高等数学下册知识点

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第七章 空间解析几何与向量代数

一、填空与选择

1、已知点A (,,)321-和点B (,,)723-，取点M 使MB AM 2=，则向量OM =。

2 已知点A (,,)012和点B =-(,,)110，则AB =

。

3、设向量与三个坐标面的夹角分别为ξηζ,,，则cos cos cos 2

2

2

ξηζ++= 。 4、设向量a 的方向角απ

β=

3

,为锐角，γπβ=-4=，则a = 。

5、向量)5,2,7(-=a 在向量)1,2,2(=b 上的投影等于。

6、过点()121

-，，P 且与直线1432-=-=+-=t z t y t x ，，， 垂直的平面方程为_____________________________． 7、已知两直线方程是13021

1:

1--=-=-z y x L ，11122:2

z

y x L =-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程为____________________ 8、设直线182511:1+=--=-z y x L ,⎩⎨⎧=-+=--0320

6:2z y y x L ，则1L 与2L 的夹角为（ ） （A ）． 6π （B ）．4π （C ）．3π （D ）2

π

．

9、平面Ax By Cz D +++=0过x 轴，则（ ）

（A ）A D ==0 （B ）B C =≠00, （C ）B C ≠=00, （D ）B C ==0 10、平面3510x z -+=（ ）

（A ）平行于zox 平面 （B ）平行于y 轴（C ）垂直于y 轴 （D ）垂直于x 轴 11、点M (,,)121到平面x y z ++-=22100的距离为（ ）

（A ）1 （B ）±1 （C ）－1 （D ）1

3

12、与xoy 坐标平面垂直的平面的一般方程为 。

13、过点(,,)121与向量k j S k j i S

--=--=21,32平行的平面方程为 。 14、平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 之间的距离等于⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。 15、过点(,,)024且与平面x z +=21及y z -=32都平行的直线方程为。

16、过点(,,)203-并与x y z x y z -+-=+-+=⎧⎨⎩

2470

35210垂直的平面的方程为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。

二、完成下列各题

1、设)(,82,13-=-=-=λ与

b 是不平行的非零向量，求λ的值，使C B A 、、三点在

同一直线上。

2、已知不平行的两向量a 和b ，求它们的夹角平分线上的单位向量。

3、设点)1,0,1(-A 为矢量,10=与x 轴、y 轴的夹角分别为

45,60==βα，试求： （1）AB 与z 轴的夹角v ；（2）点B 的坐标。

4、求与向量k j i a 22+-=共线且满足18-=⋅x a 的向量x 。

5、若平面过x 轴，且与xoy 平面成

30的角，求它的方程。

第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算

1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；

2、 线性运算：加减法、数乘；

3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =

，),,(z y x b b b b = ，

则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±

, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；

5、 向量的模、方向角、投影：

1） 向量的模：

2

22z y x r ++=

；

2） 两点间的距离公式：2

12212212)

()()(z z y y x x B A -+-+-=

3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γ

βα,,

4） 方向余弦：

r

z

r y r x ===γβαcos ,cos ,cos

1cos cos cos 222=++γβα

5） 投影：ϕcos Pr a a j u

=，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二） 数量积，向量积

1、

数量积：

θcos b a b a

=⋅

1）2

a a a =⋅

2）⇔⊥b a 0=⋅b a

z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅

2、 向量积：b a c

⨯=

大小：

θsin b a ，方向：c b a

,,符合右手规则

1）0 =⨯a a

2）b a //⇔0 =⨯b a

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z

y

x

z y x

b b b a a a k j i

b a

=⨯

运算律：反交换律 b a a b

⨯-=⨯

（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S

2、

旋转曲面：

yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，

绕y 轴旋转一周：

0),(2

2=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：

0),(2

2=+±z y x f 3、

柱面：

0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0

),(z y x F 的柱面

4、

二次曲面

1）

椭圆锥面：2

2

2

22z b y a x =+

2）

椭球面：122

2222=++c

z b y a x 旋转椭球面：122

2222=++c

z a y a x 3）

单叶双曲面：122

2222=-+c

z b y a x