高等数学下册知识点总结

高等数学下册知识点二. 极限性质:1. 类型: *; *(含); *(含)2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型:4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:, , ,, , , , lim n n a →∞lim ()x f x →∞x →±∞0lim ()x x f x →0x x ±→000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞11n n →1(0)1n a a >→1()max(,,)nnn na b c a b c ++→()00!na a n >→1(0)x x→→∞0lim 1xx x +→=lim 0n x x x e →+∞=ln lim 0n x x x →+∞=, 四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当时,; ; ; ; ; ;;第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设，，则 , ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：；2） 两点间的距离公式：0lim ln 0nx x x +→=0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩()0u x →sin ()()u x u x :tan ()()u x u x :211cos ()()2u x u x -:()1()u x eu x -:ln(1())()u x u x +:(1())1()u x u x αα+-:arcsin ()()u x u x :arctan ()()u x u x :),,(z y x a a a a =ρ),,(z y x b b b b =ρ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρρ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ222z y x r ++=ρ212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4） 方向余弦：5） 投影：，其中为向量与的夹角。

（二） 数量积，向量积1、 数量积：1）2）2、 向量积：大小：，方向：符合右手规则1）2）γβα,,rzr y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβαϕcos Pr a a j uρρρ=ϕa ρuρ运算律：反交换律（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：2、 旋转曲面：面上曲线，绕轴旋转一周：绕轴旋转一周：3、 柱面：表示母线平行于轴，准线为的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：zyxz y xb b b a a a k j ib a ρρρρρ=⨯2）椭球面：旋转椭球面：3）单叶双曲面：4）双叶双曲面：5）椭圆抛物面：6）双曲抛物面（马鞍面）：7）椭圆柱面：8）双曲柱面：9）抛物柱面：（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：2、 参数方程：，如螺旋线：3、 空间曲线在坐标面上的投影，消去，得到曲线在面上的投影（五） 平面及其方程1、 点法式方程：法向量：，过点2、一般式方程：截距式方程：3、两平面的夹角：，，),,(C B A n =ρ),,(1111C B A n =ρ),,(2222C B A n =ρ222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏210212121=++C C B B A A4、点到平面的距离：（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：2、对称式（点向式）方程：方向向量：，过点3、 参数式方程：4、两直线的夹角：，，⇔∏∏21//212121C C B B A A ==222000C B A DCz By Ax d +++++=pz z n y y m x x 000-=-=-),,(p n m s =ρ),,(1111p n m s =ρ),,(2222p n m s =ρ222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、 多元函数：，图形：3、 极限：4、 连续：5、 偏导数：6、方向导数：222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am ⇔∏⊥L pCn B m A ==),(y x f z =A y x f y x y x =→),(lim),(),(00),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000其中为的方向角。

7、梯度：，则。

8、全微分：设，则（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义：2） 复合函数求导：链式法则若，则， βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂),(y x f z =j y x f i y x f y x gradf y x ρρ),(),(),(000000+=),(y x f z =d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂u x z(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===v y z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122343） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数的极值解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令 ，，，① 若，，函数有极小值，若，，函数有极大值； ② 若，函数没有极值； ③ 若，不定。

2）条件极值：求函数在条件下的极值令：——— Lagrange 函数解方程组 2、几何应用1） 曲线的切线与法平面),(y x f z =⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f ),(00y x ),(00y x f A xx =),(00y x f B xy =),(00y x f C yy =02>-B AC 0>A 02>-B AC 0<A 02<-B AC 02=-B AC ),(y x f z =0),(=y x ϕ),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2） 曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为：法线方程为：第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：2、 性质：（6条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。

4、 计算：1） 直角坐标Γ),,(000z y x M 0t )()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='-∑),,(000z y xM ),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-，，2）极坐标（二） 三重积分1、 定义：2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ21()()(,)d d d (,)d dy cy Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D 21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk kk k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ-------------“先一后二”-------------“先二后一”2）柱面坐标，3） 球面坐标（三） 应用曲面的面积：第十一章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,(⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bay x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,((,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r r r φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x yz x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+=1、 定义：2、 性质：1）2）3）在上，若，则4） ( l 为曲线弧 L 的长度)3、 计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，.1(,)d lim (,)ni i iLi f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰[(,)(,)]d (,)d (,)d .LLLf x y x y s f x y sg x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰12(,)d (,)d (,)d .LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰).(21L L L +=L ),(),(y x g y x f ≤(,)d (,)d .LLf x y sg x y s ≤⎰⎰),(y x f L L )(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x )(),(t t ψϕ],[βα0)()(22≠'+'t t ψϕ(,)d [(),( ,()Lf x y s f t t t βαφψαβ=<⎰⎰向量形式：2、 性质：用表示的反向弧 , 则3、计算：设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，则.（三） 格林公式⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d ρ-L L ⎰⎰⋅-=⋅-LL r y x F r y x F d ),(d ),(ρρL L ):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x )(),(t t ψϕ],[βα0)()(22≠'+'t t ψϕ(,)d (,)d {[(),()]()[(),()]()}dLP x y x Q x y y P t t t Q t t t t βαφψφφψψ''+=+⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：L ),(y x βα,)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则曲线积分 在内与路径无关 曲线积分在内为某一个函数的全微分（四） 对面积的曲面积分1、 定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义2、 计算：———“一单二投三代入”，，则（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d dG G y Px Q ∂∂=∂∂⇔d d LP x Q y +⎰G ⇔d d 0LP x Q y +=⎰Ñ⇔y y x Q x y x P d ),(d ),(+G ),(y x u2、 定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义同理，3、 性质：1），则2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则4、 计算：——“一投二代三定号”，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”.5、 两类曲面积分之间的关系：()S R Q P y x R x z Q z y P d cos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。