高三2016学年第一学期期中考试文科数学(含答案)
辽宁省锦州中学2016届高三上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2015—2016学年辽宁省锦州中学高三(上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题,每题5分,共60分,四个选项中只有一个正确)1．已知U={1,2,3，4,5，6｝，M=｛1，3，4,5}，N=｛2,4，5，6｝，则(）A．M∩N={4,6} B．M∪N=U C．（∁U N）∪M=U D．(∁U M)∩N=N2．设z=1﹣i,则+z2=(）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣l+i D．l+i3．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若,则角C的值为（)A．B．C．或 D．或4．已知方程x2+（m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m的取值范围是(）A．m≤﹣2 B．m≤﹣4 C．m＞﹣5 D．﹣5＜m≤﹣45．在框图中，设x=2，并在输入框中输入n=4；a i=i（i=0，1，2，3，4)．则此程序执行后输出的S值为（）A．26 B．49 C．52 D．986．给出下列四个命题:（1）若α＞β且α、β都是第一象限角，则tanα＞tanβ;（2)“对任意x∈R，都有x2≥0"的否定为“存在x0∈R，使得＜0"；（3）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则（¬p）∨q为真命题;（4）函数是偶函数．其中真命题的个数是(）A．1 B．2 C．3 D．47．函数y=3｜log3x|的图象是（）A．B．C．D．8．设a=ln3，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c9．△ABC的三边长度分别是2，3，x，由所有满足该条件的x构成集合M，现从集合M中任取一x值，所得△ABC恰好是钝角三角形的概率为(）A． B．C．D．10．一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m,若水面下降1m时，则水面宽为（）A．m B．2m C．4。
5m D．9m11．椭圆（m＞1)与双曲线(n＞0）有公共焦点F1，F2．P是两曲线的交点，则=（）A．4 B．2 C．1 D．12．点P是曲线y=x2﹣ln x上任意一点，则点P到直线y=x+2的最小距离为（）A．B．C．2D．2二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．从编号为001，002，…，800的800个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中最小的两个编号分别为008，033,则样本中最大的编号应该是．14．已知某几何体的三视图如图所示，（图中每一格为1个长度单位）则该几何体的全面积为．15．已知△ABC，点A（2,8）、B（﹣4，0）、C(4，﹣6），则∠ABC的平分线所在直线方程为．16．已知双曲线C：，A、B是双曲线上关于原点对称的两点，M是双曲线上异于A、B的一点，直线MA、MB的斜率分别记为k1，k2，且k1∈[﹣3，﹣1]，则k2的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知x2+y2=9的内接三角形ABC中,A点的坐标是(﹣3，0）,重心G的坐标是,求：（Ⅰ）直线BC的方程；（Ⅱ)弦BC的长度．18．已知数列｛a n}的首项，，n=1，2,3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ)数列的前n项和S n．19．已知A,B，C为锐角△ABC的三个内角，向量=（2﹣2sinA，cosA+sinA），=（1+sinA，cosA﹣sinA），且⊥．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求y=2sin2B+cos（﹣2B）取最大值时角B的大小．20．甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：（I）至少有一人面试合格的概率；（Ⅱ）没有人签约的概率．21．已知函数(Ⅰ）若f(x)在（﹣1，+∞）上是增函数,求k的取值范围；(Ⅱ）当x＞0时，f（x）＜ln（x+1)恒成立,求整数k的最大值．22．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且=．（1)求椭圆C的离心率；（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:x+y+3=0相切,求椭圆C的方程．2015—2016学年辽宁省锦州中学高三（上）期中数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题,每题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）1．已知U={1，2，3，4,5，6｝，M=｛1，3，4，5｝，N=｛2,4，5，6｝，则（）A．M∩N=｛4,6} B．M∪N=U C．（∁U N）∪M=U D．(∁U M）∩N=N【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解:由补集的定义可得∁U M={2，6｝，则（∁U M）∪M=｛1,2,3,4，5，6}=U，故选:C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．设z=1﹣i，则+z2=（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣l+i D．l+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把z=1﹣i代入+z2,然后利用复数代数形式的乘除运算化简．【解答】解:∵z=1﹣i，∴+z2===1+i﹣2i=1﹣i．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础的运算题．3．在△ABC中，角A，B,C的对应边分别为a,b,c，若，则角C的值为（）A．B．C．或 D．或【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosC,将已知等式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．【解答】解:∵△ABC中,a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，则C=，故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．4．已知方程x2+（m+2)x+m+5=0有两个正根，则实数m的取值范围是（）A．m≤﹣2 B．m≤﹣4 C．m＞﹣5 D．﹣5＜m≤﹣4【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由方程x2+（m+2)x+m+5=0有两个正根,根据实数的性质，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得，x1+x2＞0,x1•x2＞0，进而构造出m的不等式组，解不等式组，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：若方程x2+(m+2）x+m+5=0有两个正根x1，x2，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得:x1+x2=﹣（m+2）＞0，x1•x2=m+5＞0解得:﹣5＜m＜﹣2,又由△＞0得，m＜﹣4，或m＞4，故：﹣5＜m＜﹣4故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，其中由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）结合已知，构造出关于m的不等式组，是解答本题的关键．5．在框图中，设x=2，并在输入框中输入n=4；a i=i（i=0，1，2，3，4）．则此程序执行后输出的S值为(）A．26 B．49 C．52 D．98【考点】程序框图．【专题】计算题;图表型;数学模型法；算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值,当k=0时不满足条件k＞0,退出循环，输出S的值为98．【解答】解：模拟执行程序框图，可得第1次执行循环体，k=3，S=3+4×2=11，满足条件k＞0，第2次执行循环体,k=2，S=2+11×2=24，满足条件k＞0，第3次执行循环体，k=1，S=1+24×2=49,满足条件k＞0,第4次执行循环体，k=0，S=0+49×2=98,不满足条件k＞0，退出循环，输出S的值为98．故选：D．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．6．给出下列四个命题：（1）若α＞β且α、β都是第一象限角，则tanα＞tanβ;（2）“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得＜0”；（3）已知命题p:所有有理数都是实数,命题q：正数的对数都是负数，则（¬p）∨q为真命题；（4)函数是偶函数．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想;综合法；简易逻辑．【分析】对4个命题分别进行判断,即可得出结论．【解答】解:（1）若α＞β且α、β都是第一象限角，比如α=,β=,则tanα=tanβ，故(1)错;(2)这是含有一个量词的命题的否定，否定的规则是改变量词再否定结论，正确;（3）已知命题p:所有有理数都是实数，是真命题,q：正数的对数都是负数，为假命题，则(¬p）∨q为假命题,不正确；（4）函数是奇函数，不正确．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断,考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．7．函数y=3｜log3x|的图象是（)A．B．C．D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】作图题；转化思想．【分析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的．【解答】解:y=3|log3x｜=，即y=由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线y=x的一部分，考察四个选项，只有A选项符合题意，故选A．【点评】本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点,而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的．8．设a=ln3，，,则a，b,c的大小关系为(）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．【解答】解：∵a=ln3＞lne=1，0＜＜=1，＜ln1=0,∴c＜b＜a．故选:C．【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的性质的合理运用．9．△ABC的三边长度分别是2，3，x，由所有满足该条件的x构成集合M,现从集合M中任取一x值，所得△ABC恰好是钝角三角形的概率为（)A． B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；转化思想;综合法;概率与统计．【分析】根据△ABC的三边长度分别是2,3，x，，1＜x＜5，区间长度为4，△ABC 恰好是钝角三角形,x的取值范围是(1,）∪（，5）,区间长度为（4﹣+），即可求出概率．【解答】解:由题意,△ABC的三边长度分别是2，3,x，，∴1＜x＜5，区间长度为4，△ABC恰好是钝角三角形，∴x的取值范围是（1,）∪（,5），区间长度为（4﹣+），∴从集合M中任取一x值，所得△ABC恰好是钝角三角形的概率为．故选：A．【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值,会求一元二次不等式组的解集，是一道综合题．学生在做题时应注意钝角三角形这个条件．10．一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时,水面宽4m，若水面下降1m时，则水面宽为（）A．m B．2m C．4.5m D．9m【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】建立适当的直角坐标系,设抛物线方程为x2=﹣2Py(P＞0）,由题意知抛物线过点（2，﹣2），进而求得p，得到抛物线的标准方程．进而可知当y0=﹣3时x02的值,最后根据水面宽为2｜x0|求得答案．【解答】解：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2Py（P＞0)，由题意知，抛物线过点（2,﹣2），∴4=2p×2．∴p=1．∴x2=﹣2y．当y0=﹣3时，得x02=6．∴水面宽为2|x0｜=2．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．11．椭圆(m＞1）与双曲线（n＞0）有公共焦点F1，F2．P是两曲线的交点，则=（）A．4 B．2 C．1 D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长2m,双曲线的实轴长为2n，由它们有相同的焦点，得到m2﹣n2=2，根据双曲线和椭圆的定义可得｜PF1|+|PF2｜=2m，|PF1|﹣|PF2｜=2n,△PF1F2 中,由三边的关系得出其为直角三角形，由△PF1F2的面积公式即可运算得到结果．【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长2m，双曲线的实轴长为2n，由它们有相同的焦点，得到m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2．不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2n，①由椭圆的定义|PF1｜+｜PF2｜=2m，②①2+②2得｜PF1|2+|PF2｜2=2n2+2m2,∴｜PF1｜•|PF2｜=m2﹣n2=2,∴cos∠F1PF2|==0，∴△F1PF2的形状是直角三角形△PF1F2的面积为•PF1•PF2=×2=1．故选C．【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．12．点P是曲线y=x2﹣ln x上任意一点，则点P到直线y=x+2的最小距离为（) A．B．C．2D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;两条平行直线间的距离．【专题】计算题;导数的概念及应用．【分析】求出平行于直线y=x+2且与曲线y=x2﹣lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．【解答】解：设P（x，y），则y′=2x﹣（x＞0）令2x﹣=1,则(x﹣1）（2x+1）=0，∵x＞0，∴x=1∴y=1，即平行于直线y=x+2且与曲线y=x2﹣lnx相切的切点坐标为(1,1)由点到直线的距离公式可得d==．故选：B．【点评】本题考查导数知识的运用,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．从编号为001，002，…,800的800个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中最小的两个编号分别为008，033,则样本中最大的编号应该是783．【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵样本中编号最小的两个编号分别为008，033，∴样本数据组距为33﹣8=25,则样本容量为=32，则对应的号码数x=8+25（n﹣1），当n=32时,x取得最大值为x=8+25×31=783,故答案为:783．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．14．已知某几何体的三视图如图所示,（图中每一格为1个长度单位）则该几何体的全面积为4+4．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合;数形结合法；立体几何．【分析】由三视图知该几何体是高为2的正四棱锥，结合图中数据求出它的全面积．【解答】解:由三视图可知，该几何体是高为2的正四棱锥，且正四棱锥的底面边长为2；所以四棱锥侧面三角形的高为=，侧面三角形的面积为×2×=；又底面面积为22=4，所以该几何体的全面积为S=4+4×=4+4．故答案为：．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了几何体表面积的计算问题，是基础题目．15．已知△ABC,点A（2，8)、B（﹣4，0)、C（4，﹣6），则∠ABC的平分线所在直线方程为x﹣7y+4=0．【考点】待定系数法求直线方程．【专题】方程思想;综合法；直线与圆．【分析】先求出三角形ABC是等腰直角三角形，作出∠ABC的角平分线BD，求出D点坐标，BD的斜率，再用点斜式求得所在直线方程即可．【解答】解：如图示：，∵k AB=，k BC=﹣，∴AB⊥BC，∵｜AB｜==10，｜BC|==10，∴|AB|=|BC｜，∴△ABC是等腰直角三角形，作出∠ABC的角平分线BD，∴直线BD是线段AC的垂直平分线，D是AC的中点，∴D（3，1)，由k AC=﹣7得：k BD=,∴直线BD的方程是：y=1=（x﹣3），整理得：x﹣7y+4=0，故答案为:x﹣7y+4=0．【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，体现了数形结合以及转化的数学思想,属于基础题．16．已知双曲线C:，A、B是双曲线上关于原点对称的两点，M是双曲线上异于A、B的一点,直线MA、MB的斜率分别记为k1，k2，且k1∈[﹣3，﹣1］,则k2的取值范围是［﹣3，﹣1]．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出点A，点M,点B的坐标,求出斜率，将点A，B的坐标代入方程，两式相减，再结合k1∈[﹣3,﹣1］，即可求得结论．【解答】解：由题意，设A（x1，y1），M（x2,y2)，则B（﹣x1,﹣y1)∴k1•k2=•=,∵﹣=1，﹣=1，∴两式相减可得=3∵k1∈[﹣3，﹣1］，∴k2∈[﹣3，﹣1]．故答案为：［﹣3，﹣1］．【点评】本题考查双曲线的方程,考查双曲线的几何性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用,属于中档题．三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知x2+y2=9的内接三角形ABC中,A点的坐标是（﹣3,0），重心G的坐标是,求：(Ⅰ）直线BC的方程；（Ⅱ）弦BC的长度．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法;直线与圆．【分析】（Ⅰ）要求三角形顶点的坐标，可先将它们的坐标设出来,根据重心的性质，我们不难求出BC边上中点D的坐标，及BC所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案．（Ⅱ）求出圆心到BC所在直线的距离，即可求出弦BC的长度．【解答】解:（I）设B(x1,y1)，C(x2，y2)，则由已知得；y1+y2=﹣3所以BC中点坐标为,故所以BC所在直线方程为：，即4x﹣8y﹣15=0﹣﹣﹣﹣﹣(II）由（I）得圆心到BC所在直线的距离为所以弦BC的长度为．﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查三角形重心的性质，中点坐标公式，直线的点斜式方程．属于中档题．18．已知数列｛a n｝的首项，，n=1,2,3,…．(Ⅰ)证明：数列是等比数列；(Ⅱ)数列的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ)由，两边取倒数可得:，变形为，即可证明;另解：设,则，可得，即可证明．（Ⅱ）由(Ⅰ）知：，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，两边取倒数可得：，∴，又，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．另解:设,则，所以，得2b n+1=b n，而，所以命题得证．(Ⅱ）由（Ⅰ）知，即,∴．∴．【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、“取倒数法”,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知A,B，C为锐角△ABC的三个内角，向量=（2﹣2sinA,cosA+sinA），=（1+sinA，cosA﹣sinA），且⊥．（Ⅰ）求A的大小;(Ⅱ)求y=2sin2B+cos(﹣2B)取最大值时角B的大小．【考点】三角函数的化简求值；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】(Ⅰ)根据两向量的垂直,利用两向量的坐标求得（2﹣2sinA）（1+sinA）+(cosA+sinA)（cosA﹣sinA)=0，利用同角三角函数的基本关系整理求得cosA的值,进而求得A．（Ⅱ）根据A的值，求得B的范围，然后利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理后．利用B的范围和正弦函数的单调性求得函数的最大值，及此时B的值．【解答】解：（Ⅰ)∵，∴（2﹣2sinA)（1+sinA)+（cosA+sinA)（cosA﹣sinA）=0⇒2(1﹣sin2A）=sin2A﹣cos2A⇒2cos2A=1﹣2cos2A⇒cos2A=．∵△ABC是锐角三角形，∴cosA=⇒A=．（Ⅱ）∵△ABC是锐角三角形，且A=,∴＜B＜∴=1﹣cos2B﹣cos2B+sin2B=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1当y取最大值时，2B﹣=，即B=．【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值，向量的基本性质．考查了学生对基础知识的掌握和基本的运算能力．20．甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约,乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：（I)至少有一人面试合格的概率；（Ⅱ）没有人签约的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件．【专题】计算题．【分析】（I）至少有一人面试合格的对立事件是三个人面试都不合格,根据每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响，做出三个人都不合格的概率，根据对立事件的概率得到结果．(II）没有人签约包括三种情况，甲不合格，且乙和丙恰有一个不合格；甲不合格且乙和丙都不合格，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件的概率和互斥事件的概率公式，得到结果．【解答】解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B，C相互独立，且P（A）=P（B）=P（C）=．(Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是．(II)没有人签约的概率为=．【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，题目中对于乙和丙的叙述比较难理解，“乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约．”，这里容易漏掉结果．21．已知函数（Ⅰ）若f（x)在(﹣1，+∞）上是增函数,求k的取值范围；（Ⅱ)当x＞0时,f（x）＜ln(x+1)恒成立，求整数k的最大值．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）若f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，转化为f′（x）≥0恒成立,即可求k的取值范围；（Ⅱ)构造函数,利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解:（I）因为在(﹣1，+∞）上恒成立，所以k≥﹣1．又当k=﹣1时，f（x）是常函数，所以k＞﹣1．…(II)设则(i）当k≤0时，g'（x）＜0，g(x)在（0,+∞)上是减函数,所以，g(x）＜g（0）=﹣1＜0，不等式f（x）＜ln（x+1）恒成立．…（ii）当k＞0时，x∈（0，k）时，g’（x）＞0，g（x）是增函数．x∈（k,+∞）时，g’（x）＜0,g(x）是减函数．所以，g（x）≤g(k）=k﹣1﹣ln（k+1)要使不等式f（x）＜ln（x+1）恒成立,只需k﹣1﹣ln（k+1）＜0恒成立．设h（x）=x﹣1﹣ln（x+1），（x＞0)则，所以，h（x）在（0，+∞）是增函数．又h(2）=1﹣ln3＜0，h（3）=2﹣ln4＞0所以，整数k的最大值为2．…【点评】本题主要考查函数单调性和导数的关系，以及不等式恒成立问题，构造函数转化为导数问题是解决本题的关键．22．设椭圆C：+=1(a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且=．（1）求椭圆C的离心率;（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+y+3=0相切,求椭圆C的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】(1）设出Q点坐标，由F，A的坐标表示出，根据得出=0看，进而求得x0，设P（x1,y1)根据求得x1和y1的表达式，把点P的坐标代入椭圆方程进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．（2）根据(1）中a和c的关系可知F和Q的坐标,△AQF的外接圆圆心和半径,进而根据求得a，进而根据a和b，c的关系求得b,则椭圆的方程可得．【解答】解：（1）设Q（x0，0），由F（﹣c，0）A（0，b）知∵，∴设P（x1，y1)，得因为点P在椭圆上，所以整理得2b2=3ac，即2（a2﹣c2）=3ac，2e2+3e﹣2=0，故椭圆的离心率e=．（2）由(1）知，于是F（﹣a，0）Q，△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a所以，解得a=2，∴c=1，b=,所求椭圆方程为【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的前提的是熟练掌握椭圆的基本性质．。
2016年河南省焦作市高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2015-2016学年河南省焦作市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于（）A．{0}B．{2}C．{0，1，2}D．∅2．（5分）已知复数z满足（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣13．（5分）过曲线y=x3+bx+c上一点A（1，2）的切线方程为y=x+1，则bc的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．44．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．对于命题P：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢P：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0 B．若两条不同直线a，b满足a⊥α，b⊥α，则a∥bC．“m=﹣1“是直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与l2：3x+my+3=0垂直的充要条件D．p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件5．（5分）在△ABC中，a=2，b=2，∠B=45°，则∠A=（）A．30°或120°B．60°C．60°或120°D．30°6．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．64 C．D．9．（5分）若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是（）A．B．﹣ C．﹣2 D．410．（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升 B．升C．升D．升11．（5分）已知圆C：x2+y2+6x+8y+21=0，抛物线y2=8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m+|PC|的最小值为（）A．5 B． C．﹣2 D．412．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）﹣f′（x）＜1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2015e x+1的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（0，+∞）B．（0，+∞）C．（2015，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2015，+∞）二、填空题（每小题5分，共6分）13．（5分）已知x，y取值如表：画散点图可知：y与x线性相关，且求得回归线方程为=+1，则m的值为（精确到0.1）14．（5分）设O为坐标原点，点满足不等式组的最小值是．15．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，AB=BC=CD=2，则球O的表面积是．16．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．三、解答题17．（12分）在数列{a n}中，前n项和为S n，且S n=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}前n项和为T n，求T n的取值范围．18．（12分）为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某校数学老师分别用两种不同的教学方式对入学时数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个班级进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学中至少有一名被抽中的概率：（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：参考公式：x2=．19．（12分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDE的体积；（Ⅲ）线段EF上是否存在一点M，使得BM⊥CE？若存在，确定M点的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C：x2+=1，过点M（0，1）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．（Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）设点N（0，），求||的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R且a≠0．）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分【选修4-1：平面几何选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年河南省焦作市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于（）A．{0}B．{2}C．{0，1，2}D．∅【解答】解：∵集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，∴A∩B={2}．故选：B．2．（5分）已知复数z满足（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣1【解答】解：由（1+i）=1﹣i，得，∴z=i，则复数z的虚部为1．故选：A．3．（5分）过曲线y=x3+bx+c上一点A（1，2）的切线方程为y=x+1，则bc的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．4【解答】解：求导可得y′=3x2+b，由题意可得，解得，则bc=﹣6．故选：A．4．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．对于命题P：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢P：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0 B．若两条不同直线a，b满足a⊥α，b⊥α，则a∥bC．“m=﹣1“是直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与l2：3x+my+3=0垂直的充要条件D．p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件【解答】解：A，由特称命题的否定是全称命题，故A正确；B，利用平面与平面垂直的性质，可知B正确；C，“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的充要条件为“m=﹣1或m=0”，故错误；D，∵p是q的必要不充分条件，∴由q可以推出p成立，而由p推不出q成立，∵原命题与逆否命题是等价命题，∴由￢p可以推出￢q成立，由￢q推不出￢p 成立．因此，￢p是￢q的充分不必要条件．正确故选：C．5．（5分）在△ABC中，a=2，b=2，∠B=45°，则∠A=（）A．30°或120°B．60°C．60°或120°D．30°【解答】解：由题意知，a=2，b=2，∠B=45°，由正弦定理得，，则sinA===，因为0＜A＜180°，且a＞b，所以A=60°或120°，故选：C．6．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选：B．7．（5分）已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=36，i=2，MOD（36，2）=0，j=1，i=3满足条件i＜n，MOD（36，3）=0，j=2，i=4满足条件i＜n，MOD（36，4）=0，j=3，i=5满足条件i＜n，MOD（36，5）=1，i=6…∵∈N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，∴共要循环7次，故j=7．故选：D．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．64 C．D．【解答】解：由三视图，该几何体是四个面都是直角三角形的三棱锥，V==．故选：A．9．（5分）若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是（）A．B．﹣ C．﹣2 D．4【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0，即（x+1）2+（y﹣2）2 =4，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，求得a+b=1，则=+=2++≥4，当且仅当a=b=时，取等号，故则的最小值为4，故选：D．10．（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升 B．升C．升D．升【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，把d=代入①得：a 1=，则a5=+（5﹣1）=．故选：B．11．（5分）已知圆C：x2+y2+6x+8y+21=0，抛物线y2=8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m+|PC|的最小值为（）A．5 B． C．﹣2 D．4【解答】解：圆C：x2+y2+6x+8y+21=0 即（x+3）2+（y+4）2=4，表示以C（﹣3，﹣4）为圆心，半径等于2的圆．抛物线y2=8x的准线为l：x=﹣2，焦点为F（2，0），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，C，F三点共线时，m+|PC|的最小值为：|CF|==，故选：B．12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）﹣f′（x）＜1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2015e x+1的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（0，+∞）B．（0，+∞）C．（2015，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2015，+∞）【解答】解：设g（x）=e﹣x f（x）﹣e﹣x，则g′（x）=﹣e﹣x f（x）+e﹣x f′（x）+e﹣x=﹣e﹣x[f（x）﹣f′（x）﹣1]，∵f（x）﹣f′（x）＜1，∴f（x）﹣f′（x）﹣1＜0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵f（x）＞2015•e x+1，∴g（x）＞2015，∵g（0）=e﹣0f（0）﹣e﹣0=f（0）﹣1=2016﹣1=2015，∴g（x）＞g（0）．∴x＞0，∴f（x）＞2015•e x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共6分）13．（5分）已知x，y取值如表：画散点图可知：y与x线性相关，且求得回归线方程为=+1，则m的值为 1.7（精确到0.1）【解答】解：将=3.2代入回归方程为=+1可得=4.2，则4m=6.7，解得m=1.675，即精确到0.1后m的值为1.7．故答案为：1.7．14．（5分）设O为坐标原点，点满足不等式组的最小值是．【解答】解：由题意作出其平面区域，=（x，y），=（，1），故令z=•=+y；可化为y=﹣+z，故过点E（1，1）时，z=•=+y有最小值+1=；故答案为：．15．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，AB=BC=CD=2，则球O的表面积是12π．【解答】解：将三棱锥补成正方体，棱长为2，其外接球的直径2就是三棱锥A﹣BCD的外接球的直径，∴三棱锥A﹣BCD的外接球的半径为，∴球O的表面积是4π×3=12π．故答案为：12π．16．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是﹣3＜m≤．【解答】解：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．由x3+mx=⇒x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1∉（﹣1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即⇒﹣3＜m≤．⇒＜m≤∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．故答案为：﹣3＜m≤．三、解答题17．（12分）在数列{a n}中，前n项和为S n，且S n=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}前n项和为T n，求T n的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，，经验证，a1=1满足上式．故数列{a n}的通项公式a n=n．（Ⅱ）可知，则，两式相减，得，∴．由于，则T n单调递增，故，又，故T n的取值范围是．18．（12分）为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某校数学老师分别用两种不同的教学方式对入学时数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个班级进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学中至少有一名被抽中的概率：（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：参考公式：x2=．【解答】解：（1）记成绩为87分的同学为A，B，其他不低于80分的同学为C、D、E，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（B，C）（B，D）（B，E）（C，D）（C，E）（D，E）共10个，…（2分）“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有：（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（B，C）（B，D）（B，E）一共7个，…（4分）所以所求事件的概率是P=．…（5分）（2）…（7分）Χ2==6.400＜6.635…（10分）因此，我们没有99%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．…（12分）19．（12分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDE的体积；（Ⅲ）线段EF上是否存在一点M，使得BM⊥CE？若存在，确定M点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（I）证明：如图所示，取AB的中点N，连接CN，则四边形ADCN是正方形，可得NA=NB=NC，∴AC⊥CB，∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，又BE∩BC=B，∴AC⊥平面BCE．=V三棱锥E﹣ACD===．（II）解：V三棱锥A﹣CDE（III）解：线段EF上存在一点M为线段EF的中点，使得BM⊥CE．连接MN，BM，EN，则四边形BEMN为正方形，∴BM⊥EN，∵CN⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴CN⊥平面ABEF，∴CN⊥BM，又CN∩EN=N，∴BM⊥平面CEN，∴BM⊥CE．20．（12分）已知椭圆C：x2+=1，过点M（0，1）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．（Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）设点N（0，），求||的最大值．【解答】（Ⅰ）解：设A（x1，y1），因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以，解得y1=﹣1，（1分）又因为点A（x1，y1）在椭圆C上，所以，即，解得，则点A的坐标为（）或（﹣），所以直线l的方程为，或．（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以，则，当直线AB的斜率不存在时，其方程为x=0，A（0，2），B（0，﹣2），此时；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+1，由题设可得A、B的坐标是方程组的解，消去y得（4+k2）x2+2kx﹣3=0，所以△=（2k）2+12（4+k2）＞0，，则，所以=，当k=0时，等号成立，即此时取得最大值1．综上，当直线AB的方程为x=0或y=1时，有最大值1．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R且a≠0．）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．【解答】解：（1）（x＞0），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）当a＜0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）（2）∵函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线倾斜角为45°，∴f′（2）==1，解得a=﹣2，所以f（x）=﹣2lnx+2x﹣3，则函数=，故g′（x）=3x2+（m+4）x﹣2因为g（x）在（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2，∴．由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，综上，，解得．故m的取值范围为：．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分【选修4-1：平面几何选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．【解答】（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．∴，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．（5分）（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．∴△CGF∽△CDE，∴=．又∵CG=1，CD=4，∴=4．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．【解答】解：（1）即ρ2﹣4（+），即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，∴x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin（α+）．由于﹣1≤sin（α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y 的最大值为6，最小值等于2．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f （x ）=|x +l |+|x ﹣2|，g （x ）=|x +1|﹣|x ﹣a |+a （a ∈R ）． （Ⅰ）解不等式f （x ）≤5；（Ⅱ）若不等式f （x ）≥g （x ）恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=|x +l |+|x ﹣2|表示数轴上的x 对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，3]．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥g （x ）恒成立，即|x ﹣2|+|x ﹣a |≥a 恒成立． 而|x ﹣2|+|x ﹣a |的最小值为|2﹣a |=|a ﹣2|，∴|a ﹣2|≥a ， ∴（2﹣a ）2≥a 2，解得a ≤1，故a 的范围（﹣∞，1]．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
2016年四川省眉山中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2015-2016学年四川省眉山中学高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数（a2﹣1）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．﹣12．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，M={x|x2﹣5x+p=0}，若∁U M={2，3}，则实数p的值（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．63．（5分）在等比数列{a n}中，a1=3，a6=6，则a16等于（）A．6 B．12 C．24 D．484．（5分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0”B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题D．命题“在△ABC中，若sinA＜，则A＜”的逆否命题为真命题5．（5分）等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7≠0，则b2b12=（）A．2 B．4 C．8 D．166．（5分）设点P是曲线上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）已知数列{a n}中，a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，则a2015=（）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．38．（5分）已知平面向量=（2cos2x，sin2x），=（cos2x，﹣2sin2x），f（x）=•要得到y=2cos（2x﹣）的图象，只需要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9．（5分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，2]C．（﹣4，4]D．（﹣4，2]10．（5分）函数y=ln的图象大致是（）A． B．C．D．11．（5分）设f1（x）=|x﹣1|，f2（x）=﹣x2+6x﹣5，函数g（x）是这样定义的：当f1（x）≥f2（x）时，g（x）=f1（x），当f1（x）＜f2（x）时，g（x）=f2（x），若方程g（x）=a有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．a＜4 B．0＜a＜4 C．0＜a＜3 D．3＜a＜412．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则f（1），2014，2015在大小关系为（）A．2015＜2014＜f（1）B．2015＜f（1）＜2014C．f（1）＜2015＜2014D．f（1）＜2014＜2015二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知sinα+cosα=，则sin2α=．14．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣2015，其前n项和为S n，若﹣=2，则S2015的值等于：．15．（5分）在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且，则=．16．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣2ax+b|（x∈R），给出下列四个命题：①f（x）必是偶函数；②当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于x=1对称；③若a2﹣b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数；④f（x）有最大值|a2﹣b|．其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若a=2，b=2，cosA=且c＜b．（1）求c的值；（2）求△ABC的面积及AB边上的高．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且对n∈N*都有S n=2a n+n﹣4（1）求证：数列{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n=，（n∈N*）求数列{b n}的前n项和为T n．20．（12分）设函数f（x）=+ax，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）当﹣4＜a＜0时，f（x）在区间[0，3]上的最大值为15，求f（x）在[0，3]上的最小值．21．（12分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n b n=n，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知f（x）=x﹣ae x（a∈R，e为自然对数的底）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）有两个不同零点x1，x2，求证：x1+x2＞2．2015-2016学年四川省眉山中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数（a2﹣1）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．﹣1【解答】解：复数（a2﹣1）+（a﹣1）i是纯虚数，可得a2﹣1=0，并且a﹣1≠0，解得a=﹣1．故选：D．2．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，M={x|x2﹣5x+p=0}，若∁U M={2，3}，则实数p的值（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6【解答】解：由U={1，2，3，4}，M={x|x2﹣5x+p=0}，若∁U M={2，3}，所以M={1，4}．由根与系数关系得：p=1×4=4．故选：C．3．（5分）在等比数列{a n}中，a1=3，a6=6，则a16等于（）A．6 B．12 C．24 D．48【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a1=3，a6=6，∴3q5=6，解得q=，∴a16==24．故选：C．4．（5分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0”B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题D．命题“在△ABC中，若sinA＜，则A＜”的逆否命题为真命题【解答】解：对于A，命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＞0”，故错误；对于B，命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若am2≤bm2，则a≤b”在m=0时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在△ABC中，若sinA＜，则A＜或A＞”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选：C．5．（5分）等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7≠0，则b2b12=（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：根据等差数列的性质得：a3+a11=2a7，由2a3﹣a72+2a11=0，得4a7﹣a72=0，解得a7=4，a7=0（舍去），∴b7=a7=4，则b2b12=．故选：D．6．（5分）设点P是曲线上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y′=3x2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又∵0≤α≤π，∴0≤α＜或．则角α的取值范围是[0，）∪[，π）．故选：C．7．（5分）已知数列{a n}中，a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，则a2015=（）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3【解答】解：∵a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，∴a3=3，a4=﹣3，a5=﹣6，a6=3，a7=6，…．∴a n=a n．+5则a2015=a5×403=a5=﹣6．故选：A．8．（5分）已知平面向量=（2cos2x，sin2x），=（cos2x，﹣2sin2x），f（x）=•要得到y=2cos（2x﹣）的图象，只需要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵=（2cos2x，sin2x），=（cos2x，﹣2sin2x），∵y=2cos（2x﹣）=2cos[2（x﹣）]，∴f（x）=•=2cos4x﹣2sin4x=2（cos2x﹣sin2x）=2cos2x，∴把y=f（x）的图象向右平行移动个单位，可得y=2cos[2（x﹣）]=2cos （2x﹣）的图象．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，2]C．（﹣4，4]D．（﹣4，2]【解答】解：若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则当x∈[2，+∞）时，x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故选：C．10．（5分）函数y=ln的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：∵函数y=ln，∴x+sinx≠0，x≠0，故函数的定义域为{x|x ≠0}．再根据y=f（x）的解析式可得f（﹣x）=ln（）=ln（）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D．当x∈（0，1）时，∵0＜sinx＜x＜1，∴0＜＜1，∴函数y=ln＜0，故排除C，只有A满足条件，故选：A．11．（5分）设f1（x）=|x﹣1|，f2（x）=﹣x2+6x﹣5，函数g（x）是这样定义的：当f1（x）≥f2（x）时，g（x）=f1（x），当f1（x）＜f2（x）时，g（x）=f2（x），若方程g（x）=a有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．a＜4 B．0＜a＜4 C．0＜a＜3 D．3＜a＜4【解答】解：f1（x）=|x﹣1|，f2（x）=﹣x2+6x﹣5的图象如图，函数g（x）的图象为两函数中位置在上的部分，即由得A（4，3），f2（x）=﹣x2+6x﹣5的顶点坐标为B（3，4）要使方程g（x）=a有四个不同的实数解，即函数g（x）的图象与函数y=a的图象有四个不同交点数形结合可得3＜a＜4故选：D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则f（1），2014，2015在大小关系为（）A．2015＜2014＜f（1）B．2015＜f（1）＜2014C．f（1）＜2015＜2014D．f（1）＜2014＜2015【解答】解：已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），则：设函数g（x）=x2f（x）则：g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=g′（x）=x（2f（x）+xf′（x））当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则：函数g′（x）＞0所以函数在x＜0时，函数g（x）为单调递增函数．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，则：函数g（x）=x2f（x）为奇函数．所以：在x＞0时，函数g（x）为单调递增函数．所以：g（）即：故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知sinα+cosα=，则sin2α=﹣．【解答】解：把已知等式两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣，则sin2α=2sinαcosα=﹣，故答案为：﹣14．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣2015，其前n项和为S n，若﹣=2，则S2015的值等于：﹣2015．【解答】解：设等差数列前n项和为S n=An2+Bn，则=An+B，∴{}成等差数列．∵=﹣2015，∴{}是以﹣2015为首项，以1为公差的等差数列．∴=﹣1，∴S2015=﹣2015．故答案为：﹣2015．15．（5分）在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且，则=．【解答】解：∵a+c=3，∴a2+c2+2ac=9…①∵a、b、c成等比数列：∴b2=ac…②又cosB=，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB可得b2=a2+c2﹣ac…③解①代入③得b2=9﹣2ac﹣ac，又b2=ac，∴ac=2，=accos（π﹣B）=﹣accosB=﹣．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣2ax+b|（x∈R），给出下列四个命题：①f（x）必是偶函数；②当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于x=1对称；③若a2﹣b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数；④f（x）有最大值|a2﹣b|．其中所有真命题的序号是③．【解答】解：当a≠0时，f（x）不具有奇偶性，①错误；令a=0，b=﹣2，则f（x）=|x2﹣2|，此时f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x2﹣2|的对称轴为y轴而不关于x=1对称，②错误；又∵f（x）=|x2﹣2ax+b|=|（x﹣a）2+b﹣a2|，图象的对称轴为x=a．根据题意a2﹣b≤0，即f（x）的最小值b﹣a2≥0，f（x）=（x﹣a）2+（b﹣a2），显然f（x）在[a，+∞）上是增函数，故③正确；又f（x）无最大值，故④不正确．答案：③．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos=，即sinx﹣cosx=，则sin（x﹣）=，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣=即x=+=．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若a=2，b=2，cosA=且c＜b．（1）求c的值；（2）求△ABC的面积及AB边上的高．【解答】解：（1）由题意和余弦定理可得22=（2）2+c2﹣2•2c•，解得c=2或c=4，由c＜b可得c=2；（2）△ABC的面积S=bcsinA==，设AB边上的高为h，由等面积可得×2h=，解得h=．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且对n∈N*都有S n=2a n+n﹣4（1）求证：数列{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n=，（n∈N*）求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】（1）证明：∵对n∈N*都有S n=2a n+n﹣4，∴当n=1时，a1=2a1﹣3，解得a1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n+n﹣4﹣[2a n﹣1+（n﹣1）﹣4]=2a n﹣2a n﹣1+1，化为a n=2a n﹣1﹣1，变形为a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），∴数列{a n﹣1}是等比数列，首项为2，公比为2，（2）解：由（1）可知：a n﹣1=2n，即a n=2n+1．∴b n===，（n∈N*）∴数列{b n}的前n项和为T n=+…+=1﹣=．．20．（12分）设函数f（x）=+ax，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）当﹣4＜a＜0时，f（x）在区间[0，3]上的最大值为15，求f（x）在[0，3]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=+ax，a∈R．可得f′（x）=x2+2x+a．由条件f（x）在区间上存在单调递减区间，知导函数f′（x）=x2+2x+a 在上存在函数值小于零的区间，只需，解得，故a的取值范围为．…（5分）（Ⅱ）f′（x）=x2+2x+a的图象开口向上，且对称轴x=﹣1，f′（0）=a＜0，f′（3）=9+6+a=15+a＞0，所以必存在一点x0∈（0，3），使得f′（x0）=0，此时函数f（x）在[0，x0]上单调递减，在[x0，3]单调递增，又由于f（0）=0，f（3）=9+9+a=18+3a＞0=f（0）所以f（3）=18+3a=15，即a=﹣1，此时，由，所以函数．…（12分）21．（12分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n b n=n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，∴2（S3+a3）=S2+a2+S1+a1，∴=3a1+2a1q，化为4q2=1，公比q＞0，∴q=．∴a n=．（2）∵a n b n=n，∴b n=n•2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n=1+2×2+3×22+…+n•2n﹣1，2T n=2+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，∴T n=（n﹣1）•2n+1．22．（12分）已知f（x）=x﹣ae x（a∈R，e为自然对数的底）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）有两个不同零点x1，x2，求证：x1+x2＞2．【解答】解：（1）当a≤0时，易知f（x）=x﹣ae x在R上是增函数，当a＞0，f′（x）=1﹣ae x，故当x≤﹣lna时，f′（x）＞0，当x＞﹣lna时，f′（x）＜0；故函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上是增函数，在（﹣lna，+∞）上是减函数；（2）f（x）≤e2x对x∈R恒成立可化为x﹣ae x≤e2x对x∈R恒成立，故a≥对x∈R恒成立，令F（x）=，则F′（x）=；则当x＜0时，F′（x）＞0，x＞0时，F′（x）＜0；故F（x）=在x=0处有最大值F（0）=﹣1；故a≥﹣1；（3）证明：∵函数f（x）有两个不同零点x1，x2，结合（1）可知，﹣lna﹣ae﹣lna＞0，解得，0＜a＜；则x1=ae x1，x2=ae x2；则a=的两个不同根为x1，x2，令g（x）=，则g′（x）=，知g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤0，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意a1，a2∈（0，），设a1＞a2，若g（m1）=g（m2）=a1，g（n1）=g（n2）=a2，其中0＜m1＜1＜m2，0＜n1＜1＜n2，∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵g（m1）＞g（n1），g（m2）＞g（n2）；∴m1＞n1，m2＜n2；∴＜；故随着a的减小而增大，令=t，x1=ae x1，x2=ae x2，可化为x2﹣x1=lnt；t＞1；则x1=，x2=；则x 2+x 1=， 令h （t ）=，则可证明h （t ）在（1，+∞）上单调递增； 故x 2+x 1随着t 的增大而增大，即 x 2+x 1随着的增大而增大，故x 2+x 1随着a 的减小而增大， 而当a=时，x 2+x 1=2； 故x 2+x 1＞2．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m n n n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数1(0)x a x >>1(0)x a x <>xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。
2015-2016学年上学期高三期中考试数学(文科)试卷及答案
2015-2016学年上学期高三期中考试数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第 Ⅰ 卷 （选择题，共60分）注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题纸上.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数()()2lg 6f x x x =-- 的定义域为 （ ）A ．(),2-∞-B ．()3,+∞C ．()(),23,-∞-+∞D ．()2,3-2．已知a =（3，0），b =（-5，5）则a 与b 的夹角为 （ ）A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π3. 已知集合21|log ,,2A y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭1|,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （ ）A ．1|02y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|01y y <<C ．1|12y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1|12y y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭4. “1x =”是“210x -=”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()22xf x x b =++，则()1f -= （ ）A ．3B ．1C ．1-D ．3-6．在ABC ∆中，若sin()12cos()sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 7.已知函数()sin 2f x x =，为了得到()cos2g x x =的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A. 向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度8.已知()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其零点所在区域为： （ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()2,39.下列函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是 ( )A ．1y x x =+B ．sin cos y x x x =+C ．1xx y e e =- D ．1ln 1x y x-=+ 10. 函数y=|tan x |·cosx (0≤x ＜23π，且x ≠2π)的图象是 （ ）11．若曲线C 满足下列两个条件：(i)存在直线m 在点P(0x ，0y )处与曲线C 相切；(ii)曲线C 在点P 附近位于直线m 的两侧．则称点P 为曲线C 的“相似拐点”. 下列命题不正确．．．的是： （ ） A.点P(0，0)为曲线C ：3y x =的“相似拐点”； B.点P(0，0) 为曲线C ：sin y x =的“相似拐点”； C.点P(0，0) 为曲线C ：tan y x =的“相似拐点”； D.点P(1，0) 为曲线C ：y lnx =的“相似拐点”.12. 若1201x x <<<，则 （ ）A.21sin sin x x -21ln ln x x >-B.2112ln ln x xe x e x <C.1212xxx x e e -<-D.1221xx x e x e <第II 卷二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 若()2sin 12sin f x x =-,则f ⎝⎭的值是 ． 14.已知1tan ,22πααπ=-<<，则sin α= ． 15.已知函数()ln 1f x x ax =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有零点，则a 的取值范围为 ．16.已知函数()()33(1)log (1)a a x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围为 ．三：解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出过程或演算步骤.） 17. (本小题满分10分)已知p ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”；q ：命题“∀x ∈[1,2]，x 2－m ≤0”，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()3,7.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求()()()()4334f f f f -+-+++ 的值．19．(本小题满分12分)ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin a c Bb c A C-=-+ （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为S ,求S AB AC⋅的值．20．(本小题满分12分)已知函数2()cos()2cos 336f x x x πππ=+- （1）求函数()f x 的周期T ； （2）求()f x 的单调递增区间．21．(本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式()2863m y x x =+--，其中36x <<，m 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ) 求m 的值；(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．22. （本小题满分12分）已知函数),()(2R n m nx mxx f ∈+=在1=x 处取得极值2. （1）求)(x f 的解析式；（2）当0x >时，求)(x f 的最大值？（3）设函数a ax x x g +-=2)(2，若对于任意R x ∈1，总存在2[1,0]x ∈-，使得)()(12x f x g ≤，求实数a 的取值范围.2015-2016学年上学期高三期中考试曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中数学（文科）参考答案CCAAD DCBCC DB 13. 12-14.515.01a ≤≤ 16.36a <≤17.解： ∵命题p 为真命题的充要条件是0∆>，即()24230m m -->，∴6m >或2m <.………………………………3分命题q 为真命题的充要条件是m ≥4 ………………………………6分 若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p ，q 一真一假若p 真q 假得2m < 若q 真p 假得46m ≤≤∴实数m 的取值范围为2m <或46m ≤≤ ……………………………10分18、解：（Ⅰ）()231f x ax '=+ ，()131f a '∴=+ 又 ()()7251312a af -+-'==-37a ∴= 得()2317f x x x =++ ...................6分（Ⅱ） ()()2f x f x -+=()()()()43349f f f f -+-+++= ...................12分19.解：（1）2()cos()2cos 336f x x x πππ=+-1=cos cos 12333x x x πππ--1cos 1=sin +123336x x x ππππ=---－（），………………4分故T=6. ………………………………6分（2）令36t x ππ=+，则sin t 递减时，()f x 递增322,22k t k k Z ππππ∴+≤≤+∈ 6164,k x k k Z ∴+≤≤+∈得()f x 的单调递增区间为[]61,64,k k k Z ++∈ (开区间也可) ………………………………12分20．解: （1）由C A B c b c a sin sin sin +=--,得ca bc b c a +=--, 即222a b c bc =+-,由余弦定理,得:3,21cos π==A A ． ………6分 （2）1sin 2S AB AC A =⋅且cos AB AC AB AC A ⋅=⋅tan 2S A AB AC==⋅ ………12分 21．解：(Ⅰ)因为5x =时11y =，所以81162mm +=⇒=；…………………….(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量()26863y x x =+--， 所以商场每日销售该商品所获得的利润：()()()()23263866815721083f x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+-+-⎢⎥-⎣⎦………….(8分)()()()()22410242446f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=得4x =或6x =（舍去） 函数()f x 在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当4x =时函数()f x 取得最大值()438f =…………(12分)22.【解析】（1）因为()2mx f x x n =+，所以222222)()(2)()(n x mx mn n x x mx n x m x f +-=+⋅-+='. 又()f x 在1x =处取得极值2，所以()()f 10f 12'=⎧⎪⎨=⎪⎩，即()2(1)0121m n n m n-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩解得14n m ==，，经检验满足题意，所以()241xf x x =+ ……………………………………………4分 （2）()24411x f x x x x==++，0x > 时，12x x +≥ 当且仅当1x =时取等号 ()f x ∴的最大值为()12f =. ……8分（3）()()()22411(1)x x f x x -+-'=+，令'0f x =（），得11x x =-=或. 当x 变化时，'f x f x （），（）的变化情况如下表：所以f x （）在1x =-处取得极小值12f -=-（），在1x =处取得极大值12f =（），又0x >时，0f x >（），所以f x （）的最小值为12f -=-（）， 因为对任意的1x R ∈，总存在2[1,0]x ∈-，使得()()21g x f x ≤， 所以当[1,0]x ∈-时，()222g x x ax a =-+≤-有解，即()2212x a x -≥+在[1,0]-上有解.令21x t -=，则22214t t x ++=，所以[]229,3,14t t at t ++≥∈--. 所以当[]3,1t ∈--时，()1911921424a t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤++=--+-≤- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； a ∴的取值范围为1a ≤- ……12分。
2016高三数学(文)期中考试试卷
文华高中2016-2017学年上学期期中考试高三数学(文科)试卷 第l 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一 项是满足题目要求的，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．1、 若全集}4,3,2{},5,3,1{},6,5,4,3,2,1{===B A U ，则()U B C A = （ ） A.{2,4} B.{3} C.{1,2} D.{1,5}2、与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是 ( ) A ．若a ∉M ，则b ∉M B ．若b ∉M ，则a ∈M C ．若a ∉M ，则b ∈M D ．若b ∈M ，则a ∉M3、已知复数i z +=21,i z 212+=则复数12z z z -=在复平面内所表示的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4、“－2<x <1”是“x <1”的( )A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既不是充分条件，也不是必要条件D.既是充分条件，也是必要条件 5、02120sin 等于（ ）A ．23±B ．21C ．23-D ．236、已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．6D ．－67、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3,132==a a ，则4s 等于（ ）A.12B.10C.8D.68、 在为等比数列中，，，那么（ ）A. ±4B. 4C. 2D. 8{}n a 0n a >224355216a a a a a ++=35a a +=9、为了得到sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，只需将y ＝sin2x 作如下变换（ ） A ．向左平移6π个单位 B ． 向右平移3π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向右平移12π个单位10、已知函数f （x ）的定义域为（3﹣2a ，a ），且f （x ）为偶函数，则实数a 的值 ( )A ．3B ．2C ．4D ．11、已知函数f （x ）=ax 2﹣x+a+1在（﹣∞，2）上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．[0，4] B ．[2，+∞） C ．[0，] D ．（0，] 12、函数||(01)x y a a =<<的图象是（ ）第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13、…那么是这个数列的第 项.14、函数y ＝a x-2 014＋1999(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点____________．15、已知A(1，3),B(2，2)=16、在ABC ∆中，三个内角之比3:2:1::=C B A ，那么c b a ::等于三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．ABCD17．（12分）已知全集R =U ，}42|{≤≤-=x x A ，},33|{≤≤-=x x B 求 （1）.A ⋃B ，B ⋂A, （2）.)(B A C R ，18.（12分）在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，37c =，求三角形的最大 内角．19.（12分）已知||=12，||=9，254-=∙b a ，求a与b 的夹角。
山东省莱芜市2016届高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
高三期中质量检测文科数学2015．11注意事项：1．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、座号用0.5mm 黑色签字笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡上。
3．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；试题不交，请妥善保存，只交答题卡。
第I 卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
1.设集合{}{}220,log 0A x x x B x x =-==≤，则A B ⋃=A. {}1B. []0,1C. (]0,1D. [)0,1 2.设函数()103,0x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则()()2f f -= A. 1- B. 13 C. 12 D. 233.在等比数列{}n a 中，374,12a a ==，则11a =A.16B.18C.36D.484.“cos20α=”是“sin cos 0αα+=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知向量()()()1,3,1,2,2a b a b b ==-+⋅=则A.15B.16C.17D.186.若5sin ,13αα=-且为第四象限角，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于 A.717 B. 177 C. 512- D. 1017 7.函数()122x x x f x =-- A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数也不是奇函数8.设等差数列{}n a 满足101735a a =，且10,n a S >为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项是A. 24SB. 25SC. 26SD. 27S9.设()f x 在定义域内可导，其图象如右图所示，则导函数()f x '的图象可能是10.若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定正确的个数是 ①10f k ⎛⎫>⎪⎝⎭ ②()2f k k > ③1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ ④12111k f k k -⎛⎫< ⎪--⎝⎭ A.1 B.2 C.3 D.4第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分。
青岛市2016届高三上数学期中试题文科含答案
青岛市2016届高三上数学期中试题（文科含答案）2015—2016学年第一学期期中模块测试高三数学（文）试卷第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.已知，则=A.B.C.D.2.下列说法正确的是A．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“若，则”的逆命题是真命题D．命题“∃x∈R，”的否定是：“∀x∈R，”3.三次函数当时有极大值4，当时有极小值0，且函数过原点，则A.B.C.D.4.设为两条不同的直线，为两个不同的平面．下列命题中，正确的是A．若与所成的角相等，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则5.函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱侧视图的面积为A.4B.2C.D.7.已知等差数列中，，则等于A.B.C.D.18.已知、都是正实数，函数的图象过（0，1）点,则的最小值是A.B.C.4D.29.如图所示，在Δ中，.若是Δ的外心，则A.B.C.D.10.已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都使成立，则当时，的取值范围A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数的定义域是12.已知，则的值为13.已知向量=(2，1)，=(0，1)，=(2，3)，若λ∈R且(+λ)∥，则λ=14.若数列满足，则___________15.为定义在上的函数的导函数，而的图象如图所示，则的单调递增区间是____．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）已知，函数（1）求的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标（2）当时，求函数的值域17．（本题满分12分）设ΔABC的内角A,B,C所对的边长分别为,且（1）求边长（2）若ΔABC的面积，求ΔABC的周长L18．（本题满分12分）已知公比为q的等比数列{}是递减数列，且满足（1）求数列{}的通项公式；（2）求数列的前n项和19．（本题满分12分）如图所示，ΔABC和ΔBCD所在平面互相垂直，且，，E,F,G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：(2)求三棱锥D-BCG的体积（锥体体积，为底面面积，为高）20.（本题满分13分）数列中，前n项和．(1)证明数列是等差数列；(2)设，数列的前n项和为，求：21.（本题满分14分）已知函数，，其中(1)若函数有相同的极值点，求的值(2)若存在两个整数，使得函数在区间上都是减函数。
2016年山东省青岛市城阳一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2015-2016学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R B）∪A等于（）A．R B．（﹣∞，0）∪1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）2．（5分）已知，若共线，则实数x=（）A．B．C．1 D．23．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．4．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则tan（α+）的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=．若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．67．（5分）过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为（）A．e2B．C．e D．8．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角9．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a﹣x+b的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，2]二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=．12．（5分）函数的图象，其部分图象如图所示，则f（x）=．13．（5分）已知函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=．14．（5分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．15．（5分）有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则a=﹣1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．其中真命题的序号是．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知，，．（Ⅰ）求向量与的夹角θ；（Ⅱ）求及向量在方向上的投影．17．（12分）已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．20．（13分）设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．21．（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R B）∪A等于（）A．R B．（﹣∞，0）∪1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）【解答】解：∵A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0或x＞2}=（﹣∞，0）∪（2，+∞），B={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，∴∁R B={y|y≤1}=（﹣∞，1]，∴（∁R B）∪A=（﹣∞，1]∪（2，+∞）．故选：D．2．（5分）已知，若共线，则实数x=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵，∴∵与共线，∴1×1﹣2×（1﹣x）=0∴x=故选：B．3．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数，可得．解得﹣＜x＜2，故选：B．4．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则tan（α+）的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【解答】解：由题意知tanα=﹣2，∴===﹣，故选：D．5．（5分）已知函数f（x）=．若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵f（1）=f（﹣1），∴a1=log2（1﹣（﹣1）），故a=1；故选：A．6．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由题意得AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选：B．7．（5分）过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为（）A．e2B．C．e D．【解答】解：解：设切点坐标为（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切线的斜率是，切线的方程为y﹣lna=（x﹣a），将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切线的斜率是=；故选：D．8．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角【解答】解：A．依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可知：命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”．可判断出A正确．B．依据命题的否定法则：“命题：∃x0∈R，﹣x0+1≤0”的否定应是“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，故B是真命题．C．由于，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0，∴，又0＜B＜A＜π，∴0＜A﹣B＜π，∴，∴．据以上可知：在△ABC中，sinA＞sinB⇔＞0⇔A＞B．故在△ABC中，sinA ＞sinB是A＞B的充要条件．因此C正确．D．由向量，∴，∴的夹角，∴向量与的夹角不一定是钝角，亦可以为平角π，∴可以判断出D是错误的．故选：D．9．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a﹣x+b的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数f（x）=log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=log a（x+b）的图象由f（x）=log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=a﹣x+b的大致图象是A，故选：A．10．（5分）若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，2]【解答】解：∵函数y==+，在t∈（0，2]上为减函数∴当t=2时，的最小值为1；又∵≤=，当且仅当t=3时等号成立∴函数y=在区间（0，2]上为增函数可得t=2时，的最大值为∵不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，∴（）max≤a≤（）min，即≤a≤1可得a的取值范围是[，1]二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=2n．【解答】解：a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．当n=1时，2n=2=a1，∴a n=2n．故答案为：2n．12．（5分）函数的图象，其部分图象如图所示，则f（x）=2sin（x﹣）．【解答】解：由函数f（x）的图象可得A=2，=•=﹣，求得ω=1，在根据五点法作图可得1×+φ=0，求得φ=﹣，故f（x）=2sin（x﹣），故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=1．【解答】解：由于函数f（x）=log2x+x﹣2在（0，+∞）是增函数，且f（1）=﹣1＜0，f（2）=1＞0，∴f（1）f（2）＜0，故函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（1，2）内有唯一零点．再根据函数f（x）=log2x+x﹣2的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）有零点，可得n=1，故答案为：1．14．（5分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数又∵当a，b∈（﹣∞，0）时总有，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增函数根据偶函数的性质可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数∵f（m+1）＞f（2m），∴f（|m+1|）＞f（|2m|），即|m+1|＜|2m|，则（m+1）2＜4m2，（3m+1）（1﹣m）＜0，m＞1或m＜﹣，解得：m∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）15．（5分）有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则a=﹣1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．其中真命题的序号是①③．【解答】解：①={+}=cos2x，当x=时，y取最小值，故函数图象关于直线x=对称，故①正确；函数y==+1的图象由函数y=的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，函数y=的图关于点（0，0）对称，故函数y=的图象关于点（1，1）对称，故②错误；关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则，即a=﹣1，故③正确；满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有且只有一个，故④错误；故正确的命题的序号为：①③，故答案为：①③三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知，，．（Ⅰ）求向量与的夹角θ；（Ⅱ）求及向量在方向上的投影．【解答】解：（Ⅰ）因为，，．所以，即16﹣8cosθ﹣3=9，所以cosθ=，因为θ∈[0，π]，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以==5，||=，所以向量在方向上的投影为：．17．（12分）已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公差为d，由a5=11，a2+a6=18，得，解得a1=3，d=2，所以a n=2n+1；（Ⅱ）由a n=2n+1得，则=．18．（12分）已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x））==2cosωx（sinωx﹣cosωx）﹣2+3=sin2ωx﹣cos2ωx=，∵，∴．令，求得f（x）的增区间为．（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象；然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）=sin（4x+）的图象，故，∵，、∴，故函数g（x）的值域是．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴b2﹣c2=a2﹣ac∴b2=a2+c2﹣ac，∴，又∵；（Ⅱ）∵b2=a2+c2﹣2accosB，∴1=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，∵当且仅当a=c时等号成立，∴，即a+c≤2．即有a+c的最大值为2．20．（13分）设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，若，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；若，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）（Ⅱ），，可见，当时，g'（x）≥0，g（x）在区间单调递增，当时，g'（x）≤0，g（x）在区间单调递减，而，所以，g（x）在区间上的最大值是1，依题意，只需当时，xf（x）≥1恒成立，即恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx；…（8分）令，则h'（x）=1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）=0，当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，即h（x）在区间上单调递增；当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，故a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）21．（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x ）=0仅在x=时成立； ∴m 的取值范围是[，+∞）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
江苏省盐城市2016届高三上学期期中考试数学试卷Word版含答案
盐城市2016届高三年级第一学期期中考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．若集合(,]A m =-∞，{}22B x x =-<≤，且B A ⊆，则实数m 的取值范围 是 ▲ . 2．命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ 命题.（填“真”或“假”） 3.设点(P m 是角α终边上一点，若cos 2α=，则m = ▲ . 4．函数()xf x e x =-的单调递增区间为 ▲ .5．若函数()cos f x x x =-的零点在区间(1,)k k -（k Z ∈）内，则k = ▲ . 6．设函数()lg(f x x =是奇函数，则实数m 的值为 ▲ . 7．已知直线3x π=过函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中22ππϕ-<<）图象上的一个最高点，则5()6f π的值为 ▲ . 8．在锐角ABC ∆中，2AB =，3BC =，ABC ∆的面积为2，则AC 的长为 ▲ . 9．设向量(5cos ,4sin )OA θθ=++，(2,0)OB =，则||AB 的取值范围是 ▲ . 10．如图，在平行四边形ABCD 中，6AB =，4AD =， 点P 是DC 边的中点，则PA PB ⋅的值为 ▲ .11．若函数2()ln (2)f x x ax a x =+-+在12x =处取得极大值，则正数a 的取值范围是 ▲ .12．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，且252m a a a +=， 则m = ▲ .13．已知数列{}n a 的前n 项和1(1)nn S n=-⋅，若存在正整数n ，使得1()()0n n a p a p +-⋅-<成立，则实数p 的取值范围是 ▲ . 14. 设函数2()||xaf x e e=-，若()f x 在区间(1,3)a --内的图象上存在两点，在这两点处的PBCD第10题图切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知函数2()cos cos f x x x x =-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若()1f x =-，求2cos(2)3x π-的值.16．(本小题满分14分)设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{}|||1B x x a =+<.（1）若3a =，求A B ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17. (本小题满分14分)在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知4A π=，a =（1）若3sin 5B =，求边c 的长； （2）若||6CA CB +=CA CB ⋅的值.18．(本小题满分16分)如图，河的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB BC ⊥，EF DF ⊥，DF AB ⊥，,,C E F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得3AB km =，4BC km =，94DF km =，3FE km =，32EC km =. 若以,OA OD 所在直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则河岸DE 可看成是曲线x by x a+=+（其中,a b 为常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y kx m =+（其中,k m 为常数）的一部分.（1）求,,,a b k m 的值；（2）现准备建一座桥MN ，其中,M N 分别在,DE AC 上，且MN AC ⊥，设点M的横坐标为t . ①请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并注明定义域；②当t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？19. (本小题满分16分) 已知函数()ln f x x =.（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若函数()k y f x x =+在21[,)e+∞上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围； （3）是否存在实数k ，使得对任意的1(,)2x ∈+∞，都有函数()ky f x x=+的图象在()xe g x x=的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln 20.6931=，121.6487e =）.第18题图20. (本小题满分16分)设各项均为正数的数列{}n a 满足nnS pn r a =+（,p r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）若1p =，0r =，求证：{}n a 是等差数列；（2）若13p =，12a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若201512015a a =，求p r ⋅的值.盐城市2016届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. [2,)+∞ 2. 假3. 4. (0,)+∞ 5. 1 6. 17. －18.9. [4,6] 10. 7 11. (0,2) 12. 8 13. 3(1,)2-14. 11(,)22-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）因为1cos 2()222xf x x +=- …………2分cos 2112sin(2)22262x x x π=--=--， …………6分 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. …………8分 （2）因为()1f x =-，所以1sin(2)162x π--=-，即1s i n (2)62x π-=-， …………10分 所以21cos 2cos (2)sin(2)32662x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………14分16．解：（1）解不等式2230x x +-<，得31x -<<，即()3,1A =-， ..............2分 当3a =时，由31x +<，解得42x -<<-，即集合()4,2B =--， ..............4分 所以()4,A B =-； (6)分（2）因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. ...............8分 又集合()3,1A =-，(1,1)B a a =---+， ..............10分所以1311a a --≥-⎧⎨-+<⎩或1311a a -->-⎧⎨-+≤⎩， ..............12分 解得02a ≤≤，即实数a 的取值范围是02a ≤≤. ...............14分17．解：（1）在ABC ∆中，因为3sin sin 52B A =<=，所以4B A π<=， 所以4co 5B =， ...............2分所以4s i 5C A =+...............4分由正弦定理s in s ina c A C=，得221=，所以5c =. ...............6分（2）因6C A CB+=，得2323c ob b C += ①，...............8分由余弦定理，有223cos b C c +-= ②，①＋②，得c =， ...............10分再由余弦定理，有223b c +=，解得6b c ==...............12分 所以22a b c+=，即2C π=，所以0CA CB ⋅=. ……………14分（说明：其它方法类似给分）18．解：（1）将7(0,),(3,4)4D E 两点坐标代入到x by x a+=+中，得74343bab a ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩， ……………2分 解得47a b =-⎧⎨=-⎩. …………3分再将39(,0),(,4)22A C 两点坐标代入到y kx m=+中，得302942k m k m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， …………5分解得432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. …………6分（2）①由（1）知直线AC 的方程为423y x =-，即436x y --=. …………7分设点M 的坐标分别为7(,)4t M t t --，则利用点到直线的距离公式， 得7|436|19|49|54t t l t t --⨯-==+--， …………9又由点,D E 向直线AC 作垂线时，垂足都在线段AC 上，所以03t ≤≤， 所以19()|49|54l f t t t ==+--，03t ≤≤. …………10分② 方法一：令9()49,034g t t t t =+-≤≤-，因为2(25)(211)()(4)t t g t t --'=-， 所以由()0g t '=，解得52t =或112t =（舍）， …………12分所以当5(0,)2t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；当5(,3)2t ∈时，()0g t '<，()g t 单调递减.从而当52t =时，()g t 取得最大值为5()52g =-， …………14分 即当52t =时，l 取得最小值，最小值为1km . …………16分 方法二：因为03t ≤≤，所以144t ≤-≤，则999494(4)77[4(4)]444t t t t t t +-=-++=--+--- …………12分77265≤-=-⨯=-， 当且仅当94(4)4t t-=-，即52t =时取等号， …………14分即当52t =时，l取得最小值，最小值为1km . …………16分方法三：因为点M 在直线AC 的上方，所以94904t t +-<-，所以19()(49)54l f t t t ==-+--，03t ≤≤， …………12分以下用导数法或基本不等式求其最小值（此略，类似给分）. …………16分方法四：平移直线AC 至11A C ，使得11A C 与曲线DE 相切，则切点即为l取得最小值时的M点. …………12分由74x y x -=-，得23(4)y x '=-，则由234(4)3k t ==-，且03t ≤≤，解得52t =， …………14分 故当52t =时，l 取得最小值，最小值为1km . …………16分19. 解：（1）因为1()f x x'=，所以(1)1f '=，则所求切线的斜率为1， ……………2分 又(1)ln10f ==，故所求切线的方程为1y x =-. ................4分（2）因为()ln k kf x x x x+=+，则由题意知方程ln 0k x x +=在21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不同的根.由ln 0kx x+=，得ln k x x -=， ……………6分令()ln g x x x =，则()ln 1g x x '=+，由()0g x '=，解得1x e=.当211,x e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当1x e=时，()g x 取值为11()g e e =-. ……………8又2212()g e e=-，(1)0g =（图象如右图所示），所以212k e e-<-≤-，解得221k e e≤<. ……………10分 （3）假设存在实数k 满足题意，则不等式ln x k e x x x +<对1(,)2x ∈+∞恒成立.即ln xk e x x <-对1(,)2x ∈+∞恒成立.令()ln x h x e x x =-，则(x h x e x'=--， ……………12分 令()ln 1x r x e x =--，则1()xr x e x'=-，因为()r x '在1(,)2+∞上单调递增，121()202r e '=-<，(1)10r e '=->，且()r x '的图象在1(,1)2上不间断，所以存在01(,1)2x ∈，使得0()0r x '=，即0010xe x -=，则00ln x x =-，所以当01(,)2x x ∈时，()r x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()r x 单调递增，则()r x 取到最小值000001()ln 11x r x e x x x =--=+-110≥=>， ……………14分 所以()0h x '>，即()h x 在区间1(,)2+∞内单调递增.所以11221111()ln ln 2 1.995252222k h e e ≤=-=+=，所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1. ……………16分 20．解：（1）证明：由1p =，0r =，得n n S na =，所以11(1)(2)n n S n a n --=-≥，两式相减，得10(2)n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列. ……………4分 （2）令1n =，得1p r +=，所以23r =， ……………5分 则12()33n n S n a =+，所以1111()(2)33n n S n a n --=+≥，两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， ……………7分所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅-，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅， 所以2(2n a n =+， ……………9分又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+. ……………10分（3）由（2）知1r p =-，所以(1)n n S pn p a =+-，得11(12)(2)n n S pn p a n --=+-≥，两式相减，得1(1)(12)(2)n n p n a pn p a n --=+-≥， 易知p ≠，所以1(2)12(1)n n a a n pn p p n -=≥+--. ……………12分①当12p =时，得1(2)1n n a a n n n -=≥-，所以201520141201520141a a a ===，满足220a a =； ……………14分②当12p >时，由1(1)(12)(2)n n p n a pn p a n --=+-≥，又0n a >， 所以1(1)(2)n n p n a pna n --<≥，即1(2)1n n a a n n n -<≥-，所以2015120151a a<，不满足201512015a a =；③当12p <且0p ≠时，类似可以证明201512015a a =也不成立；综上所述，12p =，12r =，所以14pr =. ……………16分。
浙江省绍兴一中2016届高三上学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2015-2016学年浙江省绍兴一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣4≥0}，则∁U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）2．函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π3．若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）4．对两条不相交的空间直线a和b，则（）A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂αB．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥αC．必定存在直线c，使得a∥c，b∥cD．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c5．若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．6．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．87．以BC为底边的等腰三角形ABC中，AC边上的中线长为6，当△ABC面积最大时，腰AB长为（）A．6B．6C．4D．48．到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为（）A．相交直线 B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧二、填空题（每小题4分，共28分.）9．已知f（x）=lg（2x﹣4），则方程f（x）=1的解是，不等式f（x）＜0的解集是．10．设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a10=27，则a5=，S9=．11．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于．12．已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，函数的大小关系为．13．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．14．已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是．15．边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，•=1，求•的取值范围．三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．17．数列{a n}满足a1=1，（n∈N）．+（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．19．已知抛物线y2=2px，过焦点且垂直x轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）求抛物线方程；（2）试证线段AB的垂直平分线经过定点，并求此定点；（3）求△ABC面积的最大值．20．已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2015-2016学年浙江省绍兴一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣4≥0}，则∁U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】补集及其运算．【分析】所有不属于A的元素组成的集合就是我们所求，故应先求出集合A．再求其补集即得．【解答】解：A={x|x≥2或x≤﹣2}，易知C∪A={x|﹣2＜x＜2}，故选A．2．函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用降幂法化简函数y，即可求出它的最小正周期．【解答】解：∵函数y=3﹣2sin2x=3﹣2•=2+cos2x，∴函数y的最小正周期为T==π．故选：B．3．若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选C．4．对两条不相交的空间直线a和b，则（）A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂αB．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥αC．必定存在直线c，使得a∥c，b∥cD．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的性质与判定，对各个选项依次加以判别，即可得到B项是正确的，而A、C、D都存在反例而不正确．【解答】解：对于A，若两条直线a、b是异面直线时，则不存在平面α使得a⊂α且b⊂α成立，故A不正确；对于B，因为a、b不相交，所以a、b的位置关系是平行或异面：①当a、b平行时，显然存在平面α，使得a⊂α且b∥α成立；②当a、b异面时，设它们的公垂线为c，在a、b上的垂足分别为A、B．则经过A、B且与c垂直的两个平面互相平行，设过A的平面为α，过B的平面为β，则α∥β，且a、b分别在α、β内，此时存在平面α，使得a⊂α且b∥α成立．故B正确；对于C，若两条直线a、b是异面直线时，则不存存在直线c，使得a∥c且b∥c成立，故C 不正确；对于D，当a、b所成的角不是直角时，不存在直线c，使得a∥c且b⊥c成立，故D不正确．综上所述，只有B项正确．故选：B5．若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【分析】将已知式子平方可得=0，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案．【解答】解：∵，∴，两边平方可得=，化简可得=0，设向量与的夹角为θ则可得cosθ====，又θ∈[0，π]，故θ=故选B．6．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数奇偶性的性质．【分析】令f（a）=x，则f[f（a）]=转化为f（x）=．先解f（x）=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．【解答】解：令f（a）=x，则f[f（a）]=变形为f（x）=；当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（a）=1+，1﹣，﹣1﹣，﹣1+；当a≥0时，f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，故选D．7．以BC为底边的等腰三角形ABC中，AC边上的中线长为6，当△ABC面积最大时，腰AB长为（）A．6B．6C．4D．4【考点】余弦定理．【分析】设D为AC中点，由已知及余弦定理可求cosA=，在△ABD中，由余弦定理可求2a2+b2=144，利用配方法可得S=ah=，利用二次函数的图象和性质即可得解当△ABC面积最大时，腰AB长．【解答】解：如下图所示，设D为AC中点，由余弦定理，cosA==，在△ABD中，BD2=b2+（）2﹣2×，可得：2a2+b2=144，所以，S=ah====，所以，当a2=32时，S有最大值，此时，b2=144﹣2a2=80，解得：b=4，即腰长AB=4．故选：D．8．到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为（）A．相交直线 B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧【考点】轨迹方程．【分析】建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和y=0代入即可求得轨迹．【解答】解：如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OB=a，P（x，y，z）到直线OA，BC的距离相等，∴x2+z2=（x﹣a）2+y2，∴2ax﹣y2+z2﹣1=0若被平面xoy所截，则z=0，y2=2ax﹣1；若被平面xoz所截，则y=0，z2=﹣2ax+1故选C．二、填空题（每小题4分，共28分.）9．已知f（x）=lg（2x﹣4），则方程f（x）=1的解是7，不等式f（x）＜0的解集是（2，2.5）．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由f（x）=1，利用对数方程，可得结论；由f（x）＜0，利用对数不等式，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=1，∴lg（2x﹣4）=1，∴2x﹣4=10，∴x=7；∵f（x）＜0，∴0＜2x﹣4＜1，∴2＜x＜2.5，∴不等式f（x）＜0的解集是（2，2.5）．故答案为：7；（2，2.5）．10．设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a10=27，则a5=9，S9=81．【考点】等差数列的前n项和．【分析】等差数列的性质可得：a1+a4+a10=27=3a5，解得a5，再利用S9==9a5．即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a4+a10=27=3a5，解得a5=9，∴S9==9a5=81．故答案分别为：9；81．11．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于4．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中：侧面PAB⊥底面BACD，底面为矩形ABCD．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中：侧面PAB⊥底面BACD，底面为矩形ABCD．∴该几何体的体积V==4，故答案为：4．12．已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，函数的大小关系为g（2）＜g（﹣3）＜g（4）．【考点】指数函数单调性的应用．【分析】由已知中函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，我们根据复合函数的单调性，可求出a与1的关系，进而判断出函数的奇偶性及单调区间，再根据偶函数函数值大小的判断方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，令u=|x|，则y=log a u，由u=|x|在（﹣∞，0）上是减函数，及复合函数同增异减的原则可得外函数y=log a u为增函数，即a＞1又∵函数为偶函数且函数在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减且|2|＜|﹣3|＜|4|∴g（2）＜g（﹣3）＜g（4）故答案为：g（2）＜g（﹣3）＜g（4）13．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为8．【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即35=2ab+3∴ab=16，∴a+b≥2=8，在a=b=4时是等号成立，∴a+b的最小值为8．故答案为：814．已知F 1、F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质． 【分析】设A 点坐标为（m ，n ），则直线AF 1的方程为 （m +c ）y ﹣n （x +c ）=0，求出右焦点F 2（c ，0）到该直线的距离，可得直线AF 1的方程为ax ﹣by +ac=0，根据A 是双曲线上的点，可得b 4﹣a 4＞0，即可求出双曲线的离心率的取值范围． 【解答】解：设A 点坐标为（m ，n ），则直线AF 1的方程为 （m +c ）y ﹣n （x +c ）=0，右焦点F 2（c ，0）到该直线的距离=2a ，所以n=（m +c ），所以直线AF 1的方程为ax ﹣by +ac=0，与﹣=1联立可得（b 4﹣a 4）x 2﹣2a 4cx ﹣a 4c 2﹣a 2b 4=0，因为A 在右支上，所以b 4﹣a 4＞0， 所以b 2﹣a 2＞0， 所以c 2﹣2a 2＞0，即e ＞．故答案为：．15．边长为2的正三角形ABC 内（包括三边）有点P ， •=1，求•的取值范围 [3﹣2，﹣] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先建立坐标系，根据•=1，得到点P 在（x ﹣1）2+y 2=2的半圆上，根据向量的数量积得到•=﹣x ﹣y +4，设x +y=t ，根据直线和圆的位置关系额判断t 的范围，即可求出•的取值范围．【解答】解：以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， ∵正三角形ABC 边长为2，∴B （0，0），A （1，），C （2，0），设P 的坐标为（x ，y ），（0≤x ≤2，0≤y ≤），∴=（﹣x ，﹣y ），=（2﹣x ，﹣y ），∴•=x （x ﹣2）+y 2=1， 即点P 在（x ﹣1）2+y 2=2的半圆上，∵=（﹣1，﹣）∴•=﹣x ﹣y +4，设x +y=t ，则直线x +y ﹣t=0与圆交点，∴d=≤，解得0≤t≤2+1，当直线x+y﹣t=0过点D（﹣1，0）时开始有交点，∴﹣1=t，即t≥﹣1，∴﹣1≤t≤2+1，∴3﹣2≤4﹣t≤5﹣，故•的取值范围为[3﹣2，5﹣]．故答案为：[3﹣2，5﹣]．三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知利用两角和的余弦公式展开整理，cos（B+C）=﹣．可求B+C，进而可求A（2）由sin，可求cos=，代入sinB=2sin cos可求B，然后由正弦定理，可求b【解答】解：（1）由2cos（B﹣C）=4sinBsinC﹣1 得，2（cosBcosC+sinBsinC）﹣4sinBsinC=﹣1，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1．从而2cos（B+C）=﹣1，得cos（B+C）=﹣．…4分∵0＜B+C＜π∴B+C=，故A=．…6分（2）由题意可得，0＜B＜π∴，由sin，得cos=，∴sinB=2sin cos=．…10分由正弦定理可得，∴，解得b=．…12分．17．数列{a n}满足a1=1，（n∈N）．+（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．），我们易变形得：，即【分析】（I）由已知中（n∈N+，进而根据等差数列的定义，即可得到结论；（II）由（I）的结论，我们可以先求出数列的通项公式，进一步得到数列{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）由（II）中数列{a n}的通项公式，及b n=n（n+1）a n，我们易得到数列{b n}的通项公式，由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到，故利用错位相消法，即可求出数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知可得，即，即∴数列是公差为1的等差数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴（Ⅲ）由（Ⅱ）知b n=n•2nS n=1•2+2•22+3•23++n•2n2S n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1相减得：=2n+1﹣2﹣n•2n+1∴S n=（n﹣1）•2n+1+218．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】方法一：常规解法（I）由已知中，棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，易得CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，可证出DE⊥CC1，结合线面垂直的判定定理可得CC1⊥平面A1B1D；（II）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K，结合（I）的结论，我们可得DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK，解Rt△CFH与Rt△DHK，即可得到DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．方法二：向量法（I）以H为原点，建立空间直角坐标系，分别求出向量的坐标，根据坐标的数量积为0，易得到CC1⊥A1D，CC1⊥B1D，进而根据线面垂直的判定定理得到CC1⊥平面A1B1D；（II）求出直线DH的方向向量及平面AA1C1C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．【解答】证明：方法一：（Ⅰ）因为CC1∥AA1且正方形中AA1⊥A1B1，所以CC1⊥A1B1，取A 1B 1中点E ，则HE ∥BB 1∥CC 1且，又D 为CC 1的中点，所以，得平行四边形HEDC ，因此CH ∥DE ，又CH ⊥平面AA 1B 1B ，得CH ⊥HE ，DE ⊥HE ，所以DE ⊥CC 1∴CC 1⊥平面A 1B 1D 解：（Ⅱ）取AA 1中点F ，连CF ，作HK ⊥CF 于K因为CH ∥DE ，CF ∥A 1D ，所以平面CFH ∥平面A 1B 1D ，由（Ⅰ）得CC 1⊥平面A 1B 1D ， 所以CC 1⊥平面CFH ，又HK ⊂平面CFH ，所以HK ⊥CC 1，又HK ⊥CF ，得HK ⊥平面AA 1C 1C ，所以DH 与平面AA 1C 1C 所成角为∠HDK在Rt △CFH 中，，在Rt △DHK 中，由于DH=2，方法二：（向量法） 证明：（Ⅰ）如图，以H 为原点，建立空间直角坐标系，则C （0，0，），C 1（），A 1（），B 1（0，，0），所以，，∴，，因此CC 1⊥平面A 1B 1D ；解：（Ⅱ）设平面AA 1C 1C 的法向量，由于则，得，所以又，所以19．已知抛物线y 2=2px ，过焦点且垂直x 轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），其中x 1≠x 2且x 1+x 2=4，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ． （1）求抛物线方程；（2）试证线段AB 的垂直平分线经过定点，并求此定点； （3）求△ABC 面积的最大值． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由题意，2p=6，即可得出抛物线方程为y 2=6x ； （2）设线段AB 的中点为M （x 0，y 0），求出线段AB 的垂直平分线的方程由此能求出直线AB 的垂直平分线经过定点C （5，0）．（3）直线AB 的方程为y ﹣y 0=（x ﹣2），代入y 2=6x ，由此利用两点间距离公式和点到直线距离公式能求出△ABC 面积的表达式，利用均值定理能求出ABC 面积的最大值． 【解答】（1）解：由题意，2p=6，∴抛物线方程为y 2=6x ．… （2）设线段AB 的中点为M （x 0，y 0），则x 0=2，y 0=，k AB ==．线段AB 的垂直平分线的方程是y ﹣y 0=﹣（x ﹣2），①由题意知x=5，y=0是①的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点， 且点C 坐标为（5，0）．所以直线AB 的垂直平分线经过定点C （5，0）．…（2）由①知直线AB 的方程为y ﹣y 0=（x ﹣2），①即x=（y ﹣y 0）+2，②②代入y 2=6x 得y 2=2y 0（y ﹣y 0）+12，即y 2﹣2y 0y +2y 02﹣12=0，③ 依题意，y 1，y 2是方程③的两个实根，且y 1≠y 2，所以△＞0，﹣2＜y 0＜2．|AB |==．定点C（5，0）到线段AB的距离h=|CM|=．=•．…∴S△ABC=•≤（3）由（2）知S△ABC=，…当且仅当=24﹣2，即y0=所以，△ABC面积的最大值为．…20．已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数单调性的性质．【分析】（Ⅰ）去绝对值号得，f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，从而解得；（Ⅱ），tf（a）=﹣2ta，讨论a以确定函数的单调区间，从而求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），因为f（x）连续，所以f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，所以，解得，b≥2；（Ⅱ），tf（a）=﹣2ta，当2≤a≤4时，＜≤a，f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，a）上递减，在（a，+∞）上递增，所以f极大（x）=f（）=﹣a+1，f极小（x）=f（a）=﹣2a，所以对2≤a≤4恒成立，解得：0＜t＜1，当﹣2＜a＜2时，＜a＜，f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，）上递减，在（，+∞）上递增，所以f极大（x）=f（）=﹣a+1，f极小（x）=f（）=﹣﹣a﹣1，所以﹣﹣a﹣1＜﹣2ta＜﹣a+1对﹣2＜a＜2恒成立，解得：0≤t≤1，综上所述，0＜t＜1．2016年11月13日。
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万全中学2016--2017学年第一学期期中考试
高三数学（文）试卷
一、选择题(本大题共12小题，共60分)
1.已知i为虚数单位，则复数=（）
A.2+i
B.2-i
C.-1-2i
D.-1+2i
2.定义A*B={x|x∈A或x∈B，但x∉A∩B}．
已知M={y|y=2|x|}， N={x|≤2}，则M*N=（）
A.[0，1）∪（2，+∞）
B.（-∞，]∪[1，2]
C.[，1）∪（2，+∞）
D.[1，2）
3.已知函数f（x）=log a（2-x）在其定义域上单调递减，
则函数g（x）=log a（1-x2）的单调减区间是（）
A.（-∞，0]
B.（-1，0）
C.[0，+∞）
D.[0，1）
4.函数y=f（x）的图象在点x=5处的切线方程是y=-x+8，
则f（5）+f′（5）等于（）
A.1
B.2
C.0
D.
5.等比数列{a n}中，S2=7，S6=91，则S4=（）
A.28
B.32
C.35
D.49
6.已知两异面直线a，b的夹角是15°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为8°，那么这样的直线l有（）
A.3条
B.2条
C.1条
D.0条
7.给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；
④在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件．
其中不正确的命题的个数是（）
A.4
B.3
C.2
D.1
为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何
体的表面积为（）
A.2+2
B.6
C.4+2
D.8
9.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
①若m⊥α，α⊥β，则m∥β
②若m⊥α，α∥β，n⊂β，则m⊥n
③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
A.①②
B.③
C.①③
D.②④
10.已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x-6＞x2，则￢p是￢q的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.已知f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，
当x∈（0，1）时，f（x）=3x-1，则f （）=（）
A.+1
B.-+1
C.-1
D.--1
12.函数f（x）=|log2x|+x-2的零点个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
高三数学文第2页
二、填空题(本大题共4小题，共20分)
13.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为 ______ ，
最大值为 ______ ．
14.已知实数x、y满足，
则z=2x+y的最小值是 ______ ．
15.当a＞0，a≠1时，函数f（x）=log a（x-1）+1的图象恒过定点A，
若点A在直线mx-y+n=0上，则4m+2n的最小值是 ______ ．
16.已知函数f（x）=则f[f（）]= ______ ．
三、解答题(本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分)
17. 等差数列{a n}的首项a1=1，公差d≠0，且a3•a4=a12．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=a n•2n，求数列{b n}的前n项和T n．
18.已知函数f（x）=sin（x-）+cosx，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f（A）=且a=b，试求角B的大小．
19.在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，
若a（1+cos C）+c（1+cos A）=3b，
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面积．
是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且
CC1=2AB．
（Ⅰ）求证：平面C1CD⊥平面ADC1；
（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）求三棱锥D-CAB1的体积．
21.已知函数f（x）=x3-ax2-3x．
（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间．
22.设函数f（x）=x3-6x+5，x∈R
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若直线y=a与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求实数a的
取值范围．
高三数学文第4页
万全中学2016--2017学年第一学期期中考试答案1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.B 7.C 8.B 9.D 10.A 11.B 12.B
13.π； 14.-2 15.2 16.
17.解：a3•a4=a12．（a1+2d）（a1+3d）=（a1+11d），解得：d=1，a n=n，数列{a n}的通项公式，a n=n；b n=a n•2n=n•2n，数列{b n}的前n项和T n，T n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n， 2T n=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）•2n+n•2n+1，两式相减得：-T n=2+22+23+…+2n-n•2n+1， T n=n•2n+1-2n+1+2=（n-1）2n+1+2 ∴T n=（n-1）2n+1+2．
18.解：（1）f（x）=sin（x-）+cosx=sinx+cosx=sin（x+），则函数f（x）的最小正周期T=，
由-+2kπ≤x-≤+2kπ，
解得-+2kπ≤x≤+2kπ，
即函数的单调递增区间为[-+2kπ，+2kπ]，k∈Z．
（2）∵若f（A）=，
∴sin（A+）=，
∵0＜A＜π，则＜A+＜，
∴A+=，解得A=，
∵a=b，
∴，即sin B=1，
则B=．
19.解：（1）∵a（1+cos C）+c（1+cos A）=3b，
由正弦定理得，sin A（1+cos C）+sin C（1+cos A）=3sin B，
即sin A+sin C+sin（A+C）=3sin B，
∴sin A+sin C=2sin B，
由正弦定理得，a+c=2b，
则a，b，c成等差数列；
（2）∵∠B=60°，b=4，
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得4=a2+c2-2accos60°，即（a+c）
2-3ac=16，
又a+c=2b=8，
解得，ac=16（或者解得a=c=4），
则S△ABC =acsin B=4．
20.解：（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，
∴CC1⊥AB
∵△ABC是等边三角形，CD为AB边上的中线，
∴CD⊥AB…（2分）
∵CD∩CC1=C∴AB⊥平面C1CD
∵AB⊂平面ADC1∴平面C1CD⊥平面ADC1；…（4
分）
（Ⅱ）连结BC1，交B1C于点O，连结DO．则O
是BC1的中点，DO是△BAC1的中位线．
∴DO∥AC1．∵DO⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1；…（8分）
（Ⅲ）∵CC1⊥平面ABC，BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC．∴BB1为三棱锥D-CBB1的
高．
=S△SCD•BB1==．
∴三棱锥D-CAB1的体积为．…（12分）
21.解：（1）∵f（x）=x3-ax2-3x，
∴f′（x）=3x2-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0， 即3x2-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0，即实数a的取值范围是（-∞，0]；（2）∵x=3是f（x）的极值点，
∴f′（3）=3×32-2a×3-3=0，解得a=4，
高三数学文第6页
∴f′（x）=3x2-8x-3，
令f′（x）=3x2-8x-3=（x-3）（3x+1）＞0，解得x＜-或x＞3，
令f′（x）=3x2-8x-3=（x-3）（3x+1）＜0，解得-＜x＜3，
∴f（x）的单调区间增区间为（-∞，-）和（3，+∞），单调递减区间为（-，3）．
22.解：（1）
∴当
，∴f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是
当；当
．
（2）由（1）可知y=f（x）图象的大致形状及走向
∴当的图象有3个不同交点。