基本不等式复习课件
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2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理
第二十七页，共61页。
2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
第二十八页，共61页。
解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
第三十页，共61页。
解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
第四十页，共61页。
方法技巧 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小， 有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数 的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
第三十六页，共61页。
解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，
不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
常用变形 ab≤(a＋4b)2≤a2＋2 b2
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式ppt课件
a b
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
基本不等式(共43张)ppt课件
解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进 行合并，并把未知数移到 不等式的一边，常数移到 另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的 同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等 号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不 等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根 号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式 转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化 后的不等式，得到原无理不等式的 解集。
综合应用举例
例1
基本不等式课件——2025届高三数学一轮复习
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是(
A．y＝x(4－x)
1
C．y＝ +
B．y＝
1
(0＜x＜1)
1−
)
2 +9
2 +5
D．y＝ +
4
(2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小
是(
)
2 +2
B．ab≤
2
2 + 2
+ 2
C．
≥
2
2
A．
+ ≥2
BC
[当 <0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．]
D．
2
≤
+
4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长18
15
15
m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
2
1
2
1
于是得
+
＝1＋ ＋2＋ ＝3＋
−1
−1
−1
−1
−1
＝3＋2
1
2
2，当且仅当 ＝ ，
−1 −1
2
2
即x＝1＋ ，y＝1＋ 2时取“＝”，
2
+
的最小值为3＋2
−1
−1
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例2:
练 习 ： ① 求 证 ：当
问题 ：当 ②求 证：当
“一正二定三等”
x 0时， x
？
16
x
的 最 小 值 是 8；
x 为何值时，取到最小值？ x 0．时 ， 16 x x
的 最 大 值 是 － 8。
1 ③已知 0 x ， 求 y x (1 - 2 x) 的 最 大 值 。 2
a b ab 2
(a 0, b 0)
学习目标
•会用基本不等式证明一些简单不等式; •会用基本不等式解决简单的最值问题. (重点)
D
一、基本不等式回顾
A a
ab
Cb B
D
(当且仅当 a＝b 时取“=”号) (均值不等式)
如果a、b R,那么a2 + b2 2ab (当且 仅当a＝b时取“=”号)
问 题 ：怎 样 构 造 和 为 定 值 ？
例3:
1 已知x＞1，求 x＋ 的最小值以及取得最小值时x的值。 x -1
解：∵x＞1 ∴x－1＞0
构造积为定值
1 ∴x＋ x -1
1 ＝（x－1）＋ ＋1 ( x - 1)
≥2
1 当且仅当x－1＝ x - 1 时取“＝”号。于是x＝2或者x＝0（舍去
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
ab 2 ab ( ) £ »a b 2 2
¡ ±£ º Õ ý Ê ý £ ¬ Î ª ¶ ¨Ö µ £ ¬ ³ É Á ¢ ¡ £
ab
和定积最大, 积定和最小
公式的拓展
a b 2ab(a, b R)
2 2
2(a b ) (a b)
2 2
2
(a b) 4ab
ab ab 如果a, b是正数, 那么 2
公式运用
Õ ý Ó Ã ¡ ¢ Ä æ Ó Ã ¡ ¢ ä ±Ð Î Ó Ã £ º
ab ab 2
¡ °Õ ý Õ ý £ º ¶ ¨£ º µ È £ º ¡ ¢ ¶ ¨¡ ¢ µ È ¼ ´ Ö ×Ä · Î ª ¼ ´ º Í » ò » ý ¡ °£ ½ ¡ ±º Å
2
例１、判断下列推理是否正确：
£ ¨2£ © È ô xy 2 , x 0 , y 0 £ ¬ Ô ò y 2x y x y µ Ä î ×Ð ¡ Ö µ Î ª 8¡ £
2 2
2 2 2 2 y 2 2 xy x y 4 x y 4 2xy 证: =8
2 2 y 2 x y x y ¡ à µ Ä î ×Ð ¡ Ö µ Î ª 8
问题：是否积或和为定值时， 就一定可以求最值？
练习
等号能否成立
)
下列函数中，最小值为4的是( C
4 (A) y x x 4 0 x (B) y sinx sinx (C)y 4e x e -x (D)y log 3 x log x 30 x 1
18 4.已知x,y为正数,且2x+8y＝xy，则x+y 的最小值是______.
课堂小结 1.公式的正用、逆用和变形用； 2.公式条件：正、定、等； 3.构造“和定”或“积定”求最值。 4.应用题:弄清题意,建立模型
2
2 1 1 a b
ab
ab a b 2 2
2
2
当且仅当a=b时“=”成立
(a, b R )
二、应用：证不等式
1.已知
a 0, b 0, c 0 且
abc 2
求证： (1 a)(1 b)(1 c) 8 2
．
三、应用：求最大（小）值
例１、判断下列推理是否正确：
2 2 £ ¨1£ © Ç ó y sin x µ Ä î ×Ð ¡ Ö µ ¡ £ 2 sin x
¡ ß sin x 0 £ ¬ ¡ à sin x 0 £ ¬
2 2
．
？
2 2 2 y sin x 2 sin x 2 2 2 2 sin x sin x
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 ¡ à y sin x µ Ä î ×Ð ¡ Ö µ Ê Ç 2¡ £2 2 sin x
1 ( x - 1) ＋1＝3 ( x - 1)
练习
5 1.已知x> ,则函数y= 4 5 2.已知x< ,则函数y= 4
构造积为定值
1 5 的最小值是______. 4 x - 2 4x -5 1 1 的最大值是______. 4 x - 2 4x -5
5 2 2 3.已知lgx+lgy＝1， 的最小值是______. x y