高三理科数学期中考试试题及答案
2021-2022年海淀区高三期中数学试卷及答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学(理科)本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则AB =( A ) A. {1,1,2}- B. {1,2} C. {1,2}-D. {2} 2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x = 3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 2 5.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ）A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x x f x x x+=，在下列给出结论中： ① π是()f x 的一个周期；。
陕西师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题含解析
A. B. C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入双曲线方程求出点 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 ， ， 的关系，求出离心率的值．
【详解】由于 轴，且 在第一象限，设
所以将 代入双曲线的方程得 即 ，
7.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（）
A.Sn无限大B.Sn<3(3＋ )m
C.Sn＝3(3＋ )mD.Sn可以取100m
17.已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的平分线交AB于点D，且 ，求 的最小值；
【答案】（1） ；（2）4
【解析】
【分析】（1）由 ，利用正弦定理将边转化为角得到 ，再根据 ，有 ，然后利用两角差的正弦公式展开求解.
（2）根据 的平分线交AB于点D，且 ，由 ，可得 ，化简得到 ，则 ，再利用基本不等式求解.
【详解】设 ， ，
则 ， ，
如图所示，
连接 交 于点 ，连接 、 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，所以四边形 是直角梯形，
则有 ，
， ，
所以有 ，
故 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 为正方形，所以 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，
,
所以 ， ，
故答案为：③④.
高三理科数学上学期期中试卷
高三理科数学上学期期中试卷把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，今天小编就给大家分享一下高三数学，欢迎阅读学习高三数学上学期期中试卷理科第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ,则集合且为( )A. B. C. D.2. 若复数满足 ,则的虚部为( )A. B. C. D.3.三角形内，a>b是cosAA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 若是的一个内角,且 ,则的值为( )A. B. C. D.5. 两个非零向量满足则向量与夹角为( )A. B. C. D.6. 如果位于第三象限,那么角所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第一或三象限D.第二或四象限7. 函数的图象可能是( )A. B.C. D.8. 已知数列满足: , ，设数列的前项和为 ,则 ( )A.1007B.1008C.1009.5D.10109. 在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于x轴对称,若 ,则 ( )A. 或B. 或C.D.10.已知函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,下列关于的说法正确的是( )A.图象关于点中心对称B.图象关于点中心对称.C.图象关于轴对称D.图象关于轴对称11. 已知函数的图象关于点对称,若函数有四个零点则 ( )A.2B.4C.6D.812. 已知是定义在上的单调递减函数, 是其导函数,若 ,则下列不等关系成立的是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上).13. 已知若 ,则实数 __________14. __________15. 在中, ,其面积为 ,则的取值范围是__________16. 关于函数 ,有下列命题:①由可得必是的整数倍;② 的表达式可改写为 ;③ 的图象关于点对称;④ 的图象关于直线对称.其中不正确的命题的序号是__________.三、解答题(本大题共6小题，满分共70分)17.(本小题满分10分) 在中,角、、的对边分别为、、 ,向量 , ,且 .(1)求锐角的大小;(2)若 ,求面积的最大值.19.(本小题满分12分)某经销商计划经营一种商品,经市场调查发现,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格 (单位:元/千克, ),满足:当时, ( 为常数);当时, .已知当销售价格为元/千克时,每日可售出该特产千克;当销售价格为元/千克时,每日可售出千克.(1)求的值,并确定关于的函数解析式;(2)若该商品的销售成本为元/千克,试确定销售价格的值,使店铺每日销售该特产所获利润最大20.(本小题满分12分)设各项均为正数的数列的前项和为 ,满足 , 且构成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)若对一切正整数都有 ,求实数的最小值.21.(本小题满分12分)已知 .(1)讨论的单调性(2)若在上有且仅有一个零点,求的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数(1)若 ,求曲线在点处的切线方程(2)若在上恒成立,求实数的取值范围(3)若数列的前项和 , ,求证:数列的前项和数学试题答案(理科)1--12 B DCBC CCDCB BA13. -1 14. 15.(-1，0) 16. (1)(4)17.解：(1)∵ ,∴ , +1分∴ . +3分又∵ 为锐角,∴ ,∴ ,∴ . +5分4. ∵ , ,由余弦定理 ,得 . +7分又 ,代入上式,得 ,当且仅当时等号成立. +9分故 ,当且仅当时等号成立,即的最大值为 . +10分+4分+6分+8分+10分+12分19.解：(1)由题意: 时 ,∴ ,又∵ 时 ,∴ ,可得 , +2分∴ +4分(2)由题意: +5分当时,由得或由得所以在上是增函数,在上是减函数因为所以时, 的最大值为 +8分当时,当且仅当 ,即时取等号,∴ 时有最大值. ∵ , +11分∴当时有最大值 ,即当销售价格为元的值,使店铺所获利润最大. +12分20.解：(1) 即且∴ ,∴ ,∵ ,∴ ,∴当时, 是公差为的等差数列. +4分∵ ,构成等比数列,∴ ,解得 , +5分又由已知,当时, ,∴ ∵ ,∴ 是首项 ,公差的等差数列.∴数列的通项公式 . +6分(2)由(1)可得式+10分解得∴ 的最小值为 +12分21.解：(1)由已知的定义域为 ,又 , +1分当时, 恒成立; +2分当时,令得 ;令得 . +4分综上所述,当时, 在上为增函数;当时, 在上为增函数,在上为减函数. +5分(2)由题意 ,则 , +6分当时,∵ , +7分∴g在上为增函数,又 ,不符合题意.当时, , +8分令 ,则 .令的两根分别为且 ,则∵ ,∴ ,当时, ,∴ ,∴ 在上为增函数;当时, ,∴ ,∴ 在上为减函数;当时, ,∴ ,∴ 在上为增函数.∵g=0,∴ 在上只有一个零点 1,且 >0, <0.∴ ,∴g在上必有一个零点.∵ ,当时,g<0,∴ .∴ 在上必有一个零点.综上所述,a的取值范围为 +12分22.解：(1)因为 ,所以 , ,切点为 .由 ,所以 ,所以曲线在处的切线方程为 ,即 +2分(2)由 ,令 ,则 (当且仅当取等号).故在上为增函数.①当时, ,故在上为增函数,所以恒成立,故符合题意;②当时,由于 , ,根据零点存在定理,必存在 ,使得 ,由于在上为增函数,故当时, ,故在上为减函数, 所以当时, ,故在上不恒成立,所以不符合题意.综上所述,实数的取值范围为 +6分(3)证明:由由2知当时, ,故当时, , 故 ,故 .下面证明:因为而,所以, ,即: +12分关于高三上学期数学期中试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知则等于( )A. B. C. D.2.命题“”的否定是( )A. B.C. D.3.“ ”是“ ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图像如图所示，则y=f(x)( )A.在(-∞，0)上为减少的B.在x=0处取极小值C.在(4，+∞)上为减少的D.在x=2处取极大值5. ( )A.0B.C.D.16.下列求导运算正确的是( )A.(cos x)′=sin xB.(ln 2x)′=1xC.(3x)′=3xlog3eD.(x2ex)′=2xex7 .将函数y=sinx-π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A.y=sin 12xB.y=sin12x-π2C.y=sin12x-π6D.y=sin2x-π68.三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是( )A. B. C. D.9.函数错误!未找到引用源。
2020-2021学年安徽省合肥六中高三上学期期中(理科)数学试卷(解析版)
2020-2021学年安徽省合肥六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}，则（）A．A∩B＝（﹣2，3）B．A∪B＝（﹣2，3）C．A∪B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．A∩B＝（﹣2，0）2．（5分）与角2021°终边相同的角是（）A．221°B．﹣2021°C．﹣221°D．139°3．（5分）已知m＝0.92020，n＝20200.9，p＝log0.92020，则m，n，p的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m4．（5分）已知平面向量＝（﹣1，2），＝（3，5），若（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则g（x0）＝（）A．4B．5C．2D．36．（5分）函数f（x）＝ln（﹣kx）的图象不可能是（）A．B．C．D．7．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21B．﹣21C．441D．﹣4418．（5分）已知函数满足，则f（x）图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知三棱锥V﹣ABC，点P是VA的中点，且AC＝2，VB＝4，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为（）A．12B．10C．8D．610．（5分）已知数列{a n}满足a n+2＝a n+1+a n，n∈N*．若4a5+3a6＝16，则a1+a2+…+a9＝（）A．16B．28C．32D．4811．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、A1D1的中点．直线DB1与平面EFC的交点O，则的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）二、填空题（共4小题）.13．（5分）（cos x+sin x）dx的值为．14．（5分）函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．15．（5分）已知锐角α、β满足，则的最小值为．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M﹣A1CC1的外接球表面积为．三、解答题（共6小题）.17．（10分）已知sinθ+cosθ＝，θ∈（﹣，）．（1）求θ的值：（2）设函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+θ）x∈R，求函数f（x）的单调增区间．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a2n+1+b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，，且∠BCC1＝60°．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，求sinθ的值．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）＝．（Ⅰ）证明：A＝2C；（Ⅱ）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝cos x．（1）已知α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝3f（2x）+1，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3有解，求实数a的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1）．（1）讨论f（x）的极值；（2）若m为正整数，且f（x）＜2x+m恒成立，求m的最大值．（参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61）参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}，则（）A．A∩B＝（﹣2，3）B．A∪B＝（﹣2，3）C．A∪B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．A∩B＝（﹣2，0）解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{0＜x＜1}，A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，故A，C，D均错误，B正确，故选：B．2．（5分）与角2021°终边相同的角是（）A．221°B．﹣2021°C．﹣221°D．139°解：与角2021°终边相同的角是：k•360°+2021°，k∈Z，当k＝﹣5时，与角2021°终边相同的角是221°．故选：A．3．（5分）已知m＝0.92020，n＝20200.9，p＝log0.92020，则m，n，p的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m解：∵0＜0.92020＜0.90＝1，20200.9＞20200＝1，log0.92020＜log0.91＝0，∴p＜m＜n．故选：C．4．（5分）已知平面向量＝（﹣1，2），＝（3，5），若（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：∵，，且，∴，解得．故选：B．5．（5分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则g（x0）＝（）A．4B．5C．2D．3解：函数f（x）＝lnx+x﹣4是在x＞0时，函数是连续的增函数，∵f（e）＝1+e﹣4＜0，f（3）＝ln3﹣1＞0，∴函数的零点所在的区间为（e，3），g（x0）＝[x0]＝2．故选：C．6．（5分）函数f（x）＝ln（﹣kx）的图象不可能是（）A．B．C．D．解：∵A，B选项中，图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，即f（x）+f（﹣x）＝0，即，∴k＝±1，当k＝1时，f（x）的图象为选项A；当k＝﹣1时，f（x）的图象为选项B；而C，D选项中，图象关于y轴对称，所以f（x）为偶函数，即f（x）＝f（﹣x），即，∴k＝0，当k＝0时，f（x）≥0，故f（x）的图象为选项D，不可能为选项C．故选：C．7．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21B．﹣21C．441D．﹣441解：公差d大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，可得2a1+12d﹣（a1+12d）＝1，即a1＝1，a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，可得（a3﹣1）2＝a1（a6+5），即为（1+2d﹣1）2＝1+5d+5，解得d＝2（负值舍去）则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为a1﹣a2+a3﹣a4+...+a19﹣a20+a21＝1﹣3+5﹣7+ (37)39+41＝﹣2×10+41＝21．故选：A．8．（5分）已知函数满足，则f（x）图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．解：函数满足，所以φ）＝0，由于，故φ＝．所以f（x）＝A sin（2x+），令（k∈Z），解得（k∈Z）．当k＝1时，解得．故选：D．9．（5分）如图，已知三棱锥V﹣ABC，点P是VA的中点，且AC＝2，VB＝4，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为（）A．12B．10C．8D．6解：如图所示，过点P作PF∥AC，交VC于点F，过点F作FE∥VB交BC于点E，过点E作EQ∥AC，交AB于点Q；由作图可知：EQ∥PF，所以四边形EFPQ是平行四边形；可得EF＝PQ＝VB＝2，EQ＝PF＝AC＝1；所以截面四边形EFPQ的周长为2×（2+1）＝6．故选：D．10．（5分）已知数列{a n}满足a n+2＝a n+1+a n，n∈N*．若4a5+3a6＝16，则a1+a2+…+a9＝（）A．16B．28C．32D．48解：∵a n+2＝a n+1+a n，∴a3＝a2+a1，a4＝a3+a2＝2a2+a1，a5＝a4+a3＝3a2+2a1，a6＝a5+a4＝5a2+3a1，a7＝a6+a5＝8a2+5a1，a8＝a7+a6＝13a2+8a1，a9＝a8+a7＝21a2+13a1，∴a1+a2+…+a9＝54a2+34a1＝2×（27a2+17a1），∵4a5+3a6＝16，∴4（3a2+2a1）+3（5a2+3a1）＝16，即27a2+17a1＝16，∴a1+a2+…+a9＝2×（27a2+17a1）＝2×16＝32，故选：C．11．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、A1D1的中点．直线DB1与平面EFC的交点O，则的值为（）A．B．C．D．解：交点O既在平面ECF上，又在平面D1DBB1上，∴O在面ECF与面D1DBB1的交线上，延展平面ECF，得到面ECHF，H在C1D1上，则K，M都即在面ECFH上，又在平面D1DBB1上，∴KM为面ECFH与面D1DBB1的交线，∴O在KM上，∵O在DB1上，∴DB1∩KM＝O，取出平面D1DBB1，∵△KOB1∽△MOD，∴＝．由△DMC∽△BME，得DM＝，设G为C1D1的中点，由三角形相似可得，再由题意可得A1G∥FH，则，则．∴＝＝．故选：A．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）解：不等式在（0，+∞）上恒成立，即不等式＞lnx在（0，+∞）上恒成立，则（eλx+1）λx＞（x+1）lnx＝（e lnx+1）lnx恒成立，设f（x）＝（e x+1）x（x＞0），则f（λx）＞f（lnx），∵f′（x）＝e x（x+1）+1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴λx＞lnx，∴λ＞，设g（x）＝（x＞0），∴g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝e，当0＜x＜e时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（e）＝，∴λ＞．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（cos x+sin x）dx的值为2．解：（cos x+sin x）dx＝（sin x﹣cos x）＝（sin﹣cos）﹣（sin0﹣cos0）＝（1﹣0）﹣0+1＝2．故答案为：2．14．（5分）函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x+y ＝0．解：由，得f′（x）＝2f′（）+sin x，取x＝，得f′（）＝2f′（）+sin，解得f′（）＝﹣1，∴f′（x）＝﹣2+sin x，得f′（0）＝﹣2，又f（0）＝﹣cos0+1＝0，∴f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣2x，即2x+y＝0．故答案为：2x+y＝0．15．（5分）已知锐角α、β满足，则的最小值为18．解：∵，∴sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝sin＝，设x＝sinαcosβ，y＝cosαsinβ，则x+y＝，∵α、β均为锐角，∴x＞0，y＞0，∴＝+＝2（x+y）（+）＝2（1+4+）≥2×（5+2）＝18，当且仅当＝，即＝，即x＝，y＝时，等号成立．∴的最小值为18．故答案为：18．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M﹣A1CC1的外接球表面积为11π．解：如图：点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，∴点M为正方形CDD1C1对角线的交点，∴MCC1是等腰直角三角形，M是直角顶点，设E是CC1的中点，则E是△MCC1的外心，取F是BB1的中点，则EF∥BC，而BC⊥平面CDD1C1，∴EF⊥平面CDD1C1，∴三棱锥M﹣A1CC1的外接球的球心O在直线EF上，由已知可计算FC＝＝，A1F＝＝＞FC，∴点O在EF的延长线上，设OF＝x，则由OA1＝OC，可得（）2+x2＝（x+1）2+（）2，解得x＝，∴OC＝＝，∴外接球表面积是S＝4π×（）2＝11π，故答案为：11π．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知sinθ+cosθ＝，θ∈（﹣，）．（1）求θ的值：（2）设函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+θ）x∈R，求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为sinθ+cosθ＝，所以（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+sin2θ＝（）2＝，即sin2θ＝，又θ∈（﹣，），所以2，所以2θ＝﹣，θ＝﹣．（2）由（1）可得θ＝﹣，则f（x）＝sin2x﹣sin2（x﹣），所以f（x）＝（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]＝cos2x﹣+cos（2x﹣）＝﹣cos2x+（cos2x+sin2x）＝sin2x﹣cos2x＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣），令2k≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，则k≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数的单调增区间为[k，kπ+]，k∈Z．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a2n+1+b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，当n＝1时，解得a1＝1，当n≥2时，，两式相减得：a n＝3n﹣2．数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．所以log3b n＝1﹣n，所以．（2）c n＝a2n+1+b2n+1＝，所以＝19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，，且∠BCC1＝60°．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，求sinθ的值．解：（1）证明：在△ABC中，AB2+BC2＝20＝AC2，所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC．因为BC＝BB1，AC＝AB1，AB＝AB，所以△ABC≌△ABB1．所以∠ABB1＝∠ABC＝90°，即AB⊥BB1．又BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面BCC1B1．又AB⊂平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面BCC1B1．（2）解：由题意知，四边形BCC1B1为菱形，且∠BCC1＝60°，则△BCC1为正三角形，取CC1的中点D，连接BD，则BD⊥CC1．以B为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系B﹣xyz，则B（0，0，0），B1（0，4，0），A（0，0，2），，．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），，．由，得取x＝1，得＝（1，0，）．由四边形BCC1B1为菱形，得BC1⊥B1C；又AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C；又AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1，所以平面ABC1的法向量为．所以cos＜＞＝＝＝．设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，则sinθ＝＝．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）＝．（Ⅰ）证明：A＝2C；（Ⅱ）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由，即，∴，sin A≠0，∴a2﹣c2＝bc，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴a2﹣c2＝b2﹣2bc cos A，∴b2﹣2bc cos A＝bc，∴b﹣2c cos A＝c，∴sin B﹣2sin C cos A＝sin C，∴sin（A+C）﹣2sin C cos A＝sin C，∴sin A cos C﹣cos A sin C＝sin C，∴sin（A﹣C）＝sin C，∵A，B，C∈（0，π），∴A＝2C．（Ⅱ）解：∵A＝2C，∴B＝π﹣3C，∴sin B＝sin3C．∵且b＝2，∴，∴＝＝，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴，∴，∵为增函数，∴．21．（12分）已知函数f（x）＝cos x．（1）已知α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝3f（2x）+1，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3有解，求实数a的最大值．解：（1）∵函数f（x）＝cos x，α，β为锐角，＝cos（α+β），∴sin（α+β）＝＝，∴tan（α+β）＝＝﹣2．∵，∴cos2α＝＝＝＝﹣．tan2α＝＝＝﹣，故2α为钝角．tan（β﹣α）＝tan[（α+β）﹣2α]＝＝＝．（2）∵函数g（x）＝3f（2x）+1＝3cos2x+1∈[﹣2，4]，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3＝（a+1）[g（x）+3]有解，令t＝g（x）+3，则t∈[1，7]，且（t﹣3）2≥（a+1）t有解，即a+1≤t+﹣6能成立，即a+7≤（t+）能成立．由于函数h（t）＝t+在[1，3]上单调递减，在[3，9]上单调递增，h（1）＝10，h（9）＝10，故h（t）在[1，7]上的最大值为10，故有a+7≤10，即a≤3，故a的最大值为3．22．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1）．（1）讨论f（x）的极值；（2）若m为正整数，且f（x）＜2x+m恒成立，求m的最大值．（参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61）解：（1）由f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1），得f′（x）＝m﹣1﹣lnx．当m﹣1≤0，即m≤1时，f′（x）＞0对x＞1恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，f（x）无极值；当m﹣1＞0，即m＞1时，令f′（x）＝0，得x＝e m﹣1，由f′（x）＞0，得1＜x＜e m﹣1，由f′（x）＜0，得x＞e m﹣1，∴f（x）在x＝e m﹣1处取得极大值，且极大值为f（e m﹣1）＝me m﹣1﹣（m﹣1）e m﹣1＝e m﹣1．综上所述，当m≤1时，f（x）无极值；当m＞1时，f（x）的极大值为e m﹣1，无极小值．（2）∵当x＞1时，f（x）＜2x+m恒成立，∴当x＞1时，mx﹣xlnx＜2x+m，即m＜对x＞1恒成立，令h（x）＝，得h′（x）＝，令g（x）＝x﹣lnx﹣3，则g′（x）＝1﹣，∵x＞1，∴g′（x）＝1﹣＞0，得g（x）是增函数，由g（x1）＝x1﹣lnx1﹣3＝0，得lnx1＝x1﹣3，∵g（4）＝4﹣ln4﹣3＝1﹣ln4≈1﹣1.39＝﹣0.39＜0，g（5）＝5﹣ln5﹣3＝2﹣ln5≈2﹣1.61＝0.39＞0．∵g（x1）＝0，g（x）为增函数，∴4＜x1＜5，当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴x＝x1时，h（x）取得最小值为h（x1），∴m＜h（x1）＝，又m为正整数，∴m≤4，故m的最大值为4．。
湖北省2019～2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中考试理科数学试题及答案
）
D． a b c
A
B
C
D
5． 已知等差数列 an 的公差为 d , 前 n 项和为 Sn , 则“ d 0 ”是“ S8 S10 2S9 ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学（理科）试卷（共 6 页）第 1页
tan 101 tan 1
99
D．
tan100 99 tan 1
12．若不等式 x ln x x(1 k) 2k 0 对任意的 x 2, 都恒成立，则整数 k 的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上．）
18．已知 Sn 为等差数列
an
的前 n 项和， a5
9
，
S 13
169.
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）设 bn
an 3n
, 求数列
bn
的前 n 项和 Tn .
19．已知 a
( 2 cos 2
x
1, 1),b
1,
sin(2 x
6
A．[1, 3]
B． (, 3]
C．[3, )
D． (1,3]
3．
已知
a
log2019
1
,
b
1
2019
,
c
1
2019 ，则（
2019-2020学年重庆市南开中学高三第二学期(线上测试)期中(理科)数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第二学期期中（理科）数学试卷一、选择题.1．已知（a+i）（2﹣i）为纯虚数，则实数a的值是（）A．﹣1B．C．D．12．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则集合B的子集个数为（）A．8B．16C．32D．643．已知曲线f（x）＝alnx+x2在点（1，1）处的切线与直线x+y＝0平行，则实数a的值为（）A．﹣3B．1C．2D．34．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝12，a2＝5，则a5＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．35．已知a＝1.20.3，b＝log0.31.2，c＝log1.23，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（）A．2B．C．D．7．函数的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．8．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A，B是抛物线C上两点，且|AF|+|BF|＝10，O为坐标原点，若△OAB的重心为F，则p＝（）A．1B．2C．3D．49．执行如图所示的程序框图，若输入的ε＝3，则输出的结果为（）A．511B．1022C．1023D．204610．我们知道，在n次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X服从二项分布B（n，p），事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，我们称Y服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z，则P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）p k﹣1，k═2，3，…，那么E（Z）＝（）A．B．C．D．11．已知双曲线）的左右焦点分别为F1，F2，F1的直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点，∠AF2B＝90，|AB|＝4a，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．12．已知A，B，C，D四点均在半径为R（R为常数）的球O的球面上运动，且AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥BC，若四面体ABCD的体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．B．2πC．D．二、填空题13．已知均为单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为14．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为15．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，，D为棱A1B1的中点，则异面直线AD 与CB1成角的大小为16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣1，1]时f（x）＝e1﹣|x|﹣2，则关于函数f（x）有如下四个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）的图象关于直线x＝2对称；③方程f（x）＝1﹣|x|有两个不等实根；④其中所有正确结论的编号是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在△ABC中，，点D在边AB上．（1）若：sin（C﹣A）＝1，求sin A的值；（2）若∠CDA＝90°，BD＝4DA，求sin∠ACB的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD＝2AB＝2，BC＝2，M为BC的中点．（1）求证：平面PDM⊥平面PAM；（2）若二面角P﹣DM﹣A为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．19．新型冠状病毒肺炎COVID﹣19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．如表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．日期代码x12345678累计确诊人数481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：，②＝dx+c对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差，且经过计算得≈17.3，≈1.9，其中z i＝x，＝z i（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；（2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未采取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．20．已知函数f（x）＝3x﹣（a+1）lnx，g（x）＝x2﹣ax+4．（1）若函数y＝f（x）+g（x）在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由．21．已知椭圆Γ＞0）的离心率为，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ截得的弦长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A，B均在椭圆Γ上，点C在抛物线上，若△ABC的重心为坐标原点O，且△ABC的面积为，求点C的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）过动点．P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于l的直线交曲线C于A，B两点，若|PA|•|PB|＝2，求动点P到直线I的最近距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣2|x﹣2|．（1）若关于x的不等式f（x）≤a有解，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）≤|x﹣b|﹣4对任意x∈R成立，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知（a+i）（2﹣i）为纯虚数，则实数a的值是（）A．﹣1B．C．D．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．解：∵（a+i）（2﹣i）＝（2a+1）+（2﹣a）i为纯虚数，∴，解得a＝﹣．故选：B．2．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则集合B的子集个数为（）A．8B．16C．32D．64【分析】根据题意求出B中的元素，再求子集个数．解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，∴B＝{2，3，4，5，6}，∴集合B的子集个数为32，故选：C．3．已知曲线f（x）＝alnx+x2在点（1，1）处的切线与直线x+y＝0平行，则实数a的值为（）A．﹣3B．1C．2D．3【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，运用有斜率的两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a的值．解：f（x）＝alnx+x2的导数为f′（x）＝+2x，可得曲线在点（1，1）处的切线斜率为k＝a+2，由切线与直线x+y＝0平行，可得k＝﹣1，即a+2＝﹣1，解得a＝﹣3，故选：A．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝12，a2＝5，则a5＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．解：∵S6＝12，a2＝5，∴12＝，解得a5═﹣1．故选：B．5．已知a＝1.20.3，b＝log0.31.2，c＝log1.23，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵0＜1.20.3＜1.21＝1.2，∴1＜a＜1.2，∵log0.31.2＜log0.31＝0，∴b＜0，∵log1.23＞log1.21.44＝2，∴c＞2，∴b＜a＜c，故选：D．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（）A．2B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用勾股定理的应用求出最大棱长BD或AC．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体D﹣ABC．如图所示：所以AC＝＝＝．故选：C．7．函数的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．【分析】先利用诱导公式、降幂公式、将函数式化成关于cos2x的二次函数，然后求解．解：22x令t＝cos2x，则原函数化为，y＝，该函数在[﹣1，]上递增，在上递减．易知t＝﹣1时，y min＝﹣1．故选：B．8．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A，B是抛物线C上两点，且|AF|+|BF|＝10，O为坐标原点，若△OAB的重心为F，则p＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由|AF|+|BF|＝10，可得．结合△OAB的重心坐标，即可求得p．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵|AF|+|BF|＝10，则．∵△OAB的重心为F，∴，∴，∴p＝4．故选：D．9．执行如图所示的程序框图，若输入的ε＝3，则输出的结果为（）A．511B．1022C．1023D．2046【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当x＝210时，不满足条件，退出执行循环体，S＝1022．解：当x＝1，s＝0，此时x＝2，满足lg2＜3，执行循环体，s＝0+2＝2＝22﹣2，x＝4＝22，满足lg4＜3，执行循环体，s＝2+4＝6＝32﹣2，x＝8＝23，满足lg8＜3，执行循环体，s＝6+8＝14＝24﹣2，x＝24，满足lg16＜3，执行循环体，s＝14+16＝30＝25﹣2，x＝25，满足lg32＜3，执行循环体，s＝30+32＝62＝26﹣2，x＝26，…满足lg29＜3，执行循环体，s＝210﹣2，x＝210，不满足lg210＜3，退出循环体，输出此时的S＝210﹣2＝1022，故选：B．10．我们知道，在n次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X服从二项分布B（n，p），事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，我们称Y服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z，则P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）p k﹣1，k═2，3，…，那么E（Z）＝（）A．B．C．D．【分析】P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）p k﹣1，k═2，3，…，P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，可得．于是P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝2，3，…，﹣p．而E（Z）＝2p（1﹣p）+2（1﹣p）p+3p（1﹣p）2+3（1﹣p）p2+……+kp （1﹣p）k﹣1+k（1﹣p）p k﹣1+…．＝﹣p+2（1﹣p）p+3（1﹣p）p2+……+k（1﹣p）p k ﹣1+…．设A k＝2p+3p2+……+kp k﹣1．利用错位相减法即可得出A k．解：P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）p k﹣1，k═2，3，…，P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，可得．∴P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝2，3，…，﹣p．那么E（Z）＝2p（1﹣p）+2（1﹣p）p+3p（1﹣p）2+3（1﹣p）p2+……+kp（1﹣p）k﹣1+k（1﹣p）p k﹣1+…＝﹣p+2（1﹣p）p+3（1﹣p）p2+……+k（1﹣p）p k﹣1+…．设A k＝2p+3p2+……+kp k﹣1．pA k＝2p2+3p3+……+（k﹣1）p k﹣1+kp k．∴（1﹣p）A k＝2p+p2+p3+……+p k﹣1﹣kp k＝p+﹣kp k．∴k→+∞时，（1﹣p）A k→p+．∴E（Z）＝﹣p+p+＝﹣1．故选：A．11．已知双曲线）的左右焦点分别为F1，F2，F1的直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点，∠AF2B＝90，|AB|＝4a，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】作出示意图，根据双曲线定义可转化得到BF2＝AF2，结合∠AF2B＝90，|AB|＝4a，可求出BF2＝AF2＝2a，则BF1＝（2﹣2）a，利用余弦定理表示出a2与c2的关系，进而可得到e的值．解：不妨设A在B的右侧，作出示意图如图：根据双曲线的定义：AF1﹣AF2＝2a，BF2﹣BF1＝2a，则BF2＝BF1+2a，且有AF1＝AB+BF1＝4a+BF1，代入可得AF2＝2a+BF1，则BF2＝AF2，因为∠AF2B＝90，则∠ABF2＝∠BAF2＝45°，且AB2＝AF22+BF22，则BF2＝AF2＝2a，则BF1＝（2﹣2）a，在△BF1F2中，∠BF1F2＝135°，则cos135°＝，即﹣＝，整理可得e2＝＝3，则e＝，故选：B．12．已知A，B，C，D四点均在半径为R（R为常数）的球O的球面上运动，且AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥BC，若四面体ABCD的体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．B．2πC．D．【分析】由题意要使四面体的体积最大，则D在底面ABC的投影恰好为底面三角形外接圆的圆心N，则外接球的球心在DN上，求出三棱锥的体积，由均值不等式可得R的值，进而求出外接球的表面积．解：因为AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥BC，作AN⊥BC于N，则N为BC的中点，且AN ＝，若四面体ABCD的体积的最大值时，则DN⊥面ABC，则外接球的球心在DN上，设为O，设外接球的半径为R，连接OA，则OA＝OD＝R，V D﹣ABC＝•BC•AN•DN＝•2AN•AN•（R+ON）＝AN2•（R+ON）＝（OA2﹣ON2）（R+ON）＝（R+ON）（R﹣ON）（R+ON）＝（R+ON）（2R﹣2ON）（R+ON）＝•（）3，当且仅当2R﹣2ON＝R+ON，即R＝3ON时取等号，因为三棱锥的最大体积为，所以•（）3＝，可得R＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝4＝，故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知均为单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为【分析】根据条件知，然后根据即可得出，然后进行数量积的运算即可求出，从而可求出与夹角的余弦值．解：∵，，∴＝，∴，∴．故答案为：．14．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为560【分析】利用二项式系数的性质求得n＝7，再利用二项式展开式的通项公式令x的指数为1求出人r，可得结论．解：由题意可得＝，求得n＝7，故展开式第r+1项为T r+1＝•（﹣2）r•x；r＝0，1…7；令7﹣r＝1⇒r＝4，∴展开式中x的系数为：•（﹣2）4＝560，故答案为：560．15．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，，D为棱A1B1的中点，则异面直线AD 与CB1成角的大小为【分析】可画出图形，根据条件可得出，，然后根据条件即可求出，并求出，从而根据向量夹角的余弦公式求出，从而可得出异面直线AD与CB1成角的大小．解：如图，＝，，且，侧棱和底面垂直，∴＝＝，，∴，且，∴，∴异面直线AD与CB1成角的大小为．故答案为：．16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣1，1]时f（x）＝e1﹣|x|﹣2，则关于函数f（x）有如下四个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）的图象关于直线x＝2对称；③方程f（x）＝1﹣|x|有两个不等实根；④其中所有正确结论的编号是①②【分析】由题意判断f（x）是周期的函数，且为偶函数，由此判断所给的命题是否正确即可．解：对于①，由题意知f（x+2）＝f（x），所以f（x）是周期为2的函数；当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝e1﹣|x|﹣2，f（﹣x）＝e1﹣|﹣x|﹣2＝e1﹣|x|﹣2＝f（x），所以f（x）为偶函数，①正确；对于②，f（x）是偶函数，对称轴是x＝0，又f（x）是周期为2的函数，所以f（x）的图象关于直线x＝2对称，②正确；对于③，方程f（x）＝1﹣|x|化为e1﹣|x|﹣2＝1﹣|x|，设t＝1﹣|x|，则方程化为e t＝2+t，t∈[0，1]；由函数y＝e t和y＝2+t，t∈[0，1]的图象知，图象没有交点，方程无实数根，③错误；对于④，f（x）是周期为2的函数，且为偶函数，在[0，1]上是单调减函数；所以f（）＝f（﹣8）＝f（﹣）＝f（）；又0＜＜＜1，所以f（）＞f（），即f（）＞f（），所以④错误．综上知，正确的命题序号是①②．故答案为：①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在△ABC中，，点D在边AB上．（1）若：sin（C﹣A）＝1，求sin A的值；（2）若∠CDA＝90°，BD＝4DA，求sin∠ACB的值．【分析】（1）由A，C的范围，结合sin（C﹣A）＝1，所以C﹣A＝，再利用sin B ＝sin（A+C）结合二倍角公式即可求出sin A＝；（2）设DA＝x，则BD＝4x，由sin B＝得BC＝3CD，由勾股定理求出CD＝x，进而求出AC＝x，在△ABC中，由正弦定理即可求得sin∠ACB得值．解：（1）∵0＜A＜π，0＜C＜π，∴﹣π＜C﹣A＜π，又∵sin（C﹣A）＝1，∴C﹣A＝，∴C＝A+，∴sin B＝sin（A+C）＝sin（2A+）＝cos2A＝1﹣2sin2A＝，∴sin2A＝，又A∈（0，π），∴sin A＝；（2）设DA＝x，则BD＝4x，∴∠CDA＝90°，sin B＝，∴，∴BC＝3CD，∴BC2＝BD2+CD2，∴9CD2＝16x2+CD2，∴CD＝x，∴AC2＝AD2+CD2＝3x2，∴AC＝x，在△ABC中，由正弦定理得：，∴，∴sin∠ACB＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD＝2AB＝2，BC＝2，M为BC的中点．（1）求证：平面PDM⊥平面PAM；（2）若二面角P﹣DM﹣A为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．【分析】（1）在直角梯形ABCD中，求解三角形可得AD2＝AM2+DM2，则DM⊥AM．再由PA⊥面ABCD，得DM⊥PA，利用线面垂直的判定可得DM⊥平面PAM，进一步得到平面PDM⊥平面PAM；（2）由（1）知，PM⊥DM，AM⊥DM，则∠PMA为二面角P﹣DM﹣A的平面角为30°，求得PA＝AM•tan30°＝1．以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标及平面PDM的一个法向量，由与所成角的余弦值可得直线PC与平面PDM所成角的正弦值．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，AB＝1，CD＝2，BM＝CM＝，可得AM2＝3，DM2＝6，过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE＝1，AE＝，求得AD2＝9，则AD2＝AM2+DM2，∴DM⊥AM．∵PA⊥面ABCD，∴DM⊥PA，又PA∩AM＝A，∴DM⊥平面PAM，∵DM⊂平面PDM，∴平面PDM⊥平面PAM；（2）解：由（1）知，PM⊥DM，AM⊥DM，则∠PMA为二面角P﹣DM﹣A的平面角为30°，则PA＝AM•tan30°＝1．以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），D（，﹣1，0），C（，1，0），M（，1，0），，，．设平面PDM的一个法向量为，由，取x＝1，得＝（1，，）．∴直线PC与平面PDM所成角的正弦值为|cos＜，＞|＝＝．19．新型冠状病毒肺炎COVID﹣19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．如表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．日期代码x12345678累计确诊人数481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：，②＝dx+c对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差，且经过计算得≈17.3，≈1.9，其中z i＝x，＝z i（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；（2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未采取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【分析】（1）根据残差点分布的区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高即可得解；（2）因为z i＝x，所以，然后结合数据和公式分别算出，，即可得到y关于z的回归方程，进而得到y关于x的回归方程；（3）把x＝9代入回归方程算出即可得解．解：（1）因为残差，所以残差点分布的区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以模型①的拟合效果更好．（2）因为z i＝x且，所以，由表格中数据可知，，，所以，，所以，故所求的回归方程为．（3）当x＝9时，有，故估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为156人．20．已知函数f（x）＝3x﹣（a+1）lnx，g（x）＝x2﹣ax+4．（1）若函数y＝f（x）+g（x）在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由．【分析】（1）根据导数和函数的单调性的关系，分离参数，即可求出a的取值范围；（2）函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切，且存在f（x）的极值等于0，根据导数和函数的极值的关系即可求出．解：（1）y＝f（x）+g（x）＝3x﹣（a+1）lnx+x2﹣ax+4在（0，+∞）上单调递增，∴y′＝3﹣+2x﹣a≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤＝＝2（x+1）﹣﹣1，易知y＝2（x+1）﹣﹣1在（0，+∞）上为增函数，∴y＝2（x+1）﹣﹣1＞2﹣4﹣1＝﹣1，∴a≤﹣1；（2）函数y＝f（x）﹣g（x）＝3x﹣（a+1）lnx﹣x2+ax﹣4，设h（x）＝3x﹣（a+1）lnx﹣x2+ax﹣4，x＞0，∴h′（x）＝3﹣﹣2x+a＝＝﹣＝﹣，令h′（x）＝0，解得x＝或x＝1，①当a+1≤0时，即a≤﹣1时，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max＝h（1）＝a﹣2＝0，解得a＝2（舍去），②当a＞﹣1时，h′（x）＝0，即极值点为x＝或x＝1，∵函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切，∴h（）＝0或h（1）＝0，当h（1）＝0时，h（1）＝a﹣2＝0，解得a＝2，当h（）＝0时，可得﹣（a+1）ln（）﹣（）2+a×﹣4＝0，设＝t，则t＞0，则3t﹣2tlnt﹣t2+（2t﹣1）t﹣4＝0，即t2+2t﹣2tlnt﹣4＝0，设φ（t）＝t2+2t﹣2tlnt﹣4，t＞0，∴φ′（t）＝2t+2﹣2（1+lnt）＝2（t﹣lnt），再令m（t）＝t﹣lnt，t＞0，∴m′（t）＝1﹣＝，当0＜t＜1时，m′（t）＜0，函数m（t）单调递减，当t＞1时，m′（t）＞0，函数m（t）单调递增，∴m（t）≥m（1）＝0，∴φ′（t）≥0，∴φ（t）在（0，+∞）上单调递增，∵φ（1）＝﹣1＜0，φ（2）＝4﹣4ln2＞0，∴存在t0∈（1，2），使得φ（t0）＝0，即∈（1，2），即a∈（1，3），综上所述存在实数一个实数a∈（1，3），得使得函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切．21．已知椭圆Γ＞0）的离心率为，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ截得的弦长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A，B均在椭圆Γ上，点C在抛物线上，若△ABC的重心为坐标原点O，且△ABC的面积为，求点C的坐标．【分析】（1）运用离心率公式和垂直于x轴的弦长公式，以及a，b，c的关系解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）设AB：x＝my+t，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式、三角形的重心坐标，可得C的坐标，代入抛物线方程，结合三角形的面积公式，计算可得C的坐标．解：（1）根据题意得，又因为b2＝a2﹣c2，解得a2＝2，则b2＝1，所以椭圆Γ的方程为：；（2）设AB：x＝my+t，联立椭圆方程x2+2y2＝2，可得（2+m2）y2+2mty+t2﹣2＝0，△＝4m2t2﹣4（2+m2）（t2﹣2）＝8（m2﹣t2+2）＞0①设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2＝﹣，可得y C＝﹣（y1+y2）＝，x C＝﹣（x1+x2）＝﹣[m（y1+y2）+2t]＝﹣，由C在抛物线y2＝x上，可得（）2＝•（﹣），则m2＝﹣②（t ＜﹣），由S△ABO＝|OA|•|OB|•sin∠AOB＝＝＝|x1y2﹣x2y1|，则S△ABC＝3S△ABO＝|x1y2﹣x2y1|＝|（my1+t）y2﹣（my2+t）y1|＝|t（y1+y2）|＝||＝，可得||＝③，将②代入③整理可得[t（2t+1）]2﹣4t（2t+1）+3＝0，解得t＝﹣1或﹣，相应的m2＝2或1．所以C（1，±），或C（2，±1）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）过动点．P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于l的直线交曲线C于A，B两点，若|PA|•|PB|＝2，求动点P到直线I的最近距离．【分析】（1）运用极坐标和直角坐标的关系，以及两角查的正弦公式，化简可得所求直角坐标方程；（2）设出过P且平行于l的直线的参数方程，代入抛物线方程，化简整理，运用韦达定理和参数的几何意义，运用点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，可得所求最值．解：（1）直线l的极坐标方程为，即为（ρsinθ﹣ρcosθ）＝，即ρsinθ﹣ρcosθ＝2，可得y﹣x＝2，即x﹣y+2＝0；曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ，即为ρ2sin2θ＝ρcosθ，可得y2＝x；（2）设P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于l的直线的参数方程设为（t为参数），代入抛物线方程y2＝x，可得t2+t（y0﹣）+y02﹣x0＝0，设PA，PB对应的参数分别为t1，t2，可得t1t2＝2（y02﹣x0），又|PA|•|PB|＝2，即有|y02﹣x0|＝1，由y02＜x0，可得y02＝x0﹣1，即x0＝1+y02，P到直线l：x﹣y+2＝0的距离d＝＝＝[（y0﹣）2+]，当y0＝，x0＝时，动点P到直线l的最近距离为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣2|x﹣2|．（1）若关于x的不等式f（x）≤a有解，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）≤|x﹣b|﹣4对任意x∈R成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）绝对值，化为分段函数，求出函数的值域，即可求出a的范围，（2）画出相对应的函数的图象，结合图象可得b的取值范围．解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣2|x﹣2|＝，∴f（x）的值域为[﹣4，4]，∵关于x的不等式f（x）≤a有解，∴a≥﹣4，（2）y＝f（x）与y＝|x﹣b|﹣4对的图象如图所示：由图象知，要使f（x）≤|x﹣b|﹣4对任意x∈R成立，只需要f（2）≤|2﹣b|﹣4，且b＜0解得b≤﹣6，故b得取值范围为（﹣∞，﹣6]．。
2022-2023学年四川省成都市高三年级上册学期期中考试 数学(理 )
2022-2023学年四川省成都市高三上学期期中考试 理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（ ）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 143. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,64. 函数在区间的图象大致为（ ）()33cos x x y x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（ ）a b = a b∥A. B.C.D.p q∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π8. 数列中，，对任意 ，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=-（ ）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（ ）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11C. 12D. 1310. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（ ）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C.D.12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（ ）AB A. 8B. 6C. 5D. 4.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭15. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：b M ∈211222a b ab +--<+2022-2023学年度上期高2023届11月半期考试理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（ ）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】B 2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 14【答案】C 3. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,6【答案】A4. 函数在区间的图象大致为（ ）()33cos xxy x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.【答案】A5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π【答案】A6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（ ）a b = ab ∥A. B.C.D.p q ∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝【答案】D7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π【答案】B8. 数列中，，对任意 ，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=- （ ）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C9. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（ ）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【答案】C10. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（ ）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<【答案】D 11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C. D. 【答案】C12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（ ）AB A. 8 B. 6C. 5D. 4.【答案】B二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 【答案】12-14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】13515. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △【答案】16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）【答案】5三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 【答案】（1）π3C =（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直可得数量积为0，结合正余弦定理边角互化即可求解，（2）根据余弦定理可求值，进而可求，根据三角形面积公式即可求解.CD a 【小问1详解】因为，所以，m n ⊥()sin (sin sin )()0a b B A C c a -⨯++-=由正弦定理得．()()()a b b a c a c -⨯=+-即，由余弦定理得，222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以．0πC <<π3C =【小问2详解】在三角形中，，ADC 2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠即，解得或，即或，213164CD CD =+-1CD =3CD =2a =6a =因为，故，sin sin B C <B C <因为，所以，故，所以，π3C =A CB >>a c b >>6a =所以11sin 6422ABC S ab C ==⨯⨯=△18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ【答案】（1），中位数；0.012m =68（2）分布列见解析，.911【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，，(0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=解得，0.012m =设中位数为，解得；a ()0.004100.02210600.30.5a ∴⨯+⨯+-⨯=68a =【小问2详解】的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1[)[)[]70,80,80,90,90,100 从中分别抽取7人，3人，1人，∴[)[)[]70,80,80,90,90,100所有可能取值为0，1，2，3，ξ，，，38311C 56(0)C 165P ξ===2183311C C 28(1)C 55P ξ===1283311C C 8(2)C 55P ξ===33311C 1(3)C 165P ξ===故的分布列为：ξξ0123P5616528558551165故()56288190123.165555516511E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）由已知得为等边三角形，，再由，能证明⊥平1A AD1A O AD ⊥1A O CD ⊥1AO 面．ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当的长为时，O //Ox AB O O xyz -BP 23二面角的值为1D A A P --3π【详解】（1）证明：∵，且，13A AD π∠=12AA AD ==∴为等边三角形1A AD∵为的中点O AD ∴，1A O AD ⊥又，且，1CD A O ⊥CD AD D = ∴平面．1A O ⊥ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）O //Ox AB O O xyz -则，，(0,1,0)A-1A 设，(1,,0)P m ([1,1])m ∈-平面的法向量为，1A AP 1(,,)n x y z =∵，，1AA =(1,1,0)AP m =+且，1110(1)0n AA y n AP x m y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 取，得1z=11),n m =+平面的一个法向量为11A ADD 2(1,0,0)n =由题意得12cos ,n n = 解得或（舍去），此时13m =-53m =-12133BP =-=∴当的长为时，二面角的值为.BP 231D A A P --3π20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 【答案】（1）22143x y +=（2）94【解析】【分析】（1）由题意列出曲线方程化简即可求解；（2）设直线AB 的方程为，，，表示出，联立直线与椭圆方程消去，1,x my =-()11,A x y ()22,B x y P x 表示出关于的韦达定理，结合求出直接PB 的方程，令，求出坐标，进而得到，由y ,B P 0y =M FM求出面积，结合换元法和对勾函数性质可求面积的最大值.1212ABM S FM y y =-△ABM 【小问1详解】设曲线C 上的任意一点的坐标为，(),x y，即，所以曲线C 的方程为；12=22143x y +=22143x y +=【小问2详解】由题意，设直线AB 的方程为，，，则.1,x my =-()11,A x y ()22,B x y ()14,P y -联立方程得，则，221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my +--=()214410m ∆=+>所以，，所以122634m y y m +=+122934y y m -=+()121223my y y y -=+又因为，所以直接PB 的方程为.2124PB y y k x -=+()211244y y y y x x --=++令，则，0y =()()1212121212121343352444422y y y x my y y x y y y y y y -++=--=--=--=-+=----所以，.5,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭32FM =因为12y y -====所以121324ABMS FM y y =-==△令，，则.t =1t ≥2991313ABM t S t t t ==++△又因为在上单调递减，所以当时，，()913f t t t =+[)1,+∞1t =()max94ARM S =△故面积的最大值为.ABM 94【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+【答案】（1） 1m n ==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，由可求对应的m 和n 的值；()()10,11f f '==（2）设，由可判断，由得，设0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b <<<0a b <<11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，得，代换整理得，原不等式要11x b =21x a =21x tx =()()11221ln 1ln x x x x -=-11ln ln 1t t t x t --=-证，只需证，全部代换为关于的不等式得，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<t ()()1ln 1ln 0t t t t -+-<设，，由导数得，再证，放缩得()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-1t >()12ln 11S t t t ⎛⎫'=+-⎪+⎝⎭()ln 1x x ≤+，进而得证.112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭【小问1详解】由，得.()ln m x n f x x +=()2ln m m x nf x x --'=因为函数在处的切线方程为，()f x ()()1,1f 1y =所以，，则；()10f m n '=-=()11f n ==1m n ==【小问2详解】证明：由（1）可得，，，()ln 1x f x x +=()2ln xf x x -'=所以当时，，单调递增；()0,1x ∈()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减.()1,x ∈+∞()0f x '<()f x 因为，是函数的图象上两点，且，()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =不妨设，且，所以.0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b<<<由，得，即.()()f a f b =ln 1ln 1a b a b ++=11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，.11x b =21x a =设，则，所以，21x tx =1t >()()11221ln 1ln x x x x -=-即，故.()111ln 1ln ln x t t x -=--11ln ln 1t t tx t --=-要证，只需证，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<即证，即证，即证，12e x x +<()11e t x +<()1ln 1ln 1t x ++<即证，即证.()1ln ln 111t t tt t --++<-()()1ln 1ln 0t t t t -+-<令，，()()()1ln 1ln S t t t t t=-+-1t >则，()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭证明不等式；()ln 1xx ≤+设，则，()()ln 1u x x x=+-()1111xu x x x -'=-=++所以当时，；当时，，10x -<<()0u x '>0x >()0u x '<所以在上为增函数，在上为减函数，()u x ()1,0-()0,∞+故，所以成立.()()max 00u x u ==()ln 1xx ≤+由上还不等式可得，当时，，故恒成立，1t >112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭()0S t '<故在上为减函数，则，()S t ()1,+∞()()10S t S <=所以成立，即成立.()()1ln 1ln 0t t t t -+-<12e x x +<综上所述，.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +【答案】（1） y =2220x y x +--=（2）79【解析】【分析】（1）利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l 的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标判断得P 在直线l 上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l 代入曲线C 的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解.【小问1详解】因为直线l 的参数方程为（t 为参数），12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为y =因为，即，π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2cos ρθθ=+所以，得，22cos sin ρρθθ=+222x y x +=+所以曲线C 的直角坐标方程为.2220x y x +--=【小问2详解】因为点P 的极坐标为，所以点P 的直角坐标为，所以点P 在直线l上，3π2⎫⎪⎭(0,将直线l 的参数方程（t 为参数），代入，化简得，12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2220x y x +--=2790t t -+=设A ，B 两点所对应的参数分别为，，则，，故，，1t2t 127t t +=129t t =10t >20t >所以，，11PA t t ==22PB t t ==所以.121212111179t t PA PB t t t t ++=+==23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：.b M ∈211222a b ab +--<+【答案】（1）{}11M x x =-<<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）采用零点讨论法去绝对值可直接求解；（2）结合绝对值三角不等式得，要证()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+，即证，即证，去平方结合因式分解即可求211222a b ab +--<+1a b ab +<+221a b ab +<+证.【小问1详解】.()21110f x x x =+-+-<①当时，不等式可化为，解得，则；1x <-()21110x x -+++-<1x >-x ∈∅②当，不等式可化为，解得，则；112x -≤≤-()()21110x x -+-+-<1x >-112x -<≤-③当时，不等式可化为，解得，则.12x >-()()21110x x +-+-<1x <112x -<<综上所述，；{}11M x x =-<<【小问2详解】证明：因为（当且仅当时取等号），()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+()()21120a b +-≥所以要证，只需证，211222a b ab +--<+2222a b ab +<+即证，即证，即证，1a b ab +<+221a b ab +<+222210a b a b --+>即证.()()22110a b -->由（1）可知，.{}11M x x =-<<因为a ，，所以，所以成立.b M ∈221,1a b <<()()22110ab -->综上所述，.211222a b ab +--<+。
河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理科)试题(含答案)
南阳市2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上,在本试卷上答题无效.2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁,不折叠、不破损．第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合40,{54}1x A x B x x x -⎧⎫=≤=-<<⎨⎬+⎩⎭∣∣, 则()R A B ⋂=ðA. (,1](4,)-∞-⋃+∞B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. (-5,-1)D. (-5,-1]2. 若||||2z i z i +=-=, 则||z = A. 1D. 23. 若,x y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩ 则2y -的最小值是A. -1B. -3C. -5D. -74. 已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-. 若710k a <<, 则k = A. 9B. 10C. 11D. 125.已知sin 12x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 58-B. 58C. 4-D.46. 在ABC 中,30,C b c x ︒===. 若满足条件的ABC 有且只有一个, 则x 的可能取值是 A.12B.2C. 17. 若函数()(sin )x f x e x a =+在点(0,(0))A f 处的切线方程为3y x a =+, 则实数a 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 48. 在ABC 中, 角,,A B C所对的边分别为,,cos ),a b c c b A a b -==则ABC 的外接圆面积为A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π9. 函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示, 将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半 (纵坐标不变), 再向右平移(0)θθ>个单位长度后, 所得到的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 则θ的最小值为A.76π B. 6πC. 8πD. 724π10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:(3)(3),(6)(6)f x f x f x f x +=-+=--, 且当[0,3]x ∈时,()21()x f x a a =⋅-∈R , 则(1)(2)(3)(2023)f f f f ++++=A. 14B. 16C. 18D. 2011. 已知:2221tan log 38,21tan 8a b c ππ-===+, 则 A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a <<12. 已知正数,a b 满足221ln(2)ln 1a a b b +≤-+, 则22a b +=A.52C.32第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知2()lg5lg(10)(lg )f x x x =⋅+, 则(2)f =_____.14. 在ABC 中,3,4,8AB BC CA CB ==⋅=, 则AB 边上中线CD 的长为_____.15. 已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩则1()2f x <的解集是_____.16. 若方程2ln 1x x e ax x -=--存在唯一实根,则实数a 的取值范围是_____.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分 10 分)已知函数22()2cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()y f x =的单调递增区间;(2) 若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18. (本题满分 12 分)已知数列{}n a 和{}n b 满足:)*121,2,0,n n a a a b n ==>=∈N ,且{}n b 是以 2 为公比的等比数列. (1) 证明: 24n n a a +=;(2) 若2122n n n c a a -=+, 求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S . 19. (本题满分 12 分)已知函数()ln ,()(1)f x x x g x k x ==-. (1) 求()f x 的极值;(2) 若()()f x g x ≥在[2,)+∞上恒成立, 求实数k 的取值范围. 20. (本题满分 12 分)数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,()()*24,21n n a S n a n ==+∈N . (1)求证: 数列{}n a 是等差数列,并求出其通项公式;(2) 求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .21. (本题满分 12 分)已知,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边, 向量(sin ,sin ),(cos ,cos )A B B A ==m n（1）若234,cos 3a b C ==, 证明: ABC 为锐角三角形; （2）若ABC 为锐角三角形, 且sin 2C ⋅=m n , 求ba的取值范围.22. (本题满分 12 分)已知函数21()12x f x e x ax =---, 若()()()2g x h x f x +=, 其中()g x 为偶函数,()h x 为奇函数.（1）当1a =时,求出函数()g x 的表达式并讨论函数()g x 的单调性;(2) 设()f x '是()f x 的导数. 当[1,1],[1,1]a x ∈-∈-时,记函数|()|f x 的最大值为M , 函数()f x '的最大值为N . 求证:M N <.高三（理）数学参考答案第1页（共6页）2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案DCDBBDBDCABA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114．215．13(2,2)()36k k k Z ππππ++∈16．(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】(1)211cos 21cos 221cos 21cos 2322()2222x x x x x f x π⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭=+=+31sin 2cos 21sin 24423x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．………………………………3分令5222,,2321212k x k k k x k πππππππππ-+≤+≤+∈-+≤≤+Z，∴()y f x=的单调递增区间为5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………5分(2)()12()12233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．………………6分∵()y g x =关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，高三（理）数学参考答案第2页（共6页）∴222,,2332k k k ππππϕπϕ⋅++=∈=-+Z ，……………………………………7分∵02πϕ<<，∴3πϕ=．∴()1)1sin 222g x x x π=++=-………………………………………8分当2,,2,6333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴sin 2x ⎤∈⎥⎣⎦…………………………………9分所以1()1,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.………………………………………………………10分18．【解析】(1)由n b =得，2211==a a b ，故211222--=⋅=n n n b …………………………………………………………2分则12212)(-+==n n n n b a a ①所以，12212+++=n n n a a ②………………………………………………………4分由①②得，n n a a 42=+．…………………………………………………………6分(2)由（1）知数列}{2n a 和数列}{12-n a 均为公比为4的等比数列，…………8分所以，1212224--=⋅=n n n a a ，22111-224--=⋅=n n n a a 2122n n n c a a -=+=1122245222---⨯=⋅+n n n .…………………………………10分所以，)14(3541455-=-⨯-=nn n S ………………………………………………12分高三（理）数学参考答案第3页（共6页）19．【解析】(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,()ln 1f x x '=+,令()0,f x '=则1x e=，……………………………………………………………2分当1(0,)x e∈，()0,f x '<()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，()0,f x '>()f x 单调递增，所以()f x 在1x e=处取得极小值，………………………………………………4分故()f x 有极小值1e-，无极大值.…………………………………………………5分(2)（法一）由()()f x g x ≥在[)2,+∞上恒成立,即ln 1x x k x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需min ln ()1x xk x ≤-…………………………7分令ln ()1x xh x x =-，则2ln 1()(1)x x h x x --'=-，………………………………………9分令()ln 1x x x ϕ=--，则1()x x xϕ-'=，………………………………………10分易知当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，所以ln 10x x -->，即()0h x '>，即()h x 单调递增，故min ()(2)2ln 2h x h ==.…………………………………………………………11分所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分（法二）由题(ln 1)k x x x -≥，即(n 1)l k x x x -≥，令(1)()ln h x x k x x=--………6分则22(11())kx k x x kh x xx x '=--=--，…………………………………………………7分高三（理）数学参考答案第4页（共6页）当2k ≤时，0x k ->，()0f x '>，()f x 递增，所以min ()(2)ln 202kh x h ==-≥，所以2ln 2k ≤；…………………………………9分当2k >时，有x k >时，()0f x '>，()f x 递增，x k <时，()0f x '<，()f x 递减，即min ()()ln (1)h x h k k k ==--，可证ln (1)0k k --<，显然不合题意，舍去.…11分综上，所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分20．【解析】(1)当1n =时，则1121a a =+，所以11a =，因为)1(2+=n n a n S ①所以，当2n ≥时，)1(1-21-1-+=n n a n S ）（②…………………………2分①-②得：()()()1211,2n n n a n a n --=--≥，③故，()()()12321,3n n n a n a n ---=--≥，④③-④得：()1223n n n a a a n --=+≥，所以{}n a 为等差数列，…………………………5分又213d a a =-=，所以，()13132n a n n =+-=-；…………………………6分(2)由()()21n n S n a n N *=+∈得2)13(-=n n S n ，故1221211(2(33)3(1)31n S n n n n n n n ==⋅=-++++，.………………………9分故1231111211111...)()...()]246232231n n T S S S S n n n =++++=-+-+++++++212(1313(1)nn n =-=++…………………………………………………………12分21．【解析】高三（理）数学参考答案第5页（共6页）（1）令3412(0)a b k k ==>，由2222222(4)(3)cos ,32243a b c k k c C ab k k +-+-===⨯⋅3c k ∴=.………………………………………………………………………………2分即4,3,3a k b k c k ===，从而a 边最大，…………………………………………3分又222222(3)(3)(4)21cos 02233189b c a k k k A bc k k +-+-====>⋅⋅，即A 为锐角,………5分∴ABC ∆为锐角三角形．……………………………………………………………6分（2）因为sin cos sin cos sin()A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+m n ，而在ABC △中，π,0πA B C C +=-<<，所以sin()sin A B C +=，又sin 2C ⋅=m n ，所以sin 2sin ,C C =得1cos 2C =，所以π3C =.……………………………………7分又ABC ∆为锐角三角形，1022π1032A A ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得,tan 623A A ππ<<>, (8)分1sin sin sin 1322sin sin sin 2A A Ab B a A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭==== ,………………………10分结合3tan 3A >12+∈1,22⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………11分所以1,22b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.………………………………………………………………………12分22．【解析】(1)当1=a 时，21()12xf x e x x =---，由题()()()2g x h x f x +=，其中)(x g 为偶函数，)(x h 为奇函数，易知()()()g x f x f x =+-，从而得2()2x x g x e e x -=+--.………2分所以'()2x x g x e e x -=--.令()'()x g x ϕ=，则'()2x x x e e ϕ-=+-.因为'()220x x x e e ϕ-=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立，高三（理）数学参考答案第6页（共6页）所以'()g x 在R 上单调递增.………………………………………………………………4分注意到()'00g =，当(,0)x ∈-∞时，'()0g x <，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >.所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.………………………………5分（2）由()f x 的定义域是R .'()x f x e x a =--，设函数()x h x e x a =--，则'()1x h x e =-.令'()0h x =，得0x =.……………………6分因为)'(h x 在R 上单调递增，所以当(,0)x ∈-∞时'()0h x <，当(0,)x ∈+∞时'()0h x >.因此()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.于是()()010h x h a ≥=-≥，即'()0f x ≥,所以()f x 在R 上单调递增..………………………………………………………………7分注意到()00f =，所以在(),0-∞上()0f x <，在()0,∞+上()0f x >.所以函数(),0()(),0f x x y f x f x x -<⎧==⎨≥⎩，()y f x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增.故()(){}()-1,1max f x maxf f =，…………………………………………………8分又]1,1[-∈a ()()3313311,12222f e a e a f a a e e=--=---=-+=--|(1)||(1)|f f --=013<--e e ，因此max 3|()||(1)|2f x f e a ==--.……………9分又()max max 3|'()|111|()|2f x f e a e a e a f x '≥=--=-->--=，……………11分所以|()||'()|max max f x f x <,即M N <…………………………………………………12分。
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河南省郑州市一中届高三年级11月期中考试 数学（理）
说明：1．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题，满分150分，考试时间120分钟． 2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填在第Ⅱ卷的答案题表中．考试结束交第Ⅱ卷． 第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1．若集合M ＝{y ｜y ＝2－x}，N ＝{y ｜y
，则M ∩ N 等于 ( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)
C ．[1，＋∞)
D ．(1，＋∞)
2．设α是第四象限角，tan α＝－5
12，则sin α等于 ( ) A ．1
5
B ．－15
C ．513
D ．－513
3．设等差数列{an}的前n 项和是Sn 且a4＋a8＝0，则 ( ) A ．S4<S8 B ．S4＝S2 C ．S6＝S5 D ．S6<S5
4．若f (a ＋b)＝f (a)·f (b)且f (1)＝2,则(2)(1)f f ＋(4)(3)f f ＋(6)(5)f f ＋…＋(2008)
(2007)f f 等于( )
A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009
5．
1111lim (1)(1)(1)(1)3452n n n →∞⎡
⎤----⎢⎥⎣⎦…＋的值等于 ( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．在三角形ΔABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，22A b c c 2
＋cos ＝，则ΔABC 的
形是 ( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰直角三角形或直角三角形
7．函数y
(1≤x ≤2)的反函数是 ( ) A ．y ＝1
－1≤x ≤1)
B ．y ＝1
(0≤x ≤1)
C ．y ＝1
≤x ≤1) D ．y ＝1
(－1≤x ≤1)
8．方程x(x －1)(x ＋1)＋0．01＝0在区间I 内恰有一实根，则I 可以是 ( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1，0)
C ．(0，1)
D ．(1，＋∞)
9．已知整数对排列如下：(1，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，……则第79个数对是 ( ) A ．(15，3) B ．(16，2) C ．(14，4) D ．(17，1)
10．f (x)定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f (x)≤0，对任意的正数a ，b ，
若a<b ，则必有 ( ) A ．af (b)≤bf (a) B ．bf (a)≤af (b) C ．af (a)≤bf (b) D ．bf (b)≤af (a) 11．函数y ＝4sinx(0≤x ≤π)，y ＝2sinx －
≤x ≤π)与直线y ＝0，y ＝
形的面积为 ( )
A
B
．3 C ．
D ．32π
12．已知函数f (x)＝｜x2－2x －3｜，则关于方程mf2(x)＋2mf (x)＋m －25＝0有四个不同 实数解的充要条件是 ( )
A ．1<m<25
B ．m ≥25或m ≤l
C ．1<m<25
D ．0≤m ≤4
二．填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分．把答案写在Ⅱ卷相应的横线上。
13．函数f (x)＝
212
log (610)
x x －＋，则此函数的单调递减区间是___________________.
14．函数f (x)是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝23
1a a －＋
．则实数a 的取值范围是______________．
15．已知直线x ＝m 与函数f (x)＝2sinx ，g(x)＝cosx 的图象分别交与M, N 两点，则｜MN ｜的最大值是_____________.
16．已知x ∈N ﹡，函数f (x)＝235()(2)()x x f x x ⎧⎨
⎩
－≥3＋＜3的值域为D ，给出下列数值：
－26,－1, 9, 14, 27, 65, 其中属于集合D 数据为________________． 三．解答体：本大题共6题，共70分，解答应写出说明，证明过程，或文字说明．
17．(本小题满分10分)记函数f (x)
A ，
g(x)＝lg[(x －a －1)(2a －x)]，(a<1)的定义域为B ． (1)求A ；
(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．
18．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝2cosxcos(6π
－x)
2
sin cos x x x ＋． (1)若f(x)＝－1且x ∈[－32π, 3π
]，求x 的值；
(2)将函数f (x)的图象按向量a ＝(m ，0)平移，使所得的图象关于y 轴对称，求m 的最 小正值．
19．(本小题满分12分)设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13．
(1)求{an}，{bn}的通项公式： (2)求数列n n a b
⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．
20．(本小题满分12分)设函数f (x)＝(1＋x)2－2ln(1＋x)．
(1)若存在x0∈[0，1]使不等式f (x0)－m ≤0能成立，求实数m 的最小值；
(2)关于x 的方程f (x)＝x2＋x ＋a 在[0，2 ]上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围．
21．(本小题满分12分)设集合A ＝［－1，1］，B ＝[
－2
,2]，函数f (x)＝2x2＋mx －1．
(1)若不等式f (x)≤0的解集为C ，且C ⊆A ，求实数m 的取值范围；
(2)当m ∈A ，x ∈B 时，证明：｜f (x)｜≤98．
22．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且对一切正整数n 都有
Sn ＝n2＋1
2an ．
(1)求数列{an}的通项公式：
(2)是否存在实数a ，使不等式(1－11a )(1－21a )…(1－1n a
2n 都
成立?若存在，求出a 的范围：若不存在，请说明理由．
参考答案 一、选择题
1-6 ADDCCB 7-12 CAADBA 二、填空题
13．[)3, +∞ 14.2(1, )3-
16. -26，14，65
三、解答题
17．（1）[)(, 1)1, -∞-∞ （2）
12a 12a a ⎧⎫
≤-≤<⎨⎬⎩⎭或
18．（1）4π-
或712π
-
（2）512π
19．（1）
n 1
n n a 2n 1,b 2
+=-= （2）6
n 12n 3
2-+-
20．（1）1 （2）(22ln 2, 3-2ln3)-
21．（1）[]1,1- （2）由
21
m A,x B m 1,x 2∈∈≤≤
得
所以
222()(2x 1)mx 2x 1mx 12x m x 12x x
f x =-+≤-+=-+≤-+
2199
12x x 2(x )488≤-+=--+≤
22．（1）n a 2n
= （2
）
a ((3,)∈+∞。