ly4线性代数,数值积分
线性代数方程组的数值解法讨论
线性代数方程组的数值解法讨论解线性方程组的方法，主要分为直接方法和迭代方法两种。
直接法是在没有舍入误差的假设下能在预定的运算次数内求得精确解。
而实际上，原始数据的误差和运算的舍入误差是不可以避免的，实际上获得的也是近似解。
迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确解的序列。
对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，因此比较受工程人员青睐。
小组成员本着工程应用，讨论将学习的理论知识转变为matlab 代码。
讨论的成果也以各种代码的形式在下面展现。
1 Jacobi 迭代法使用Jacobi 迭代法，首先必须给定初始值，其计算过程可以用以下步骤描述： 步骤1 输入系数矩阵A ，常熟向量b ，初值(0)x ，误差限ε，正整数N ，令1k =.步骤2 (0)11ni i ij jj ii j i x b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，(0)j x 代表(0)x 的第j 个分量。
步骤3 计算11ni i ij j j ii j i y b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，判断1max i i i n x y ε≤≤-<，如果是，则结束迭代，转入步骤5；否则，转入步骤4。
步骤4 判断k N =？如果是，则输出失败标志；否则，置1k k =+，i i x y ⇐，1,2,,i n =，转入步骤2。
步骤5 输出12,,n y y y 。
雅可比迭代代码function [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)% jacobi 迭代法 计算线性方程组% tol 为输入误差容限，x0为迭代初值max1= 300; %默认最多迭代300，超过要300次给出警告 D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1); B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f;k=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=B*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代超过300次，方程组可能不收敛'); return; end%[k x'] %显示每一步迭代的结果 End2 高斯赛德尔迭代由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量(1)k i x +时，用最新分量11()k x +，12()k x +…(1)1k i x +-代替旧分量)1(k x ', )2(k x …)3(k x 就得到高斯赛德尔迭代格式，其数学表达式为：1(1)(1)()111(1,2,,)i n k k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x i n a -++==+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∑∑具体形式如下：()()()(1)()()()11221331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)(1)112233,11111k k k k n n k k k k n n k k k k k n n n n n n n n nnx a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ++++++++--=----+=----+⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-----+矩阵形式表示为：()(1)1(1)()(0,1,2,,),k k k k n +-+=++=x D Lx Ux b将(1)(1)()(0,1,2,,)k k k k n ++=++=Dx Lx Ux b 移项整理得： (1)1()1()()(0,1,2,,))k k x D L Ux D L b k n +--=-+-=记11(),()--=-=-M D L U g D L b ，则(1)()k k x x +=+M g高斯塞德尔迭代function [x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol)%高斯-塞德尔迭代法 计算线性方程组 % tol 为误差容限max1= 300; %默认最高迭代300次D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; x=G*x0+f;k=1; while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=G*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代次数太多，可能不收敛'); return; end% [k,x'] %显示每一步迭代结果 End3 超松弛迭代法在工程中最常遇到的问题便是线性代数方程组的求解,而线性代数方程组的求解一般可以分为两类,一类是直接法(精确法),包括克莱姆法则方法、LD 分解法等，另一类是迭代法（近似法），包括雅克比迭代法、高斯迭代法、超松弛迭代法等。
线性代数四阶知识点总结
线性代数四阶知识点总结1. 向量和矩阵•向量：向量是一种有序集合，可以表示为n x 1 的矩阵。
向量的加法、减法和数量乘法满足特定的运算规则。
•矩阵：矩阵是二维数组，具有行和列的结构。
可以表示为 m x n 的形式，其中 m 是矩阵的行数，n 是列数。
2. 线性方程组•线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合。
每个方程都可以写成如下形式：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b其中a1, a2, …, an 是已知常数，x1, x2, …, xn 是未知变量，b 是常数。
•线性方程组的解：一个线性方程组可能有无穷多个解、唯一解或者无解。
通过高斯消元法、矩阵求逆或克拉默法则等方法可以求解线性方程组。
3. 矩阵运算•矩阵加法：两个矩阵的加法是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
•矩阵减法：两个矩阵的减法是将对应位置的元素相减得到新的矩阵。
•矩阵数量乘法：将矩阵的每个元素都乘以一个常数得到新的矩阵。
•矩阵乘法：矩阵乘法是将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行内积运算得到新的矩阵。
4. 线性变换•线性变换：线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法的性质。
•线性变换的矩阵表示：对于一个线性变换，可以找到一个矩阵使得将原向量空间中的向量乘以该矩阵得到新的向量空间中的向量。
•线性变换的特性：线性变换保持向量的线性组合和零向量不变。
5. 特征值和特征向量•特征值和特征向量：对于一个方阵 A，如果存在一个非零向量 v 和一个实数λ，使得Av = λv，则λ 是 A 的特征值，v 是对应于特征值λ 的特征向量。
•特征值和特征向量的计算：通过求解线性方程组 (A - λI)v = 0 可以得到特征值和特征向量。
6. 行列式•行列式：行列式是一个标量值，用于判断一个矩阵的线性相关性和可逆性。
•行列式的计算：对于一个 n x n 的矩阵，行列式的计算涉及到对矩阵的元素进行排列组合并进行运算。
常微分方程数值解法-欧拉法、改进欧拉法与四阶龙格库塔法常微分方程数值解法
y( xn1)
y( xn
Байду номын сангаас
h)
y(xn )
hy'( xn )
h2 2!
y''( )
进一步: 令
h2 y( xn ) hy'( xn ) 2! y''( xn )
常微分方 yn1 y( xn1 ) , yn y( xn )
程数值解
法-欧拉法 yn1 yn hf ( xn , yn ) h2
、改进欧 y( xn1 ) yn1
2
max y''( x)
a xb
拉法和四
三、Euler方法
已 知 初 值 问 题 的 一 般 形式 为:
dy
dx
f (x, y)
a xb
(1)
y( x0 ) y0
常微分方 用差商近似导数 程数值解 问题转化为
yn1 yn dy
h
dx
法-欧拉法 yn1 yn hf ( xn , yn )
法-欧 y(拉0) 法1
、改进欧
拉法和四
四、几何意义
由 x0 , y0 出发取解曲线 y yx 的切线（存在！），则斜率
dy
f x0, y0
dx x y
,
0
0
常微分方 由于 f x0, y0 及 x0, y0 已知，必有切线方程。
由点斜式写出切程线方数程：值解
法、-改欧进拉欧法 ddxy y y0 x x0
常微分方 程数值解 能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,
而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达
法-欧拉法 式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程
常微分方程的积分方程表示法
常微分方程的积分方程表示法常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是数学中的一类重要问题。
它描述了在随着时间变化而发生的物理现象中，某一物理量与时间之间的关系。
这类方程通常被用来描述生物学、经济学和物理学等领域的现象。
为了求解这类问题，数学家们首先会将微分方程转化为积分方程，从而使得求解变得更加容易。
积分方程与微分方程的联系积分方程是数值积分方法、函数逼近、数值分析中一种重要的数学工具。
它用积分形式表示了某些物理量与自变量之间的关系。
要理解积分方程与微分方程之间的联系，需要先了解微分方程。
微分方程通常写成下面这个样子：$$y’(x)=f(x,y(x))\tag{1}$$其中 $y(x)$ 表示微分方程的解，$f(x,y(x))$ 是某个已知函数。
微分方程通常解决的是“某一时刻的状态导致下一时刻的状态如何变化”的问题。
而积分方程通常涉及“某一时刻数据的积累导致整个过程如何变化”的问题。
在这个意义上，微分方程和积分方程的区别是时间粒度的不同。
针对某些微分方程，可以将它转化为积分方程。
有了积分方程，我们就可以直接对公式中的积分进行求解，而不需要去求解微分方程。
就像大学数学中的微积分学科，如果没有积分那么就没有导数一样的道理。
对积分方程的研究通常被称为积分方程学。
积分方程在数学、物理学和经济学等领域中经常使用。
示例下面我将通过一个简单的例子来展示如何将微分方程转化为积分方程。
考虑下面这个微分方程：$$y’(x)-x^2+y(x)=0$$为了将这个微分方程转化为积分方程，我们先将它变形：$$y’(x)=x^2-y(x)\tag{2}$$两边同时进行积分：$$\int^x_{x_0} y’(t) dt = \int^x_{x_0}(t^2-y(t))dt$$左边等于：$$\int^x_{x_0} y’(t) dt=[y(x)-y(x_0)]$$右边的积分等于：$$\int^x_{x_0}(t^2-y(t))dt=\int^x_{x_0}t^2dt-\int^x_{x_0}y(t)dt$$将两边的结果带入到上式中：$$y(x)-y(x_0)=\frac{x^3}{3}-\frac{x_0^3}{3}-\int^x_{x_0}y(t)dt\tag{3}$$这样我们就得到了一个积分方程。
4阶runge-kutta原理
4阶Runge-Kutta方法是一种数值求解常微分方程的方法，它通过迭代的方式逐步逼近微分方程的解。
本文将从原理、推导以及应用等方面对4阶Runge-Kutta方法进行详细解读。
1. 原理4阶Runge-Kutta方法是数值分析中常用的数值解常微分方程的方法之一。
它的核心思想是利用哈密顿显式中点法求解微分方程。
该方法通过将微分方程的解离散化，然后通过计算每一步的斜率来逐步逼近方程的解，最终得到数值解。
2. 推导假设我们要求解如下的一阶常微分方程初值问题：$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$y(x_0) = y_0$其中$f(x, y)$是关于$x$和$y$的函数，$y_0$是初值，$x_0$是初始点。
现在我们希望通过4阶Runge-Kutta方法来求解上述方程。
我们将自变量$x$进行离散化，即将其分成$n$个小区间，每个小区间长度为$h$，即$x_i = x_0 + ih$，$i=0,1,2,...,n$。
然后我们利用下面的迭代公式来计算每一步的$y$的近似值：$k_1 = h f(x_i, y_i)$$k_2 = h f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_1}{2})$$k_3 = h f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_2}{2})$$k_4 = h f(x_i + h, y_i + k_3)$$y_{i+1} = y_i + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$式中，$k_1$、$k_2$、$k_3$、$k_4$分别表示斜率的四个近似值，$y_{i+1}$表示下一个点的近似值。
3. 应用4阶Runge-Kutta方法在实际工程问题中有着广泛的应用。
它不仅可以用来解决一阶常微分方程，还可以推广到高阶微分方程、常微分方程组以及偏微分方程等更复杂的问题。
由于该方法的高精度和稳定性，它也被广泛应用于科学计算领域，例如物理学、工程学、生物学和经济学等各个领域。
高等代数第四版知识点
高等代数第四版知识点高等代数是大学数学课程中的重要一环。
它涵盖了许多关键的数学概念和技巧，不仅在纯数学领域有广泛的应用，而且在物理学、工程学以及计算机科学等应用科学中也占有重要地位。
本文将介绍高等代数第四版教材中的一些重要知识点。
1. 向量空间向量空间是高等代数的基础概念之一。
它是一种具有加法和数乘运算的集合，满足一些特定的性质。
学习向量空间的时候，我们需要了解向量、向量的线性组合、向量空间的子空间以及向量空间的维数等几个重要概念。
2. 线性方程组线性方程组是高等代数中的常见问题。
我们通过矩阵和向量的形式来表示线性方程组，利用高斯消元法或者矩阵的逆来求解方程组的解。
在学习线性方程组的过程中，我们需要掌握方程组的矩阵表示、齐次方程组与非齐次方程组的区别，以及解的存在唯一性等。
3. 行列式行列式是描述线性变换性质的重要工具。
我们通过行列式来判断方阵的可逆性、计算矩阵的秩，以及求解线性方程组的解等问题。
在学习行列式的时候，我们需要了解行列式的定义、行列式的性质，以及行列式的计算方法等。
4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是描述线性变换规律的关键概念。
通过求解矩阵的特征方程，我们可以得到矩阵的特征值和对应的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵对角化、矩阵的谱分解、矩阵的相似变换等问题中发挥着重要的作用。
5. 线性变换与线性映射线性变换是高等代数中的核心概念之一。
它描述了一个向量空间到另一个向量空间的映射关系，并保持向量空间的线性结构。
线性映射是线性变换在向量空间之间的具体表示方式。
在学习线性变换和线性映射的时候，我们需要了解线性变换与线性映射的定义、线性变换的矩阵表示，以及线性变换的核、像、秩等重要性质。
6. 内积空间与正交性内积空间是一种具有内积运算的向量空间，它将向量空间的线性结构推广到了一种度量结构。
通过内积，我们可以定义向量的长度、夹角以及正交性等概念。
在学习内积空间的时候，我们需要了解内积的定义与性质、Cauchy-Schwarz不等式、勾股定理以及正交补空间等基本概念。
起来的新技术。微惯性测量组合就是...
哈尔滨工张大学硕士学位论文摘要撼联式惯性导航系统是一种十分先进的惯性导航技术,它采用数学平台代替实体乎台,即通过导舷计算机实时计算出姿态矩阵,建立起数学平台, 所汉导靛诗算辊跫建整个系统麓谈心寇关毽。
瓣薅,捷联矮浮簸系统聂澎衮精度、商可靠性、低成本、小型化、数字化的方向发展。
怒现代数字信号处理中的一门新兴技术,作为一零孛专魏数字售号处理器,它具骞毫激、麓这秘裹蕤凄等貔点。
本文应用单片机和设计了一套被捷联导航计算机系统。
以高速、高精度的?作为导航计算机数据处理的核心,以高速、商性能的离档位单片枧为作为整个系统的控铡器,构成了~褰双勺捷联导簸计簿枫系统。
这为导虢系统瀚小型纯、低藏本、数字化提供了一种设计思想。
如果再加上、电子罗擞和计程仪等,就可以完整的组合一个定位和导航系统。
本文蠹绕基予蕊导菠诗算壤系统,具,零巧震了以下尼方囊骚究工作:.论文分析了捷联惯导系统的基本原理,讨论了捷联懒导系统的算法。
.提出并论证了导航计算机的总体方案,同时分析了和单片枕这两牵申微处理器的特点和应用方法。
.讨论了基予麓捷联镄导系统静硬俘设计,包括基本功能静实现、原理框图及外围电路的设计。
本文对周围的接口电路作了较详细的介绍,主要电路有存储器系统、引导装载程序系统、通用异步串行蹦电路以及复位电路等。
.论述了系统的各种软件的舆体设计方法。
采用汇编语言和语言混台编程的方法来实现麟个系统软件。
并且详细讨论了实现该导航系统过程中的软件、硬件的调试和考核过程。
关键词:捷联惯性导航系统:数字信号处理器;数据处理;单片机哈尔滨工程太学硕士学位论文拄. , ,, ,, 。
,曲,跏,,它 .。
, 拉. ?曲 ?;圆 .,.‘’., ? ,:......髓接。
.?。
.. , , .,, 南撞哈尔滨工程大学硕士学位论文. 掣硼娃..: ;;; ?哈尔滨工程大学学位论文原创性声明本人郑重声明:本论文的所有工作,是在导师的指导下,由作者本人独立完成灼。
数值积分微分方程
2.3 数值积分2.3.1 一元函数的数值积分函数1 quad 、quadl 、quad8功能 数值定积分，自适应Simpleson 积分法。
格式 q = quad(fun,a,b) %近似地从a 到b 计算函数fun 的数值积分，误差为10-6。
若给fun 输入向量x ，应返回向量y ，即fun 是一单值函数。
q = quad(fun,a,b,tol) %用指定的绝对误差tol 代替缺省误差。
tol 越大，函数计算的次数越少，速度越快，但结果精度变小。
q = quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…) %将可选参数p1,p2,…等传递给函数fun(x,p1,p2,…)，再作数值积分。
若tol=[]或trace=[]，则用缺省值进行计算。
[q,n] = quad(fun,a,b,…) %同时返回函数计算的次数n… = quadl(fun,a,b,…) %用高精度进行计算，效率可能比quad 更好。
… = quad8(fun,a,b,…) %该命令是将废弃的命令，用quadl 代替。
例2-40>>fun = inline(‘3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)’); equivalent to: function y=funn(x)y=3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3);>>Q1 = quad(fun,0,2) >>Q2 = quadl(fun,0,2)计算结果为：Q1 =3.7224 Q2 =3.7224补充：复化simpson 积分法程序程序名称 Simpson.m调用格式 I=Simpson('f_name',a,b,n)程序功能 用复化Simpson 公式求定积分值输入变量 f_name 为用户自己编写给定函数()y f x 的M 函数而命名的程序文件名 a 为积分下限b 为积分上限n 为积分区间[,]a b 划分成小区间的等份数 输出变量 I 为定积分值 程序function I=simpson(f_name,a,b,n) h=(b-a)/n; x=a+(0:n)*h; f=feval(f_name,x); N=length(f)-1;if N==1fprintf('Data has only one interval') return; end if N==2I=h/3*(f(1)+4*f(2)+f(3)); return; end if N==3I=3/8*h*(f(1)+3*f(2)+3*f(3)+f(4)); return; end I=0;if 2*floor(N/2)==NI=h/3*(2*f(N-2)+2*f(N-1)+4*f(N)+f(N+1)); m=N-3; else m=N; endI=I+(h/3)*(f(1)+4*sum(f(2:2:m))+2*f(m+1)); if m>2I=I+(h/3)*2*sum(f(3:2:m)); end例题 求0sin I xdx π=⎰。
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例3 用三种方法计算定积分 0 解: 编程如下： x=0:0.01:1; y=sin(x.^2)./(x+1);
1
s in x
2
x 1
dx
的值。
s1=sum(y(1:100))*0.01 s2=sum(y(2:101))*0.01 s3=trapz(x,y) ff=inline('sin(x.^2)./(x+1)','x') s4=quad(ff,0,1)
i 1
n
y ( i ) y ( i 1) 2
xi
3、复合辛普生公式
用抛物线代替小曲边梯形的曲边计算小面积，然后
求和以获得定积分的近似值，精度比前两种方法高。
命令：quad(‘fun’,a,b,tol,trace) 1、式中fun是被积函数表达式字符串或者是M函数 文件； 2、a,b是积分的下限与上限； 3、tol代表精度，可以缺省（tol=0.001）； 4、trace=1时用图形展示积分过程，省略时无图形。
解 线 性 方 程 组
解： Matlab命令为 B=[4 2 -1 2;3 -1 2 10;11 3 0 8]; rref(B)
ans= 1 0 3/10 0
解 线 性 方 程 组
0
0
1
0
-11/10
0
0
1
结果分析：行最简形式中最后一行出现了零等于 非零的情况，故方程组无解。
用数值方法计算定积分
分析：原方程组对应的同解方程组为：
1 x x2 x4 1 2 x 2x 1 4 3 2
方程的个数<未知量个数 有无穷多个解
1 2 0 1 2 0
其中一个特解为：
例 求非齐次线性方程组的通解
4 x1 2 x 2 x 3 2 3 x1 1 x 2 2 x 3 1 0 1 1 x1 3 x 2 8
所以方程的通解为
解 线 性 方 程 组
x1 4 0 x2 0 1 k k 1 2 x3 1 0 3 4 x4
其中 k1, k2 是任意实数
例5-22 求非齐次线性方程组的通解
矩阵的基本运算 矩阵特征值、特征向量 解线性方程组 用数值方法计算定积分
矩阵的基本运算
数乘 矩阵的左除 矩阵的右除 矩阵的行列式 矩阵的逆 矩阵的乘幂 k*A A\B A/B det(A) inv(A) A^n
注意 k是一个数，A是一个矩阵 AX=B, X=A-1B, A必须是方阵 XB=A,X=AB-1, B必须是方阵 A必须为方阵 A必须为方阵，|A| ‡ 0 A必须为方阵，n是正整 )d x
a
y=f(x)
的几何意义 a 有三种方法： 1、 矩形法 2、复合梯形公式 b
x
3、复合辛普生公式
1、使用矩形法求定积分
例1 计算定积分
1 0
4 1 x
2
dx ,
与精确值 比较。
解 MATLAB命令为: h=0.01;x=0:h:1; y=4./(1+x.^2); format long z1=sum(y(1:length(x)-1))*h z2=sum(y(2:length(x)))*h %左矩形公式 %右矩形公式
有无穷多个解
取 x3 0 得
x1 0 x2 1
取
x3 1 x4 3
得 x1 4
x2 0
x4 4
基础解系为
4 0 1 1 3
0 1 2 0 4 ，
的个数，那么方程组有唯一的解； 如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量 的个数，那么方程组有无穷多个解。
例5-21 求齐次线性方程组的通解
x1 8 x 2 1 0 x 3 2 x 4 0 2 x1 4 x 2 5 x 3 x 4 0 3 x1 8 x 2 6 x 3 2 x 4 0
ans
1、逆矩阵法（求逆法） 例1： 求方程组的解
解 线 性 方 程 组
2x 3 y 4 x y 1
解：
A=[2,3;1,-1];
相当于
2 3 x 4 1 1 y 1
b=[4;1]
X=inv(A)*b ans X= 1.4000 0.4000 方程的解是：x=1.4, y=0.4
format short u1=z1-pi,u2=z2-pi
输出结果： z1 = 3.151575986923129 z2 = 3.131575986923129
u1 = u2 =
0.0100 -0.0100
2、复合梯形公式
用小梯形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和 以获得定积分的近似值，比矩形法精度高。 相当于求 命令：trapz(x,y)
运行结果为： s1 = s2 = s3 = s4 = 0.1787 0.1829 0.1808 0.1808
按左矩形公式计算结果是0.1787，按右矩形公式计
算结果是0.1829，按梯形法和辛普生法计算结果都是
0.1808.
建立函数文件jifen.m：
function y=jifen(x) y=sin(x.^2)./(x+1); 编程如下： s=quad('jifen',0,1)
2、初等变换法
在线性代数中用消元法求线性方程组的通解的过程为： 1、用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最
解 线 性 方 程 组
后的恒等式“0=0”去掉； 2、如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非 零的数，那么方程无解。否则有解； 3、在有解的情况下：
如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量
矩阵的特征值、特征向量、特征多项式
p=poly(A) 若A为矩阵，则p为A的特征多项式系数； 若A为行向量，则p为以A为根的特征多项式系数。 poly2str(p,’x’) 例1 得到多项式的习惯形式
A=[1,-1;2,4]; p=poly(A) poly2str(p,’x’) p=[1 -5 x^2-5x+6 6]
逆矩阵法（左除与右除法）
例1： 求方程组的解
2x 3 y 4 x y 1
AX=B X=A\B XA=B X=B/A
解 线 性 方 程 组
解：
A=[2,3;1,-1]; b=[4;1] X=A\b X=
相当于 AX=b,X=A\b
ans
1.4000 0.4000
方程的解是：x=1.4, y=0.4
解 线 性 方 程 组
解： Matlab命令为 A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2]; rref(A) ans= 1 0 4 0 系数矩阵 行的最简形式
0
0
1
0
-3/4
0
-1/4
0
分析：
将0=0的一行去掉，则原方程组等价于 方程的个数<未知量个数
x1 4 x 3 3 1 x3 x4 x2 4 4
矩阵行变换化简 rref(A) P82 表5-1
求A阶梯形的行最简形式
矩阵的特征值、特征向量、特征多项式
[V,D]=eig(A)
例1
A=[1,-1;2,4];
[V,D]=eig(A)
ans V= -985/1393 985/1393 D= 2 0 0 3 方阵A的特 征值矩阵 1292/2889 -2584/2889 方阵A的特 征向量矩阵
x1 x 2 x 3 x 4 0 x1 x 2 x 3 3 x 4 1 1 x1 x 2 2 x 3 3 x 4 2
解： MATLAB命令为： B=[1 -1 -1 1 0;1 -1 1 -3 1;1 -1 -2 3 -1/2]; rref(B) ans = 1 0 0 -1 0 0 0 1 0 -1 -2 0 1/2 1/2 0
作业
P114 12,14 P115 21. (1),(2) 第七章习题P167
17. (2)
18
名称：线性代数相关运算及数值方法计算定积分 目的：掌握矩阵的基本运算、特征值、特征向量和线 性方程组的求解；能熟练运用数值方法求定积分