证明不等式的基本方法PPT课件
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基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式的证明_课件
证：∵ a2 b2 2ab
b2 c2 2bc c2 a2 2ca 以上三式相加：2(a2 b2 c2 ) 2ab 2bc 2ca
当且仅当a=b=c时等号成立
∴ a2 b2 c2 ab bc ca
例3：1.已知a,b, c都是正数,
求证(a b)(b c)(c a) 8abc.
猜想：对任意两个正数a、b,
ab a b (a 0,b 0) 2
此不等式是可以证明的，而且证明方法有很多种。
证法1：a
2
b
ab
1 [( a )2 ( b)2 2 a b] 2
1 ( a b)2 0
2
当且仅当 a b 即 a b 时，取“ ”。
证法2：要证
ab a b 2
基本不等式
不等式的一些常用结论： 1、如果a b,则a - b 0,反之也成立; 如果a＜b,则a - b＜0,反之也成立; 如果a＝b,则a - b＝0,反之也成立; 2、a 2 0; | a | 0;
问题引入 ab
• 1、两个正数a，b的等差中项是__2___;
• 两个正数a，b的等比中项是___a_b_;
cos x
cos x
x 0 ，则 x 4 2 x 4 4
x
x
（4）若 x 0
2x 2x 2 2x 2x 2
其中正确的有 （3）,（4）
回顾小结：
1.基本不等式其应用条件； 2.不等式证明的三种常用方法； 3.利用基本不等式去证明其它不等式或求最值。
•2、对两个正数a,b， a b又叫做正数a与b的
___算__术__平___均_.数
2
ab •3、对两个正数a,b， 又叫做正数a与b的
___几__何__平___均_.数
b2 c2 2bc c2 a2 2ca 以上三式相加：2(a2 b2 c2 ) 2ab 2bc 2ca
当且仅当a=b=c时等号成立
∴ a2 b2 c2 ab bc ca
例3：1.已知a,b, c都是正数,
求证(a b)(b c)(c a) 8abc.
猜想：对任意两个正数a、b,
ab a b (a 0,b 0) 2
此不等式是可以证明的，而且证明方法有很多种。
证法1：a
2
b
ab
1 [( a )2 ( b)2 2 a b] 2
1 ( a b)2 0
2
当且仅当 a b 即 a b 时，取“ ”。
证法2：要证
ab a b 2
基本不等式
不等式的一些常用结论： 1、如果a b,则a - b 0,反之也成立; 如果a＜b,则a - b＜0,反之也成立; 如果a＝b,则a - b＝0,反之也成立; 2、a 2 0; | a | 0;
问题引入 ab
• 1、两个正数a，b的等差中项是__2___;
• 两个正数a，b的等比中项是___a_b_;
cos x
cos x
x 0 ，则 x 4 2 x 4 4
x
x
（4）若 x 0
2x 2x 2 2x 2x 2
其中正确的有 （3）,（4）
回顾小结：
1.基本不等式其应用条件； 2.不等式证明的三种常用方法； 3.利用基本不等式去证明其它不等式或求最值。
•2、对两个正数a,b， a b又叫做正数a与b的
___算__术__平___均_.数
2
ab •3、对两个正数a,b， 又叫做正数a与b的
___几__何__平___均_.数
证明不等式的基本方法公开课.ppt
x2 y2
③．已知 a2
b2
1，可设
x acos, y bsin
；
(0 r 1)； .
例 1 设实数 x, y 满足 x2 ( y 1)2 1，当 x y c 0时， c 的取值范围是（ ） A. [ 2 1, ) B. (, 2 1] C. [ 2 1, ) D. (, 2 1]
步骤是: “作差”→__变_形___→__判__断__差__的_符__号___． 变形(配方、通分、因式分解等)是手段，变形的目的
是判断差的符号． (2)比商法：若 B＞0，欲证__A_≥_B____，只需证AB≥1.
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
2．综合法与分析法
(1)综合法（由因导果）：利用已知条件和某些数学定义、公理、
3．反证法的证明步骤
第一步 作出与所证不等式__相__反__的__假__设____；
第二步 从条件和假设出发，应用正确的推理方法，
推出__矛__盾__结__论___，否定__假__设___，从而证明原不等式成立．
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
4．放缩法
(1) 证 明 不 等 式 时 ， 通 过 把 不 等 式 中 的 某 些 部 分 的 值 __放__大___ 或
③绝对值三角不等式
|| x1 | | x2 ||| x1 x2 || x1 | | x2 |
④伯努利不等式（P51 例题3）
(1 x)n 1 nx
(2) 数学归纳法：与正整数n有关的不等式，可以使用数学归纳 法，有时候可能要把原不等式加强之后才能用数学归纳法。
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
练习提示：
1.选修 4-5 课本 P22 例题 3 （注意做商后的轮换对称） 2.选修 4-5 课本 P26 习题 4
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
苏教版 高中数学必修第一册 基本不等式的证明 课件1
一正： a，b是正数．
二定：①和a＋b一定时，由
2
a＋b
a＋b
ab≤ 2 变形得ab≤
，即积
2
2
a＋b
ab
___有最大值
；
2
5
a＋b
②积ab一定时，由 ab≤ 2 变形得a＋b≥2 ab，即和 a＋b 有
最小值2 ab．
三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．
9a
a 2 8a
所以a b a
(a 1)
a 1
a 1
令t a 1 0, 则a t 1
a 2 8a (t 1)2 8(t 1) t 2 10t 9 t 9 10 2 t 9 10 16
y
t
t
a 1
t
≥2
+2
16
+2
−2=6
• 规律与方法
a＋b
1.两个不等式 a ＋b ≥2ab 与 2 ≥ ab都是带有等号的不等式，对于“当
2
2
且仅当…时，
取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面：
当 a＝b 时，
a＋b
a＋b
2 ＝ ab；另一方面：当 2 ＝ ab时，也有 a＝b.
2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆
1 2
“和定积最大”
s
a=b
大
4
ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）.
一正二定三相等
例3、已知a 0, b 0,9a b ab 0, 求a b的最小值
二定：①和a＋b一定时，由
2
a＋b
a＋b
ab≤ 2 变形得ab≤
，即积
2
2
a＋b
ab
___有最大值
；
2
5
a＋b
②积ab一定时，由 ab≤ 2 变形得a＋b≥2 ab，即和 a＋b 有
最小值2 ab．
三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．
9a
a 2 8a
所以a b a
(a 1)
a 1
a 1
令t a 1 0, 则a t 1
a 2 8a (t 1)2 8(t 1) t 2 10t 9 t 9 10 2 t 9 10 16
y
t
t
a 1
t
≥2
+2
16
+2
−2=6
• 规律与方法
a＋b
1.两个不等式 a ＋b ≥2ab 与 2 ≥ ab都是带有等号的不等式，对于“当
2
2
且仅当…时，
取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面：
当 a＝b 时，
a＋b
a＋b
2 ＝ ab；另一方面：当 2 ＝ ab时，也有 a＝b.
2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆
1 2
“和定积最大”
s
a=b
大
4
ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）.
一正二定三相等
例3、已知a 0, b 0,9a b ab 0, 求a b的最小值
5.3 证明不等式的基本方法 课件(人教A版选修4-5)
= (a b)(lg a lg b) ∵ a b 与 lg a lg b 同号，∴ (a b)(lg a lg b) >0
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) 0 a lg a b lg b b lg a a lg b,
2．非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1
证明： x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 x2 ≤1, 1 x1 ≥ 0,1 x2 ≥ 0,1 x1 x2 ≥ 0 要证 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1，
只要证 a 2 ab b2 ab ,只要证 a 2 2ab b2 0 . ∵ a b 0 ,∴ (a b)2 0 即 a 2 2ab b2 0 得证.
注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不 明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这 样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! （如课本第 24 页例 3）
∵ a , b 是正数，且 a b ,∴ a b 0 , (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a 3 b3 a 2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外， 有时还可作商比较(如课本 第 22 页例 3).
am a . 求证: bm b 4.(课本第 24 页例 2)已知 a1 , a2 ,, an R ,且 a1a2 an 1 ,
求证: (1 a1 )(1 a2 )(1 an ) ≥ 2n 5.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)已知 a 1 , b 1 , 求证: 1 ab a b
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
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例 3. 已知 x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2， x, y, a,b, c, d 均为正数， 求证：xy≥ac + bd
证明: （综合法）∵ xy = a2 b2 c2 d2
a2c2 b2c2 a2d 2 b2d 2
≥ a2c2 2abcd b2d 2
(ac bd)2 ac bd
baba0,又 a,b,m都 是,正 数
m(ba)0,b(bm)0
m (b a ) 0即 a m a 0 a m a b (b m ) b mb b mb
(2)作商比较法
例 3已a知 ,b是 正 ,求数 a证 abbabba, 当且a仅 b时 当 ,等号. 成立
证:明 a ab ab ba baabbbaa bab
一、比较法 (1)作差比较法
例 1已 a , b 都 知 ,是 且 a b ,求 实 a 3 b 证 3 数 a 2 b a 2
证 : ( a 3 b 3 明 ) ( a 2 b a 2 ) b ( a 3 a 2 b ) ( a 2 b b 3 )
a 2 ( a b ) b 2 ( a b ) ( a 2 b 2 )a (b )
增加a到 m,将这个事实抽问 象题 为 ,并数 给学 出.证 bm
解:可以把上述事如 实下 抽不 象等 成式 : 问
已知 a,b,m都是正 ,并数 ab且,则ama bm b
解:可以把上述事如 实下 抽不 象等 成式 : 问
已知 a,b,m都是正 ,并数 ab且,则ama
下面给出证明
bm b
amam(ba) bm b b(bm)
A2. ab2 B.ab C.2ab D .2ab
5.设 Pa2b25,Q 2a ba24a,若 PQ ,则实 a,b
满足的 _ ab _ 1条 或 _a_ b 件 _ 2 _为 __
6.若0ab1,Plog1a2b,Q12(lo1galog1b),
2
2
2
Mlo g1(ab),则P,Q,M的 大 小 关 _Q>_系 P_>M_是 _ _ __ _
AB1B2BnB (已 知 )(逐 步 推 演 不 等 必式 要成 条 )(结 立 件论 的 )
例 1已a,知 b,c0,且 不,全 相 等
求a(证 b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc
证 : b 明 2 c 2 2 b ,a c 0 , a ( b 2 c 2 ) 2 ab c 2 a 2 2 a,b c 0 , b (c 2 a 2 ) 2 abc a 2 b 2 2 a,c b 0 , c (a 2 b 2 ) 2 abc
一、比较法：
⑴作差比较，要点是：作差——变形——判断。
这种比较法是普遍适用的，是无条件的。
根据 a－b>0 a>b，欲证 a>b 只需证 a－b>0；
⑵作商比较，要点是：作商——变形——判断。
这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式” 的符号一定。
当 b>0 时，a>b a >1。
b
比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法。
(ab)(ab)2
a ,b 0 , a b 0 又 ab (ab)20
故 ( a b ) a ( b ) 2 0 即 ( a 3 b 3 ) ( a 2 b a 2 ) b 0
a3b3a2ba2b
例2 如果a用 k白 g 糖制 bk出 糖 g 溶,则 液其浓度 a, 为 b
若在上述溶液m 中k白 再 g 糖 添 ,此加 时溶液的浓
A.a b
B. ac bd
C. a2c b2d
D. c d
2.若q0,且q1,m,nN,则1qmn与qmqn
的大小关( A系) 是
A.1qmnqmqn B.1qmnqmqn
C.1qmnqmqn D.不能确定
3.在等比 an和 数等 列差 bn中 数 ,a1 列 b10,
a3b30,a1a3,则 a5与 b5的大小(A关 ) 系 A5 .a b5 B5 .a b5 Ca5 ,b5 D不 . 能确 4.设 0ab1,则 ab,2a,b a2b2,2a中 b 最 大 (B )的
根 据 要 证 的 不点 等 (交式 换 a,的 b的特 位,不 置等 式)不
不 妨a设 b0,则a1,ab0,aab 1
b
b
当且仅 a当 b时,等号成 . 立
aabbabba,当且a 仅 b时 ,等 当号. 成立
补充练习:
1.已知 a,b,c,d都是正,且 数bcad,
则a, b
badc,ba22#43;， 1求证： a2 b2 2(ab)
2
二、综合法与分析法
(1)综合法
在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性 质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明 的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种 证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.
用综合法证明不等式的逻辑关系
由 于 a,b,c不 全 相 ,所等 以 上 述 三 个少式有子一中个 取 等,把 号它 们 相 加 得
a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc
例 2已 a 1 ,知 a 2 , ,a n R ,且 a 1 a 2 a n 1 求 (1 证 a 1 )1 ( a 2 ) (1 a n ) 2 n
证明: a1 R ,1 a1 2 a1 , 同理1 a2 2 a2 ,,1 an 2 an a1,a2,,an R ,由不等式的性质,得 (1 a1)(1 a2)(1 an) 2n a1a2an 2n. ai 1时,1 ai 2 ai 取等号, 所以原式在a1 a2 an 1时取等号.
∴得证.
法二:（三角代换法）∵x2 = a2 + b2，∴不妨设 a = xsin,b = xcos
∵y2 = c2 + d2
∴不妨设 c = ysin,
d = ycos新疆 王新敞
奎屯
∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos( )≤xy
另外本题还可用向量知识证明. 运用 m n ≥ m n