湖北省武汉市2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含答案

长阳一中2016-2017学年度第二学期期中考试高二数学（文科）试卷一、选择题：1．设集合{|2017},{|01}M x x N x x =<=<<，则下列关系中正确的是（ ）A ．MN R =B ．{|01}M N x x =<<C ．N M ∈D ．M N φ=2．已知命题p ：,x R $?使1sin 2x x<成立． 则p Ø为（ ）A ．,x R $?使1sin 2x x =成立B ．,x R "?1sin 2x x<均成立C ．,x R $?使1sin 2x x ³成立 D ．,x R "?1sin 2x x ³均成立3. 设a 、b 是实数，则“a b >>0”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件4. 已知函数()26log f x x x =-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A.()0,1 B .()1,2 C.()2,4D.()4,+∞5．若函数f(x)＝sinωx ＋3cosωx ，x ∈R ，又f(xB1B)＝－2，f(xB2B)＝0，且|xB1B －xB2B|的最小值为3π4，则正数ω的值为( ) A.13B.23C.43D.326. 若()34,,,i x yi i x y R +=+∈则复数x yi +的模是（ ） A.2B.3C.4D.57．在函数()y f x =的图象上有点列(,)n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可以为( )A ．()21f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()log f x x=D ．3()()4xf x = 8．如图，已知P 是边长为2的正三角形的边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+（ ）A ．最大值为8 Ｂ．是定值6 Ｃ．最小值为2 Ｄ. 与P 的位置有关9．按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(20,25]B ．(30,32]C ．(28,57]D ．(30,57]10．当实数,x y 满足不等式0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有2ax y +≤成立，则实数a 的取值集合是（ ）A ．(0,1]B ．(,1]-∞C ．(1,1]-D ．(1,2)11．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲 线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．() C ． (1,3)D． 12．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域的一个子区间(1,1)k k -+内存在最小值，则实数k 的取值范围是（ ）.A ．[1,)+∞B ．3[1,)2 C ．[1,2) D ．3[,2)2二、填空题：13．若函数()(0xf x a x a a =-->且1)a ≠有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 14. 在在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B A A -的值为15．7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为16．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数． 如：6=123++；28=124714++++；496=1248163162124248++++++++．已经证明：若21n -是质数，则12(21)n n --是完全数，n *∈N .请写出一个四位完全数 ；又623=⨯，所以6的所有正约数之和可表示为(12)(13)+⋅+；22827=⨯，所以28的所有正约数之和可表示为2(122)(17)++⋅+；按此规律，请写出所给的四位数的所有正约数之和可表示为 ．（请参照6与28的形式给出）三、解答题：17.（本小题满分10分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（1）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()22A f =,1b =，2c =，求a 的值.18（本小题满分12分） .已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.P260俯视图ABDF EP（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b的前n 项和.19. （本小题满分12分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）20．（本小题满分12分）一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，其中俯视图中060DAB ∠=．E 为侧棱PD 的中点． （1）求证：PB//平面AEC ；（2）若F 为侧棱PA 上的一点，且PFFA λ=， 则λ为何值时，PA ⊥平面BDF ？并求此时几何体F —BDC 的体积．21．（本题满分12分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，求12λλ+的值；22．（本题满分12分）已知函数2()2,f x x x =+()e xg x x =.（1）求()()f x g x -的极值；（2）当(2,0)x ∈-时，()1()f x ag x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.湖北省武汉市2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题参考答案B DAC B DDB CBAB13． 1a > 14. 72 15．6 16． 812823456(1222222)(1127)++++++⋅+ 【解析】若21n-是质数，则12(21)n n--是完全数，中令7n =可得一个四位完全数为641278128⨯=。

由题意可令8128＝6762(21)2127⨯-=⨯ 其所有正约数之和为23456(1222222)(1127)++++++⋅+17．解：（1）22()sin cos f x x x =-226sin()x π=-2T ππω==由222262k x k πππππ-≤-≤+得，63k x k ππππ-≤≤+(Z k ∈).，故)(x f 的单调递增区间为63,k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈). 5分 （2）22Af =(),则2sin()26A π-=⇒sin()16A π-=22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈又20,3A A ππ<<∴=2222cos 7a b c bc A =+-=a ∴=10分18. .解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：41123333a a d --===，所以1(1)3(1,2,)n a a n d n n =+-==L ，设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得：344112012843b a q b a --===--，解得2q =.所以1111()2n n n n b a b a q ---=-=，从而132(1,2,)n n b n n -=+=L . 6分（II ）由（1）知，132(1,2,)n n b n n -=+=L ，数列{}3n 的前n 项和为3(1)2n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n-⨯=--，所以数列{}n b 的前n 项和为3(1)212nn n ++- .12分19.解：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6=2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=.从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9..4分（2）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距，课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b ===频率组距..8分（3）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组. 12分20（1）由图形可知该四棱锥和底面ABCD 是菱形，且有一角为60，边长为2， 锥体高度为1。

设AC ，BD 和交点为O ，连OE ，OE 为△DPB 的中位线，OE//PB ，EO ⊂面EAC ，PB ⊄面EAC 内，∴PB//面AEC 4分 （2）过O 作OF ⊥PA 垂足为F在Rt △POA 中，PO=1，，PA=2，PO2=PF ·PA ，2PF=1 131,,223PF PF FA FA ∴===在棱形中BD ⊥AC ，又因为PO ⊥面ABCD ，所以BD ⊥PO ，及BD ⊥面APO ，所以PA ⊥平面BDF当13PF FA =时，在△POA 中过F 作FH//PO ，则FH ⊥面BCD ，FH=3344PO =111322334BCD BCD S V S FH ∆∆∴=⨯=⋅=⨯=。

12分21．解：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2pF 在圆22:1O x y +=上得：214p =，2p ∴=，∴抛物线21:4C y x=同理由椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上可解得：1,b c a ==∴=．得椭圆222:12y C x +=． 5分（2）设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -．联立方程组24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222(24)0,k x k x k -++= 216160,k ∴∆=+>且212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩由12,NA AF NB BF λλ==得：111222(1),(1),x x x x λλ-=-=整理得：121212,11x xx x λλ==--2212121221212224221241()11k x x x x k k x x x x k λλ+-+-∴+===-+-++-+． 12分22.解：（I ）令()()()h x f x g x =-，则()(1)(2e )x h x x '=+-1()=(1)1e h x h 极小值∴-=-，2()=(ln 2)ln 2h x h 极大值∴=. 5分（II ）由已知，当(2,0)x ∈-时，221xx x axe ++≥恒成立即21212xx x x x x a xe e -++++≥=恒成立，令12()xx x t x e -++=，则22(1)(1)()x x x t x x e ++'=- ∴当(2,1)x ∈--时, ()0t x '>,()t x 单调递增当(1,0)x ∈-时, ()0t x '<,()t x 单调递减故当(2,0)x ∈-时,max ()(1)0t x t =-=0a ∴≥ 12分高二数学（文）参考答案 B DAC B DDB CBAB13． 1a > 14. 72 15．6 16． 812823456(1222222)(1127)++++++⋅+ 【解析】若21n-是质数，则12(21)n n--是完全数，中令7n =可得一个四位完全数为641278128⨯=。