19.1(1)演绎证明
19.1 命题与证明
第19章几何证明§19.1命题与证明学习目标1.通过“对顶角相等”与“三角形的内角和”两例的回顾，初步理解演绎证明及其因果关系的表述；演绎证明的必要性；演绎证明的过程。
2.体会演绎证明是一种严格的数学证明，是人类理性精神的闪光。
知识概要1.演绎证明的概念演绎推理是数学证明的一种常用、完全可靠的的方法，演绎推理的过程就是演绎证明。
也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程。
演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式。
在本书中演绎证明简称为证明。
学习演绎证明，可以使我们的思维更加严格、缜密，其表达条理清楚、无可辩驳，这是提高逻辑思维能力的有效手段。
运用演绎证明需要注意：①演绎证明的每一步推理都必须有依据，通常把依据写在得到的结论后面的括号内；②整个证明由一段一段的因果关系连接而成，段与段前后连贯，有序展开。
说明：推理的依据，可以是“已知条件”和“已证事实”(简记为“已知”和“已证”)，也可以是已有的概念、性质等。
这样表述的“因果关系”的形式，初学时要写得详细些，以后可以在保持论证完整的前提下逐渐省略。
由于证明的需要，可以在原来的图形上添画一些线，像这样的线叫做辅助线。
辅助线通常画成虚线。
2.演绎证明的过程演绎证明的过程是由“一连串、有序的因果关系”组成，演绎证明中每一段先说“因”再说“果”，同时要表述确立因果关系的“依据”。
3.命题能界定某个对象含义的语句叫做定义.能够判断正确与错误的语句叫做命题.其判断正确的命题称为真命题，其判断错误的命题叫做假命题.数学命题通常由题设或已知条件、结论两部分组成的.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.这样的命题常可写成“如果…，那么…”的形式.用“如果”开始的部分是题设，而用“那么”开始的部分是结论.4.公理与定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如古希腊著名数学家欧几里得在他的《几何原本》中提出了著名的五大公理与五大公设.五条公理：(1)等于同量的量彼此相等；(2)等量加等量，其和相等；(3)等量减等量，其差相等；(4)彼此能重合的物体是全等的；(5)整体大于部分.五条公设：(1)过两点能作且只能作一直线；(2)线段(有限直线)可以无限地延长；(3)以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆；(4)凡是直角都相等；(5)同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于0180，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交.有些命题是从公理或其它真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其它命题真假的依据.这样的真命题叫做定理.定理依据其作用，一般可分为判定定理和性质定理.例如“等角对等边”是已知三角形的两个内角相等，得到所对的两条边相等，这是等腰三角形的判定定理；“等边对等角”是已知三角形的两条边相等，得到所对的两个角相等，这是等腰三角形的性质定理.一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理是另一 个定理的逆定理.例如“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”就是互逆定理.经典题型精析(一)演绎证明例1.已知：如图，点F E D 、、分别在ABC ∆的边AC AB 、上，且AB DF //，AC DE //，试利用平行线的性质证明=∠+∠+∠C B A 180°.试一试：如图，下面是由已知：b a ⊥，c b ⊥，求证：b a //的证明过程，由如下①②③④四句话组成： ①所以b a //； ②因为b a ⊥，c b ⊥； ③所以21∠=∠； ④所以0901=∠，0902=∠。
【数学】2.1.2《演绎证明》课件1(新人教B版选修1-2)
续 述 程 能 出 个 想? 你 继 上 过 ,你 提 一 猜 吗
根据上述过程, 哥德巴赫大胆地猜想 : 任何一个 不小于 6 的偶数都等于两个奇质数的和.这是正 确的吗 ? 多少年来, 许多优秀的数学家都在努力 证明这个猜想, 而且取得了很好的进展.
现在, 我们来考察一下哥德巴赫提出猜想的推理 过程 : 通过对一些偶数 的验证 , 他发现它们总可 以表示成两个奇质数之和, 而且没有出现反例.于 是, 提出猜想 " 任何一个不小于6的偶数都等于 两个奇质数之和".
这 由 类 物 部 对 具 某 特 ,推 种 某 事 的 分象 有 些 征 ,推 出 类 物 全 对 都 有些 征 推 该 事 的 部 象 具这 特 的 ,或 由 别 实 括 一 结 的 理 论 者 个 事 概 出 般 论 推 ,称 为 纳 理简 归 ). 言 ,归 推 是 简 之 纳 理 由 归 推 ( 称 纳 部 到 体 由 别一 的 理 分 整 、 个 到般 推 .
了 纳 人 的 造 明 动,还 常 除 归 ,在 们 创 发 活 中 常 应 用 比 如 说 国 代 匠 班比 齿 类 . 例 ,据 我 古 工 鲁 类 带 的 叶 蝗 的 齿 明 锯 们 照 类 草 和 虫 牙 ,发 了 ;人 仿 鱼 外 和 在 中 沉 原 ,发 了 水 ;等 形 它 水 的 浮理 明 潜 艇 ,事 上 生 中 多 明 最 构 都 等 实 ,仿 学 许 发 的 初 想 是 类 生 机 得 的 比 物 制 到. 又 ,为 回 "火 上 否 性 "这 问 , 如 了 答 星 是 有 命 个 题 科 家 把 星 地作 比 现 星 有 学 们 火 与 球 类 ,发 火 具 一 与 球 似 特 ,如 星 是 绕 阳 些 地 类 的 征 火 也 围 太 运 、 轴 转 行 ,也 大 层 一 中 行 绕 自 的 星 有 气 ,在 年 也 季 的 更 且 星 大 分 间温 有 节 变 ,而 火 上 部 时 的 度 合 球 某 已生 的 存 等 此 适 地 上 些 知 物 生 ,等 . 由 , 科 家 想火 上 可 有 命 在 学 猜 : 星 也 能 性 存.
19.1(1)演绎证明
A
B
例题
A F E
中边BC、AB、AC上的点，
且DF∥AB，DE∥AC，
C
B
求证：∠A + ∠B + ∠C =
180°
D
作业：
练习册习题19．1（1）
演绎证明的表现形式 演绎证明的表现形式就是我们通常所说的
“三段论”，即
∵什么什么 (条件)
∴什么什么 (结论) 为什么？(依据)
例题选讲 1、证明：三角形内角和等于180°
例题选讲
2、已知，如图，∠AOC与∠COB互为邻
D C
补角，OD平分∠AOC，
E
OE平分∠COB，
求证：∠DOE = 90°
一般证明的意义证明是指人们为获得使人信服的结论所采用的手段有实践证明历史证明例证明实验证明等多种形式数学结论的正确性证明有更为严格的形式演绎证明的意义演绎证明是指从已知的概念条件出发依据已被确认的事实和公认的逻辑规则推导出某结论为正确的过程
19.1(1) 演绎证明
一般证明的意义 证明是指人们为获得使人信服的结论所采
用的手段，有“实践证明”、“历史证明”、 “举 例证明”、“实验证明”等多种形式
数学结论的正确性证明， 有更为严格的形式
演绎证明的意义
演绎证明是指从已知的概念、条件出
发，依据已被确认的事实和公认的逻辑
规则，推导出某结论为正确的过程。简
称“证明”
演绎证明是一种严格的数学证明，是我们 现在要学习的证明方式。但不是所有的真 理都能或都有必要进行演绎证明
张文显《法理学》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解【15小时视频讲解】(第十九章 法律方法—
第十九章法律方法19.1 复习笔记一、法律方法概说1．法律方法的概念（1）法律方法是指法律职业者（或称法律人）认识、判断、处理和解决法律问题的专门方法，或者说，是指法律人寻求法律问题的正确答案的专门方法。
（2）法律方法的特征①专业性。
法律职业者有自己思考和解决问题的方式，这是一种与其他职业者相区别的判断与解决问题的方法，其核心是法律思维。
②法律性。
法律方法是根据法律思考和解决问题的方法。
法律是法律人判断是非的标准。
③实践性。
a．法律方法的目的指向是一种实践指向，即如何有效地解决人们在实际生活中面临的法律问题。
b．法律方法的主体是法律实践的主体，即从事审判、检察、法律服务等法律实务工作的法律职业者。
c．法律方法的评价标准是实践标准。
2．法律方法的内容（1）法律推理，是法律人将逻辑运用于处理案件过程的思维形式。
过程可以分为:①寻找可以适用的法律渊源；②分析可以适用的法律渊源；③分析、研究依据法律可以认定的事实；④将相关法律规范适用于本案事实，以确定由事实引起的权利和义务，处理案件。
（2）法律发现，指法律人寻找和确定所要适用的法律规定的过程。
（3）法律解释，指法律人在法律适用过程中对法律的含义所做的进一步的说明。
（4）法律论证，是通过语言的形式，主要是书面语言，根据一定的理由对案件处理决定的正确性进行符合形式逻辑的推导和证明。
二、法律推理1．法律推理的概念法律推理是逻辑思维方法在法律领域中的运用，是建立在法律条文与具体事实的这种既相关又不完全对应的关系的基础上的。
2．形式推理形式推理又称分析推理，就是运用形式逻辑进行推理。
这种推理的前提是“法院可以获得表现为某条规则或原则的前提，尽管该原则或规则的含义和适用范围并不是在所有情形下都是确定无疑的，而且调查事实的复杂过程也必须先于该规则的适用。
”（1）演绎推理，指从一般的法律规定到个别特殊行为的推理。
（2）归纳推理，指从特殊到一般的推理。
（3）类比推理，指在法律没有明确的文字规定的情况下，比照相应的法律规定加以处理的推理形式。
演绎证明
•实践证明
•历史证明 •实验证明
•举例证明
对数学结论的正确性进行证明有更为严格的 形式。
你用什么方法说明“对顶角”相等？ 一.直观说明 凭眼睛看到的结果加以认定； 二.操作确认 量角器度量 三.推理论证
因为 ∠1与∠2、 ∠2与∠3分别是邻补角（已知）
名 图 称 等
形 概
念
性质与边角关系
判
定
1.两腰相等.
A 有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形。 C
(等腰三角形的定义)
1.两边相等。
(等腰三角形的定义)
腰 三 角 形
B
2.等边对等角, 3. 三线合一。 4.是轴对称图形.
2.等角对等边,
性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上 的高互相重合。（通常说成等腰三角形的“三线合一”） （默6） 性质2可分解成下面三个方面来理解： 1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又 A 是底边上的高。 应用格式：∵AB＝AC ∠1＝∠2（已知） ∴BD＝DC AD⊥BC（等腰三角形三线合一） 1 2 2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高， 又是顶角平分线。 B C 应用格式：∵AB＝AC BD＝DC （已知） D ∴AD⊥BC ∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一） 3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是 顶角平分线。
本节课你学到什么？
• 由“因”导“果”,执“果”索“因”是 探索证明思路最基本的方法. • 言必有据,因果对应.是初学证明者谨记和 遵循的原则. • 我们必须用科学的观点来看待一切事物.
两点间的距离：连接两点的线段的长度
点到直线的距离：直线外一点到这条直 线的垂线段的长度. 两平行线的距离：夹在两平行线间的垂线 段的长度.（两条平行线当中一条直线上任意
张文显《法理学》(第4版)【教材精讲+考研真题解析】讲义-法律方法【圣才出品】
第十九章法律方法19.1重点导读◆法律解释的必要性◆我国法律解释权限的划分◆法律解释的原则19.2本章要点详解一、法律方法概说1．法律方法的概念（1）法律方法是指法律职业者（或称法律人）认识、判断、处理和解决法律问题的专门方法，或者说，是指法律人寻求法律问题的正确答案的专门方法。
（2）法律方法的特征①专业性。
法律职业者有自己思考和解决问题的方式，这是一种与其他职业者相区别的判断与解决问题的方法，其核心是法律思维。
②法律性。
法律方法是根据法律思考和解决问题的方法。
法律是法律人判断是非的标准。
③实践性。
a．法律方法的目的指向是一种实践指向，即如何有效地解决人们在实际生活中面临的法律问题。
b．法律方法的主体是法律实践的主体，即从事审判、检察、法律服务等法律实务工作的法律职业者。
c．法律方法的评价标准是实践标准。
2．法律方法的内容（1）法律推理，是法律人将逻辑运用于处理案件过程的思维形式。
过程可以分为：①寻找可以适用的法律渊源；②分析可以适用的法律渊源；③分析、研究依据法律可以认定的事实；④将相关法律规范适用于本案事实，以确定由事实引起的权利和义务，处理案件。
（2）法律发现，指法律人寻找和确定所要适用的法律规定的过程。
（3）法律解释，指法律人在法律适用过程中对法律的含义所做的进一步的说明。
（4）法律论证，是通过语言的形式，主要是书面语言，根据一定的理由对案件处理决定的正确性进行符合形式逻辑的推导和证明。
二、法律推理1．法律推理的概念法律推理是逻辑思维方法在法律领域中的运用，是建立在法律条文与具体事实的这种既相关又不完全对应的关系的基础上的。
2．形式推理形式推理又称分析推理，就是运用形式逻辑进行推理。
这种推理的前提是“法院可以获得表现为某条规则或原则的前提，尽管该原则或规则的含义和适用范围并不是在所有情形下都是确定无疑的，而且调查事实的复杂过程也必须先于该规则的适用。
”（1）演绎推理，指从一般的法律规定到个别特殊行为的推理。
沪教版初中数学第十九章-几何证明
反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设：先假设命题的结论不成立。
（2）归谬：从这个假设出发，运用正确的推理方法，得出定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果。
（3)结论：由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
【典型例题】
【例1】 证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
【分析】 已知等腰三角形两底角的平分线,如何证明两底角的平分线相等。利用两三角形全等的方法进行证明。证明过程中每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由，可写在每一步后的括号里。
【解答】（2)、（4)不是命题;（1）、（3）是命题,其中（1）为假命题,（3）为真命题.
【注】真假命题的判别,主要是根据真假命题的定义,如实反映事物情况的命题是真命题，没有如实反映事物情况的命题是假命题。
【例2】 指出下列命题的题设与结论,并改写成如果 ，那么 ”的形式
（1）全等三角形的对应边相等;
【解答】 延长 至 ,使 ，连接 。
(全等三角形对应角相等）
图3
（等角对等边）
（等量代换）
【例4】如图4，在四边形 中, 试证明线段 能构成直角三角形。
【分析】本题的关键是要将 三条线段放到一个三角形中，然后才能判断其形状,其中的60°角又是构造等边三角形的必不可少的条件，因此,通过旋转60°，既保证了图形的不变性，又构造了等边三角形.
图1
即
在 和 中
【例2】 如图2，已知在 中， 是中线， 交 于点 , .
求证： .
【分析】本例通过添加辅助线，把要证明的两条线段“移”到同一个三角形内,构造等腰三角形证得.
【解答】 延长 到点 ,使 ，连接 .
在 和 中
（已知）
（对顶角相等)
19.1(1)命题和证明
OBCDA321EBCDA19.1命题和证明（1）演绎证明学习目标：通过回顾“对顶角相等”与“三角形的内角和180”的说理与分析，初步理解演绎证明的含义及因果关系的表述，体会演绎证明是一种严格的数学证明，所获得的结论最可靠.学习重难点：初步理解证明的含义，知道推理的基本过程和因果关系的表述 学习过程： 一、课前预习1、如右图，完成下列证明：因为 1∠与2∠、2∠与3∠分别是邻补角（已知）所以12,23.∠+∠=∠+∠=（ ） 得12.∠+∠=（ ）所以 = .（ ）2、如右图，完成下列证明： 过ABC 的顶点A 作直线DE//BC. 因为DE//BC （所作） 所以,.DAB EAC ∠=∠=( ) 因为D 、A 、E 在直线DE 上（所作） 所以180∠+∠+∠=. （平角的意义） 所以180∠+∠+∠=. （ ）3、预习课本：84-86页，写下你认为例题和练习中用到的重要知识点和存在疑惑的地方。
二、课堂学习像上述说明“对顶角相等”与“三角形的内角和180”的方法，称为演绎推理（或演绎法） 演绎推理的过程，就是演绎证明.演绎证明：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程.由于证明的需要，可以在原来的图形上添画一些线，像这样的线叫做辅助线，辅助线通常画成虚线.演绎证明的每一步推理都必须有依据，通常把每一步的依据写在由其得到的结论后面的括号内，整个证明由一段一段的因果关系连接而成，段与段前后连贯，有序展开. 推理的依据可以是“已知条件”和“已证事项”（简记为“已知”和“已证”），也可以是已有的概念和性质等.请以课前预习中“对顶角相等”的证明为例说明每一段的因果关系： 第一段：因是 “1∠与2∠、2∠与3∠分别是邻补角”果是 “ ” 确立因果关系的依据是 “ ” 第二段：因是 “12180,23180.∠+∠=∠+∠=”果是 “ ” 确立因果关系的依据是 “ ” 第三段：因是 “122 3.∠+∠=∠+∠”果是 “ ” 确立因果关系的依据是 “ ”试一试：请说明课前预习中“三角形的内角和180”的证明的每一段的因果关系课堂小结本节课你有什么收获和体会？你还有什么疑惑吗？O EBCDA FEB CD A三、课堂练习1、 阅读下面的证明过程，说一说其中的因果关系：已知：如图，AOC ∠与COB ∠互为邻补角，OD 平分AOC ∠，OE 平分COB ∠. 求证：90DOE ∠=.证明：因为OD 平分AOC ∠ （已知）所以 12DOC AOC ∠=∠ (角平分线的意义). 同理 12C O E C O B∠=∠.11221()2DOC COE AOC COB AOC COB ∠+∠=∠+∠=∠+∠所以（等式性质）因为 AOC ∠与COB ∠互为邻补角（已知）. 所以 180AOC COB ∠+∠= （邻补角的意义）. 得 90DOC COE ∠+∠= （等量代换） 即 90.DOE ∠=2、已知：如图，点D 、E 、F 分别在ABC 的边BC 、AB 、AC 上，且DF//AB,DE//AC,试利用平行线的性质证明180.A B C ∠+∠+∠=四、课后练习1231、阅读下面的证明过程，在括号内填写适当的理由，并在横线上说明其中的因果关系. （1） 已知：如图，1∠与2∠、1∠与3∠互为补角，求证：2 3.∠=∠证明：因为 1∠与2∠互为补角 （ ）所以 12180∠+∠= （ ） 即 21801∠=-∠（前面为第一段）同理 31801∠=-∠（前面为第二段）所以 23∠=∠ （ ）（前面为第三段）第一段中，因：果：第二段中，因：果：第三段中，因：果：（2）已知：如图，DC 平分ACB ∠,DE//BC.求证：EC=ED.证明：因为 DC 平分ACB ∠ （ ），所以 12∠=∠ （ ） 因为 DE//BC （ ）所以 31∠=∠ （ ） 得 23∠=∠ （ ） 所以EC=ED （ ）其中，因：果： 因： 果： 因： 果： 因： 果：321E DCBA19.1命题和证明（2）命题、公理、定理学习目标：1、知道定义、命题、真命题、假命题、公理、定理等概念；2、了解命题的结构，能够初步区分命题的题设和结论，会把命题改写成“如果……那么……”的形式；3、知道证明一个命题为真命题的一般过程；知道证明一个命题为假命题只要举一个反例. 学习重难点：重点：区分命题的题设和结论并改写成“如果……那么……”的形式.难点：证明一个命题为假命题.一、课前预习科学研究的目的是揭示客观世界的规律，而规律的表述常用判断性语句。
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年级
课题
日期
八年级（上）
19.1（1）演绎证明
教学
目标
知识与技能
1..经历“对顶角相等”，“三角形的内角和等于180°”用不同方法证明的过程，知道不同的证明方式的不同功效和互补作用，感受演绎证明的严密性，可靠性。
2.理解演绎证明的含义，知道演绎推理的基本过程，掌握因果关系的表述，理解演绎证明的每一步都必须有理有据。
3.知道演绎推理广泛应用于数学的代数和几何领域，培养科学、严谨的数学态度。
过程与方法
情感态度
与价值观
教材
分析
教学重点演绎推理过Fra bibliotek每一段中的因果关系及其规范的表达。
教学难点
理解演绎推理过程的因果关系的表述。
相关链接
前期：三角形、等腰三角形的性质，平角定义、垂直定义，对顶角性质、平行线性质等.
后期：几何证明。