《特殊平行四边形》知识讲解
1.3 特殊的平行四边形 第1课时
3．（2010·聊城中考）如图，在等边△ABC中，点D是BC边 ．（2010·聊城中考）如图，在等边△ABC中 2010·聊城中考 BC边 的中点， AD为边作等边△ADE． CAE的度数 的度数； 的中点，以AD为边作等边△ADE． （1）求∠CAE的度数； 为边作等边 （2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是 AB边的中点F 连结CF、CE，试证明四边形AFCE是 边的中点 CF AFCE 矩形． 矩形．
2、练一练：如图在矩形ABCD中①AB∥_____， 练一练：如图在矩形ABCD中 AB∥_____， ABCD CD AB=_____；AD∥____， AB=_____；AD∥____，AD=_____. BC BC CD ②∠BAD=∠______=∠_____=∠______=90° ∠BAD=∠______=∠_____=∠______=90° ABC ADC BCD ③AC=_____= 2AO =2______=2_____=2______. OB OC OD BD 问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是_____，它与斜边的 Rt△ABC中 斜边AC上的中线是_____， AC上的中线是_____ OB
例
题
A
D
已知:如图,四边形ABCD是矩形. 已知:如图,四边形ABCD是矩形. ABCD是矩形 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90° 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°. :∠A=∠B=∠C=∠D=90 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形, 四边形ABCD是矩形, ABCD是矩形 证明: ∴∠A=90° 四边形ABCD是平行四边形. ∴∠A=90°,四边形ABCD是平行四边形. ABCD是平行四边形 ∴∠C=∠A=90° ∠B=180° ∠A=90° ∴∠C=∠A=90°, ∠B=180°-∠A=90°, ∠D=180° ∠A=90° ∠D=180°-∠A=90°. ∴四边形ABCD是矩形. 四边形ABCD是矩形. ABCD是矩形 【定理】矩形的四个角都是直角. 定理】矩形的四个角都是直角. B C 分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证. 分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第1节 菱形的性质与判定(第2课时)教案 (新版)北师大版
第一章《特殊平行四边形》《菱形的性质与判定》(第2课时)【教学目标】1.知识与技能（1）.经历菱形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.（2）.能够用综合法证明菱形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.2.过程与方法在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。
3.情感态度和价值观体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.【教学重点】菱形判定定理的发现与证明.【教学难点】菱形判定定理的应用.【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、复习引入（1）菱形的定义；（2）菱形的特征；（3）菱形的性质；提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是菱形？二、探究新知1.菱形的判定1：定义法（有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD∴四边形ABCD是菱形2.菱形的判定2的探究：对角线互相垂直的平行四边形是菱形活动内容1：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形，先想一想，再与同伴交流.处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.活动内容2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，你能证明这个命题吗？处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明.证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范.此处可安排学生板演证明过程.但是要帮助引导学生写出已知、求证，并以本题为例，规范证明命题的一般步骤，即：先将命题改写为“如果···，那么···.”的形式，分析命题的条件和结论，再根据条件和结论画出图形，写出已知、求证，最后再规范证明.同时，本题可能会有学生用证明△AOB ≌△COB 的方法证明BA=BC ，对此，教师可引导学生思考，AC 和BD 的关系，即互相垂直平分,因而可以利用线段垂直平分线定理来证明BA=BC.并对两种方法进行比较.已知: ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,AC ⊥BD. 求证: ABCD 是菱形证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO =CO 又∵AC ⊥BD∴BD 是线段AC 的垂直平分线.∴BA =BC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等） ∴四边形ABCD 是菱形（菱形的定义）.设计意图：由于要判定的是一个平行四边形，因此，若要考虑边，则容易想到定义，若要考虑对角线，则可能受到性质的启发，想到对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进而对这一命题进行严格证明，得到结论.3.菱形的判定3的探究：四边相等的四边形是菱形活动内容1：已知线段AC ，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD ，使AC 为菱形的一条对角线吗？你是怎么做的？思考并独立完成后，与同伴交流.处理方式：学生独立完成作图后可与课本作法进行对比，通过思考作法的正确性，探索得到菱形的另一种判定方法：四条边都相等的四边形是菱形.并对这一判定方法加以证明. 这里可能会有一个问题：对于作图要求，学生可能会不太明确，教师要及时点拨，作图要求是要使已知线段为对角线，因而可以借助菱形的对角线互相垂直且平分这一性质，通过作线段AC 的垂直平分线来完成作图.如还是无法完成，可借鉴课本作法.活动内容2：你所做的四边形是菱形吗？你能得到怎样的结论？你能证明这个结论吗？ 处理方式：根据作图过程，学生能猜想出所在在四边形为菱形，进而猜想出菱形的另一种判定方法：四条边都相等的四边形是菱形.对于学生作法的正确性的证明，可以先证明所做四边形为平行四边形，再利用定义，证明是菱形.由此得出结论：四条边都相等的四边形是菱形.AB DC O已知: 在四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=AD 求证: 四边形 ABCD 是菱形 证明：∵AB=CD ，BC=AD∴四边形ABCD 是平行四边形 又∵AB=BC∴四边形 ABCD 是菱形归纳：菱形的三个判定：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.有四条边相等的四边形是菱形. 三、例题讲解例1.下列条件中,不能判定四边形ABCD 为菱形的是（ C ）Ａ. AC ⊥BD ，AC 与BD 互相平分 Ｂ. AB=BC=CD=DAＣ. AB=BC ，AD=CD ，且AC ⊥BD Ｄ. AB=CD ，AD=BC ，AC ⊥BD解析：根据菱形的三个判定可得C 是错误的.例2、如图， ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=5，AC=8，DB=6， 求证:四边形ABCD 是菱形.证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴OA=OC=4 OB=OD=3 又∵AB=5∴222BO AO AB += ∴∠AOB=90° ∴AC ⊥BD又∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴四边形ABCD 是菱形. 四、巩固练习：1.判断下列说法是否正确？为什么？(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ×）BCAD(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√）(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形；（×）(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（×）2.对角线互相垂直且平分的四边形是（ C ）A.矩形B.一般的平行四边形C.菱形D.以上都不对3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，边BC，CA，AB的中点分别是点D，E，F，则四边形AFDE是( A )A．菱形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( A )A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°五．拓展提高1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形，求证：四边形ABCD是菱形。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形
为什么？
A
D
证明:矩形ABCD中
∵AB∥CD
O
∴∠OAB=∠OCD,
B
C
∠OBA=∠ODC △ABO与△DCO中
∵ ∠OAB=∠OCD,AB=CD,∠OBA=∠ODC
∴ △ABO ≌△DCO, ∴AO=OD,BO=CO
∴AO+OC=BO+OD,即:AC=BD
如图：矩形的对角线 A
D
相交于点E，你可以找
3、进一步体会证明的必要性以及计算与证明在 解决问题中的作用。
4、体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转 化等数学思想方法。
5、培养学生实事求是的辩证唯物主义思想及积 极探究的思想意识。
三、教学指导：
本节课共分为三课时内容，教 学过程中可分为三大步完成，即： 理论、方法积累、思路梳理——合 作交流，互助探索学习——自主探 索，拓展延伸，归纳新知。这充分 体现了螺旋上升的原则。
首先，我们应培养学生很好地掌握已熟悉 的逻辑方法，包括证明的思路和证明过程的 准确表达。
其次，对不同证明方法的探索可以提高学 生的逻辑思维水平。因此，在证明了一个命 题以后，同学们还应该思考是否还有其他的 证明方法，如辅助线的添加方法唯一吗？还 可以从什么角度解决问题……。
五、评价建议：
1、关注学生探索结论、分析思路和方法的 过程。
形
角形斜边上的 中线等于斜边 的一半。
B
D
具有平行四边形 所有边的性质
矩形 四个角都是直角 性质：
对角线相等且 互相平分
证明：过程
解答过程 ：
特殊平行四边形（二）
在认真学习第一课时的基础上，本节课的教学 可按以下环节逐步展开：
1.知识回顾——回想知识，加强记忆、理解。 2.新课引入——动手实践，发现新知。 3.新课讲解——互助合作，探索性质，判别。 4.训练应用——强化训练，加深应用。 5.拓展延伸——类比菱形，探索正方形。 6.小 结——综合思想，归纳思路。 7.作 业——综合知识，强化训练。 下面就每个环节，逐层分析。
鲁教八年级下册第六章特殊平行四边形单元备课
特殊平行四边形单元备课西张庄镇初级中学课时备课课题 6.1 菱形的性质与判定 课型新授课时 1 时间教学目标1.理解菱形概念，了解它与平行四边形之间的关系。
2.经历菱形性质定理和判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。
3.能够用综合法证明菱形性质定理和判定定理的探索过程，进一步发展演绎推理能力。
4.体会探索与证明过程过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。
教学重、难点利用菱形的性质进行计算和证明。
教学过程二次备课一、自主预习：学习过程（一）课前准备： 1、平行四边形的性质： 。
2、如图 ，在ABCD 中, AB=5，AD=7， BC 边上的高AE=2,则CD 边上的高AF= .（二）课堂导学：的平行四边形是菱形 探究活动：菱形的性质做一做：用菱形的纸片折一折猜想菱形的性质。
总结菱形的性质：边：_________________________________ 角：_________________________________对角线：___________________________________________________ 性质1、菱形的四条边________。
几何语言:∵四边形ABCD 为菱形∴______________________性质2、菱形的对角线互相____,且每一条 对角线_________一组对角。
几何语言:∵四边形ABCD 为菱形∴_____________________探究活动：菱形的性质的应用1、阅读教材P3例1注意解题的依据2、完成教材P4随堂练习二、课堂探究（小组合作）在菱形ABCD 中，BC=5，AC=6,BD=8，求菱形ABCD 的周长、面积和高。
总结：菱形的周长C=面积S= =三、巩固练习1、已知菱形两条对角线长分别为12cm 、8cm ，则菱形的面积是 ,周长是2、如图，四边形ABCD 是菱形。
点O 是两条对角线的交点，AB=5cm ，AO=3cm ， （1）求AC 与BD 的长。
1.3 特殊的平行四边形 第3课时
A. 669
B. 670
C.671
D. 672
4．（2010·威海中考）从边长为a的大正方形纸板中间挖 ．（2010·威海中考）从边长为a 2010·威海中考 的小正方形后， 去一个边长为b的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯 形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚． 如图① 可以拼成一个平行四边形﹙如图② 如图③ 已知∠ 45° 现有一平行四边形纸片ABCD﹙如图③﹚，已知∠A＝45°，
B (2).AC平分 BAD和 BCD,BD平分 ADC和 平分∠ 平分∠ (2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC. 证明:∵四边形ABCD是正方形, 证明: 四边形ABCD是正方形, ABCD是正方形 ∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形. 四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形. ABCD是平行四边形 ∴AO=CO,BO=DO; AC=BD; AC⊥BD; AC平分∠BAD和 BCD,BD平分∠ADC和 AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC. 平分 平分 【定理】正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每 定理】正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分, 条对角线平分一组对角. 条对角线平分一组对角.
晋江中考） 3．（2010 ·晋江中考）如图，将一张正方形纸片剪成四 ．（2010 ·晋江中考 如图， 个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后， 个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后， 将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7 将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正 方形，称为第二次操作； 方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四 个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...， 个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...， 10个小正方形 根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的 根据以上操作，若要得到2011个小正方形， 2011个小正方形 次数是( 次数是( ) . B
特殊的平行四边形 教案
特殊的平行四边形教案教案标题：特殊的平行四边形教案目标：1. 了解平行四边形的定义和特点；2. 辨别和分类不同类型的平行四边形；3. 掌握计算平行四边形的周长和面积的方法；4. 运用所学知识解决实际问题。
教学资源：1. 平行四边形的图片和实物模型；2. 计算平行四边形周长和面积的公式；3. 实际问题的练习题。
教学步骤：引入活动：1. 展示一些平行四边形的图片和实物模型，引起学生的兴趣和好奇心；2. 提问学生对平行四边形的认识和了解。
知识讲解：1. 介绍平行四边形的定义：具有两对平行边的四边形；2. 解释平行四边形的特点：对边相等，对角线互相平分；3. 展示不同类型的平行四边形，如矩形、正方形、菱形等，并解释它们的特点和性质；4. 讲解计算平行四边形周长和面积的公式，并通过示例演示应用。
练习活动：1. 分发练习题，让学生独立或小组完成，包括辨别不同类型的平行四边形、计算周长和面积以及解决实际问题；2. 监督学生的练习过程，及时解答疑惑。
讲解与总结：1. 收回练习题，逐一讲解答案，让学生核对自己的答案；2. 总结平行四边形的定义、特点和计算方法；3. 强调平行四边形在日常生活和工作中的应用，并鼓励学生多思考和发现。
拓展活动：1. 鼓励学生寻找身边更多的平行四边形实例，并记录下来；2. 邀请学生分享自己发现的特殊平行四边形，并解释其特点和性质；3. 提供更多复杂的平行四边形问题，让学生挑战和解决。
评价与反馈：1. 对学生的练习进行评价，给予积极的反馈和建议；2. 鼓励学生积极参与课堂讨论和活动，提高他们的学习兴趣和能力；3. 收集学生的反馈意见，了解他们对教学内容和方法的理解和感受，以便调整教学策略。
教学延伸：1. 将平行四边形的概念与其他几何形状进行比较，探讨它们之间的联系和区别；2. 引导学生研究平行四边形的性质和定理，如平行四边形的对角线互相平分、对角线长的关系等。
这个教案旨在通过引入活动、知识讲解、练习活动、讲解与总结、拓展活动、评价与反馈等环节，帮助学生全面理解和掌握平行四边形的概念、特点和计算方法。
《特殊的平行四边形》优秀教案
《特殊的平行四边形》第一课时教学设计城镇中学初三数学刘英杰教学目标：1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论。
2、初步运用矩形的性质定理和判定定理解决问题。
3、经历探索、猜想、证明矩形的性质定理和判定定理的过程，进一步体现的证明的必要性、进一步发展合情推理和演绎推理能力。
教学重点：1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论。
2、初步运用矩形的性质定理和判定定理解决问题。
教学难点：运用矩形的性质定理和判定定理解决问题教学方法：1、通过学生阅读课本和回顾以前所学的知识以小组为单位得到矩形的性质定理和判定定理。
2、以《导学方案》为基础，采用小组讨论、学生分析（讲解）、教师引导启发的方法来完成本节课的教学。
教具准备：三角板多媒体展台学情分析：九年级学生有了一定的自学能力，提出问题、分析问题、解决问题的能力和归纳总结能力，都有了自己的独特的学习方法，有自己对问题独特的见解；他们更愿意在班里向其他同学展示自己，以此来获得很大的成就感，来树立自己在同学中的形象。
不足之处在于对问题认识不全面，分析不透彻，方法单一等，需要通过合作交流才能得到正确的结论。
学生在初二的时已经探究过特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质和判定方法，且用其解决过简单的问题。
在本章前三节中证明和掌握了平行四边形的性质定理和判定定理及其应用；经历了三角形中位线定理的证明过程，学生已经能从边、角、对角线的角度来研究特殊平行四边形的相关性质和判定定理，为学习本节课奠定了基础。
教学过程：（一）导入明标1 本节课的学习目标是：（师读或投影展示）（1）能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论。
（2）初步运用矩形的性质定理和判定定理解决问题。
2 学生阅读《导学方案》73页问题导学，想一想小红和小亮所争论的这个数学问题，你同意谁的说法？你能说明你的理由吗？（可以小组讨论）用不用这个“∠A=300”这个条件呢？本节课学习完后我们就可以顺利的解决这个问题了。
第一单元《平行四边形》知识点
第一单元《平行四边形》知识点
本文档旨在介绍第一单元《平行四边形》的知识点。
1. 平行四边形的定义
平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。
四个角均为直角的平行四边形称为矩形。
2. 平行四边形的性质
- 平行四边形的对边相等。
- 平行四边形的对角线相交于一点，并且该点到四个顶点的距离相等。
- 平行四边形的邻边互补，即相邻两边之和等于180度。
- 平行四边形的对角线等分对角线角。
3. 平行四边形的分类
根据边长和角度的不同，平行四边形可以分为以下几类：
- 矩形：具有四个内角均为直角的平行四边形。
- 正方形：具有四条边长相等且四个内角均为直角的平行四边形。
- 长方形：具有两组对边相等且四个内角均为直角的平行四边形。
- 平行四边形：为一般性的平行四边形，具有两组对边平行但
不一定角度相等或边长相等。
4. 平行四边形的应用
平行四边形的概念在几何学和实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，平行四边形常被用作地板砖、窗户和门的形状。
在
数学中，平行四边形的性质也与向量、矩阵和平面几何等领域密切
相关。
以上是第一单元《平行四边形》的知识点概述。
对于每个具体
的内容，我们将在课堂上进行深入讲解和练。
- 完 -。
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《特殊平行四边形》
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：高底平行四边形⨯=S
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
要点二、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：2
对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点三、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：宽＝长矩形⨯S
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点四、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：=S 正方形边长×边长＝12
×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.。