3 稳恒电流的磁场习题详解

电流 acb 边在 O 点的磁感应强度为
B3 = 2 ⋅
方向垂直平面向外。
2
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所以，三角形线框在中心 O 点的合磁感应强度为 0。 则，总电流在 O 点的磁感应强度为
B =
3 µ0 I ，方向垂直平面向里。 4π
O
3．在一根通有电流 I 的长直导线旁，与之共面地放着一个长、宽各为 a 和 b 的矩形线框，线框的长边与载流长直导线平行，且二者相距为 b，如图 3-5 所 示。在此情形中，线框内的磁通量 Φ = ______________。 答案：
3
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1．如图 3-7 所示，载流圆线圈通有电流为 I，求载流圆线圈轴线上某点
Y
P 的磁感应强度。
µ R 2I 答案： B = ，方向沿轴线。 2 2 ( R + x 2 )3 2
� π π � 解：电流元 Idl 与对应处 r 的夹角均为 ， sin = 1 ，则 2 2
Φ = Φ1 + Φ 2 =
µ0I µ0I + ln 2 4π 2π
4．如图 3-10 所示，一半径 R 的非导体球面均匀带电，面密度为 σ，若该球以通过球心的直径为轴用角速 度ω旋转，求球心处的磁感应强度的大小和方向。 答案： B = 2 µ0σω R ；方向沿轴向上。 3
解：利用圆形电流在轴线上产生的磁场公式 dB = 如图所示
B1 =
I1 I2 ，又由题意知 B1 = B2 ； , B2 = 2π d 2π 2d
I2
2d
再由图中几何关系容易得出，B 与 x 轴的夹角为 30º。 2．如图 3-2 所示，一半径为 R 的载流圆柱体，电流 I 均匀流过截面。设柱体内 （r < R）的磁感应强度为 B 1，柱体外（r > R ）的磁感应强度为 B 2 ，则 [ （A ）B1 、B2 都与 r 成正比； （B ）B1 、B 2 都与 r 成反比； （C）B1 与 r 成反比，B2 与 r 成正比； （D）B1 与 r 成正比，B 2 与 r 成反比。 答案：D 解：无限长均匀载流圆柱体，其内部磁场与截面半径成正比，而外部场等效于电流集 中于其轴线上的直线电流磁场，所以外部磁场与半径成反比。 3．关于稳恒电流磁场的磁场强度 H ，下列几种说法中正确的是 [ � （A ） H 仅与传导电流有关。
σ
r R
dq = σ 2π rdr
电流为 dI = fdq = f σ 2π rdr
q ） π R2
（其中 f =
ω ） 2π
图 3-8
在盘心所产生的磁感应强度的大小为
dB =
µ 0 dI = µ 0 nπσdr 2r
µ0ω q 2π R
每一载流圆环在盘心处的 dB 方向相同，故盘心处的合磁感应强度的大小为
�
I
�
a
b a
P
µ0 I
2π a
ln
a +b 。 b
图 3-3
解：如图所示，建立水平的坐标 x 轴，平片电流分割成无限个宽度为 dx，电流强度为 dx 的无限长直线电 流，在 P 点处的磁感应强度为
I a
dB =
µ0 I dx 2π a ( a + b − x)
所以，平片电流在 P 点的磁感应强度为
B = ∫ dB = ∫ µ0 f πσ dr = µ0 f πσ R =
0
R
方向沿轴线与电流成右手螺旋关系。 3．如图 3-9 所示，真空中一无限长圆柱形铜导体，磁导率为 µ 0 ，半径为 R， I 均匀分布，求通过 S（阴影 区）的磁通量。 答案： Φ =
µ0 I µ0 I + ln 2 。 4π 2π
2b
µ0I µ Ia ⋅ adx = 0 ln 2 2π x 2π
4 ．电子 在磁感应 强度为 B 的均 匀磁场中 沿半径为 R 的圆 周运动， 电子运动 所形成 的等效圆 电流
�
I = ______________；等效圆电流的磁矩 Pm = ______________。(已知电子电量的大小为 e，电子的质量为
Z
� Idl
I
o
R
90 �
r x
θ
dB⊥
� dB
P dB//
图 3-7
x
dB =
� 由对称性分析，各 dB 的垂直轴线的分量全部抵消，只剩下平行于轴线的分量：
µ Idl 4π r 2
dB // = dB sin θ = dB
所以
R r
B = ∫ dB// = ∫
2π R
0
µ IdlR µ R 2 I µ R 2I = = ，方向沿轴线。 3 3 2 4π r 2 r 2 (R + x 2 )3 / 2
则，圆筒转动形成圆电流在内部的磁感应强度为（类似于无限长直螺线管） B = µ 0 I = µ 0σ Rα t
1
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5．能否用安培环路定律，直接求出下列各种截面的长直载流导线各自所产生的磁感应强度 B 。 （1）圆形 截面； （2）半圆形截面； （3）正方形截面 [ （A ）第（1）种可以，第（2） （3）种不行； （B ）第（1） （2）种可以，第（3）种不行； （C）第（1） （3）种可以，第（2）种不行； （D）第（1） （2） （3）种都可以。 答案：A 解：利用安培环路定理时，必须要求所选环路上磁感应强度具有对称性，B 可作为常数提出积分号外，否 则就无法利用该定律来计算 B 。 二、填空题 1．如图 3-3 所示，一无限长扁平铜片，宽度为 a，厚度不计，电流 I 在铜片上均匀 分布。求铜片外与铜片共面、离铜片右边缘为 b 处的 P 点的磁感应强度 B 的大 小 答案： 。 ]
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习题三 一、选择题 1．如图 3-1 所示，两根长直载流导线垂直纸面放置，电流 I1 =1A ，方向垂直纸面向外；电流 I2 =2A，方向 � � y 垂直纸面向内，则 P 点的磁感应强度 B 的方向与 x 轴的夹角为[ ] B1 � （A ）30˚； （B ）60˚； （C ）120˚； （D）210˚。 B d 答案：A I1 � P B2 解：如图，电流 I1，I2 在 P 点产生的磁场大小分别为
v e2 B = 2π R 2π m
Pm = IS =
e2 B e2 BR 2 ⋅ π R2 = 2π m 2m
5．如图 3-6 所示，无限长直导线在 P 处弯成半径为 R 的圆，当通以电流 I 时，则在圆 心 O 点的磁感强度大小等于 答案： ；方向 。
I P
R O I
� � 解：圆心 O 处的磁场是圆电流在圆心处产生的磁场 B1 与场无限长直线电流的磁场 B 2 度大小为
I a b a P a
B =∫
a
0
µ0 I µ I a +b dx = 0 ln 2π a ( a + b − x) 2π a b
图 3-3
2．在真空中，电流 I 由长直导线 1 沿垂直 bc 边方向经 a 点流入一电阻均匀分布 的正三角形线框，再由 b 点沿平行 ac 边方向流出，经长直导线 2 返回电 源，如图 3-4 所示。三角形框每边长为 l ，则在该正三角框中心 O 点处磁 感应强度的大小 B = ______________。 答案： B =
m)。
答案： I =
� 解：电子在磁感应强度为 B 的均匀磁场中沿半径为 R 的圆周运动，电子所受的磁场力为电子做圆周运动 的向心力，即
e 2B e2 BR2 ； Pm = 。 2π m 2m
mv 2 eBR = evB ，所以 v = m R
电子运动所形成的等效圆电流为 等效圆电流的磁矩为
I = e ⋅ f = e⋅
µ0 r 2 dI （见计算题 1） 2 R3 dI = σ dSf ，而 dS = 2π rdl = 2π R sin θ ⋅ Rd θ ω ，所以 2π dI = σ dSf = σ 2π R 2 sin θd θ ω 2π
图 3-10
又 r = R sin θ ， f =
B = ∫ dB =
0
� � R µ I µ I 0 Φ1 = ∫ B1 ⋅ ds =∫ B1 ds = ∫ rdr = 0 0 2π R2 4π
在导体外阴影部分的磁通量为
� � 2R µ I µ I 0 Φ 2 = ∫ B2 ⋅ ds =∫ B2 ds = ∫ dr = 0 ln 2 R 2π r 2π 所以，通过 S（阴影区）的总磁通量为
�
�
�
��Biblioteka ]R （A ）0； （B） µ0σ Rα t ； （C ） µ0 σ αt ； r
答案：B 解：圆筒转动时形成电流，单位长度圆筒的电流强度为 在 t 时刻圆筒转动的角速度为
r （D） µ0 σ αt 。 R
I = σ ⋅ 2πR ⋅
ω = σR ω 2π
ω = αt I = σ Rαt
所以，t 时刻单位长度圆筒的电流强度为
b
I
2
3µ 0 I 。 4π
1 方向垂直平
O I
a e
图 3-4
c
解：长直线电流 1a 在 O 点的磁感应强度为 0； 长直线电流 b2 在 O 点的磁感应强度为 B1 = 面向里； 电流 ab 边和 acb 边的电流强度分别为 I 和 I ； 3 3 电流 ab 边在 O 点的磁感应强度为（ β1 = −60°, β2 = 60 ° ） 2 1
2．一个塑料圆盘，半径为 R ，电荷 q 均匀分布于表面，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为ω。 求圆盘中心处的磁感应强度。