届高考数学一轮总复习66直接证明与间接证明PPT课件

出所要证明的结论成立
知条件、定理、定义、公理等)为止
内容 实质
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综合法 由因导果 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 →
…→ Qn⇒Q 因为…所以… 或由…得…
分析法 执果索因 Q⇐P1 → P1⇐P2 →…→ 得到一个明显 成立的条件
要证…只需证…即证…
知识点二
间接证明
反证法：假设命题 不成立 (即在原命题的条件下，结论 不成立)，经过正确的推理，最后得出 矛盾 ．因此说明假设错
第六章 不等式、推理与证明
第六节 直接证明与间接证明
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
高考明方向
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解 分析法和综合法的思考过程和特点．
2.了解反证法的思考过程和特点.
备考知考情
1.对本节内容的考查，一般贯穿在对其他知识的考查中，主 要涉及综合法、反证法等证明方法，多以解答题为主，难度中 等．
所以1＋1＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b.
这与已知a＋b>2矛盾，故假设不成立．
即1＋a b，1＋b a中至少有一个小于2.
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
问题探究 问题1 综合法与分析法证明的一般规律是什么？ (1)综合法证题的一般规律： 用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是 能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件 所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．
误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
对点自测
知识点一
直接证明
1.要证明 3 ＋ 7 <2 5 ，可选择的方法有以下几种，其中最
合理的是( )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．归纳法
解析 要证明 3 ＋ 7 <2 5 成立，可采用分析法对不等式两 边平方后再证明．
答案 B
2．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里①是②的 ()
(2)分析法证题的一般规律： 分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发， 倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要 严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
问题2 反证法证明命题注意以下三点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现 多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证 都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为 条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从 结论的反面出发进行推理，就不是反证法． (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假 设矛盾，有的与已知事实相矛盾等，推导出的矛盾必须是明显 的．
2.分析法作为一种证明方法，较少单独考查，但这种方法可 以用来寻找解题思路.
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
知识梳理
知识点一
直接证明
内容
综合法
分析法
利用已知条件和某些数学定 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成
义、公理、定理等，经过一 立的充分条件，直至最后，把要证明的 定义
系列的推理论证，最后推导 结论归结为判定一个明显成立的条件(已
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件，即② ⇒①，所以①是②的必要条件．
答案 B
3．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边 分别为a，b，c.求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
证明 要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3也就是a＋c b＋b＋a c＝1， 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
高频考点
考点一
综合法的应用
【例1】
已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－
1 2
x2＋
1 3
x3，
函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)≤g(x)．
听 课 记 录 (1)f′(x)＝1＋1 x，g′(x)＝b－x＋x2， 由题意得gf′00＝＝f0g′，0， 解得a＝0，b＝1. (2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x) ＝ln(x＋1)－13x3＋12x2－x(x>－1)． h′(x)＝x＋1 1－x2＋x－1＝x－＋x13.
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， 故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．
知识点二
间接证明
4.用反证法证明命题“如果a＞b，那么 3 a ＞ 3 b ”时，假设 的内容应是( )
A.3 a＝3 b
B.3 a＜3 b
3 C.
a＝3
b且3
a＜3
b
D.3 a＝3 b或3 a＜3 b
解析 用反证法证明的第一步是假设结论不成立． 假设3 a＞3 b不成立，即3 a≤3 b成立．
答案 D
5．已知a>0，b>0，且a＋b>2，求证：
1＋b a
，
1＋a b
中至少有
一个小于2. 证明 假设1＋a b，1＋b a都不小于2，
则1＋a b≥2，1＋b a≥2.
因为a>0，b>0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b，
h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0， 即f(x)≤g(x)．
【规律方法】 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已 知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合 法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎 推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论 的正确性．
变式思考 1 设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，
Sn是其前n项的和．记bn＝
nSn n2＋c
，n∈N*，其中c为实数．若c＝0，
且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)．
证明 由题意得，Sn＝na＋nn2－1d. 由c＝0，得bn＝Snn＝a＋n－2 1d. 又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b22＝b1b4， 即a＋d22＝aa＋32d， 化简得d2－2ad＝0. 因为d≠0，所以d＝2a.