龙岩市2019年高中毕业班教学质量检查数学(理科)参考答案Word版

（第4题图） 龙岩市2019年高中毕业班教学质量检查数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则m 的值为 A ．1 B ．1-C ．2D ．2-2．已知3cos()45πα-=，则sin 2α= A ．725- B ．15-C ．15D ．7253．已知等差数列{}n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前8 项和为A ．20-B ．18-C ．8-D ．10- 4．如果执行右面的程序框图，输入正整数,n m ，且满足n ≥那么输出的p 等于 A ．1m n A - B ．mn AC ． 1m n C -D ．mnC5．已知实数x ，y 满足不等式组220210320x y x y x y -+≥⎧⎪++≤⎨⎪+-≤⎩，则x y -的取值范围为 A ．[)2,-+∞B ．[)1,-+∞C ．(],2-∞D ．[]2,2-2222正视图 侧视图俯视图（第7题图）（第11题图） M P DABC1B 1C 1D 1A （第8题图）AB CDO6．已知双曲线22122:1x y C a b -=()0,0a b >>和双曲线22222:1y x C m n-=()0,0m n >>焦距相等，离心率分别为1e 、2e ，若2212111e e +=，则下列结论正确的是A ．1C 和2C 离心率相等B ．1C 和2C 渐近线相同 C ．1C 和2C 实轴长相等D ．1C 和2C 虚轴长相等7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 A 3π B ．23π C ．43π D ．12π 8．如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ,OB ,OC ,OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．21π-B ．112π-C ．2πD ．1π9．已知函数()cos 3f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在区间36π5π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调，则ω的取值范围为A ．120,15⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．112,515⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．设23451111log log log log s ππππ=+++，||,*T a s a N =-∈，当T 取最小值时a 的值为A ．2B ．3C ．4D ．511．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM ∆面积的最小值为A ．8B ．4C ．82D 8512．已知数列{}n a 各项均为整数，共有7项，且满足11k k a a +-=,1,2,6k =，其中11a =，7a a =(a 为常数且0a >)．若满足上述条件的不同数列个数共有15个，则a 的值为A ．1B ．3C ．5D ．7ADBME NFC O（第18题图）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 的夹角为60°，2a =，37a b -=，则b = ． 14．若4(1)()x a x ++的展开式中3x 项的系数为16，则实数a = ．15．已知抛物线24y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为Q ，过点F 作直线与抛物线交于,A B 两点．若以QF 为直径的圆过点B ，则AF BF -的值为 ．16．已知32()||4f x x x =-，若()f x 的图像和y ax =的图像有四个不同的公共点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c B a b =-. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）设D 为BC 中点，若3AD =，求ABC ∆面积的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，且060ABC ∠=，BM ABCD ⊥平面，//DN BM ，2BM DN =，点E 是线段MN 上的一点．O 为线段BD 的中点．（Ⅰ）若OF ⊥BE 于F 且1OF =，证明：AF ⊥平面ECB ；（Ⅱ）若4BM =,13NE NM =，求二面角E BC M --的余弦值．19．（本小题满分12分）已知椭圆E 的方程为2221x y a+=，点A 为长轴的右端点．,B C 为椭圆E 上关于原点对称的两点．直线AB 与直线AC 的斜率AB AC k k 和满足：12AB AC k k =-．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx t =+与圆2223x y +=相切，且与椭圆E 相交于,M N 两点，求证：以线段MN 为直径的圆恒过原点．20．（本小题满分12分）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n （n N *∈）份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k N *∈且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为(01)p p <<．（Ⅰ）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．（Ⅱ）现取其中k （k N *∈且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ（ⅰ）试运用概率统计的知识，若1E ξ=2E ξ，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =；（ⅱ）若1p =，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值．参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈21．（本小题满分12分）已知函数1()ln (0)x f x x a R a ax -=+∈≠且，1()(1)()x g x b x xe b R x=---∈ （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当1=a 时,若关于x 的不等式()()2f x g x +≤-恒成立,求实数b 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ---=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A B 、两点，且2AB =．求α的大小.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()f x x m m R =-∈．（Ⅰ）当2m =时，解不等式()1f x x >7--；（Ⅱ）若存在x R ∈，使()1f x x >7+-成立，求m 的取值范围．龙岩市2019年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有13．1 14．2-或4315． 4 16．(4,0)(0,4)- 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由2cos 2c B a b =-，得2sin cos 2sin sin C B A B =- ……………………1分即()2sin cos 2sin sin C B B C B =+-，2sin cos sin B C B ∴=sin 0B >， 1cos 2C ∴=……………………5分0C π<<, 3C π∴=……………………6分（Ⅱ）在ADC ∆中，由余弦定理得：2222cos3ADAC DC AC DC π=+-••……7分即229AC DC AC DC +-•=， 又222AC DC AC DC +≥• 90AC DC ∴≥•>, ……………………9分1sin 23ADCSAC DC π=••0ADC S ∴<≤ …………………10分 2ABC ADC S S = 0ABC S ∴<≤……………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）四边形ABCD 是边长为2的菱形，且060ABC ∠=∴ AC 与BD 交于点O 且ABC ∆为等边三角形2AC ∴=，BO =又112OF AC ==,AF CF ∴⊥ ………………2分ADBME NxC O （第18题图）yzFBM ABCD ⊥平面,AC BM ∴⊥又AC BD ⊥,∴AC BMND ⊥平面 OF BMND ⊂平面,AC OF ∴⊥在Rt AOF 中，2222AF AO OF =+=在Rt BOF 中，2222FB BO OF =-=∴在ABF ∆中, 24AB =, 224AF FB +=, 222AF FB AB += (4)分AF BE ∴⊥，又,,CF BE CBE CF BE F ⊂=平面,∴AF ECB ⊥平面 ……………………5分 （Ⅱ）在平面BMND 中，过O 作直线l ∥BM , 则l ABCD ⊥面,如图，以l 为z 轴，AC所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系， ………………6分()3,0B ∴,()1,0,0C -,()3,4M ,()0,3,2N -13NE NM =,380,33E ⎛⎫∴-⎪⎝⎭, ()1,3,0BC ∴=--,4380,,33BE ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 设(),,n x y z =是平面BCE 的法向量，则00n BC n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即3043803x y z ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩， 取()6,23,3n =-，取BC 中点G ，连结AG ，AG BC ∴⊥,AG BM ⊥， AG BCM ∴⊥面因此，AG 是平面BCM 的法向量，13,,022G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,()1,0,0A 3322AG ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭, (10)分设二面角E BC M --的大小为θ，则419cos 19933612944n AG n AGθ===+++ ∴二面角E BC M --419……………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设00(x ,)B y 则00(x ,)C y -- …………………1分由220021x y a +=得，2222000221x a x y a a-=-= …………………2分 由12AB AC k k ⋅=-，即000012y y x a x a -⋅=----得，222002a x y -= …………4分所以22220022a x a x a --=，所以22a = 即椭圆E 的标准方程为：2212x y += …………………5分（Ⅱ）设1122(x ,),(x ,)M y N y由2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得： 222(12k )4220x ktx t +++-= 2121222422,1212kt t x x x x k k--+==++ …………………6分 2212121212()()()y y kx t kx t k x x kt x x t =++=+++2222222222(22)42121212k t k t t k t k k k ---=++=+++ 又l 与圆C=22231t k =+ …………………8分 所以2221212222212t t k OM ON x x y y k-+-⋅=+=+ 22222232(1)2(1)2(1)01212t k k k k k-++-+===++ …………………11分 所以，OM ON ⊥，即090MON ∠=所以，以线段MN 为直径的圆经过原点. …………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 112223325535C C A A p A ==………………3分 ∴恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为35………………4分（Ⅱ）（ⅰ）由已知得1E k ξ=，2ξ的所有可能取值为1,1k +()()211k P p ξ∴==-, ()()2111kP k p ξ=+=--∴()()21(1)11k k E p k p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11kk k p +--……………6分若1E ξ=2E ξ，则1(1)k k k k p =+-- ∴(1)1kk p -=1(1)kp k-= ∴111()k p k -= ∴111()k p k =-∴p 关于k 的函数关系式111()k p k =-（k N *∈且2k ≥） ………………8分（ⅱ）由题意可知21E E ξξ<，得()11,kp k <-31p =-1kk ∴<，1ln 3k k ∴>，设()1ln (0)3f x x x x =->……………10分 ()33xf x x-'=，∴当3x >时，()0f x '<，即()f x 在()3,+∞上单调递减又ln4 1.3863≈，4 1.33333≈，4ln 43∴>，ln5 1.6094≈，5 1.66673≈，5ln53∴< ∴k 的最大值为4. (12)分21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）11()ln f x x ax a =+- 22111()(0)ax f x x x ax ax -'∴=-=> …………1分 当0a <时，()0f x '∴>，()f x ∴在(0,)+∞单调递增； …………2分当0a >时，由()0f x '>得：1x a >；由()0f x '<得：10x a <<，()f x ∴在1(0,)a单调递减，在1(,)a+∞单调递增 ……………………4分综上：当0a <时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在1(0,)a单调递减，在1(,)a +∞单调递增. ………………5分（Ⅱ）由题意：当0a <时，不等式()()2f x g x +≤-，即11ln 1(1)2x x b x xe x x+-+---≤- 即ln 11xx b e x x -≤--在(0,)+∞恒成立， ……………6分 令ln 1()x x h x e x x =--，则22221ln 1ln ()x xx x e x h x e x x x-+'=-+=， ………7分 令2()ln x u x x e x =+，则21()(2)0xu x x x e x'=++>，()u x ∴在(0,)+∞单调递增又1u(1)e 0,u()ln 2024=>=-<，所以，()u x 有唯一零点0x （0112x <<） 所以，0()0u x =，即0000ln x x x e x =---------（※） ………………9分当0(0,)x x ∈时，()0u x <即h ()0x '<，()h x 单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0u x >即h ()0x '>，()h x 单调递增，所以0()h x 为()h x 在定义域内的最小值. ……10分令1()(1)2xk x xe x =<<则方程（※）等价于()(ln )k x k x =-又易知()k x 单调递增，所以ln x x =-，1xe x=………………11分 所以，()h x 的最小值000000000ln 111()1x x x h x e x x x x x -=--=--= 所以11b -≤，即2b ≤所以实数b 的取值范围是(],2-∞ ………………12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由2cos ,1sin ,x t y t αα+=⎧⎨-=⎩消t 得y 1tan 2x α-=+，直线l 的普通方程为tan 2tan 10x y αα-++=，将222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+代入24cos 2sin 40ρρθρθ---=得 曲线C 的直角坐标方程为224240x y x y +---= ………………4分 （Ⅱ）曲线C 的方程化为22(2)(1)9x y -+-=，曲线C 是以(2,1)为圆心，3为半径的圆．2AB =，圆心到直线l 的距离d ===又d ==解得tan 1α=±，02πα≤<，∴4πα=……………………10分（注：用21t t -求解一样给分）23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）由已知21x x -+->7当1x <时，不等式等价于217x x -+->，解得2x <-，∴2x <-； 当12x ≤≤时，217x x -+->，此时不等式无解； 当x >2时，217x x -+->，解得5x >，∴5x >综上：解集为{2x x <-或}5x > ………………………5分 （Ⅱ）∵()()111x m x x m x m ---≤---=-∴11x m x m ---≤-当且仅当()()10x m x --≥且1x m x -≥-时等号成立． 依题意1m ->7，解之得8m >或6m <-，∴m 的取值范围为()(),68,-∞-⋃+∞． ………………………10分（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。