高考数学推理与证明

第十二章推理与证明

考纲解读

分析解读

本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.

五年高考

考点一合情推理与演绎推理

1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.

在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )

A.2号学生进入30秒跳绳决赛

B.5号学生进入30秒跳绳决赛

C.8号学生进入30秒跳绳决赛

D.9号学生进入30秒跳绳决赛

答案 B

2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:

(i)男学生人数多于女学生人数;

(ii)女学生人数多于教师人数;

(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.

①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;

②该小组人数的最小值为.

答案①6 ②12

3.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.

答案1和3

4.(2016山东,12,5分)观察下列等式:

π-

+π

-

=×1×2;

π-

+π

-

+π

-

+π

-

=×2×3;

π-

+π

-

+π

-

+…+π

-

=×3×4;

π-

+π

-

+π

-

+…+π

-

=×4×5;

……

照此规律,

π-

+π

-

+π

-

+…+π

-

= .

答案

5.(2015陕西,16,5分)观察下列等式

1-=

1-+-=+

1-+-+-=++

……

据此规律,第n个等式可为.

答案1-+-+…+

-

-=++…+

6.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;

乙说:我没去过C城市;

丙说:我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为.

答案 A

教师用书专用(7—11)

7.(2014福建,16,4分)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于.

答案201

8.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.

(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;

(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S= (用数值作答).

答案(1)3,1,6 (2)79

9.(2013陕西,13,5分)观察下列等式

(1+1)=2×1

(2+1)(2+2)=22×1×3

(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5

……

照此规律,第n个等式可为.

答案(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)

10.(2014江西,21,14分)将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数…,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123 456 789 101 112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.

(1)求p(100);

(2)当n≤2 014时,求F(n)的表达式;

(3)令g(n)为这个数中数字0的个数, f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值.

解析(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=.

(2)F(n)=---

(3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*)时,g(n)=0;

当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k; 当n=100时,g(n)=11,

即g(n)=∈∈同理有f(n)

=

-∈∈-

由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.

所以当n≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.

当n=9时,p(9)=0;

当n=90时,p(90)===;

当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)==

-

=,由于y=关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为p(89)=.

又<,所以当n∈S时,p(n)的最大值为.

11.(2013江西,21,14分)设函数f(x)=

--

a为常数且a∈(0,1).