不等式的证明PPT课件
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《不等式的证明》PPT课件
2
∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0, 1+ab>0， 1-a2>0,1-b2>0, 1-ab>0. 所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,
(a-b)2(1+ab)≥0.
1 1 2 故 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二:分析法 证明三:综合法 ∵a2+b2≥2ab, ∴-a2-b2≤-2ab. 从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,1-ab>0. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b2
证明二：(分析法)
证明三：(综合法)
一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3, …,n),都有:
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥(a1b1+a2b2+…+anbn) 2.(柯西不等式)
【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证: 1 1 2 . 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二：比较法（作商） ∵a2+b2≥2ab，
2 2 3 3 ( a b )( a b ab) a b ∴ 2 2 ab(a b) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab
又a>0，b>0，所以ab>0，
故a3+b3≥a2b+ab2.
证明一:比较法(作差)
1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 ab
(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 ab) 2(1 a 2 )(1 b 2 ) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0, 1+ab>0， 1-a2>0,1-b2>0, 1-ab>0. 所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,
(a-b)2(1+ab)≥0.
1 1 2 故 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二:分析法 证明三:综合法 ∵a2+b2≥2ab, ∴-a2-b2≤-2ab. 从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,1-ab>0. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b2
证明二：(分析法)
证明三：(综合法)
一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3, …,n),都有:
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥(a1b1+a2b2+…+anbn) 2.(柯西不等式)
【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证: 1 1 2 . 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二：比较法（作商） ∵a2+b2≥2ab，
2 2 3 3 ( a b )( a b ab) a b ∴ 2 2 ab(a b) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab
又a>0，b>0，所以ab>0，
故a3+b3≥a2b+ab2.
证明一:比较法(作差)
1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 ab
(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 ab) 2(1 a 2 )(1 b 2 ) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
基本不等式证明
只要证 0 （ a b )2 因为最后一个不等式成立
所以，ab a b 成立 2
当且仅当a b时取“”
分析法——执果索因
证法3：
对于正数 a,b，有
( a b)2 0 a b 2 ab 0
a b 2 ab
a b ab 2
综合法——由因索果
如果 a,b 是正数，那么 ab a b
2
当且仅当a b时取" " 号
问题 3、当a 0, b 0时 ，这个不等式仍然成立吗？
把不等式 ab a b (a 0,b 0) 称为基本不等式。 2
注意 （1）不等式成立条件（2）等号成立条件
问题4： 你能给出基本不等式几何解释吗？
ab
a
b
“半径不小于半弦”
回顾反思
1、今天这节课学了哪些主要知识？ 2、在解决问题时用了哪些方法？
问题1、如何合理的表示物体的质量？Βιβλιοθήκη b两个正数a、b ，我们把
称为a、b
2
的算术平均数， ab 称为几何平均数。
问题2、两个正数a、b的算术平均数与几何平均数 之间具有怎样的大小关系呢？
猜想：ab a b（a 0,b 0） 2
问题3：如何证明 ab a b（a 0,b 0） 2
不等式证明的基本方法 比较法（作差、作商法）
基本不等式的证明(一)
一、创设问题情景：
❖ 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子 上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。如果 天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他 因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过， 我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一 个盘上，此时称得物体的质量为b。
拓展延伸
这个基本不等式可否推广到“n个非负数”的情 形，有兴趣的同学可作进一步的研究，也可 查阅有关资料。
所以，ab a b 成立 2
当且仅当a b时取“”
分析法——执果索因
证法3：
对于正数 a,b，有
( a b)2 0 a b 2 ab 0
a b 2 ab
a b ab 2
综合法——由因索果
如果 a,b 是正数，那么 ab a b
2
当且仅当a b时取" " 号
问题 3、当a 0, b 0时 ，这个不等式仍然成立吗？
把不等式 ab a b (a 0,b 0) 称为基本不等式。 2
注意 （1）不等式成立条件（2）等号成立条件
问题4： 你能给出基本不等式几何解释吗？
ab
a
b
“半径不小于半弦”
回顾反思
1、今天这节课学了哪些主要知识？ 2、在解决问题时用了哪些方法？
问题1、如何合理的表示物体的质量？Βιβλιοθήκη b两个正数a、b ，我们把
称为a、b
2
的算术平均数， ab 称为几何平均数。
问题2、两个正数a、b的算术平均数与几何平均数 之间具有怎样的大小关系呢？
猜想：ab a b（a 0,b 0） 2
问题3：如何证明 ab a b（a 0,b 0） 2
不等式证明的基本方法 比较法（作差、作商法）
基本不等式的证明(一)
一、创设问题情景：
❖ 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子 上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。如果 天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他 因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过， 我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一 个盘上，此时称得物体的质量为b。
拓展延伸
这个基本不等式可否推广到“n个非负数”的情 形，有兴趣的同学可作进一步的研究，也可 查阅有关资料。
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
2.2基本不等式课件(人教版)(4)
∴2( + ) ≥ 40，
当且仅当 = = 10时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的
长度为40.
例析
(2)用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的
边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
+ =
解：(2)由已知得2( + ) = 36，矩形菜园的面积为2 .
例1.(1)用篱笆围一个面积为1002 的矩形菜园，当这个矩形
的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
=
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，，篱笆的长度为2( + ).
(1)由已知得 = 100.
+
由
2
≥ ，可得 + ≥ 2 = 20，
第二章 一元二次函数、方程、不等式
2.2 基本不等式
学习目标
1.了解并掌握基本不等式以及基本不等式的证明过程。
重点
2.会用基本不等式证明不等式，以及求简单的最值问题
难点
复习导入
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不
等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来
2.已知x>0，求 x +
1
的最小值.
练一练
3.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
课堂小结
课堂小结：
(1)重要不等式；
5.3 证明不等式的基本方法 课件(人教A版选修4-5)
= (a b)(lg a lg b) ∵ a b 与 lg a lg b 同号，∴ (a b)(lg a lg b) >0
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) 0 a lg a b lg b b lg a a lg b,
2．非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1
证明： x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 x2 ≤1, 1 x1 ≥ 0,1 x2 ≥ 0,1 x1 x2 ≥ 0 要证 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1，
只要证 a 2 ab b2 ab ,只要证 a 2 2ab b2 0 . ∵ a b 0 ,∴ (a b)2 0 即 a 2 2ab b2 0 得证.
注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不 明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这 样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! （如课本第 24 页例 3）
∵ a , b 是正数，且 a b ,∴ a b 0 , (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a 3 b3 a 2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外， 有时还可作商比较(如课本 第 22 页例 3).
am a . 求证: bm b 4.(课本第 24 页例 2)已知 a1 , a2 ,, an R ,且 a1a2 an 1 ,
求证: (1 a1 )(1 a2 )(1 an ) ≥ 2n 5.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)已知 a 1 , b 1 , 求证: 1 ab a b
《柯西不等式》课件
感谢您的观看
THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
不等式的证明课件3(人教A版选修4-5)
2
2
2
a b c d
2 2 2
0 不等式显然成立
c
2
a
2
b
2
2
d
2
2
0
原不等式即证
2 2 2
ac
2 2 2
bd
2
2
a
2 2
b
2 2
c
2
2
2
d
2 2
2
2
即证 a c b d 2 abcd a c b d a d b c 即证 2 abcd a d b c 即证 ad bc 0
21 25
因 为 21 25 成 立 ，
所以（ 3 7） (2 5 ) 成 立 ，
2 2
即证明了 3
7 2 5
证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困 难。例如，在例9中我们很难想到从”21<25“入手。 在不等式的证明中，分析法占有重要位置。我们常用 分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证 明过程。这是解决数学问题的一种重要思想。
而此式显然成立
原不等式
C 1
C 12
C 成立
练习3
1 求证
6
7 2
2
5
(2)已知：a1，a2，b1，b2∈R+,求证：
( a1 b1 ) ( a 2 b 2 )
≥
a1 a 2 b1b 2
1 1 1
3 求 证
1
a a
2 2
例3：若a、b、c是不全相等得正数
2
为了证明上式成立，只需证明
即证 1 1 42 , 因此只需证明 4
2
2
a b c d
2 2 2
0 不等式显然成立
c
2
a
2
b
2
2
d
2
2
0
原不等式即证
2 2 2
ac
2 2 2
bd
2
2
a
2 2
b
2 2
c
2
2
2
d
2 2
2
2
即证 a c b d 2 abcd a c b d a d b c 即证 2 abcd a d b c 即证 ad bc 0
21 25
因 为 21 25 成 立 ，
所以（ 3 7） (2 5 ) 成 立 ，
2 2
即证明了 3
7 2 5
证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困 难。例如，在例9中我们很难想到从”21<25“入手。 在不等式的证明中，分析法占有重要位置。我们常用 分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证 明过程。这是解决数学问题的一种重要思想。
而此式显然成立
原不等式
C 1
C 12
C 成立
练习3
1 求证
6
7 2
2
5
(2)已知：a1，a2，b1，b2∈R+,求证：
( a1 b1 ) ( a 2 b 2 )
≥
a1 a 2 b1b 2
1 1 1
3 求 证
1
a a
2 2
例3：若a、b、c是不全相等得正数
2
为了证明上式成立，只需证明
即证 1 1 42 , 因此只需证明 4
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
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b 1 2 3 2 2 2 =(a+ 2 ) + 4 (b- 3) + 3
>0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
例2、已知a,b,c,d都是实数， 2 2 2 2 且a +b =1,c +d =1,求 证:∣ac+bd∣≤1
huan
zong
bi
fen
证法1:（换元法） a2+b2=1,c2+d2=1. 可设a=cosα,b=sinα, c=cosβ,d=sinβ, ∣ac+bd∣=|cosαcosβ+ sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1.
不等式的证明方法主要有：
比较法 综合法
换元法、 放缩法
分析法
反证法、
判别式法、
构造法
典例分析
例1 、 已知：a, b ∈R 求证： a2 +b2 +ab+1>a + b
3 1 2 b 42 3
证法一: 2(a2+b2+ab+1)-2(a+b) =a2+b2+2ab+a2-2a+1+b2-2b+1 =(a+b)2+(a-1)2+(b-1)2 >0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
不等式的证明
数学组 马迪
复习回顾 双向沟通 练习 总结
证明不等式的主要依据
1 a-b>0 a>b,a-b<0 a<b 2不等式的性质 3几个重要不等式 (1)a2≥0(a∈R) (2)a2+b2≥2ab(a,b∈R) a b (3) ≥ ab(a,b∈R,且a>0,b>0) 2 2 2 a b 2 ab a b (4) a b ≤ ab≤ 2 ≤ 2 (a,b∈R,且a>0,b>0) (5)a2+b2+c2≥ab+bc+ac
1 1 再证ac +bd ≤ 1, 2 2 a b c d ∵1-(ac+bd)= + -(ac+bd) 2 2 (b d ) -ac-bd = (a c)+ 2 = ≥0, ∴ ac+bd ≤ 1. 综上得∣ac+bd∣≤1
2 2
2 2
2
2
证法4（分析法） 要证∣ac+bd ∣≤ 1 , 2 只需证(ac+bd) ≤ 1 . 2 2 2 2 即只要证 a c +2abcd+b d ≤ 1 . 由于a2+b2=1 , c2+d2=1, 因此上式等价于 a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2 )(c2+d2) 2 即证 (ad-bc) ≥0, 2 而(ad-bc) ≥0显然成立. 故∣ac+bd ∣≤ 1 .
证法二: a2+b2+ab+1-a-b
= a2+a(b-1)+ b2-b+1
把a作变元 ,Δ=(b-1)2-4(b2-b+1) =-3b2+2b-3
1 2 8 =-3(b- ) 3 3
< 0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
证法三： a2+b2+ab+1-a-b = a2+a(b-1)+ b2-b+1
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
a c b d ≤ + = 2 2
2 2
பைடு நூலகம்
2
2
a b c d 2
2 2 2
2
=1
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1 -1≤ac+bd≤1. 先证ac+bd≥-1, 1 1 ∵ac+bd+1=ac+bd+ +2 2 2 2 2 2 c d (a c) 2 (b d ) 2 a b =ac+bd+ + = 2 2 2 ≥0, ∴ac+bd≥-1.
练习
1、已知a>b>c, 求证： +
1 ab
1 bc
4 ac
+>
x xy y
2
y yz z
2
2
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0, 求证： >x+y+z. +
3、已知x>0,求证：2 x
x
2
4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。 (2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。
>0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
例2、已知a,b,c,d都是实数， 2 2 2 2 且a +b =1,c +d =1,求 证:∣ac+bd∣≤1
huan
zong
bi
fen
证法1:（换元法） a2+b2=1,c2+d2=1. 可设a=cosα,b=sinα, c=cosβ,d=sinβ, ∣ac+bd∣=|cosαcosβ+ sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1.
不等式的证明方法主要有：
比较法 综合法
换元法、 放缩法
分析法
反证法、
判别式法、
构造法
典例分析
例1 、 已知：a, b ∈R 求证： a2 +b2 +ab+1>a + b
3 1 2 b 42 3
证法一: 2(a2+b2+ab+1)-2(a+b) =a2+b2+2ab+a2-2a+1+b2-2b+1 =(a+b)2+(a-1)2+(b-1)2 >0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
不等式的证明
数学组 马迪
复习回顾 双向沟通 练习 总结
证明不等式的主要依据
1 a-b>0 a>b,a-b<0 a<b 2不等式的性质 3几个重要不等式 (1)a2≥0(a∈R) (2)a2+b2≥2ab(a,b∈R) a b (3) ≥ ab(a,b∈R,且a>0,b>0) 2 2 2 a b 2 ab a b (4) a b ≤ ab≤ 2 ≤ 2 (a,b∈R,且a>0,b>0) (5)a2+b2+c2≥ab+bc+ac
1 1 再证ac +bd ≤ 1, 2 2 a b c d ∵1-(ac+bd)= + -(ac+bd) 2 2 (b d ) -ac-bd = (a c)+ 2 = ≥0, ∴ ac+bd ≤ 1. 综上得∣ac+bd∣≤1
2 2
2 2
2
2
证法4（分析法） 要证∣ac+bd ∣≤ 1 , 2 只需证(ac+bd) ≤ 1 . 2 2 2 2 即只要证 a c +2abcd+b d ≤ 1 . 由于a2+b2=1 , c2+d2=1, 因此上式等价于 a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2 )(c2+d2) 2 即证 (ad-bc) ≥0, 2 而(ad-bc) ≥0显然成立. 故∣ac+bd ∣≤ 1 .
证法二: a2+b2+ab+1-a-b
= a2+a(b-1)+ b2-b+1
把a作变元 ,Δ=(b-1)2-4(b2-b+1) =-3b2+2b-3
1 2 8 =-3(b- ) 3 3
< 0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
证法三： a2+b2+ab+1-a-b = a2+a(b-1)+ b2-b+1
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
a c b d ≤ + = 2 2
2 2
பைடு நூலகம்
2
2
a b c d 2
2 2 2
2
=1
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1 -1≤ac+bd≤1. 先证ac+bd≥-1, 1 1 ∵ac+bd+1=ac+bd+ +2 2 2 2 2 2 c d (a c) 2 (b d ) 2 a b =ac+bd+ + = 2 2 2 ≥0, ∴ac+bd≥-1.
练习
1、已知a>b>c, 求证： +
1 ab
1 bc
4 ac
+>
x xy y
2
y yz z
2
2
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0, 求证： >x+y+z. +
3、已知x>0,求证：2 x
x
2
4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。 (2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。