专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案
高考试题分类训练专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案

专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案部分2019年1.解析:由题意,可把三人的预测简写如下:甲:甲乙. 乙:丙乙且丙甲. 丙:丙乙.因为只有一个人预测正确,如果乙预测正确,则丙预测正确,不符合题意. 如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确, 则有丙乙,乙甲,因为乙预测不正确,而丙乙正确,所以只有丙甲不正确, 所以甲丙,这与丙乙,乙甲矛盾.不符合题意. 所以只有甲预测正确,乙、丙预测不正确, 甲乙,乙丙. 故选A .2010-2018年1.B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >),所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤,所以41a -≤,又11a >,所以等比数列的公比0q <.若1q -≤,则212341(1)(10a a a a a q q +++=++)≤, 而12311a a a a ++>≥,所以123ln()0a a a ++>, 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾,所以10q -<<,所以2131(1)0a a a q -=->,2241(1)0a a a q q -=-<,所以13a a >,24a a <,故选B .解法二 因为1xe x +≥,1234123ln()a a a a a a a +++=++,所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥,则41a -≤,又11a >,所以等比数列的公比0q <.若1q -≤,则212341(1)(10a a a a a q q +++=++)≤, 而12311a a a a ++>≥,所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾,所以10q -<<,所以2131(1)0a a a q -=->,2241(1)0a a a q q -=-<,所以13a a >,24a a <,故选B .2.D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上,4ax y +=表示过定点(0,4),斜率为a-的直线,当0a ≠时,2x ay -=表示过定点(2,0),斜率为1a的直线,不等式2x ay -≤表示的区域包含原点,不等式4ax y +>表示的区域不包含原点.直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直,显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时,不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除A ;点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-,当32a -<-,即32a >时,4ax y +>表示的区域包含点(2,1),此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1),故排除B ;当直线4ax y +=的斜率32a -=-,即32a =时,4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除C ,故选D .解法二 若(2,1)A ∈,则21422a a +>⎧⎨-⎩≤,解得32a >,所以当且仅当32a ≤时,(2,1)A ∉.故选D .3.D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果,故选D . 4.A 【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离(设为n h )乘以1n n B B +长度一半,即112n n n n S h B B +=,由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值,那么我们需要知道n h 的关系式,过1A 作垂直得到初始距离1h ,那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形,那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅,其中θ为两条线的夹角,即为定值,那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅,111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅,作差后:1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅,都为定值,所以1n n S S +-为定值.故选A .5.B 【解析】学生甲比学生乙成绩好,即学生甲两门成绩中一门高过学生乙,另一门不低于学生乙,一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且没有相同的成绩,则存在的情况是,最多有3人,其中一个语文最好,数学最差;另一个语文最差,数学最好;第三个人成绩均为中等.故选B .6.A 【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”,故选A .7.D 【解析】∵553125=,6515625=,7578125=,85390625=,951953125=,1059765625=,⋅⋅⋅,∴5n (n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字呈周期性变化,且最小正周期为4,记5n(n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字为()f n , 则(2011)(50147)f f =⨯+(7)f =,∴20115与75的末位数字相同,均为8 125,选D .8.D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数()f x 是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,即函数()f x 是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有()g x -=()g x -,故选D 。
高二数学推理与证明试题答案及解析

高二数学推理与证明试题答案及解析1.下列推理合理的是()A.是增函数,则B.因为,则C.为锐角三角形,则D.直线,则【答案】C【解析】根据题意,由于是增函数,则或者f’(x)=0在个别点成立,故错误对于B,因为,则显然不成立,对于D直线,则,可能斜率都不存在,故错误,故选C.【考点】推理与证明点评:主要是考查了合情推理的运用,属于基础题。
2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置?()A.正三角形的顶点B.正三角形的中心C.正三角形各边的中点D.无法确定【答案】B【解析】根据题意,由于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面都为正三角形的中心,故可知答案为B.【考点】类比推理点评:主要是考查了类比推理的运用,属于基础题。
3.对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式:根据上述分解规律,若的分解中最小的数是73,则的值为 .【答案】9【解析】根据题意,可知,,,,那么可知的分解中最小的数是73,那么可知m的值为9.故答案为9.【考点】归纳推理点评:主要是考查了归纳推理的运用,属于基础题。
4.观察式子:1+<,1++<,1+++<,,则可归纳出一般式子为() A.1++++<(n≥2)B.1++++<(n≥2)C.1++++<(n≥2)D.1++++<(n≥2)【答案】C【解析】根据题意,由于观察式子:1+<,1++<,1+++<,左边是n 个自然数平方的倒数和,右边是项数分之项数的二倍减去1,那么可得到,推广到一般1++++<(n≥2),故选C.【考点】归纳推理点评:主要是考查了归纳推理的基本运用,属于基础题。
5.在平面上,若两个正三角形的边长比为,则它们的面积比为,类似地,在空间中若两个正四面体的棱长比为,则它们的体积比为____________。
推理与证明(含答案)

推理与证明考情解读 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理,多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法,常与函数、数列及不等式等综合命题.1.合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.②归纳推理的思维过程如下:实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.②类比推理的思维过程如下:观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2.演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个别到一般的推理;类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.3.直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(2)分析法用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为:Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件4.间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若p,则q”的过程可以用如图所示的框图表示.肯定条件p否定结论q→导致逻辑矛盾→“既p,又綈q”为假→“若p,则q”为真5.数学归纳法数学归纳法证明的步骤:(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.(2)假设n=k(k∈N*,且k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.由(1)(2)可知,对任意n≥n0,且n∈N*时,命题都成立.热点一归纳推理例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A.26 B.31C.32 D.36(2)两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是()A.48,49 B.62,63C.75,76 D.84,85思维启迪(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律;(2)靠窗口的座位号码能被5整除或者被5除余1.答案(1)B(2)D解析(1)有菱形纹的正六边形个数如下表:5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.故选B.(2)由已知图形中座位的排列顺序,可得:被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗,由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析答案中的4组座位号,只有D符合条件.思维升华归纳递推思想在解决问题时,从特殊情况入手,通过观察、分析、概括,猜想出一般性结论,然后予以证明,这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用.其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”,解题的关键在于正确的归纳猜想.(1)四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图),第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,…这样交替进行下去,那么第202次互换座位后,小兔坐在第______号座位上.A.1 B.2C.3 D.4(2)已知f (n )=1+12+13+…+1n (n ∈N *),经计算得f (4)>2,f (8)>52,f (16)>3,f (32)>72,则有________________.答案 (1)B (2)f (2n )>n +22(n ≥2,n ∈N *)解析 (1)考虑小兔所坐的座位号,第一次坐在1号位上,第二次坐在2号位上,第三次坐在4号位上,第四次坐在3号位上,第五次坐在1号位上,因此小兔的座位数更换次数以4为周期,因为202=50×4+2,因此第202次互换后,小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同,因此小兔坐在2号位上,故选B. (2)由题意得f (22)>42,f (23)>52,f (24)>62,f (25)>72,所以当n ≥2时,有f (2n )>n +22.故填f (2n )>n +22(n ≥2,n ∈N *).热点二 类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论:若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1,外接圆面积为S 2,则S 1S 2=14.推广到空间几何可以得到类似结论:若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1,外接球体积为V 2,则V 1V 2=________.(2)已知双曲正弦函数sh x =e x -e -x 2和双曲余弦函数ch x =e x +e -x2与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质,请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角.....公式,写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个..类似的正确结论________. 思维启迪 (1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积;(2)可利用和角或差角公式猜想,然后验证.答案 (1)127(2)ch(x -y )=ch x ch y -sh x sh y解析 (1)平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成正比,而在空间几何中,球的体积与半径的立方成正比,所以V 1V 2=127.(2)ch x ch y -sh x shy =e x +e -x 2·e y +e -y 2-e x -e -x 2·e y -e -y2=14(e x +y +e x -y +e -x +y +e -x -y -e x +y +e x -y +e -x +y -e -x -y ) =14(2e x -y +2e -(x -y ))=e x -y +e -(x -y )2=ch(x -y ),故知ch(x +y )=ch x ch y +sh x sh y ,或sh(x -y )=sh x ch y -ch x sh y ,或sh(x +y )=sh x ch y +ch x sh y .思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理,强调的是两类事物之间的相似性,有共同要素是产生类比迁移的客观因素,类比可以由概念性质上的相似性引起,如等差数列与等比数列的类比,也可以由解题方法上的类似引起.当然首先是在某些方面有一定的共性,才能有方法上的类比,例2即属于此类题型.一般来说,高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上,如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等.(1)若数列{a n }是等差数列,b n =a 1+a 2+…+a nn,则数列{b n }也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c n }是等比数列,且{d n }也是等比数列,则d n 的表达式应为( ) A .d n =c 1+c 2+…+c nnB .d n =c 1·c 2·…·c nnC .d n =D .d n =nc 1·c 2·…·c n(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质,如对于椭圆有如下命题:AB 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为AB 的中点,则k OM ·k AB =-b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题:AB 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为AB 的中点,则k OM ·k AB =________. 答案 (1)D (2)b 2a2解析 (1)由{a n }为等差数列,设公差为d , 则b n =a 1+a 2+…+a n n =a 1+n -12d ,又正项数列{c n }为等比数列,设公比为q ,则d n =nc 1·c 2·…·c n c 112n q-,故选D.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0), 则有⎩⎨⎧x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y22.将A ,B 代入双曲线x 2a 2-y 2b2=1中得x 21a 2-y 21b 2=1,x 22a 2-y 22b 2=1, 两式相减,得x 21-x 22a 2=y 21-y 22b2,即(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2=(y 1-y 2)(y 1+y 2)b 2,即(y 1-y 2)(y 1+y 2)(x 1-x 2)(x 1+x 2)=b 2a 2, 即k OM ·k AB =b 2a2.热点三 直接证明和间接证明例3 已知数列{a n }满足:a 1=12,3(1+a n +1)1-a n =2(1+a n )1-a n +1,a n a n +1<0 (n ≥1);数列{b n }满足:b n =a 2n +1-a 2n (n ≥1).(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)证明:数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列.思维启迪 (1)利用已知递推式中的特点构造数列{1-a 2n };(2)否定性结论的证明可用反证法. (1)解 已知3(1+a n +1)1-a n =2(1+a n )1-a n +1化为1-a 2n +11-a 2n =23,而1-a 21=34,所以数列{1-a 2n }是首项为34,公比为23的等比数列, 则1-a 2n =34×⎝⎛⎭⎫23n -1,则a 2n=1-34×⎝⎛⎭⎫23n -1, 由a n a n +1<0,知数列{a n }的项正负相间出现, 因此a n =(-1)n +11-34×⎝⎛⎭⎫23n -1, b n =a 2n +1-a 2n=-34×⎝⎛⎭⎫23n +34×⎝⎛⎭⎫23n -1 =14×⎝⎛⎭⎫23n -1. (2)证明 假设存在某三项成等差数列,不妨设为b m 、b n 、b p ,其中m 、n 、p 是互不相等的正整数,可设m <n <p ,而b n =14×⎝⎛⎭⎫23n -1随n 的增大而减小,那么只能有2b n =b m +b p ,可得2×14×⎝⎛⎭⎫23n -1=14×⎝⎛⎭⎫23m -1+14×⎝⎛⎭⎫23p -1,则2×⎝⎛⎭⎫23n -m=1+⎝⎛⎭⎫23p -m .(*) 当n -m ≥2时,2×⎝⎛⎭⎫23n -m ≤2×⎝⎛⎭⎫232=89,(*)式不可能成立,则只能有n -m =1, 此时等式为43=1+⎝⎛⎭⎫23p -m , 即13=⎝⎛⎭⎫23p -m ,那么p -m =log 2313,左边为正整数,右边为无理数,不可能相等. 所以假设不成立,那么数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列.思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可. (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法,我们常用分析法寻找解决问题的突破口,然后用综合法来写出证明过程,有时候,分析法和综合法交替使用.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1+2,S 3=9+3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ;(2)设b n =S nn(n ∈N *),求证:数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1=2+1,3a 1+3d =9+32,所以d =2,故a n =2n -1+2,S n =n (n +2),n ∈N *. (2)证明 由(1)得b n =S nn=n + 2.假设数列{b n }中存在三项b p ,b q ,b r (p ≠q ≠r )成等比数列,则b 2q =b p b r . 即(q +2)2=(p +2)(r +2). ∴(q 2-pr )+(2q -p -r )2=0.∵p ,q ,r ∈N *,∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2-pr =0,2q -p -r =0,∵(p +r 2)2=pr ,(p -r )2=0,∴p =r 与p ≠r 矛盾.所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列. 热点四 数学归纳法例4 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列,S n 为其前n 项和,且满足S 2n -1=12a 2n ,n ∈N *,数列{b n }满足b n =⎩⎪⎨⎪⎧2n -1,n 为奇数,12a n -1,n 为偶数,T n 为数列{b n }的前n 项和.(1)求a n ,b n ;(2)试比较T 2n 与2n 2+n3的大小.思维启迪 (1)利用{a n }的前n 项确定通项公式(公差、首项),{b n }的通项公式可分段给出; (2)先求T n ,归纳猜想T n 与2n 2+n3的关系,再用数学归纳法证明.解 (1)设{a n }首项为a 1,公差为d ,在S 2n -1=12a 2n中,令n =1,2得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21=2S 1,a 22=2S 3,即⎩⎪⎨⎪⎧a 21=2a 1,(a 1+d )2=2(3a 1+3d ), 解得a 1=2,d =4,所以a n =4n -2.所以b n =⎩⎪⎨⎪⎧2n -1,n 为奇数,2n -3,n 为偶数.(2)T 2n =1+2×2-3+22+2×4-3+24+…+22n -2+2×2n -3=1+22+24+…+22n -2+4(1+2+…+n )-3n=1-4n 1-4+4·n (n +1)2-3n =4n 3-13+2n 2-n .所以T 2n -(2n 2+n 3)=13(4n -4n -1).当n =1时,13(4n -4n -1)=-13<0,当n =2时,13(4n -4n -1)=73>0,当n =3时,13(4n -4n -1)=513>0,…猜想当n ≥2时,T 2n >2n 2+n3,即n ≥2时,4n >4n +1. 下面用数学归纳法证明:①当n =2时,42=16,4×2+1=9,16>9,成立; ②假设当n =k (k ≥2)时成立,即4k >4k +1. 则当n =k +1时,4k +1=4·4k >4·(4k +1)=16k +4>4k +5=4(k +1)+1, 所以n =k +1时成立.由①②得,当n ≥2时,4n >4n +1成立. 综上,当n =1时,T 2n <2n 2+n 3,当n ≥2时,T 2n >2n 2+n3.思维升华 在使用数学归纳法证明问题时,在归纳假设后,归纳假设就是证明n =k +1时的已知条件,把归纳假设当已知条件证明后续结论时,可以使用综合法、分析法、反证法.已知f (n )=1+123+133+143+…+1n 3,g (n )=32-12n2,n ∈N *.(1)当n =1,2,3时,试比较f (n )与g (n )的大小关系; (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系,并给出证明. 解 (1)当n =1时,f (1)=1,g (1)=1, 所以f (1)=g (1),当n =2时,f (2)=98,g (2)=118,所以f (2)<g (2),当n =3时,f (3)=251216,g (3)=312216,所以f (3)<g (3).(2)由(1),猜想f (n )≤g (n ),下面用数学归纳法给出证明 ①当n =1,2,3时,不等式显然成立 ②假设当n =k (k ≥3)时不等式成立, 即1+123+133+143+…+1k 3<32-12k 2,那么,当n =k +1时,f (k +1)=f (k )+1(k +1)3<32-12k 2+1(k +1)3, 因为12(k +1)2-(12k 2-1(k +1)3) =k +32(k +1)3-12k 2 =-3k -12(k +1)3k 2<0.所以f (k +1)<32-12(k +1)2=g (k +1),即当n =k +1时,不等式成立.由①②可知,对一切n ∈N *,都有f (n )≤g (n )成立.1.合情推理的精髓是“合情”,即得到的结论符合“情理”,其中主要是归纳推理与类比推理.归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式.类比推理是由此及彼的推理模式;演绎推理是一种严格的证明方式.2.直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法,这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式.在实际解题时,通常先用分析法寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程.3.数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法,在遇到与正整数有关的数学命题时,要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明.(1)在证明过程中突出两个“凑”字,即一“凑”假设,二“凑”结论,关键是在证明n=k+1时要用上n=k时的假设,其次要明确n=k+1时证明的目标,充分考虑由n=k到n=k+1时,命题形式之间的区别和联系,化异为同,中间的计算过程千万不能省略.(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少,切忌忘记归纳结论.真题感悟1.(2014·福建)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4.有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________.答案 6解析由题意知①②③④中有且只有一个正确,其余三个均不正确,下面分类讨论满足条件的有序数组(a,b,c,d)的个数:(1)若①正确,即a=1,则②③④都错误,即b=1,c≠2,d =4.其中a=1与b=1矛盾,显然此种情况不存在;(2)若②正确,即b≠1,则①③④都错误,即a≠1,c≠2,d=4,则当b=2时,有a=3,c =1;当b=3时,有a=2,c=1,此时有2种有序数组.(3)若③正确,即c=2,则①②④都错误,即a≠1,b=1,d=4,则a=3,即此种情况有1种有序数组.(4)若④正确,即d≠4,则①②③都错误,即a≠1,b=1,c≠2,则当d=2时,有a=3,c =4或a=4,c=3,有2种有序数组;当d=3时,有c=4,a=2,仅1种有序数组.综上可得,共有2+1+2+1=6(种)有序数组.2.(2014·陕西)观察分析下表中的数据:答案F+V-E=2解析观察F,V,E的变化得F+V-E=2.押题精练1.圆周上2个点可连成1条弦,这条弦可将圆面划分成2部分;圆周上3个点可连成3条弦,这3条弦可将圆面划分成4部分;圆周上4个点可连成6条弦,这6条弦最多可将圆面划分成8部分.则n 个点连成的弦最多可把圆面分成________部分.( ) A .2n -1B .2nC .2n +1D .2n +2答案 A解析 由已知条件得:由此可以归纳出,当点数为n 时,连成的弦数为n (n -1)2;弦把圆面分成的部分数为2n -1,故选A.2.在计算“1×2+2×3+…+n (n +1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k 项,k (k +1)=13[k (k +1)(k +2)-(k -1)k (k +1)],由此得1×2=13(1×2×3-0×1×2),2×3=13(2×3×4-1×2×3),…n (n +1)=13[n (n +1)(n +2)-(n -1)n (n +1)].相加,得1×2+2×3+…+n (n +1)=13n (n +1)(n +2).类比上述方法,计算“1×2×3+2×3×4+…+n (n +1)(n +2)”的结果为____________. 答案 14n (n +1)(n +2)(n +3)解析 类比k (k +1)=13[k (k +1)(k +2)-(k -1)k (k +1)],可得到k (k +1)(k +2)=14[k (k +1)(k +2)(k +3)-(k -1)k (k +1)(k +2)],先逐项裂项,然后累加即得14n (n +1)(n +2)(n +3).(推荐时间:50分钟)一、选择题1.下列推理是归纳推理的是( )A .A ,B 为定点,动点P 满足|P A |+|PB |=2a >|AB |,则P 点的轨迹为椭圆 B .由a 1=1,a n =3n -1,求出S 1,S 2,S 3,猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C .由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2,猜想出椭圆x 2a 2+y 2b2=1的面积S =πabD .以上均不正确 答案 B解析 从S 1,S 2,S 3猜想出数列的前n 项和S n ,是从特殊到一般的推理,所以B 是归纳推理. 2.观察下列各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10等于( ) A .28 B .76 C .123 D .199答案 C解析 观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每项等于其前相邻两项的和,所求值为数列中的第十项.继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,第十项为123,即a 10+b 10=123. 3.已知x >0,观察不等式x +1x≥2x ·1x =2,x +4x 2=x 2+x 2+4x 2≥33x 2·x 2·4x 2=3,…,由此可得一般结论:x +ax n ≥n +1(n ∈N *),则a 的值为( )A .n nB .n 2C .3nD .2n答案 A解析 根据已知,续写一个不等式:x +33x 3=x 3+x 3+x 3+33x 3≥44x 3·x 3·x 3·33x3=4,由此可得a =n n .故选A. 4.已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数,数列{a n }是等差数列,a 3>0,则f (a 1)+f (a 3)+f (a 5)的值( ) A .恒为正数 B .恒为负数 C .恒为0D .可正可负答案 A解析 由已知得f (0)=0,a 1+a 5=2a 3>0, 所以a 1>-a 5.由于f (x )单调递增且为奇函数, 所以f (a 1)+f (a 5)>f (-a 5)+f (a 5)=0, 又f (a 3)>0,所以f (a 1)+f (a 3)+f (a 5)>0. 故选A.5.在平面内点O 是直线AB 外一点,点C 在直线AB 上,若OC →=λOA →+μOB →,则λ+μ=1;类似地,如果点O 是空间内任一点,点A ,B ,C ,D 中任意三点均不共线,并且这四点在同一平面内,若DO →=xOA →+yOB →+zOC →,则x +y +z 等于( ) A .0 B .-1 C .1 D .±1答案 B解析 在平面内,由三角形法则, 得AB →=OB →-OA →,BC →=OC →-OB →. 因为A ,B ,C 三点共线,所以存在实数t ,使AB →=tBC →,即OB →-OA →=t (OC →-OB →), 所以OC →=-1t OA →+(1t+1)OB →.因为OC →=λOA →+μOB →,所以λ=-1t ,μ=1t +1,所以λ+μ=1.类似地,在空间内可得OD →=λOA →+μOB →+ηOC →,λ+μ+η=1. 因为DO →=-OD →,所以x +y +z =-1.故选B.6.已知f (n )=32n +2-8n -9,存在正整数m ,使n ∈N *时,能使m 整除f (n ),则m 的最大值为( ) A .24 B .32 C .48 D .64答案 D解析 由f (1)=64,f (2)=704=11×64,f (3)=6 528=102×64, 所以f (1),f (2),f (3)均能被64整除,猜想f (n )能被64整除. 下面用数学归纳法证明: ①当n =1时,由上得证;②假设当n =k (k ∈N *)时,f (k )=32k +2-8k -9=9k +1-8k -9能被64整除,则当n =k +1时,f (k +1)=9(k+1)+1-8(k +1)-9=9×9k +1-8k -17=9f (k )+64(k +1).由归纳假设,f (k )是64的倍数,又64(k +1)是64的倍数,所以f (k +1)能被64整除,所以当n =k +1时,猜想也成立. 因为f (1)不能被大于64的数整除, 所以所求m 的最大值等于64.故选D. 二、填空题7.如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形,第n 个图形由n 个正方形组成,通过观察可以发现第4个图形中,火柴棒有________根;第n 个图形中,火柴棒有________根.答案 13,3n +1解析 易得第四个图形中有13根火柴棒,通过观察可得,每增加一个正方形,需增加三根火柴棒,所以第n 个图形中的火柴棒为4+3(n -1)=3n +1.8.平面内有n 条直线,最多可将平面分成f (n )个区域,则f (n )的表达式为________. 答案 n 2+n +22解析 1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;……,n 条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n )=1+n (n +1)2=n 2+n +22个区域.9.(2014·课标全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此判断乙去过的城市为________. 答案 A解析 由题意可推断:甲没去过B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A ,C 城市,而乙“没去过C 城市”,说明乙去过城市A ,由此可知,乙去过的城市为A.10.对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23⎩⎨⎧35,33⎩⎪⎨⎪⎧7911,43⎩⎪⎨⎪⎧13151719,….仿此,若m 3的“分裂数”中有一个是59,则m =________.答案 8解析 由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数,最小的一个为(m -1)m +1.当m =8时,最小的数为57,第二个便是59.所以m =8. 三、解答题11.已知a ,b ,m 为非零实数,且a 2+b 2+2-m =0,1a 2+4b 2+1-2m =0.(1)求证:1a 2+4b 2≥9a 2+b 2;(2)求证:m ≥72.证明 (1)(分析法)要证1a 2+4b 2≥9a 2+b 2成立,只需证(1a 2+4b 2)(a 2+b 2)≥9,即证1+4+b 2a 2+4a 2b 2≥9,即证b 2a 2+4a 2b2≥4.根据基本不等式,有b 2a 2+4a 2b 2≥2b 2a 2·4a 2b 2=4成立, 所以原不等式成立.(2)(综合法)因为a 2+b 2=m -2,1a 2+4b 2=2m -1,由(1),知(m -2)(2m -1)≥9, 即2m 2-5m -7≥0, 解得m ≤-1或m ≥72.又∵a 2+b 2=m -2>0 ∴m >2,故m ≤-1舍去, ∴m ≥72.12.若不等式1n +1+1n +2+…+13n +1>a24对一切正整数n 都成立,求正整数a 的最大值,并证明结论.解 方法一 当n =1时,11+1+11+2+13+1>a24,即2624>a24,所以a <26. 而a 是正整数,所以取a =25, 下面用数学归纳法证明 1n +1+1n +2+…+13n +1>2524. ①当n =1时,已证得不等式成立. ②假设当n =k (k ∈N *)时,不等式成立, 即1k +1+1k +2+…+13k +1>2524. 则当n =k +1时, 有1(k +1)+1+1(k +1)+2+…+13(k +1)+1=1k +1+1k +2+…+13k +1+13k +2+13k +3+13k +4-1k +1>2524+[13k +2+13k +4-23(k +1)]. 因为13k +2+13k +4-23(k +1)=6(k +1)(3k +2)(3k +4)-23(k +1)=18(k +1)2-2(9k 2+18k +8)(3k +2)(3k +4)(3k +3)=2(3k +2)(3k +4)(3k +3)>0,所以当n =k +1时不等式也成立.由①②知,对一切正整数n ,都有1n +1+1n +2+…+13n +1>2524,所以正整数a 的最大值为25.方法二 设f (n )=1n +1+1n +2+…+13n +1则f (n +1)-f (n )=13n +2+13n +3+13n +4-1n +1=13n +2+13n +4-23n +3=2(3n +2)(3n +4)(3n +3)>0, ∴数列{f (n )}为递增数列, ∴f (n )min =f (1)=12+13+14=2624,∴1n+1+1n+2+1n+3+…+13n+1>a24对一切正整数n都成立可转化为a24<f(n)min,∴a24<2624,∴a<26.故正整数a的最大值为25.。
高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》全集汇编附答案

数学《推理与证明》高考知识点一、选择题1.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅…癸酉,甲戌、乙亥、丙子…癸未,甲申、乙酉、丙戌…癸巳,…,共得到60个组合,称六十甲子,周而复始,无穷无尽。
2019年是“干支纪年法”中的己亥年,那么2026年是“干支纪年法”中的A.甲辰年B.乙巳年C.丙午年D.丁未年【答案】C【解析】【分析】按照题中规则依次从年列举到年,可得出答案。
【详解】根据规则,年是己亥年,年是庚子年,年是辛丑年,年是壬寅年,年是癸卯年,年是甲辰年,年是乙巳年,年是丙午年,故选:C。
【点睛】本题考查合情推理的应用,理解题中“干支纪年法”的定义,并找出相应的规律,是解本题的关键,考查逻辑推理能力,属于中等题。
2.我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表,我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数a,则a的值为( )A.1008⨯20182⨯B.100920182C.100820202⨯⨯D.100920202【答案】C【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.【详解】解:第一行第一个数为:0=⨯;112第二行第一个数为:1422=⨯; 第三行第一个数为:21232=⨯; 第四行第一个数为:33242=⨯;L L ,第n 行第一个数为:1n 2n n a -=⨯;一共有1010行,∴第1010行仅有一个数:10091008a 1010220202=⨯=⨯; 故选C . 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.3.观察下列各式:a+b=1.a 2+b 2=3,a 3+b 3=4 ,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10=( ) A .28 B .76C .123D .199【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现,347,4711,71118+=+=+=, 111829,182947+=+=,294776,4776123+=+=,即1010123a b +=, 故选C.考点:观察和归纳推理能力.4.观察2'()2x x =,4'3()4x x =,'(cos )sin x x =-,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,记()g x 为()f x 的导函数,则()g x -= A .()f x B .()f x -C .()g xD .()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数,因为()f x 是偶函数,则()()g x f x '=是奇函数,所以()()g x g x -=-,应选答案D .5.在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上,由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐.将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁,且比赛结果只有一支队伍获得冠军,现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得冠军”;小王说:“丁团队获得冠军”;小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”;小赵说:“甲团队获得冠军”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得冠军的团队是()A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论,结合四人的说法进行推理,进而可得出结论.【详解】若甲获得冠军,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;若乙获得冠军,则小王、小李、小赵的预测不正确,与题意不符;若丙获得冠军,则四个人的预测都不正确,与题意不符;若丁获得冠军,则小王、小李的预测都正确,小张和小赵预测的都不正确,与题意相符.故选:D.【点睛】本题考查合情推理,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.6.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是 ( )A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析:由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上,A 正确;由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒,而一月的平均温差小于7.5C ︒,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B 正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒,基本相同,C 正确;由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7,8两个月,所以不正确.故选D . 【考点】 统计图 【易错警示】解答本题时易错可能有两种:(1)对图形中的线条认识不明确,不知所措,只觉得是两把雨伞重叠在一起,找不到解决问题的方法;(2)估计平均温差时易出现错误,错选B .7.将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表,表中位于第i 行,第j 列的数记为ij a ,例如329a =,4215a =,5423a =,若2019ij a =,则i j -=( )A .71B .72C .20D .19【答案】D 【解析】 【分析】先确定奇数2019为第1010个奇数,根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数,可确定2019位于第45行,进而确定2019所在的列,即可得解. 【详解】奇数2019为第1010个奇数,由题意按照蛇形排列,从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数,则从第1行到第44行末共有990个奇数,从第1行到第45行末共有1035个奇数, 则2019位于第45行,而第45行时从右往左递增,且共有45个奇数, 故2019位于第45行,从右往左第20列, 则45i =,26j =,故19i j -=. 故选:D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用,考查了逻辑思维能力和推理能力,属于中档题.8.用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时,从n k =到1n k =+,不等式左边需添加的项是( ) A .111313233k k k +++++ B .112313233k k k +-+++ C .11331k k -++ D .133k + 【答案】B 【解析】分析:分析n k =,1n k =+时,左边起始项与终止项,比较差距,得结果. 详解:n k =时,左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时,左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++,选B. 点睛:研究n k =到1n k =+项的变化,实质是研究式子变化的规律,起始项与终止项是什么,中间项是如何变化的.9.下面几种推理中是演绎推理的为( )A .由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电B .猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯,,,的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C .半径为r 的圆的面积2S r π=,则单位圆的面积S π=D .由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=,推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念,得到A 是归纳推理,B 是归纳推理,C 是演绎推理,D 是类比推理,即可求解. 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念,可得:对于A 中, 由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电,属于归纳推理; 对于B 中, 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯,,,的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+,属于归纳推理,不是演绎推理;对于C 中,半径为r 的圆的面积2S r π=,则单位圆的面积S π=,属于演绎推理;对于D 中, 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=,推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=,属于类比推理, 综上,可演绎推理的C 项,故选C . 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定,其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念,以及推理的规则是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.10.曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取,他们分别被哪个学校录取,同学们做了如下的猜想 甲同学猜:曾玉被武汉大学录取,李梦被复旦大学录取 同学乙猜:刘云被清华大学录取,张熙被北京大学录取 同学丙猜:曾玉被复旦大学录取,李梦被清华大学录取 同学丁猜:刘云被清华大学录取,张熙被武汉大学录取结果,恰好有三位同学的猜想各对了一半,还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是( ) A .北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B .武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C .清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D .武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 【答案】D 【解析】 【分析】推理得到甲对了前一半,乙对了后一半,丙对了后一半,丁全错,得到答案. 【详解】根据题意:甲对了前一半,乙对了后一半,丙对了后一半,丁全错,曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 (另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足). 故选:D . 【点睛】本题考查了逻辑推理,意在考查学生的推理能力.11.某校实行选科走班制度,张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科,且物理在A 层班级,生物在B 层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则他不同的选课方法有( )A.8种B.10种C.12种D.14种【答案】B【解析】【分析】根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可.【详解】张毅同学不同的选课方法如下:()1物理A层1班,生物B层3班,政治3班;()2物理A层1班,生物B层3班,政治2班;()3物理A层1班,生物B层2班,政治3班;()4物理A层3班,生物B层2班,政治3班;()5物理A层3班,生物B层2班,政治1班;()6物理A层2班,生物B层3班,政治1班;()7物理A层2班,生物B层3班,政治3班;()8物理A层4班,生物B层3班,政治2班;()9物理A层4班,生物B层3班,政治1班;()10物理A层4班,生物B层2班,政治1班;共10种.故选:B【点睛】本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题.12.观察如图中各多边形图案,每个图案均由若干个全等的正六边形组成,记第n个图案f n.中正六边形的个数是()由(1)1f =,(2)7f =,(3)19f =,…,可推出(10)f =( ) A .271 B .272C .273D .274【答案】A 【解析】 【分析】观察图形,发现,第一个图案中有一个正六边形,第二个图案中有7个正六边形;… 根据这个规律,即可确定第10个图案中正六边形的个数. 【详解】由图可知,()11f =,()212667f =+⨯-=, ()()312362619f =++⨯-⨯=,()()212362619f =++⨯-⨯=, ()()4123463637f =+++⨯-⨯=,…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形,发现规律:当2n ≥时,()()()161.f n f n n --=-13.某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召,积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外,还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后,本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断:甲说:小刚选的不是书法,选的是篮球;乙说:小刚选的不是篮球,选的是排球;丙说:小刚选的不是篮球,选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对,有一人说对了一半,另一个人说的全不对,由此推断小刚的选择的( ) A .可能是国画 B .可能是书法C .可能是排球D .一定是篮球【答案】B 【解析】 【分析】依次假定小刚的选择,逐一验证得到答案. 【详解】若小刚选择的是国画,则甲对一半,乙对一半,丙对一半,不满足,排除; 若小刚选择的是书法,则甲全不对,乙对一半,丙全对,满足; 若小刚选择的是排球,则甲对一半,乙全对,丙全对,不满足,排除; 若小刚选择的是篮球,则甲全对,乙全不对,丙对一半,满足; 故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选:B . 【点睛】本题考查了推理分析,意在考查学生的逻辑推理能力.14.新课程改革后,某校的甲、乙、丙三位同学都选了A 、B 、C 三门课中的两门,且任何两位同学选修的课程有且仅有一门相同.其中甲、乙共同选修的课不是B ,乙、丙共同选修的课不是A ,B 和C 两门课程有一个丙没有选,则甲选修的两门课程是( ) A .A 和B B .B 和CC .A 和CD .无法判断【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知丙一定选了A 课程,结合题意进行推理,可得出甲所选修的两门课程,由此可得出结论. 【详解】B 和C 两门课程有一个丙没有选,所以丙肯定选了A ,乙、丙共同选修的课不是A ,则乙选择了B 、C 两门课程,由于甲、乙共同选修的课不是B ,则甲、乙共同选修的是C ,但甲不能选择B 课程. 因此,甲选修是A 、C 两门课程. 故选:C. 【点睛】本题考查简单的合情推理问题,考查推理能力,属于中等题.15.用数学归纳法证明不等式11112321n n +++⋅⋅⋅+<-(2n ≥且*n N ∈)时,在证明从n k =到1n k =+时,左边增加的项数是( )A .2kB .21k -C .12k -D .k【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由n k =递推到1n k =+时,由1n k =+时的不等式左边11111111232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-与n k =时不等式的左边比较即可求解.【详解】用数学归纳法证明不等式11112321n n +++⋅⋅⋅+<-的过程中, 假设n k =时不等式成立,则左边11112321k =+++⋅⋅⋅+-, 那么当1n k =+时,左边11111111232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-, ∴由n k =递推到1n k =+时,不等式左边增加了:111122121k k k +++⋯++-, 共()121212k k k +--+=项.故选:A 【点睛】本题考查数学归纳法,考查观察、推理与运算能力,属于中档题.16.已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市,且每个城市只有一人去过,四人分别给出了以下说法: 甲说:我去过阿勒泰; 乙说:丙去过阿勒泰; 丙说:乙、丁均未去过阿勒泰; 丁说:我和甲中有一人去过阿勒泰.若这四人中有且只有两人说的话是对的,则去过阿勒泰的是( ) A .甲 B .乙C .丙D .丁【答案】C 【解析】 【分析】先假设一人说真话,推出正确,即可,推出矛盾,则说的假话. 【详解】解:如果甲说的是真话,则甲,丙,丁说的是真话,则矛盾,甲未去过; 如果乙说的是真话,则甲,丁说谎,丙说的真话,符合题意,丙去过. 故选:C . 【点睛】本题考查演绎推理的简单应用,难度一般.解答此类问题的关键是先进行假设,然后再逐个分析.17.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”.在创造律制的过程中,他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法,还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法.比如,若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列,则有大吕大吕太簇数列{}n a 中,k a =( )A.n - B.n -C.D.【答案】C【解析】【分析】 根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示,四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示,从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示.【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示,四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示,所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示,因为11n n a a q -=,所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n n a a ----⋅=故选:C.【点睛】 本题以数学文化为背景,考查类比推理能力和逻辑推理能力,求解时要先读懂题目的文化背景,再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.18.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式11111+++⋅⋅⋅中“⋅⋅⋅”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程11x x +=求得12x =,类似上述过程,则231111333++++⋅⋅⋅=( ) A .2B .32C .3D .53 【答案】B【解析】【分析】 由232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,类比已知中的求法,可构造方程求得结果.【详解】232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ∴可设23111333x =+++⋅⋅⋅,则31x x =+,解得:12x = 23111131133322++++⋅⋅⋅=+=∴ 故选:B【点睛】本题考查类比推理的应用问题,关键是能够明确已知中的代换关系,将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.19.甲、乙、丙,丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
推理与证明第三十二讲推理与证明答案

1) 0213专题十二推理与证明第三十二讲推理与证明答案部分2019 年1.解析:由题意,可把三人的预测简写如下:甲:甲乙. 乙:丙乙且丙甲. 丙:丙乙.因为只有一个人预测正确,如果乙预测正确,则丙预测正确,不符合题意. 如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确, 则有丙乙,乙甲,因为乙预测不正确,而丙 乙正确,所以只有丙 甲不正确, 所以甲丙,这与丙 乙,乙 甲矛盾•不符合题意.所以只有甲预测正确,乙、丙预测不正确, 甲乙,乙 丙. 故选A .2010-2018年因为 In x < x 1 ( x 〉0),所以 1 23a L a La a _a 3 > a 1,所以ln( a 1In (aLa L a ) LaLa La La < 与1 1 1,又a 〉,所以等比数列的公比q 〈0 .若q < 1,则a 1 La 2 L a 3 L a 4 -a 1 (1 L q)(1〔q 2)<0,所以1〈q 〈0 , 所以aq 2 (1(12) 01 . B 【解析】解法4ln(a L a L aa a)20矛盾,而 a 1 a 2a >a ,所以-a,故选B.41) 021 3ax[y〉4表示的区域不包含点(2,1)解法二若(2,1) - A ,则2a 142 2,故排除C,故选D . | |,解得a> 3 ,所以当且仅当 3' 寸 a w 时,a 3 ,所以当且仅当 32 21234eLLL |_ a |_a |_a > a|_aLa|_aL,贝U又a i 1,所以等比数列的公比q0 •若q < 1,贝V 1 2 3 4 1 (1 )(1 2 0a La La |_a La |_q |_q ) < ,而a1 a2 a3 > a ' 1 ,所以In( a 11 a " a )'1 2 3与In (aLaLa) LaLaLaLa < 0 矛盾,1 2 3 1 2 3 4所以1〈q〈0 ,所以a1 a3 l_ a1 (1 q2)〉0 , a2 a4 L a1q(1 q2)〈0 ,所以a a ,1 32 . D【解析】解法一点(2,1)在直线x yl_1上,axLyL4表示过定点(0, 4),斜率为a的直线,当a^O时,x ay 2表示过定点(2, 0),斜率的直线不等式x ay< 2 为1 -,八a表示的区域包含原点,不等式ax_y〉4表示的区域不包含原点.直线ax_y_4与直线x ay|_2互相垂直,显然当直线axLy[4的斜率a>0时,不等式ax[y、4表示的区域不包含点3(2,1),故排除A ;点(2,1)与点(0, 4)连线的斜率为,当< 3 ,即3a a> 时,ax y〉4表示的区域包含点(2,1), 此时x ay〈2表示的22区域也包含点(2,1),故排除B ;当直线ax一y _ 4的斜率_ 3,即3a a L时,(2,1) E A•故选D •3 . D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果,故选 D •4 • A【解析】S表示点A到对面直线的距离(设为h )乘以B B II长度一半,即n n n n n 11B B II的长度为定值,那么我们需要知道h n的S h B B ,由题目中条件可知n n 1n n n n 122关系式,过 A 作垂直得到初始距离 h ,那么A i , A 和两个垂足构成了等腰梯形,那么---------------------------------- 1 --------------------------------------------------------- 1 ------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------------于学生乙,一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且没有相同的成绩,则存 在的情况是,最多有 3人,其中一个语文最好,数学最差;另一个语文最差,数学最好; 第三个人成绩均为中等.故选B .6 . A 【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”,故选 A .7 . D 【解析】T5 L3125 , 56 L15 625 , 57 L 78125 , 58 [ 390 625 , 59 L1 953125 ,51_9 765 625 ,11丨,二5n (> 5 )的末四位数字呈周期性变化,且最小正10周期为4,记5n ( n Ez ,且n > 5 )的末四位数字为f (n),则 f(2011) L f (501 X4 |_7) L f(7),二5 2011 与 5?的末位数字相同,均为 8 125 ,选 D . 8 . D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数 f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在 R 上的函数f (x)满足f ( x) f (x),即函数f(x)是偶函数,所以 它的导函数是奇函数,即有g( X) = g(x),故选D 。
高考数学压轴专题人教版备战高考《推理与证明》全集汇编含答案解析

新数学《推理与证明》专题解析(1)一、选择题1.对于实数a ,b ,已知下列条件:①2a b +=;②2a b +>;③2a b +>-;④1ab >;⑤log 0a b <.其中能推出“a ,b 中至少有一个大于1”的条件为( ) A .②③④B .②③④⑤C .①②③⑤D .②⑤【答案】D【解析】【分析】根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可.【详解】①当a =b =1时,满足a +b =2,但此时推不出结论,②若a ≤1,b ≤1,则a +b ≤2,与a +b >2,矛盾,即a +b >2,可以推出, ③当a 12=,b 12=时,满足条件a +b >﹣2,则不可以推出, ④若a =﹣2,b =﹣1.满足ab >1,但不能推出结论, ⑤由log a b <0得log a b <log a 1,若a >1,则0<b <1,若0<a <1,则b >1,可以推出结论.故可能推出的有②⑤,故选:D .【点睛】本题主要考查合情推理的应用,利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键.比较基础.2.设十人各拿一只水桶,同到水龙头前打水,设水龙头注满第i (i =1,2,…,10)个人的水桶需T i 分钟,假设T i 各不相同,当水龙头只有一个可用时,应如何安排他(她)们的接水次序,使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A .从T i 中最大的开始,按由大到小的顺序排队B .从T i 中最小的开始,按由小到大的顺序排队C .从靠近T i 平均数的一个开始,依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D .任意顺序排队接水的总时间都不变【答案】B【解析】【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间,然后加上拎大桶者一共等候者用的时间,用(2m+2T+t )减去二者的和就是节省的时间;由此可推广到一般结论【详解】事实上,只要不按从小到大的顺序排队,就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前,仍设大桶接满水需要T 分钟,小桶接满水需要t 分钟,并设拎大桶者开始接水时已等候了m分钟,这样拎大桶者接满水一共等候了(m+T)分钟,拎小桶者一共等候了(m+T+t)分钟,两人一共等候了(2m+2T+t)分钟,在其他人位置不变的前提下,让这两个人交还位置,即局部调整这两个人的位置,同样介意计算两个人接满水共等候了++ 2m+2t+Tm t T22分钟,共节省了T t- T-t分钟,而其他人等候的时间未变,这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整,从而使得总等候时间减少.这样经过一系列调整后,整个队伍都是从小打到排列,就打到最优状态,总的排队时间就最短.故选B.【点睛】一般的,对某些设计多个可变对象的数学问题,先对其少数对象进行调整,其他对象暂时保持不变,从而化难为易,取得问题的局部解决.经过若干次这种局部的调整,不断缩小范围,逐步逼近目标,最终使问题得到解决,这种数学思想就叫做局部调整法.3.甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃.甲说:“是丙或丁打碎的.”乙说:“是丁打碎的.”丙说:“我没有打碎玻璃.”丁说:“不是我打碎的.”他们中只有一人说了谎,请问是()打碎了玻璃.A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】【分析】假设其中一个人说了谎,针对其他的回答逐个判断对错即可,正确答案为丁.【详解】假设甲打碎玻璃,甲、乙说了谎,矛盾,假设乙打碎了玻璃,甲、乙说了谎,矛盾,假设丙打碎了玻璃,丙、乙说了谎,矛盾,假设丁打碎了玻璃,只有丁说了谎,符合题意,所以是丁打碎了玻璃;故选:D【点睛】本题考查了进行简单的合情推理,采用逐一检验的方法解题,属基础题.4.观察下图:12343456745678910L L2017()则第行的各数之和等于2A .2017B .1009C .1010D .1011【答案】B【解析】【分析】 由图可得:第n 行的第一个数为n ,有21n -个数,且这21n -个数成公差为1的等差数列,利用等差数列求和公式算出即可【详解】由图可得:第n 行的第一个数为n ,有21n -个数且这21n -个数成公差为1的等差数列所以第n 行的各数之和为:()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=,得1009n =故选:B【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识,较简单.5.若数列{}n a 是等差数列,则数列12n n a a a b n++⋯+=也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{}n c 是等比数列,且n d 也是等比数列,则n d 的表达式应为( ) A .12n n c c c d n ++⋯+=B .12n n c c c d n⋅⋅⋯⋅=C .n d =D .n d =【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的求和公式,等比数列的通项公式,即可得到结论.【详解】解:Q 数列{}n a 是等差数列,则()12112n n n a a a a d n -++⋯++=,∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列 Q 正项数列{}n c 是等比数列,设首项为1c ,公比为q ,则()112121111n n n n n c c c c c q c q c q --⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q -=∴n d =故选:D .【点睛】 本题考查类比推理,解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性,由此得出类比的结论即可.6.甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知:丙的年龄比知识分子大;甲的年龄和农民不同;农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是( )A .甲是工人,乙是知识分子,丙是农民B .甲是知识分子,乙是农民,丙是工人C .甲是知识分子,乙是工人,丙是农民D .甲是农民,乙是知识分子,丙是工人【答案】C【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民,所以丙的年龄比乙小;再由“丙的年龄比知识分子大”,可知甲是知识分子,故乙是工人,故选C.7.在平面几何中,与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个,类似的,在立体几何中,与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有( )A .1个B .5个C .7个D .9个【答案】B【解析】【分析】根据平面图形的结论,通过想象类比得出立体图形对应的结论.【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个,由此类比到四面体中,四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等,还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等,因此这样的点有且只有5个.故选:B【点睛】本题考查的是类比推理,找出切入点是解题的关键.8.小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时,小赵说:我没去过;小钱说:小李去过;小孙说;小钱去过;小李说:我没去过.假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过北京的是()A.小钱B.小李C.小孙D.小赵【答案】A【解析】由题意的,如果小赵去过长城,则小赵说谎,小钱说谎,不满足题意;如果小钱去过长城,则小赵说真话,小钱说谎,小孙、小李说真话,满足题意,故选A.9.我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解,在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币,其中有一假币(质量较轻),把两枚硬币放在天平的两端,若天平平衡,则剩余一枚为假币,若天平不平衡,较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币,其中有一枚是假币(质量较轻),如果只有一台天平,则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据提示三分法,考虑将硬币分为3组,然后将有问题的一组再分为3组,再将其中有问题的一组分为3,此时每组仅为1枚硬币,即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组,每组9枚,取两组分别放于天平左右两侧测量,若天平平衡,则假币在第三组中;若天平不平衡,假币在较轻的那一组中;第二步把较轻的9枚金币再分成三组,每组3枚,任取2组,分别放于天平左右两侧测量,若天平平衡,则假币在第三组,若天平不平衡则假币在较轻的一组;第三步再将假币所在的一组分成三组,每组1枚,取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡,则假币是剩下的一个;若天平不平衡,则较轻的盘中所放的为假币.因此,一定能找到假币最少需使用3次天平.故选:B.【点睛】本题考查类比推理思想的应用,难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息,由此入手会方便很多.10.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名,但具体名次未知.3人作出如下预测:甲说:我不是第三名;乙说:我是第三名;丙说:我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确,由此判断获得第三名的是A.甲B.乙C.丙D.无法预测【答案】A【解析】【分析】若甲的预测正确,则乙、丙的预测错误,推出矛盾!若乙的预测正确,甲、丙的预测错误,推出矛盾!若丙的预测正确,甲、乙的预测错误,可推出三个人的名次。
专题卷12合情推理与演绎推理-2020年中考数学复习核心考点专题卷(解析版)

2020年中考数学复习核心考点专题卷专题十二 合情推理与演绎推理本卷共5个大题,17个小题,满分100分,考试时间45分钟. 一、选择题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分) 1.如果“盈利5%”记作+5%,那么﹣3%表示( )A .亏损3%B .亏损8%C .盈利2%D .少赚3% 【答案】A【方法点拔】本题虽简单,但隐含着合情推理,“盈利”与“亏损”具有相反意义,由已知“盈利”为正,则类比推理可知“亏损”为负.2.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:b a -,y x -,y x +,b a +,22y x -,22b a -分别对应下列六个字:国、爱、我、中、游、美,现将222222)()(b y x a y x ---因式分解,结果呈现的密码信息可能是( )A .我爱美B .中国游C .爱我中国D .美我中国 【答案】C【方法点拔】对代数式222222)()(b y x a y x ---进行因式分解,对比已知条件中的每一多项式,即可推断出密码信息的含义.这是一种合情推理.3.如图,AB ∥CD ,CE 平分∠BCD ,∠B =36°,则∠DCE 等于( ) A .18° B .36° C .45°D .54°【答案】A【方法点拔】本题应用了平行线的性质定理和角平分线的性质进行推理,经两步推理即可得出结论.属于演绎推理.4.已知四边形ABCD 是平行四边形,对角线AC 、BD 交于点O ,E 是BC 的中点,以下说法错误..的是( )A .DC=2OEB .OA=OC C .∠BOE=∠OBAD .∠OBE=∠OCE 【答案】D【方法点拔】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A 、B 、C 正确;由OB ≠OC ,得出∠OBE ≠∠OCE ,选项D 错误;即可得出结论.解答过程应用了相关定理性质进行多向、多步推理.5.如图,已知AB =A 1B ,A 1B 1=A 1A 2,A 2B 2=A 2A 3,A 3B 3=A 3A 4…,若∠A =70°,则∠A n 的度数为( )A .1270-nB .n 270C .1270+nD .2270+n【答案】C【方法点拔】本题属于规律探究问题,主要考查合情推理,根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B 1A 2A 1,∠B 2A 3A 2及∠B 3A 4A 3的度数,找出规律即可得出∠A n ﹣1A n B n ﹣1的度数.二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)6.能够说明x =不成立”的x 的值是 (写出一个即可). 【答案】﹣17.观察一组数:1,1,2,3,5,m …,根据其规律可知这组数中m 表示的数为 . 【答案】88.如图,在△ABC 中,AB =AC =5,BC =8,D 是线段BC 上的动点(不含端点B 、C ).若线段AD 长为正整数,则AD 长为 . 【答案】3或49.如图,将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形,称为第一次操作;然后,将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形,共得到7个小三角形,称为第二次操作;再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形,共得到10个小三角形,称为第三次操作;…根据以上操作,若要得到100个小三角形,则需要操作的次数是 .【答案】3310.矩形ABCD 中,AD =2AB =4,点P 在AD 边上,若△PBC 是等腰三角形,则为∠PBC 的度数为 . 【答案】45°或75°或30°三、(本大题共2小题,每小题7分,共14分)11.如图:点C 是AE 的中点,∠A =∠ECD ,AB=CD ,求证:∠B =∠D .【答案】∵点C 是AE 的中点,∴AC =CE ,在△ABC 和△CDE 中,,,.AC CE A ECD AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE ,∴∠B =∠D .12.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,它有一定的规律性,若把第一个三角形数记为x 1,第二个三角形数记为x 2,…第n 个三角形数记为x n . (1)第七个三角形数是 ;(2)求x n +x n +1的值. 【答案】(1)28;(2)∵ 1x +2x =1+3=4=22,2x +3x =3+6=9=23,3x +4x =6+10=16=24,4x +5x =10+15=25=25, 5x +6x =15+21=36=26,……∴n x +1n x + =()21n +.四、(本大题共2小题,每小题8分,共16分) 13.已知关于x 的方程x 2+mx+m ﹣2=0. (1)若此方程的一个根为1,求m 的值;(2)求证:不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根. 【答案】(1)根据题意,将x =1代入方程x 2+mx +m ﹣2=0, 得:1+m +m ﹣2=0,解得:m =12; (2)∵△=m 2﹣4×1×(m ﹣2)=m 2﹣4m +8=(m ﹣2)2+4>0, ∴不论m 取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.14.某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试,成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级.为了解这次测试情况,学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析.相关数据的统计图、表如下:根据以上信息解决下列问题:(1)在统计表中,a 的值为 ,b 的值为 ;(2)在扇形统计图中,八年级所对应的扇形圆心角为 度;(3)若该校三个年级共有2000名学生参加考试,试估计该校学生体育成绩不合格的人数.【答案】解:(1)由题意和扇形统计图可得,a=200×40%﹣20﹣24﹣8=80﹣20﹣24﹣8=28,b=200×30%﹣24﹣14﹣7=60﹣24﹣14﹣7=15,故答案为:28,15;(2)由扇形统计图可得,八年级所对应的扇形圆心角为:360°×(1﹣40%﹣30%)=360°×30%=108°,故答案为:108;(3)由题意可得,2000×200758++=200人,即该校三个年级共有2000名学生参加考试,该校学生体育成绩不合格的有200人.五、(本大题共3小题,每小题10分,共30分)15.在□ABCD中,AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2,求AB 的长.【答案】①如图1,在▱ABCD中,∵BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD,∵EF=2,∴BC=BE+CF=2AB﹣EF=8,∴AB=5;②在▱ABCD中,∵BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD,∵EF=2,∴BC =BE +CF =2AB +EF =8,∴AB =3;综上所述:AB 的长为3或5.16.如图,在平面直角坐标系中,点B 在x 轴正半轴上,OB 的长度为2m ,以OB 为边向上作等边三角形AOB ,抛物线l :y =ax 2+bx +c 经过点O ,A ,B 三点.(1)当m =2时,a = ,当m =3时,a = ; (2)根据(1)中的结果,猜想a 与m 的关系,并证明你的结论.【答案】解:(1)如图1,∵点B 在x 轴正半轴上,OB 的长度为2m ,∴B (2m ,0), ∵以OB 为边向上作等边三角形AOB , ∴AMm ,OM =m ,∴A (mm ), ∵抛物线l :y =ax 2+bx +c 经过点O ,A ,B 三点∴22(2)200a m bm c am bm c c ⎧⨯++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩,∴0a m b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩当m =2时,2a =-,当m =3时,3a =-,故答案为:2-3-; (2)a =. 理由:如图1,∵点B 在x 轴正半轴上,OB 的长度为2m ,∴B (2m ,0), ∵以OB 为边向上作等边三角形AOB , ∴AMm ,OM =m ,∴A (mm ).∵抛物线l :y =ax 2+bx +c 经过点O ,A ,B 三点,∴22(2)200a m bm c am bm c c ⎧⨯++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩,∴0a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩,∴a =.17.△ABC 中,∠BAC =90°,AB=AC ,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ,C 重合),以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF ,连接CF . 观察猜想如图1,当点D 在线段BC 上时, ①BC 与CF 的位置关系为: .②BC ,CD ,CF 之间的数量关系为: ;(将结论直接写在横线上) 数学思考如图2,当点D 在线段CB 的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明. 拓展延伸如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,延长BA 交CF 于点G ,连接GE .若已知AB=CD=14BC ,求GE 的长.【答案】观察猜想①正方形ADEF 中,AD =AF , ∵∠BAC =∠DAF =90°, ∴∠BAD =∠CAF .在△DAB与△F AC中,AD AFBAD CAF AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DAB≌△F AC.∴∠ABD=∠ACF.∴∠ACB+∠ACF=90°,即CF⊥BD;故答案为:CF⊥BD;②△DAB≌△F AC,∴CF=BD.∵BC=BD+CD,∴BC=CF+CD.故答案为:BC=CF+CD;数学思考当点D在CB的延长线上时,结论①成立,结论②不成立,②的正确结论是:BC=CD-CF 理由如下:∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°.∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF.在△DAB与△F AC中,AD AFBAD CAF AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DAB≌△F AC.∴∠ABD=∠ACF=135°,CF=BD.∴∠DCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°.∴CF⊥BD.∵BC= CD-BD,∴BC= CD-CF.拓展延伸解:过A作AH⊥BC于H,过E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴BCAB=4,AH=12BC=2.∴CD=14BC=1,CH=12BC=2.∴DH=3.由(2)证得BC⊥CF,CF=BD=5,∵四边形ADEF是正方形,∴AD=DE,∠ADE=90°.∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,∴四边形CMEN是矩形,∴NE=CM,EM=CN,∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°,∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°.∴∠ADH=∠DEM.在△ADH与△DEM中,ADH DEMAHD DME AD DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADH≌△DEM.∴EM=DH=3,DM=AH=2.∴CN=EM=3,EN=CM=3.∵∠ABC=45°,∴∠BGC=45°.∴△BCG是等腰直角三角形.∴CG=BC=4.∴GN=1.∴EG。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》全集汇编含答案解析

【高中数学】《推理与证明》知识点汇总一、选择题1.学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下: 甲说:“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说:“B 作品获得一等奖” 丙说:“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说:“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品为( ) A .C 作品 B .D 作品 C .B 作品 D .A 作品 【答案】C【解析】分析:根据学校艺术节对同一类的A ,B ,C ,D 四项参赛作品,只评一项一等奖,故假设A ,B ,C ,D 分别为一等奖,判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性,即可判断.详解:若A 为一等奖,则甲,丙,丁的说法均错误,故不满足题意, 若B 为一等奖,则乙,丙说法正确,甲,丁的说法错误,故满足题意, 若C 为一等奖,则甲,丙,丁的说法均正确,故不满足题意, 若D 为一等奖,则只有甲的说法正确,故不合题意,故若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是B 故答案为:C.点睛:本题考查推理的应用,意在考查学生的分析、推理能力.这类题的特点是:通过几组命题来创设问题情景,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题,应耐心读题,找准突破点,一般可以通过假设前提依次验证即可.2.观察下图:12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017( ) A .2017 B .1009C .1010D .1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得:第n 行的第一个数为n ,有21n -个数,且这21n -个数成公差为1的等差数列,利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得:第n 行的第一个数为n ,有21n -个数且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为:()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=,得1009n = 故选:B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识,较简单.3.观察2'()2x x =,4'3()4x x =,'(cos )sin x x =-,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,记()g x 为()f x 的导函数,则()g x -= A .()f x B .()f x -C .()g xD .()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数,因为()f x 是偶函数,则()()g x f x '=是奇函数,所以()()g x g x -=-,应选答案D .4.甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( ) A .丙被录用了 B .乙被录用了C .甲被录用了D .无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了,若乙被录用了,若丙被录用了,再逐一判断即可. 【详解】解:若甲被录用了,则甲的说法错误,乙,丙的说法正确,满足题意, 若乙被录用了,则甲、乙的说法错误,丙的说法正确,不符合题意, 若丙被录用了,则乙、丙的说法错误,甲的说法正确,不符合题意, 综上可得甲被录用了, 故选:C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力,属基础题.5.分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力,在一定条件下两个原子接近,则彼此因静电作用产生极化,从而导致有相互作用力,称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子,原子核正电荷的电荷量为q ,这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭,其中,kc 为静电常量,1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭,111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,且()1211x x x -+≈-+,则U 的近似值为( )A .2123kcq x x R B .2123kcq x x R - C .21232kcq x x R D .21232kcq x x R- 【答案】D 【解析】 【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭,111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ,结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选:D. 【点睛】本题考查U 的近似计算,充分理解题中的计算方法是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.6.在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上,由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐.将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁,且比赛结果只有一支队伍获得冠军,现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得冠军”;小王说:“丁团队获得冠军”;小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”;小赵说:“甲团队获得冠军”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得冠军的团队是( ) A .甲B .乙C .丙D .丁【答案】D 【解析】 【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论,结合四人的说法进行推理,进而可得出结论. 【详解】若甲获得冠军,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符; 若乙获得冠军,则小王、小李、小赵的预测不正确,与题意不符; 若丙获得冠军,则四个人的预测都不正确,与题意不符;若丁获得冠军,则小王、小李的预测都正确,小张和小赵预测的都不正确,与题意相符. 故选:D . 【点睛】本题考查合情推理,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.7.小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时,小赵说:我没去过;小钱说:小李去过;小孙说;小钱去过;小李说:我没去过.假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过北京的是( ) A .小钱 B .小李C .小孙D .小赵【答案】A 【解析】由题意的,如果小赵去过长城,则小赵说谎,小钱说谎,不满足题意;如果小钱去过长城,则小赵说真话,小钱说谎,小孙、小李说真话,满足题意,故选A.8.小正方形按照下图中的规律排列,每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =;②{}n a 是一个等差数列;③数列{}n a 是一个等比数列;④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是( )A .①②④B .①③④C .①②D .①④【答案】D 【解析】由图形可得:a 1=1,a 2=1+2,… ∴()1122n n n a n +=++⋯+=.所以①a 5=15; 正确;②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列;故②错误; ③数列{an }不是一个等比数列;③错误; ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确; 本题选择D 选项.点睛: 数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.9.观察下列等式:332123+=,33321236++=,33332123410+++=,记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律,若()225f n =,则正整数n 的值为( )A .8B .7C .6D .5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=,当()225f n =时,可得5n =. 故选:D 【点睛】本题考查归纳推理,熟记等差数列求和公式是关键,考查观察转化能力,是基础题10.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名,但具体名次未知.3人作出如下预测:甲说:我不是第三名;乙说:我是第三名;丙说:我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确,由此判断获得第三名的是 A .甲 B .乙C .丙D .无法预测【答案】A 【解析】 【分析】若甲的预测正确,则乙、丙的预测错误,推出矛盾!若乙的预测正确,甲、丙的预测错误,推出矛盾!若丙的预测正确,甲、乙的预测错误,可推出三个人的名次。
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专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案部分 2019年1.解析:由题意,可把三人的预测简写如下:甲:甲乙. 乙:丙乙且丙甲. 丙:丙乙.因为只有一个人预测正确,如果乙预测正确,则丙预测正确,不符合题意. 如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确, 则有丙乙,乙甲,因为乙预测不正确,而丙乙正确,所以只有丙甲不正确, 所以甲丙,这与丙乙,乙甲矛盾.不符合题意. 所以只有甲预测正确,乙、丙预测不正确, 甲乙,乙丙. 故选A .2010-2018年1.B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >),所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤,所以41a -≤,又11a >,所以等比数列的公比0q <.若1q -≤,则212341(1)(10a a a a a q q +++=++)≤, 而12311a a a a ++>≥,所以123ln()0a a a ++>, 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾,所以10q -<<,所以2131(1)0a a a q -=->,2241(1)0a a a q q -=-<,所以13a a >,24a a <,故选B .解法二 因为1xe x +≥,1234123ln()a a a a a a a +++=++,所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥,则41a -≤,又11a >,所以等比数列的公比0q <.若1q -≤,则212341(1)(10a a a a a q q +++=++)≤, 而12311a a a a ++>≥,所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾,所以10q -<<,所以2131(1)0a a a q -=->,2241(1)0a a a q q -=-<,所以13a a >,24a a <,故选B .2.D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上,4ax y +=表示过定点(0,4),斜率为a-的直线,当0a ≠时,2x ay -=表示过定点(2,0),斜率为1a的直线,不等式2x ay -≤表示的区域包含原点,不等式4ax y +>表示的区域不包含原点.直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直,显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时,不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除A ;点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-,当32a -<-,即32a >时,4ax y +>表示的区域包含点(2,1),此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1),故排除B ;当直线4ax y +=的斜率32a -=-,即32a =时,4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除C ,故选D .解法二 若(2,1)A ∈,则21422a a +>⎧⎨-⎩≤,解得32a >,所以当且仅当32a ≤时,(2,1)A ∉.故选D .3.D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果,故选D . 4.A 【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离(设为n h )乘以1n n B B +长度一半,即112n n n n S h B B +=,由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值,那么我们需要知道n h 的关系式,过1A 作垂直得到初始距离1h ,那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形,那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅,其中θ为两条线的夹角,即为定值,那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅,111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅,作差后:1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅,都为定值,所以1n n S S +-为定值.故选A .5.B 【解析】学生甲比学生乙成绩好,即学生甲两门成绩中一门高过学生乙,另一门不低于学生乙,一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且没有相同的成绩,则存在的情况是,最多有3人,其中一个语文最好,数学最差;另一个语文最差,数学最好;第三个人成绩均为中等.故选B .6.A 【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”,故选A .7.D 【解析】∵553125=,6515625=,7578125=,85390625=,951953125=,1059765625=,⋅⋅⋅,∴5n (n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字呈周期性变化,且最小正周期为4,记5n(n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字为()f n , 则(2011)(50147)f f =⨯+(7)f =,∴20115与75的末位数字相同,均为8 125,选D .8.D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数()f x 是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,即函数()f x 是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有()g x -=()g x -,故选D 。
9.27【解析】所有的正奇数和2n (*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ,在数列{}n a中,52前面有16个正奇数,即5212a =,6382a =.当1n =时,1211224S a =<=,不符合题意;当2n =时,2331236S a =<=,不符合题意;当3n =时,3461248S a =<=,不符合题意;当4n =时,45101260S a =<=,不符合题意;……;当26n =时,52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =,不符合题意;当27n =时,52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540,符合题意.故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27.10.6 12【解析】设男生数,女生数,教师数为,,a b c ,则2,,,c a b c a b c >>>∈N①84a b >>>,所以max 6b =,②当min 1c =时,21a b >>>,a ,b ∈N ,a ,b 不存在,不符合题意; 当min 2c =时,42a b >>>,a ,b ∈N ,a ,b 不存在,不符合题意; 当min 3c =时,63a b >>>,此时5a =,4b =,满足题意. 所以12a b c ++=.11.()413n n ⨯⨯+【解析】通过归纳可得结果为4(1)3n n +.12.②③【解析】对于①,令(1,1)P ,则其“伴随点”为11(,)22P ',而11(,)22P '的“伴随点”为(1,1)--,而不是P ,故错误;对于②设(,)P x y 是单位圆22:1C x y +=上的点,其“伴随点”为(,)P x y ''',则有2222y x x y x y x y ⎧'=⎪+⎪⎨-⎪'=⎪+⎩,所以22222222221()()1y x x y x y x y x y -''+=+==+++,所以②正确;对于③设(,)P x y 的“伴随点”为2222(,)y xP x y x y-'++,1(,)P x y -的“伴随点” 为12222(,)y x P x y x y --'++,易知2222(,)y x P x y x y -'++与12222(,)y xP x y x y --'++关于y 轴对称,所以③正确;对于④,设原直线的解析式为0Ax By C ++=,其中,A B 不同时为0,且00(,)P x y 为该直线上一点,00(,)P x y 的“伴随点”为(,)P x y ''',其中,P P '都不是原点,且0220002200y x x y x y x y ⎧'=⎪+⎪⎨-⎪'=⎪+⎩,则22000()x x y y '=-+,22000()y x y x '=+,将00(,)P x y 代入原直线方程,得22220000()()0A x y y B x y x C ''++++=,则22000C Ay Bx x y ''-++=+,由于2200x y +的值不确定,所以“伴随点”不一定共线,所以④错误.13.1和3【解析】为方便说明,不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记为A ,B ,C 从丙出发,由于丙的卡片上的数字之和不是5,则丙只可能是卡片A 或B ,无论是哪一张,均含有数字1,再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知,乙所拿的 卡片必然是C ,最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2,知甲所拿的卡片为B ,此时丙所拿的卡片为A . 14.111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++. 【解析】观察等式知:第n 个等式的左边有2n 个数相加减,奇数项为正,偶数项为负,且分子为1,分母是1到2n 的连续正整数,等式的右边是111122n n n++⋅⋅⋅+++.15.14【解析】解法一 直接递推归纳;等腰直角三角形ABC 中,斜边BC =1122,AB AC a AA a =====,1231A A a ==,⋅⋅⋅,65671124A A a a ==⨯=.解法二 求通向:等腰直角三角形ABC 中,斜边BC =所以1122,AB AC a AA a =====⋅⋅⋅,11sin2(422n n n n n n A A a a a π-+==⋅==⨯,故6722a =⨯=1416.6【解析】因为①正确,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确,则符合条件的有序数组为(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正确,①②④都不正确,则符合条件的有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上符合条件的有序数组的个数是6.17.42【解析】先由徒弟粗加一工原料B ,6天后,师傅开始精加工原料B ,徒弟同时开始粗加工原料A ,再9天后(15天后),徒弟粗加工原料A 完成,此时师傅还在精加工原料B ,27天后,师傅精加工原料B 完成,然后接着精加工原料A ,再15天后,师傅精加工原料A 完成,整个工作完成,一共需要6 +21+15= 42个工作日.18.12014x x +【解析】由1()1x f x x =+,得2()()112x xf x f x x==++, 可得32()(())13x f x f f x x ==+,故可归纳得2014()12014xf x x=+.19.2F V E +-=【解析】三棱柱中5 +6-9 =2;五棱锥中6+6 -10 =2;立方体中6+8 -12 =2,由此归纳可得2F V E +-=.20.12-22+32-42+…+1(1)n +-n 2=1(1)n +-·(1)2n n +(n ∈*N ) 【解析】观察上式等号左边的规律发现,左边的项数一次加1,故第n 个等式左边有n 项,每项所含的底数的绝对值也增加1,一次为1,2,3,…n ,指数都是2,符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示,等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和,故等式的右边可以表示为(1)n-·(1)2n n +,所以第n 个式子可为12-22+32-42+…+12(1)n n +-=1(1)n +-·(1)2n n +(n ∈*N ). 21.1000【解析】观察2n 和n 前面的系数,可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列,故()2,241110N n n n =-,()10,241000N ∴=22.6116151413121122222<+++++【解析】观察不等式的左边发现,第n 个不等式的左边=222111123(1)n +++⋅⋅⋅++,右边=()1112+-+n n ,所以第五个不等式为 6116151413121122222<+++++. 23.(1)6;(2)43211n -⨯+【解析】(1)当N =16时,012345616P x x x x x x x =L ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16)L ,113571524616P x x x x x x x x x =L L ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16)L L , 2159133711152616P x x x x x x x x x x x =L ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)L ,7x 位于2P 中的第6个位置;(2)在1P 中173x 位于两段中第一段的第87个位置,位于奇数位置上,此时在2P 中173x 位于四段中第一段的第44个位置上,再作变换得3P 时,173x 位于八段中第二段的第22个位置上,再作变换时,173x 位于十六段中的第四段的第11个位置上.也就是位于4P 中的第43211n -⨯+个位置上.24. 2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L 【解析】把已知等式与行数对应起来,则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ,加数的个数是21n -;等式右边都是完全平方数,行数 等号左边的项数1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7 …… …… ……所以2(1)[(21)1](21)n n n n n +++++--=-L , 即2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L25.0,1123n n n n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时,当为奇数时【解析】根据合情推理,利用归纳和类比进行简单的推理,可得n T =0,1123nn n n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时,当为奇数时 26.962【解析】观察等式可知,cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列,故1284512m =⨯=.取0α=,则cos 1α=,cos101α=,代入等式⑤得1512128011201n p =-+++-,即350n p +=-(1)取3πα=,则1cos 2α=,1cos102α=-,代入等式⑤得108642111111512()1280()1120()()()1222222n p -=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯- 即4200n p +=-(2)联立(1)(2)得,400,50n p =-=,所以m n p -+=512(400)50962--+=. 27.【解析】(1)记()abc τ为排列abc 的逆序数,对1,2,3的所有排列,有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ,,,,,,所以333(0)1(1)(2)2f f f ===,.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此,4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=.(2)对一般的n (4)n ≥的情形,逆序数为0的排列只有一个:12n ⋅⋅⋅,所以(0)1n f =. 逆序数为1的排列只能是将排列12n ⋅⋅⋅中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以(1)1n f n =-.为计算1(2)n f +,当1,2,…,n 的排列及其逆序数确定后,将1n +添加进原排列,1n +在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此,1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+. 当5n ≥时,112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=, 因此,5n ≥时,(2)n f =222n n --.28.【解析】证明:(1)因为{}n a 是等差数列,设其公差为d ,则1(1)n a a n d =+-,从而,当n 4≥时,n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=,1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6, 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.(2)数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,因此, 当3n ≥时,n n n n n a a a a a --+++++=21124,①当4n ≥时,n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知,n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++,③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+,④将③④代入②,得n n n a a a -++=112,其中4n ≥, 所以345,,,a a a L 是等差数列,设其公差为d'.在①中,取4n =,则235644a a a a a +++=,所以23a a d'=-, 在①中,取3n =,则124534a a a a a +++=,所以122a a d'=-, 所以数列{}n a 是等差数列.29.【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明:0n x >当1n =时,110x => 假设n k =时,0k x >,那么1n k =+时,若10k x +≤,则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤,矛盾,故10k x +>. 因此0n x >()n ∈*N所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>因此10n n x x +<<()n ∈*N(Ⅱ)由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,所以()(0)f x f ≥=0, 因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤ (Ⅲ)因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤所以112n n x -≥得由1122n n n n x x x x ++-≥得 111112()022n n x x +-->≥ 所以12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥ 故212n n x -≤综上,1211(N )22n n n x n *--∈≤≤ .。