA =∠C ，在△ABD 和△BCE 中，， ∴△ABD ≌△BCE (ASA)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中【答案】【解析】【分析】先将括号内的通分、分式的除法变乘法，再结合完全平方公式即可化简，代入x 的值即可求解． 【详解】 ，∵∴原式=．【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键． 21. 第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【答案】摩托车的速度为40千米/时AD BE !BD EC !A EBC AB BC DBA C Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî211121xx x x æö-÷ç÷+++èøx =1x +1+21(1-)121xx x x ÷+++21121(-)11x x x x x x +++=´++211(1)1x x x x +-+=´+1x =+x =11x +=z【解析】【分析】设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时， 依题意，得：，解得：x =40，经检验，x =40是所列方程的根，且符合题意， 答：摩托车的速度为40千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 22. 为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A ．文学鉴赏，B ．越味数学，C ．川行历史，D ．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：④结合统计图分析数据并得出结论．（1）请对张老师的工作步骤正确排序______．（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______．A ．随机抽取八年级三班的40名学生B ．随机抽取八年级40名男生C ．随机抽取八年级40名女生D ．随机抽取八年级40名学生（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班． 【答案】（1）①③②④（2）D （3）估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班． 【解析】2020101.560x x -=z【分析】（1）根据正确的工作步骤填空即可； （2）根据抽样调查的可靠性解答可得；（3）用八年级的总人数分别乘以选择趣味数学班的学生所占的百分比即可求解． 【小问1详解】解：张老师的工作步骤，先抽取40名学生作为调查对象；收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：整理数据并绘制统计图；最后结合统计图分析数据并得出结论． 故答案：①③②④；【小问2详解】解：取样方法中，合理是：D ．随机抽取八年级40名学生， 故选：D ； 【小问3详解】解：1000名学生选择B ．越味数学的人数有：1000×=200（名）， 200÷40=5(个)估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班．【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 23. 如图，己知直线1：y =x +4与反比例函数y =(x <0)的图象交于点A (−1，n )，直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x =−1对称．（1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）反比例函数的解析式为y =； （2）图中阴影部分的面积为7． 【解析】为的840kx3x-z【分析】（1）先求得点A 的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先求得直线l ′的解析式为y =-x +2，再根据图中阴影部分的面积=S △ABC - S △OCD 求解即可．【小问1详解】解：∵直线1：y =x +4经过点A (-1，n )，∴n =-1+4=3， ∴点A 的坐标为(-1，3)， ∵反比例函数y =(x <0)的图象经过点A (-1，3)， ∴k =-1×3=-3，∴反比例函数的解析式为y =； 【小问2详解】解：∵直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x =−1对称， ∴设直线l ′的解析式为y =-x +m ， 把A (-1，3)代入得3=1+m ，解得m =2， ∴直线l ′的解析式为y =-x +2，直线1：y =x +4与x 轴的交点坐标为B (-4，0)，直线l ′：y =-x +2与x 轴的交点坐标为C (2，0)，与y 轴的交点坐标为D (0，2)， ∴图中阴影部分的面积=S △ABC - S △OCD =×6×3-×2×2=9-2=7． ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．24. 如图，线段AC 为⊙O 的直径，点D 、E 在⊙O 上，=，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．连结CE 交DF 于点G ．kx3x-1212CD DEz（1）求证：CG =DG ；（2）已知⊙O 的半径为6，，延长AC 至点B ，使．求证：BD 是⊙O 的切线．【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】【分析】（1）连接AD ，得到∠ADF +∠FDC =90°，由DF ⊥AC ，得到∠ADF +∠DAF =90°，再由=，可推出∠DCE =∠FDC ，即可证明CG =DG ；（2）要证明BD 是⊙O 的切线，只要证明OD ⊥BD ，只要证明BD ∥CE ，通过计算求得sin ∠B =，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：连接AD ，∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC =90°，则∠ADF +∠FDC =90°， ∵DF ⊥AC ，∴∠AFD =90°，则∠ADF +∠DAF =90°，∴∠FDC =∠DAF ，∵=，∴∠DCE =∠DAC ， ∴∠DCE =∠FDC ， ∴CG =DG ； 【小问2详解】证明：连接OD ，设OD 与CE 相交于点H ，∵=， ∴OD ⊥EC ， ∵DF ⊥AC ，3sin 5ACE Ð=4BC =CD DE 35CD DE CD DE∴∠ODF =∠OCH =∠ACE ， ∵， ∴sin ∠ODF =sin ∠OCH =，即=， ∴OF =， 由勾股定理得DF =， FC =OC -OF =， ∴FB = FC +BC =， 由勾股定理得DB ==8， ∴sin ∠B ==， ∴∠B =∠ACE ， ∴BD ∥CE ， ∵OD ⊥EC ，∴OD ⊥BD ， ∵OD 是半径， ∴BD 是⊙O 的切线．【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．25. 华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案． 2．如图，在正方形ABCD 中，．求证：． 证明：设CE 与DF 交于点O ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴，． ∴． ∵， ∴．∴．3sin 5ACE Ð=35OF OH OD OC =351852451253254052458DF BD =35CE DF ^CE DF =90B DCF Ð=Ð=°BC CD =90BCE DCE Ð+Ð=°CE DF ^90COD Ð=°90CDF DCE Ð+Ð=°z∴． ∴． ∴．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD 中，，，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且．则______．（3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD 中，，，，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，且．求的值．【答案】（1）1；证明见解析CDFBCE Ð=ÐCBE DFC ≌△△CE DF =EGFH ^EGFHAB m =BC n =EG FH ^EGFH=90DAB Ð=°60ABC Ð=°AB BC =CE BF ^CEBFz（2）（3【解析】【分析】（1）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，利用正方形ABCD ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°求证△ABM ≌△ADN 即可． （2）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，利用在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°，求证△ABM ∽△ADN ．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．（3）先证是等边三角形，设，过点，垂足为，交于点，则，在中，利用勾股定理求得的长，然后证，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解． 【小问1详解】，理由为： 过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 延长线于点N ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90° ∵EG ⊥FH ， ∴∠NAM ＝90°， ∴∠BAM ＝∠DAN ，在△ABM 和△ADN 中，∠BAM ＝∠DAN ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠ADN ∴△ABM ≌△ADN ∴AM ＝AN ，即EG ＝FH ，nmABC D AB BC AC a ===CN AB ^N BF M 12AN BN a ==Rt BCN D CN NCE ABF D D ∽1EGFH=的z∴； 【小问2详解】解：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形， ∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°， ∵EG ⊥FH ， ∴∠NAM ＝90°， ∴∠BAM ＝∠DAN ． ∴△ABM ∽△ADN ， ∴， ∵，，AM ＝HF ，AN ＝EG ， ∴， ∴； 故答案为：【小问3详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴设，过点，垂足为，交于点，则， 1EGFH=AM ABAN AD =AB m =BC AD n ==HF mEG n =EG nFH m=n m60ABC Ð=°AB BC =ABC D AB BC AC a ===CN AB ^N BF M 12AN BN a ==z在中，，∵，，∴，， 又∵， ∴，∵，， ∴， ∴，∴，即．【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．26. 如图1，已知二次函数的图象与x 轴交于点、，与y 轴交于点C ，且．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Rt BCND CN ===CN AB ^CE BF ^90ABF BMN Ð+Ð=°90ECN CMF Ð+Ð=°CMF BMN Ð=ÐABF ECN Ð=ÐCN AB ^90DAB Ð=°90DAB CNE Ð=Ð=°NCE ABF D D ∽CE CN BF AB=22CE BF a ==()20y ax bx c a =++>()1,0A -()2,0B tan 2OAC Ð=CD x !PBC BCD S S =△△zQ ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示的值，并求的最大值． 【答案】（1）； （2）P （或（； （3）【解析】【分析】（1）在Rt △AOC 中求出OC 的长，从而确定点C 的坐标，将二次函数设为交点式，将点C 的坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P 在第三象限和第一象限两种情况：当点P 在第三象限时，设点P （a ，），可表示出△BCD 的面积，作PE ∥AB 交BC 于E ，先求出直线BC ，从而得到E 点坐标，从而表示出△PBC 的面积，根据S △PBC =S △BCD ，列出方程，进一步求得结果，当P 在第一象限，同样的方法求得结果；（3）作PN ⊥AB 于N ，交BC 于M ，根据P （t ，），M （t ，），表示出PM 的长，根据PN ∥OC ，得出△PQM ∽△OQC ，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果． 【小问1详解】 ∵A （-1，0）， ∴OA =1，又∵∠AOC =90°，tan ∠OAC =， ∴OC =2OA =2即点C 的坐标为（0，-2）， 设二次函数的解析式为y =a （x +1）（x -2）， 将C 点坐标代入得：a =1， ∴y =（x +1）（x -2）=； 【小问2详解】设点P （a ，），如图所示，当点P 在第三象限时，作PE ∥AB 交BC 于E ，PQ OQ PQOQ22y x x =--1222a a --22t t --2t -PQ PM OQ OC =PQOQ2OCOA=22x x --22a a --z∵B （2，0），C （0，-2），∴直线BC 的解析式为：y =x -2，∴当时，x =y +2=，∴PE ==，∴S △PBC=PE ·OC ， ∵抛物线的对称轴为y =，CD ∥x 轴，C （0，-2）， ∴点D （1，-2），∴CD =1，∴S △BCD =CD ·OC， ∴PE ·OC=CD ·OC ， ∴a 2-2a =1，解得a 1舍去），a 2； 当x 时，y ==a ∴P （）， 如图，当点P 在第一象限时，作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于F ， 22y a a =--2a a -2a a a --22a a -121212121222a a --∴F （a ，a -2），∴PF =（）-（a -2）=，∴S △PBC =PF ·OB =CD ·OC ， ∴=1，解得a 1a 2舍去）； 当a y =∴P （， 综上所述，P 点坐标为（（； 【小问3详解】 如图，作PN ⊥AB 于N ，交BC 于M ，由题意可知，P （t ，），M （t ，t -2），∴PM =（t -2）-（）=-，又∵PN ∥OC ，∴△PQM ∽△OQC ， 22a a --22a a -121222a a -22a a --22t t --22t t --22t t +∴+， ∴当t =1时，()最大=． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键． 2221(1)22PQ PM t t t OQ OC -+===--12PQ OQ12。
乐山市中考数学试题及答案
乐山市中考数学试题及答案一、单选题1. 已知三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是BC的中线，若AC=8cm，BD=6cm，则AB的长度是多少？A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 12cm答案：C2. 线段AB的中点为O，若AO=3cm，BO=4cm，则AB的长度是多少？A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm答案：A二、填空题1. 已知正方形ABCD的边长为10cm，点P在边BC上，AP的长度为8cm，则BP的长度为__。
答案：2cm2. ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，那么∠AOD的度数为__。
答案：90°三、判断题1. 三个相邻的内角必定符号为“大于”、“小于”、“等于”的关系。
A. 正确B. 错误答案：B2. 同一射线上两个互补角的度数相加等于360°。
A. 正确B. 错误答案：B四、解答题1. 圆A的周长是圆B的3倍，且圆A的面积是圆B的9倍。
求圆A的半径与圆B的半径的比值。
解答：设圆A的半径为r，则圆B的半径为r/3。
根据周长公式和面积公式可得：2πr = 3(2πr/3)，πr² = 9(π(r/3)²)。
化简得r = 3r/9，即r =9cm。
所以，圆A的半径和圆B的半径的比值为9:3，即3:1。
2. 一捆铁丝长12m，要用它围成一个周长为4m的正方形和一个周长为3m的等腰直角三角形。
求正方形的边长和等腰直角三角形的直角边长。
解答：设正方形的边长为x，等腰直角三角形的直角边长为y。
根据周长公式可得：4x + 3(2y + y√2) = 12。
化简得4x + 6y + 3y√2 = 12。
又因为正方形的周长为4m，所以x = 1m。
代入方程可得4 + 6y + 3y√2 = 12，化简得6y + 3y√2 = 8。
解得y ≈ 0.62m。
所以，正方形的边长约为1m，等腰直角三角形的直角边长约为0.62m。
2022年四川省乐山市初三中考数学真题试卷(含详解)
【点睛】本题主要考查了概率公式的知识，解题关键是熟记概率公式．
5.关于x的一元二次方程 有两根，其中一根为 ，则这两根之积为（）
A B. C.1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解： 关于x的一元二次方程 有两根，其中一根为 ，
设另一根为 ，则 ，
A.前10分钟，甲比乙的速度慢B.经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C.甲的平均速度为0.08千米/分钟D.经过30分钟，甲比乙走过的路程少
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数关系图逐项判断即可．
【详解】A项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A项正确，故不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键．
9.如图，在 中， ， ，点D是AC上一点，连接BD．若 ， ，则CD的长为（）
A. B.3C. D.2
【答案】C【解析】
【分析】先根据锐角三角函数值求出 ，再由勾股定理求出 过点D作 于点E，依据三角函数值可得 从而得 ，再由 得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD= ，从而可求出CD．
A. B.3C. D.4
【答案】B
【解析】
【分析】当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在N处，当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．求出CF的长即可解决问题．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，
∵AB=AC，
∴BD=DC= BC=1，
∵AE= BC，
∴AE=DC=1，
∵AE∥BC，
A. B. C. D.
2023年四川省乐山市中考数学真题+答案解析
2023年四川省乐山市中考数学真题+答案解析（真题部分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）计算：2a﹣a＝（）A．a B．﹣a C．3a D．12．（3分）下面几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．3．（3分）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（）A．（﹣1，3）B．（0，1）C．（1，﹣1）D．（2，3）4．（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（）A．9×108B．9×109C．9×1010D．9×10115．（3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示．估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（）A．100 B．150 C．200 D．4006．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（）A．2 B．C．3 D．47．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．168．（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ＝（）A．B．C．4 D．9．（3分）如图4，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（m，0），且1＜m＜2，有下列结论：①b＜0；②a+b＞0；③0＜a＜﹣c；④若点C（﹣，y1），D（，y2）在抛物线上，则y1＞y2．其中，正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△P AB面积的最大值是（）A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）不等式x﹣1＞0的解集是．12．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为．13．（3分）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为．14．（3分）若m、n满足3m﹣n﹣4＝0，则8m÷2n＝．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝．16．（3分）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝；（2）若双曲线y＝（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）计算：|﹣2|+20230﹣．18．（9分）解二元一次方程组：．19．（9分）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．（1）求证：四边形ECFD是矩形；（2）若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离．21．（10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？22．（10分）为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与．经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”，班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．家务类型洗衣拖地煮饭刷碗人数（人）10 12 10 m根据上面图表信息，回答下列问题：（1）m＝；（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为；（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求m的值和一次函数的表达式；（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP ＝2S△OAC，求点P的坐标．24．（10分）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．（1）求证：直线AE是⊙O是的切线；（2）若sin E＝，⊙O的半径为3，求AD的长．25．（12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．26．（13分）已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线C1：y＝﹣x2+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2．（1）求b的值；（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）．当0≤x≤2时，探究下列问题：①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围；②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F．如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．2023年四川省乐山市中考数学真题+答案解析（答案部分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）计算：2a﹣a＝（）A．a B．﹣a C．3a D．1【分析】直接合并同类项得出答案．【解析】解：2a﹣a＝a．故选：A．【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．2．（3分）下面几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．【分析】根据各个选项中的几何体的形体特征进行判断即可．【解析】解：A．选项中的几何体是圆锥体，因此选项A不符合题意；B．选项中的几何体是球体，因此选项B不符合题意；C．选项中的几何体是圆柱体，因此选项C符合题意；D．选项中的几何体是四棱柱，因此选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体，圆锥体，棱柱，球的形体特征是正确判断的前提．3．（3分）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（）A．（﹣1，3）B．（0，1）C．（1，﹣1）D．（2，3）【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解．【解析】解：A．当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3，∴点（﹣1，3）不在函数y＝2x﹣1图象上；B．当x＝0时，y＝2×0﹣1＝﹣1，∴点（0，1）不在函数y＝2x﹣1图象上；C．当x＝1时，y＝2×1﹣1＝1，∴点（1，﹣1）不在函数y＝2x﹣1图象上；D．当x＝2时，y＝2×2﹣1＝3，∴点（2，3）在函数y＝2x﹣1图象上；故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是直线上任意一个点的坐标都满足函数解析式y＝kx+b．4．（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（）A．9×108B．9×109C．9×1010D．9×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解析】解：9000000000＝9×109．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示．估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（）A．100 B．150 C．200 D．400【分析】用总人数乘以样本中去“沫若故居”的学生人数所占比例即可．【解析】解：估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为500×＝200（人），故选：C．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．6．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC ＝6，BD＝8，则OE＝（）A．2 B．C．3 D．4【分析】由菱形的性质得到OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，∵AC＝6，BD＝8，∴OC＝3，OB＝4，∴CB＝＝5，∵E为边BC的中点，∴OE＝BC＝．故选：B．【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OC，OB的长，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出OE的长．7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．【解析】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝8，∵x1＝3x2，解得x1＝6，x2＝2，∴m＝x1x2＝6×2＝12．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．8．（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ＝（）A．B．C．4 D．【分析】根据题意和题目中的数据，可以求出斜边各边的长，然后即可计算出sinθ的值．【解析】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，由题意可得：c2＝25，b﹣a＝＝1，a2+b2＝c2，解得a＝3，b＝4，c＝5，∴sinθ＝＝，故选：A．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出各边的长．9．（3分）如图4，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（m，0），且1＜m＜2，有下列结论：①b＜0；②a+b＞0；③0＜a＜﹣c；④若点C（﹣，y1），D（，y2）在抛物线上，则y1＞y2．其中，正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案．【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，故①正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∵抛物线经过点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a，∵当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，∴4a+2b+b﹣a＞0，∴3a+3b＞0，∴a+b＞0，故②正确；∵a﹣b+c＝0，∴a+c＝b，∵b＜0，∴a+c＜0，∴0＜a＜﹣c，故③正确；∵点C（﹣，y1）到对称轴的距离比点D（，y2）到对称轴的距离近，∴y1＜y2，故④的结论错误．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△P AB面积的最大值是（）A．8 B．6 C．4 D．3【分析】判断三角形PCD和三角形OAB都是等腰直角三角形，由题得，当P、O、Q共线时，S △ABP最大，求出AB、PQ，根据面积公式计算即可．【解析】解：作OQ⊥AB，连接OP、OD、OC，∵CD＝，OC＝OD＝1，∴OC2+OD2＝CD2，∴△OCD为等腰直角三角形，由y＝﹣x﹣2得，点A（﹣2，0）、B（0，﹣2），∴OA＝OB＝2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝2，OQ＝，由题得，当P、O、Q共线时，S最大，△ABP∵P为中点，∴OP＝，∴PQ＝OP+OQ＝，＝AB•PQ＝3．∴S△ABP故选：D．【点评】本题考查了圆的相关知识点的应用，点圆最值的计算是解题关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）不等式x﹣1＞0的解集是x＞1．【分析】根据不等式的基本性质，左右两边同时加上1，就可求出x的取值范围．【解析】解：解不等式x﹣1＞0得，x＞1．【点评】解答此题的关键是要熟知不等式两边同时加上一个数，不等号的方向不变．12．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为160．【分析】根据众数的定义求解即可．【解析】解：由题意知，这组数据中160出现3次，次数最多，所以这组数据的众数为160，故答案为：160．【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．13．（3分）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为20°．【分析】根据邻补角定义求得∠BOC的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．【解析】解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠BOC＝20°，故答案为：20°．【点评】本题主要考查角平分线的定义，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握．14．（3分）若m、n满足3m﹣n﹣4＝0，则8m÷2n＝16．【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．【解析】解：∵3m﹣n﹣4＝0，∴3m﹣n＝4，∴8m÷2n＝23m÷2n＝23m﹣n＝24＝16．故答案为：16．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝．【分析】通过证明△AEF∽△CDF，可得＝，即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵，∴设AE＝2a，则BE＝3a，∴AB＝CD＝5a，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．16．（3分）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝﹣7；（2）若双曲线y＝（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围3＜k＜4．【分析】（1）根据题意得出，消去t得到m2+4m﹣21＝0，解方程即可求得m＝﹣7；（2）根据题意得出，①﹣②得（x+）（x﹣）＝﹣4（x﹣），整理得（x﹣）（x++4）＝0，由x≠y，得出x++4＝0，理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，由﹣3＜x＜﹣1，得出3＜k＜4．【解析】解：（1）∵P（3，m）是“和谐点”，∴，消去t得到m2+4m﹣21＝0，解得m＝﹣7或3，∵x≠y，∴m＝﹣7；故答案为：﹣7；（2）∵双曲线y＝（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，∴，①﹣②得（x+）（x﹣）＝﹣4（x﹣），∴（x﹣）（x++4）＝0，∵x≠y，∴x++4＝0，整理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∵﹣3＜x＜﹣1，∴3＜k＜4．故答案为：3＜k＜4．【点评】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，本题综合性强，有一定难度．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）计算：|﹣2|+20230﹣．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．【解析】解：原式＝2+1﹣2＝1．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．18．（9分）解二元一次方程组：．【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．【解析】解：，①×2得：2x﹣2y＝2③，②+③得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，解得：y＝1，∴原方程组的解为：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．19．（9分）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．【分析】由平行线的性质可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，利用AAS即可判定△AOC≌△BOD，从而得AC＝BD．【解析】证明：∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴AC＝BD．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．（1）求证：四边形ECFD是矩形；（2）若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离．【分析】（1）先证四边形ECFD为平行四边形，即可求解；（2）由勾股定理可求EF的长，由面积法可求解．【解析】（1）证明：∵FD∥CA，BC∥DE，∴四边形ECFD为平行四边形，又∵∠C＝90°，∴四边形ECFD为矩形；（2）解：过点C作CH⊥EF于H，在Rt△ECF中，CF＝2，CE＝4，∴EF＝＝＝2，∵S＝×CF•CE＝×EF•CH，△ECF∴CH＝＝，∴点C到EF的距离为．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，面积法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．21．（10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？【分析】设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解析】解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝500，经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意．答：原计划每天种植梨树500棵．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（10分）为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与．经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”，班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．家务类型洗衣拖地煮饭刷碗人数（人）10 12 10 m根据上面图表信息，回答下列问题：（1）m＝8；（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为108°；（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．【分析】（1）先根据煮饭人数及其所占百分比求出总人数，继而可得m的值；（2）用360°乘以“拖地”所占比例即可；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解析】解：（1）因为被调查的总人数为10÷25%＝40（人），所以m＝40﹣（10+12+10）＝8，故答案为：8；（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为360°×＝108°，故答案为：108°；（3）列表如下：男1 男2 女1 女2男1 （男1，男2）（男1，女1）（男1，女2）男2 （男2，男1）（男2，女1）（男2，女2）女1 （女1，男1）（女1，男2）（女1，女2）女2 （女2，男1）（女2，男2）（女2，女1）由表知，共有12种等可能结果，其中所选同学中有男生的有10种结果，所以所选同学中有男生的概率为＝．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及求随机事件的概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求m的值和一次函数的表达式；（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP ＝2S△OAC，求点P的坐标．【分析】（1）把A（m，4）代入反比例函数解析式求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，由S△OBP ＝2S△OAC得到，即，解得PD＝2，即可求得点P的纵坐标为2或﹣2，进一步求得点P的坐标．【解析】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数的图象上，∴，∴m＝1，∴A（1，4），又∵点A（1，4）、C（0，3）都在一次函数y＝kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+3；（2）对于y＝x+3，当y＝0时，x＝﹣3，∴OB＝3，∵C（0，3），∴OC＝3，过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，∵S△OBP ＝2S△OAC，∴，即，解得PD＝2，∴点P的纵坐标为2或﹣2，将y＝2或﹣2代入得x＝2或﹣2，∴点P（2，2）或（﹣2，﹣2）．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．24．（10分）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．（1）求证：直线AE是⊙O是的切线；（2）若sin E＝，⊙O的半径为3，求AD的长．【分析】（1）先由∠ACB＝90°，证明AB是⊙O的直径，再证明∠CAE＝∠B，则∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，即可证明直线AE是⊙O是的切线；（2）由∠E＝∠CAE＝∠B，得＝sin B＝sin E＝＝，则CE＝CA＝AB＝×6＝4，CF＝CE ＝×4＝，所以AF＝BF＝＝，则AD＝AE＝2AF＝．【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∵AD＝AE，∴∠E＝∠D，∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠B，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE，∴∠CAE＝∠B，∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，∴直线AE是⊙O是的切线．（2）解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE＝90°，∵∠E＝∠CAE＝∠B，∴＝sin B＝sin E＝＝，∵OA＝OB＝3，∴AB＝6，∴CE＝CA＝AB＝×6＝4，∴CF＝CE＝×4＝，∴AF＝BF＝＝＝，∴AD＝AE＝2AF＝2×＝，∴AD的长是．【点评】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．25．（12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为cm；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．【分析】【问题解决】（1）由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；②由∠BOB'＝90°，OB＝OB'，可得OB＝＝3，再用弧长公式可得答案；【问题拓展】连接P A'，交AC于M，连接P A，PD，AA'，PB'，PC，求出A'D＝＝＝，DM＝A'D＝，可得S△A'DP＝××4＝；S扇形P A'B'＝＝，证明△PB′D≌△PCD（SSS）可知阴影部分关于PD对称，故重叠部分面积为2（﹣）＝（cm2）．【解析】解：【问题解决】（1）根据题意，AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①如图：作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；②∵∠BOB'＝90°，OB＝OB'，∴△BOB'是等腰直角三角形，∵BB'＝6，∴OB＝＝3，∵＝（cm），∴点B经过的路径长为cm，故答案为：cm；【问题拓展】连接P A'，交AC于M，连接P A，PD，AA'，PB'，PC，如图：∵点P为中点，∴∠P AB＝，由旋转得∠P A'B'＝30°，P A＝P A′＝4，在Rt△P AM中，PM＝P A•sin∠P AM＝4×sin30°＝2，∴A'M＝P A'﹣PM＝4﹣2＝2，在Rt△A′DM中，A'D＝＝＝，DM＝A'D＝，∴S△A'DP＝××4＝；S扇形P A'B'＝＝，下面证明阴影部分关于PD对称：∵∠P AC＝∠P A'B'＝30°，∠ADN＝∠A'DM，∴∠AND＝∠A'MD＝90°，∴∠PNA'＝90°，∴PN＝P A'＝2，∴AN＝P A﹣PN＝2，∴AN＝A′M，∴△AND≌△A'MD（AAS），∴AD＝A′D，∴CD＝B'D，∵PD＝PD，PB'＝PC，∴△PB′D≌△PCD（SSS），∴阴影部分面积被PD等分，∴S阴影＝2（S△A'DP﹣S扇形P A'B'）＝2（﹣）＝（cm2）．∴两个纸板重叠部分的面积是cm2．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及扇形的旋转问题，三角形全等的判定与旋转，三角形，扇形的面积等，证明阴影部分关于AD对称是解题的关键．26．（13分）已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线C1：y＝﹣x2+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2．（1）求b的值；（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）．当0≤x≤2时，探究下列问题：①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围；②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F．如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．【分析】（1）根据当x1+x2＝0时，总有y1＝y2，构建方程，求解即可；（2）①求出抛物线经过（0，0）或（2，﹣1）时的m的值，可得结论；②判断出抛物线经过（1，0）或（2，0）时m的值，求出m的取值范围，再根据FH2+HB2＝FG2+GC2，设FH＝t，构建关系式，求出即，可得结论．【解析】解：（1）由题可知：y1＝﹣+bx1，y2＝﹣+bx2，∵当x1+x2＝0 时，总有y1＝y2，∴﹣+bx1＝﹣+bx2，整理得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣4b）＝0，∵x1≠x2，∴x1﹣x2≠0，∴x1+x2﹣4b＝0，∴b＝0；（2）①注意到抛物线C2最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移．下面考虑满足题意的两种临界情形：（i）当抛物线C2过点（0，0）时，如图1所示，此时，x＝0，，解得m＝2或﹣2（舍）．（i）当抛物线C2过点（2，﹣1）时，如图2所示，此时，x＝2，解得或（舍）．综上所述，2≤m≤2+2；②同①考虑满足题意的两种临界情形：（i）当抛物线C2过点（0，﹣1）时，如图3所示，此时，x＝0，，解得或（舍）．（ii）当抛物线C2过点（2，0）时，如图4所示，此时，x＝2，，解得m＝4 或0（舍）．综上所述，．如图5，由圆的性质可知，点E、F在线段AB的垂直平分线上，，解得x A＝m﹣2，x B＝m+2，∴HB＝m+2﹣m＝2，∵FB＝FC．∴FH2+HB2＝FG2+GC2，设FH＝t，∴t2+22＝（﹣1﹣t）2+m2，∴（﹣1）2﹣2（﹣1）t+m2﹣4＝0，∴（﹣1）（﹣2t+3）＝0，∵m≥2，∴﹣1≠0，∴，即，∵∴，即＜FH≤，∵EF＝FH+1，∴．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．。
2022年四川省乐山市中考数学试卷含答案详解
2022年四川省乐山市中考数学试卷及答案解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）下面四个数中，比0小的数是()A．2-B．1C D．π2．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是()A．B．C．D．3．（3分）点(1,2)P-在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（3分）一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是()A．14B．13C．23D．345．（3分）关于x的一元二次方程2320x x m-+=有两根，其中一根为1x=，则这两根之积为()A．13B．23C．1D．13-6．（3分）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为( )A．88B．90C．91D．927．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE AB⊥，垂足为E，过点B作BF AC⊥，垂足为F．若6AB=，8AC=，4DE=，则BF的长为()A．4B．3C．52D．28．（3分）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是()A．前10分钟，甲比乙的速度慢B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C．甲的平均速度为0.08千米/分钟D ．经过30分钟，甲比乙走过的路程少9．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC ，点D 是AC 上一点，连结BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为( )A ．B ．3CD ．210．（3分）如图，等腰ABC ∆的面积为AB AC =，2BC =．作//AE BC 且12AE BC =．点P 是线段AB 上一动点，连结PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点．那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为( )A B ．3 C ．D ．4二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）|6|-= ．12．（3分）如图，已知直线//a b ，90BAC ∠=︒，150∠=︒．则2∠= ．13．（3分）已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8cm 和6cm ．则菱形的面积为 2cm ．14．（3分）已知221062m n m n ++=-，则m n -= ．15．（3分）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形” ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为 ．16．（3分）如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在x 轴上，点D 在(0)k y k x=>上，且AD x ⊥轴，CA 的延长线交y 轴于点E ．若32ABE S ∆=，则k = ．三、大题共3个小题，每小题9分，共27分．17．（9分）1sin302-︒．18．（9分）解不等式组()5131212x x x x ⎧+>-⎨-+⎩①②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．解：解不等式①，得 ．解不等式②，得 ．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：所以原不等式组解集为 ．19．（9分）如图，B 是线段AC 的中点，//AD BE ，//BD CE ．求证：ABD BCE ∆≅∆．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．20．（10分）先化简，再求值：21(1)121x x x x -÷+++，其中x =． 21．（10分）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．22．（10分）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A ．文学鉴赏，B ．趣味数学，C ．川行历史，D ．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．（1）请对张老师的工作步骤正确排序 ．（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 ．A ．随机抽取八年级三班的40名学生B ．随机抽取八年级40名男生C ．随机抽取八年级40名女生D ．随机抽取八年级40名学生（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．23．（10分）如图，已知直线:4l y x =+与反比例函数(0)k y x x=<的图象交于点(1,)A n -，直线l '经过点A ，且与l 关于直线1x =-对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．24．（10分）如图，线段AC 为O 的直径，点D 、E 在O 上，CD DE =，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ．连结CE 交DF 于点G ．（1）求证：CG DG =；（2）已知O 的半径为6，3sin 5ACE ∠=，延长AC 至点B ，使4BC =．求证：BD 是O 的切线．六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．25．（12分）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．四边形CE DF⊥COD∴∠CDF∴∠+CDF∴∠=CBE∴∆≅某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG FH⊥．试猜想EGFH的值，并证明你的猜想．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB m=，BC n=，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG FH⊥．则EGFH=．【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，90DAB∠=︒，60ABC∠=︒，AB BC=，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE BF⊥．求CEBF的值．26．（13分）如图1，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点(1,0)A -、(2,0)B ，与y 轴交于点C ，且tan 2OAC ∠=．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作//CD x 轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连结PB 、PC ，若PBC BCD S S ∆∆=，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连结OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQ OQ的最大值．2022年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）下面四个数中，比0小的数是()A．2-B．1C D．π【分析】实数比较大小，正数大于负数，正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值越大这个负数越小，利用这些法则即可求解．π>>>>-，【解答】解：102∴比0小的数是2-．故选：A．2．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．3．（3分）点(1,2)P-在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标符号直接判断的判断即可．【解答】解：(1,2)P-，横坐标为1-，纵坐标为：2，P ∴点在第二象限．故选：B ．4．（3分）一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是( )A ．14B ．13C ．23D ．34【分析】根据题意，可知存在61824+=种可能性，其中抽到黑球的有6种可能性，从而可以求出从布袋中任取1个球，取出黑球的概率．【解答】解：一个布袋中放着6个黑球和18个红球，∴从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是661186244==+， 故选：A ．5．（3分）关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，则这两根之积为( )A ．13B ．23C ．1D ．13- 【分析】直接把1x =代入一元二次方程即可求出m 的值，根据根与系数的关系即可求得．【解答】解：方程的其中一个根是1，320m ∴-+=，解得1m =-， 两根的积为3m ， ∴两根的积为13-，故选：D ．6．（3分）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为( )A．88B．90C．91D．92【分析】根据加权平均数的计算公式进行解答即可．【解答】解：李老师的综合成绩为：9030%9260%8810%91⨯+⨯+⨯=（分)；故选：C．7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE AB⊥，垂足为E，过点B作BF AC⊥，垂足为F．若6AB=，8AC=，4DE=，则BF的长为()A．4B．3C．52D．2【分析】根据平行四边形的性质可得12ABC ABCDS S∆=平行四边形，结合三角形及平行四边形的面积公式计算可求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，12ABC ABCDS S∆=平行四边形，DE AB⊥，BF AC⊥，∴1122AC BF AB DE⋅=⨯⋅，6AB=，8AC=，4DE=，864BF∴=⨯，解得3BF=，故选：B．8．（3分）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是( )A ．前10分钟，甲比乙的速度慢B ．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C ．甲的平均速度为0.08千米/分钟D ．经过30分钟，甲比乙走过的路程少 【分析】观察函数图象，逐项判断即可．【解答】解：由图象可得：前10分钟，甲的速度为0.8100.08÷=（千米/分），乙的速度是1.2100.12÷=（千米/分）， ∴甲比乙的速度慢，故A 正确，不符合题意；经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米，故B 正确，不符合题意； 甲40分钟走了3.2千米，∴甲的平均速度为3.2400.08÷=（千米/分钟），故C 正确，不符合题意；经过30分钟，甲走过的路程是2.4千米，乙走过的路程是2千米，∴甲比乙走过的路程多，故D 错误，符合题意；故选：D ．9．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC ，点D 是AC 上一点，连结BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为( )A ．B ．3CD ．2【分析】过D 点作DE AB ⊥于E ，由锐角三角函数的定义可得5DE AB =，再解直角三角形可求得AC 的长，利用勾股定理可求解AB 的长，进而求解AD 的长． 【解答】解：过D 点作DE AB ⊥于E ，1tan 2DE A AE ∠==，1tan 3DE ABD BE ∠==，2AE DE ∴=，2BE DE =，235DE DE DE AB ∴+==，在Rt ABC ∆中，1tan 2A ∠=，BC ，∴12BC AC ==，解得AC =5AB ∴==，1DE ∴=， 2AE ∴=，AD ∴=，CD AC AD ∴=-=故选：C ．10．（3分）如图，等腰ABC ∆的面积为AB AC =，2BC =．作//AE BC 且12AE BC =．点P 是线段AB 上一动点，连结PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点．那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为( )A B ．3C ．D ．4【分析】如图，过点A 作AH BC ⊥于点H ．当点P 与A 重合时，点F 与C 重合，当点P 与B 重合时，点F 的对应点为F ''，点M 的运动轨迹是ECF ∆''的中位线，12M M CF '''=''，利用相似三角形的性质求出CF ''可得结论． 【解答】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于点H ．当点P 与A 重合时，点F 与C 重合，当点P 与B 重合时，点F 的对应点为F ''， 点M 的运动轨迹是ECF ∆''的中位线，12M M CF '''=''，AB AC =，AH BC ⊥， BH CH ∴=， //AE BC ，12AE BC =， AE CH ∴=，∴四边形AHCE 是平行四边形，90AHC ∠=︒，∴四边形AHCE 是矩形，EC BF ∴⊥''，AH EC =，2BC =，ABC S ∆=∴122AH ⨯⨯=AH EC ∴==BFF ECB ECF ∠''=∠=∠''， 90BEC CEF ∴∠+∠''=︒， 90CEF F ∠''+∠''=︒， BEC F ∴∠=∠''， ECB ∴∆∽△F CE ''，2EC CB CF ∴=⋅''，6CF ∴''==，3M M ∴'''=故选：B ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）|6|-= 6 ．【分析】根据绝对值的化简，由60-<，可得|6|(6)6-=--=，即得答案． 【解答】解：60-<， 则|6|(6)6-=--=， 故答案为6．12．（3分）如图，已知直线//a b ，90BAC ∠=︒，150∠=︒．则2∠= 40︒ ．【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出ACB ∠，再根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，150∠=︒， 则905040ACB ∠=︒-︒=︒， //a b ，240ACB ∴∠=∠=︒，故答案为：40︒．13．（3分）已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8cm 和6cm ．则菱形的面积为 24 2cm ．【分析】根据菱形的面积=对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积． 【解答】解：菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8cm 和6cm ，∴菱形的面积是28624()2cm ⨯=， 故答案为：24．14．（3分）已知221062m n m n ++=-，则m n -= 4 ． 【分析】根据完全平方公式得出m 和n 的值即可得出结论． 【解答】解：221062m n m n ++=-， 2269210m m n n ∴-++++=，即22(3)(1)0m n -++=， 3m ∴=，1n =-， 4m n ∴-=，故答案为：4．15．（3分）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形” ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为 5 ．【分析】设正方形b 的边长为x ，则正方形a 的边长为2x ，正方形c 的边长为3x ，正方形d 的边长为5x ，利用矩形的周长计算公式，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出x 的值，再将其代入5x 中即可求出结论．【解答】解：设正方形b 的边长为x ，则正方形a 的边长为2x ，正方形c 的边长为3x ，正方形d 的边长为5x ，依题意得：(355)226x x x ++⨯=， 解得：1x =， 5515x ∴=⨯=，即正方形d 的边长为5． 故答案为：5．16．（3分）如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在x 轴上，点D 在(0)ky k x=>上，且AD x⊥轴，CA 的延长线交y 轴于点E ．若32ABE S ∆=，则k = 3 ．【分析】连接DE 、OD ，根据平行四边形的性质得到//AD BC ，根据三角形的面积公式得到ODE EBC S S ∆∆=，ADE ABC S S ∆∆=，进而求出OAD S ∆，根据反比例函数系数k 的几何意义解答即可．【解答】解：设BC 与x 轴交于点F ，连接DF 、OD ， 四边形ABCD 为平行四边形， //AD BC ∴，ODF EBC S S ∆∆∴=，ADF ABC S S ∆∆=，32OAD ABE S S ∆∆∴==， 3k ∴=，故答案为：3．三、大题共3个小题，每小题9分，共27分．17．（9分）1sin302-︒．【分析】分别利用特殊角的三角函数值，算术平方根的定义及负整数指数的定义运算，然后合并即可求解． 【解答】解：原式11322=+- 3=．18．（9分）解不等式组()5131212x x x x ⎧+>-⎨-+⎩①②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．解：解不等式①，得 2x >- ． 解不等式②，得 ．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：所以原不等式组解集为 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式①，得2x >-． 解不等式②，得3x ．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：所以原不等式组解集为23x -<， 故答案为：2x >-，3x ，23x -<．19．（9分）如图，B 是线段AC 的中点，//AD BE ，//BD CE ．求证：ABD BCE ∆≅∆．【分析】根据ASA 判定定理直接判定两个三角形全等． 【解答】证明：点B 为线段AC 的中点，AB BC ∴=， //AD BE ， A EBC ∴∠=∠， //BD CE ， C DBA ∴∠=∠，在ABD ∆与BCE ∆中， A EBC AB BCDBA C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ABD BCE ∴∆≅∆．()ASA ．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分． 20．（10分）先化简，再求值：21(1)121xx x x -÷+++，其中x =． 【分析】先算括号内的减法，再算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：21(1)121xx x x -÷+++ 211(1)1x x x x +-+=⋅+ 2(1)1x x x x+=⋅+ 1x =+，当x时，原式1．21．（10分）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【分析】设摩托车的速度为x 千米/小时，则抢修车的速度为1.5x 千米/小时，根据时间=路程÷速度结合骑摩托车的维修工人比乘抢修车的工人多用10分钟到达，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设摩托车的速度为x 千米/小时，则抢修车的速度为1.5x 千米/小时，依题意，得：2020101.560x x-=，解得：40x=，经检验，40x=是原方程的解，且符合题意．答：摩托车的速度为40千米/小时．22．（10分）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．趣味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．（1）请对张老师的工作步骤正确排序①③②④．（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是．A．随机抽取八年级三班的40名学生B．随机抽取八年级40名男生C．随机抽取八年级40名女生D．随机抽取八年级40名学生（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．【分析】（1）根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可；（2）根据抽样调查的特点解答即可；（3）根据样本估计总体思想解答即可．【解答】解：（1）根据数据的收集与整理的具体步骤可判断顺序为：①③②④， 故答案为：①③②④；（2）根据抽样调查的特点易判断出：D ，故答案为：D ；（3）由条形统计图可估计，八年级学生中选择趣味数学的人数为：8100020040⨯=（人)， 200405÷=，答：至少应该开设5个班．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．23．（10分）如图，已知直线:4l y x =+与反比例函数(0)k y x x=<的图象交于点(1,)A n -，直线l '经过点A ，且与l 关于直线1x =-对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）将A 点坐标代入直线l 解析式，求出n 的值，确定A 点坐标，再代入反比例函数解析式即可；（2）通过已知条件求出直线l '解析式，用BOC ∆的面积ACD -∆的面积解答即可．【解答】解：点(1,)A n -在直线:4l y x =+上，143n ∴=-+=，(1,3)A ∴-，点A 在反比例函数(0)k y x x=<的图象上， 3k ∴=-，∴反比例函数的解析式为3y x=-； （2）易知直线:4l y x =+与x 、y 轴的交点分别为(4,0)B -，(0,4)C ，直线l '经过点A ，且与l 关于直线1x =-对称，∴直线l '与x 轴的交点为(2,0)E ，设:l y kx b '=+，则302k b k b =-+⎧⎨=+⎩， 解得：12k b =-⎧⎨=⎩， :2l y x ∴'=-+，l ∴'与y 轴的交点为(0,2)D ，∴阴影部分的面积BOC =∆的面积ACD -∆的面积114421722=⨯⨯-⨯⨯=．24．（10分）如图，线段AC 为O 的直径，点D 、E 在O 上，CD DE =，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ．连结CE 交DF 于点G ．（1）求证：CG DG =；（2）已知O 的半径为6，3sin 5ACE ∠=，延长AC 至点B ，使4BC =．求证：BD 是O 的切线．【分析】（1）证明CDG DCG ∠=∠可得结论；（2）证明COH BOD ∆∆∽可得90BDO ∠=︒，从而得结论．【解答】证明：（1）连接AD ，线段AC 为O 的直径，90ADC ∴∠=︒，90ADF CDG ∴∠+∠=︒，DF BC ⊥，90DFA DAF ADF ∴∠=∠+∠=︒，CDG DAF ∴∠=∠，CD DE =，DAF DCG ∴∠=∠，CDG DCG ∴∠=∠，CG DG ∴=；（2）连接OD ，交CE 于H ，CD DE =，OD EC ∴⊥，3sin 5OH ACE OC ∠==， 4BC =，6OD OC ==， ∴63645OD OB ==+， ∴OH OD OC OB=， COH BOD ∠=∠，COH BOD ∴∆∆∽，90BDO CHO ∴∠=∠=︒，OD BD ∴⊥，OD是O的半径，BD∴是O的切线．六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．25．（12分）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．四边形CE DF⊥COD∴∠CDF∴∠+CDF∴∠=CBE∴∆≅某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG FH⊥．试猜想EGFH的值，并证明你的猜想．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB m=，BC n=，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG FH⊥．则EGFH=nm．【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，90DAB∠=︒，60ABC∠=︒，AB BC=，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE BF⊥．求CEBF的值．【分析】（1）过点A 作//AM HF 交BC 于点M ，作//AN EG 交CD 的延长线于点N ，利用正方形ABCD ，AB AD =，90ABM BAD ADN ∠=∠=∠=︒求证ABM ADN ∆≅∆即可；（2）过点A 作//AM HF 交BC 于点M ，作//AN EC 交CD 的延长线于点N ，利用在长方形ABCD 中，BC AD =，90ABM BAD ADN ∠=∠=∠=︒求证ABM ADN ∆∆∽．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；（3）如图3中，过点C 作CM AB ⊥于点M ．设CE 交BF 于点O ．证明CME BAF ∆∆∽，推出CE CM BF AB=，可得结论． 【解答】解：（1）结论：1EG FH =． 理由：如图1中，过点A 作//AM HF 交BC 于点M ，作//AN EG 交CD 的延长线于点N ，AM HF ∴=，AN BC =，在正方形ABCD 中，AB AD =，90ABM BAD ADN ∠=∠=∠=︒， EG FH ⊥，90NAM ∴∠=︒，BAM DAN ∴∠=∠，在ABM ∆和ADN ∆中，BAM DAN ∠=∠，AB AD =，ABM ADN ∠=∠， ()ABM ADN ASA ∴∆≅∆，AM AN ∴=，即EG FH =， ∴1EG FH=；（2）如图2中，过点A 作//AM HF 交BC 于点M ，作//AN EC 交CD 的延长线于点N ，AM HF ∴=，AN EC =，在长方形ABCD 中，BC AD =，90ABM BAD ADN ∠=∠=∠=︒， EG FH ⊥，90NAM ∴∠=︒，BAM DAN ∴∠=∠．ABM ADN ∴∆∆∽． ∴AM AB AN AD=， AB m =，BC AD n ==， ∴EG n FH m=． 故答案为：n m ；（3）如图3中，过点C 作CM AB ⊥于点M ．设CE 交BF 于点O ．CM AB ⊥，90CME ∴∠=︒，1290∴∠+∠=︒，CE BF ⊥，90BOE ∴∠=︒，2390∴∠+∠=︒，13∴∠=∠，CME BAF ∴∆∆∽， ∴CE CM BF AB=， AB BC =，60ABC ∠=︒，∴sin 60CE CM BF BC ==︒=． 26．（13分）如图1，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点(1,0)A -、(2,0)B ，与y 轴交于点C ，且tan 2OAC ∠=．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作//CD x 轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连结PB 、PC ，若PBC BCD S S ∆∆=，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连结OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQ OQ的最大值．【分析】（1）在Rt AOC ∆中求出OC 的长，从而确定点C 坐标，将二次函数设为交点式，将点C 坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P 在第三象限和第一象限两种情形．当点P 在第三象限时，设点2(,2)P a a a --，可表示出BCD ∆的面积，当点P 在第三象限时，作//PE AB 交BC 于E ，先求出直线BC ，从而得出E 点坐标，从而表示出PBC ∆的面积，根据PBC BCD S S ∆∆=，列出方程，进一步求得结果，当P 在第一象限，同样的方法求得结果；（3）作PN AB ⊥于N ，交BC 于M ，根据2(,2)P t t t --，(,2)M t t -，表示出PM 的长，根据//PN OC ，得出PQM OQC ∆∆∽，从而得出PQ PM OQ OC =，从而得出PQ OQ 的函数表达式，进一步求得结果．【解答】解：（1）(1,0)A -，1OA ∴=，90AOC ∠=︒，tan 2OC OAC OA ∴∠==， 22OC OA ∴==，∴点(0,3)C -，设二次函数的解析式为：(1)(2)y a x x =+⋅-， 1(2)2a ∴⋅⨯-=-，1a ∴=，2(1)(2)2y x x x x ∴=+⋅-=--；（2）设点2(,2)P a a a --，如图1，当点P 在第三象限时，作//PE AB 交BC 于E ， (2,0)B ，(0,2)C -，∴直线BC 的解析式为：2y x =-， ∴当22y a a =--时，22x y a a =+=-， 222PE a a a a a ∴=--=-，12PBC S PE OC ∆∴=⋅， 抛物线的对称轴为直线12y =，//CD x 轴，(0,2)C -， ∴点(1,2)D -， 1CD ∴=，12BCD S CD OC ∆∴=⋅， ∴1122PE OC CD OC ⋅=⋅， 221a a ∴-=，11a ∴=+（舍去），21a =当1x =221y a a a =--=-=(1P ∴，如图2，当点P 在第一象限时， 作PE x ⊥轴于E ，交直线BC 于F ， (,2)F a a ∴-22(2)(2)2PF a a a a a ∴=----=-， 1122PBC S PF OB CD OC ∆∴=⋅=⋅， 221a a ∴-=，11a ∴=+，21a =，当1a =22222112y a a a a a =--=-+-=++=(1P ∴+，综上所述：(1P +或(1，；（3）如图3，作PN AB ⊥于N ，交BC 于M ， 2(,2)P t t t --，(,2)M t t -， 22(2)(2)2PM t t t t t ∴=----=-+， //PN OC ，PQM OQC ∴∆∆∽， ∴22211(1)222PQ PM t t t OQ OC -+===--+， ∴当1t =时，1()2PQ OQ =最大．。
2022年四川乐山中考数学试卷真题及答案详解(精校打印版)
乐山市2022年初中学业水平考试数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10个小题1．下面四个数中，比0小的数是（）A．-2B．1C D．π2．以下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．点A(﹣1，2)所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（）A．14B．13C．23D．345．关于x的一元二次方程2320x x m-+=有两根，其中一根为1x=，则这两根之积为（）A．13B．23C．1D．13-6．李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（）A ．88B ．90C ．91D ．927．如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ．若AB =6，AC =8，DE =4，则BF 的长为（）A ．4B ．3C ．52D ．28．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s （千米）与所用的时间t （分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（）A ．前10分钟，甲比乙的速度慢B ．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C ．甲的平均速度为0.08千米/分钟D ．经过30分钟，甲比乙走过的路程少9．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =点D 是AC 上一点，连接BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为（）A ．B ．3CD ．210．如图，等腰△ABC 的面积为AB =AC ，BC =2．作AE ∥BC 且AE =12BC ．点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点．那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（）AB ．3C ．D ．4第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6个小题11．计算：|﹣6|=_____．12．如图6，已知直线a ∥b ，∠BAC =90°，∠1=50°，则∠2=______．13．在菱形ABCD 中，对角线8cm,6cm AC BD ==，则菱形的面积为_______cm ．14．已知221062m n m n ++=-，则m n -=______．15．如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为______．16．如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在x 轴上，点D 在y =kx(k >0)上，且AD ⊥x 轴，CA 的延长线交y 轴于点E ．若S △ABE =32，则k =______．三、解答题17．1sin 302-︒18．解不等式组()5131212x x x x ⎧+>-⎨-≤+⎩①②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．解：解不等式①，得______．解不等式②，得______．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．所以原不等式组解集为______．19．如图，B 是线段AC 的中点，,AD BE BD CE ∥∥，求证：ABD BCE ≌．20．先化简，再求值：211121x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 21．第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．22．为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．越味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：④结合统计图分析数据并得出结论．(1)请对张老师的工作步骤正确排序______．(2)以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______．A．随机抽取八年级三班的40名学生B．随机抽取八年级40名男生C．随机抽取八年级40名女生D．随机抽取八年级40名学生(3)如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．23．如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称．(1)求反比例函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积．24．如图，线段AC 为⊙O 的直径，点D 、E 在⊙O 上， CD= DE ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．连结CE 交DF 于点G ．(1)求证：CG =DG ；(2)已知⊙O 的半径为6，3sin 5ACE ∠=，延长AC 至点B ，使4BC =．求证：BD 是⊙O 的切线．25．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．2．如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．求证：CE DF =．证明：设CE 与DF 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B DCF ∠=∠=︒，BC CD =．∴90BCE DCE ∠+∠=︒．∵CE DF ⊥，∴90COD ∠=︒．∴90CDF DCE ∠+∠=︒．∴CDF BCE ∠=∠．∴CBE DFC ≌△△．∴CE DF =．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究(1)【问题探究】如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．试猜想EGFH的值，并证明你的猜想．(2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD 中，AB m =，BC n =，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．则EGFH=______．(3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，60ABC ∠=︒，AB BC =，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，且CE BF ⊥．求CEBF的值．26．如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()1,0A -、()2,0B ，与y 轴交于点C ，且tan 2OAC ∠=．(1)求二次函数的解析式；(2)如图2，过点C 作CD x ∥轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBC BCD S S △△，求点P 的坐标；(3)如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQOQ的最大值．1．A【分析】根据负数比0小即可求解．【详解】解：201π，-<<<<故选：A．【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握负数小于0是解题的关键．2．D【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.【详解】A.不是轴对称图形，故A错误；B.不是轴对称图形，故B错误；C.不是轴对称图形，故C错误；D.是轴对称图形，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．3．B【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：点A（﹣1，2）的横坐标小于0，纵坐标大于0，点（﹣1，2）所在的象限是第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．A 【分析】由于每个球被取出的机会是均等的，故用概率公式计算即可．【详解】解：根据题意，一个布袋中放着6个黑球和18个红球，根据概率计算公式，从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是616184P ==+．故选：A ．【点睛】本题主要考查了概率公式的知识，解题关键是熟记概率公式．5．D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解： 关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，设另一根为2x ，则223x x +=，213x ∴=-，213xx ∴=-，故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．6．C 【分析】根据统计图结合题意，根据加权平均数进行计算即可求解．【详解】解：9030%9260%8810%x =⨯+⨯+⨯91=故选C 【点睛】本题考查了加权平均数，正确的计算是解题的关键．7．B【分析】利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解．【详解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S平行四边形ABCD =DE×AB=2×12×AC×BF，∴4×6=2×12×8×BF，∴BF=3，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是解题的关键．8．D【分析】结合函数关系图逐项判断即可．【详解】A项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A项正确，故不符合题意；B项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，故不符合题意；C项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C项正确，故不符合题意；D项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D项错误，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键．9．C【分析】先根据锐角三角函数值求出AC =再由勾股定理求出5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE =，再由5AE BE +=得AE =2，DE =1，由勾股定理得ADCD ．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =，∴1tan 2BC A AC ∠==∴2AC BC ==由勾股定理得,5AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图，∵1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，∴11,,23DE DE AE BE ==∴11,,23DE AE DE BE ==∴1123AE BE =∴32BE AE =∵5,AE BE +=∴352AE AE +=∴2,AE =∴1DE =,在R t A D E ∆中,222AD AE DE =+∴AD ==∵AD CD AC +==∴CD AC AD =-=故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键．10．B【分析】当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．求出CF 的长即可解决问题．【详解】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接CE ，∵AB =AC ，∴BD =DC =12BC =1，∵AE =12BC ，∴AE =DC =1，∵AE ∥BC ，∴四边形AECD 是矩形，∴S △ABC =12BC ×AD =12×2×AD∴AD CE =AD 当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在CE 的中点N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．∵BC =2，CE由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=BC BEBE BF=，即244BF=，∴BF=8，∴CF=BF-BC=6,∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，∴MN=12CF=3，∴点M的运动路径长为3，故选：B．【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．11．6【分析】根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数解题即可.【详解】﹣6＜0，则|﹣6|=﹣（﹣6）=6，故答案为6．【点睛】本题考查绝对值的定义．熟练掌握绝对值的定义是解题的关键.12．40°##40度【分析】根据平行线的性质可以得到∠3的度数，进一步计算即可求得∠2的度数．【详解】解：∵a∥b，∴∠1=∠3=50°，∵∠BAC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠2=90°-∠3=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13．24【分析】由菱形面积公式即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，∴菱形ABCD 的面积=12AC ×BD =12×8×6=24（cm 2），故答案为：24．【点睛】本题考查菱形的性质以及菱形面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．14．4【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得,m n 的值，进而代入代数式即可求解．【详解】解： 221062m n m n ++=-，2210620m n m n +-+∴+=，即()()22310m n -++=，3,1m n∴==-，()314m n∴-=--=，故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．15．5【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=13c，c=35d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∴4d+2c=26，∵a=2b，c=a+b，d=a+c，∴c=3b，则b=13 c，∴d=2b+c=53c，则c=35d，∴4d+65d=26，∴d=5，∴正方形d的边长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．16．3【分析】连接OD、DE，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE=S△ABE=32，以及S△ADE=S△ADO=32，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．【详解】解：连接OD、DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴点B、点D到对角线AC的距离相等，∴S△ADE=S△ABE=3 2，∵AD⊥x轴，∴AD∥OE，∴S△ADE=S△ADO=3 2，设点D(x，y)，∴S△ADO=12OA×AD=12xy=32，∴k=xy=3．故答案为：3．【点睛】本题考查的是反比例系数k的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE=S△ABE是解题的关键．17．3【分析】根据特殊角三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂求解即可．【详解】解：原式1133 22=+-=．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值、负整数指数幂、二次根式的性质等知识，熟知相关计算法则是解题的关键．18．2x >-；3x ≤；见详解；23x -<≤【分析】分别解两个不等式，然后在数轴上表示解集，再根据公共部分确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式①，得2x >-，解不等式②，得3x ≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：所以原不等式组解集为：23x -<≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．19．证明过程见详解【分析】运行平行线的性质可证∠A =∠EBC ，∠DBA =∠C ，结论即可得证．【详解】证明∵B 是AC 中点，∴AB =BC ，∵AD BE ∥，∴∠A =∠EBC ，∵BD EC ∥，∴∠DBA =∠C ，在△ABD 和△BCE 中，A EBC AB BC DBA C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABD ≌△BCE (ASA)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．20．1x +1【分析】先将括号内的通分、分式的除法变乘法，再结合完全平方公式即可化简，代入x 的值即可求解．【详解】21(1-)121x x x x ÷+++21121(-11x x x x x x+++=⨯++211(1)1x x x x+-+=⨯+1x =+，∵x =，∴原式=11x +=．【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．21．摩托车的速度为40千米/时【分析】设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时，依题意，得：2020101.560x x -=，解得：x =40，经检验，x =40是所列方程的根，且符合题意，答：摩托车的速度为40千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．(1)①③②④(2)D(3)估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班．【分析】（1）根据正确的工作步骤填空即可；（2）根据抽样调查的可靠性解答可得；（3）用八年级的总人数分别乘以选择趣味数学班的学生所占的百分比即可求解．【详解】（1）解：张老师的工作步骤，先抽取40名学生作为调查对象；收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：整理数据并绘制统计图；最后结合统计图分析数据并得出结论．故答案为：①③②④；（2）解：取样方法中，合理的是：D．随机抽取八年级40名学生，故选：D；（3）解：1000名学生选择B．越味数学的人数有：1000×840=200（名），200÷40=5(个)估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班．【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．23．(1)反比例函数的解析式为y=3 x ；(2)图中阴影部分的面积为7．【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S△ABC-S△OCD求解即可．【详解】（1）解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3，∴点A的坐标为(-1，3)，∵反比例函数y=kx(x<0)的图象经过点A(-1，3)，∴k=-1×3=-3，∴反比例函数的解析式为y=3 x ；（2）解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称，∴设直线l′的解析式为y=-x+m，把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2，∴直线l′的解析式为y=-x+2，直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)，直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)，∴图中阴影部分的面积=S△ABC-S△OCD=12×6×3-12×2×2=9-2=7．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．24．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD，得到∠ADF+∠FDC=90°，由DF⊥AC，得到∠ADF+∠DAF=90°，再由 CD= DE，可推出∠DCE=∠FDC，即可证明CG=DG；（2）要证明BD 是⊙O 的切线，只要证明OD ⊥BD ，只要证明BD ∥CE ，通过计算求得sin ∠B =35，即可证明结论．【详解】（1）证明：连接AD ，∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC =90°，则∠ADF +∠FDC =90°，∵DF ⊥AC ，∴∠AFD =90°，则∠ADF +∠DAF =90°，∴∠FDC =∠DAF ，∵ CD= DE ，∴∠DCE =∠DAC ，∴∠DCE =∠FDC ，∴CG =DG ；（2）证明：连接OD ，设OD 与CE 相交于点H ，∵ CD= DE ，∴OD ⊥EC ，∵DF ⊥AC ，∴∠ODF =∠OCH =∠ACE ，∵3sin 5ACE ∠=，∴sin ∠ODF =sin ∠OCH =35，即OF OH OD OC ==35，∴OF =185，由勾股定理得DF =245，FC =OC -OF =125，∴FB =FC +BC =325，由勾股定理得DB =405=8，∴sin ∠B =2458DF BD ==35，∴∠B =∠ACE ，∴BD ∥CE ，∵OD ⊥EC ，∴OD ⊥BD ，∵OD 是半径，∴BD 是⊙O 的切线．【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．25．(1)1；证明见解析(2)n m2【分析】（1）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，利用正方形ABCD ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°求证△ABM ≌△ADN 即可．（2）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，利用在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°，求证△ABM ∽△ADN ．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．（3）先证ABC ∆是等边三角形，设AB BC AC a ===，过点CN AB ⊥，垂足为N ，交BF 于点M ，则12AN BN a ==，在Rt BCN ∆中，利用勾股定理求得CN 的长，然后证NCE ABF ∆∆∽，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解．（1）1EG FH=，理由为：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ，在△ABM 和△ADN 中，∠BAM ＝∠DAN ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠ADN∴△ABM ≌△ADN∴AM ＝AN ，即EG ＝FH ，∴1EG FH=；（2）解：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°，∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ．∴△ABM ∽△ADN ，∴AM AB AN AD=，∵AB m =，BC AD n ==，AM ＝HF ，AN ＝EG ，∴HF m EG n=，∴EG n FH m=；故答案为：nm （3）解：∵60ABC ∠=︒，AB BC =，∴ABC ∆是等边三角形，∴设AB BC AC a ===，过点CN AB ⊥，垂足为N ，交BF 于点M ，则12AN BN a ==，在Rt BCN ∆中，CN ===，∵CN AB ⊥，CE BF ⊥，∴90ABF BMN ∠+∠=︒，90ECN CMF ∠+∠=︒，又∵CMF BMN ∠=∠，∴ABF ECN ∠=∠，∵CN AB ⊥，90DAB ∠=︒，∴90DAB CNE ∠=∠=︒，∴NCE ABF ∆∆∽，∴CE CN BF AB =，即22a CE BF a ==．【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．26．(1)22y x x =--；(2)P （；(3)12【分析】（1）在Rt △AOC 中求出OC 的长，从而确定点C 的坐标，将二次函数设为交点式，将点C 的坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P 在第三象限和第一象限两种情况：当点P 在第三象限时，设点P （a ，22a a --），可表示出△BCD 的面积，作PE ∥AB 交BC 于E ，先求出直线BC ，从而得到E 点坐标，从而表示出△PBC 的面积，根据S △PBC =S △BCD ，列出方程，进一步求得结果，当P 在第一象限，同样的方法求得结果；（3）作PN ⊥AB 于N ，交BC 于M ，根据P （t ，22t t --），M （t ，2t -），表示出PM 的长，根据PN ∥OC ，得出△PQM ∽△OQC ，从而得出PQ PM OQ OC=，从而得出PQ OQ 的函数表达式，进一步求得结果．【详解】（1）∵A （-1，0），∴OA =1，又∵∠AOC =90°，tan ∠OAC =2OC OA =，∴OC =2OA =2即点C 的坐标为（0，-2），设二次函数的解析式为y =a （x +1）（x -2），将C 点坐标代入得：a =1，∴y =（x +1）（x -2）=22x x --；（2）设点P （a ，22a a --），如图所示，当点P 在第三象限时，作PE ∥AB 交BC 于E ，∵B （2，0），C （0，-2），∴直线BC 的解析式为：y =x -2，∴当22y a a =--时，x =y +2=2a a -，∴PE =2a a a --=22a a -，∴S △PBC =12PE ·OC ，∵抛物线的对称轴为y =12，CD ∥x 轴，C （0，-2），∴点D （1，-2），∴CD =1，∴S △BCD =12CD ·OC ，∴12PE ·OC =12CD ·OC ，∴a 2-2a =1，解得a 1，a 2当x 时，y =22a a --=a∴P （，），如图，当点P 在第一象限时，作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于F ，∴F （a ，a -2），∴PF =（22a a --）-（a -2）=22a a -，∴S △PBC =12PF ·OB =12CD ·OC ，∴22a a -=1，解得a 1a 2；当a y =22a a --∴P （），综上所述，P 点坐标为（）或（；（3）如图，作PN ⊥AB 于N ，交BC 于M ，由题意可知，P （t ，22t t --），M （t ，t -2），∴PM =（t -2）-（22t t --）=-22t t +，又∵PN ∥OC ，∴△PQM ∽△OQC ，∴2221(1)22PQ PM t t t OQ OC -+===--+12，∴当t =1时，(PQ OQ )最大=12．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键．。
2022年四川省乐山市中考数学真题(解析版)
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共 10 个小题
1. 下面四个数中，比 0 小的数是（ ）
A. -2
B. 1
【答案】A
【解析】
C. 3
【分析】根据负数比 0 小即可求解．
【详解】解： 2 0 1 3 ，
故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握负数小于 0 是解题的关键． 2. 以下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3. 点 P(1, 2) 所在象限是（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象
限
【答案】B
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点（−1，2）所在的象限是第二象限．
故选：B． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的
3 2
，以及
S△ADE=S△ADO=
3 2
，再利用反比例函数的比例系数
k
的几何意义求解即可．
【详解】解：连接 OD、DE，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴点 B、点 D 到对角线 AC 的距离相等，
∴S△ADE= S△ABE= 3 ， 2
∵AD⊥x 轴，
∴AD∥OE，
∴S△ADE=S△ADO=
【解析】
C. 5
D. 2
【分析】先根据锐角三角函数值求出 AC 2 5 ，再由勾股定理求出 AB 5, 过点 D 作
DE AB 于点 E，依据三角函数值可得 DE 1 AE, DE 1 BE, 从而得 BE 3 AE ，再由
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四川省乐山市中考数学试卷第Ⅰ卷（选择题 36分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．|3.14π|-的值为（ ） A ．0B ．3.14π-C ．π 3.14-D ．0.142．如图（1），直线1l 与2l 相交于点O ，1OM l ⊥，若44α= ，则β=（ ） A ．56°B ．46°C ．45°D ．44°3a 的值可以是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 4．如图（2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点 恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为（ ） A ．815B ．1C ．43D ．855．下列计算正确的是（ ） A ．336a a a +=B ．22(3)9x x -=-C ．3515a a a =D ．33(2)8x x -=-6．下列说法正确的是（ ）A ．买一张彩票就中大奖是不可能事件B ．天气预报称：“明天下雨的概率是90%”．则明天一定会下雨C ．要了解夏季冷钦市场上冰淇淋的质量情况，可以采取抽样调查的方式进行D ．掷两枚普通的正方体骰子，点数之积是奇数与点数之积是偶数出现的机会相同7．如图（3），AD C D ⊥，13AB =，12BC =，3CD =， 4AD =，则sin B =（ ）A ．513B ．1213 C ．35 D ．458．函数12y x =-的自变量x 的取值范围为（ ）A ．2x -≥B ．2x >-且2x ≠C ．0x ≥且2x ≠D ．2x -≥且2x ≠9．5月12日，一场突如其来的强烈地震给我省汶川等地带来了巨大灾难．“一方有难，八方支援”，某校九年级二班45名同学在学校举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如下表所示：则对全班捐款的45数据，下列说法错误．．的是（ ） A ．中位数是30元B ．众数是20元C ．平均数是24元D ．极差是40元OM l 2l 1αβ 图（1）图（2）D AB图（3）C图（4）10．如图（4），在直角坐标系中，四边形OABC 为正方形，顶点 A C ，在坐标轴上，以边AB 为弦的M 与x 轴相切，若点A 的 坐标为（0，8），则圆心M 的坐标为（ ） A ．(45)，B ．(54)-，C ．(46)-，D ．(45)-，11．如图（5），在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是 边CD 的中点，若52AB AD BC BE =+=，，则梯形ABCD 的面积为（ ） A ．254B ．252C ．258D ．2512．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图（6）所示，令|42||||2||2|M a b c a b c a b a b =-++++-++-，则（ ）A ．0M >B ．0M <C ．0M =D ．M 的符号不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共114分）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在题中的横线上． 13．如图（7）A B ，两点在数轴上，点A 对应的数为2．若线段AB 的长为3，则点B 对应的数为 ．14．为帮助“5·12”汶川大地震受灾人民重建家园，国务院5月21日决定：中央财政今年先安排700亿元，建立灾后恢复重建基金．700亿元用科学记数法表示应为 元． 15．计算：102(1cos60-+-= ． 16．图（8）是一个几何体的三视图．根据图示，可计算出 该几何体的侧面积为 ．17．下列函数：①2y x =-；②3y x =；③1y x=-；④2y x =． 当1x <-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的有 ．（写出所有满足条件的函数序号）AD EB 图（5）图（7）图（8）18．如图（9），在直角坐标系中，一直线l经过点M 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且MA MB =，则ABO △的内切圆1O 的半径1r = ；若2O 与1O 、l 、y 轴分别相切，3O 与2O 、l 、y 轴分别相切，…，按此规律，则2008O 的半径2008r = ．三、本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．已知1x =，求代数式4222x x x x ⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值．20．若不等式组2311(3)2x x x +<⎧⎪⎨>-⎪⎩整数解是关于x 的方程24x ax -=的根，求a 的值．21．如图（10），A C D E ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．四、本大题共3小题，每小题9分，共27分．22．如图（11），E F ，分别是等腰ABC △的腰AB AC ，的中点． （1）用尺规在BC 边上求作一点M ，使四边形AEMF 为菱形； （不写作法，保留作图痕迹）（2）若5cm AB =，8cm BC =，求菱形AEMF 的面积．BDEFAC图（10）图（11）23．解方程：2212212x x x x-=--．24．某校一课外活动小组为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机抽查本校九年级的200名学生，调查的结果如图（12）所示．请根据该扇形统计图解答以下问题： （1）求图中的x 的值；（2）求最喜欢乒乓球运动的学生人数；（3）若由3名最喜欢篮球运动的学生，1名最喜欢乒乓球运动的学生，1名最喜欢足球运动的学生组队外出参加一次联谊活动．欲从中选出2人担任组长（不分正副），列出所有可能情况，并求2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率．五、本大题共2小题，每小题9分，共18分．其中第25题为选做题． 25．从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分． 题甲：如图（13），梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是边AD 的中点，连结BE 交AC 于点F ，BE 的延长线交CD 的延长线于点G ．（1）求证：GE AEGB BC =； （2）若2GE =，3BF =，求线段EF 的长．题乙：图（14）是反比例函数ky x=的图象，当41x --≤≤时，41y --≤≤． （1）求该反比例函数的解析式；（2）若M N ，分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN 最短（不需证明），并求出线段MN 长度的取值范围． 我选做的是 ．GD E A BF 图（13）图（14）26．一家电脑公司推出一款新型电脑．投放市场以来前3个月的利润情况如图（15）所示，该图可以近看作为抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题： （1）求该抛物线对应的二次函数解析式；（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ （3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况．．．．（是否亏损？何时亏损？）作预测分析．六、本大题共2小题，每小题12分，共24分． 27．阅读下列材料：我们知道||x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离；即|||0|x x =-，也就是说，||x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为12||x x -表示在数轴上数1x 、2x 对应点之间的距离； 在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1 解方程||2x =．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±，即该方程的2x =±；例2 解不等式|1|2x ->．如图（16）．在数轴上找出|1|2x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-、3，则|1|2x ->的解为1x <-或3x >；例3 解方程|1||2|5x x -++=．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或2-的左边．若x 对应点在1的右边，由图（17）可以看出2x =；同理，若x 对应点在2-的左边，可得3x =-．故原方程的解是2x =或3x =-． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|3|4x +=的解为 ； （2）解不等式|3||4|9x x -++≥；（3）若|3||4|x x a --+≤对任意的x 都成立，求a 的取值范围．图（15）图（17）28．如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根．（1）求m 、n 的值；（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．图（18）'2008年四川省乐山市中考数学试卷参考答案及评分意见13．1- 14．10710⨯ 15．1 16．104π 17．②④ 181三、本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．解：原式4222xxx x⎛⎫=÷++⎪--⎝⎭···················· 1分222x xx x=÷--······························ 3分222x xx x-=⨯-······························ 5分1x =··································· 7分当1x=时，原式1==··················· 9分20．解：2311(3)2xx x+<⎧⎪⎨>-⎪⎩①②解①得22x<-，即1x<-．························ 2分解②得23x x>-，即3x>-．······················· 4分由上可得31x-<<-，x为整数，故2x=-．·························· 6分将2x=-代入24x ax-=，解得4a=．··················· 9分21．证明：AC DE∥，A D∴∠=∠，··················· 2分BC EF∥，CBA EFD∴∠=∠．····················· 4分又AC DE=，ABC DFE∴△≌△，··················· 6分AB DF∴=，······························· 7分AB BF DF BF∴-=-，即AF BD=，得证．···························· 9分四、本大题共3小题，每小题9分，共27分．22．解：（1）作图（略）． ·························· 3分注：本题作法较多，如：方法一，作BC 的中垂线：方法二，以E 为圆心，EA 为半径画弧，交BC 于点M ．等等．（2）如图（1），A E M F 为菱形，AM ∴平分BAC ∠， ··············· 5分又AB AC AM BC MB MC =∴⊥= ，，， ∴在Rt ABM △中，54AB BM ==，， 则3AM =， ·················· 6分又E F ，分别是AB 、AC 的中点，142EF BC ∴==， ··············· 7分故菱形的面积13462S =⨯⨯=（cm 2）． ···················· 9分23．解：设22y x x =-， 则原方程变为：121y y-=-， ························ 2分 即2120y y +-=， 得(3)(4)0y y -+=，解得：3y =或4y =-， ·························· 4分当3y =时，223x x -=，(3)(1)0x x -+=，解得1231x x ==-，， ··························· 6分当4y =-时，224x x -=-，120∆=-< ，∴此方程无解． ······················· 8分经检验，1231x x ==-，都是原方程的根． ·················· 9分 24．解：（1）由题得：%5%15%45%1x +++=，解得：35x =． ······························ 2分 （2）最喜欢乒乓球运动的学生人数为20035%70⨯=（人）． ·········· 4分（3）用123A A A ，，表示3名最喜欢篮球运动的学生，B 表示1名最喜欢乒乓球运动的学生，C 表示1名喜欢足球运动的学生，则从5人中选出2人的情况有：12()A A ，，13()A A ，，1()A B ，，1()A C ，，23()A A ，，2()A B ，，2()A C ，，3()A B ，，3()A C ，，(,)B C ，共计10种． ································ 6分 选出的2人都是最喜欢篮球运动的学生的有图（1）M12()A A ，，13()A A ，，23()A A ，共计3种， ·················· 7分 则选出2人都最喜欢篮球运动的学生的概率为310． ··············· 9分 五、本大题共2小题，每小题9分，共18分．其中第25题为选做题． 25．甲题：（1）证明：AD BC ∥GED GBC ∴△∽△， ················ 2分GE EDGB BC∴=， ······························ 3分 又AE ED = ，GE AEGB BC∴=． ······················· 4分 （2）解：AD BC AEF CBF ∴ ∥，△∽△ AE EF BC BF∴=， ······························ 5分 由（1）知GE AEGB BC=， EF GE BF GB∴=， ······························ 6分 设EF x =，则5GB x =+，则有235x x =+， ······························ 8分即2560x x +-=，解得：1x =或6x =-，经检验，1x =或6x =-都是原方程的根，但6x =-不合题意，舍去．故EF 的长为1．······························ 9分 乙题：解：（1）因为反比例函数的图象经过点(14)--， 有41k-=-， ······························· 2分 4k ∴=． ································· 3分所以反比例函数的解析式为4y x=， ····················· 4分（2）当M N ，为一、三象限角平分线与反比例函数图像的交点时，线段MN 最短． ······························ 5分将y x =代入4y x =，解得22x y =⎧⎨=⎩22x y =-⎧⎨=-⎩，，即(22)M ，，(22)N --，． ····· 6分OM ∴=， ······························ 7分则MN = ······························ 8分 又M N ，为反比例函数图像上的任意两点，由图象特点知，线段MN无最大值，即MN ≥ ············· 9分26．解：（1）因为图象过原点，故可设该二次函数的解析式为：2y ax bx =+， ················ 1分 由图知：134224a b a b +=⎧⎨+=⎩，， ······························· 3分 解得114a b =-=，， 214y x x =-+． ······························ 4分 （2）当1472x ==时，利润最大， ······················ 5分 最大值为2714749y =-+⨯=（万元）． ··················· 7分 （3）当0y = ，2140x x -+=，解得：14x =或0x =（舍）． ················ 8分故从第15个月起，公司将出现亏损．（注：若学生结合图象看出结果，同样给分） ················· 9分 六、本大共2小题，每小题12分，共24分． 27．解：（1）1或7-． ··························· 3分 （2）3 和4-的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与4-的两侧．当x 在3的右边时，如图（2）， 易知4x ≥． ··············· 5分 当x 在4-的左边时，如图（2）， 易知5x -≤． ··············· 7分∴原不等式的解为4x ≥或5x -≤······················ 8分 （3）原问题转化为： a 大于或等于|3||4|x x --+最大值． ·········· 9分 当1x -≥时，|3||4|0x x --+≤，当41x -<<-，|3||4|21x x x --+=--随x 的增大而减小， 当4x -≤时，|3||4|7x x --+=，即|3||4|x x --+的最大值为7． ····················· 11分 故7a ≥． ······························· 12分28．解：（1） 以AB 为直径的圆过点C ，90ACB ∴∠= ，而点C 的坐标为(02)，，由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△，2CO AO BO ∴= ， ···························· 1分图（2）即：4(5)AO AO =- ，解之得：4AO =或1AO =．OA OB > ，4AO ∴=，即41A B x x =-=，． ···························· 2分 由根与系数关系有：21A B A Bx x m x x n +=+⎧⎨=-⎩ ， 解之5m =-，3n =-． ·························· 4分（2）如图（3），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ， 易知DE AC ⊥，且45ECD EDC ∠=∠= ， 在ABC △中，易得AC BC ==， ·· 5分 AD AE DE BC DB EC∴= ∥，， AD AE DE EC BD DE=∴= ，， 又AED ACB △∽△，有AE AC ED BC=， 2AD AC DB BC∴==， ···························· 6分 553AB DB == ，， 则23OD =，即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ························ 7分 易求得直线l 对应的一次函数解析式为：32y x =+． ·············· 8分 解法二：过D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ，由ACD BCD ABC S S S +=△△△，求得DE =····························· 5分 又1122BCD S BD CO BC DF == △， 求得5233BD DO ==，． ·························· 7分 即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，易求得直线l 对应的一次函数解析式为：32y x =+． ·············· 8分（3）过点D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ．图（3） l 'CD 为ACB ∠的平分线，DE DF ∴=．由MDE MNC △∽△，有DE MD CN MN= ···················· 9分 由DNF MNC △∽△，有DF DN CM MN= ··················· 10分 1DE DF MD DN CN CM MN MN∴+=+=， ····················· 11分即111CM CN DE +==． ······················· 12分。