专题19 推理与证明

精锐教育学科教师辅导讲义(2)直接证明与间接证明主要渗透到其他知识板块中，要注意在复习相应的板块时，培养选择合理证明方法的能力．四、知识讲解第一节 归纳与类比（一）高考目标1．了解归纳与类比的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解归纳与类比在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 考向预测1．考查的重点是对合情推理和演绎推理的理解及应用．2．主要是以选择题和填空题的形式出现，难度不大，多以中低档题为主．（二）课前自主预习知识梳理1．根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该事物中每一个都有这种属性，这种推理方式称为2．根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为 3．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；类比推理是两类事物特征之间的推理． 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理． （三）、基础自测1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2n ＋2B.2nn ＋ C.22n －1 D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝nn ＋2a n (a ≥2)， 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n ＝2n n ＋，故选B.2．利用归纳推理推断，当n 是自然数时，18(n 2－1)[1－(－1)n]的值( )A ．一定是零B ．不一定是整数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数 [答案] C[解析] 当n ＝1时，值为0；当n ＝2时，值为0；当n ＝3时，值为2；当n ＝4时，值为0；当n ＝5时，值为6.3．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的( ) A ．一条中线上的点，但不是中心 B ．一条垂线上的点，但不是垂心 C ．一条角平分线上的点，但不是内心 D ．中心 [答案] D[解析] 边的中点对应于面的中心．4．(文)下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为“杨辉三角形”，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 [答案] C[解析] 因为其规律是a 为肩上两数之和，故a ＝3＋3＝6.(理)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等； ④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．A ．①B ．①②C ．①②③D ．③ [答案] B[解析] 类比的原则是“类比前后保持类比的一致性，”而③④违背了这一原则．5．在平面几何中，若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )成立，类比上述结论，相应地，在立体几何中，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则这个四面体的体积V ＝________成立．[答案] 13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)[解析] 通过类比，可把四面体分割为四部分．6．(2010·陕西理)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________．[答案] 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212[解析] 由13＋23＋33＋…＋n 3＝[n n ＋2]2知n ＝6时为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)，试猜想这个数列的通项公式．图(4)可得f 5(n )＝f 4(n )＋f 3(n －1)＝(n ＋1)2＋n n ＋2＝12(n ＋1)(3n ＋2)；….则边长为n 的正k 边形(k ≥3，k ∈N)中点的个数f k (n )＝____________。

[分析] 通过对从正三角形中点的个数和正四边形中点的个数研究正五边形中点的个数的过程，归纳出通过三角形中点的个数和正四边形中点的个数研究正k 边形中点的个数的规律，从而进行解答．[答案] 12(n ＋1)[(k －2)n ＋2][解析] 观察对边长为n 的正五边形的“分割”，那么对边长为n 的正六边形分割时就又多了一个点数为f 3(n －1)的三角形，依次类推可以推知边长为n 的正k (k ≥5，k ∈N)边形就可以分割为一个点数为f 4(n )的四边形和k －4个点数为f 3(n －1)的三角形，即f k (n )＝f 4(n )＋(k －4)f 3(n －1)，并且这个规律对k ＝3,4也成立，这样f k (n )＝f 4(n )＋(k －4)f 3(n －1)＝(n ＋1)2＋(k －4)n n ＋2＝12(n ＋1)[(k －2)n ＋2](k ≥3，k ∈N). 2.命题方向：类比推理[例2] 在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos2A ＋cos2B ＝1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想．[分析]考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体P －A ′B ′C ′，且三个面分别与面A ′B ′C ′所成的二面角分别是α、β、γ.[解析] 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P －A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P －A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α、β、γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 跟踪练习2已知等差数列{an }：－7，－5，－3，－1，1,3,5,7,9，……，设其前n 项和为Sn ，易知a 4＋a 5＝0，且有S 1＝S 7，S 2＝S 6，S 3＝S 5，一般地，对于等差数列{an }，其前n 项和为Sn ，若存在k ∈N*，k ≥2，使ak ＋ak ＋1＝0，则对任意的n ∈N*，且n ≤2k －1，等式S 2k －n ＝Sn 恒成立．请你用类比的方法，写出等比数列{bn }中相应的正确命题，并（五）思想方法点拨：[解析] 由类比推理可知等号左边应有2n －1项，右边是(2n －1)2.3．已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是( )A ．(3,8)B ．(4,7)C ．(4,8)D ．(5,7) [答案] D[解析] 观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n ＋1的数对有n 个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由n n ＋2＝60⇒n (n ＋1)＝120，n ∈Z ，n ＝10时，n n ＋2＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60个数对是(5,7)．4．如图所示，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30 [答案] B[解析] a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 3＋4， ∴a n －a n －1＝n ，∴a n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝n n ＋2，∴a 7＝7×82＝28.5．如图所示：一个质点在第一象限运动，在第一秒钟内它由原点运动到(0,1)，而后接着按图所示在与x 轴，y 轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么2 000秒后，这个质点所处位置的坐标是( )A ．(44,25)B ．(45,25)C ．(25,45)D ．(24,44) [答案] D[解析] 质点到达(1,1)处，走过的长度单位是2，方向向右；质点到达(2,2)处，走过的长度单位是6＝2＋4，＝S＋S＋S＋S.1)n＋n－n－×1＝(2n－1)2＝2 0092，得n＝1 005.本题考查了等差数列及归纳推理的方法和思想，要求考生能从给出的信息总结规律，归纳结论．行的数构成首项为n，公差为n的等差数列，＋(n＋1－1)·n＝n2＋n.}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得sin 245°＋sin 2105°＋sin 2165°＝32.归纳猜想出一个一般性命题，并给出证明． [解析]一般性的命题为：sin 2α＋sin 2(60°＋α)＋sin 2(120°＋α)＝32.证明如下：左边＝1－cos2α2＋1－＋2α2＋1－＋2α2＝32－12[cos2α＋cos(120°＋2α)＋cos(240°＋2α)] ＝32－12[cos2α＋cos120°cos2α－sin120°sin2α＋cos240°cos2α－sin240°sin2α]＝32＝右边． 所以命题得证． 14．已知f (x )＝bx ＋1ax ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－1a ，a >0且f (1)＝log 162，f (－2)＝1. (1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝[1－f (1)][1－f (2)]…[1－f (n )]，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }的通项．[分析] (1)先由f (1)，f (－2)的值求出a ，b 的值； (2)然后通过计算x 1，x 2，x 3，x 4归纳出通项公式．[解析] (1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＋2＝14－2b ＋1－2a2＝1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，于是f (x )＝1x ＋2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝23，x 3＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－116＝58，x 4＝58×⎝⎛⎭⎪⎫1－125＝35.(3)这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为34，46，58，610，…便可猜想x n ＝n ＋2n ＋.直接证明与间接证明又q ＝log c (1a ＋b)2＝log c1a ＋b ＋2ab ＞log c14ab＝log c 14＞0，∴q ＞p .2．若不等式(－1)na <2＋－n ＋1n对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，32)B ．(－2，32)C ．[－3，32]D ．(－3，32)[答案] A[解析] 由(－1)n·a ＜2＋－n ＋1n当n 为偶数时，a ＜2－n＋－1n ＝2－1n ∈[32，2)，∴a <32. 当n 为奇数时，a ＞2－n＋－1n ＝－2－1n∈[－3，－2)，∴a ≥－2.综上所述，当不等式恒成立时，a 的范围为－2≤a ＜32，故选A.3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60° [答案] B[解析] 至少有一个不大于60°的反面是都大于60°. 4．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒．．成立．．的是( ) A ．|a －b |≤|a －c |＋|b －c | B ．a 2＋1a 2≥a ＋1aC ．|a －b |＋1a －b≥2 D.a ＋3－a ＋1≤a ＋2－a [答案] C[解析] A ：|a －b |＝|(a －c )＋(c －b )|≤|a －c |＋|c －b |一定成立．B ：a 2＋1a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－2，a 2＋1a 2≥a ＋1a⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2 ⇔⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a －2≥0⇔a ＋1a≥2或a ＋1a≤－1.而a ＋1a ≥2或a ＋1a≤－2.∴上式恒成立．A ．aB ．－b C.1bD ．－1b[答案] B[解析] 易证f (x )＝lg 1－x1＋x 是奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－b .5．已知定义在R 上的奇函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，并且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2＋1，则f (2012)的值为( )A ．2B ．0C ．1D ．－1[答案] B[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∵f (x )图像关于直线x ＝1对称，∴f (2－x )＝f (x )，∴f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴f (4＋x )＝f (2＋(2＋x ))＝－f (2＋x )＝f (x )， ∴f (x )是周期为4的周期函数，∴f (2012)＝f (0)， 又f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (2012)＝0.6．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个大于2D ．至少有一个不小于2[答案] D[解析] ∵a >0，b >0，c >0，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c 时，“＝”成立， 故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2. 7．给出如下三个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad ＝bc ； ②设a ，b ∈R ，且ab ≠0，若ab <1，则b a>1； ③若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中不正确．．．命题的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③[答案] A[解析] ①中，a ，b ，c ，d 成等比数列⇒ad ＝bc ，但ad ＝bc ⇒/ dc ＝c b ＝b a .②中，若ab <1，则b a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以②错误；③中，f (|x |)＝log 2|x |的定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}，且f (|x |)＝f (|－x |)成立，故f (|x |)是偶函数，③正确，所以答案是A.8．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 [答案] D[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 1sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形，故选D. 二、填空题9．已知函数f (x )＝ax ＋2a ＋1，当x ∈[－1,1]时，f (x )有正值也有负值，则实数a 的取值范围为____________． [答案] －1＜a ＜－13[解析] 由题意得f (x )＝ax ＋2a ＋1为斜率不为0的直线，由单调性知f (1)·f (－1)＜0即可． ∴(a ＋2a ＋1)·(2a －a ＋1)＜0. ∴－1＜a ＜－13.10．设f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′（a ）＋b f ′（b ）＋cf ′（c ）的值是____________．[答案] 0[解析] f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )(x －b )，f ′(a )＝(a －b )(a －c )， f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )，a f ′（a ）＋b f ′（b ）＋cf ′（c ）＝a a －ba －c＋b b －ab －c＋c c －ac －b＝a b －c －b a －c ＋c a －ba －b a －c b －c＝0.11．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1的图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．[答案] c n >c n ＋1[解析] 解法1：∵a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，c n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ，随n 的增大而减小，为减函数，∴c n ＋1<c n ，解法2：c n ＋1＝n ＋2＋1－(n ＋1)，c n ＝n 2＋1－n ，∴c nc n ＋1＝n 2＋1－n n ＋2＋1－n ＋＝n ＋2＋1＋n ＋1n 2＋1＋n>1，∴c n >c n ＋1.三、解答题12．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD .[证明] (1)∵E 、F 分别为AB 、BD 的中点，∴EF ∥AD ， 又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ，∴EF ∥平面ACD . (2)⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥BD EF ∥AD ⇒BD ⊥EF⎭⎪⎬⎪⎫CB ＝CD F 为BD 中点⇒CF ⊥BDCF ∩EF ＝F ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫BD ⊥平面EFC BD 平面BCD⇒平面EFC ⊥平面BCD .13．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．[分析] 要证明三角形ABC 为正三角形，可证三条边相等或三个角相等． [证明] 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .① 因为A 、B 、C 为△ABC 的内角， 所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②得，B ＝π3.③由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④得，a 2＋c 2－ac ＝ac . 即(a －c )2＝0，因此a ＝c . 从而有A ＝C .⑤由②③⑤得，A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．14．(2010·湖北理)已知数列{a n }满足：a 1＝12，＋a n ＋11－a n ＝＋a n1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a n ＋12－a n 2(n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．[分析] 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识以及反证法，同时考查推理论证能力．第(1)问可构造数列{1－a n 2}，进而求出a n ，b n ，第(2)问可用反证法进行证明．[解析] (1)由题意可知，1－a n ＋12＝23(1－a n 2)．令c n ＝1－a n 2，则c n ＋1＝23c n .又c 1＝1－a 12＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，故1－a n 2＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1⇒a n 2＝1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －11－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. b n ＝a n ＋12－a n 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. (2)用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r 、b s 、b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b t <b s <b r ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫23s －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫23r －1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫23t －1.两边同乘3t －121－r，化简得3t －r＋2t －r＝2·2s －r 3t －s，由于r <s <t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾． 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列． 15．(创新题)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)求证：方程f (x )＝0没有负根．[证明] (1)方法一：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝x 2－x 1＋－x 1－x 2＋x 1＋x 2＋＝x 2－x 1x 1＋x 2＋>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 方法二：f (x )＝a x＋1－3x ＋1(a >1)， 求导数得f ′(x )＝a x ln a ＋3x ＋2， ∵a >1，∴当x >－1时，a xln a >0，3x ＋2>0，∴f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)方法一：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1， ∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，A.π2 C.32π．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞m 24对＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n，∴f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋n ＋＝n ＋1＋n ＋2＋…＋2n ＋2n ＋1＋2n ＋2－n ＋1＝f (n )＋(2n ＋1－2n ＋2)＝f (n )＋n ＋n ＋＞f (n )，[解析] (1)∵a 2＝6，a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2，a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3，解得a 1＝1，a 3＝15，a 4＝28. (2)由此猜想a n ＝n (2n －1)． 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，a 1＝1×(2－1)＝1，结论成立． ②假设n ＝k 时，结论正确，即a k ＝k (2k －1)， 则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＋a k －1a k ＋1－a k ＋1＝k∴(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)a k －(k ＋1)＝(k ＋1)·k (2k －1)－(k ＋1)＝(k ＋1)(2k 2－k －1)＝(k ＋1)(2k ＋1)(k －1)(k －1≠0)．∴a k ＋1＝(k ＋1)[2(k ＋1)－1]． 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，{a n }的通项公式为a n ＝n (2n －1)．（四）典型例题1.命题方向：用数学归纳法证明恒等式[例1] 用数学归纳法证明：n ∈N *时，11×3＋13×5＋…＋1n －n ＋＝n 2n ＋1. [解析] (1)当n ＝1时，左边＝11×3，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边．∴等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立 ，即有 11×3＋13×5＋…＋1k －k ＋＝k2k ＋1则当n ＝k ＋1时， 11×3＋13×5＋…＋12k －k ＋＋1k ＋k ＋＝k 2k ＋1＋1k ＋k ＋＝k k ＋＋1k ＋k ＋＝2k 2＋3k ＋1k ＋k ＋＝k ＋12k ＋3＝k ＋1k ＋＋1∴n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，一切n ∈N *，等式成立．[点评] (1)在用数学归纳法证明恒等式时，P (k ＋1)中未必一定明显地含有归纳假设P (k )，有时还需要添项、拆项、[点评] ①在证明n ＝k ＋1命题成立时，f (k ＋1)＝f (k )＋12k ＋1＋12k ＋2＋12k ＋3＋…＋＋12k ＋1②由n ＝k 时命题成立过渡到证明n ＝k ＋1时命题成立，要进行合理的放缩．，试比较b 与与b 的表达式，先进行猜想，再进行证明．＝3＝3＝－2b ＝3，当－2b －2b －2b ＝3b 是首项为3，公比为3的等比数列，＝·()＝n .＝3n .(2)∵S ＝1＋n －n ＝n 2，1．若命题p (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2也成立，又已知命题p (1)成立，则下列结论正确的是( ) A ．p (n )对所有自然数n 都成立 B ．p (n )对所有正偶数n 成立 C ．p (n )对所有正奇数n 都成立 D ．p (n )对所有大于1的自然数n 成立 [答案] C2．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k)[答案] D[解析] (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k ＝n 时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，命题对任何k ∈N *都成立．3．(2011·黄冈模拟)设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 D ．若f (4)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 [答案] D[解析] 对于A ，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f (1)＜1成立，则f (10)＜100不一定成立；对于B ，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)＜1成立，不能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立；对于C ，当k ＝1或2时，不一定有f (k )≥k 2成立；对于D ，因为f (4)≥25≥16，所以对于任意的k ≥4，均有f (k )≥k 2成立．故选D.4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C.k ＋4＋k ＋22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2[答案] D[解析] ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2， 当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2， ∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.5．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)”．从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] 当n ＝k 时，左端式子为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k －1)(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左端式子为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)．所以左端需增乘的代数式为（k ＋1＋k ）（k ＋1＋k ＋1）k ＋1＝2(2k ＋1)．6．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )＞n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数有( )A ．2k －1项 B ．2k ＋1项 C ．2k项D ．以上都不对[答案] C[解析] f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ，f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1， ∴f (2k ＋1)－f (2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1，共2k项．7．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某人的证明过程如下： 1°当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，k ＋2＋k ＋＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋＋k ＋2＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立. 上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 [答案] D[解析] 没用归纳假设．8．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为( )n [1＋n －＝2n 2－n .则前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n.[证明] ①n ＝4时，f (4)＝12×4×(4－3)＝2.四边形有两条对角线，命题成立．②假设n ＝k 时命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)，当n ＝k ＋1时凸k ＋1边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线条数是顶点A k ＋1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A k ，共增加了对角线条数(k ＋1－3)＋1＝k －1，f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)(k －2)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]．故n ＝k ＋1时，命题成立，由①，②可知，对于n ≥4，n ∈N ＋命题成立．13．在数列{a n }、{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }、{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512. [解析] 考查等差数列、等比数列、数学归纳法、不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证的能力．(1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a n ＋12＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立， 即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a k ＋12b k＝(k ＋2)2，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)1a 1＋b 1＝16<512， n ≥2时，由①知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)n ，故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <16＋12[12×3＋13×4＋…＋1n n ＋]＝6＋2[(2－3)(3－4)(n －n ＋1)]＝6＋2(2－n ＋1)<6＋4＝12. ⎭⎪⎫＋b 与2lg 与2lg ⎭⎪⎫＋3⎭⎪⎫＋2n －1与2n ＋1的大小．1)>2·1＋1，⎭⎪⎫＋3>2·2＋1，…….⎭⎪⎫＋3⎭⎪⎫＋2n －1>2n ＋1.⎭⎪⎫＋3⎭⎪⎫＋2k －1>2k ＋1，⎭⎪⎫＋3⎭⎪⎫＋2k －1⎭⎪⎫＋2k ＋1>2k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫＋2k ＋1＋2k ＋1>2∴(2k ＋1)⎣⎢⎦⎥1＋2k ＋1＋k ＋2>2k ＋3，。