高考数学二轮简易通全套课时检测 数系的扩充与复数的引入 新人教版

广州大学附中2013年创新设计高考数学二轮简易通全套课时检测：数系的扩充
与复数的引入
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数2(1)1(i i i ++是虚数单位)在复平面的对应点位于第( )象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 【答案】B
2．复数(3)(1)i m i --+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是( )
A ． 13
m > B ． 1m <- C ． 113
m -<<
D ． 1
3
m >
或 1m <- 【答案】C
3．已知复数,21,321i z bi z -=-=若
2
1
z z 是实数，则实数b 的值为( ) A ．6 B ．-6
C ．0
D ．
6
1 【答案】A
4．若等比数列{}n a 前n 项和为
a S n
n +-=2，则复数i a i
z +=
在复平面上对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 5．在复平面内复数
11i +，11i
-对应的点分别为A,B,若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．i B ．1 C ．1
2
i D. 12
【答案】D
6．27．i 是虚数单位，i 12
+=( ) A ．1+i B ．1i
C ．2+2i
D ．22i
【答案】B
7．是虚数单位i ，复数i
i
+1=( ) A ．i -1 B ．i +1
C ．i +-1
D ．i
【答案】A 8．如果复数)(32R b i
bi ∈+-的实部与虚部互为相反数，则b=( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ． ±1
【答案】B
9．复数2012
3
i i i z -=(i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
10．已知i 是虚数单位，满足i Z i +-=+3)1(的复数Z 等于( ) A ．－1+2i B ．－2－i
C ．－1－2i
D ．－2+i
【答案】A
11．已知复数1z ai =+()a ∈R （i 是虚数单位），
34
55
z i z =-+，则a =( ) A ． 2 B ． 2-
C ． 2±
D ． 1
2
-
【答案】B
12．在复平面内，复数121i
z i
-=+对应的点位于( ) A ． 第一象限 B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知(x －1)+i=y －(3－y)i ，其中x ，y ∈R ，求x+y=___________. 【答案】9
14．若2z =且1-=+z i z ，则复数z = 【答案】)1(2i z -=或)1(2i z --=
15．i 表示虚数单位，则2012
321i i i i ++++ 的值是
【答案】0
16．定义运算
a c ad bc
b d =-，复数z 满足11z i
i i
=+，则复数z 的模为____________
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知z ∈C ，2z i +和2z
i
-都是实数． (１）求复数z ；
(２）若复数2()z ai +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（１）设(,)z a bi a b R =+ ， 则2(2)z i a b i +=++，
()(2)2222(2)(2)55
z a bi a bi i a b a b i i i i i +++-+===+---+， ∵2z i +和2z
i
-都是实数，
∴20205b a b ì+=ïïïí+ï=ïïî
，解得42a b ì=ïïíï=-ïî， ∴42z i =-．
(２）由（１）知42z i =-，
∴222()[4(2)]16(2)8(2)z ai a i a a i +=+-=--+-， ∵2()z ai +在复平面上对应的点在第四象限，
∴216(2)08(2)0a a ìï
-->ïí
ï-<ïî， 即241202
a a a ìï--<ïíï<ïî，∴262a a ì-<<ïïí
ï<ïî， ∴22a -<<，即实数a 的取值范围是(2,2)-．
18． m 取何值时，复数226
(215)3
m m z m m i m --=
+--+ (1）是实数； (2）是纯虚数.
【答案】(1)
(2) 230603015222-==⇒⎪⎩⎪
⎨⎧=--≠+≠--m m m m m m m 或
是纯虚数时，或当z 23-==∴m m .
19．实数m 取什么值时，复数(1)(1)z m m m i =-+-是
(1）实数？ (2）纯虚数？ 【答案】(1）m=1 (2）m=0
20．已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(21)(3)x i y y i -+=--，求x 与y 的值． 【答案】设(0)y bi b b =∈≠R ，且代入条件并整理得(21)(3)x i b b i -+=-+-，
由复数相等的条件得2113x b b -=-⎧⎨=-⎩，，，解得432
b x =⎧⎪
⎨=-⎪⎩，
．．
∴3
2
x =-
，4y i =． 21
．已知3z t =++，其中t ∈C ，且3
3
t t +-为纯虚数． (1）求t 的对应点的轨迹； (2）求z 的最大值和最小值．
【答案】（1）设()t x yi x y =+∈R ，，
则3333t x yi t x yi +++=--+22[(3)][(3)](3)x yi x yi x y ++--=-+2222
(9)6(3)x y yi
x y +--=-+，
3
3
t t +-∵
为纯虚数， 22900x y y ⎧+-=⎨
≠⎩
，，∴即2290x y y ⎧+=⎨≠⎩，
， t ∴的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去(30)(30)-，，，两点；
(2）由t 的轨迹可知，3t =，
(33z -+=∴
，圆心对应3+，半径为3，
z ∴
的最大值为：339++=， z
的最小值为：333+-=． 22．已知复数()213
32
z a i a =
+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）。

(1）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围； (2）若虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，求实数m 的值. 【答案】（1）由条件得，()21232342z z a a i a ⎛⎫
-=-+--
⎪+⎝⎭
因为12z z -在复平面上对应点落在第一象限，故有23
20,2340a a a ⎧->⎪
+⎨⎪-->⎩
2110,2,212214(4)(1)0,a a a a a a a a +⎧⎧
<-<<-⎪⎪
⇔⇔⇒-<<-+⎨⎨⎪⎪
<->-+>⎩⎩或 (2）因为虚数1z 是实系数一元二次方程2
60x x m -+=的根
所以116
62
z z a +=
=+，即1a =- 把1a =-代入，则1132,32z i z i =-=+ 所以1113m z z =⋅=。