2017_2018高中物理第三章磁场第5讲磁场对运动电荷的作——洛伦兹力学案教科版选修3_1

第5讲磁场对运动电荷的作——洛伦兹力[目标定位] 1.知道洛伦兹力，会用左手定则判断方向.2.掌握洛伦兹力公式的推导过程，会计算大小，知道洛伦兹力做功的特点.3.掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律和分析方法.4.掌握洛伦兹力作用下的带电体的运动特点和处理方法．一、洛伦兹力1．洛伦兹力(1)定义：运动电荷在磁场中受到的磁场力．(2)与安培力的关系：静止的通电导线在磁场中受到的安培力，在数值上等于大量定向运动电荷受到的洛伦兹力的总和．2．洛伦兹力的方向(1)左手定则：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是运动的正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向．负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反．(2)特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面．深度思考(1)电荷在电场中一定受电场力作用，电荷在磁场中也一定受洛伦兹力作用吗？(2)负电荷所受洛伦兹力的方向应怎样判断？答案(1)不一定，只有电荷在磁场中运动且速度方向与磁场方向不平行时才受洛伦兹力作用．(2)根据左手定则判断，但四指指向负电荷速度的反方向．例1如图所示的磁感应强度B、电荷的运动速度v和磁场对电荷的作用力F的相互关系图中，画得正确的是(其中B、F、v两两垂直)( )解析 由于B 、F 、v 两两垂直，根据左手定则得：A 、B 、D 选项中电荷所受的洛伦兹力都与图示F 的方向相反，故A 、B 、D 错误，C 正确． 答案 C确定洛伦兹力的方向需明确运动电荷的电性，特别注意负电荷的运动方向与左手四指的指向应相反．二、洛伦兹力的大小1．公式推导：长为L 的一段直导线，电流为I ，处在磁场强度为B 的磁场中，导线与磁场垂直，则安培力的大小为：F 安＝BIL如图1所示，设此导线的截面积为S ，其中每单位体积中有n 个自由电荷，每个自由电荷的电荷量为q ，定向运动的速率为v .则电流I 的微观表达式I ＝nqSv图1这段导体中含有的电荷数为nLS安培力可以看作是作用在每个运动电荷上的洛伦兹力F 的合力，这段导体中含有的自由电荷数为nLS ，所以F ＝F 安nLS ＝BIL nLS ＝nqSvBL nLS＝qvB 2．洛伦兹力公式： (1)当v ⊥B 时，F ＝qvB ． (2)当v ∥B 时，F ＝0．(3)当v 与B 成θ角时，F ＝qvB sin__θ.例2 在图2所示的各图中，匀强磁场的磁感应强度均为B ，带电粒子的速率均为v ，带电荷量均为q .试求出图中带电粒子所受洛伦兹力的大小，并指出洛伦兹力的方向．图2解析 (1)因v ⊥B ，所以F ＝ qvB ，方向与v 垂直指向左上方．(2)v 与B 的夹角为30°，将v 分解成垂直磁场的分量和平行磁场的分量，v ⊥＝v sin 30°，F ＝qvB sin 30°＝12qvB .方向垂直纸面向里．(3)由于v 与B 平行，所以不受洛伦兹力．(4)v 与B 垂直，F ＝qvB ，方向与v 垂直指向左上方． 答案 (1)qvB 垂直v 指向左上方 (2)12qvB 垂直纸面向里 (3)不受洛伦兹力(4)qvB 垂直v 指向左上方确定洛伦兹力的大小时需明确“v ”与“B ”的方向夹角θ.三、带电粒子在磁场中的运动1．洛伦兹力做功特点：洛伦兹力的方向总跟粒子运动的速度方向垂直．所以洛伦兹力对运动电荷不做功(填“做功”或“不做功”)，它不会改变带电粒子速度的大小，只改变粒子运动的方向．2．带电粒子(不计重力)以一定的速度v 进入磁感应强度为B 的匀强磁场中： (1)当v ∥B 时，带电粒子将做匀速直线运动． (2)当v ⊥B 时，带电粒子将做匀速圆周运动．①洛伦兹力提供向心力，即qvB ＝mv 2r．②得轨道半径r ＝mvqB． ③运动周期T ＝2πr v ＝2πmqB．深度思考增加带电粒子的速度，其在匀强磁场中运动的周期如何变化？为什么？答案 不变．由T ＝2πmqB知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期与速度无关．例3 质子和α粒子由静止出发经过同一加速电场加速后，沿垂直磁感线方向进入同一匀强磁场，则它们在磁场中的各运动量间的关系正确的是( ) A ．速度之比为2∶1 B ．周期之比为1∶2 C ．半径之比为1∶2 D ．角速度之比为1∶1 解析 由qU ＝12mv 2，qvB ＝mv 2r ，得r ＝1B2mUq，而m α＝4m H ，q α＝2q H ，故r H ∶r α＝1∶2，又T ＝2πmqB，故T H ∶T α＝1∶2.同理可求其他物理量之比． 答案 B四、洛伦兹力作用下带电体的运动例4 一个质量m ＝0.1 g 的小滑块，带有q ＝5×10－4C 的电荷量，放置在倾角α＝30°的光滑斜面上(绝缘)，斜面固定且置于B ＝0.5 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，如图3所示，小滑块由静止开始沿斜面滑下，斜面足够长，小滑块滑至某一位置时，要离开斜面(g 取10 m/s 2)．求：(计算结果保留两位有效数字)图3(1)小滑块带何种电荷？(2)小滑块离开斜面时的瞬时速度为多大？(3)该斜面长度至少为多长？解析 (1)小滑块在沿斜面下滑的过程中，受重力mg 、斜面支持力N 和洛伦兹力F 作用，如图所示，若要使小滑块离开斜面，则洛伦兹力F 应垂直斜面向上，根据左手定则可知，小滑块应带负电荷．(2)小滑块沿斜面下滑的过程中，垂直于斜面的加速度为零时，由平衡条件得F ＋N ＝mg cos α，当支持力N ＝0时，小滑块脱离斜面．设此时小滑块速度为v max ，则此时小滑块所受洛伦兹力F ＝qv max B ，所以v max ＝mg cos αqB ＝0.1×10－3×10×325×10－4×0.5m/s ≈3.5 m/s. (3)设该斜面长度至少为l ，则小滑块离开斜面的临界情况为小滑块刚滑到斜面底端时．因为下滑过程中只有重力做功，由动能定理得mgl sin α＝12mv 2max －0，所以斜面长度至少为l ＝v 2max2g sin α＝ 3.522×10×0.5m ≈1.2 m.答案 (1)负电荷 (2)3.5 m/s (3)1.2 m分析带电物体在磁场中的运动，分析方法与力学中完全一样：对物体进行受力分析，求合外力，用牛顿第二定律、运动学方程或动能定理列方程．1．(洛伦兹力)在阴极射线管中电子流方向由左向右，其上方放置一根通有如图4所示电流的直导线，导线与阴极射线管平行，则电子将( )图4A ．向上偏转B ．向下偏转C ．向纸里偏转D ．向纸外偏转解析 由题图可知，直导线电流的方向由左向右，根据安培定则，可判定直导线下方的磁场方向为垂直于纸面向里，而电子运动方向由左向右，由左手定则知(电子带负电荷，四指要指向电子运动方向的反方向)，电子将向下偏转，故B 选项正确．2．(洛伦兹力及带电体在磁场中的运动)有一质量为m 、电荷量为q 的带正电的小球停在绝缘平面上，并处在磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，如图5所示，为了使小球飘离平面，应该( )图5A ．使磁感应强度B 的数值增大 B ．使磁场以v ＝mg qB 向上运动C ．使磁场以v ＝mg qB 向右运动D ．使磁场以v ＝mg qB向左运动 答案 D解析 小球飘离平面，洛伦兹力竖直向上，由左手定则知小球应相对磁场向右运动，再由平衡条件qvB －mg ＝0解得v ＝mgqB，故D 正确． 3．(带电粒子在磁场中的圆周运动)(多选)如图6所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为B 1、B 2，虚线MN 为理想边界．现有一个质量为m 、电荷量为e 的电子以垂直于边界MN 的速度v 由P 点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B 1的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线，以下说法正确的是( )图6A ．电子的运动轨迹为P →D →M →C →N →E →PB ．电子运动一周回到P 点所用的时间T ＝2πm B 1eD ．B 1＝2B 2 答案 AD解析 由左手定则可知，电子在P 点所受的洛伦兹力的方向向上，轨迹为P →D →M →C →N →E →P ，选项A 正确；由题图得两磁场中轨迹圆的半径比为1∶2，由半径r ＝mv qB 可得B 1B 2＝2，选项C 错误，选项D 正确；运动一周的时间t ＝T 1＋T 22＝2πm B 1e ＋πm B 2e ＝4πm eB 1，选项B 错误．4. (洛伦兹力作用下带电体的运动)带电油滴以水平速度v 0垂直进入磁场，恰做匀速直线运动，如图7所示，若油滴质量为m ，磁感应强度为B ，则下述说法正确的是( )图7A ．油滴必带正电荷，电荷量为mgv 0BB ．油滴必带正电荷，比荷q m ＝qv 0BC ．油滴必带负电荷，电荷量为mg v 0BD ．油滴带什么电荷都可以，只要满足q ＝mg v 0B答案 A解析 油滴水平向右做匀速直线运动，其所受的洛伦兹力必向上与重力平衡，故带正电荷，其电荷量为q ＝mg v 0B ，A 正确，C 、D 错误；比荷q m ＝gv 0B，B 错误．(时间：60分钟)题组一 对洛伦兹力方向的判定1．在以下几幅图中，对洛伦兹力的方向判断不正确的是( )答案 C2.一束混合粒子流从一发射源射出后，进入如图1所示的磁场，分离为1、2、3三束，则不正确的是 ( )图1A．1带正电B．1带负电C．2不带电D．3带负电答案 B解析根据左手定则，正电荷粒子左偏，即1；不偏转说明不带电，即2；带负电的粒子向右偏，说明是3，因此答案为B.题组二对洛伦兹力特点及公式的理解应用3．(多选)带电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下面说法中正确的是( )A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同B．如果把＋q改为－q，且速度反向、大小不变，则洛伦兹力的大小不变C．洛伦兹力方向一定与电荷运动方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直D．粒子只受到洛伦兹力的作用，不可能做匀速直线运动答案BD4．如图2所示，一束电子流沿管的轴线进入螺线管，忽略重力，电子在管内的运动应该是( )图2A ．当从a 端通入电流时，电子做匀加速直线运动B ．当从b 端通入电流时，电子做匀加速直线运动C ．不管从哪端通入电流，电子都做匀速直线运动D ．不管从哪端通入电流，电子都做匀速圆周运动 答案 C解析 电子的速度v ∥B ，F 洛＝0，电子做匀速直线运动． 题组三 带电粒子在磁场中的圆周运动5．处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动．将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值( ) A ．与粒子电荷量成正比 B ．与粒子速率成正比 C ．与粒子质量成正比 D ．与磁感应强度成正比 答案 D解析 假设带电粒子的电荷量为q ，在磁场中做匀速圆周运动的周期为T ＝2πmqB，则等效电流i ＝q T ＝q 2B 2πm，故答案选D. 6．如图3所示，ab 是一弯管，其中心线是半径为R 的一段圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，方向垂直纸面向里．有一束粒子对准a 端射入弯管，粒子的质量、速度不同，但都是一价负粒子，则下列说法正确的是( )图3A ．只有速度大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管B ．只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管C ．只有质量和速度乘积大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管D ．只有动能大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管 答案 C解析 由R ＝mv qB可知，在相同的磁场，相同的电荷量的情况下，粒子做圆周运动的半径决定于粒子的质量和速度的乘积．7．如图4所示，水平导线中有电流I 通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I 的方向相同，则电子将( )图4A ．沿路径a 运动，轨迹是圆B ．沿路径a 运动，轨迹半径越来越大C ．沿路径a 运动，轨迹半径越来越小D ．沿路径b 运动，轨迹半径越来越小 答案 B解析 由左手定则可判断电子运动轨迹向下弯曲．又由R ＝mv qB知，B 减小，R 越来越大，故电子的径迹是a .故选B.8．(多选)如图5所示，一带电粒子(重力不计)在匀强磁场中沿图中轨迹运动，中央是一薄绝缘板，粒子在穿过绝缘板时有动能损失，由图可知( )图5A ．粒子的运动方向是abcdeB ．粒子带正电C ．粒子的运动方向是edcbaD ．粒子在下半周期比上半周期所用时间长答案 BC9.如图6所示，在x 轴上方有磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里的匀强磁场．x 轴下方有磁感应强度大小为B /2，方向垂直纸面向外的匀强磁场．一质量为m 、电荷量为－q 的带电粒子(不计重力)，从x 轴上O 点以速度v 0垂直x 轴向上射出．求：图6(1)射出之后经多长时间粒子第二次到达x 轴？(2)粒子第二次到达x 轴时离O 点的距离．答案 (1)3πm qB (2)6mv 0qB解析 粒子射出后受洛伦兹力做匀速圆周运动，运动半个圆周后第一次到达x 轴，以向下的速度v 0进入x 轴下方磁场，又运动半个圆周后第二次到达x 轴．如图所示．(1)由牛顿第二定律qv 0B ＝m v 20R① T ＝2πR v 0② 联立①②解得T 1＝2πm qB ，T 2＝4πm qB， 粒子第二次到达x 轴需时间：t ＝12T 1＋12T 2＝3πm qB. (2)由①式可知R 1＝mv 0qB ，R 2＝2mv 0qB， 粒子第二次到达x 轴时离O 点的距离x ＝2R 1＋2R 2＝6mv 0qB. 题组四 洛伦兹力作用下带电体的运动10．(多选)如图7所示，套在足够长的绝缘粗糙直棒上的带正电小球，其质量为m ，带电荷量为q ，小球可在棒上滑动，现将此棒竖直放入沿水平方向且相互垂直的匀强磁场和匀强电场中，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向外，设小球的电荷量不变，小球由静止下滑的过程中( )图7A．小球加速度一直增加B．小球速度一直增加，直到最后匀速C．棒对小球的弹力一直减小D．小球所受洛伦兹力一直增大，直到最后不变答案BD解析小球由静止开始下滑，受到向左的洛伦兹力不断增加．在开始阶段，洛伦兹力小于向右的电场力，棒对小球有向左的弹力，随着洛伦兹力的增加，棒对小球的弹力减小，小球受到的摩擦力减小，所以在竖直方向上小球受重力和摩擦力作用做加速运动，其加速度逐渐增加．当洛伦兹力等于电场力时，棒对小球没有弹力，摩擦力随之消失，小球在竖直方向上受到的合力最大，加速度最大．随着速度继续增加，洛伦兹力大于电场力，棒对小球又产生向右的弹力，随着速度增加，洛伦兹力增加，棒对小球的弹力增加，小球受到的摩擦力增加，于是小球在竖直方向受到的合力减小，加速度减小，小球做加速度减小的加速运动，当加速度减小为零时，小球的速度不再增加，以此时的速度做匀速运动．综上所述，选项B、D正确．11．如图8所示，一带电小球质量为m，用丝线悬挂于O点，并在竖直平面内摆动，摆动过程中无机械能损失，最大摆角为60°，水平磁场垂直于小球摆动的平面，当小球自左方通过最低点时，悬线上的张力为0.5mg，则小球自右方通过最低点时悬线上的张力为多少？图8答案 3.5mg解析设线的长度为L，小球经过最低点时速率为v.根据机械能守恒定律得：mgL (1－cos 60°)＝12mv 2①得：v ＝gL ② 小球自左方摆至最低点时，有：F ＋qvB －mg ＝m v 2L③ 小球自右方摆至最低点时，有：F ′－mg －qvB ＝m v 2L④ 又由题意得F ＝0.5mg ⑤由②③④⑤得：F ′＝3.5mg .12.如图9所示，质量为m ＝1 kg 、电荷量为q ＝5×10－2C 的带正电的小滑块，从半径为R＝0.4 m 的光滑绝缘14圆弧轨道上由静止自A 端滑下．整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中．已知E ＝100 V/m ，方向水平向右；B ＝1 T ，方向垂直纸面向里．求：(g ＝10 m/s 2)图9(1)滑块到达C 点时的速度；(2)在C 点时滑块所受洛伦兹力．(3)滑块到达C 点时对轨道的压力．答案 (1)2 m/s ，方向水平向左 (2)0.1 N ，方向竖直向下 (3)20.1 N ，方向竖直向下 解析 以滑块为研究对象，自轨道上A 点滑到C 点的过程中，受重力mg ，方向竖直向下；电场力qE ，方向水平向右；洛伦兹力F 洛＝qvB ，方向始终垂直于速度方向．(1)滑块从A 到C 过程中洛伦兹力不做功，由动能定理得mgR －qER ＝12mv 2C得v C ＝ 2（mg －qE ）R m＝2 m/s ，方向水平向左． (2)根据洛伦兹力公式得：F 洛＝qv C B ＝5×10－2×2×1 N ＝0.1 N ，方向竖直向下． (3)在C 点根据牛顿第二定律：N －mg －F 洛＝m v 2R代入数据得：N ＝20.1 N根据牛顿第三定律，滑块对轨道的压力为20.1 N ，方向竖直向下。