2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数 12.2 综合法、分析法、反证法课
【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数 12.1 归纳与类比课件 文
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1 2 3 4 5 6
1 1 1 9 5.在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立;在四边形 ABCD 中,不 ������ ������ ������ π 1 1 1 1 16 1 1 等式 + + + ≥ 成立;在五边形 ABCDE 中,不等式 + + ������ ������ ������ ������ 2π ������ ������ 1 1 1 25 + + ≥ 成立.猜想,在 n 边形 A 1A2…An 中,成立的不等式 ������ ������ ������ 3π
-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
考点1归纳推理 例1如图是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右, 从上至下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为 20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式 为21+23=10,……,依此类推,则第99个等式为( ) 20+21=3 关闭 0+22=5 1+22=6 2 2 依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中的等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为 20+23=9 21+23=10 22+23=12 5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为 20+24=17 21+24=18 22+24=20 23+24=24 17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);……,又因为99=(1+2+3+…+13)+8,因此第 …… 7+214=16 512,故选 99A.2 个等式应位于第 14行的从左至右的第 8 个位置 , 即是 2 7+213=8 320 7 14 B.2 +2 =16 512 关闭 B. B C.28+214=16 640 D.28+213=8 448
高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第1讲 合情推理与演绎推理练习 理
【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第1讲 合情推理与演绎推理练习 理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.(2016·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4， 2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第________项.解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项. 答案 242.观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________. 解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x ). 答案 －g (x )3.在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的13”.拓展到空间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________. 解析 设正三角形的边长为a ，高为h ，内切圆半径为r ，由等面积法知3ar ＝ah ，所以r ＝13h ； 同理，由等体积法知4SR ＝HS ，所以R ＝14H .答案 144.下列推理是归纳推理的是________.①A ，B 为定点，动点P 满足PA ＋PB ＝2a >AB ，则P 点的轨迹为椭圆；②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式；③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理. 答案 ②5.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b10等于________.解析 观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123. 答案 1236.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________. 解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……， 则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n （n ＋3）2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.答案 147.(2016·徐州检测)观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第n 个等式为________.解析 观察所给等式左右两边的构成易得第n 个等式为13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22＝n 2（n ＋1）24.答案 13＋23＋…＋n 3＝n 2（n ＋1）248.(2016·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …则第30行从左到右第3个数是________.解析 先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数.观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×（2＋60）2－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051.答案 1 051二、解答题9.给出下面的数表序列：表1 表2 表31 1 3 1 3 54 4 812 …其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明).解表4为 1 3 5 74 8 1212 2032它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列.将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列.10.f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.解f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13（1＋3）＝33（1＋3）＋13（1＋3）＝33，同理可得f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝33.证明f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋131－x＋3＝13x＋3＋3x3＋3·3x＝13x＋3＋3x3（3＋3x）＝3＋3x 3（3＋3x）＝33. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )＝________.解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22个区域.答案n 2＋n ＋2212.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数. 比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是________(填序号). ①289；②1 024；③1 225；④1 378.解析 观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3， …a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 答案 ③13.(2016·南通测试)已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x(a ＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立.运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有________成立.解析 对于函数y ＝a x(a ＞1)的图象上任意不同两点A ，B ，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立；对于函数y ＝sinx (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，类比可知应有sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22成立.答案sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 2214.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由. 证明 如图所示，由射影定理，得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，在四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD ， 又AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE2＝1AB2＋1AF 2，①在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC2＋1AD 2，② ① ＋②得1AE2＝1AB 2＋1AC2＋1AD 2.。
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第十二章算法初步、推理与证明12.3
第八页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
如图是 2015 年武汉东湖灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁 所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是 ____________．(填写对应图形的序号)
第十七页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
类型三 演绎推理
指出下面推理中的错误： (1)自然数是整数……………………………大前提 －5 是整数…………………………………小前提 所以，－5 是自然数…………………………结论 (2)指数函数 y＝ax 是增函数………………大前提
y＝12x是指数函数 ………………………小前提 所以，y＝12x是增函数 ……………………结论
(2015·保定期末)有一段“三段论”，推理是这样
的：对于可导函数 f(x)，如果 f′(x0)＝0，那么 x＝x0 是函数 f(x)的 极值点．因为 f(x)＝x3 在 x＝0 处的导数值 f′(0)＝0，所以 x＝0 是
函数 f(x)＝x3 的极值点．以上推理中( )
A．大前提错误
B．小前提错误
第二页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
3．演绎推理 (1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的 结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由 __________到__________的推理． (2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． “三段论”可以表示为： 大前提：M 是 P. 小前提：S 是 M. 结论：S 是 P.
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习配套课件 第十二章 推理证明、算法、复数12.1
解析 设 ha，hb，hc，hd 分别是三棱锥 A－BCD 四个面上的高，P 为三
棱锥 A－BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为 Pa，Pb，Pc，
Pd，于是可以得出结论：Phaa＋Phbb＋Phcc＋Phdd＝1.
第三十二页，编辑于星期六：解二十析点答十八案分。
题型三
例6
演绎推理
数列{an}的前
1 23 45
第十四解页析，编答辑案于星期六：二十点 十八分。
5.(教材改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2
＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若 b9＝1，则b1b2b3b4…bn＝____________b_1_b_2_b_3b_4_…__b_1_7－__n _(n_<_.17，n∈N*)
则 am ＋ n ＝ n－m . 类 比 等 差 数 列 {an} 的 上 述 结 论 ， 对 于 等 比 数 列 {bn}(bn>0，n∈N*)，若 bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得 到 bm＋n＝________.
思第维二升十九华页，编辑于星期六：解二十析点答十案八分。
跟踪训练2
…，
据此规律，第n个等式可为____________________________________.
第十七页，编辑于星期六：二解十点析十答八案分。
命题点 2 与不等式有关的推理
例 2 已知 x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1x≥2，x＋x42＝2x＋2x＋x42≥3， x＋2x73 ＝3x＋3x＋3x＋2x73 ≥4，…，类比得 x＋xan≥n＋1(n∈N*)，则 a＝ ___n_n____. 解析 第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的 情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可 知a＝nn.
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第十二章算法初步、推理与证明12.1
(2014·北京)执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 ()
A．1
B．3
C．7
D．15
解：由程序框图知：S＝1＋21＋22＝7.故选 C.
第十页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
(2014·辽宁)执行下面的程序框图，若输入 x＝9，则输出 y＝ ____________．
第二十三页，编辑于星期六：二十一点 四十八 分。
类型四 条件结构
(2015·深圳调研)执行如图所示的程序框图，如果依次输入函
数：f(x)＝3x，f(x)＝sinx，f(x)＝x3，f(x)＝x＋1x，那么输出的函数 f(x)为(
)
A．f(x)＝3x C．f(x)＝x3
B．f(x)＝sinx D．f(x)＝x＋1x
第十九页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
一位商人有 9 枚银元，其中有一枚略轻的是假 银元．请设计一种算法，用天平(不用砝码)将假银元找出来．
解：算法如下： 第一步：把银元分成 3 组，每组 3 枚； 第二步：先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平 衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假 银元就在未称的第 3 组内； 第三步：取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放 在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元； 如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．
②统筹法中“烧水泡茶”的故事；
③测量某棵树的高度，判断其是否为大树；
④已知三角形的两边及夹角，利用三角形的面积公式求出该
三角形的面积．
A．1
B．2
C．3
D．4
第十三页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
解：①中勾画了从济南到巴黎的行程安排，完成了任 务；②中节约时间，烧水泡茶完成了任务；③中对“树的 大小”没有明确的标准，无法完成任务，不是有效的算法 构造；④是纯数学问题，利用三角形的面积公式求出三角 形的面积．故选 C.
(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第3讲 数学归纳法
【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第3讲 数学归纳法及其应用练习 理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.在数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________.解析 计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜a n ＝n 2. 答案 a n ＝n 22.某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可以推出n ＝k ＋1时该命题也成立.给出以下说法：①n ＝4时该命题成立；②n ＝4时该命题不成立；③n ≥5，n ∈N *时该命题都成立；④可能n 取某个大于5的整数时该命题不成立.现已知n ＝5时该命题成立，那么上述说法正确的序号是________.解析 显然①，②错误，由数学归纳法原理知③正确，④错. 答案 ③3.已知{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *，且a 1＝2.则a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________，猜想a n ＝________. 答案 3 4 5 n ＋14.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝k (k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真.解析 n 为正奇数，假设n ＝k 成立后，需证明的应为n ＝k ＋2时成立. 答案 k ＋25.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324(n >2)的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边________(填序号). ①增加了一项：12（k ＋1）；②增加了两项：12k ＋1，12（k ＋1）；③增加了两项：12k ＋1，12（k ＋1），又减少了一项：1k ＋1；④增加了一项：12（k ＋1），又减少了一项：1k ＋1.解析 当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2. 答案 ③6.(2015·九江模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则其一般结论为________.解析 因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n)>n ＋22.故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *).答案 f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)7.已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，给出以下说法：①f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13；②f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14；③f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13；④f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14.则上述说法正确的序号是________. 答案 ④8.(2015·济南模拟)已知数组⎝ ⎛⎭⎪⎫12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，⎝ ⎛⎭⎪⎫14，23，32，41，…，⎝⎛⎭⎪⎫1n ，2n －1，3n －2，…，n －12，n 1，….记该数组为：(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，…，则a 200＝________.解析 通过观察数组可以发现，第n 组数中共有n 个数，每个数的分子与分母的和等于n ＋1，又因为1＋2＋…＋19＝190<200，故a 200应该是第20组中的第10个数，故应为1011.答案1011二、解答题9.(2016·南京质检)数列{2n－1}的前n 项组成集合A n ＝{1，3，7， (2)－1}(n ∈N *)，从集合A n 中任取k (k ＝1，2，3，…，n )个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为T k (若只取一个数，规定乘积为此数本身)，记S n ＝T 1＋T 2＋…＋T n .例如：当n ＝1时，A 1＝{1}，T 1＝1，S 1＝1；当n ＝2时，A 2＝{1，3}，T 1＝1＋3，T 2＝1×3，S 2＝1＋3＋1×3＝7.(1)求S 3；(2)猜想S n ，并用数学归纳法证明.解 (1)当n ＝3时，A 3＝{1，3，7}，T 1＝1＋3＋7＝11，T 2＝1×3＋1×7＋3×7＝31，T 3＝1×3×7＝21，所以S 3＝11＋31＋21＝63. (2)由S 1＝1＝21×22－1，S 2＝7＝23－1＝22×32－1， 猜想S n ＝2n （n ＋1）2－1，下面用数学归纳法证明：①易知当n ＝1时成立；②假设当n ＝k 时，S k ＝2k （k ＋1）2－1，则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝T 1＋T 2＋…＋T k ＋1＝[T 1′＋(2k ＋1－1)]＋[T 2′＋(2k ＋1－1)T 1′]＋[T 3′＋(2k ＋1－1)T 2′]＋…＋(2k ＋1－1)T k ′(其中T i ′(i ＝1，2，…，k )为n ＝k 时所有可能的k 个数的乘积的和T k )＝(T 1′＋T 2′＋T 3′＋…＋T k ′)＋(2k ＋1－1)＋(2k ＋1－1)·(T 1′＋T 2′＋T 3′＋…＋T k ′)＝S k ＋(2k ＋1－1)＋(2k ＋1－1)S k ＝2k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k （k ＋1）2－1＋(2k ＋1－1)＝2k ＋1·2k （k ＋1）2－1＝2（k ＋1）（k ＋2）2－1，即当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝2（k ＋1）（k ＋2）2－1成立.综合①②知，对任意的n ∈N *，S n ＝2n （n ＋1）2－1成立.所以S n ＝2n （n ＋1）2－1.10.(2016·苏、锡、常、镇一模)圆周上有n 个固定点，分别为A 1，A 2，…，A n (n ∈N *，n ≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n . (1)写出a 2，a 3，a 4的值；(2)写出a n 的表达式，并用数学归纳法证明. 解 (1)a 2＝6，a 3＝6，a 4＝18.(2)a n ＝2n＋2·(－1)n(n ∈N *，n ≥2).(*) 证明如下：①当n ＝2时，a 2＝6，符合(*)式. ②假设当n ＝k 时，(*)式成立， 即a k ＝2k＋2·(－1)k成立，那么当n ＝k ＋1时，因为A 1有3种标法，A 2有2种标法，…，A k 有2种标法， 若A k ＋1仅与A k 不同，则有2种标法：一种与A 1数不同，符合要求，有a k ＋1种；一种与A 1数相同，不符合要求，但相当于k 个点的标法总数，有a k 种，则有3×2k＝a k ＋1＋a k ，所以a k ＋1＝－a k ＋3×2k＝－2k－2·(－1)k＋3×2k＝2k ＋1＋2·(－1)k ＋1，所以n ＝k ＋1时，(*)式也成立，由①②知(*)式成立， 即a n ＝2n ＋2·(－1)n (n ∈N *，n ≥2).能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.用数学归纳法证明2n>2n ＋1，n 的第一个取值应是________. 解析 ∵n ＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n>2n ＋1不成立；n ＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n >2n ＋1不成立； n ＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n >2n ＋1成立.∴n 的第一个取值应是3. 答案 312.(2015·北京东城区调研)设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明S n ＝n （2n ＋1）3时，第二步从“k ”到“k ＋1”应添加的项为________.解析 由S 1，S 2，…，S n 可以发现由n ＝k 到n ＝k ＋1时，中间增加了两项(k ＋1)2＋k 2(n ，k ∈N *).答案 (k ＋1)2＋k 213.设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用n 表示).解析 f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4，f (6)＝f (5)＋5＝2＋3＋4＋5，猜想f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝（n ＋1）（n －2）2(n >4).答案 5 12(n ＋1)(n －2)14.(2014·江苏卷)已知函数f 0(x )＝sin x x(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1)求2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22都成立. (1)解 由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝cos x x －sin x x 2，于是f 2(x )＝f ′1(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3， 所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16π3.故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1.(2)证明 由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf ′0(x )＝cosx ，即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)，3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2，4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin ()x ＋2π. 猜想nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2. 下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立. ①当n ＝1时，由上可知等式成立.②假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2. 因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf ′k －1(x )＋f k (x )＋xf ′k (x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′ ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（k ＋1）π2， 所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（k ＋1）π2. 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立. 综合①，②可知等式nf n －1(x )＋xf n (x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立.令x ＝π4，可得nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋n π2(n ∈N *).所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22(n ∈N *).。
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第十二章算法初步、推理与证明12.4
算法初步、推理与证明
§12.4 直接证明与间接证 明
第一页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
1．直接证明 (1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定 理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论_______， 这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或__________法． (2)分析法：一般地，从要证明的________出发，逐步寻求使它 成立的____________，直至最后，把要证明的__________归结为判 定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这 种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推证法或__________法． (3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也 是解决数学问题时常用的思维方式．
自查自纠
1．(1)推理论证 成立 由因导果 (2)结论 充分条件 结论 执果索因 2．不成立 不成立 正确的推理 矛盾 错误
第三页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
(2015·黄冈高二检测)设 a，b∈R，且 a≠b，a＋b
＝2，则必有( ) A．1≤ab≤a2＋2 b2 C．ab<a2＋2 b2<1
第十四页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
1．综合法又叫顺推证法或由因导果法，它是从“已 知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在寻 求它的必要条件．综合法的解题步骤用符号表示是：P(已 知)⇒Q1⇒Q2⇒Q3⇒ …⇒Qn⇒Q(结论)．
2．分析法又叫逆推证法或执果索因法，它是从“结 论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的实 质是寻求使结论成立的充分条件．分析法的解题步骤用符 号表示是：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)．
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第十二章算法初步、推理与证明12.2
阅读下列两个程序，回答问题：
x=3
x=3
① y=4
②
y=4
x=y
y=x
①中程序输出的 x 值为__________，②中程序输出
的 y 值为__________．
解：程序①中的 x＝y 是将 y 的值 4 赋给 x，赋值后 x 的值变为 4；②中 y＝x 是将 x 的值 3 赋给 y，赋值后 y 的值为 3.故填 4；3.
第十二页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
解：(1)语句“c＝(a＋b)/2”是将 a，b 之和的一半赋值给变量 c，语句“d＝c*c”是将 c 的平方赋值给 d，最后输出 d 的值．故 输出结果为 d＝16.
(2)语句“c＝a＋b”是将 a，b 之和赋值给 c，语句“b＝a＋c －b”是将 a＋c－b 的值赋值给了 b.故输出结果为 a＝1，b＝2，c ＝3.
第八页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
执行下列程序后，输出的 i 的值是( ) i＝1 WHILE i<＝10 i＝i＋5
WEND
PRINT i
A．5
END B．6
C．10
D．11
解：这是一个当型循环程序，当 i＝(1＋5)＋5＝ 11>10 时，退出循环，输出的 i＝11.故选 D.
第九页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
下面程序运行后输出结果是 3，则输入的 x 值一定是( ) INPUT x IF x>0 THEN y＝x ELSE y＝－x END IF PRINT y END
A．3 B．－3 C．3 或－3 D．0 解：该程序语句是求函数 y＝|x|的函数值，∵y＝3，∴x＝±3. 故选 C.