组合数学论

a,b : integer; procedure init; begin
clrscr; repeat write ('a='); readln(a); until(a>1)and(a<=maxn); repeat write ('b='); readln(b); until(b>1)and(b<=maxn); end; procedure main; var i,j begin : integer; { 建立递归边界}
A1 A2 Am
= S Ai
i 1 m
{1, 2 ,, n} 的2组合
A A
i
j

{1, 2,, n} 的3组合
A A
i
j
Ak (1) m A1 A2 Am
例 1： （足球胜利问题）获胜球队的 n 个球迷把他们的帽子抛向空中，帽子随便返回， 一顶帽子回到 n 个球迷中的一个， 恰好有 k 个球迷取得他们自己返回的帽子有多少种形式？ 分析：设 h(n,k)是选取 k 个幸运的帽子所有者的方式，显然有 n h(n, k ) k h(n k ,0) 事实上，k 顶帽子回归它的所有者，余下的 n-k 顶帽子都未回归它的所有者。我们引 入错排的定义：改变每一项原先位置的排列则称为错排列，显然 h(n-k,0)就是一个错排列。 N 个元素的错排列记 n 则 h(n-k,0)=（n-k） 下面我们引用容斥原理来计算 n 设 I={1,2,„,n 的所有全排列} 显然|I|=n!； I 的子集 Si={数 i 排在 I 位置上的全排列}。因数字 I 不动，所以|Si|=(n-1)!(i=1,2,…,n)； 同理， Si1 Si 2 Si 3 Sik 表示 i1 ， i 2 ，…， i k 位置上的全排列的集合，这就是说， 在 1,2,…,n 中除了 i1 ， i 2 ，…， i k 这 k 个数被固定外，其余 n-k 个数可以任意排列，所以
S i1 S i 2 S i 3 S ik 就相当于 n-k 个数全排列的个数，即 S i1 S i 2 S i 3 S ik =(n-k)!
( 1 i1 i2 ik n, k 1,2,, n ) 同时满足题设条件的排列个数 Dn 应等于 S1 S2 Sn ，由容斥原理一可得
间均为蓝边，即 v2 v3 v4 是一蓝色三角形。 由例 3，我们将指出 Ramsey 数的概念：对任意给定的两个整数 a 和 b，如果存在最小 的正整数 r(a,b)，使得当 N≥r(a,b)时，对 KN 任意进行红、蓝两边着色，KN 中均有红色 Ka 或蓝色 Kb，则 r(a,b)称为 Ramsey 数。 Ramsey 数(语言实现)：
program ramsey uses crt; const maxn = 50; type rtype = array[1..maxn,1..maxn] of integer; var r : rtype; {ramsey 数组} {ramsey 数的两个参数} {输入 ramsey 数的两个参数}
Dn I
1 i n
S
i
(1)k
i1 i k
S
i1
Si 2 Sik (1)n 1 S1 S2 Sn
n!C (n,1)(n 1)!C (n,2)(n 2)! (1)k C (n, k )(n k )! (1)n 1C (n, n) 0!
第 13 章
组合数学论
组合数学是研究离散对象的科学，其研究的主要内容是依据一定的规则来安排某些事 物的有关数学问题。大致可分为以下四个方面： 1．存在性问题 常用的方法有：鸽巢原理、递归方法、生成函数法等； 2．计数问题 常用的方法有：容斥理、Polya 原理等； 3．算法构造问题 如：组合设计； 4．最优化问题 常用方法有线性规划和动态规划等。
13.1
鸽笼原理
鸽巢原理，又名抽屉原理或鞋盒原理，可用于判断是否存在给定性质的对象。若鸽巢 原理的条件成立， 则存在满足条件的对象， 但鸽巢原理并不能指出这样的对象怎样去寻找， 或是在哪里。 第一种形式：如果 n 只鸽子飞入 k 个巢且 k n ，那么某些巢包含至少两只鸽子。 第二种形式：如果 f 是一个从有限集合 X 到有限集合 Y 的函数且 X Y ,那么对于某 些 x1 , x2 X且x1 x2 ，有 f ( x1 ) f ( x2 )
#include <stdio.h> #define BOARD_SIZE 4 int board[BOARD_SIZE][BOARD_SIZE]; // c1, r1: 棋盘左上角的行号和列号 // c2, r2: 特殊方格的行号和列号 // size = 2 ^ k void chessboard(int r1, int c1, int r2, int c2, int size) { if(1 == size) return; int half_size; static int domino_num = 1; int d = domino_num++; half_size = size / 2; if(r2 < r1 + half_size && c2 < c1 + half_size) //特殊方格在左上角子棋盘 { chessboard(r1, c1, r2, c2, half_size);
n!(1 1 1 1 ) 1! 2! n!
·184·
第 13 章 组合数学论
因此， h(n, k ) (n k ) ¡ = (n k )![1 = 例 2：棋盘覆盖问题
n k
n k
1 1 1 (1) n k ] 1! 2! (n k )!
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n 第三种形式： 如果 f 是一个从有限集合 X 到有限集合 Y 的函数， 且 X n, Y m, k ， m
那么有至少 k 个值 a1 , a2 ,, ak X ，使得
f (a1 ) f (a2 ) f (ak )
证明： （第三种形式） 设 Y { y1 , y 2 ,, y m } ，假设结论错误，那么至多有 k-1 个值
m m
n n 矛盾。 m
m n 的最小整数。
例 1：列表中有 200 个物品，每个物品的属性为“可用”或“不可用” 。可用物品共有 各 110 个，证明至少存在两个物品，在列表中的编号之差恰好为 19。 证明： 设 a1 ,, a110 为可用物品的标号， 显然有 1 ai 200（ i, j 1,2,110 ） 且 ai a j ， 求这序列 a1 19, a2 19,, a110 19 ，显然有 20 ai 19 219 ，且
n! 1 1 1 [1 (1) nk ] k! 1! 2! (n k )!
问题描述 在一个 2k×2k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊 方格。棋盘覆盖要求用 4 中 L 型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何 2 个 L 型骨牌不得重复覆盖。 算法描述： 分治法求解棋盘覆盖问题的技巧在于划分棋盘，使划分后的子棋盘的大小相同，并且 每个子棋盘均包含一个特殊方格，从而将原问题分解为规模较小的棋盘覆盖问题。 K>0 时，可将 2k×2k 的棋盘划分为 4 个 2k×2k 的子棋盘，这样划分后，由于原棋盘只有 一个特殊方格，其余 3 个子棋盘中没有特殊方格。为了将这 3 个没有特殊方格的子棋盘转 化为特殊棋盘，以便采用递归方法求解，可以用一个 L 型骨牌覆盖这 3 个较小棋盘的会合 处。从而将原问题转化为 4 个较小规模的棋盘覆盖问题。递归的使用这种划分策略，直至 将棋盘分割为 1×1 的子棋盘。 源代码：
ai 19 a j 19 （ i, j 1,2,110 ） a1 ,, a110 ，a1 19, a2 19,, a110 19 共有 220 个数， 但这 220 个数取值于[1， 219]，
根据鸽巢原理， 至少存在两个数相等， 由于 a1 ,, a110 两两不等，a1 19, a2 19,, a110 19 两两不等，则一定存在 ai a j 19 ，即至少存在两个物品，在列表中的编号之差恰好为 19。 例 2： （Ramsey 问题） 任何 6 个人之中，则或 3 个人互相认识，则或互相不认识。 分析：以 6 个顶点分别代表 6 个人，如果两人认识，则在相应的两个顶点间连一红边， 否则在相应的两点间连一蓝边，则上述的 Ramsey 问题等价于下面的命题。 命题：对 6 个顶点的完全图 K6 任意进行红、蓝两边着 色，都存在一个红色三角形或一个蓝色三角形。 证 明 ： 设 v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 是 K6 的 6 个 顶 点 ， ·182·
第 13 章 组合数学论
3 条边同 v1与v2 , v3 , v4 , v5 , v6 所连的 5 条边着红色或蓝色。由鸽巢原理知，其中至少有 2 色，不妨设 v1与v2 , v3 , v4 所连的 3 条边均为红色，如右图所示， 5
v 2 , v3 , v 4 若 v2 , v3 , v4 间有一条红边， 不妨设为 v 2 v3 ， 则 v1v2 v3 是一红色三角形。 否则，
x X 且 f ( x) y1 ，有至多 k-1 个值 x X 且 f ( x) y 2 ，„，有至多 k-1 个值 x X 且
f ( x) y m ，因此在 f 的定义域 X 中至多 m(k-1)个成员，但 m(k 1) m
鸽巢原理还可以描述为： 1．把 n+1 个物品放入 n 个盒子中，那么至少有一个盒子有两个或更多的物品。 2． 设 q1 , q2 ,, qn 都是正整数， 如果把 q1 q2 qn n 1 个物品放入 n 个盒子中， 那么或者第 1 个盒子至少包含 q1 个物品，或者第 2 个盒子至少包含 q2 个物品，„，或者 第 n 个盒子至少包含 qn 个物品。 3．若将 n(r-1)+1 个物品放入 n 个盒子中，则至少有一个盒子中有 r 个物品。 m m2 mn 4．设 m1 , m2 ,, mn 是 n 个整数，而且 1 r 1 ，则 m1 , m2 ,, mn 中至 n 少有一个数不少于 r。 5． 若将 m 个物品加入 n 个盒子中， ， 则至少有一个盒子中有不少于 个物品， 其中 n n 是不少于