2018届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第四次月考理科数学试卷及答案 精品

长郡中学高三数学备课组组稿 （考试范围：高考全部内容）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页，时量120分钟．满分150分，
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}{}2|05,,|4M x x x N N x x =<<∈==，下列结论成立的是 A.N M ⊆ B.M
N M = C.M
N N = D.{}2M
N =
2．下列命题中，真命题是 A ．0
0,0x x R e ∃∈≤
B. 3,3x x R x ∀∈>
C ．“0a b -=”的充分不必要条件是“1a
b
=” D ．“22x a b >+”是“2x ab >”的必要不充分条件
3．已知非零向量a ，b 满足a+b 与a-b 的夹角是2
π，那么下列结论中一定成立的是
A.a b =
B.a=b
C.a b ⊥
D.a ∥b
炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（四）
数 学（理科）
4．设以134
34(),(),log 43
x x a b c x -===，若x>l ，则a ，b ，c 的大小关系是
A ．a<b<c ．
B ．c<a<b
C ．b<a<c
D ．b<c<a 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9 6．双曲线的中心在坐标原点O ，A 、C 分别为双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于D ，若双曲线离心率为2，则BDF ∠的余弦值为 A
．
7 B
．7 C
．14
D
．14
7．如图，已知圆22:(4)(4)4M x y -+-=，四 边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E 、F 分别为边AB ，AD 的中点，当正方形AB CD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范
围是
A
．⎡-⎣ B ．[]8,8- C
．⎡-⎣ D ．[]4,4-
8．已知(0,)2x π
∈，且函数212sin ()sin 2x
f x x
+=的最小值为b ，若函数()g x =
21(),42864(0),4
x x bx x π
ππ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩，则不等式()1g x ≤的解集为
A
．22π⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B
．42π⎫⎪⎪⎣⎭ C
．66π⎤⎥⎣⎦ D
．66π⎤⎥⎣⎦
选择题答题卡
二、填空题：本大题共8个小题，考生做答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分）
9．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：22cos 0ρρθ+=，点P 的极坐标为
(2,)2
π
，过点P 作圆C 的切线，则两条切线夹角的正切值是________. 10．已知a ，b ，c ∈R ，且228a b c ++=，则222(1)(2)(3)a b c -+++-的最小值是
_______.
11.如图，AB 是半圆O 的直径，C 在半圆上，CD ⊥AB 于 点D ，且AD=3DB ，AE= EO ，设CED θ∠=，则tan 2θ= ___________.
（二）必做题（12至16题）
12．在281
()x x
-的展开式中x 的系数是__________.（用数字作答）
13.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为___________．
14.设区域{}(,)|02,02,,A a c a c a c R =<<<<∈，若任 取点(,)a c A ∈，则关于x 的方程220ax x c ++=有实 根的概率为____________．
15.已知函数()3x f x x e =+-的定义域为R ． (l)则函数()f x 的零点个数为___________； (2)对于给定的实数k ，已知函数()k f x = (),(),
,()f x f x k k f x k ≤⎧⎨
>⎩
,若对任意x ∈R ，恒有()()k f x f x =，
则k 的最小值为__________．
16.在数1和2之间插入n 个正数，使得这n+2个数构成
递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为n A ，令2log ,n n a A n N *=∈． (1)数列{}n a 的通项公式为n a =____________；
(2)2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=___________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知三角形的三内角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为
cos C (1)若a=l ，b=2，求c 的值． (2)若1a =，且4
3
A ππ
≤≤
，求b 的取值范围．
18.（本小题满分12分）
为了解某班学生关注NBA 是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表：
已知在全班48人中随机抽取一人，抽到关注NBA 的学生的概率为2
3
．
(l)请将上面的列表补充完整（不用写计算过程），并判断是否有95%的把握认为关注NBA 与性别有关？说明你的理由．
(2)现从女生中抽取2人进行进一步调查，设其中关注NBA 的人数为X ，求
X的分布列与数学期望．
下面的临界值表仅供参考：
19.（本小题满分12分）
如图，△BCD是等边三角形，AB=AD，90
∠=，将△BCD沿BD折叠到
BAD
△'
⊥.
BC D的位置，使得'
AD C B
(l)求证：'
⊥；
AD AC
(2)若M、N分别为BD，'C B的中点，求二面角N-AM-B的正弦值．
20.（本小题满分13分）
如图所示，有一具开口向上的截面为抛物线
型模具，上口AB宽2m，纵深OC为1.5 m.
(l)当浇铸零件时，钢水面EF距AB 0．5m，
求截面图中EF的宽度；
(2)现将此模具运往某地，考虑到运输中的
各种因素，必须把它安置于一圆台型包装箱内，求使包装箱的体积最小时的圆台的上、下底面的半径.
221212121(),,3V h r r r r r r π=++圆台为上、下底面的半径，h 43
≈
21.（本小题满分13分）
在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
122:1x y C a b
+=的一个顶点坐标为A ，
且抛物线214
y x =的焦点是椭圆1C 的另一个顶点． (l)求椭圆1C 的方程；
(2)①若直线:l y kx m =+同时与椭圆1C 和曲线2224
:3
C x y +=相切，求直线l 的方程．
②若直线:l y kx m =+与椭圆1C 交于M ，N ，且直线OM 的斜率是OM k 与直线ON 的斜率ON k 满足4(0)OM ON k k k k +=≠,求证：2m 为定值． 22.（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足111,21()n n S S S n N *+=-+=-∈，数列{}n b 的通项公式为34()n b n n N *=-∈ (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n 、m 、k ，使得三
(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上？请说明理由．。