稳恒电流与磁场
11稳恒电流和稳恒磁场习题解答讲解
第十一章 稳恒电流和稳恒磁场一 选择题1. 边长为l 的正方形线圈中通有电流I ，此线圈在A 点（如图）产生的磁感应强度B 的大小为（ ）A. l I μπ420B. lIμπ20 C .lIμπ20 D. 0 解：设线圈四个端点为ABCD ，则AB 、AD 线段在A 点产生的磁感应强度为零，BC 、CD 在A 点产生的磁感应强度由)cos (cos π4210θθμ-=dIB ，可得 lIl IB BC π82)2πcos 4π(cosπ400μμ=-=，方向垂直纸面向里lI l I B CD π82)2πcos 4π(cos π400μμ=-=，方向垂直纸面向里合磁感应强度 lIB B B CD BC π420μ=+=所以选（A ）2. 如图所示，有两根载有相同电流的无限长直导线，分别通过x 1=1、x 2=3的点，且平行于y 轴，则磁感应强度B 等于零的地方是：( )A. x =2的直线上B. 在x >2的区域C. 在x <1的区域D. 不在x 、y 平面上 解：本题选（A ）3. 图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I ，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大？( )A. Ⅰ区域B. Ⅱ区域 C ．Ⅲ区域D ．Ⅳ区域E ．最大不止一个解：本题选（B ）选择题2图Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 选择题3图选择题1图4. 如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ，则由安培环路定理可知：（ ）A. ∮L B ·d l =0，且环路上任意一点B =0B. ∮L B ·d l =0，且环路上任意一点B ≠0C. ∮L B ·d l ≠0，且环路上任意一点B ≠0D. ∮L B ·d l ≠0，且环路上任意一点B =常量解：本题选（B ）5. 无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流，设圆柱体内（r <R ）的磁感应强度为B i ，圆柱体外（r >R ）的磁感应强度为B e ，则有：（ ）A. B t 、B e 均与r 成正比B. B i 、B e 均与r 成反比C. B i 与r 成反比，B e 与r 成正比D. B i 与r 成正比，B e 与r 成反比解：导体横截面上的电流密度2πR IJ =，以圆柱体轴线为圆心，半径为r的同心圆作为安培环路，当r <R ，20ππ2r J r B i ⋅=⋅μ，20π2R IrB i μ=r <R ，I r B e ⋅=⋅0π2μ， rIB e π20μ=所以选（D ）6. 有三个质量相同的质点a 、b 、c ，带有等量的正电荷，它们从相同的高度自由下落，在下落过程中带电质点b 、c 分别进入如图所示的匀强电场与匀强磁场中，设它们落到同一水平面的动能分别为E a 、E b 、E c ，则（ ）A. E a <E b =E cB. E a =E b =E cC. E b >E a =E cD. E b >E c >E a解：由于洛伦兹力不做功，当它们落到同一水平面上时，对a 、c 只有重力做功， 则E a =E c ，在此过程中，对b 不仅有重力做功，电场力也要做正功，所以E b >E a =E c所以选（C ）7. 图为四个带电粒子在O 点沿相同方向垂直于磁力线射入均匀磁场后的偏转轨迹的照片，磁场方向垂直纸面向外，四个粒子的质量相等，电量大小也相等，则其中动能最大的带负电的粒子的轨迹是：( )A. OaB. ObC. Oc D . Od解：根据B F ⨯=v q ，从图示位置出发，带负选择题7图c dba B O• B× × × × × × Ea bc 选择题6图 选择题4图电粒子要向下偏转，所以只有Oc 、Od 满足条件，又带电粒子偏转半径Bqm R v=，22k 22qB m E R =∴，质量相同、带电量也相等的粒子，动能大的偏转半径大，所以选Oc 轨迹所以选（C ）8. 如图，一矩形样品，放在一均匀磁场中，当样品中的电流I 沿X 轴正向流过时，实验测得样品A 、A '两侧的电势差V A -V A '>0，设此样品的载流子带负电荷，则磁场方向为：（ ）A ． 沿X 轴正方向B ．沿X 轴负方向C ．沿Z 轴正方向D ．沿Z 轴负方向 解：本题选（C ）9. 长直电流I 2与圆形电流I 1共面，并与其一直径相重合如图（但两者间绝缘），设长直电流不动，则圆形电流将：（ ）A. 绕I 2旋转B. 向左运动C. 向右运动D. 向上运动E. 不动 解：圆形电流左半圆和右半圆受到长直电流安培力的方向均向右，所以圆形电流将向右运动所以选（C ）二 填空题1. 成直角的无限长直导线，流有电流I =10A ，在直角决定的平面内，距两段导线的距离都是a =20cm 处的磁感应强度B = 。
稳恒电流的磁场
§10-3 磁场的高斯定理
一、磁感应线（B线）
为形象描述磁场分布情况，用一些假想的有方向 的闭合曲线—磁感应线代表磁场的强弱和方向。 磁感应线的特点：
是连续的，不会相交； 是围绕电流的一组闭合曲线，没有起点，没有 终点； 方向与电流方向成右手螺旋关系。
【规定】：
B
（1）磁感应线上任意一点的切向代
过圆面来计算： m BS cos B r 2 cos
第十章 稳恒电流的磁场
§10-4 安培环路定理
安培环路定理的表述：
在真空的稳恒磁场中，磁感应强度B沿任一闭合
路径L的线积分，等于μ0乘以该闭合路径所包围的 各电流的代数和，而与路径的形状和大小无关。
数学表达式 符号规定：
rr
Ñ B dl 0 Ii
保守场、有势场
rr
Ñ Bdl L
0 Ii
(穿过)
非保守场、无势场 （涡旋场）
安培环路定理的应用——求B
安培环路定理是普遍成立的，但用其求磁感应强度B时则 要求磁场分布具有对称性，才能把B从积分号中拿出来。
步骤：
①分析磁场的对称性，这是解决问题的关键；只有当电流 的分布具有对称性时，磁场分布也具有对称性，才能满足 用该定律求磁感应强度B的条件； ②适当选取积分闭合回路L（含方向）；使回路L上各点的 磁感应强度B的方向沿该点的切线方向，且大小相等（或 一部分上相等，其余部分为零），这样才能把B提到积分 号外，从而便于计算B ； ③求∑I内 （服从右手螺旋为正，反之为负）； ④由安培环路定理求解B，并说明方向。
l
i
I n 1
L
I1
穿过回路L的电流方向与L的环绕方向
服从右手关系的 I 为正，否则为负。
第08章稳恒磁场00-电流与电动 比奥萨伐尔定律
cos sin R
dBx 4π r
3
o
r
2 2
x
0 IRdl
r R x
2
2
0 IR 2 π R Bx dl 3 0 4πr
0 I R 2 3 2 r
0 I R Bx 3 2 2 （x2 R2）
B Bxi
18
B Bxi
讨论:
（1）若
I
o
R
2
0 nI L B 0 nI cos 2 1/ 2 2 2 2 L / 4 R
（2）无限长的螺线管
L R
则：
即：1 π, 2 0
B 0nI
24
π （3）半无限长螺线管 1 , 2 0 2
1 B 0 nI 2
（4）磁感应强度的小的分布
dB
I
r r0 / sin y r0 ct g 2 dy r0d / sin 0 I dB sin d
4 π r0
o r0
y
*
dB
z
Id y
1
r
P
x
C
14
B dB
C
D
0 I
4 π r0
2
1
sin d
B 的方向沿 z 轴的负方向。
I
（2 ）
R B x 0 I 0 o B0 2R
I
（4） I R
o
（5）
0 I B0 2 R 2
R1
R2
R
o
（ 3）
B0
0 I
4R
I
I
稳恒电流的磁场的散度和旋度
从而得到
−
d dt
∫ ρdV
V
=
0
表示全空间的总电荷守恒。
毕奥-萨伐尔定律
∫ K
B
=
μ0
4π
V
′
K J(
x′) r3
×
rK
dV
′
K dB
K K r dB 垂直于JdV ′与
所形成的平面 rK
μ0是真空中的磁导率。
K JdV ′
μ0
=
4π
×107
N A2
磁场的矢势
( ) K
∇
×
⎛ ⎜
⎝
A g
⎞ ⎟ ⎠
),
求电荷分布为ρ(rK)=ρ0e−αr的电势和电场强度， 其中α为常数
=
g
KK
∇× A + A×(∇g )
g2
∇
×
K J(
xK′)
=
r(∇
×
K J(
xK′))
+
JK ( xK′)
×
(∇r
)
r
r2
K J(
xK′)
×
(∇r
)
=
r2
=
K J(
xK′)
×
K r
r3
磁场的矢势
∫ K
B
=
μ0
4π
V
′
K J (x′)
Kr 3
×
K r
dV
′
∫ = μ0 ∇ × J (x′) dV ′
∫V
∇⋅
G JdV
=
−∫V
∂ρ
dV ∂t
∇⋅
K J
+
∂ρ
稳恒电流的磁场
运动点电荷的磁场 r ) r µ 0 qv × r0 可证为： 可证为： B= 2 4πr
求运动点电荷的磁场公式。 例3 求运动点电荷的磁场公式。 r
r
r B
S
r θ qv
r I r µ 0 I d l × r0 r d 由： B = 2 qv 4π r d l = vd t ← dl → d Q nq ⋅ sv d t I= = = nqsv 线元中载流子数 : d N = ns d l dt dt
大学物理
第十五章稳恒电流的 稳恒电流的磁场 稳恒电流的
静磁场（或稳恒磁场） 静磁场（或稳恒磁场）——分布不随时间变化的磁场 分布不随时间变化的磁场 一 真空中的稳恒磁场及其规律 r 拉定律； 萨 拉定律 磁感应强度矢量 B 。 毕—萨—拉定律；磁场的高斯 定理；真空中的安培环路定理。 定理；真空中的安培环路定理。 已知稳恒电流分布 求稳恒磁场的分布的两种方法。 求稳恒磁场的分布的两种方法。 二 磁场对运动电荷及载流导体的作用 洛仑兹力公式； 安培定律。 洛仑兹力公式； 安培定律。 三 介质中的磁场及其规律 r 有介质存在时的安培环路定理。 磁场强度矢量 H 。 有介质存在时的安培环路定理。
r 的方向。 （1）磁感应线上任一点的切线方向∥该点的B 的方向。 ）磁感应线上任一点的切线方向∥ r 的大小。 （2）⊥通过单位面积的磁感应线数数值上等于该处B 的大小。 ）
作法（同电力线） 作法（同电力线） 磁感应线的性质（ 的反映） 磁感应线的性质（实为磁场性质 的反映） （1）磁感应线总是连续的。 ）磁感应线总是连续的。 （2）磁感应线为环绕电流的闭合曲线。 ）磁感应线为环绕电流的闭合曲线。
大小：当带电粒子的速 大小： Fm ,max 度垂直于该方位时， 度垂直于该方位时，受 B= 定义磁 力最大 Fm,max ，定义磁 q ⋅ V⊥ 感应强度的大小为 感应强度的大小为： r r 指向： 指向：定义 Fm ,max 与 q V ⊥ 的矢v r 量积方向（右手螺旋关系） 量积方向（右手螺旋关系）为 B q V⊥ 的指向 。
第十三章 稳恒电流的磁场
v Idl
L
r
ˆ r
v r v v µ Idl ×r B = ∫ dB= ∫ 3 L L4 π r
四、毕—萨定律应用 萨定律应用 r 1.载流直导线产生的B r r Idl 在P点产生dB,
X I
⊗ B 统一变量： x, α , r三个变量 统一变量： sinα = cos β
2 v Idl α v 方向：垂直版面向里 L r µ Idl sin α dB = 2 x Z 4π r β1 β µ Idxsinα B= ∫ o 2 a L 4 π r
I
θ
R
•
µ0I θ B= 2R 2 π
例：如图，电流I经过半无限长导线Ⅰ，半圆导线(半径为 R)Ⅱ，半无限长导线Ⅲ,求圆心O点的磁感应强度 B 。
微观本质： 微观本质：
1) 电流是电荷运动的结果；
2) 磁铁是环形电流的定向排列——安培分子 电流假说。
s
应用程序
N
v 二、磁感应强度 (B)
与描述电场类似， 与描述电场类似，运动电荷在磁场中受力的性质引入一 个磁感应强度。 个磁感应强度。
r r 运动电荷在磁场中受力最大： 运动电荷在磁场中受力最大：v ⊥ B
ZnCl2 NH3Cl
依靠某种与静电力完全不 同的力——非静电力。提 非静电力。 同的力 非静电力 供非静电力的装置称为电 源。
四、欧姆定律的微分形式
v j
n λ e γ 令： = v 2m v
2
v E
∆ s u∆ t
v u
γ 称为电导率
令：
v v j =γE
1
γ
= ρ称为电阻率
欧姆定律的微分形式
r n
dSn
v j
稳恒电流的磁场
将线圈置于磁场中，当磁场发生变化时，线圈中产生感应电流，并 受到磁场的作用力而发生旋转，实现电磁驱动。
霍尔效应实验
将导体置于磁场中，当电流通过导体时，在导体两侧产生电势差， 这种现象称为霍尔效应，可用于测量磁场强度。
电磁感应现象实验
法拉第实验
通过在导线线圈中切割磁感线，发现导线中产生 感应电流，即电磁感应现象。
稳恒电流的磁场
https://
REPORTING
• 磁场和电流的关系 • 稳恒电流产生的磁场 • 磁场对稳恒电流的作用 • 稳恒电流的磁场应用 • 实验与观察
目录
PART 01
磁场和电流的关系
REPORTING
WENKU DESIGN
安培环路定律
安培环路定律是描述磁场和电流之间关系的物理定律，它指出磁场和电流之间的 关系是线性的，即磁场是由电流产生的，并且电流的存在会导致周围空间中磁场 的形成。
电流在磁场中的受力分析
02
根据左手定则，可以判断电流在磁场中受到的力的方向。
电磁感应
03
当导线在磁场中做切割磁感线运动时，导线中会产生感应电动
势，从而产生感应电流。
PART 03
磁场对稳恒电流的作用
REPORTING
WENKU DESIGN
洛伦兹力
定义
洛伦兹力是指带电粒子在磁场中 所受到的力，其大小与带电粒子 的电荷量、速度和磁感应强度有
磁场对电流的作用力
磁场对电流的作用力是指电流在磁场中受到的力，这个力的 大小和方向取决于电流和磁场的相互位置和方向。
磁场对电流的作用力遵循安培定律，其数学表达式为： F=IBLsinθ，其中F表示作用力，I表示电流，B表示磁场强度，L 表示导线长度，θ表示电流和磁场方向的夹角。
稳恒电流的磁场
在一根载流直线上任意取一无限小 的直线，做一个矢量 I d l
Idl
大小：该小直线的长度乘以I
方向：该点直线上电流的方向
r
P
对空间任意点P，从 为 r 产生的磁场为
IddB，l到方P向的满位足置右矢手量
螺旋。
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21
引入电流元矢量 I d l 的物理意义
任意载流回路可设想为是由无限多个首 尾相接的电流元构成，
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结
计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加
原理
E
EiQi r Nhomakorabea4
0
ri3
（分立）
rdQ （连续）
Q 4 0r 3
2、可有
UUEE
U x
Ex
44
典型磁场的磁感应强度
典型电场的场强
电流元
dB
0
4
I
d
l
r
r3
载流长直导线
B
0I 4r
cos1
cos2
无限长载流 长直导线
34
用B-S Low求 B 的两种思路
1.从电流产生磁场的观点 求B
dB
u0
4
Idl r
r3
B dB
r:
从电流元指向场点 （视电流元为一个点）
：视电流元有一定长度
2.从电荷运动产生磁场的 观点求B
Br: 从4u运0 q动vr电3 r荷指向场点
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35
例2.求：直线电流I 的磁场分布。
安培力 磁力矩
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7
本章学习方法
对比
与静电场的研究方法类似 与静电场的研究结论对比
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稳恒电流与磁场
1、有一半径为R 的无限长圆柱形导体，沿其轴线方向均匀地通有稳恒电流I ，则在导体内距轴线为r 处的磁感应强度的大小B 1= ；导体外，距轴线为r 处的磁感应强度的大小B 2= 。
2、真空中两个电子相距为a ，以相同速度同向飞行，则它们相互作用的库仑力与洛伦兹力大小之比为 。
3、如图所示，一条长为0.5cm 的直导线沿Y 方向放置，通过沿Y 正向的电流I=10 A ，导线
所在处的磁感应强度0.3 1.20.5B i j k =-+ ，则该导线所受磁力F = 。
4、如图所示，a 、c 处分别放置无限长直载流导线，P 为环路L 上任一点，若把a 处的载流导线移至b 处，则（ ）
（1）
L B dl ∙⎰ 变，p B 变； （2）L B dl ∙⎰ 变，p B 不变； （3）L B dl ∙⎰ 不变，p B 不变； （4）L
B dl ∙⎰ 不变，p B 变
5、如图所示，一宽为a 的无限长薄金属板，自下而上均匀地通过电流I ，求：在薄板所在屏
幕上距板右侧为d 的p 点的磁感应强度P B 。
6、如图，一质子经加速电压U=5×105V 加速后，通过一磁感应强度B=0.51T ，方向垂直纸面向里，宽度D=10cm 的均匀磁场区域。
已知质子质量m=1.67×10-27kg ，电量e=1.6×10-19C 。
求：（1）圆周轨道半径R ：（2）质子脱离磁场时偏离初始运动方向的角度α。
7、试证明氢原子中的电子绕原子核作圆形轨道运动时的磁矩大小为212m P e r ω=
（式中e 为电子电量的绝对值，r 为轨道半径，ω为角速度）。