大一下高数下册知识点
大一下高数下册知识点
高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量线性运算定理1：设向量a ≠0,则向量b 平行于a 的充要条件是存在唯一的实数λ,使 b ＝λa1、 线性运算：加减法、数乘；2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；3、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b =；则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；4、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 5） 投影：ϕcos Pr a a j u=,其中ϕ为向量a 与u的夹角;（二） 数量积,向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅12a a a =⋅2⇔⊥b a 0=⋅b a2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ,方向：c b a,,符合右手规则 10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b a运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2） 椭球面：1222222=++cz b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x4） 双叶双曲面：1222222=--czb y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面马鞍面：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b ya x8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2 （四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H （五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n =,4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式点向式方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ,过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =,5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;2、 多元函数：1定义：设n 维空间内的点集D 是R 2的一个非空子集,称映射f ：D →R 为定义在D 上的n 元函数;当n ≥2时,称为多元函数;记为U=fx 1,x 2,…,x n ,x 1,x 2,…,x n ∈D;3、 二次函数的几何意义：由点集D 所形成的一张曲面;如z=ax+by+c 的图形为一张平面,而z=x 2+y 2的图形是旋转抛物线;4、 极限：1定义：设二元函数fp=fx,y 的定义域D,p0x0,y0是D 的聚点D,如果存在函数A 对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点px,y ∈D ∩∪p0,δ时,都有Ⅰfp-A Ⅰ=Ⅰfx,y-A Ⅰ﹤ε成立,那么就称常数A 为函数fx,y 当x,y →x 0,y 0时的极限,记作多元函数的连续性与不连续的定义5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质：1在有界闭区域D 上的多元连续函数,必定在D 上有界,且能取得它的最大值和最小值；2在有界区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值; 6、 偏导数：设有二元函数z=fx,y,点x 0,y 0是其定义域D 内一点;把y 固定在y0而让x 在x0有增量△x,相应地函数z=fx,y 有增量称为对x/y 的偏增量如果△z 与△x/△y 之比当△x →0/△y →0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=fx,y 在x0,y0处对x/y 的偏导数记作xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 7、 混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数f xy x,y 和f yx x,y 在D内连续,那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等;8、 方向导数： βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角;9、 全微分：如果函数z=fx, y 在x, y 处的全增量△z=fx △x,y △y-fx,y 可以表示为△z=A △x+B △y+o ρ,其中A 、B 不依赖于△x, △y,仅与x,y 有关, 当Ρ→0,此时称函数z=fx, y 在点x,y 处可微分,A △x+ B △y 称为函数z=fx, y 在点x, y 处的全微分,记为 （二） 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：微分法1） 定义： u x 2） 复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)zf u v u u x y v v x y ===,则 v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组 （三） 应用充分条件1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值； ② 若02<-B AC ,函数没有极值； ③ 若02=-B AC ,不定;2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=——— Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的 切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：6条3、 几何意义：曲顶柱体的体积;4、 计算： 1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,2） 极坐标 （二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bay x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一” 2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ,(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3） 球面坐标 （三） 应用 曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积：第十二章 无穷级数（一） 常数项级数 1、 定义：1无穷级数：+++++=∑∞=n n nu u u u u3211部分和：n n k kn u u u u uS ++++==∑= 3211,正项级数：∑∞=1n n u ,0≥n u交错级数：∑∞=-1)1(n n n u ,0≥n u 2级数收敛：若S S n n =∞→lim 存在,则称级数∑∞=1n n u 收敛,否则称级数∑∞=1n n u 发散 3绝对收敛：∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=1n n u 绝对收敛；条件收敛：∑∞=1n n u 收敛,而∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n u 条件收敛;定理：若级数∑∞=1n n u 绝对收敛,则∑∞=1n n u 必定收敛;2、 性质：1） 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,不影响级数的收敛性； 2） 级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 分别收敛于和s 与σ,,则∑∞=±1)(n n nb a收敛且,其和为s+σ3） 在级数中任意加上、去掉或改变有限项,级数仍然收敛；4） 级数收敛,任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变;5） 必要条件：级数∑∞=1n n u 收敛即0lim =∞→n n u . 3、 审敛法正项级数：∑∞=1n n u ,0≥n u1） 定义：S S n n =∞→lim 存在； 2）∑∞=1n nu收敛⇔{}nS 有界；3） 比较审敛法：∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,且),3,2,1( =≤n v u n n若∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；若∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n v 发散.4） 比较法的推论：∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,若存在正整数m ,当mn>时,n n kv u ≤,而∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；若存在正整数m,当mn >时,n n kv u ≥,而∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散.做题步骤：①找比较级数等比数列,调和数列,p 级数1/n p ；②比较大小；③是否收敛;5） 比较法的极限形式：设∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,1若)0( lim +∞<≤=∞→l l v u n nn ,而∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛； 2若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→nnn v u lim ,而∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散. 6） 比值法：∑∞=1n n u 为正项级数,设l u u nn n =+∞→1lim ,则当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时,级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.7） 根值法：∑∞=1n n u 为正项级数,设l u n nn =∞→lim ,则当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时,级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.8） 极限审敛法：∑∞=1n n u 为正项级数,若0lim >⋅∞→n n u n 或+∞=⋅∞→n n u n lim ,则级数∑∞=1n n u 发散；若存在1>p ,使得)0( lim +∞<≤=⋅∞→l l u n n pn ,则级数∑∞=1n n u 收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：∑∞=-1)1(n n nu ,0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ,且0lim =∞→n n u ,则级数∑∞=-1)1(n n n u 收敛;任意项级数：∑∞=1n nu绝对收敛,则∑∞=1n nu收敛;常见典型级数：几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<∑∞=1 1 0q q aq n n发散，收敛， p -级数：⎪⎩⎪⎨⎧≤>∑∞=1p 1 11发散，收敛，p n n p（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数∑∞=1)(n n x u ,收敛域,收敛半径,和函数；2、 幂级数：∑∞=0n nnx a收敛半径的求法：ρ=+∞→nn n a a 1lim ,则收敛半径 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∞++∞=+∞<<=0 , ,00 ,1ρρρρR。
大一下高数下册知识点笔记
大一下高数下册知识点笔记一、向量代数1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
向量的加法和减法遵循平行四边形法则。
2. 向量的数量积向量的数量积又称为点积或内积，表示为两个向量的乘积再乘以夹角的余弦值。
计算公式为：A·B = |A||B|cosθ。
3. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积或外积，表示为两个向量的乘积再乘以夹角的正弦值，并且结果垂直于原两个向量的平面。
计算公式为：A×B = |A||B|sinθn。
4. 向量的模长向量的模长表示向量的大小，用两个竖线表示。
计算公式为：|A| = √(A1² + A2² + A3²)。
二、空间解析几何1. 点、直线、平面的位置关系通过一点和其余两点的直线相交可得到该点在直线上，通过一点和其余三点的平面相交可得到该点在平面上。
2. 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有三种情况：相交、平行、重合。
根据直线在空间中的表示方程与平面的方程进行判断。
3. 空间曲线与曲面的位置关系曲线与曲面的位置关系有四种情况：相交、包含、相切、平行。
根据曲线的参数方程与曲面的方程进行判断。
三、空间向量与直线平面的距离1. 点到平面的距离点P到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离公式为：d = |Ax₀ +By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)。
2. 点到直线的距离点P到直线的距离公式为：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)。
3. 点到点的距离点A(x₁, y₁, z₁)到点B(x₂, y₂, z₂)的距离公式为：d = √((x₂- x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)。
四、空间曲线的方程1. 直线的参数方程直线的参数方程表示为：x = x₀ + aty = y₀ + btz = z₀ + ct其中(x₀, y₀, z₀)为直线上一点，a、b、c为方向比例系数，t为参数。
高等数学大一下知识点梳理
高等数学大一下知识点梳理高等数学是大学数学的一门核心课程，通过学习高等数学，可以帮助我们建立起数学思维和分析问题的能力。
在大一下学期，我们将继续学习高等数学的一些重要知识点，包括微积分、线性代数等方面的内容。
本文将对高等数学大一下的知识点进行梳理和总结。
一、微积分1. 不定积分- 定义和基本性质- 基本积分公式- 分部积分法- 代换积分法2. 定积分- 定义和基本性质- 牛顿-莱布尼茨公式- 变上限积分和变下限积分- 平均值定理3. 微分方程- 常微分方程和偏微分方程的区别- 一阶常微分方程的基本解法- 高阶常微分方程的解法- 特解和通解4. 无穷级数- 无穷级数的定义和收敛性- 级数收敛的判别法- 幂级数和它的收敛半径- 泰勒级数和麦克劳林级数二、线性代数1. 行列式- 行列式的性质：交换性、对换性、奇偶性- 数量阵、对角阵和三角阵的行列式计算2. 矩阵- 矩阵的定义和基本运算- 矩阵的转置、对角化和相似- 逆矩阵和伴随矩阵- 矩阵的秩和方程组的解3. 矩阵的特征值和特征向量- 特征值和特征向量的定义- 相似矩阵的特征值和特征向量的关系- 对称矩阵的对角化和主轴定理- 正交矩阵和正交对角化4. 线性空间与线性变换- 线性变换的定义和基本性质- 基变换和过渡矩阵- 相似变换和相似矩阵总结：通过对高等数学大一下的知识点进行梳理，我们可以看到微积分和线性代数是其中的重要内容。
微积分部分主要包括不定积分、定积分、微分方程和无穷级数等方面的知识；线性代数部分主要包括行列式、矩阵、特征值和特征向量以及线性空间与线性变换等内容。
通过系统地学习和掌握这些知识点，可以为我们进一步学习高等数学的相关课程打下坚实的基础，也为将来的专业课程奠定了重要的数学基础。
大一高数下册知识点汇总
大一高数下册知识点汇总在大一高等数学下学期的学习中，我们将继续学习和探索更深入的数学知识。
下面是对本学期知识点的汇总和总结。
一、向量代数1. 向量的基本概念和表示法：向量的定义，零向量，单位向量，向量的数量表示法。
2. 向量的加法和减法：向量之间的加法和减法运算，平行四边形法则，共线向量和共面向量。
3. 数乘和数量积：向量与实数的数乘运算，向量的数量积的定义和性质，向量的模长和方向余弦。
4. 向量的叉乘和向量积：向量的叉乘定义和性质，向量积的模长和方向。
二、空间解析几何1. 空间直线及其方程：空间直线的定义，向量方程和参数方程的转换，直线的方向向量和点向式方程。
2. 平面及其方程：平面的定义，平面的一般方程，点法式方程和一般法式方程。
3. 空间曲线及其方程：空间曲线的定义，参数方程，齐次方程和标准方程。
4. 空间曲面及其方程：二次曲面的方程和图像，球面和圆锥曲线的方程。
三、多元函数及其极限1. 多元函数的概念与性质：多元函数的定义，自变量和因变量的关系，函数的定义域和值域。
2. 多元函数的极限：二重极限和多重极限的概念，函数极限的性质与判定方法。
3. 偏导数：多元函数的偏导数定义，偏导数的计算方法，高阶偏导数，混合偏导数。
4. 微分：多元函数的微分及其几何意义，微分的计算方法。
四、多元函数的微分学1. 隐函数及其求导：隐函数的概念和性质，隐函数求导的方法。
2. 方向导数与梯度：方向导数的定义和计算，梯度的概念和性质。
3. 多元函数极值与条件极值：多元函数的极值判定，约束条件下的极值求解。
五、多元函数的积分学1. 重积分：二重积分的概念和性质，二重积分的计算，极坐标下的二重积分。
2. 三重积分：三重积分的概念和性质，三重积分的计算，柱面坐标和球面坐标下的三重积分。
3. 曲线与曲面积分：曲线积分的概念和计算，曲面积分的概念和计算。
六、无穷级数1. 数列极限与无穷级数：数列的极限概念和性质，常见数列的收敛与发散，无穷级数的概念和性质。
大一下册高数复习知识点
大一下册高数复习知识点大一下册高等数学是大一学生在学习数学方面的重要课程之一。
本文将为大家总结大一下册高数的复习知识点，供大家参考和学习。
一、极限与连续1. 函数的极限函数的极限是指当自变量无限接近某一特定值时，函数的取值接近于一个常数的性质。
其中包括左极限、右极限和无穷极限。
2. 连续与间断函数在某一点上连续是指函数在该点的极限与函数在该点的值相等，否则函数在该点上间断。
根据间断的性质，可以将间断分为可去间断、跳跃间断和无穷间断。
3. 介值定理与零点存在定理介值定理表明，若函数在区间[a, b]上连续，则函数在该区间上可以取到任意两个介于f(a)和f(b)之间的值。
零点存在定理指出，若函数在区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，则在该区间上至少存在一个零点。
二、导数与微分1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率，可以用极限的概念进行定义。
对于函数f(x)，在点x处的导数定义为f'(x) = lim（△x→0）[f(x+△x) - f(x)]/△x。
2. 基本导数公式常见的基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等，应熟练掌握它们的导数表达式和求导法则。
3. 导数的几何意义导数可以表示函数在某一点处的切线斜率，通过导数可以分析函数的单调性、极值和拐点等性质。
三、积分与不定积分1. 定积分的概念定积分表示函数在一个闭区间上的面积值，可以看作是函数在该区间上的累积效应。
2. 不定积分的概念不定积分表示函数在某一点的原函数，也可称为反导函数。
3. 基本积分公式常见的基本积分公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等的积分表达式和求积法则。
四、微分方程1. 微分方程的定义微分方程是含有未知函数及其导数的方程，描述了函数与其导数之间的关系。
2. 常微分方程的解法常微分方程包括一阶和二阶微分方程，可以使用分离变量法、齐次方程法、二阶线性常系数齐次方程法等方法求解。
大一下高数下册知识点总结
大一下高数下册知识点总结第一章：数列与极限1.1 数列的概念数列是按照一定规律排列的数字序列，常用递推公式或通项公式表示。
1.2 数列的极限数列的极限表示数列在n趋于无穷大时的稳定值，可以用极限符号进行表示。
1.3 极限的性质极限具有唯一性、有界性、保号性和四则运算性质。
1.4 常见数列的极限常见数列的极限有等差数列、等比数列和阶乘等。
第二章：函数与连续2.1 函数的概念函数是一种特殊的关系，每个自变量只对应一个因变量。
2.2 函数的性质函数具有定义域、值域和奇偶性等性质。
2.3 基本初等函数基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
2.4 连续的概念函数在某一点连续表示函数在该点存在极限且与函数值相等。
第三章：导数与微分3.1 导数的概念导数表示函数在某一点的变化率，可以用极限形式进行定义。
3.2 导数的计算法则导数的计算法则包括常数法则、幂函数法则、和差法则和乘积法则等。
3.3 高阶导数高阶导数表示对函数进行多次求导得到的导数。
3.4 微分的概念微分表示函数在某一点的局部线性逼近，可以用导数表示。
第四章：微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
4.2 函数的单调性与极值函数的单调性用导数的正负表示，函数的极值出现在导数为零的点上。
4.3 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性用导数的增减性表示，函数的拐点出现在导数的变号点上。
4.4 特殊函数的导数与应用特殊函数包括反函数、参数方程函数和隐函数等，它们的导数计算与应用有特殊方法。
第五章：定积分5.1 定积分的概念定积分表示函数在一定区间上的面积或曲线长度，可以用极限的方法进行定义。
5.2 定积分的性质定积分具有线性性、可加性和区间可加性等性质。
5.3 定积分的计算方法定积分的计算方法包括换元法、分部积分法和变限积分法等。
5.4 应用问题定积分有许多应用，如求曲线长度、曲线面积、物体质量和统计学中的概率等。
最新大一下高数下册知识点
最新大一下高数下册知识点大一下学期高等数学下册内容相较于上学期的高数上册来说，更加深入和复杂。
下面将介绍一些最新的高数下册的知识点。
1. 二重积分二重积分是高数下册的重要内容之一。
在上学期的高数上册中，我们已经接触了一元函数的定积分，而二重积分则是针对二元函数的积分。
通过二重积分，我们可以计算某个区域上的二元函数的面积、质量等相关问题。
2. 曲线与曲面积分曲线积分和曲面积分是高数下册的另一个重点。
曲线积分是对曲线上的向量场进行积分，而曲面积分则是对曲面上的向量场进行积分。
通过曲线积分，我们可以计算曲线上的质量、动力学等问题；而曲面积分则可以用于计算曲面上的电场、磁场以及流量等问题。
3. 幂级数幂级数也是高数下册的一项重要内容。
幂级数是无限项多项式的和，它在数学、物理等领域中具有重要的应用。
通过幂级数，我们可以近似计算函数、解微分方程、估计数值等。
4. 偏导数与全微分偏导数和全微分是高数下册的基础知识之一。
在多元函数中，偏导数是指在某一点上，函数对各个自变量的偏导数。
全微分则是将多元函数的偏导数与自变量的变化联系起来，用于近似计算函数在某一点附近的变化量。
5. 多元函数的极值与条件极值多元函数的极值和条件极值也是高数下册的重要概念。
通过求解多元函数的偏导数，我们可以确定函数的极值点；而在一些约束条件下，通过求解拉格朗日乘数法，我们可以求得函数的条件极值。
6. 二阶偏导数与泰勒展开二阶偏导数和泰勒展开是高数下册的进阶内容。
通过计算二阶偏导数，我们可以判断二元函数的拐点、凹凸性等性质；而通过泰勒展开，我们可以将函数在某一点附近用多项式逼近，进而在计算中起到近似计算的作用。
以上就是大一下高数下册的一些最新知识点的简单介绍。
这些知识点是我们在学习高数下册时需要掌握的重要内容，通过深入学习和练习，我们能够更好地理解和应用这些数学知识，为未来的学习和研究打下坚实基础。
高等数学大一下知识点
高等数学大一下知识点
高等数学是大一下学期的一门重要课程，主要涵盖了以下几个知识点：
1. 一元函数微积分
1.1 函数的极限与连续性
1.2 导数与微分
1.3 函数的应用
2. 一元函数积分学
2.1 不定积分
2.2 定积分
2.3 微积分基本定理
3. 多元函数微积分
3.1 多元函数的极限与连续性
3.2 偏导数与全微分
3.3 隐函数与参数方程 3.4 多元复合函数求导
4. 多元函数积分学
4.1 二重积分
4.2 三重积分
4.3 曲线与曲面积分
5. 常微分方程
5.1 一阶常微分方程 5.2 高阶常微分方程 5.3 线性常微分方程
6. 线性代数
6.1 线性方程组与矩阵 6.2 矩阵的运算与性质 6.3 行列式与矩阵的逆
6.4 特征值与特征向量
7. 概率与统计
7.1 随机事件与概率
7.2 随机变量与概率分布
7.3 大数定律与中心极限定理
以上是高等数学大一下学期的主要知识点概述。
学习这些知识将为大家打下扎实的数学基础，为以后的学习和应用提供坚实的支持。
希望大家在学习过程中能够切实掌握这些知识，灵活运用于实际问题中，提高数学思维和解决问题的能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等数学（下）知识点高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；),,(z y x b b b b =r3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设，，),,(z y x a a a a =r 则 , ；),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±rr ),,(z y x a a a a λλλλ=r 5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：；222z y x r ++=r 2）两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4）方向余弦：rz r y r x r r r ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5）投影：，其中为向量与的夹角。
ϕcos Pr a a j u r r r =ϕa r u r （二）数量积，向量积1、数量积：θcos b a b a r r r r =⋅1）2aa a r r r =⋅2）⇔⊥b a r r 0=⋅b a rr高等数学（下）知识点zz y y x x b a b a b a b a ++=⋅r r 2、向量积：ba c rr r ⨯=大小：，方向：符合右手规则θsin b a r r c b a r r r ,,1）0rr r =⨯a a 2）b a rr //⇔0r r r =⨯b a zy x zy x b b b a a a k j i b a r r r r r =⨯运算律：反交换律 ba ab rr r r ⨯-=⨯（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、旋转曲面：面上曲线，yoz 0),(:=z y f C 绕轴旋转一周：y 0),(22=+±z x y f 绕轴旋转一周：z 0),(22=+±z y x f 3、柱面：表示母线平行于轴，准线为的柱面0),(=y x F z ⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 4、二次曲面1）椭圆锥面：22222z b y a x =+2）椭球面：1222222=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++cz a y a x 3）单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x 4）双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 5）椭圆抛物面：z b y a x =+22226）双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-22227）椭圆柱面：12222=+by a x 8）双曲柱面：12222=-by a x 9）抛物柱面：ay x =2（四）空间曲线及其方程1、一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、参数方程：，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz ta y t a x sin cos 3、空间曲线在坐标面上的投影，消去，得到曲线在面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F z xoy ⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H （五）平面及其方程1、点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：，过点),,(C B A n =r ),,(000z y x 2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、两平面的夹角：，，),,(1111C B A n =r ),,(2222C B A n =r 222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ ⇔∏⊥∏210212121=++C C B B A A ⇔∏∏21//212121C C B B A A ==4、点到平面的距离：),,(0000z y x P 0=+++D Cz By Ax 222000C B A DCz By Ax d +++++=（六）空间直线及其方程1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=- 方向向量：，过点),,(p n m s =r ),,(000z y x 3、参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 0004、两直线的夹角：，，),,(1111p n m s =r ),,(2222p n m s =r 222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am ⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
2、多元函数：，图形：),(y x f z =3、极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(004、连续：),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→5、偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(00000006、方向导数：其中为的方向角。
βαcos cos y f x f l f ∂∂+∂∂=∂∂βα,l 7、梯度：，则。
),(y x f z =j y x f i y x f y x gradf y x r r ),(),(),(000000+=8、全微分：设，则),(y x f z =d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：充分条件2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定义：u x 2）复合函数求导：链式法则z 若，则 (,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===v y，z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数的极值),(y x f z =解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f ),(00y x ，，，),(00y x f A xx =),(00y x f B xy =),(00y x f C yy =①若，，函数有极小值，02>-B AC 0>A 若，，函数有极大值；02>-B AC 0<A ②若，函数没有极值；02<-B AC ③若，不定。
02=-B AC 2）条件极值：求函数在条件下的极值),(y x f z =0),(=y x ϕ令： ——— Lagrange 函数),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x Γ),,(000z y x M 0t 切线方程为：)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='-法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x 2）曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为：0),,(:=∑z y x F ∑),,(000z y x M 0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分（一）二重积分1、定义：∑⎰⎰=→∆=n k kk k D f y x f 10),(lim d ),(σηξσλ2、性质：（6条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。
4、计算：1）直角坐标，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ21()()(,)d d d (,)d b x a x D f x y x y x f x y yφφ=⎰⎰⎰⎰，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ21()()(,)d d d (,)d d y c y D f x y x y y f x y xϕϕ=⎰⎰⎰⎰2）极坐标 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D 21()()(,)d d (cos ,sin )d D f x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二）三重积分1、定义：∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k k v f v z y x f 10),,(lim d ),,(ζηξλ2、性质：3、计算：1）直角坐标 -------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩD y x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先二后一”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZ D b a y x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,(2）柱面坐标，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos (,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3）球面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r r r φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（三）应用曲面的面积：D y x y x f z S ∈=),(,),(:y x y z x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+=第十一章 曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：01(,)d lim (,)n i i i L i f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰2、性质：1）[(,)(,)]d (,)d (,)d .L L L f x y x y s f x y s g x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰2） 12(,)d (,)d (,)d .L L L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰).(21L L L +=3）在上，若，则L ),(),(y x g y x f ≤(,)d (,)d .L L f x y s g x y s ≤⎰⎰4）( l 为曲线弧 L 的长度)l s L=⎰d 3、计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，),(y x f L L )(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x 其中在上具有一阶连续导数，且，则)(),(t t ψϕ],[βα0)()(22≠'+'t t ψϕ(,)d [(),( ,()Lf x y s f t t t βαφψαβ=<⎰⎰（二）对坐标的曲线积分1、定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，xoy ),(y x P 在 L 上有界，定义，),(y x Q ∑⎰=→∆=nk k k k L x P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ.∑⎰=→∆=nk k k kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ向量形式：⎰⎰+=⋅LLyy x Q x y x P F d ),(d ),(d r2、性质：用表示的反向弧 , 则-L L ⎰⎰⋅-=⋅-LLry x F r y x F d ),(d ),(rr 3、计算：设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为),(,),(y x Q y x P L L ，其中在上具有一阶连续导数，且):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x )(),(t t ψϕ],[βα，则0)()(22≠'+'t t ψϕ(,)d (,)d {[(),()]()[(),()]()}dLP x y x Q x y y P t t t Q t t t t βαφψφφψψ''+=+⎰⎰4、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ为L ),(y x ，，，βα,)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=则.d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰（三）格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在),(,),(y x Q y x P D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂LD yQ x P y x y P x Q d d d d 2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则G ),(,),(y x Q y x P G 曲线积分 在内与路径无关y Px Q ∂∂=∂∂⇔d d LP x Q y +⎰G 曲线积分⇔d d 0LP x Q y +=⎰Ñ 在内为某一个函数的全微分⇔y y x Q x y x P d ),(d ),(+G ),(y x u （四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，∑),,(z y x f ∑定义 ii i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(10ζηξλ2、计算：———“一单二投三代入”，，则),(:y x z z =∑xy D y x ∈),(yx y x z y x z y x z y x f S z y x f y x D yx d d ),(),(1)],(,,[d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑（五）对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，∑),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P ∑定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xyi R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理，1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yzi P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰1(,,)d d lim (,,)()ni i i i zxi Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰3、性质：1），则21∑+∑=∑12d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x yP y z Q z x R x y P y z Q z x R x y∑∑∑++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则-∑∑d d d d R x y R x y-∑∑=-⎰⎰⎰⎰4、计算：——“一投二代三定号”，，在上具有一阶连续偏导数，在),(:y x z z =∑xy D y x ∈),(),(y x z z =xy D ),,(z y x R 上连续，则,为上侧取“ + ”，∑(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰∑为下侧取“ - ”.∑5、两类曲面积分之间的关系：()SR Q P y x R x z Q z y P d cos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。