高等数学(下)知识点总结

主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面1）椭圆锥面：22222z by a x =+ 2）椭球面：1222222=++cz b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 5）椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x6） 抛物柱面：ay x =2（二） 平面及其方程 1、点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21//212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000CB A DCz By Ax d +++++=（三） 空间直线及其方程1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x 3、两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔21//L L 212121p p n n m m ==4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin pn m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am ；⇔∏⊥L pC nB mA ==第九章多元函数微分法及其应用 1、 连续：),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→2、偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 ；y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(00000003、方向导数：βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。

4、梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ρρ),(),(),(000000+=。

5、全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂ （一） 性质 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 微分法1） 复合函数求导：链式法则若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ （二） 应用1）求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==0y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，① 若02>-B AC ，0>A ，函数有极小值，若02>-B AC ，0<A ，函数有极大值；② 若02<-B AC ，函数没有极值； ③ 若02=-B AC ，不定。

2、 几何应用1）曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的切线方程为：)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='-法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2）曲面的切平面与法线充分条件曲面0),,(:=∑z y x F ，则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章重积分（一） 二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 计算： 1）直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ，21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ，21()()(,)d d d (,)d d y c y Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2）极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D ，21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分1、 定义：∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk kk k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 计算： 1）直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bay x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一”2）柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ，(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3）球面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r r r φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（三） 应用 曲面D y x y x f z S ∈=),(,),(:的面积：y x yz x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+=第十一章曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分1、 定义：01(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰2、计算：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则(,)d [(),( ,()Lf x y s f t t t βαφψαβ=<⎰⎰（二） 对坐标的曲线积分 1、定义：设 L 为xoy 面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧，函数),(y x P ，),(y x Q 在 L 上有界，定义∑⎰=→∆=nk kk k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ，∑⎰=→∆=nk kk kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d ρ2、计算：设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则 (,)d (,)d {[(),()]()[(),()]()}d LP x y x Q x y y P t t t Q t t t t βαφψφφψψ''+=+⎰⎰3、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：，L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,，)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=，)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=，则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三） 格林公式 1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数,则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d2、G 为一个单连通区域，函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数，则yPx Q ∂∂=∂∂⇔曲线积分d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关（四） 对面积的曲面积分 1、 定义：设∑为光滑曲面，函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数，定义 i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(1ζηξλ2、计算：———“一单二投三代入”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，则y x y x z y x z y x z y x f S z y x f y x D yx d d ),(),(1)],(,,[d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑（五） 对坐标的曲面积分 1、 定义：设∑为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数，定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理，1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰；01(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰2、 性质：1）21∑+∑=∑，则12d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x yP y z Q z x R x y P y z Q z x R x y∑∑∑++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑，xyD y x ∈),(，),(y x z z =在xyD 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在∑上连续，则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“+”， ∑为下侧取“-”. 3、 两类曲面积分之间的关系：()S R Q P y x R x z Q z y P d cos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角。