2014年高考数学(文)难题专项训练(1)推理与证明(含答案)

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2014高考数学难题集锦(一)含详细答案及评分标准

2014高考数学难题集锦(一)1、已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；①，；②，.（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.2、设函数（1）若关于x的不等式在有实数解，求实数m的取值范围；（2）设，若关于x的方程至少有一个解，求p 的最小值.（3）证明不等式：3、设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为．（1）用表示和;（2）求证:;（3）设,,求证:．4、数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当时，,；当时，，.（Ⅰ）若，，写出，并求数列的通项公式；（Ⅱ）在数列中，若(,且)，试用表示；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，，(其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.5、已知函数f（x）是定义在[-e,0）∪（0,e]上的奇函数，当x∈（0,e],f（x）=ax+lnx（其中e是自然对数的底数，a∈R）（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=,x∈[-e,0）,求证：当a=-1时，f（x）>g（x）+;（3）是否存在实数a，使得当x∈[-e,0）时f（x）的最小值是3 如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．6、（理）对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”.（1）设数列，请写出一个公比不为1的等比数列，使数列是数列的“下界数列”；（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；（3）设数列，构造，，求使对恒成立的的最小值.7、已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）若存在，使成立，求的取值范围；（3）当时，恒成立，求的取值范围.8、已知函数．（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．9、函数，数列和满足：，，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为．（1）求数列{}的通项公式；（2）若数列的项中仅最小,求的取值范围；（3）若函数，令函数数列满足:且其中．证明:．参考答案1、解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底.理由是；②是的一个二元基底.理由是，.21世纪教育网………………………………………3分（Ⅱ）不妨设，则形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.故，即. ………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设为的一个4元基底，不妨设，则.当时，有，这时或.如果，则由，与结论*矛盾.如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，的最小可能值为5. ……………………14分2、解：（1）依题意得，而函数的定义域为∴在上为减函数，在上为增函数，则在上为增函数即实数m的取值范围为………………………………4分（2）则显然，函数在上为减函数，在上为增函数则函数的最小值为所以，要使方程至少有一个解，则，即p的最小值为0 …………8分（3）由（2）可知：在上恒成立所以，当且仅当x=0时等号成立令，则代入上面不等式得：即，即所以，，，，…，将以上n 个等式相加即可得到：………………………………12分3、解：（1）由点在曲线上可得, …………1分又点在圆上，则, ……………2分从而直线的方程为, ………………4分由点在直线上得: ,将代入化简得: ． ……………………6分（2） , …………7分又,……………9分（3）先证:当时,．事实上, 不等式后一个不等式显然成立,而前一个不等式．故当时, 不等式成立．, ……………………11分（等号仅在n=1时成立）求和得:……………………14分4、（Ⅰ）解：因为，所以,.因为,所以,.因为,所以,.所以. …………………………………… 2分由此猜想，当时,，则，.… 3分下面用数学归纳法证明：①当时，已证成立.②假设当（，且）猜想成立，即，，.当时，由，得，则，. 综上所述，猜想成立.所以.故. ……………………………………………… 6分（Ⅱ）解：当时，假设，根据已知条件则有，与矛盾，因此不成立，…………… 7分所以有，从而有，所以.当时，，,所以; …………………… 8分当时，总有成立.又，所以数列()是首项为，公比为的等比数列, ，,又因为，所以. …………………………… 10分（Ⅲ）证明：由题意得.因为，所以.所以数列是单调递增数列. …………………………………… 11分因此要证,只须证.由，则<，即.…… 12分因此.所以.故当,恒有. …………………………………………………14分5、21．6、（1）等，答案不唯一；……………4分（2），当时最小值为9,；……………6分，则,因此，时，最大值为6，……………9分所以，，数列是数列的“下界数列”；……………10分（3），…11分，……………12分不等式为，，，…13分设，则，…………15分当时，单调递增，时，取得最小值，因此，……………17分的最小值为……………18分7、.解（1）在处的切线方程为即（3分）（2）即令时，时，在上减，在上增.又时，的最大值在区间端点处取到.，在上最大值为故的取值范围是，（8分）（3）由已知得时，恒成立，设由（2）知当且仅当时等号成立，故，从而当即时，为增函数，又于是当时，即，时符合题意. （11分）由可得从而当时，故当时，为减函数，又于是当时，即故不符合题意.综上可得的取值范围为（14分）8、（I）（i）若单调增加.（ii）若且当所以单调增加，在单调减少. ………………4分（II）设函数则当.故当，………………8分（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由（II）得从而由（I）知，………………14分9、解:（1），得是以2为首项，1为公差的等差数列，故…………3分（2），，在点处的切线方程为令得仅当时取得最小值，∴的取值范围为………6分（3）所以又因则显然…………8分………12分…………14分。

【把脉高考新题探究】2014届高考数学复习汇编全程必备10 推理与证明

《把脉最新高考—新题探究（数学）》2014届高三高考复习全程必备【反应高考走向的典型题】10.推理与证明1.【北京市石景山区2013届高三期末】在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈；② []22-∈； ③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪； ④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论的个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】因为201340253=⨯+，所以[]20133∈，①正确。

2153-=-⨯+，[]23-∈所以②不正确。

③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类所以正确。

整数a ，b 属于同一“类”，因为整数a ，b 被5除的余数相同，从而a-b 被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a-b ∈[0]”．故④正确，所以正确的结论个数有3个，选C.2.【贵州省遵义四中2013届高三第四次月考】对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠），定义：设()f x ''是函数()y f x ='的导数，若方程()0f x ''=有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数()y f x =的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数321151()3132122g x x x x x =-+-+-，则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++=（）（A ）2010 （B ）2011 （C ）2012 （D ）2013【答案】A【解析】令32115()33212h x x x x =-+-，12()1212m x x x ==--，则g （x ）=h （x ）+m （x ）．则2'()3h x x x =-+，''()21h x x =-令1''()210,2h x x x =-==，所以h （x ）的对称中心为（，1）．设点p （x 0，y 0）为曲线上任意一点，则点P 关于（，1）的对称点P ′（1﹣x 0，2﹣y 0）也在曲线上，∴h （1﹣x 0）=2﹣y 0 ，∴h （x 0）+h （1﹣x 0）=y 0+（2﹣y 0）=2． ∴h （）+h （）+h （）+h （）+…+h （） =[h （）+h （）]+[h （）+h （）]+[h （）+h （）]+…+[h （）+h （）]=1005×2=2010．由于函数m （x ）=的对称中心为（，0），可得m （x 0）+m （1﹣x 0）=0． ∴m （）+m （）+m （）+m （）+…+m （） =[m （）+m （）]+[m （）+m （）]+[m （）+m （）]+…+[m （）+m （）]=1005×0=0． ∴g （）+g （）+g （）+g （）+…+g （）=h （）+h （）+h （）+h （）+…+h （） +m （）+m （）+m （）+m （）+…+m （）=2010+0=2010，选A.3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-，则(2,2)f = ，(,2)f n = ．【答案】2 22n -【解析】根据定义得(2,2)(11,2)2[(1,2)(1,1)]2(1,1)212f f f f f =+=+==⨯=。

(上海版第03期)2014届高三数学试题分省分项汇编专题15 推理与证明、新定义文(含解析)

（某某版第03期）2014届高三数学试题分省分项汇编专题15 推理与证明、新定义文（含解析）一．基础题组1. 【某某市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】若式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ； ②222),,(c b a c b a +-=σ； ③C B A C C B A 2cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是 ………（）. )(A 0)(B 1)(C 2)(D 32. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】定义函数D x x f y ∈=),(（定义域），若存在常数C ，对于任意D x ∈1,存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21,则称函数)(x f y =在D 上的“均值”为C ．已知函数[]100,10,lg )(∈=x x x f ，则函数)(x f y =在[]100,10上的均值为（）(A)101(B)43(C) 10 (D)233. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】给出以下四个命题：（1）对于任意的0>a ，0>b ，则有a b b a lg lg =成立；（2）直线b x y +⋅=αtan 的倾斜角等于α；（3）在空间．．如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；（4）在平面．．将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为1的圆．其中真命题的序号是．。

2014年全国高考试卷平面几何与推理证明部分汇编

2014年全国高考试卷平面几何与推理证明部分汇编1. （2014安徽理21）设实数0c >，整数1p >，n *∈N ．⑴证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+； ⑵数列{}n a 满足11pa c >，111p n n np c a a a p p-+-=+．证明：11p n n a a c +>>．【解析】 ⑴ 证明：用数学归纳法证明：①当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立．②假设(2*)p k k k =N ≥，∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立．当1p k =+时，12(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k k x x x x kx k x kx k x ++=++>++=+++>++所以1p k =+时，原不等式也成立．综合①②可得，当10x x >-，≠，对一切整数1p >，不等式(1)1p x px +>+均成立． ⑵ 证法一：先用数学归纳法证明1pn a c >． ①当1n =时，由题设11pa c >知1p n a c >成立． ②假设(1*)n k k k =N ≥，∈时，不等式1pn a c >成立．由111pn n n p c a a a p p-+-=+易知0*n a n >N ，∈．当1n k =+时，11111p k k p k k a p c ca a p p p a -+⎛⎫-=+=+- ⎪⎝⎭．当10pk a c >>得11110p k cp p a ⎛⎫-<-<-< ⎪⎝⎭．由⑴中的结论得11111ppk p k k a c p a p a +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+->+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．11p p k kcc p a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因此1pk ac +>，即11pk a c +>．所以1n k =+时，不等式1rn a c >也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式1pn a c >均成立．再由1111n p n n a ca p a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可得11n n a a +<，即1n n a a +<．综上所述，11pn n a a c +>>，*n N ∈．证法二：设111()p p p cf x x x x c p p --=+，≥，则p x c ≥，并且11()(1)10p p p c p c f x p x p p p x ---⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，1p x c >．由此可得，()f x 在1pc ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭，上单调递增．因而，当1px c >时，11()()p pf x f c c >=， ①当1n =时，由110pa c >>，即1p a c >可知12111111111p p p c c a a a a a p p p a -⎡⎤⎛⎫-=+=+-<⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，并且121()pa f a c =>，从而112p a a c >>．故当1n =时，不等式11pn n a a c +>>成立．②假设(1*)n k k k =N ≥，∈时，不等式11pk k a a c +>>成立，则当1n k =+时，11()()()pk k f a f a f c +>>，即有112pk k a a c ++>>．所以1n k =+时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式11pn n a a c +>>均成立．2. （2014安徽文12）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，依此类推，设1BA a =，12123567AA a A A a A A a ===，，…，，则7a =______________．【解析】 14由BC =11212321AB a AA a A A a ==⇒=====，由此可归纳出{}n a 是以12a =6671124a a q =⨯=⨯=⎝⎭． 3. （2014广东理15）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF △的面积△的面积=________．【解析】9．由CDF AEF △∽△，3AE CD =，面积之比为对应边的平方比，所以为9．4. （2014广东文15）A 1A 4A 3A 2第（12）题图ABC图3FE D CBA如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE AC =，与DE 交于点F ，则CDF AEF =△的周长△的周长____________．【解析】3． 5. （2014湖北理15）如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A B ，，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C D ，两点，若13QC CD ==，，则_____PB =【解析】 4由切割线定理得21(13)4QA QC QD =⋅=⨯+=，∴2QA =， ∵Q 为PA 的中点，∴24PA QA ==．故4PB PA ==．6. （2014湖南理12）如图，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO BC ⊥，AB =BC =O 的半径等于____________【解析】 32设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E，则BD DC ==ABD 的勾股定理可得1AD =，由双割线定理可得2BD DC AD DE DE ⋅=⋅⇒=，则直径332AE r =⇒=，故填32． 7. （2014江苏理21A ）如图，AB 是圆O 的直径，C D 、是圆O 上位于AB 异侧的两点，证明：OCB D ∠=∠．图3FED CBA第15题图A图3【解析】OC OB =，∴OCB B ∠=∠，又∵B D ∠=∠，∴OCB D ∠=∠ 8. （2014江苏理23）已知函数0sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N⑴求12πππ2()()222f f +的值⑵证明：对任意*n ∈N，等式1πππ()()444n n nf f -+=都成立．【解析】 ⑴ 0()sin xf x x =,两边求导得01()()cos f x xf x x +=两边再同时求导得122()()sin f x xf x x +=- (*) 将π2x =代入(*)式得12πππ2()()1222f f +=-⑵ 下证命题：1sin ,4cos ,41()()sin ,42cos ,43n n x n kx n k nf x xf x x n k x n k -=⎧⎪=+⎪+=⎨-=+⎪⎪-=+⎩，*k ∈N 恒成立当0n =时，0()sin xf x x =成立当1n =时，10()()cos xf x f x x +=，由(1)知成立当2n =时，21()2()sin xf x f x x +=-，由(1)知成立当3n =时，上式两边求导322()()2()cos xf x f x f x x ++=-，即 32()3()cos xf x f x x +=-假设当n m =(3)m ≥时命题成立，下面证明当1n m =+时命题也成立若14m k +=，*k ∈N ，则41m k =-，*k ∈N由1()()cos m m mf x xf x x -+=-两边同时求导得1()()()sin m m m xf x f x mf x x +++= 即1(1)()()sin m m m f x xf x x +++=，命题成立同理，若141m k +=+，*k ∈N ，则4m k =，*k ∈N由1()()sin m m mf x xf x x -+=两边同时求导得1(1)()()cos m m m f x xf x x +++=，命题成立若142m k +=+，*k ∈N ，则41m k =+，*k ∈N由1()()cos m m mf x xf x x -+=两边同时求导得1(1)()()sin m m m f x xf x x +++=-，命题成立若143m k +=+，*k ∈N ，则42m k =+，*k ∈N由1()()sin m m mf x xf x x -+=-两边同时求导得1(1)()()cos m m m f x xf x x +++=-，命题成立综上所述，命题对*n ∀∈N 恒成立代入π4x =得1πππ()()444n n nf f -+=两边同时取绝对值得1πππ()()444n n nf f -+=9. （2014辽宁理22文22）如图，EP 交圆于E C ，两点．PD 切圆于D G ，为CE 上一点且PG PD =．连接DG 并延长交圆于点A ．作弦AB 垂直EP ．垂足为F ． ⑴求证：AB 为圆的直径；⑵若AC BD =，求证：AB ED =．【解析】 ⑴ 因为PD PG =，所以PDG PGD ∠=∠由于PD 为切线，故PDA DBA ∠=∠，又由于PGD EGA ∠=∠,故DBA EGA ∠=∠ 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠，从而BDA PFA ∠=∠由于AF EP ⊥，所以90PFA ∠=︒，于是 90BDA ∠=︒，故AB 是直径．⑵ 连接BC DC ，.由于AB 是直径，故90BDA ACB ∠=∠=︒，在Rt BDA △与Rt ACB △中，,AB BA AC BD == 从而Rt BDA △≌Rt ACB .△于是DAB CBA ∠=∠.又因为DCB DAB ∠=∠，所以DCB CBA ∠=∠，故//DC AB ，由于AB EP ⊥，所以DC EP DCE ⊥∠，为直角，于是ED 为直径，由⑴得ED AB =．10. （2014陕西理15B 文15B ）如图，ABC △中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若2AC AE =，则EF =________．EPGFDCBACB FEAEPGFDCBA【解析】3 ∵四边形BCFE 内接于圆，∴AEF ACB ∠=∠，又A ∠为公共角， ∴EF AEAEF ACB BC AC∴=△△，∽，又∵62BC AC AE ==，．∴3EF =． 11. （2014天津理6文7）如图ABC △是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②2FB FD FA =⋅；③AE CE BE DE ⋅=⋅；④AF BD AB BF ⋅=⋅．则所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④【解析】 D由AD 平分BAC ∠知,BAD CAD BD CD ∠=∠=，由弦切角以及圆周角关系可知：FBD BAD DBC DAC BAD DAC FBD DBC ∠=∠∠=∠∠=∠∴∠=∠，，，，因此①正确；由切割线定理可直接得出②正确；易证AE BEACE BDE CE DE∴=∴，，△△∽③不正确；在ABF △和BDF △中，FBD BAD BFD BFA ∠=∠∠=∠，，AF ABABF BDF BF BD∴∴=，△△∽,AF BD AB BF ∴⋅=⋅，④正确．故选D ． 12. （2014新课标1理22文22）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =．⑴证明：D E ∠=∠；⑵设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形．【解析】 ⑴ 由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠由已知得，CBE E ∠=∠，所以D E ∠=∠；⑵ 设BC 中点为N ，连接MN ，则由MB MC =，知MN BC ⊥，所以O 在直线MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故OM AD ⊥，FDCEBA(第6题图)E即MN AD ⊥所以AD BC ∥，故A CBE ∠=∠．又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠由（1）知D E ∠=∠．所以ADE △为等边三角形．13. （2014新课标2理22文22）如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点2B C PC PA =，，，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E ．证明： ⑴BE EC =；⑵22AD DE PB ⋅=．【解析】 ⑴ 连接AB AC ，．由题设知PA PD =，故PAD PDA ∠=∠．因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠，PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DCA PAB ∠=∠，所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =．因此BE EC =．⑵ 由切割线定理得2PA PB PC =⋅．因为PA PD DC ==，所以2DC PB BD PB ==，．由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以22AD DE PB ⋅=．14.（2014重庆理14）过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PBC 分别交圆于B C ，．若6PA =，8AC =，9BC =，则AB =________．【解析】4P。

2014年北京市数学(文)高考真题含答案带解析(超完美word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B = （）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x =3.已知向量()2,4a = ，()1,1b =-，则2a b -= （）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A.1B.3C.7D.155.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（） A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（）A.7B.6C.5D.4 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），图中记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 10.设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y +的最小值为 .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为工作日.三、解答题共6小题，共80分。

三年高考-高考数学试题分项版解析专题14 推理与证明文(含解析)-人教版高三全册数学试题

三年高考（2014-2016）数学（文）试题分项版解析第十五章推理与证明一、选择题1. 【2014某某.文4】用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C.方程02=++b ax x 至多有两个实根D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根【答案】A【解析】反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根”的否定是“没有”，故选A .考点：反证法.【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义，明确至少有一个的反面是一个也没有.本题属于基础题，难度较小.2. 【2014某某.文9】对于函数)(x f ，若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有)2()(x a f x f -=，则称)(x f 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（） A x x f =)( B 2)(x x f = C x x f tan )(= D )1cos()(+=x x f【答案】D 考点：新定义，函数的图象和性质.【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的奇偶性、新定义问题.此类问题的基本解法是紧扣新定义，研究各个函数的图象及特性，得出结论.本题是一道新定义问题，属于基础题，在考查函数的概念、函数的奇偶性、函数的图象等基础知识的同时，考查数阅读能力、学习能力、转化与化归思想.3. 【2015高考某某，文8】设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin2b 唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定【答案】B【解析】因为1sin a b t +==，所以222(1)sin a b t +==，所以2221a a t +=-，故当t 确定时，21t -确定，所以22a a +唯一确定.故选B.【考点定位】函数概念【名师点睛】本题主要考查函数的概念.主要考查学生利用条件对其进行处理，通过对比选项，确定最终正确结论的能力.本题属于中等题，重点考查学生对条件的处理能力以及分析问题的能力.4. 【2015高考某某，文10】若集合 (){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（）A ．50B ．100C ．150D ．200【答案】D【考点定位】推理与证明．【名师点晴】本题主要考查的是新符号，属于难题．在新符号的问题中抓住新符号的实质把其转化为我们熟悉的问题加以解决，这是解决新符号问题的一个基本方向，要注意准确理解试题中给出的新符号的含义．解决新符号这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．5.【2014高考某某卷.文.10】对任意复数1w .2w ,定义1212w w w w *=,其中2w 是2w 的共轭复数.对任意复数1z .2z .3z ,有如下四个命题：①()()()1231323z z z z z z z +*=*+*；②()()()1231213z z z z z z z *+=*+*；③()()123123z z z z z z **=**；④1221z z z z *=*.则真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】B【考点定位】本题考查复数中的新定义运算,考查复数的概念,属于中等偏难题.【名师点晴】本题主要考查的是新符号，属于难题．在新符号的问题中抓住新符号的实质把其转化为我们熟悉的问题加以解决，这是解决新符号问题的一个基本方向，要注意准确理解试题中给出的新符号的含义．解决新符号这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．6.【2014年普通高等学校招生全国统一考试某某卷10】《算数书》竹简于上世纪八十年代在某某省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（） A.227 B.258C.15750D.355113 【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，r L π2=，h r h r 22)2(75231ππ=，所以275831ππ=，即π的近似值为258，故选B. 考点：《算数书》中π的近似计算，容易题.【名师点睛】以数学史为背景，重点考查圆锥的体积计算问题，其解题的关键是读懂文字材料，正确理解题意，建立方程关系.充分体现了方程思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力和简单近似计算能力.7. 【2015高考某某，文10】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C . 【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力. 8. 【2014某某,文12】在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-+-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于12|||F F ）的点的轨迹可以是（）【答案】A考点：新定义，绝对值的概念，分类讨论思想.【名师点睛】本题是一道信息迁移题，通过定义“L-距离”，考查学生对新定义的理解能力及处理绝对值问题时的分类讨论思想.利用零点分区间法正确进行分类，做到不重不漏，并准确进行运算是求解本题的关键.二、填空题1. 【2016高考新课标2文数】有三X 卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一X 卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和3 【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.考点：逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.2.【2016高考某某文数】观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯； 2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯； 2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； 2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； ……照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_________．【答案】()413n n ⨯⨯+ 【解析】考点：合情推理与演绎推理【名师点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，本题以三角函数式为背景材料，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于分析类比等号两端数学式子的特征，找出共性、总结规律，降低难度.本题能较好的考查考生逻辑思维能力及归纳推理能力等.3. 【2015高考某某，文14】定义运算“⊗”：22x yx yxy-⊗=（,0x y R xy∈≠，）.当00x y>>，时，(2)x y y x⊗+⊗的最小值是 . 【答案】2【解析】由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y xy xy x xy--⊗==，因为，00x y>>，，所以，2222224222(2)2222x y y x x y xyx y y xxy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=，当且仅当2x y=时，(2)x y y x⊗+⊗的最小值是2.【考点定位】1.新定义运算；2.基本不等式.【名师点睛】本题考查了基本不等式及新定义运算的理解能力，解答本题的关键，首先是理解新定义运算，准确地得到不等式，然后根据其特征，想到应用基本不等式求解.本题属于小综合题，也是一道能力题，在考查考生学习能力的基础上，考查考生的计算能力及应用数学知识解决问题的能力.由于近几年考生对新定义运算问题已有准备，因此，不会对此感到陌生.4.【2015高考某某，文16】观察下列等式：1－11 22 =1－11111 23434 +-=+1－11111111 23456456 +-+-=++…………据此规律，第n个等式可为______________________.【答案】11111111 1234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++【考点定位】归纳推理.【名师点睛】本题考查的是归纳推理，解题关键点在于发现其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.本题属于基础题，注意运算的准确性.5．【2014某某，文15】以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -。

2014年高考数学三轮专项模拟数列、推理与证明试卷理

数列、推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·黄冈模拟)集合M ＝{y |y ＝lg(x 2＋1)，x ∈R }，集合N ＝{x |4x ＞4，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．[0，＋∞)B ．[0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]【解析】由x 2＋1≥1知lg(x 2＋1)≥0，所以M ＝{y |y ≥0}，由4x ＞4知x ＞1，所以N ＝{x |x ＞1}，所以M ∩N ＝{x |x ＞1}，故选C. 【答案】 C2．如果命题“綈(p ∧q )”是真命题，则( ) A ．命题p 、q 均为假命题 B ．命题p 、q 均为真命题C ．命题p 、q 中至少有一个是真命题D ．命题p 、q 中至多有一个是真命题【解析】命题“綈(p ∧q )”是真命题，则命题“p ∧q ”是假命题，则命题p 、q 中至多有一个是真命题，故选D.【答案】 D3．(2013·宁波模拟)等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n ＞0的最小正整数n 为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】由S 13＝13(a 1＋a 13)2＝0得a 1＋a 13＝2a 7＝0，所以a 7＝0，又a 1＝－12，故n ≥8时，a n ＞0.【答案】 B4．(2013·课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19D ．－19【解析】设公比为q ，∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝9a 1，a 1q 4＝9，解得a 1＝19，故选C.【答案】 C5．下列函数中与函数y ＝－3|x |奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1【解析】函数y ＝－3|x |是偶函数且在(－∞，0)是增函数，故选C. 【答案】 C6．(2013·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)【解析】由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10).【答案】 C7．已知向量a 、b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为( ) A ．48 B ．32 C ．1D ．0【解析】 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋b 2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0. 【答案】 D8．已知f (x )＝12 013＋log 2x 1－x ，则f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫22 014＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014的值为( ) A ．1B ．2C ．2 013D ．2 014【解析】对任意0＜x ＜1，可得f (x )＋f (1－x )＝22 013.设S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫22 014＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014 则S ＝f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014＋f ⎝⎛⎭⎫2 1022 014＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 014 于是2S ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014＋⎣⎡f ⎝⎛⎭⎫22 014＋⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫2 0122 014＋…＋[f ⎝⎛⎭⎫2 0132 014＋f ⎝⎛⎭⎫12 014] ＝22 013×2 013＝2，所以S ＝1. 【答案】 A第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上) 9．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－255，55，则sin 2α的值为________．【解析】由已知得sin α＝55，cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45. 【答案】－4510．(2013·昆明模拟)已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n＋S 1)都成立，则S 15等于________．【解析】由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得，(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.【答案】 21111．(2013·东城模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 013的值是________．【解析】 a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4,4×7＝28，所以a 4＝8,4×8＝32，所以a 5＝2,2×8＝16，所以a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，所以从第三项起，a n 成周期排列，周期数为6,2 013＝335×6＋3，所以a 2 013＝a 3＝4.【答案】 412．由直线y ＝2与函数y ＝2cos 2x 2(0≤x ≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．【解析】 y ＝2cos 2x2＝cos x ＋1，则所求面积为S ＝∫2π0[]2－(cos x ＋1)d x ＝(x －sin x )|2π0＝2π.【答案】 2π13．(2013·潍坊模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，b 2＋c 2－a 2＝3bc ，则角B ＝________.【解析】由b 2＋c 2－a 2＝3bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝30°.由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 得 sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin 2C ，所以sin C ＝sin 2C . 因为0°＜C ＜180°，所以sin C ＝1，即C ＝90°，所以B ＝60°. 【答案】 60°14．(2013·淄博模拟)如图1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n (n ≥2)行的第2个数为________．图1【解析】由已知得第n (n ≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n －2)＋1]＝3＋(n －2)×2n 2＝n 2－2n ＋3. 【答案】 n 2－2n ＋315．(2013·孝感模拟)现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________.【解析】设对应的数列为{a n }，公差为d (d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n ，由a n ＋a n －1＋a n －2＝114得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，(a 1＋5d )2＝a 1(a n －1＋d )，即(10＋5d )2＝10(38＋d )，解得d ＝2，所以a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.【答案】 16三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2013·安徽高考)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝()a n －a n ＋1＋a n ＋2x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解】 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N *，f ′(π2)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8解得{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－(12)n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .17．(本小题满分12分)(2013·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限，已知A (－1,3)．(1)若OA ⊥OB ，求tan α的值； (2)若B 点横坐标为45，求S △AOB .【解】 (1)由题可知：A (－1,3)，B (cos α，sin α)， OA →＝(－1,3)，OB →＝(cos α，sin α)，由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0， ∴－cos α＋3sin α＝0，tan α＝13.(2)∵cos α＝45，∴sin α＝1－cos 2α＝35，即B ⎝⎛⎭⎫45，35， ∴OA →＝(－1,3)，OB →＝⎝⎛⎭⎫45，35， ∴|OA |＝(－1)2＋(3)2＝10，|OB |＝1，得cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－1×45＋3×3510×1＝1010，∴sin ∠AOB ＝1－cos 2∠AOB ＝31010，则S △AOB ＝12|AO ||BO |sin ∠AOB ＝12×10×1×31010＝32.18．(本小题满分12分)(2013·青岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n＝－1(n ≥2且n ∈N *)．(2)令d n ＝1＋log a a 2n ＋1＋a 2n ＋25(a ＞0，a ≠1)，记数列{d n }的前n 项和为S n ，若S 2n S n恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.【解】 (1)由题知a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1，① 所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－1.②由①－②得：a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，当n ＝2时，a 1－a 2＝－1，因为a 1＝1，所以a 2＝2，a 2a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．故a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n －1，所以d n ＝1＋log a a 2n ＋1＋a 2n ＋25＝1＋2n log a 2.因为d n ＋1－d n ＝2log a 2，所以{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列，所以S 2nS n ＝2n (1＋2log a 2)＋2n (2n －1)2×2log a 2n (1＋2log a 2)＋n (n －1)2×2log a 2＝2＋(4n ＋2)log a 21＋(n ＋1)log a 2＝λ⇒(λ－4)n log a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0，因为S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(λ－4)log a 2＝0，(λ－2)(1＋log a 2)＝0，解得λ＝4，a ＝12.19．(本小题满分13分)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式． (2)设该生产线前n 年的维护费用为S n ，求S n .【解】 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，故a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列，则此时a n ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n ≥8. (2)当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ，当n ≥8时，由S 7＝70，得S n ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10，所以该生产线前n 年的维护费用为 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋3n ，1≤n ≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10，n ≥8. 20．(本小题满分13分)(2013·天津模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝1，且点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式． (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和D n .(3)设c n ＝a n ·sin 2n π2－b n ·cos 2n π2(n ∈N *)，求数列{c n }的前2n 项和T 2n .【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，所以a n ＝2n ，又点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上，所以b n ＋1＝b n ＋2，所以{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，所以b n ＝2n －1. (2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)×2n ，所以D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，①2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1.②①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6，则D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.(3)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ， n 为奇数，－(2n －1)， n 为偶数，T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(b 2＋b 4＋…＋b 2n ) ＝2＋23＋…＋22n －1－[3＋7＋…＋(4n －1)]＝22n ＋1－23－2n 2－n .21．(本小题满分13分)(2013·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋2(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝2n a n .(1)求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n a n 的前n 项和为T n ，证明：n ∈N *且n ≥3时，T n ＞5n 2n ＋1. (3)设数列{c n }满足a n (c n －3n )＝(－1)n －1λn (λ为非零常数，n ∈N *)，问是否存在整数λ，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1＞c n .【解】 (1)在S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，即a 1＝12，当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋2，所以a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，所以2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1. 因为b n ＝2n a n ，所以b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ＝2n a n ，所以a n ＝n 2n (n ∈N *)．(2)由(1)得c n ＝n ＋1na n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n，所以T n ＝2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋4×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ，① 12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋4×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1.② 由①－②得12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝1＋14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1，所以T n ＝3－n ＋32n ，T n －5n 2n ＋1＝3－n ＋32n －5n2n ＋1＝(n ＋3)(2n －2n －1)2n (2n ＋1)，于是确定T n 与5n2n ＋1的大小关系等价于比较2n 与2n ＋1的大小，由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；… 可猜想当n ≥3时，2n ＞2n ＋1，证明如下：方法一：①当n ＝3时，对上式验算显示成立． ②假设当n ＝k 时成立，则n ＝k ＋1(k ≥2)时，2k ＋1＝2·2k ＞2(2k ＋1)＝4k ＋2＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)＞2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．综合①②可知，对一切n ≥3的正整数，都有2n ＞2n ＋1. 方法二：当n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2＞2n ＋1，综上所述，当n ≥3时，T n ＞5n 2n ＋1.(3)因为c n ＝3n＋(－1)n －1λ·na n＝3n ＋(－1)n －1λ·2n ，所以c n ＋1－c n ＝[3n ＋1＋(－1)n λ·2n ＋1]－[3n ＋(－1)n －1λ·2n ]＝2·3n －3λ(－1)n －1·2n ＞0，所以(－1)n －1·λ＜⎝⎛⎭⎫32n －1.① 当n ＝2k －1(k ＝1,2,3，…)时， ①式即为λ＜⎝⎛⎭⎫322k －2，②依题意，②式对k ＝1,2,3，…都成立，所以λ＜1，当n ＝2k ，k ＝1,2,3，…时，①式即为λ＞－⎝⎛⎭⎫322k －1，③ 依题意，③式对k ＝1,2,3，…都成立，所以λ＞－32，所以－32＜λ＜1，又λ≠0，所以存在整数λ＝－1，使得对任意n ∈N *有c n ＋1＞c n .。

2014年高考数学分专题复习检测

目录1、不等式 (1)2、不等式证明 (5)3、导数 (8)4、复数 (12)5、概率 (15)6、函数 (19)7、极坐标、参数方程 (22)8、几何证明 (26)9、计数原理 (30)10、立体几何与空间向量 (34)11、平面解析几何初步 (39)12、平面向量 (42)13、三角函数 (45)14、数列 (49)15、算法初步 (52)16、统计案例 (56)17、推理与证明 (60)18、圆锥曲线与方程 (64)不等式第I 卷一、选择题1.已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A, 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,02⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭(B) 13,02⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭(C) 15,02130,2⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪⎝⎭⎪⎭ (D) 52,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 2.若0ab<<11,则下列不等式:a b ab +<①;a b >②;a b <③中,正确的不等式有( ) A.0个 B.1个 C.2个D.3个3.圆22240x y x y ++-+=1关于直线220ax by -+=(,a b ∈)R 对称,则ab 的取值范围是( )A.,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦1B.0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦1C.,04⎛⎫- ⎪⎝⎭1D.,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1 4.已知0,0x y >>,且2x y+=11,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是( )A.m ≥4或2m -≤B.2m ≥或4m -≤C.24m -<<D.42m -<<5.已知集合{}{}2|(1)4,,1,0,1,2,3M x x x R N =-<∈=-，则=N M（A ）{}2,1,0（B ）{}2,1,0,1- （C ）{}3,2,0,1- （D ）{}3,2,1,06.设函数()m f x x ax =+的导函数'()2f x x =+1,则不等式()6f x -<的解集是( )A.{|23}x x -<<B.{|32}x x -<<C.{|32}x x x ><-或D.{|23}x x x ><-或7.若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +-++-<对一切实数x 均成立,则m 的取值范围( )A.(,1)-∞-B.13(,]11-∞C.(,1]-∞-D.13(,)11-∞8.设变量,x y 满足,,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥110,，则2x y +的最大值和最小值分别是()A.1,-1B.2,-2C.1,-2D.2,-1第Ⅱ卷二、填空题9.设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值的和__________。

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【冲击高分系列】2014年高考数学（文）难题专项训练：推理与证明1.(2013北京海淀区5月模拟卷，8,5分) 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足，则下列结论中错误的是()A. 若m=，则B. 若，则m可以取3个不同的值C. 若，则数列是周期为3的数列D. 且，数列是周期数列2.(2013年山东省高三4月巩固性练习，12,5分) 已知函数若函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为()A．B．C．D．3.（2012宁夏高三三模,12, 5分）已知有穷数列A: a1, a2, …, a n(n≥2, n∈N) . 定义如下操作过程T: 从A中任取两项a i, a j, 将的值添在A的最后, 然后删除a i, a j, 这样得到一系列n-1项的新数列A1(约定: 一个数也视作数列) ; 对A1的所有可能结果重复操作过程T, 又得到一系列n-2项的新数列A2; 如此经过k次操作后得到的新数列记作A k. 设A: -, 则A3的可能结果是()A. 0B.C.D.4.(2012大纲全国, 12, 5分) 正方形ABCD的边长为1, 点E在边AB上, 点F在边BC上, AE=BF=. 动点P从E出发沿直线向F运动, 每当碰到正方形的边时反弹, 反弹时反射角等于入射角. 当点P第一次碰到E时, P与正方形的边碰撞的次数为()A. 8B. 6C. 4D. 35. (2007上海, 15, 4分)设f(x)是定义在正整数集上的函数, 且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时, 总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”. 那么, 下列命题总成立的是()A. 若f(1)<1成立, 则f(10)<100成立B. 若f(2)<4成立, 则f(1)≥1成立C. 若f(3)≥9成立, 则当k≥1时, 均有f(k)≥k2成立D. 若f(4)≥25成立, 则当k≥4时, 均有f(k)≥k2成立6.(2013年广东省广州市高三4月综合测试，13,5分) 数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则；．7.(2013年山东省高三4月巩固性练习，16,5分) 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为.8.(2013年湖北七市高三4月联合考试，16,5分) 挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图) ，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=a1(b1-b2) +L2(b2-b3) +L3(b3-b4) +…+L n-1(b n-1-b n) +L n b n，则其中：(I) L3=；(Ⅱ) L n=．9.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，17,5分）如图所示，将数以斜线作如下分群：(1) ，(2，3) ，(4，6，5) ，（8，12，10，7），（16，24，20，14，9），…，并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…，则第7群中的第2项是；第群中个数的和是.…10.(2013山东青岛高三三月质量检测，16,5分) 给出以下命题：①双曲线的渐近线方程为；②命题“，” 是真命题；③已知线性回归方程为，当变量增加个单位，其预报值平均增加个单位；④已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为，（）则正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．11.(2012江西省临川一中，师大附中高三联考，14,5分)若是等比数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若是等差数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：_______.12.（2012山东省济南市第二次模拟，16,5分）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n个等式为__________.13. （2013高考仿真卷四, 16, 5分）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的, 第n行有n个数且两端的数均为(n≥2) , 每个数是它下一行左右相邻两数的和, 如=+=+=+, …, 则第10行第3个数(从左往右数) 为.…………14.(2012湖南, 16, 5分) 对于n∈N*, 将n表示为n=a k×2k+a k-1×2k-1+…+a1×21+a0×20, 当i=k时, a i=1, 当0≤i≤k-1时, a i为0或1. 定义b n如下: 在n的上述表示中, 当a0, a1, a2, …, a k中等于1的个数为奇数时, b n=1; 否则b n=0.(1) b2+b4+b6+b8=;(2) 记c m为数列{b n}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数, 则c m的最大值是.15. (2012湖北, 17, 5分) 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3, 6, 10, …记为数列{a n}, 将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n},可以推测:(1) b2 012是数列{a n}中的第项;(2) b2k-1=. (用k表示)16.(2010上海, 12, 4分)在n行n列矩阵中, 记位于第i行第j列的数为a ij(i, j=1, 2, …, n). 当n=9时,a11+a22+a33+…+a99=.17.(2010福建, 16, 5分)观察下列等式:①cos 2α=2cos2α-1;②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1;③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.可以推测, m-n+p=.18.(2013北京海淀区5月模拟卷，20,13分）设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表如表1所示，若经过两次“操作” ，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作” 后所得的数表（写出一种方法即可）；(Ⅱ) 数表如表2所示，若必须经过两次“操作” ，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；(Ⅲ) 对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作” 以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.19.(2013北京西城区高三三月模拟，20，13分）已知集合．对于，，定义；；与之间的距离为．（Ⅰ）当时，设，，求；（Ⅱ）证明：若，且，使，则；（Ⅲ）记．若，，且，求的最大值．20.21.22. 已知△ABC的三边长为有理数.(Ⅰ)求证:cos A是有理数;(Ⅱ)求证:对任意正整数n, cos nA是有理数.23.(2012北京西城区第二次模拟，20,14分)若正整数，则称为的一个“分解积”．（Ⅰ）当分别等于时，写出的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数的分解积最大时，证明：中的个数不超过；（Ⅲ）对任意给定的正整数，求出，使得的分解积最大．24. (2012北京海淀区期末卷，20，14分）将一个正整数表示为a1+a2+…+a p(p∈N*)的形式，其中a i ∈N*，，且，记所有这样的表示法的种数为（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故）.（Ⅰ）写出的值，并说明理由；（Ⅱ）证明：f(n-1)-f(n)≧1（）；（Ⅲ）对任意正整数，比较与的大小，并给出证明．25.(2012山东, 22, 13分) 已知函数f(x) =(k为常数, e=2. 718 28…是自然对数的底数) , 曲线y=f(x) 在点(1,f(1) ) 处的切线与x轴平行.(1) 求k的值;(2) 求f(x) 的单调区间;(3) 设g(x) =xf '(x) , 其中f '(x) 为f(x) 的导函数. 证明: 对任意x>0, g(x) <1+e-2.26.(2012陕西, 21, 14分) 设函数f(x) =x n+bx+c(n∈N+, b, c∈R) .(1) 设n≥2, b=1, c=-1, 证明:f(x) 在区间内存在唯一零点;(2) 设n为偶数, |f(-1) |≤1, |f(1) |≤1, 求b+3c的最小值和最大值;(3) 设n=2, 若对任意x1, x2∈[-1, 1], 有|f(x1) -f(x2) |≤4, 求b的取值范围.27. (2008上海, 21, 18分)已知数列{a n}∶a1=1, a2=2, a3=r, a n+3=a n+2(n是正整数), 与数列{b n}∶b1=1,b2=0, b3=-1, b4=0, b n+4=b n(n是正整数). 记T n=b1a1+b2a2+b3a3+…+b n a n.(Ⅰ)若a1+a2+a3+…+a12=64, 求r的值;(Ⅱ)求证:当n是正整数时, T12n=-4n;(Ⅲ)已知r>0, 且存在正整数m, 使得在T12m+1, T12m+2, …, T12m+12中有4项为100. 求r的值, 并指出哪4项为100.答案1.D2.C3.B4.B5. D6.36;39817.98.（Ⅰ）；（Ⅱ）9.，10. ①③④11.12.13.14.(1) 3(2) 215.(1) 5 030(2)16. 4517. 96218.（I）每一列所有数之和分别为-1，3，3，-6，每一行所有数之和分别为，0. 方法1：方法2：方法3：（写出一种即可）……………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1.因为必须经过两次“操作” ，所以要操作第三列和第一行.①如果操作第三列，则有：所以第一行之和为，第二行之和为，所以解得，又是整数，所以.②如果操作第一行，则有：所以每一列之和分别为，，，，所以解得.综上所得，.…………………10分(III) 能，理由如下：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止, 终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立.…………………13分19.（Ⅰ）由于，则，即．…………3分（Ⅱ）设，，．因为，使，所以，使得，所以，使得，其中．所以与同为非负数或同为负数．所以，所以．………8分（Ⅲ）解法一．设中有项为非负数，项为负数．不妨设时，；时，．所以因为，所以，整理得．所以．因为；又，所以．即．对于，，有，，且，．综上所得，的最大值为．………13分解法二首先证明如下引理：设，则有．证明：因为，，所以，即．所以．上式等号成立的条件为，或，所以．对于，，有，，且，．综上所得，的最大值为．………13分20.解法一：（Ⅰ）因为动点点到定点的距离与到定直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为即曲线的方程为．………4分（Ⅱ）假设是直角三角形，不妨设，则，则.设，，，必有，，则，，所以．又，则所以，所以，又，，所以，所以，整理得……………………………8分又,所以.又，所以.所以，所以，即．所以，①又，] 所以，整理得即．②由①②得，所以．③设，则有，则．所以无解，所以方程③无解，所以假设不成立，所以△ABC不可能是直角三角形．…………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设，，，由，得，．当轴时，，，从而，，即点的坐标为．由于点在上，所以，即，此时，，，所以,很明显此时△ABC不可能是直角三角形．…………8分当与轴不垂直时，设直线的方程为：，代入，整理得：，则．假设，则直线的斜率为，同理可得：．由，得，，．由，可得．从而，整理得：，即，①设，则，则．所以方程无解，所以方程①无解，所以假设不成立，不可能是直角.同理可证和也不可能是直角，综合得可知不可能是直角三角形．…………………12分21.（1）对任意正整数，有，.所以数列是首项,公差为等差数列；数列是首项,公比为的等比数列.所以对任意正整数，有,.所以数列的通项公式为:或…………………………3分对任意正整数,..所以数列的前项和为:.或.7分(2) 由（1）得，，则有：所以必有，又，则①当时, ,即；②当时,，令,解得，则有；③当时, 则，假设存在,使得从而,得,所以，所以，所以，所以,此时.综上可知, 存在正整数，使得，并且正整数对只有两对：与…………………14分：22. .(Ⅰ)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cos A=是有理数.(Ⅱ)用数学归纳法证明cos nA和sin A·sin nA都是有理数.①当n=1时, 由(Ⅰ)知cos A是有理数, 从而有sin A·sin A=1-cos2A也是有理数.②假设当n=k(k≥1)时, cos kA和sin A·sin kA都是有理数.当n=k+1时, 由cos(k+1)A=cos A·cos kA-sin A·sin kA,sin A·sin(k+1)A=sin A·(sin A·cos kA+cos A·sin kA)=(sin A·sin A)·cos kA+(sin A·sin kA)·cos A, 及①和归纳假设, 知cos(k+1)A与sin A·sin(k+1)A都是有理数. 即当n=k+1时, 结论成立.综合①、②可知, 对任意正整数n, cos nA是有理数.23.（Ⅰ）则当6=3+3时，6的分解积取最大值；………………1分同理可得，当时，7的分解积取最大值；………………2分当时，8的分解积取最大值．………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当7的分解积最大时，.所以中可以有个．………………4分假设有个或个以上的时，因为，且，所以，此时分解积不是最大的．所以假设不成立，因此，中至多有个．………………7分（Ⅲ）①当中有时，因为，且，所以，此时分解积不是最大，可以将加到其他加数中，使得分解积变大．………………8分②由（Ⅱ）可知，中至多有个．③当中有时，若将分解为，由①可知分解积不会最大；若将分解为，则分解积相同；若有两个，因为，且，所以将改写为，使得分解积更大．因此，中至多有个，而且可以写成．………………10分④当中有大于的数时，不妨设，则有，所以将分解为会使得分解积更大．………………11分综上所述，中只能出现或或，且不能超过个，不能超过个．于是，当时，使得分解积最大；…………12分当时，使得分解积最大；………………13分当时，使得分解积最大．………………14分24.（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以．因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，所以．……………………………………3分（Ⅱ）证明：因为，把的一个表示法中的去掉，就可得到一个的表示法；反之，在的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个的表示法，即的表示法中的表示法种数等于的表示法种数，所以表示的是的表示法中的表示法数.即．……………………………………8分（Ⅲ）结论是.证明如下：由结论知，只需证由（Ⅱ）知：表示的是的表示法中的表示法数，表示的是的表示法中的表示法数．考虑到，把一个的的表示法中的加上1，就可变为一个的的表示法，这样就构造了从的的表示法到的的表示法的一个对应，所以有即……………………………………14分25.(1) 由f(x) =,得f '(x) =, x∈(0, +∞) ,由于曲线y=f(x) 在(1,f(1) ) 处的切线与x轴平行,所以f '(1) =0, 因此k=1.(2) 由(1) 得f '(x) =(1-x-xln x) , x∈(0, +∞) ,令h(x) =1-x-xln x, x∈(0, +∞) ,当x∈(0, 1) 时, h(x) >0;当x∈(1, +∞) 时, h(x) <0.又e x>0,所以x∈(0, 1) 时, f '(x) >0;x∈(1, +∞) 时, f '(x) <0.因此f(x) 的单调递增区间为(0, 1) , 单调递减区间为(1, +∞) .(3) 证明: 因为g(x) =xf '(x) ,所以g(x) =(1-x-xln x) , x∈(0, +∞) .由(2) h(x) =1-x-xln x,求导得h'(x) =-ln x-2=-(ln x-ln e-2) ,所以当x∈(0, e-2) 时, h'(x) >0, 函数h(x) 单调递增;当x∈(e-2, +∞) 时, h'(x) <0, 函数h(x) 单调递减.所以当x∈(0, +∞) 时, h(x) ≤h(e-2) =1+e-2.又当x∈(0, +∞) 时, 0<<1,所以当x∈(0, +∞) 时, h(x) <1+e-2, 即g(x) <1+e-2.综上所述结论成立.26.(1) 当b=1, c=-1, n≥2时,f(x) =x n+x-1.∵f f(1) =×1<0,∴f(x) 在内存在零点.又当x∈时, f '(x) =nx n-1+1>0,∴f(x) 在上是单调递增的,∴f(x) 在内存在唯一零点.(2) 解法一: 由题意知即由图象知, b+3c在点(0, -2) 取到最小值-6, 在点(0, 0) 取到最大值0,∴b+3c的最小值为-6, 最大值为0.解法二: 由题意知-1≤f(1) =1+b+c≤1, 即-2≤b+c≤0, ①-1≤f(-1) =1-b+c≤1, 即-2≤-b+c≤0, ②①×2+②得-6≤2(b+c) +(-b+c) =b+3c≤0,当b=0, c=-2时, b+3c=-6;当b=c=0时, b+3c=0,所以b+3c的最小值为-6, 最大值为0.解法三: 由题意知解得b=,c=,∴b+3c=2f(1) +f(-1) -3.又∵-1≤f(-1) ≤1, -1≤f(1) ≤1,∴-6≤b+3c≤0,当b=0, c=-2时, b+3c=-6;当b=c=0时, b+3c=0,所以b+3c的最小值为-6, 最大值为0.(3) 当n=2时,f(x) =x2+bx+c.对任意x1, x2∈[-1, 1]都有|f(x1) -f(x2) |≤4等价于f(x) 在[-1, 1]上的最大值与最小值之差M≤4. 据此分类讨论如下:(i) 当>1, 即|b|>2时, M=|f(1) -f(-1) |=2|b|>4, 与题设矛盾.(ii) 当-1≤-<0, 即0时,M=f(1) -f=≤4恒成立.(iii) 当0≤-≤1, 即-2≤b≤0时,M=f(-1) -f=≤4恒成立.综上可知, -2≤b≤2.注: (ii) (iii) 也可合并证明如下:用max{a, b}表示a, b中的较大者.当-1≤-≤1, 即-2≤b≤2时,M=max{f(1) ,f(-1) }-f=+-f=1+c+|b|-=≤4恒成立.27.(Ⅰ)a1+a2+a3+…+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r.∵48+4r=64, ∴r=4.(Ⅱ)证明:用数学归纳法证明:当n∈Z+时, T12n=-4n.①当n=1时, T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4, 等式成立.②假设n=k时等式成立, 即T12k=-4k,那么当n=k+1时,T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11 =-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8) =-4k-4=-4(k+1), 等式也成立.根据①和②可以断定:当n∈Z+时, T12n=-4n. (Ⅲ)T12m=-4m(m≥1).当n=12m+1, 12m+2时, T n=4m+1;当n=12m+3, 12m+4时, T n=-4m+1-r;当n=12m+5, 12m+6时, T n=4m+5-r;当n=12m+7, 12m+8时, T n=-4m-r;当n=12m+9, 12m+10时, T n=4m+4;当n=12m+11, 12m+12时, T n=-4m-4.∵4m+1是奇数, -4m+1-r, -4m-r, -4m-4均为负数, ∴这些项均不可能取到100.∴4m+5-r=4m+4=100, 解得m=24, r=1,此时T293, T294, T297, T298为100.。