不等式的证明PPT教学课件(1)
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2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
《不等式的证明》PPT课件
2
∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0, 1+ab>0， 1-a2>0,1-b2>0, 1-ab>0. 所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,
(a-b)2(1+ab)≥0.
1 1 2 故 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二:分析法 证明三:综合法 ∵a2+b2≥2ab, ∴-a2-b2≤-2ab. 从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,1-ab>0. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b2
证明二：(分析法)
证明三：(综合法)
一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3, …,n),都有:
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥(a1b1+a2b2+…+anbn) 2.(柯西不等式)
【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证: 1 1 2 . 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二：比较法（作商） ∵a2+b2≥2ab，
2 2 3 3 ( a b )( a b ab) a b ∴ 2 2 ab(a b) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab
又a>0，b>0，所以ab>0，
故a3+b3≥a2b+ab2.
证明一:比较法(作差)
1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 ab
(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 ab) 2(1 a 2 )(1 b 2 ) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0, 1+ab>0， 1-a2>0,1-b2>0, 1-ab>0. 所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,
(a-b)2(1+ab)≥0.
1 1 2 故 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二:分析法 证明三:综合法 ∵a2+b2≥2ab, ∴-a2-b2≤-2ab. 从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,1-ab>0. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b2
证明二：(分析法)
证明三：(综合法)
一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3, …,n),都有:
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥(a1b1+a2b2+…+anbn) 2.(柯西不等式)
【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证: 1 1 2 . 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二：比较法（作商） ∵a2+b2≥2ab，
2 2 3 3 ( a b )( a b ab) a b ∴ 2 2 ab(a b) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab
又a>0，b>0，所以ab>0，
故a3+b3≥a2b+ab2.
证明一:比较法(作差)
1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 ab
(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 ab) 2(1 a 2 )(1 b 2 ) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
5.3 证明不等式的基本方法 课件(人教A版选修4-5)
只要证 ( 1 x1 1 x2 )2 ≥ ( 1 x1 x2 1)2
即证： 2 x1 x2 2 1 x1 x2 x1x2 ≥ 2 x1 x2 2 1 x1 x2
只要证： x1 x2 ≥ 0
x1 x2 ≥ 0 成立，故原不等式也成立。
2．非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1
证明： x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 x2 ≤1, 1 x1 ≥ 0,1 x2 ≥ 0,1 x1 x2 ≥ 0 要证 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1，
am a . 求证: bm b 4.(课本第 24 页例 2)已知 a1 , a2 ,, an R ,且 a1a2 an 1 ,
求证: (1 a1 )(1 a2 )(1 an ) ≥ 2n 5.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)已知 a 1 , b 1 , 求证: 1 ab a b
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b3 a 2b ab2
尝试 3:联想尝试， 就是由已知的不等式及题设条件 出发产生联想,大胆尝试,巧用已知不等式及不等 式性质做适当变形，推导出要求证明的不等式.其 逻辑关系是： A B1 B2 Bn B . 证明：∵ a 0, b 0, 且a b ∴ a 3 ab2 2a 2b , b3 ba 2 2ab2 ,
∴a b a b
a b
b a
附课本例 3.已知 a , b 是正数，且 a b ， 求证： a b a b 证明：∵ a , b 是正数，且 a b ，
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
《不等式的基本性质》ppt课件
x< -3
题 组 训 练 一
：
1、已知x>y,下列各式成立吗？
(1)x-6<y-6
(3) -2x<-2y
(2) 3x<3y (4) 2x+1>2y+1
2、设 a<b ,用“<”或“>”号填空 （1）a+1__b+1
(2) a-3__b-3 (4) -a__-b
（3）3a__3b
（5）
2a 3 __ 2b 3
归 纳
不等式基本性质1
不等式的两边都加上（或减去）同 一个整式，不等号的方向不变.
等式基本性质2：等式的两边都 乘以（或除以）同一个不为0的 数，等式仍然成立.
用刚才的方法研究:不 等式有没有这样的性 质？
不等式应Hale Waihona Puke 有什么样 类似的性质?探 究
3 < 7
3×2 < 7×2 3×0.5 < 7×0.5
不等式的基本性质
你还记得： 等式的基本性质吗？
等式基本性质1：等式的两边都加 整式 上（或减去）同一个整式，等式仍 然成立
可能是正数也可能是负数
想一想：
加减正数
3+2＿7+2 3-5__ 7-5 3+a__ 7+a
3＜ 7
加减负数
3+(-2)__ 7+(-2) 3-(-5)__ 7- ( -5) 3-a__ 7-a
巩固知识
典型例题
例 5 已知 a b 0 ， c d 0 ，求证 ac bd ．
证明 因为 a b, c 0 ， 由不等式的性质 3 知， ac bc ， 同理由于 c d , b 0 ，故 bc bd . 因此，由不等式的性质 1 知
基本不等式的证明课件(28张) 高中数学 必修5 苏教版
＝ a(a－ 1)＋ b(b－ 1)<0， ∴ a2＋b2<a＋b，∴a＋b 最大． 1 1 2 2 法二：令 a＝b＝ ，则 a＋b＝1，2 ab＝1，a ＋b ＝ ， 2 2 1 1 1 1 1 1 1 5 2ab＝2× × ＝ ， 再令 a＝ ， b＝ ， a＋b＝ ＋ ＝ ， 2 ab 2 2 2 2 8 2 8 8 ＝2 1 1 1 × ＝ ，∴ a＋ b 最大． 2 8 2
利用基本不等式证明不等式
1 1 已知 a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋ b)a＋b ≥ 4. (链接教材 P99T7)
[证明 ] 法一：∵a>0， b>0，∴ a＋b≥ 2 ab>0①，当且仅 1 1 1 1 1 当 a＝ b 时，取等号 . ＋ ≥ 2 >0②，当且仅当 ＝ ，即 a b ab a b 1 1 1 ＋ a＝ b 时取等号． ①×②，得(a＋ b)a b ≥ 2 ab·2 ＝ ab 1 1 b 4，当且仅当 a＝ b 时，取等号．法二：(a＋b)a＋b ＝ 2＋ a a ＋ ≥ 4，当且仅当 a＝ b 时取等号． b
方法归纳 (1)基本不等式和不等式的基本性质是证明不等式的基础， 常用的有： b a 2 2 2 a ≥0(a∈ R)，a ＋b ≥ 2ab(a，b∈ R)， ＋ ≥ 2(a，b 同号 )， a b a＋b a2＋b2 a＋b 2 ≥ ab(a≥0，b≥0)， ≥( ) 等． 2 2 2 a＋b (2)多次使用基本不等式 ≥ ab，要注意等号是否成立， 2 当变形后不能使用，重新组合是一种常用的技巧．
2
1 1 （－a）－a ＝－ 2，当且仅当 a＝ 即 a＝－ 1 时，取 a
“＝”．
2 4．若0<a<1，0<b<1，则logab＋logba≥________ ．
5.3证明不等式的基本方法1 课件(人教A版选修4-5)
注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不 明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这 样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! （如课本第 24 页例 3） 练习：P26 3，5, 9
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b 3 a 2 b ab 2
f (x) x 2 (1 x 1 )(1 x 2 )
,∴ f ( x1 )
ab abm b
f ( x2 ) 0
,
在 [ 0 , ) 为增函数.
⑵∵在△ABC 中有 a + b > c>0,∴ f(a + b)>f(c)，即 又∵ a，b R ，∴
例题 2.(课本第 25 页例 4) 已知 a , b , c
0 , 求证:
a b b c c a
2 2 2 2 2 2
abc
≥ abc
.
证明不等式的常用的方法有: 比较法、综合法、分析法，它们各有其 优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应 该对具体问题的特点作具体分析，选择合适 的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻 找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个 证明过程.
1答案
2答案
已知
f ( x ) x px q
2
，求证：|
f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中至少有
一个不小于 .
2 1 分析：设 | f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中没有一个大于或等于 2
1
，
观察： f (1) 1 p q , f ( 2 ) 4 2 p q , f ( 3 ) 9 3 p q 得： f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) 2 所以 2= | f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) | ≤ | f (1) | 2 | f ( 2 ) | | f ( 3 ) | <
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b 3 a 2 b ab 2
f (x) x 2 (1 x 1 )(1 x 2 )
,∴ f ( x1 )
ab abm b
f ( x2 ) 0
,
在 [ 0 , ) 为增函数.
⑵∵在△ABC 中有 a + b > c>0,∴ f(a + b)>f(c)，即 又∵ a，b R ，∴
例题 2.(课本第 25 页例 4) 已知 a , b , c
0 , 求证:
a b b c c a
2 2 2 2 2 2
abc
≥ abc
.
证明不等式的常用的方法有: 比较法、综合法、分析法，它们各有其 优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应 该对具体问题的特点作具体分析，选择合适 的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻 找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个 证明过程.
1答案
2答案
已知
f ( x ) x px q
2
，求证：|
f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中至少有
一个不小于 .
2 1 分析：设 | f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中没有一个大于或等于 2
1
，
观察： f (1) 1 p q , f ( 2 ) 4 2 p q , f ( 3 ) 9 3 p q 得： f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) 2 所以 2= | f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) | ≤ | f (1) | 2 | f ( 2 ) | | f ( 3 ) | <
不等式的证明(一)
若x为锐角，则
sin x＜x＜tanx
sin x＜tanx sin x＞tanx
线性规划简述
1.含义：简言之，图象法解二元不等式 2.步骤：一面二线三找点 来先去后为最值
解析几何的基础
形
数
点
坐标
线
方程
面
不等式
二元不等式与平面域
1.直线对坐标平面的划分 (二元一次不等式表示平面域)
直线 Ax By C 0 ,将坐标平面划分成两个半平面 Ax By C 0和 Ax By C 0 ,位于同一半平面内的点 其坐标必适合同一个不等式 （同侧同号，异侧异号）
b
不妨设a b 0,则 a 1, a b 0 b
故
a
ab
1，当且仅当a
b时, 等号成立
b
所以，原不等式成立
作业：
1.课本P： 75 B组 Ex1①② 2.(2010年湖北)设 a＞0，b＞0,称a2abb 为a，b的调和平均数
(2)三角混合不等式: 若 0＜x＜ ,则 sinx＜x＜tanx
2
法1：如图，易得
y=x y = tanx
y = sinx
(2)三角混合不等式: 若 0＜x＜ ,则 sinx＜x＜tanx
2
法2：如图单位圆O中，角x的终边为OT，易得
S⊿APO＜S扇形APO＜S⊿ATO
而 S⊿APO= AO • PM sin x
注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)
注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性
3.重要的(经典)不等式
⑩ □2+○2≥±2□○ 当且仅当○=□时等号成立
11 均值不等式： 若□,○∈R+,则
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c=cosβ,d=sinβ, ∣ac+bd∣=|cosαcosβ+ sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1.
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
≤
a2 c2
+
b2 d 2 =
a2 b2 c2 d2
=1
2
2
2
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1
-1≤ac+bd≤1.
练习
1、已知a>b>c,
求证：
a
1
b
+
1 bc
4 ac
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0,
+>
求证：x2 xy y + y2 yz z 2
>x+y+z.
3、已知x>0,求证：x22x 4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。
(2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。
少量能量
12H2O
6 CO2 线粒体
有氧呼吸过程
细胞质基质
酶
葡萄糖
酶
2丙酮酸
无O2
酶
4[H]+少量能量
酒精+CO2+少量能量 乳酸+少量能量
无氧呼吸过程
3 呼吸作用的类型
•有氧呼吸 C6H12O6 +6H2O+6O*2
•无氧呼吸(植物) （酒精发酵）
C6H12O6
酶
•无氧呼吸(动物) （乳酸发酵）
先证ac+bd≥-1,
∵ac+bd+1=ac+bd+ 1 + 1
=ac+bd+ a2 b2 +
c2 2d 2
2
=
(a
c)
2
(b
d
)
2
≥0,
2
2
2
∴ac+bd≥-1.
再证ac +bd ≤ 1,
∵1-(ac+bd)= 1 + 1 -(ac+bd)
=
a2
b2
+
c2
d2
22
-ac-bd
= ≥0, (2a c)2 (b 2d)2
不等式的证明
数学组 马迪
复习回顾 双向沟通 练习 总结
证明不等式的主要依据
1 a-b>0 a>b,a-b<0 a<b
2不等式的性质 3几个重要不等式 (1)a2≥0(a∈R) (2)a2+b2≥2ab(a,b∈R)
(((43a,))ba∈a22abRbb≥,且≤ aa>abb0(≤,ab,b>a∈02)bR≤,且a>a202,bb2>0)
呼吸方式 比较项目
场所 不 是否需氧 同 反应程度 点 产物
产能多少 相 联系 同 实质 点
有氧呼吸
无氧呼吸
细胞质基质、线粒体
细胞质基质
需氧
不需氧
彻底氧化分解
不彻底氧化分解
CO2、H2O 大量
CO2、酒精或乳酸 少量
两者的第一阶段完全相同
分解有机物，释放能量
呼吸作用的意义
1、为生物体各项生命活动提供能量
＝实测CO2消耗量＋呼吸作用CO2释放量 光合作用C6H12O6净生产量 ＝光合作用实际C6H12O6生产量－呼吸作用C6H12O6消耗量
考点整合
有关光合作用和呼吸作用的计算
注意以下几条基本原理：
⑴光合作用、呼吸作用的速率一般为一段时 间内CO2 、O2和葡萄糖的变化量计算。
⑵在有光和无光条件下，植物都能够进行呼 吸作用。
⑶实际光合作用量=净生产量+呼吸量。 光合作用实际产O2量
＝实测O2释放量＋呼吸作用耗O2量 光合作用实际CO2消耗量
2
∴ ac+bd ≤ 1.
综上得∣ac+bd∣≤1
证法4（分析法） 要证∣ac+bd ∣≤ 1 , 只需证(ac+bd)2 ≤ 1 . 即只要证 a2c2+2abcd+b2d2 ≤ 1 . 由于a2+b2=1 , c2+d2=1, 因此上式等价于
a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2 )(c2+d2) 即证 (ad-bc)2≥0, 而(ad-bc)2≥0显然成立. 故∣ac+bd ∣≤ 1 .
C6H12O6
酶
酶 6CO2+12H2O*+能量 2C2H5OH+2 CO2+能量 2C3H6O3+能量
有氧呼吸与无氧呼吸的联系和区别
C6H12O6
细胞质基质
有O2
线粒体
6CO2+12H2O+能量
2丙酮酸
2C2H5OH+2CO2+能量
无O2
细胞质2C基3H质6O3+能量
相同点
不同点
有氧呼吸和无氧呼吸的比较
(5)a2+b2+c2≥ab+bc+ac
不等式的证明方法主要有：源自比较法 综合法 分析法 反证法、
换元法、 放缩法 判别式法、 构造法
典例分析
例1 、 已知：a, b ∈R 求证： a2 +b2 +ab+1>a + b
证法一:
2(a2+b2+ab+1)-2(a+b)
b2 1
=a2+b2+2ab+a2-2a+1+b2-2b+1
细胞呼吸的概念
生物体内的有机物在细胞内经过一系 列的氧化分解，最终生成二氧化碳或其他 产物，并且释放出能量的总过程叫做细胞 呼吸。（又叫生物氧化）
有氧呼吸
1、场所 2、条件 3、物质变化 4、能量变化
细胞质基质
6O2 4[H]
③酶
大量能量
20[H]
C6H12O6 ①酶
2丙酮酸
少量能量
②酶
6H2O
证法三：
a2+b2+ab+1-a-b
= a2+a(b-1)+ b2-b+1
=(a+
b
2
1
)2+
3 4
(b-
2)2+
3
2 3
>0.
∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
例2、已知a,b,c,d都是实数， 且a2+b2=1,c2+d2=1,求 证:∣ac+bd∣≤1
huan
zong
bi
fen
证法1:（换元法） a2+b2=1,c2+d2=1. 可设a=cosα,b=sinα,
2.光合作用为有氧呼吸提供有机物和氧气
有氧呼吸为光合作用提供二氧化碳
考点整合
光合作用
相互依存
呼吸作用
ATP、[H]
光反应
暗反应
ADP、 Pi
有氧呼吸
酶
色素
酶
叶绿体
光合作用和呼吸作用
物质
ATP
无氧呼吸
光照强度 温度 矿质离子吸收 pH值 条件 场所 产物 能量 应用 影响因素
生物的新陈代谢
光合作用和呼吸作用
•细胞分裂
•植株的生长
•矿质元素的吸收
•新物质的合成
2、为体内其他化合物的合成提供原料
呼吸作用和光合作用的比较
条件 场所 物质 变化 能量 变化
联系
光合作用 光、色素、酶
叶绿体
呼吸作用 氧气、酶
细胞质基质、线粒体
无机物→有机物 有机物→无机物
光能→有机物 有机物化学能→ATP
化学能
+热能
1.共同完成有机物和能量的代谢
4 3
32
=(a+b)2+(a-1)2+(b-1)2 >0.
∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
证法二: a2+b2+ab+1-a-b
= a2+a(b-1)+ b2-b+1
把a作变元 ,Δ=(b-1)2-4(b2-b+1)
=-3b2+2b-3 =-3(b- 1 )2- 8
33
< 0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
≤
a2 c2
+
b2 d 2 =
a2 b2 c2 d2
=1
2
2
2
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1
-1≤ac+bd≤1.
练习
1、已知a>b>c,
求证：
a
1
b
+
1 bc
4 ac
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0,
+>
求证：x2 xy y + y2 yz z 2
>x+y+z.
3、已知x>0,求证：x22x 4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。
(2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。
少量能量
12H2O
6 CO2 线粒体
有氧呼吸过程
细胞质基质
酶
葡萄糖
酶
2丙酮酸
无O2
酶
4[H]+少量能量
酒精+CO2+少量能量 乳酸+少量能量
无氧呼吸过程
3 呼吸作用的类型
•有氧呼吸 C6H12O6 +6H2O+6O*2
•无氧呼吸(植物) （酒精发酵）
C6H12O6
酶
•无氧呼吸(动物) （乳酸发酵）
先证ac+bd≥-1,
∵ac+bd+1=ac+bd+ 1 + 1
=ac+bd+ a2 b2 +
c2 2d 2
2
=
(a
c)
2
(b
d
)
2
≥0,
2
2
2
∴ac+bd≥-1.
再证ac +bd ≤ 1,
∵1-(ac+bd)= 1 + 1 -(ac+bd)
=
a2
b2
+
c2
d2
22
-ac-bd
= ≥0, (2a c)2 (b 2d)2
不等式的证明
数学组 马迪
复习回顾 双向沟通 练习 总结
证明不等式的主要依据
1 a-b>0 a>b,a-b<0 a<b
2不等式的性质 3几个重要不等式 (1)a2≥0(a∈R) (2)a2+b2≥2ab(a,b∈R)
(((43a,))ba∈a22abRbb≥,且≤ aa>abb0(≤,ab,b>a∈02)bR≤,且a>a202,bb2>0)
呼吸方式 比较项目
场所 不 是否需氧 同 反应程度 点 产物
产能多少 相 联系 同 实质 点
有氧呼吸
无氧呼吸
细胞质基质、线粒体
细胞质基质
需氧
不需氧
彻底氧化分解
不彻底氧化分解
CO2、H2O 大量
CO2、酒精或乳酸 少量
两者的第一阶段完全相同
分解有机物，释放能量
呼吸作用的意义
1、为生物体各项生命活动提供能量
＝实测CO2消耗量＋呼吸作用CO2释放量 光合作用C6H12O6净生产量 ＝光合作用实际C6H12O6生产量－呼吸作用C6H12O6消耗量
考点整合
有关光合作用和呼吸作用的计算
注意以下几条基本原理：
⑴光合作用、呼吸作用的速率一般为一段时 间内CO2 、O2和葡萄糖的变化量计算。
⑵在有光和无光条件下，植物都能够进行呼 吸作用。
⑶实际光合作用量=净生产量+呼吸量。 光合作用实际产O2量
＝实测O2释放量＋呼吸作用耗O2量 光合作用实际CO2消耗量
2
∴ ac+bd ≤ 1.
综上得∣ac+bd∣≤1
证法4（分析法） 要证∣ac+bd ∣≤ 1 , 只需证(ac+bd)2 ≤ 1 . 即只要证 a2c2+2abcd+b2d2 ≤ 1 . 由于a2+b2=1 , c2+d2=1, 因此上式等价于
a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2 )(c2+d2) 即证 (ad-bc)2≥0, 而(ad-bc)2≥0显然成立. 故∣ac+bd ∣≤ 1 .
C6H12O6
酶
酶 6CO2+12H2O*+能量 2C2H5OH+2 CO2+能量 2C3H6O3+能量
有氧呼吸与无氧呼吸的联系和区别
C6H12O6
细胞质基质
有O2
线粒体
6CO2+12H2O+能量
2丙酮酸
2C2H5OH+2CO2+能量
无O2
细胞质2C基3H质6O3+能量
相同点
不同点
有氧呼吸和无氧呼吸的比较
(5)a2+b2+c2≥ab+bc+ac
不等式的证明方法主要有：源自比较法 综合法 分析法 反证法、
换元法、 放缩法 判别式法、 构造法
典例分析
例1 、 已知：a, b ∈R 求证： a2 +b2 +ab+1>a + b
证法一:
2(a2+b2+ab+1)-2(a+b)
b2 1
=a2+b2+2ab+a2-2a+1+b2-2b+1
细胞呼吸的概念
生物体内的有机物在细胞内经过一系 列的氧化分解，最终生成二氧化碳或其他 产物，并且释放出能量的总过程叫做细胞 呼吸。（又叫生物氧化）
有氧呼吸
1、场所 2、条件 3、物质变化 4、能量变化
细胞质基质
6O2 4[H]
③酶
大量能量
20[H]
C6H12O6 ①酶
2丙酮酸
少量能量
②酶
6H2O
证法三：
a2+b2+ab+1-a-b
= a2+a(b-1)+ b2-b+1
=(a+
b
2
1
)2+
3 4
(b-
2)2+
3
2 3
>0.
∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
例2、已知a,b,c,d都是实数， 且a2+b2=1,c2+d2=1,求 证:∣ac+bd∣≤1
huan
zong
bi
fen
证法1:（换元法） a2+b2=1,c2+d2=1. 可设a=cosα,b=sinα,
2.光合作用为有氧呼吸提供有机物和氧气
有氧呼吸为光合作用提供二氧化碳
考点整合
光合作用
相互依存
呼吸作用
ATP、[H]
光反应
暗反应
ADP、 Pi
有氧呼吸
酶
色素
酶
叶绿体
光合作用和呼吸作用
物质
ATP
无氧呼吸
光照强度 温度 矿质离子吸收 pH值 条件 场所 产物 能量 应用 影响因素
生物的新陈代谢
光合作用和呼吸作用
•细胞分裂
•植株的生长
•矿质元素的吸收
•新物质的合成
2、为体内其他化合物的合成提供原料
呼吸作用和光合作用的比较
条件 场所 物质 变化 能量 变化
联系
光合作用 光、色素、酶
叶绿体
呼吸作用 氧气、酶
细胞质基质、线粒体
无机物→有机物 有机物→无机物
光能→有机物 有机物化学能→ATP
化学能
+热能
1.共同完成有机物和能量的代谢
4 3
32
=(a+b)2+(a-1)2+(b-1)2 >0.
∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
证法二: a2+b2+ab+1-a-b
= a2+a(b-1)+ b2-b+1
把a作变元 ,Δ=(b-1)2-4(b2-b+1)
=-3b2+2b-3 =-3(b- 1 )2- 8
33
< 0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.