2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学试卷(理科)
长沙市长郡中学2018届高三数学实验班选拔考试试题 理(含解析)
长郡中学2017～2018学年新高三实验班选拔考试理科数学试卷本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,时量120分钟，满分150分第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。
若复数（其中，为虚数单位）的虚部为1，则A. 1 B。
2 C。
D。
【答案】C【解析】，的虚部为，，故选C。
2. 已知集合，集合，则A. B。
C。
D.【答案】B【解析】，，故选B。
3。
长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛,则选取的2人恰为一男一女的概率为A。
25B。
35C. 13D. 23【答案】B【解析】由古典概型概率公式，可得选取的2人恰为一男一女的概率为P=C31C21C52=610=35，故选B。
4. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a12−a8=8,a10−a6=4，则S23=A。
23 B. 96 C. 224 D。
276【答案】D【解析】∵{a n}是等差数列，可设首项为a1，公差为d，由a4+a12−a8=8,a10−a6=4,可得{a1+7d=84d=4⇒{a1=1d=1,∴S23=23×1+23×222×1=276，故选D。
5. 已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为A. √2B。
√3C. 2D. √5【答案】C【解析】设右焦点F2(c,0)关于渐近线：y=bax的对称点为F0，则F0在y=−bax上F2F0交于Q，由点到直线距离公式可得F2Q= b,ΔF1F2F0为直角三角形，三边分别为2a,2b,2c，由对称性知,∠F2OQ=∠F0OQ=∠F1OF0=60∘,∴2c=4a,e=ca=2,故选C.6。
下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是A. f(x)=sinx B。
【高三数学试题精选】2018湖南省高考理科数学试卷答案解析
2018湖南省高考理科数学试卷答案解析
5 c 2018年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
一选择题
4【答案】A
【解析】第项展开式为 ,
则时, ,故选A
【考点定位】二项式定理
5【答案】c
【解析】当时,两边乘以可得 ,所以命题为真命题 ,当时,因为 ,所以命题为假命题,所以②③为真命题,故选c
【考点定位】命题真假逻辑连接词
6【答案】D
【解析】当时,运行程序如下, ,当时, ,则 ,故选D
【考点定位】程序框图二次函数
7【答案】B
【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 ,则 ,故选B
【考点定位】三视图内切圆球
【考点定位】指对数函数方程
二填空题
13【答案】
【解析】由题可得 ,故填
【考点定位】绝对值不等式
14【答案】
【解析】求出约束条中三条直线的交点为 ,
且的可行域如图,所以 ,则当为最优解时, ,当为最优解时, ,。
2018年5月湖南省长郡中学高考模拟卷(一)数学(理科)(附答案)
2018年5月湖南省长郡中学高考模拟卷（一）数学（理科）（附答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（ ） A ．B ．C ．D ．2.若，则等于（ ）A ．BC ．D．3.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A ．B ．C ．D ．4.执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）{}|||2A xx =<{}|13B x x =<<A B I {}|21x x -<<{}|23x x -<<{}|23x x <<{}|12x x <<(1)z i i +=||z 1212(0,)+∞3y x =1ln||y x =||2x y =cos y x =A ．B ．C ．D ．5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．6.将函数的图象向右平移个单位，得到的图像关于原点对称，则的最小正值为（ ） A ．B ．C ．D ．7.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如图：A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定24354120316386π-83π-()sin(2)3f x x π=+ϕϕ6π3π512π712π8.已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99.在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线的中心，是双曲线的右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则（ ） A ． B ．C ．D ．与关系不确定11.如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12.在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量，，当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：{}n a 13a 312a 22a 8967a a a a +=+ABC ∆A B C abc ABC ∆S 222()S a b c =+-tan C =34-43-344322221x y a b-=1F 2F O P 12PF F ∆I I x A 2F PI B e ||||OB e OA =||||OA e OB =||||OB OA =||OA ||OB OMN ∆A B OM ON OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u rx y R ∈P ABNM 12y x y +++12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦R >{}|(,),,D a a x y x R y R ==∈∈r r>111(,)a x y =u r 222(,)a x y =u u r 12a a >u r u u r12x x >12x x =12y y >>①若，，，则； ②若，，则；③若，则对于任意的，；④对于任意的向量，其中，若，则．其中正确的命题的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若的展开式中的系数是，则实数 ． 14.已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，，为的准线上一点，则的面积为 ．15.已知的半衰期为5730年（是指经过5730年后，的残余量占原始量的一半）．设的原始量为，经过年后的残余量为，残余量与原始量的关系如下：，其中表示经过的时间，为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量约占原始量的．请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今 年．（已知） 16.已知（），且满足的整数共有个，（）的最大值为，且，则实数的取值范围为 ．1(1,0)e =u r 2(0,1)e =u u r 0(0,0)=r120e e >>u r u u r r 12a a >u r u u r 23a a >u u r u u r 13a a >u r u u r 12a a >u r u u r a D ∈r 12a a a a +>+u r r u u r r0a >r r 0(0,0)=r12a a >u r u u r 12a a a a ⋅>⋅r u r r u ur 25(ax 5x 80-a =l C C l C A B ||12AB =P C l ABP ∆14C 14C 14C a x b b a kx b ae -=x k 14C 76.7%2log 0.7670.4≈-()|2018||2017||1||1||2017||2018|f x x x x x x x =-+-++-+++++++……x R ∈2(32)(1)f a a f a -+=-a n 222sin cos22()3cos sin 22x xg x kx x x =-+0x ≥m 3m n +=k三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列，满足，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和． 18.如图，是边长为3的正方形，平面，，且，．（1）试在线段上确定一点的位置，使得平面； （2）求二面角的余弦值．{}n a {}n b 12a =121n n n a a a +=+1n n b a =-0n b ≠1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a 12n nn c b ={}n c n n T ABCD DE ⊥ABCD //AF DE 6DE =2AF=BD M //AM BEF A BE C --19.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值．20.已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，当且时，求的面积的取值范围．X n n 1F 2F 22221(0)x y a b a b+=>>(P -2PF y M 2PM MF =u u u u r u u u u r2F x l l 2222x y a b +=+A B C D 11F A F B λ⋅=u u u r u u u r 2,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1F CD ∆S21.已知函数，其中是自然对数的底数．（1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数），与交于、两点，，求直线的斜率．23.选修4-5：不等式选讲已知函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，求的值．()x xf x e e-=+e x ()1xmf x e m -≤+-(0,)+∞m a 0[1,)x ∈+∞3000()(3)f x a x x <-+1a e -1e a -xOy C 22(6)25x y ++=x C l cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t l C AB ||AB =l ()||f x x a =-1a >2a =()4|4|f x x ≥--x |(2)2()|2f x a f x +-≤{}|12x x ≤≤a长郡中学2018届高考模拟卷（一）数学（理科）答案 一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1）∵，∴，由， ∴，化简得， ∵， ∴，即（）， 而， ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴，即，∴（）． （2）由（1）知，，∴，∴， 两式相减得，， 故． 18.（1）证明：取的三等分点（靠近点），过作交于，则有，由平面，，可知平面，DCBDA ADDBC CB 2-36229213k ≥1n n b a =-1n n a b =+121n n n a a a +=+12(1)1(1)(1)n n n b b b ++=+++11n n n n b b b b ++-=0n b ≠+1111n n n n n n b b b b b b ++-=+1111n n b b -=*n N ∈111111121b a ===--1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11(1)1n n n b =+-⨯=1(*)n b n N n =∈111n n a n n+=+=*n N ∈2n nnc =1212222n n n T =+++…2311122222nn n T +=+++ (12111)11(1)111122211222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++-=-=-- (2)22n nn T +=-BE K B K KM BD ⊥BD M 123KM DE ==DE ⊥ABCD //AF DE AF ⊥ABCD∴，∴，且．∴四边形为平行四边形，可知，∴平面， ∵，∴为的一个三等分点（靠近点）．（2）如图建立空间直角坐标系：则，，，，，，，设平面的法向量为，由可得． 设平面的法向量为，由可得，因为二面角为钝二面角，可得，所以二面角余弦值为．AF BD ⊥//FA KM FA KM =FAMK //AM FK //AM BEF 13MK BM ED BD ==M BDB (3,0,0)A (3,3,0)B (0,0,6)E (0,3,0)C (3,3,6)EB =-u u u r (0,3,0)AB =u u u r (3,0,0)BC =-u u u rAEB 11(,,1)n x y =r 1113360,30,x y y +-=⎧⎨=⎩(2,0,1)n =r BCE 22(,,1)m x y =u r 2223360,30,x y x +-=⎧⎨=⎩(0,2,1)m =u r A BE C --1cos |5θ=-=-A BE C --15-19.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0,1,2,3，，，，，所以的分布列为． （2）设为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得，所以，其中0,1,2， (10)设， 若，则，； 若，则，．所以当或，可能最大，，所以的取值为．20.解：（1）∵，则为线段的中点，∴是的中位线， 又，∴，于是，且，解得，， X 30463101(0)30C C P X C ===21463103(1)10C C P X C ===12463101(2)2C C P X C ===03463101(3)6C C P X C ===X 13119()01233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=Y 3~(10,)5Y B 101032()()()55kkkP Y k C -==k =101011111032()()()3(11)5532(1)2()()55k k k k k k C P Y k k t P Y k k C ----=-====-1t > 6.6k <(1)()P Y k P Y k =-<=1t < 6.6k >(1)()P Y k P Y k =->=6k =7()P Y k =664107731032()()(6)75532(7)6()()55C P Y P Y C ====1>n 62PM MF =M 2PF OM 12PF F ∆12OM F F ⊥112PF F F ⊥1c =221112a b+=22a =221b c ==∴椭圆的标准方程为． （2）由（1）知，，由题意，设直线的方程为，，，由得，则，．． ∵，∴，解得． 由消得，设，， 则设，则， ∵关于在上为减函数，∴，即的面积的取值范围为． 21.解：（1）由条件知在上恒成立，令（），则，所以对于任意成立． 2212x y +=1(1,0)F -2(1,0)F l 1x ty =+11(,)Ax y 22(,)B x y 221,3,x ty x y =+⎧⎨+=⎩22(1)220t y ty ++-=12221t y y t +=-+12221y y t =-+111122(1,)(1,)F A F B x y x y ⋅=+⋅+u u u r u u u r 1112(1)(1)x x y y =+++1212(2)(2)ty ty y y =+++21212(1)2()4t y y t y y =++++22224222411t t t t -=--+=++112,13F A F B ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r 22222131t t -≤≤+211,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(2)210t y ty ++-=33(,)C x y 44(,)D x y 112341||||2F CD S F F y y ∆=⋅-===21t m +=S ==43,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦S m 43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦57S ⎡∈⎢⎣⎦1F CD ∆S 57⎡⎢⎣⎦(1)1x x x m e e e --+-≤-(0,)+∞x t e =0x >1t >21111111t m t t t t -≤-=--+-++-1t >因为，∴， 当且仅当，即时等号成立．因此实数的取值范围是． （2）令函数，则， 当时，，，又，故， 所以是上的单调递增函数，因此在上的最小值是．由于存在，使成立，当且仅当最小值， 故，即． 与均为正数，同取自然底数的对数，即比较与的大小，试比较与的大小． 构造函数（），则， 再设，，从而在上单调递减， 此时，故在上恒成立，则在上单调递减．综上所述，当时，； 当时，；111131t t -++≥=-1113111t t -≥--++-2t =ln 2x =m 1(,]3-∞-31()(3)x x g x e a x x e =+--+21'()3(1)x x g x e a x e=-+-1x ≥10x x e e->210x -≥0a >'()0g x >()g x [1,)+∞()g x [1,)+∞1(1)2g e e a -=+-0[1,)x ∈+∞00300(3)0x x e ea x x -+--+<(1)0g <120e e a -+-<12e e a -+>1a e -1e a -(1)ln a e -(1)ln e a -ln 1e e -ln 1a a -ln ()1x h x x =-1x >211ln '()(1)x x h x x --=-1()1ln m x x x =--21'()x m x x-=()m x (1,)+∞()(1)0m x m <='()0h x <(1,)+∞ln ()1x h x x =-(1,+)∞1(,)2e e a e -+∈11a e e a --<a e =11a e e a --=当时，．22.解：（1）由，可得的极坐标方程．（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为（）， 由，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，于是，，由得，， 所以的斜率为或． 23.解：（1）当时，当时，由得，解得；当时，由得无解；当时，由得，解得，故不等式的解集为．（2）令，则 由，解得， 又知的解集为，所以于是解得．(,)a e ∈+∞11a e e a-->cos x ρθ=sin y ρθ=C 212cos 110ρρθ++=l θα=R ρ∈A B 1ρ2ρl C 212cos 110ρρα++=1212cos ρρα+=-1211ρρ=12||||AB ρρ=-==||AB =23cos 8α=tan α=l 33-2a =26,2,()|4|2,24,26,4,x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=<<⎨⎪-≥⎩2x ≤()4|4|f x x ≥--264x -+≥1x ≤24x <<()4|4|f x x ≥--4x ≥()4|4|f x x ≥--264x -≥5x ≥{}|15x x x ≤≥或()(2)2()h x f x a f x =+-2,0,()42,0,2,,a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩|()|2h x ≤1122a a x -+≤≤|()|2h x ≤{}|12x x ≤≤11,212,2a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩3a =。
2018年湖南省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)
2018年湖南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设z=1−i1+i+2i，则|z|=( )A.0B.12C.1D.√22. 已知集合A={x|x2−x−2>0}，则∁R A=()A.{x|−1<x<2}B.{x|−1≤x≤2}C.{x|x<−1}∪{x|x>2}D.{x|x≤−1}∪{x|x≥2}3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4. 设S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=()A.−12B.−10C.10D.125. 设函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax．若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0, 0)处的切线方程为（）A.y=−2xB.y=−xC.y=2xD.y=x6. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=()A.3 4AB→−14AC→B.14AB→−34AC→C.3 4AB→+14AC→D.14AB→+34AC→7. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( ) A.2√17 B.2√5 C.3 D.28. 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点(−2, 0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→⋅FN→=()A.5B.6C.7D.89.已知函数f(x)={e x,x≤0,lnx,x>0，g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.[−1, 0)B.[0, +∞)C.[−1, +∞)D.[1, +∞)10. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A.p1＝p2B.p1＝p3C.p2＝p3D.p1＝p2+p311. 已知双曲线C:x23−y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=()A.32B.3C.2√3D.412. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A.3√34B.2√33C.3√24D.√32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018湖南省高考数学试题(理科数学)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。
参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则A ．1a =，1b = B. 1,1a b =-= C.1,1a b =-=- D. 1,1a b ==- 2.设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 9122π+B. 9182π+C. 942π+D. 3618π+4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++算得，()22110403020207.860506050k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.参照附表，得到的正确结论是A ． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5.设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A.4 B.3 C.2 D.1 6.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为A.12B.1C. 27.设m ＞1，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数Z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为A.（1，1 B.（1++∞） C.（1,3 ） D.（3，+∞）8.设直线x=t 与函数2()f x x = ()ln g x x = 的图像分别交于点M,N,则当MN 达到最小时t 的值为A.1B. 12填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应号后的横线上。
2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷(二)理科数学试题(解析版)
2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷（二）理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用集合并集的定义求解即可.详解：因为集合，，所以，由结合并集的定义可得.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图2. 若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标即可得结论.详解：由，得，复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.3. 设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由方程为的渐近线为，且渐近线方程为的双曲线方程为，即可得结果.详解：若的方程为，则，渐近线方程为，即为，充分性成立，若渐近线方程为，则双曲线方程为，“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A.点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由，结合指数函数的单调性可得，利用“特值法”可判断，错误，利用指数函数性质可得正确.详解：因为，所以由指数函数的单调性可得，因为的符号不确定，所以时可排除选项；时，可排除选项，由指数函数的性质可判断正确，故选D.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性. 5. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为的扇形，高是4的圆锥体。
【数学】湖南省(长郡中学、衡阳八中)等十四校2018届高三第二次联考数学理科试题含解析
2018届高三·十四校联考第二次考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D。
2. 复数（为虚数单位）的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故复数（为虚数单位）的共轭复数为故选B.3. 下列有关命题的说法中错误的是（）A. 设，则“”是“”的充要条件B. 若为真命题，则，中至少有一个为真命题C. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题D. 命题“，且”的否定形式是“，且”【答案】D【解析】A．设，则，则当时，函数为增函数，当时，函数为增函数，函数）在上是增函数，则若，则，即|成立，则“”是“”的充要条件，故A正确；B若为真命题，则，中至少有一个为真命题，正确；C命题的逆命题是若的图象不经过第四象限，则是幂函数，错误比如函数的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，故C正确，D．命题“，且”的否定形式是，故d 错误.故选D ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．4. 已知不等式的解集为，则二项式展开式的常数项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵不等式的解集为，．二项式的展开式式的通项公式为令，求得，可得展开式的常数项是故选B．5. 若函数，且，，的最小值是，则的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得令求得故函数的增区间为故选：D．6. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积（单位：）是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，该几何体为组合体，下面是正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，高为，上面是正方体，边长为，该几何体表面积为故选C.7. 甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借、、、四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅类课外书，则不同的借阅方案种类为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分两类：乙、丙、丁、戊四位同学、、、四类课外书各借1本，共种方法；乙、丙、丁、戊四位同学、、三类课外书各借1本，共有中方法，故方法总数为60种.故选C.8. 如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】首先，椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线三者组成一个三角直角形，且长轴与直径的夹角为.故选D.9. 一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，是以为周期的周期函数，故又故选B．【大家】本题考查的知识点是程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．10. 已知点，，点的坐标，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】画出出可行域如图所示，，表示点到可行域的距离的平方减去8的最小值，到可行域的最小距离即为到直线，则的最小值为故选A.11. 过圆：的圆心的直线与抛物线：相交于，两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题，设，不妨设点A位于第一象限，则由可得解方程可得，则故点到圆上任意一点的距离的最大值为.12. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得：即令F（x）=x2f（x），则当时，得即上是减函数，即不等式等价为在是减函数，∴由F得，，即故选B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及抽象不等式的解法，其中利用一种条件合理构造函数，正确利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题后后的横线上.13. 已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为__________．【答案】【解析】同理设向量，的夹角为则向量在向量上的投影为即答案为-1.14. 已知是数列的前项和，且，则数列的通项公式为__________．【答案】【解析】由，得，当时，；当时，，所以数列的通项公式为.故答案为．15. 三棱锥的底面是等腰三角形，，侧面是等边三角形且与底面垂直，，则该三棱锥的外接球表面积为__________．【答案】【解析】由题意，由余弦定理由正弦定理的外接圆半径等边三角形的高为3，设球的半径为球心到底面的距离为，则所以，所以该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：20π．.....................【点评】本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，其中确定球的半径是是解题的关键．16. 已知是以为周期的上的奇函数，当，，若在区间，关于的方程恰好有个不同的解，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题可得函数在上的解析式为在区间，关于的方程恰好有个不同的解，当时，由图可知，同理可得，当时，即答案为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由及正弦定理得，由此可求角的大小；（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，，为锐角三角形，的范围为，则，，利用正弦函数的性质即可得的取值范围.（1）由及正弦定理得，所以，.（2），，所以，，为锐角三角形，的范围为，则，∴的取值范围是，∴.18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，已知，，于.（1）求证：；（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接，证明，∴，∵，∴，由此可证平面，即可证明. （2）由平面，平面平面，所以，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.根据空间向量求面面角的方法即可求二面角的余弦值.（1）连接，∵，，是公共边，∴，∴，∵，∴，又平面，平面，，∴平面，又平面，∴.（2）由平面，平面平面，所以，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为，，，所以，，，则，，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，又平面的一个法向量为，设二面角所成的平面角为，则，显然二面角是锐角，故二面角的余弦值为.19. 随着电子产品的不断更新完善，更多的电子产品逐步走入大家的世界，给大家带来了丰富多彩的生活，但也带来了一些负面的影响，某公司随即抽取人对某电子产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的人中的年龄层次以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：岁以下岁或岁以上（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为电子产品的态度与年龄有关系？（2）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员进行抽奖活动，奖金额以及发放的概率如下：元（谢谢支持）元元现在甲、乙两人参与了抽奖活动，记两人获得的奖金总金额为，求的分布列和数学期望. 参与公式：临界值表：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据列联表，计算观测值，通过对照题目中的数值表，即可得出统计结论．（2）的可能取值为，，，，，求出相应概率值，得到分布列.求出数学期望.试题解析：试题解析：（1）依题意，在本次的实验中，的观测值，故可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为对电子产品的态度与年龄有关系.（2）的可能取值为，，，，，，，，，，.20. 已知椭圆：.（1）若椭圆的离心率为，且过右焦点垂直于长轴的弦长为，求椭圆的标准方程；（2）点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，试判断是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题根据，，不妨令椭圆方程为，当时，得出，从而得到椭圆的标准方程；（2）令直线方程为与椭圆交于，两点，联立方程得，∴，，由此得到为定值.试题解析：（1），即，，不妨令椭圆方程为，当时，，得出，所以椭圆的方程为.（2）令直线方程为与椭圆交于，两点，联立方程得，即，∴，，∴为定值.21. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，，为自然对数的底数.当时，若，，不等式成立，求的最大值.【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）3【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于等价于，对恒成立，，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可．试题解析：（1）对函数求导得，令，得，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）当时，由（1）可知，，，不等式成立等价于当时，恒成立，即对恒成立，因为时，所以对恒成立，即对恒成立，设，则，令，则，当时，，所以函数在上单调递增，而，，所以，所以存在唯一的，使得，即，当时，，，所以函数单调递减；当时，，，所以函数单调递增，所以当时，函数有极小值，同时也为最小值，因为，又，且，所以的最大整数值是.【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，其中正确变形得到等价命题对恒成立，是解题的关键.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.（1）若曲线与曲线有两个不同的公共点，求的取值范围；（2）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由已知：，；：.联立方程有两个解，可得.（2）当时，直线：，设上的点为，，则，当时取等号.（1）由已知：，；：.联立方程有两个解，可得.（2）当时，直线：，设上的点为，，则，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为.23. 已知函数，.（1）求的解集；（2）若有两个不同的解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）分类讨论可得函数解析式，由此可得的解集；（2）结合图象易得试题解析：（1），若，可得.（2）结合图象易得2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则46||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ，则)24,2(),2,2(000y x F y x E +--， ∴4116416416424424220020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为1422=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ，得0448522=-++m mx x ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则544,5822121-=-=+m x x m x x ，由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，∴22)3(554||||m m ST PQ S S OSTOPQ +-===∆∆λ，令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ，则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ， 当431=t ，即43=t 时，λ取得最大值552，此时35-=m . 21．解：（1）xax y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 212+=对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xax x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立，所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞. （3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x ax a x x -<+，整理得01ln 000<++-x ax a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--=因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得)1ln(11+<++a aa （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 11<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++-=eaa e e m 解得112-+>e e a .综上所述，实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x∵090=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b . （2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 04212>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ， ∴||||22N C M C 为定值8.23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立 3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。
2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3} 2．（5分）若iz＝﹣1+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若2m＞2n＞1，则（）A．B．C．ln（m﹣n）＞0D．πm﹣n＞15．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（）A．3.126B．3.144C．3.213D．3.1517．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称8．（5分）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．144种B．48种C．36种D．72种9．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6，点M与直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知变量x，y满足条件则目标函数的最大值为（）A．B．1C．D．11．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球，BC＝3，，点E在线段BD上，且BD＝6BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且对任意的实数x都有f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x）（e是自然对数的底数），且f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣e，0]B．[﹣e2，0）C．[﹣e，0）D．（﹣e2，0]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中的常数项是．14．（5分）已知数列{a n}的首项为3，等比数列{b n}满足，且b1009＝1，则a2018的值为．15．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠D＝150°，AB＝2BC ＝8，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为O，并且，，若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成，λ、μ∈R的形式，则λ+μ的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．18．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，P A＝PB＝BC＝AB＝2，AD＝3（1）求证：平面P AB⊥面ABCD（2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．19．（12分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20，30），[30，40），…，[80，90），并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；（Ⅱ）已知阅读量在[20，30），[30，40），[40，50）内的学生人数比为2：3：5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20，40）内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X表示所选学生阅读量在[20，30）内的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．20．（12分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴交于点B，若△BF1F2为等腰直角三角形，且直线BF1被圆x2+y2＝b2所截得的弦长为2．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于点A、C，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为△P AC的重心，探求△P AC的面积S是否为定值，若是求出这个值，若不是，求S的取值范围．21．（12分）设函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）令，试证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝β（其中）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3}【解答】解：集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝{x|x＜3}．故选：B．2．（5分）若iz＝﹣1+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵iz＝﹣1+i，∴z＝，∴，则z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．3．（5分）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：C的方程为，则双曲线的渐近线方程为y＝±2x，即充分性成立，双曲线﹣x2＝1的渐近线方程也是y＝±2x，即必要性不成立，故“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）若2m＞2n＞1，则（）A．B．C．ln（m﹣n）＞0D．πm﹣n＞1【解答】解：∵2m＞2n＞1，∴m＞n＞0，∴，m＜，ln（m﹣n）与0的大小关系不确定，πm﹣n＞1．因此只有D正确．故选：D．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V＝××π×22×4＝．故选：D．6．（5分）我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（）A．3.126B．3.144C．3.213D．3.151【解答】解：根据已知中的流程图我们可以得到该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（0，1）上的两个数x，y，求x2+y2≤1的概率，∵x∈（0，1），y∈（0，1），对应的平面区域面积为：1×1＝1，而x2+y2＜1对应的平面区域的面积为：π，故由题意可得：＝，解得：π＝3.144，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【解答】解：由函数y＝f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为T＝π，所以ω＝＝4，所以f（x）＝sin（4x+φ）；将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y＝sin[4（x+）+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以4×+φ＝kπ+，k∈Z，即φ＝kπ﹣，k∈Z；又|φ|＜，所以φ＝﹣，所以f（x）＝sin（4x﹣），令4x﹣＝kπ，k∈Z，解得x＝+，k∈Z；k＝0时，得f（x）的图象关于点（，0）对称，B正确．故选：B．8．（5分）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．144种B．48种C．36种D．72种【解答】解：根据题意，分2步分析：①，将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法，②，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），有种排法，则后六场的排法有＝36（种），故选：C．9．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6，点M与直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴6＝|AF|+|BF|＝|AF′|+|AF|＝2a，∴a＝3；取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴≥，解得b≥2；∴e＝＝＝≤＝，∴椭圆E的离心率的取值范围是（0，]．故选：B．10．（5分）已知变量x，y满足条件则目标函数的最大值为（）A．B．1C．D．【解答】解：变量x，y满足条件的可行域如图：目标函数的几何意义是，分母是可行域内的点与坐标原点的距离，分子是直线x﹣y＝u，如图中的红色线，当红色线经过D时目标函数取得最大值．最大值为：＝．故选：C．11．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球，BC＝3，，点E在线段BD上，且BD＝6BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，则O1D＝3sin60°×＝，AO1＝＝＝3，在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝6BE，∴DE＝2.5，在△DEO1中，O1E＝＝，∴OE＝＝＝，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为＝，最小面积为π，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且对任意的实数x都有f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x）（e是自然对数的底数），且f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣e，0]B．[﹣e2，0）C．[﹣e，0）D．（﹣e2，0]【解答】解：∵f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x），∴e x[f（′x）+f（x）]＝2x+3，∴e x f（x）＝x2+3x+c，∵f（0）＝1，∴1＝0+0+c，解得c＝1∴f（x）＝（x2+3x+1）e﹣x，∴f′（x）＝﹣（x2+x﹣2）e﹣x＝﹣（x﹣1）（x+2）e﹣x．令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝﹣2，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递减增，可得：x＝1时，函数f（x）取得极大值，x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，∵f（1）＝，f（﹣2）＝﹣e2＜0，f（﹣1）＝﹣e，f（0）＝1＞0，f（﹣3）＝e3＞0∴﹣e＜m≤0时，f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数恰有两个整数﹣1，﹣2．故m的取值范围是（﹣e，0]，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中的常数项是﹣11．【解答】解：∵＝（2x+1）•（1﹣+﹣+﹣+），故它的展开式中的常数项是1﹣12＝﹣11，故答案为：﹣11．14．（5分）已知数列{a n}的首项为3，等比数列{b n}满足，且b1009＝1，则a2018的值为3．【解答】解：等比数列{b n}满足，∴lna n+1﹣lna n＝lnb n，∴lna2018﹣lna2017＝lnb2017，lna2017﹣lna2016＝lnb2016，……，lna2﹣lna1＝lnb1，∴lna2018﹣lna1＝ln（b1•b2•……b2017）＝ln＝ln1＝0，∴a2018＝a1＝3．故答案为：3．15．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠D＝150°，AB＝2BC＝8，则四边形ABCD的面积为．【解答】解：如图，连接AC，可得∠DCB＝105°在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BC2+BA2﹣2BCBA cos60°＝48．∴AB2＝AC2+BC2，∴∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∠DCA＝∠DAC＝15°．∴tan15°．∴四边形ABCD的面积为12×）+8＝24﹣4．故答案为：24﹣4．16．（5分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为O，并且，，若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成，λ、μ∈R的形式，则λ+μ的取值范围为[﹣1﹣，1+]．【解答】解：以O为原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：设圆O的半径为1，则OM＝1，过M作MN∥OB，交x轴于N，则△OMN为等腰直角三角形，∴ON＝，OM＝1，∴＝+，此时λ+μ＝1+；同理可得：＝+＝﹣﹣，此时λ+μ＝﹣1﹣；∴λ+μ的最大值为1+，最小值为﹣1﹣．故答案为：[﹣1﹣，1+]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）＝＝，∴f（x）的最小正周期是π；（Ⅱ）∵，∴0≤2x≤π，∴，当时，f（x）max＝2．当时，f（x）min＝﹣1．18．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，P A＝PB＝BC＝AB＝2，AD＝3（1）求证：平面P AB⊥面ABCD（2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，BC＝AB＝2，AD＝3．∴OC＝，OD＝，CD＝，∵OD2＝OC2+DC2＝10，∴OC⊥CD，即CD⊥平面POC，∴CD⊥PO．∵P A＝PB＝AB，O为AB中点，∴PO⊥AB，∴PO⊥底面ABCD，∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥面ABCD…（6分）（2）解：过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN．则由于PO⊥平面OCD，PO⊂平面POD，所以平面POD⊥平面OCD，∵CM⊂平面OCD，平面POD∩平面OCD＝OD，∴CM⊥平面POD，∴CM⊥PD，∵MN⊥PD，MN∩CM＝M，∴PD⊥平面MCN，∴PD⊥NC，即∠MNC是二面角O﹣PD﹣C的平面角．在Rt△OCD中，CM＝＝，在Rt△PCD中，CN＝＝，所以MN＝，所以二面角O﹣PD﹣C的余弦值为．…（12分）19．（12分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20，30），[30，40），…，[80，90），并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；（Ⅱ）已知阅读量在[20，30），[30，40），[40，50）内的学生人数比为2：3：5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20，40）内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X表示所选学生阅读量在[20，30）内的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．【解答】解：（Ⅰ）100﹣100×10×（0.04+0.02×2）＝20（人）（Ⅱ）由已知条件可知：[20，50）内人数为：100﹣100×10×（0.04+0.02+0.02+0.01）＝10；[20，30）人数为2人，[30，40）人数为3人，[40，50）人数为5人．X的可能取值为0，1，2．P（X＝0）＝P（X＝1）＝P（X＝2）＝，所以X的分布列为．（Ⅲ）第五组．20．（12分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴交于点B，若△BF1F2为等腰直角三角形，且直线BF1被圆x2+y2＝b2所截得的弦长为2．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于点A、C，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为△P AC的重心，探求△P AC的面积S是否为定值，若是求出这个值，若不是，求S的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，由△BF1F2为等腰直角三角形可得b＝c，直线BF1：y＝x+b被圆x2+y2＝b2所截得的弦长为2，即BF1＝2，所以a＝2，，所以椭圆的方程为．（2）若直线l的斜率不存在，则．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），即则，，，由题意点O为△P AC重心，设P（x0，y0），则，，所以，，代入椭圆，得，整理得，设坐标原点O到直线l的距离为d，则△P AC的面积＝＝＝．综上可得△P AC的面积S为定值．21．（12分）设函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）令，试证明：．【解答】解：（I）函数的定义域为R，由于f′（x）＝1﹣≥0，知f（x）是R上的增函数．（II）令g（x）＝f（x）﹣ax3＝x﹣ln（x+）﹣ax3．则g′（x）＝，令h（x）＝，则h′（x）＝，（1）当a≥时，h′（x）≤0，从而h（x）是[0，+∞）上的减函数，因h（0）＝0，则x ≥0时，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，进而g（x）是[0，+∞）上的减函数，注意g（0）＝0，则x≥0时，g（x）≤0，也即f（x）≤ax3，（2）当0＜a＜时，在[0，]，h′（x）＞0，从而x∈[0，]时，也即f（x）＞ax3，（3）当a≤0时，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax3，综合，实数a的取值范围[，+∞）．（III）在（II）中取a＝，则x∈[0，]，时，x﹣ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，令x＝（）2n，则＜（）2n，∴请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝β（其中）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的方程是，∴，∴直线l的极坐标方程是，由，消参数得x2+（y﹣2）2＝4，∴曲线C的极坐标方程是ρ＝4sinθ．…5分（Ⅱ）将θ＝β分别带入ρ＝4sinθ，，得|OP|＝4sinβ，，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是．…10分[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）＜5，即|2x﹣1|+|2x+1|＜5；当时，不等式化为1﹣2x﹣2x﹣1＜5，∴；当时，不等式化为1﹣2x+2x+1＜5，不等式恒成立；当时，不等式化为2x﹣1+2x+1＜5，∴；综上，集合；（2）证明：由（1）知m＝1，则a+b+c＝1；则；同理；则；即M≥8．。
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叶图： （1）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 家，求取到第二阶梯水量的户数 X 的分布 列与数学期望； （2）用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽 取 10 户，若抽到 n 户月用水量为二阶的可能性最大，求 n 的值．
2018 年湖南省长沙市长郡中学高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）已知集合 A={x||x|＜2}，B={x|1＜x＜3}，则 A∩B 等于（ ） A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜2} 2．（5 分）若 z（1+i）=i（其中 i 为虚数单位），则|z|等于（ ） A． B． C．1 D．
3．（5 分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数
是（ ）
A．y=x3 B．y=
C．y=2|x| D．y=cosx
4．（5 分）执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）
A．1 B． C． D．2 5．（5 分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2 的正方形， 两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）
．
15．（5 分）已知 14C 的半衰期为 5730 年（是指经过 5730 年后，14C 的残余量占
原始量的一半）．设 14C 的原始量为 a，经过 x 年后的残余量为 b，残余量 b 与原
始量 a 的关系如下：b=ae﹣kx，其中 x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖
南长沙马王堆汉墓女尸出土时 14C 的残余量约占原始量约占原始量的 76.7%．请
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 8．（5 分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且 3a1，
ห้องสมุดไป่ตู้
，2a2 成等差数列，
则
等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9 9．（5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，△ABC 的面积为 S， 且 2S=（a+b）2﹣c2，则 tanC=（ ） A． B． C． D．
第 2 页（共 30 页）
10．（5 分）已知双曲线 ﹣ =1 的左、右焦点分别 F1、F2，O 为双曲线的中心，
P 是双曲线右支上的点，△PF1F2 的内切圆的圆心为 I，且⊙I 与 x 轴相切于点 A， 过 F2 作直线 PI 的垂线，垂足为 B，若 e 为双曲线的率心率，则（ ） A．|OB|=e|OA| B．|OA|=e|OB| C．|OB|=|OA| D．|OA|与|OB|关系不确定
是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）令 cn=
求数列{cn}的前 n 项和 Tn．
18．（12 分）如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE⊥平面 ABCD，AF∥DE，且 DE=6，AF=2． （1）试在线段 BD 上确定一点 M 的位置，使得 AM∥平面 BEF； （2）求二面角 A﹣BE﹣C 的余弦值．
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A． B． C．
D．
6．（5 分）将函数
的图象向右平移 φ 个单位，得到的图象关于
原点对称，则 φ 的最小正值为（ ） A． B． C． D．
7．（5 分）某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如 下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是 （）
11．（5 分）如图，在△OMN 中，A，B 分别是 OM，ON 的中点，若 =x +y
（x，y∈R），且点 P 落在四边形 ABNM 内（含边界），则
的取值范围是（ ）
A．[ ， ]B．[ ， ]C．[ ， ]D．[ ， ] 12．（5 分）在实数集 R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”， 类似的，我们在平面向量集 D={ | =（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称 “序”的关系，记为“＞＞”．定义如下：对于任意两个向量 =（x1，y1）， =（x2， y2），“ ＞＞ ”当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2 且 y1＞y2”．按上述定义的关系“＞＞”， 给出如下四个命题： ①若 =（1，0）， =（0，1）， =（0，0），则 ＞＞ ＞＞ ； ②若 ＞＞ ， ＞＞ ，则 ＞＞ ； ③若 ＞＞ ，则对于任意 ∈D， + ＞＞ + ； ④对于任意向量 ＞＞ ， =（0，0），若 ＞＞ ，则 • ＞ • ． 其中正确命题的个数为（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
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13．（5 分）若（ax2+ ）5 的展开式中 x5 的系数是﹣80，则实数 a=
．
14．（5 分）已知直线 l 过拋物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，
B 两点且|AB|=12，P 为 C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为
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19．（12 分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原 则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
阶梯级别
第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量
月用水量范围（单位：立 （0，10]
（10，15]
（15，+∞）
方米）
从本市随机抽取了 10 户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图所示的茎
数 a 共有 n 个，
（x≥0）的最大值为 m，且 m+n=3，
则实数 k 的取值范围为
．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．（12 分）已知数列{an}，{bn}满足 a1=2，2an=1+anan+1，bn=an﹣1，bn≠0
（1）求证数列
你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今
年．（已知 log20.767≈﹣0.4）
16 ． （ 5 分 ） 已 知 f （ x ） =|x ﹣ 2018|+|x ﹣ 2017|+…+|x ﹣ 1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|（x∈R），且满足 f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1）的整