2021高考数学推理与证明专题
2021年高考数学分项汇编 专题14 推理与证明、新定义(含解析)理
2021年高考数学分项汇编专题14 推理与证明、新定义（含解析）理
一．基础题组
1. 【xx全国，理12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】 B
2. 【xx全国3，理12】计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= （）
A．6E B．72 C．5F D．B0
【答案】B
【解析】
21394 5392 厒30408 76C8 盈34789 87E5 蟥36659 8F33 輳+28622 6FCE 濎Z27198 6A3E 樾O26836 68D4 棔s33087 813F 脿\25050 61DA 懚。
高考数学(理)三年真题专题演练—不等式、推理与证明
1．【2021·浙江高考真题】若实数x，y满足约束条件 ，则 的最小值是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画出满足条件的可行域，目标函数化为 ，求出过可行域点，且斜率为 的直线在 轴上截距的最大值即可.
【详解】
画出满足约束条件 的可行域，
如下图所示：
故选：B
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A． B．
C． D．
下面来说明选项A的正确性：
设集合 ，且 ， ，
则 ，且 ，则 ，
同理 ， ， ， ， ，
若 ，则 ，则 ，故 即 ，
又 ，故 ，所以 ，
故 ，此时 ，故 ，矛盾，舍.
若 ，则 ，故 即 ，
又 ，故 ，所以 ，
故 ，此时 .
若 ，则 ，故 ，故 ，
即 ，故 ，
此时 即 中有7个元素.
故A正确.
故选：A．
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
2021年高考数学(理)一轮复习讲义 第7章 7.5 推理与证明
§7.5推理与证明1．合情推理2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．3．直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．4．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．5．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．概念方法微思考1．合情推理所得结论一定是正确的吗？提示合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确．2．综合法与分析法的推理过程有何区别？提示综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．(×)题组二教材改编2．已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案 C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a n＝n2.3．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．答案b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，b29＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．题组三易错自纠4．正弦函数是奇函数，f (x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f (x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析 f (x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．5．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案 A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A. 6．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立．则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验证的不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案 D解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法.合情推理与演绎推理命题点1归纳推理例1 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为()A ．81B ．121C ．364D ．1 093答案 C解析 由图可知，每一个图形中去掉小三角形的个数等于前一个图形去掉小三角形个数的3倍加1，所以，n ＝1时，a 1＝1； n ＝2时，a 2＝3＋1＝4； n ＝3时，a 3＝3×4＋1＝13； n ＝4时，a 4＝3×13＋1＝40； n ＝5时，a 5＝3×40＋1＝121； n ＝6时，a 6＝3×121＋1＝364，故选C. 命题点2 类比推理例2 在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间中，则三棱锥中的类似结论为____________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.命题点3 演绎推理例3 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 思维升华 (1)归纳推理问题的常见类型及解题策略①与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号． ②与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律．③与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性． (2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．(3)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提．跟踪训练1 (1)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0202<________.答案4 0392 020解析 由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2 020，分子是一个以3为首项，2为公差的等差数列中的项，所以a 2 019＝3＋(2 019－1)×2＝4 039.(2)祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图①是一个半径为R 的半球体，图②是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体．(圆柱和圆锥的底面半径和高均为R )利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在xOy 坐标系中，设抛物线C 的方程为y ＝1－x 2 (－1≤x ≤1)，将曲线C 围绕y 轴旋转，得到的旋转体称为抛物体．利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4 答案 B解析 构造如图所示的直三棱柱，高设为x ，底面两个直边长为2,1，若底面积相等得到，2x ＝π×12，x ＝π2.下面说明截面面积相等，设截面距底面为t ，矩形截面长为a ，圆形截面半径为r ， 由左图得到，a 2＝1－t1，∴a ＝2(1－t )，∴截面面积为2(1－t )×π2＝(1－t )π，由右图得到，t ＝1－r 2(坐标系中易得)，∴r 2＝1－t ， ∴截面面积为(1－t )π，∴二者截面面积相等，∴体积相等．∴抛物体的体积为V 三棱柱＝Sh ＝12×2×1×π2＝π2.故选B.(3)某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( ) A ．今天是周六 B ．今天是周四 C ．A 车周三限行 D ．C 车周五限行答案 B解析 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四．故选B.直接证明与间接证明命题点1 综合法例4 已知a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≤3； (2)13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝(a ＋b ＋c )＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤(a ＋b ＋c )＋(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝3，∴a ＋b ＋c ≤3(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． (2)∵a >0，∴3a ＋1>1， ∴43a ＋1＋(3a ＋1)≥243a ＋1·(3a ＋1)＝4， ∴43a ＋1≥3－3a ⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝13时，取等号， 同理得43b ＋1≥3－3b ，43c ＋1≥3－3c ，以上三式相加得4⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9－3(a ＋b ＋c )＝6， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)．命题点2 分析法 例5 已知a >0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证a 2＋1a 2－2≥ a ＋1a－2，只需证a 2＋1a2 ≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)． 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)>0， 所以只需证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 22≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)2，即2(2－2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a ≥8－42， 只需证a ＋1a≥2.因为a >0，a ＋1a≥2显然成立⎝⎛⎭⎫当a ＝1a ＝1时等号成立，所以要证的不等式成立． 命题点3 反证法例6 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．(1)解 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)． (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋2，假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r. 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0，因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， 所以p ＝r ，与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．思维升华 (1)综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复杂问题，可采用两头凑的方法．(2)反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论． 跟踪训练2 设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． (2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立， 则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾． 故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．数学归纳法例7 数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立．证明 ①当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12.则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1 >4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②知对一切大于1的自然数n ，不等式都成立．思维升华 用数学归纳法证明与n 有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．跟踪训练3 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立． (1)解 由题意得，S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)． 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝S 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，所以当a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b 时，解得r ＝－1.(2)证明 由(1)及b ＝2知a n ＝2n －1. 因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式>右式，所以结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，当n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立.1．“对数函数是非奇非偶函数，f (x )＝log 2|x |是对数函数，因此f (x )＝log 2|x |是非奇非偶函数”，以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提错误 C ．小前提错误 D ．推理形式错误答案 C解析 本命题的小前提是f (x )＝log 2|x |是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f (x )＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝log a x(a>0且a≠1)的才是对数函数．故选C.2．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是()A．18 B．17 C．16 D．15答案 B解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故选B.3．设x ，y ，z 为正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2答案 C解析 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6，而a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋⎝⎛⎭⎫y ＋1y ＋⎝⎛⎭⎫z ＋1z ≥2＋2＋2＝6(当且仅当x ＝y ＝z ＝1，等号成立)，与a ＋b ＋c <6矛盾，∴a ，b ，c 都小于2错误．∴a ，b ，c 三个数至少有一个不小于2.4．分析法又称执果索因法，已知x >0，用分析法证明1＋x <1＋x2时，索的因是( )A ．x 2>1B ．x 2>4C ．x 2>0D ．x 2>1 答案 C解析 因为x >0，所以要证1＋x <1＋x2，只需证(1＋x )2<⎝⎛⎭⎫1＋x22， 即证0<x 24，即证x 2>0，因为x >0，所以x 2>0成立， 故原不等式成立．5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，那么下列命题总成立的是( ) A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1成立C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立 答案 D解析 当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，说明如果当k ＝n 时，f (n )≥n ＋1成立，那么当k ＝n ＋1时，f (n ＋1)≥n ＋2也成立，所以如果当k ＝4时，f (4)≥5成立，那么当k ≥4时，f (k )≥k ＋1也成立．6．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 答案 1和3解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．7．(2019·上饶模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________. 答案 3πr 4解析 二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S ，∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.8．已知f (x )＝x 1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *，则f 2 020(x )的表达式为________．答案f2 020(x)＝x1＋2 020x解析f1(x)＝x1＋x，f2(x)＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，f3(x)＝x1＋2x1＋x1＋2x＝x1＋3x，…，f n＋1(x)＝f (f n(x))＝x1＋(n＋1)x，归纳可得f2 020(x)＝x1＋2 020x.9.如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面的结论有________．答案S2＝S21＋S22＋S23解析三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2＝S21＋S22＋S23.10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2 018这2 017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为________．答案 336解析 因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项a n ＝6n ＋1，设6n ＋1≤2 018，所以6n ≤2 017，所以n ≤33616. 所以此数列的项数为336.11．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c . 证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0. 由于a ，b ，c 是不全相等的正数，∴上述三个不等式中等号不能同时成立，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc >0成立． 上式两边同时取常用对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg abc ， ∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c . 12．已知x i >0(i ＝1,2,3，…，n )，我们知道(x 1＋x 2)·⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2≥4成立． (1)求证：(x 1＋x 2＋x 3)⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋1x 3≥9； (2)同理我们也可以证明出(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)·⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋1x 3＋1x 4≥16.由上述几个不等式，请你猜测一个与x 1＋x 2＋…＋x n 和1x 1＋1x 2＋…＋1x n(n ≥2，n ∈N *)有关的不等式，并用数学归纳法证明． (1)证明 方法一 (x 1＋x 2＋x 3)⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋1x 3≥33x 1x 2x 3·331x 1·1x 2·1x 3＝9(当且仅当x 1＝x 2＝x 3时，等号成立)． 方法二 (x 1＋x 2＋x 3)⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋1x 3＝3＋⎝⎛⎭⎫x 2x 1＋x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 3x 1＋x 1x 3＋⎝⎛⎭⎫x 3x 2＋x 2x 3≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当x 1＝x 2＝x 3时，等号成立)．(2)解 猜想：(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n≥n 2(n ≥2，n ∈N *)．证明如下：①当n ＝2时，由已知得猜想成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，猜想成立，即(x 1＋x 2＋…＋x k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k≥k 2， 则当n ＝k ＋1时，(x 1＋x 2＋…＋x k ＋x k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k ＋1x k ＋1 ＝(x 1＋x 2＋…＋x k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k ＋(x 1＋x 2＋…＋x k )1x k ＋1＋x k ＋1⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k ＋1 ≥k 2＋(x 1＋x 2＋…＋x k )1x k ＋1＋x k ＋1⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k ＋1 ＝k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x k ＋1＋x k ＋1x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x k ＋1＋x k ＋1x 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x k x k ＋1＋x k ＋1x k ＋1≥k 2＋22k ++个…+2＋1 ＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．综合①②可知，猜想成立．13．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域． 14．对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列．证明 (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ，因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此，当n≥3时，a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＝4a n，①当n≥4时，a n－3＋a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＝6a n.②由①知，a n－3＋a n－2＝4a n－1－(a n＋a n＋1)，③a n＋2＋a n＋3＝4a n＋1－(a n－1＋a n)．④将③④代入②，得a n－1＋a n＋1＝2a n，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，所以数列{a n}是等差数列．15.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·n (n －1)2＝3n 2－3n ＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC ＝DB ＝14AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ，现给出有关数列{S n }的四个命题： ①数列{S n }不是等比数列；②数列{S n }是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n >2 019； ④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 019. 其中真命题的序号是________．答案 ①②④解析 由题意，得图1中的线段为a ，S 1＝a ，图2中的正六边形的边长为a 2， S 2＝S 1＋a 2×4＝S 1＋2a ， 图3中的最小正六边形的边长为a 4， S 3＝S 2＋a 4×4＝S 2＋a ， 图4中的最小正六边形的边长为a 8， S 4＝S 3＋a 8×4＝S 3＋a 2， 由此类推，S n －S n －1＝a 2n －3(n ≥2)， 即{S n }为递增数列，且不是等比数列，即①，②正确；因为S n ＝S 1＋(S 2－S 1)＋(S 3－S 2)＋…＋(S n －S n －1)＝a ＋2a ＋a ＋a 2＋…＋a 2n －3＝a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝a ＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<5a (n ≥2，n ∈N *)， 又S 1＝a <5a ，所以存在最大的正数a ＝2 0195， 使得对任意的正整数n ，都有S n <2 019， 即④正确，③错误．。
2021-2022年高考数学总复习 专题13 推理与证明、新定义分项练习(含解析)
2021年高考数学总复习专题13 推理与证明、新定义分项练习（含解析）一．基础题组1. 【xx上海,理14】已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足(|OQ1|－2)(|OR1|－2)＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足(|OQ2|－2)(|OR2|－2)＜0，依次下去，得到P1，P2，…，P n，…，则______.【答案】【解析】2. (xx上海,理13)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)___________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.【答案】（3，3）【解析】设确定的格点为（x,y)，由题意知确定的格点到已知的6个格点路程的和最短，即为x,y分别到6个格点的横.纵坐标距离和最小，6个格点的横坐标由小到大排列为-2,-2,3,3,4,6，所以x=3时到这6个数的距离和最小.同理y=3时，y到6个格点纵坐标距离之和最小.故所求的格点为(3,3).3. 【xx上海,文15】如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）Ａ．B． C． D．【答案】4. 【xx上海,理9】若为非零实数，则下列四个命题都成立：①②③若，则④若，则。
则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是。
5. 【xx上海,理10】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．【答案】36【解析】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，分情况讨论：①对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24个；②对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个；所以正方体中“正交线面对”共有36个．6. 【xx上海,文12】如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是 （1，2）的点的个数是____________. 【答案】47. 【xx 上海,文16】用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵.对第行，记in ni i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，等于（ ）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720 【答案】－1080【解析】在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，1080360536043603360236012021-=⨯-⨯+⨯-⨯+-=+++b b b二．能力题组8. 【xx 上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分. 若实数、、满足，则称比远离. （1）若比远离，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离； （3）已知函数的定义域|,,24k D x x k Z x R ππ⎧⎫=≠+∈∈⎨⎬⎩⎭.任取，等于和中远离的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）. 【答案】（1）（2）（3）(3)3 sin,(,)44()cos,(,)44x x k kf xx x k kππππππππ⎧∈++⎪⎪=⎨⎪∈-+⎪⎩，性质：1︒f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2︒f(x)是周期函数，最小正周期，3︒函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，k∈Z，4︒函数f(x)的值域为．【点评】本题给人耳目一新的感觉，问题的表述比较陌生，提问方式新颖，考生需要较强的数学理解和化归能力，对考生的综合数学能力要求较高．但认真分析一下就会有“他乡遇故知”的感觉——函数与不等式的综合.9. 【xx上海,理16】如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题：①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是（）（A）0；（B）1；（C）2；（D）3．【答案】D②若＝0，且＋≠0，则p 与q 中有一个为0，另一个不为0， “距离坐标”为（， ）的点可以在直线l 1或直线l 2上，例如（p ，q ）=(0，1)，则点M 在直线l 2上，且到O 点距离为1，这样的点有2个，命题②正确；③若≠0，则p ≠0，q ≠0，“距离坐标”为（，）的点在两条直线相交而成的四个区域内，这样的点有且仅有4个．正确上述命题中，正确命题的个数是3个，选D .10. 【xx 上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．在直角坐标平面中，已知点，，，…，，其中是正整数．对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，……，为关于点的对称点． （1） 求向量的坐标；（2） 当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周 期函数，且当时，，求以曲线为图象的函数在的解析式； （3）对任意偶数，用表示向量的坐标 【答案】（1）（2，4）；（2）；（3）因此，基线C 是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当.4)1lg()(,]4,1(,,4)2lg()(,]1,2(--=∈-+=-∈x x g x x x g x 时当于是时设⎩⎨⎧=-=-42),,(),,(222220y y x x y x A y x A 于是若).3lg()3()(,330,6322222-=-=≤-<≤<x x f x f x x 于是则当),1lg(4.63,412-=+≤<≤<x y x x 则时 当时， 。
2021年高考数学一轮复习 第31讲 推理与证明问题经典回顾 理
2021年高考数学一轮复习 第31讲 推理与证明问题经典回顾 理题一：若数列是等差数列，则有数列也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则有数列*________,()n d n N =∈也是等比数列？题二：在等差数列中，若，则有等式 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.题三：在一个有限实数列中，任意接连７项之和为负，任意接连11项之和为正，求证：这样的数列的项数不超过16.题四：用反证法证明：1，，2不可能是一个等差数列中的三项题五：找出三角形和空间四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质（1）三角形的两边之和大于第三边.题六： （2）三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边.题七： （3）三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心. 题八： （4）三角形的面积为S=（a+b+c ）r （r 为内切圆半径）.题九：如图,平面中三角形有,类比平面研究三棱锥的元素关系，可以得出的正确结论是题十：将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第 行． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………………题十一： ⑴下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆总数为S ，按此规律推断，S 与n 的关系式是＿＿＿＿＿＿.n=2 n=3 n=4 S=3 S=6 S=9⑵观察下列的图形中小正方形的个数，则第个图中有 个小正方形.题十二： 已知：,通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明题十三： 观察下列等式： ① cos2a=2-1; ② cos4a=8- 8+ 1;③ cos6a=32- 48+ 18- 1;④ cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; ⑤ cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1. 可以推测，m – n + p = .题十四：对任意实数x 、y ，定义运算＝ax ＋by ＋cxy ，其中a 、b 、c 为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知1*2＝3，2*3＝4，且有一个非零实数m ，使得对任意实数x ，都有，则m ＝ ．题十五：用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值； 题十六：设函数中，均为整数，且均为奇数.求证：无整数根. 题十七：已知，求证：中至少有一个不小于.第31讲 推理与证明问题经典回顾题一：详解：由已知“等差数列前n 项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n 项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到*)n d n N =∈也是等比数列题二：),12(*122121N n k n b b b b b b n k n ∈-<⋅⋅⋅=⋅⋅⋅--详解： 等差数列用减法定义性质用加法表述（若且则）； 等比数列用除法定义性质用乘法表述（若且则）.由此，猜测本题的答案为：).,17(*172121N n n b b b b b b n n ∈<⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-n=1 n=2 n=3 n=4 n=5事实上，对等差数列，如果，则 . 所以有： ）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：),12(*122121N n k n b b b b b b n k n ∈-<⋅⋅⋅=⋅⋅⋅--成立.题三：证明：假设数列的项数至少是17，则有x 1+x 2+…＋x 7<0，x 2+x 3+…＋x 8<0，…，x １１+x １２+…＋x 17<0，将以上各式相加得：（x 1+x 2+…＋x 11）+（x ２+x ３+…＋x １２）＋…＋（x ７+x ８+…＋x １7）<0，＊但这与条件任意接连11项之和为正，即x 1+x 2+…＋x １１>0，x 2+x 3+…＋x １２>0，…，x ７+x ８+…＋x １7>0，相矛盾，故项数不超过16.＊处所说的各式相加后, x 1一共有1个, x 2一共有2个, x 3一共有3个,…x 7一共有7个, x 8, x 9, x 10, x 11分别一共有7个, x 12一共有6个, x 13一共有5个,…x 17一共有1个.题四：证明：,假设1，，2是一个等差数列中的三项,设这一等差数列的公差为d ，则，其中m ，n 为某两个正整数，由上两式中消去d ，得到，因为为有理数，为无理数，所以，因此假设不成立，1，，2不能为同一等差数列中的三项。
2021届高考数学一轮温习 推理与证明、算法初步、复数专题训练(1)
推理与证明、算法初步、复数一、基础知识要记牢 (1)复数的模： 复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2.(2)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．专门地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(3)复数的除法一样是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 二、经典例题领会好[例1] (1)(2021·安徽高考)设i 是虚数单位，假设复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，那么a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2021·陕西高考)设z 1，z 2是复数，那么以下命题中的假命题是( ) A ．假设|z 1－z 2|＝0，那么z 1＝z 2 B ．假设z 1＝z 2，那么z 1＝z 2 C ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 1·z 1＝z 2·z 2D ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 21＝z 22[解析] (1)因为a －103－i ＝a －103＋i3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的概念，知a －3＝0，因此a ＝3.(2)A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] (1)D (2)D1与复数z 有关的复杂式子为纯虚数，可设为m i m ≠0，利用复数相等去运算较简便.2在有关复数z 的等式中，可设出z ＝a ＋b i a ，b ∈R ，用待定系数法求解.3熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：1±i2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ，设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.三、预测押题不能少1．(1)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，那么|(1－z )·z |＝( ) B ．2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝－32＋12＝10.(2)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为________． 解析：z ＝1＋i ，那么z 2z＝1＋i 21－i＝2i 1－i＝2i 1＋i 1－i1＋i＝－1＋i ，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)． 答案：(－1,1)合情推理一、基础知识要记牢 (1)类比推理的一样步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．(2)归纳推理的一样步骤：①通过观看个别事物发觉某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一样性命题．一样情形下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推行的一样性结论也就越靠得住．二、经典例题领会好[例2] (2021·陕西高考)观看以劣等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……照此规律，第n个等式可为________．[解析] 12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，……12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1n n＋12.[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n n＋12合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先依照已知的部份个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一样结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理进程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． 三、预测押题不能少2．(1)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，….依此类推，第n 个等式为__________________________．解析：由归纳推理可知，第n 个等式为2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×...×2n . 答案：2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)× (2)(2)关于命题：假设O 是线段AB 上一点，那么有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，那么有S △OBC ·OA ＋S △O CA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间的情形应该是：假设O 是四面体ABCD 内一点，那么有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，一般是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：假设O 为四面体ABCD 内一点，那么有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0程序框图一、经典例题领会好[例3] (2021·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，若是输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[解析] 当输入N ＝10时，由于k ＝1，S ＝0，T ＝1，因此T ＝11＝1，S ＝1，k ＝2，现在不知足k >10；当k ＝2时，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，现在不知足k >10；当k ＝3时，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝4，现在不知足k >10； 当k ＝4时，T ＝11×2×3×4＝14！，S ＝1＋12！＋13！＋14！，k ＝5，现在不知足k >10 ； ……当k ＝10时，T ＝11×2×3×4×…×10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！，k ＝11，现在知足k >10.因此输出S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！. [答案] B1解答有关程序框图问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构.2利用循环结构表示算法要注意：①要选择准确的表示累计的变量；②要注意在哪一步结束循环；③执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误.二、预测押题不能少3．(1)程序框图如图，若是程序运行的结果为S ＝132，那么判定框中可填入( ) A ．k ≤10 B ．k ≥10 C ．k ≤11D ．k ≥11解析：选A 输出的S 值是一个逐次积存的结果，第一次运行S ＝12，k ＝11；第二次运行S＝132，k＝10.若是现在输出结果，那么判定框中的k的最大值是10.(2)假设某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的值是( ) A．2 B．3C．4 D．5解析：选C 逐次运行的结果是n＝3，i＝2；n＝4，i＝3；n＝2，i＝4.故输出的值是4.程序框图与概率的交汇算法是新课标高考中的一大热点，专门体此刻算法的交汇性问题上，这些问题题目背景新颖，交汇自然，要紧表此刻算法与函数、数列、不等式、概率及统计的交汇．一、经典例题领会好[例] (2021·四川高考节选)某算法的程序框图如下图，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)别离求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同窗依据自己对程序框图的明白得，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部份数据．甲的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………2 100 1 027376697乙的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………2 100 1 051696353当n＝2 100时，依照表中的数据，别离写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判定两位同窗中哪一名所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的散布列及数学期望． (1)学审题——审条件之审视图表和数据程序框图――→审图 计算输出y 的值为1,2,3的数的个数―――――――→古典概型公式 概率． (2)学审题 频数统计表――→审表 各小组频数―→频率―――――→与1比较 结论．(3)学审题 条件―→确信y 的取值13−−−−−−→每次发生的概率为求出散布列―→期望值． [解] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.因此，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：输出y 的值为1的频率 输出y 的值为2的频率 输出y 的值为3的频率 甲1 0272 1003762 1006972 100 乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率，可得乙同窗所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127， 故ξ的散布列为因此，E (ξ)＝3×13＝1.即ξ的数学期望为1.此题要紧考查算法与程序框图、古典概型、频数、频率、随机变量的散布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方式解决实际问题的能力，考查数据处置能力、应用意识和创新意识.解答此题的易错点为：一是错读程序框图使此题在求解第一步时就显现错误，二是处置频数散布表中数据时运算错误. 二、预测押题不能少某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如下图的长方体ABCD EFGH 材料切割成三棱锥H ACF .(1)假设点M ，N ，K 别离是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，依照艺术品加工需要，工程师必需求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如下图，那么运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？解：(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC . ∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF.(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ， ∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ，∴e ＝12bc1－d 2＝12AC ·AF ·sin∠CAF ＝S △ACF .又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF ＝V 三棱锥H ACF .∵三棱锥H ACF 为将长方体ABCD EFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得， ∴V 三棱锥H ACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.1．(2021·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 因为x ＋y i 的共轭复数是x －y i ，应选B.2．(2021·福建质检)执行如下图的程序框图，假设输入的x 值为2，那么输出的x 值为( ) A ．3 B ．126C ．127D ．128解析：选C 假设输入的x ＝2，那么x ＝22－1＝3，而3<126，故x ＝23－1＝7，而7<126，故x ＝27－1＝127.因为127>126，因此输出的x 值为127. 3．(2021·郑州质量预测)假设复数z ＝2－i ，那么z ＋10z＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i解析：选D ∵z＝2－i，∴z＋10z＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋102＋i2－i2＋i＝6＋3i.4．(2021·江西高考)阅读如下程序框图，若是输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i －2 ＝2*i －1C ．S ＝2*i ＝2*i +4解析：选C 此框图依次执行如下循环：第一次：i ＝1，S ＝0，i ＝1＋1＝2，i 是奇数不成立，S ＝2*2＋1＝5，继续循环； 第二次：i ＝2＋1＝3，i 是奇数成立，继续循环；第三次：i ＝3＋1＝4，i 是奇数不成立，S ＝2*4+1=9，继续循环；第四次：i ＝4+1=5，i 是奇数成立，由题意知现在应跳出循环，输出i ＝5，即S ＜10不成立. 故应填S =2*i (现在S =10＜10不成立).假设填S ＝2*i ＋4，那么在第二次循环中就跳出循环．应选C. 5．(2021·河南洛阳模拟)执行如下图的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，那么能输出数对(x ，y )的概率为( )解析：选B 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≤x2表示的平面区域的面积等于∫10x 2d x ＝13x 310＝13，因此所求的概率为13.6．假设数列{a n }是等差数列，那么数列{b n }b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也为等差数列．类比这一性质可知，假设正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，那么d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 假设{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；假设{c n }是等比数列，那么c 1·c 2·…·c n＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q 12n n (-)，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列，应选D.7．已知复数z ＝1－i ，那么z 2－2z z －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i.答案：－2i8．(2021·山东高考)执行下面的程序框图，假设输入的ε的值为，那么输出的n 的值为________．解析：逐次计算的结果是F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；F 1＝5，F 0＝3，n ＝3，现在输出， 故输出结果为3. 答案：39．(2021·福建质检)观看以劣等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……那么当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22； 由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52；………依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案：n 2－m 210．已知复数z 1知足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.11．(2021·郑州质量预测)每一年的3月12日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137,121,131,120,129,119,132,123,125,133；乙：110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(1)依照抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并依照你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；(3)假设小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率散布估量整体散布，求小王领取到的“良种树苗”的株数X的散布列．解：(1)茎叶图如下图：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为；④甲种树苗的高度大体上是对称的，而且大多数集中在均值周围，乙种树苗的高度散布较为分散．(2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量． S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越良莠不齐．(3)由题意可知，领取一株甲种树苗取得“良种树苗”的概率为12，那么X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，因此随机变量X 的散布列为12．(2021·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右极点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的极点时，判定四边形OABC 是不是可能为菱形，并说明理由． 解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右极点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，因此AC 与OB 彼此垂直平分． 因此可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.因此菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下： 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的极点，且直线AC 只是原点，因此可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，那么x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.因此AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，因此直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，因此AC 与OB 不垂直．因此四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．因此当点B 不是W 的极点时，四边形OABC 不可能是菱形．。
高考数学理科真题汇编解析：第十四章推理与证明
2021年高考数学理科真题汇编解析：第十四章推理与证明第十四章推理与证明第一节合情推理与演绎推理1.〔2021全国2卷理科7〕甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老成的成．老：你四人中有2位秀，2位良好，我在甲看乙、丙的成，乙看丙的成，丁看甲的成．看后甲大家：我是不知道我的成．根据以上信息，〔〕.A．乙可以知道四人的成B．丁可以知道四人的成C．乙、丁可以知道方的成D．乙、丁可以知道自己的成1．解析四人所知只有自己看到，老所及最后甲的．甲不知道自己成→乙、丙中必有一一良〔假设两，甲会知道自己成；两良亦然〕.乙看了丙成，知道自己的成→丁看甲，甲、丁中也一一良，丁知道自己的成．故D.2.〔2021全国1卷理科12〕几位大学生响国家的号召，开了一款用件.激大家学数学的趣，他推出了“解数学取件激活〞的活.款件的激活下面数学的答案：数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一是20，接下来的两是20，21，再接下来的三是20，21，22，依此推.求足如下条件的最小整数N：N100且数列的前N和2的整数.那么款件的激活是〔〕.A.440B.330C.220 D.1102.解析首第1，接下来两第2，再接下来三第3，以此推．n1n n1n10第n的数n，n的数和2，由意得，N100，令212n1得n≥14且n *13之后，第n的和122，即N出在第，n共的和212nn12n N n1n1n，假设要使前N和2的整数，的和2k1 22n互相反数，即2k12nk N*，n≥14，klog2n3，得n的最小n29，k5，29129N25440那么.应选A.题型149 归纳推理——暂无题型150类比推理——暂无题型151演绎推理第二节证明。
菲翔学校高考数学试题解析分项 专题14 复数、推理与证明 理 试题
墨达哥州易旺市菲翔学校2021年高考试题解析数学〔理科〕分项14复数、推理与证明一、选择题:1.(2021年高考卷理科2)复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 〔A 〕第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限4.(2021年高考卷理科2)把复数z 的一共轭复数记作z ，假设1z i =+，i 为虚数单位，那么(1)z z +=〔A 〕3i -〔B 〕3i +〔C 〕13i +〔D 〕3 【答案】A 【解析】(1)1(1)(1)123z z z zz i i i i i +=+=-++-=-+=-应选A5．(2021年高考卷理科1)设复数z 满足(1+i)z=2，其中i 为虚数单位，那么Z=〔〕 A ．1+iB ．1-iC ．2+2iD ．2-2ii i i z -=-=+=1)1(2212所以选B. 6.(2021年高考卷理科1)a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，那么a=〔〕〔A 〕2〔B (D)1答案：B解析：|1|2a iai i+=-==,a>0,故 7.(2021年高考全国卷理科1)复数ii212-+的一共轭复数是〔〕 A i 53-B i 53C i -D i ; 解析：C ，因为i i 212-+=i ii i =--21)21(，所以，一共轭复数为i -，选C点评：此题考察复数的概念和运算，先化简后写出一共轭复数即可。
8.(2021年高考卷理科1)假设izi1+2=，那么复数z = A.i -2- B.i -2+ C.i 2- D.i 2+ 【答案】D 【解析】因为izi1+2==()()i i i 1+2-=2-，所以复数z =i 2+,选D. 9.(2021年高考卷理科7)观察以下各式：55=3125，65=15625，75=78125，…，那么20115的末四位数字为A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125 【答案】D【解析】观察发现幂指数是奇数的,结果后三位数字为125,故排除B 、C 选项;而201153125>,故A 也不正确,所以选D.10．(2021年高考卷理科10)如右图，一个直径为l 的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是12．(2021年高考卷理科1)i 为虚数单位，那么20111()1i i+-= A.－i B.－1答案：A解析：因为11i i i +=-,故2011201125051()(),1i i i i i i +==⋅=--所以选A.13．(2021年高考卷理科7)设集合{}22||cos sin |,My y x x x R ==-∈，1{|||2,N x x i=-<}i x R ∈为虚数单位，那么MN 为〔A 〕(0,1)〔B 〕(0,1]〔C 〕[0,1)〔D 〕[0,1] 【答案】C【解析】：由22|cos sin ||cos 2|[0,1]y x x x =-=∈即M =[0,1]由1||2x i-<2||1211x i x x +=+<⇒-<<即N =(1,1)-[0,1)M N =应选C14.(2021年高考卷理科1)复数2341i i i i++=- 〔A 〕1122i --(B)1122i -+ (C)1122i -(D)1122i +解析：选B.()()()234111111112i i i i i i ii i i i -+++--+-===---+。
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答案 A
炼技法 提能力
【方法集训】
方法 归纳推理与类比推理的应用
1.(2019 湖南邵阳二模,9)在平面几何里有射影定理:设三角形 ABC 的两边 AB⊥AC,D 是 A
点在 BC 上的射影,则 AB=BD·Байду номын сангаасC.拓展到空间,在四面体 ABCD 中,AD⊥面 ABC,点 O 是 A
在面 BCD 内的射影,且 O 在△BCD 内,类比平面三角形射影定理,得出正确的结论是( )
2.直接 证明与 间接证 明
(1)了解直接证明的两种基本方法— —分析法和综合法;了解分析法和综 合法的思考过程、特点. (2)了解间接证明的一种基本方法— —反证法;了解反证法的思考过程、 特点
3.数学 了解数学归纳法的原理,能用数学归 归纳法 纳法证明一些简单的数学命题
5 年考情
考题示例
考向
运用黄金分
则当 n<m 且 m,n∈N 时,3 +1+3 +2+…+3 -2+3 -1=
3
3
33
.(最后结果用 m,n 表示)
答案 m2-n2
【五年高考】
A 组 统一命题·课标卷题组
1.(2019 课标Ⅰ,4,5 分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长
度之比是 5-1 5-1≈0.618,称为黄金分割比例 ,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美
考点三 数学归纳法
(2020 届吉林延边二中高三开学考试,4)用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=
6+
3
,n∈N*”,
2
则当 n=k+1(k∈N*)时,左端应在 n=k 的基础上加上( )
A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3 B.(k3+1)+(k3+2)+…+(k3+k+1) C.(k+1)3 D.( +1)6+(k+1)3
2019 课标Ⅰ,4,5 分
割
估计身高
根据给出的
2017 课标Ⅱ,7,5 分 说法进行推
理
根据给出的
2016 课标Ⅱ,15,5 分 说法进行推
理
2018 江苏,19,16 分 直接证明
2017 浙江,22,15 分
用数学归纳 法证明
关联考点
预测热 度
不等式性质
★☆ ☆
利用导数研 究
函数的性质
★☆ ☆
中,经过点 B(2,3,4)且法向量为 n=(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为
.
答案 x+2y-z-4=0
考点二 直接证明与间接证明
1.(2019 湖南张家界模拟,5)用反证法证明命题“已知 a、b、c 为非零实数,且
a+b+c>0,ab+bc+ca>0,求证 a、b、c 中至少有两个为正数”时,要做的假设是( )
2
2
人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 52-1.若某人满足上述两个黄金分割
比例,且腿长为 105 cm,头顶至脖子下端的长度为 26 cm,则其身高可能是( )
A.165 cm
B.175 cm
C.185 cm
D.190 cm
答案 B
2.(2016 课标Ⅱ,15,5 分)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各取走一张卡
专题十三 推理与证明
【考情探究】
考点
内容解读
1.合情 推理与 演绎推 理
(1)了解合情推理的含义,能利用归纳 和类比等进行简单的推理,了解合情 推理在数学发现中的作用. (2)了解演绎推理的重要性,掌握演绎 推理的基本模式,并能运用它们进行 一些简单推理. (3)了解合情推理和演绎推理之间的 联系和差异
A.
2 △
=S△BCO·S△BCD B.
2 △
=םS△BOD·S△BOC
C.
2 △
ם
=S△DOC·S△BOC D.
2 △
ם
=S△ABD·S△ABC
答案 A
2.(2019 安徽六安高三下学期开学考试,16)观察下列等式:
1+2=1;
33
7+8+10+11=12;
33 3 3
136+137+139+230+232+233=39; ……
分,属中高档题.
破考点 练考向
【考点集训】
考点一 合情推理与演绎推理
1.(2019 湖南株洲模拟,5)下面四个推理中,不属于演绎推理的是( ) A.因为函数 y=sin x(x∈R)的值域为[-1,1],2x-1∈R,所以 y=sin(2x-1)(x∈R)的值域为[-1,1] B.昆虫都是 6 条腿,竹节虫是昆虫,所以竹节虫有 6 条腿 C.在平面中,对于三条不同的直线 a,b,c,若 a∥b,b∥c,则 a∥c,将此结论放到空间中也是如此 D.如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行,那么,墙上字迹离地的高度大约是他的身 高,凶手在墙上写字的位置与他的视线平行,福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多,于是, 他得出了凶手身高六尺多的结论 答案 C 2.(2019 安徽阜阳模拟,6)“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶,人们通过在绳子上打结 来记录数量.如图所示是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳 子上打结,满四进一.根据图示可知,农民采摘的果实个数是( )
A.493 B.383 C.183 D.123 答案 C
3.(2019 江西赣州一模,14)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直
角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点 A(-2,3)且法向量为 n=(4,-1)的直线
(点法式)方程为 4×(x+2)+(-1)×(y-3)=0,化简得 4x-y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系
数列及不等 式
的性质
★☆ ☆
分析解读 1.能利用已知结论类比未知结论或归纳猜想结论并加以证明.2.了解直接证明
与间接证明的基本方法,体会数学证明的思想方法.3.掌握“归纳—猜想—证明”的推理方法
及数学归纳法的证明步骤.4.归纳推理与类比推理是高考的热点.本章在高考中的推理问题一
般以填空题形式出现,分值约为 5 分,属中档题;证明问题一般以解答题形式出现,分值约为 12
A.a、b、c 中至少有两个为负数
B.a、b、c 中至多有一个为负数
C.a、b、c 中至多有两个为正数
D.a、b、c 中至多有两个为负数
答案 A
2.(2018 湖北普通高中联考,7)分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设 a<b<c,且
a+b+c=0,求证:b2-ac<3c2,则证明的依据应是( ) A.c-b>0 B.c-a>0 C.(c-b)(c-a)>0 D.(c-b)(c-a)<0 答案 C