高三数学上学期期中考试试卷(文科)
高三数学(文科)第一学期期中考试试卷
高三数学〔文科〕第一学期期中测试试卷班级 姓名 学号 成绩一、选择题:〔每题5分,共40分.请将答案填在第二页的表格中〕1．满足条件{}{}3,2,12,1= M 的集合M 的个数是〔 〕 )(A 1 )(B 2 )(C 3 )(D 42．函数⎩⎨⎧<+≥-=10)]5([103)(n n f f n n n f ,其中*∈N n ,那么)8(f 的值为〔 〕)(A 2 )(B 4 )(C 6 )(D 73．函数bx x f a +=log )(是偶函数,且在区间()∞+,0上单调递减,那么)2(-b f 与)1(+a f 的大小关系为〔 〕)(A )1()2(+=-a f b f )(B )1()2(+>-a f b f )(C )1()2(+<-a f b f )(D 不能确定4．数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,其公比1≠q ,且0>i b 〔 ,3,2,1=i 〕,假设11b a =,1111b a =,那么〔 〕)(A 66b a = )(B 66b a > )(C 66b a < )(D 66b a >或66b a <5．数列{}n a 、{}n b 满足1=⋅n n b a ,232++=n n a n ,那么{}n b 的前10项之和等于〔 〕)(A 31 )(B 125 )(C 21 )(D 12716．对于函数⎩⎨⎧<≥=时当时当x x xx x xx f cos sin cos cos sin sin )(,以下结论正确的选项是〔 〕)(A 函数)(x f 的值域是［－1,1］ )(B 当且仅当22ππ+=k x 时,)(x f 取最大值1)(C 函数)(x f 是以π2为最小正周期的周期函数)(D 当且仅当ππππ4522+<<+k x k 〔Z k ∈〕时,0)(<x f7．假设向量()ααsin ,cos =a ,()ββsin ,cos =b 那么a 与b 满足〔 〕)(A a 与b 的夹角等于βα- )(B ()()b a b a -⊥+ )(C b a // )(D b a ⊥8．函数)(x f 和)(x g ,对任意实数x 有)()(x f x f -=-,)()(x g x g =-,且当0>x 时,0)('>x f ,0)('>x g ,那么当0<x 时〔 〕)(A 0)('>x f ,0)('>x g )(B 0)('>x f ,0)('<x g )(C 0)('<x f ,0)('>x g )(D 0)('<x f ,0)('<x g二．填空题〔每题5分,共30分,请将答案填在第二页表中〕9．命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素〞是假命题,那么以下命题：①M 的元素都不是P 的元素 ②M 的元素不都是P 的元素 ③M 中有P 的元素 ④存在M x ∈,使得P x ∉其中真命题的序号是 〔将你认为正确的命题的序号都填上〕10．函数)(x f 是R 上的减函数,其图象经过点)1,4(-A 和)1,0(-B ,函数)(x f 的反函数是)(1x f -,那么)1(1-f 的值为 ,不等式1)2(<-x f 的解集为11．在如图的表格中,每格填上一个数字,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么=++c b a12．ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,假设1=a ,︒=45B ,ABC ∆的面积为2,那么ABC ∆的外接圆直径等于13．0>a ,函数ax x x f -=3)(在[)∞+,1上是单调增函数,那么a 的最大值是14．函数)(x f 是定义在]1,0[上的函数,满足)2(2)(x f x f =,且1)1(=f ,在每一个区间⎥⎦⎤⎝⎛-121,21i i 〔 ,3,2,1=i 〕上,)(x f y =的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一局部,记直线n x 21=,121-=n x ,x 轴及函数)(x f y =的图象围成的梯形面积为n a 〔 ,3,2,1=n 〕,那么数列{}n a 的通项公式为答案 1. 选择题2. 填空题9. ; 10. ;11. ; 12. ;13. ; 14. .2班级 姓名 学号 成绩三．解做题〔共80分〕15．〔12分〕函数θθθsin 2)sin()sin()(--++=x x x f ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πθ23,0,且 432tan -=θ,假设对任意R x ∈,都有0)(≥x f 成立,求θcos 的值16．〔12分〕解关于x 的不等式a xax -≥-2217．〔14分〕如图,四棱锥ABCD S -的底面是正方形,⊥SA 底面ABCD ,E 是SC 上一点〔1〕求证：平面⊥EBD 平面SAC ；〔2〕设4=SA ,2=AB ,求点A 到平面SBD 的距离；ED CBAS〔3〕当ABSA的值为多少时,二面角D SC B --的大小为︒1203班级 姓名 学号 成绩18．〔14分〕数列{}n a 中,11=a ,且点),(1+n n a a 在直线012=+-y x 上 (1) 设1+=n n a b ,求证：数列{}n b 是等比数列； (2) 设)23(+=n n a n c ,求数列{}n c 的通项公式； (3) 求数列{}n c 的前n 项和n S19．〔14分〕R a ∈,))(4()(2a x x x f --=〔1〕求导数)('x f ； 〔2〕假设0)1('=-f ,〔3〕求函数)(x f 在]2,2[-上的最大值和最小值； 〔4〕假设)(x f 在(]2,-∞-和[)∞+,2上都是单调递增的, 〔5〕求a 的取值范围4班级 姓名 学号 成绩20．〔14分〕如果一个数列的各项的倒数成等差数列,我们把这个数列叫做调和数列 (1)假设2a ,2b ,2c 成等差数列,证实c b +,a c +,b a +成调和数列；(2)设n S 是调和数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前n 项和,证实对于任意给定的实数N ,总可以找到一个正整数m ,使得当m n >时,N S n >高三数学答案〔文科〕一. 选择题二. 填空题9. ②④ ; 10. -4 , (-2,2) ;11. 1 ; 12.25; 13.3; 14.1224+-=n n ka 三．解做题15．解：依题意)1(cos sin 2sin 2cos sin 2)(-=-=x x x f θθθ01cos ≤-x 0sin ≤∴θ πθπ23<≤∴由432tan -=θ得3tan =θ 1010cos -=∴θ16．解：原不等式等价于()02)(1≥-+xax x当0=a 时,解集为)0,1[- 当0>a 时,解集为[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,20,1a 当02<<-a 时,解集为[)⎥⎦⎤ ⎝⎛∞--a 2,0,1 当2-=a 时,解集为()0,∞- 当2-<a 时,解集为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-0,21,a 17．(1)证实： ⊥SA 底面ABCD BD SA ⊥∴且AC BD ⊥ ∴SAC 平面⊥BD∴平面⊥EBD 平面SAC(2)解：由于ABD -S SBD -A V V =,且232221S SBD ⨯⨯=∆,可求得点A 到平面SBD 的距离为34 (3)解：作F SC BF 于⊥,连DF ,那么B FD ∠为二面角D SC B --的平面角 设1AB =,x SA =,在SB C Rt ∆中,求得2122++=x x BF ,同理,2122++=x x DF ,由余弦定理DF BF BD DF BF ⋅-+=︒2120cos 222 解得1=x , 即ABSA＝1时,二面角D SC B --的大小为︒120 18．〔1〕证实：由得121+=+n n a a ,)1(211+=+∴+n n a a即n n b b 21=+,所以数列{}n b 是等比数列〔2〕解：n n b 2=,12-=∴n n a ,)123(-⋅=∴nn n c〔3〕解：)321()2232221(3321n n S nn ++++-⋅++⋅+⋅+⋅=设nn n T 2222121⋅++⋅+⋅=132222212+⋅++⋅+⋅=n n n T所以22)1(1+⋅-=+n n n T所以2)1(]22)1[(31+-+⋅-=+n n n S n n 19．解：〔1〕423)(2'--=ax x x f〔2〕由0)1('=-f 得21=a ,所以43)(2'--=x x x f 令0)('=x f ,得34=x 或－1,2750)34(-=f ,29)1(=-f ,0)2()2(==-f f 所以)(x f 在]2,2[-上的最大值为29,最小值为2750-〔3〕依题意只须0)2('≥-f ,0)2('≥f ,即⎩⎨⎧≥-≥+048084a a ,解得a 的取值范围为［－２,２］20.证实：〔１〕欲证c b +,a c +,b a +成调和数列,只须证ba cb ac +++=+112 只须证))(())(())((2c b a c b a a c b a c b +++++=++ 化简后,只须证2222c a b +=由于2a ,2b ,2c 成等差数列,所以2222c a b +=成立 所以c b +,a c +,b a +成调和数列〔２〕nS n 131211++++= 212121211)212121()81818181()4141(21121312112k S k k k k k +=++++=++++++++++++>++++=∴对于任一给定的N ,欲使N S n >,只须N k>+21,即)1(2->N k , 取1]2[)1(2+=-N m (其中]2[)1(2-N 表示)1(22-N 的整数局部),那么当m n >时,N S n >(此题解法和答案不唯一)。
2022-2023学年江西省高三上学期文科数学期中考试试卷及答案
丰城中学2022-2023学年上学期高三期中考试文科数学试卷本试卷总分值为150分考试时长为120分钟考试范围：集合、简易逻辑、函数与导数、三角函数、平面向量一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2N 23A x x x =∈+≤，{}2B x x =>-，则A B =A ．{}21x x -<≤B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．已知命题:p 对任意1x >，有ln 1x x x >-成立，则p ⌝为A ．存在01x >，使000ln 1x x x >-成立B ．存在01x >，使000ln 1x x x ≤-成立C ．对任意01x ≤，有000ln 1x x x ≤-成立D ．对任意01x >，有000ln 1x x x ≤-成立3．若60︒的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹的扇形的面积为A ．23πB ．πC ．43πD ．2π4．下列命题中正确的是A ．若a →、b →都是单位向量，则a →＝b→B ．若AB =DC，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形C ．若a →∥b →，且b →∥c →，则a →∥c→D ．AB 与BA是两平行向量5．已知 1.20.2ln 2,log 0.1,2a b c -===，则A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b <<D ．c a b<<6．把函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移3π个单位长度，得到图象对应的解析式为A ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．5sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．11sin 212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．5sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．“[3,4)a ∈”是函数“1(2)2,2()2,2x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩是定义在R 上的增函数”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．在ABC 中，4BC =，5AC =，10AC BC ⋅=，则AB =A．BC ．5D9．已知O 是ABC 内部的一点，A ∠，B Ð，C ∠所对的边分别为3a =，2b =，4c =，若0sin sin sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ，则AOB ∆与ABC ∆的面积之比为A ．94B ．31C ．92D ．9510．已知函数()2()lg 1f x x ax a =+--，给出下述论述，其中正确的是A ．当0a =时，()f x 的定义域为(,2)(1,)-∞-+∞ ；B ．()f x 一定有最小值；C ．当2a =时，()f x 的单调增区间为(1,)-+∞；D ．若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}|3a a >-．11．已知()()21ln 02f x a x x a =+>若对于任意两个不等的正实数1x 、2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是A ．[)1,+∞B ．(]0,1C ．(]0,3D ．[)1,2e 12．已知函数()11,02lg ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在不相等的实数a ，b ，c ，d 满足()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围为A ．()0,+∞B ．812,10⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．612,10⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．810,10⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知函数2(1)g x x=-，且221[()]1x f g x x-=+，则(1)f =________．14．已知tan 2α=，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径,A B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点,C D ，测得30CD =米，135ADB ∠= ，15,120BDC DCA ACB ∠∠∠===（设定,,,A B C D 四点在同一平面上），则AB 两点的距离为___________米.16．已知正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足1OP =，若AP mAB nAD =+ ，其中m 、n ∈R ．则2122m n ++的最大值为．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本大题共10分）已知m ∈R ，命题2000:,30p x x x m ∃∈-+R ；命题2:,290q x x mx ∀∈-+R ．(1)若命题p 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p q ∧为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本大题共12分）已知1sin cos 5αα+=-．（1）求sin cos αα⋅的值；（2）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin cos()απα+-的值．19．（本大题共12分）已知向量()2,a m =，()()1,6R b m m =--∈ ．（1）若a b a b +=-，求实数m 的值；（2）若》《b a ,为钝角，求实数m 的取值范围．20．（本大题共12分）已知函数()22cos sin cos f x x x x a ωωω=++（0>ω，a ∈R ）．且()f x 的最大值为1；其图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2．求：(1)函数()f x 的解析式；(2)若将函数()f x 图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移π12个单位，得到函数()g x 的图像，若()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，求m 的最大值．21．（本大题共12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，△ABC 的面积214S c =．(1)cos B b =-，求sinsin AB 的值；(2)求a b的取值范围．22．（本大题共12分）已知函数()()ln 0bf x a x x a =+≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()122f x f x e -≤-成立，求实数b 的取值范围．丰城中学2022-2023学年上学期高三期中考试文科数学答案一、选择题(每小题5分，共60分)题号123456789101112答案CBADDBCBADAC11、不妨设120x x >>，可得()()121222f x f x x x ->-，可得()()112222f x x f x x ->-，令()()212ln 22g x f x x a x x x =-=+-，则()()12g x g x >，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，()20ag x x x'∴=+-≥对任意的0x >恒成立，所以，22a x x ≥-，当0x >时，()222111x x x -=--+≤，当且仅当1x =时，等号成立，所以，1a ≥.故选：B.12、由题设，将问题转化为y m =与|()|f x 的图象有四个交点，1,221,20|()|2lg ,01lg ,1xx xx f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪+-<≤=⎨⎪-<≤⎪⎪>⎩，则在(,2]-∞-上递减且值域为[0,)+∞；在(2,0]-上递增且值域为(0,1]；在(0,1]上递减且值域为[0,)+∞，在(1,)+∞上递增且值域为(0,)+∞；|()|f x 的图象如下：所以01m <≤时，y m =与|()|f x 的图象有四个交点，不妨假设a b c d <<<，由图及函数性质知：142011010a b c d -≤<-<≤<≤<<≤，易知：4a b +=-，101(2,]10c d +∈，所以61(2,]10a b c d+++∈-.故选：C 二、填空题(每小题5分，共20分)13.114.721015.16.15、由题意可知在ADC 中，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=+= ,则1801501515DAC ∠=--= ,故30AD DC ==,在BDC 中，15120135DCB ACD ACB ∠=∠+∠=+= ,故1801351530DBC ∠=--= ,故由sin sin BD CDDCB DBC=∠∠,得230sin 21sin 2CD DCBBD DBC∠===∠在ADB △中，2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅⋅o 222302303045002=++⨯⨯=，故AB =.故答案为：16、以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0A 、()2,0B 、()0,2D 、()2,2C 、()1,1O ，()2,2AP mAB nAD m n =+=，即点()2,2P m n ，因为1OP = ，则点P 在以O 为圆心，半径为1的圆上，设点()1cos ,1sin P θθ++，则21cos 21sin m n θθ=+⎧⎨=+⎩，则212cos 223sin m t n θθ++==++，整理可得sin cos 23t t θθ-=-，()23t θϕ-=-，其中cos ϕ=，sin ϕ=所以，23t -≤281230t t -+≤t ≤≤因此，2122m n ++三、解答题：17.解：(1)由已知，命题2,30x R x x m ∀∈-+>为真命题，故∆<0，即9－4m ＜0，解得：m ＞94，所以实数m 的取值范围是9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)由（1）知命题p 为真命题，则94m ≤；命题2:,290q x x mx ∀∈-+R 为真命题，则2Δ4360m =-≤，解得：33m -≤≤，由命题p q ∧为真命题，故p 真q 真，因为{}9334m m m m ⎧⎫≤⋂-≤≤=⎨⎬⎩⎭934m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭，故实数m 的取值范围是93,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.解：（1）∵1sin cos 5αα+=-，∴()21sin cos 25αα+=，即112sin cos 25αα+=，∴12sin cos 25αα=-；（2）∵()249sin cos 12sin cos 25αααα-=-=，又∵,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0α>，cos 0α<，则()7sin cos sin cos 5απααα+-=-=．19.解：（1）由a b a b +=- ，则0a b ⋅=即()2160a b m m ⋅=--=即410m -=，得14m =．（2）若,a b 为钝角，即00,180a b a b a b ⎧⋅<⎪⇔⋅<⎨≠︒⎪⎩且a b ∥即()2160a b m m ⋅=--<，得14m >，且a b∥则()1210m m ---≠得4m ≠且3m ≠-综上解得14m >且4m ≠．20.解：（1）()22cos sin cos f x x x x a ωωω=++cos 2212sin 216x x a x a πωωω⎛⎫=+++=+++ ⎝⎭，因为()f x 的最大值为1，()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2所以211++=a ，22T ππω==，解得1ω=，2a =-，所以，()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（2）根据题意得()2sin 416g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为[]0,x m ∈，所以4,4666x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，所以，74660m m ππ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得03m π<≤.所以，m 的最大值为3π.21.解：（1cos B b -cos sin C B A B =-，cos )sin C B B C B =+-,cos sin B C B =，因为sin 0B ≠1C =，即cos C =(0,π)C ∈得：π4C =;由214S c =得：211sin 24ab C c =，即2144ab c =2c =，由余弦定理可得：222222cos a ab C c b a b =+-=+-=，故22+=a b，则221a a b b+=，令at b=，则21t +=，解得1t =，由正弦定理得：sin sin A a B b=，故sin sin AB11；（2）由214S c =得：211sin 24ab C c =，即22sin ab C c =，由余弦定理可得：2222cos 2sin a ab C ab b C c =+-=，即22π2(sin cos )sin(4a b ab C C C +=+=+，故22π1sin()4a a C b b +=+，令a t b =，则2π1sin(4t C +=+2πsin()4C =+,由(0,π)C ∈得ππ54π,44C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故π2sin()(,1]42C +∈-，故2212-<11t ≤≤，故ab的取值范围是1]+.22.解：（1）定义域为()0,∞+，当2b =时，22()2a x af x x x x+'=+=；当0a >时，()0f x '>，()f x 为增函数，取10a x e -=，120()1(e )0a f x -=-+<，(1)10f =>所以0()(1)0f x f ⋅<，故此时恰有一个零点；当0a <时，令()0f x '=，x =0x <<()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝单调递减，x >()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增；要使函数恰有一个零点，需要ln 02af a ==，解得2a e =-，综上，实数a 的取值范围是2a e =-或0a >.（2）因为对任意121,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()122f x f x e -≤-成立，且12max min ()()()()f x f x f x f x -≤-，所以max min ()2(e )f x f x -≤-.因为0a b +=，所以a b =-，所以()ln bf x b x x =-+，1(1)().b b b b x f x bx x x--'=-+=当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>；所以函数在1[,1)e 上单调递减，在(1,]e 上单调递增，min ()(1)1,f x f ==因为1()b f b e e -=+与()b f e b e =-+，所以max 1()max (),(e),e f x f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭令1()(e)()e e 2,eb bg b f f b -=-=--则当0b >时，()220b b g b e e -'=+->=，所以()g b 在()0,∞+上单调递增，故()(0)0g b g >=，所以1()()f e f e>，从而max ()e .bf x b =-+所以12b b e e -+-≤-，即10b e b e --+≤.令()e e 1(0)t t t t ϕ=--+>，则()e 1t t ϕ'=-.当0t >时，()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()0,∞+上单调递增.又(1)0ϕ=，所以10b e b e --+≤，即()(1)b ϕϕ≤，解得1b ≤，所以b 的取值范围是(0,1].高三丰城中学2022—2023学年上学期高三年级期中考试文科数学·答题卡请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！姓名：__________________________准考证号：贴条形码区考生禁填：缺考标记违纪标记以上标志由监考人员用2B 铅笔填涂选择题填涂样例：正确填涂错误填涂[×][√][／]1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案
2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。
高三数学第一学期期中考试(文科).doc
高三数学第一学期期中考试（文科）考生须知：1. 全卷分试卷和答卷。
试卷2页，有三大题，答卷4页，共6页。
考试时间120分钟，满分150分。
2. 本卷的答案必须用钢笔或圆珠笔做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效。
3. 请用钢笔或圆珠笔将班级、姓名、准考证号、座位号分别填写在答卷的相应位置上。
本卷命题教师：倪新华试 卷一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，满分50分）1、设集合{}20M x x x x R =-<∈，,{}2N x x x R =<∈，,则 A ．M N ⊂ B. M N M = C. M N M = D. M N R =2、不等式112x <的解集是 A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,0)-∞⋃(2,)+∞ 3、若不等式||1x m -<成立的充分非必要条件为1132x <<，则实数m 的取值范围是 A.41[,]32-B.14[,]23-C.1(,]2-∞-D.4[,)3+∞4、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则A ．18 B. 36 C. 54 D. 725、下列命题正确．．的是 A ．模为0的向量与任一向量平行 B ．共线向量都相等C ．单位向量都相等D ．平行向量不一定是共线向量 6、要得到函数y=sin(2x －4π)的图象，只需将函数y=sin2x 的图象 A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位7、已知a =(4,2), b = (6,y)且 a ∥b ,则y 的值为A ．2B ．3C ．4D ．58、在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的第9项为A ．1020B ．1021C ．1022D ．10239、已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()()20AB AC AD BD CD -⋅--=， 则ABC ∆的形状是 A ．等边三角形 B ．斜三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形10、关于函数))(32sin(4)(R x x x f ∈+=π，有下列命题①由π必是可得21210)()(x x x f x f -==的整数倍；②)(x f y =的表达式可改写为)62cos(4π-=x y ；③)(x f y =的图象关于点)0,6(π-对称；④)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称；其中正确．．命题的序号是A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）11、函数()()()ln 1,1f x x x =->的反函数是 ▲12、若()221,2,0a b a b a ==-⋅=，则b a与的夹角为 ▲ .13、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(5)f = ▲14、给出下列命题：① 存在实数x ，使得3sin cos 2x x +=； ② 在ABC ∆中，sin sin A B A B >⇔>；③ 在ABC ∆中，若30,2A a b ===，则角B 有唯一解45B =； ④ ABC ∆为直角三角形的充分不必要条件是0=⋅⑤ 存在夹角为60两个非零向量b a与，满足2a b a b=+-.其中正确．．命题的序号为 ▲三、解答题（本大题共6小题，每小题14分，满分84分）…15、已知21()log 1xf x x+=- （1） 求()f x 的定义域； （2）求使()0f x >的x 的取值范围；16、已知函数,cos cos sin 3)(2m x x x x f ++=其中m 为实常数（1） 求)(x f 的最小正周期； （2） 写出)(x f 的单调递减．．区间； （3） 设集合},36|{ππ≤≤-=x x A 已知当A x ∈时，)(x f 的最小值．．．为2，当A x ∈时，求)(x f 的最大值．．．.17、 已知|a |=1，|b |=2，（1）若a //b ，求a ·b ；（2） 若a ，b 的夹角为135°，求|a +b |．18、已知等差数列{}n a ，11232,12a a a a =++=（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 令2nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和.19、学校食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输费100元。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期期中考试文科数学试题(解析版)
成都七中2022～2023学年度（上）高三年级半期考试数学试卷（文科）（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，则()U A B = ð（ ）A. {}0,6 B. {}1,4 C. {}2,4 D. {}3,5【答案】C【解析】【分析】根据交集、补集的定义，即得解【详解】由题意，全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，故{0,2,4,6}U B =ð则(){2,4}U A B =∩ð故选：C2. 复数43i 2i z -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解.【详解】解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i 12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+，所以复数z 的虚部为2-，故选：A .3. 青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值()1,2,3,,12i a i =⋅⋅⋅（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3的人数，由茎叶图可知视力小于等于4.3的有5人，故选：B4. 抛物线()220y px p =≠上的一点()9,12P -到其焦点F 的距离PF 等于（ ）A. 17B. 15C. 13D. 11【答案】C【解析】【分析】由点的坐标求得参数p ，再由焦半径公式得结论．【详解】由题意2122(9)p =⨯-，解得8p =-，所以4(9)132P p PF x =--=--=，故选：C ．5. 奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（ ）A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数【答案】B【解析】的【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】对于A：众数可能不变，如8,7,7,7,4,4,1，故A错误；对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；故选：B6. 已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，根据题干三视图的数据，以及圆锥的侧面积和球的表面积公式，即得解【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同底面圆的半径1r =，圆锥的母线长2l ==记该几何体的表面积为S 故211(2)4422S r l r πππ=+⨯=故选：B7. 设平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a = ，2b = ，则()2a a b ⋅+= （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的运算律以及数量积的定义，计算即得解【详解】由题意，()22222112cos120211a ab a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯⨯=-= 则()21a a b ⋅+= 故选：A8. 设x ，y 满足240220330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示, 转化2z x y =+为2y x z =-+,要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大，数形结合即得解【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示转化2z x y =+为2y x z=-+要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大由图像可知，当经过图中B 点时，直线的截距最大240220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(0,2)B 故2022z =⨯+=故2z x y =+的最大值是2故选：D9. “α为第二象限角”是“sin 1αα>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件sin 1αα->求出α的范围，从而可判断出选项.【详解】因为1sin 2sin 2sin 23πααααα⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由sin 1αα>，得2sin 13πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1sin 32πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以522,636k k k Z ππππαπ+<-<+∈，即722,26k k k Z πππαπ+<<+∈，所以当α为第二象限角时，sin 1αα>；但当sin 1αα>时，α不一定为第二象限角，故“α为第二象限角”是“sin 1αα>”的充分不必要条件.故选：A .10. 已知直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，则22log log a b +的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 2-D. 3-【答案】D【解析】【分析】由直线与圆相切可得2214a b +=，然后利用均值不等式可得18ab ≤，从而可求22log log a b +的最大值.【详解】解：因为直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，2=，即2214a b +=，因为222a b ab +≥，所以18ab ≤，所以22221log log log log 38a b ab +=≤=-，所以22log log a b +的最大值为3-，故选：D .11. 关于函数()sin cos 6x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的叙述中，正确的有（ ）①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增；③3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数；④()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得()11sin(2)264f x x π=-+，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】()211sin cos sin sin )cos sin 622x f x x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭11112cos 2sin(2)44264x x x π-+=-+，∴最小正周期22T ππ==，①错误；令222262k x k πππππ-≤-≤+，则()f x 在[,63k k ππππ-+上递增，显然当0k =时,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②正确；1111sin(2)cos 2322424f x x x ππ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭，易知3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，③正确；令26x k ππ-=，则212k x ππ=+，Z k ∈，易知()f x 的图象关于1,124π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，④错误；故选：C12. 攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为a ，宝顶到上檐平面的距离为h ，则攒尖的体积为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】攒尖是一个正八棱锥，由棱锥体积公式计算可得．【详解】如图底面正八边形ABCDEFGH 的外接圆圆心是O （正八边形对角线交点），设外接圆半径为R ，在OAB 中，4AOB π∠=，AB a =，由余弦定理得222222cos (24a R R R R π=+-=-，22R ==，正八边形的面积为218sin 24S R π=⨯22(1a =，所以攒尖体积13V Sh ==．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是_______________________．【答案】2,2x x N x ∀∈≥【解析】【分析】根据命题的否定的定义求解．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是：2,2x x N x ∀∈≥．故答案为：2,2x x N x ∀∈≥．14. 函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为_______________________．（要求写一般式方程）【答案】230x y +-=【解析】【分析】利用导函数求出斜率，即可写出切线方程.【详解】()ln f x x =-的导函数是()1f x x'=，所以()111122f '=-=-.又()11f =，所以函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=.故答案为：230x y +-=.15. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，且两条渐近线互相垂直，若C 上一点P 满足213PF PF =，则12F PF ∠的余弦值为_______________________．【答案】13【解析】【分析】由题意可得b a =，进而得到c =，再结合双曲线的定义可得123,PF a PF a ==，进而结合余弦定理即可求出结果.【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，所以渐近线方程为b y x a =±，又因为两条渐近线互相垂直，所以21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1b a =，即b a =，因此c =，因此213PF PF =，又由双曲线的定义可知122PF PF a -=，则123,PF a PF a ==，所以在12F PF △中由余弦定理可得222122112121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠===⋅，故答案为：13.16. 已知向量(),a x m = ，()32,2b x x =-+ ．（1）若当2x =时，a b ⊥ ，则实数m 的值为_______________________；（2）若存在正数x ，使得//a b r r，则实数m 取值范围是__________________．【答案】①. 2- ②. (),0[2,)-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）由2x =时，得到()2,a m = ，()4,4b = ，然后根据a b ⊥ 求解；（2）根据存在正数x ，使得//a b r r，则()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，利用二次函数的根的分布求解.【详解】（1）当2x =时，()2,a m = ，()4,4b = ，因为a b ⊥ ，所以2440m ⨯+=，解得2m =-，所以实数m 的值为-2；（2）因为存在正数x ，使得//a b r r，所以()()232x x m x +=-，()0,x ∈+∞有解，即()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，所以()223022380m m m -⎧->⎪⎨⎪∆=--≥⎩或230220m m -⎧-≤⎪⎨⎪<⎩，解得2m ≥或0m <，所以实数m 的取值范围是(),0[2,)-∞⋃+∞.故答案为：-2，(),0[2,)-∞⋃+∞三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个题目考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1．现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记．的产品件数一等品二等品总计甲生产线2乙生产线7总计50（1）请将22⨯列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率．【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为产品的等级差异与生产线有关； （2）710【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，再与观测值比较即可判断；（2）记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；小问1详解】解：依题意可得22⨯列联表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线38240乙生产线7310总计45550所以()225038327 5.5561040545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为5.024 5.556 6.635<<，所以有97.5%的把握认为产品的等【级差异与生产线有关；【小问2详解】解：依题意，记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ；则从中随机抽取2件，所有可能结果有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc 共10个，至少有1件为甲生产线产品的有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc 共7个，所以至少有1件为甲生产线产品的概率710P =；18. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．（1）求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B ；（2）已知1AA =，求异面直线1A B 与1DC 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析； （2）6π【解析】【分析】（1）证得AD ⊥平面11BCC B ，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【小问1详解】因为正三棱柱111ABC A B C -，所以AB AC =，又因为D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以AD ⊥平面11BCC B ，又因为AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B ；【小问2详解】取11B C 的中点E ，连接DE ，由正三棱柱的几何特征可知,,DB DA DE 两两垂直，故以D 为坐标原点，分以,,DA DB DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，则1AA =，所以()()(11,0,1,0,0,0,0,0,1,A B D C -,则((11,0,1,A B DC =-=-u u u r u u u r，所以111111cos ,A B DC A B DC A B DC ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 由于异面直线成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线1A B 与1DC ，因此异面直线1A B 与1DC 所成角为6π.19. 已知n N *∈，数列{}n a 的首项11a =，且满足下列条件之一：①1122n n n a a +=+；②()121n n na n a +=+．（只能从①②中选择一个作为已知）（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 的前n 项和n S m <，求正整数m 的最小值．【答案】（1）22n nn a = （2）4【解析】【分析】（1）若选①，则可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，从而可得数列{}2nn a ⋅是以2为公差，2为首项的等差数列，则可求出2nn a ⋅，进而可求出n a ，若选②，则1112n n a a n n +=⋅+，从而可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1为首项的等比数列，则可求出na n，进而可求出n a ，（2）利用错位相减法求出n S ，从而可求出正整数m 的最小值【小问1详解】若选①，则由1122n n n a a +=+可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，所以数列{}2n n a ⋅是以2为公差，1122a ⋅=为首项的等差数列，所以222(1)2nn a n n ⋅=+-=，所以22n nn a =，若选②，则由()121n n na n a +=+，得1112n n a a n n +=⋅+，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1111a a ==为首项的等比数列，所以1112n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以1222n n nnn a -==【小问2详解】因为12312462(1)222222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，所以234112462(1)2222222n n n n nS +-=+++⋅⋅⋅++，所以23112222122222n n n n S +=+++⋅⋅⋅+-2311112()2222n nn=+++⋅⋅⋅+-111[1]42121212n nn -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--222n n +=-，所以2442n nn S +=-，所以4n S <，所以正整数m 的最小值为4，20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为，左顶点A 到右焦点F 的距离为3．（1）求椭圆C 的方程（2）设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N （不同于A ），且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得b =、3a c +=，再根据222c a b =-，即可求出a 、c ，从而求出椭圆方程、离心率；（2）设直线l 为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，依题意可得12AM AN k k ⋅=-，即可得到方程，整理得到225480m k km --=，即可得到m 、k 的关系，从而求出直线过定点；【小问1详解】解：依题意b =、3a c +=，又222c a b =-，解得2a =，1c =，所以椭圆方程为22143x y +=，离心率12c e a ==；【小问2详解】解：由（1）可知()2,0A -，当直线斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，联立方程得22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2223484120k xkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+；因为直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以12AM AN k k ⋅=-；即()()22121212121212121212222242AM ANk x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-+++++++所以2222222241281343441282243434m km k km m k k m km k k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭，即22221231164162k m k m km -+=-+-，所以225480m k km --=，即()()2520m k m k -+=，所以2m k =或25m k =-，当2m k =时，直线l ：2y kx k =+，恒过定点()2,0-，因为直线不过A 点，所以舍去；当25m k =-时，直线l ：25y kx k =-，恒过定点2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；当直线斜率不存在时，设直线0:l x x =，()00,M x y ，()00,N x y -，则00001222AM AN y y k k x x -⋅=⋅=-++，且2200143x y +=，解得025x =或02x =-（舍去）；综上可得直线l 恒过定点2,05⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()sin xf x e k x =-，其中k 为常数．（1）当1k =时，判断()f x 在区间()0,∞+内的单调性；（2）若对任意()0,x π∈，都有()1f x >，求k 的取值范围．【答案】（1）判断见解析 （2）(,1]k ∈-∞【解析】【分析】小问1：当1k =时，求出导数，判断导数在()0,∞+上的正负，即可确定()f x 在()0,∞+上的单调性；小问2：由()1f x >得sin 10x e k x -->，令()sin 1x g x e k x =--，将参数k 区分为0k ≤，01k <≤，1k >三种情况，分别讨论()g x 的单调性，求出最值，即可得到k 的取值范围.【小问1详解】当1k =时，得()sin xf x e x =-，故()cos xf x e x '=-，当()0,∞+时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间()0,∞+为单调递增函数.【小问2详解】当()0,x π∈时，sin (0,1]x ∈，故()1f x >，即sin 1x e k x ->，即sin 10x e k x -->.令()sin 1x g x e k x =--①当0k ≤时，因为()0,x π∈，故sin (0,1]x ∈，即sin 0k x -≥，又10x e ->，故()0f x >在()0,x π∈上恒成立，故0k ≤；②当01k <≤时，()cos x g x e k x '=-，()sin x g x e k x ''=+，故()0g x ''>在()0,x π∈上恒成立，()g x '在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)0g x g e k ''>=->，即()g x 在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)10g x g e >=-=，故01k <≤；③当1k >时，由②可知()g x '在()0,x π∈上单调递增，设()0g x '=时的根为0x ，则()g x 在0(0,)x x ∈时为单调递减；在0(,)x x π∈时为单调递增又0(0)10g e =-=，故0()0g x <，舍去；综上：(,1]k ∈-∞【点睛】本题考查了利用导数判断函数单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在平面直角坐标系xOy 中，伯努利双纽线1C （如图）的普通方程为()()222222x y x y +=-，曲线2C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（其中r ∈（，θ为参数）．的（1）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求1C 和2C 的极坐标方程；（2）设1C 与2C 的交于A ，B ，C ，D 四点，当r 变化时，求凸四边形ABCD 的最大面积．【答案】（1）1:C 2222cos 2sin ρθθ=-；2:C r ρ=（2）2【解析】【分析】（1）根据直角坐标方程，极坐标方程，参数方程之间的公式进行转化即可；（2）设点A 在第一象限，并且设点A 的极坐标，根据题意列出点A 的直角坐标，表示出四边形ABCD 的面积进行计算即可.小问1详解】1:C ()()222222x y x y +=-，由cos ,sin x y ρθρθ==，故222222()2(cos sin )ρρθρθ=-，即2222cos 2sin ρθθ=-2:C cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，即222x y r +=，即22r ρ=，rρ=【小问2详解】由1C 和2C 图象的对称性可知，四边形ABCD 为中心在原点处，且边与坐标轴平行的矩形，设点A 在第一象限，且坐标为(,)ρα(02πα<<，又r ρ=，则点A 的直角坐标为(cos ,sin )r r αα，又2222cos 2sin ραα=-，即2222cos 2sin 2cos 2r ααα=-=故S 四边形ABCD =22cos 2sin 2sin 2r r r ααα⋅==22cos 2sin 22sin 4ααα⋅⋅=又02πα<<，故042απ<<，因此当42πα=，即8πα=时，四边形ABCD 的面积最大为2.［选修4—5：不等式选讲]（10分）【23. 设M 为不等式1431x x ++≥-的解集．（1）求集合M 的最大元素m ；（2）若a ，b M ∈且a b m +=，求1123a b +++的最小值．【答案】（1）3m = （2）12【解析】【分析】（1）分类讨论13x ≥，1x ≤-，113x -<<，打开绝对值求解，即得解；（2）由题意1,3,3a b a b -≤≤+=，构造11(2)(3)132([11]2328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++，利用均值不等式即得解【小问1详解】由题意，1431x x ++≥-（1）当13x ≥时，1431x x ++≥-，解得3x ≤，即133x ≤≤；（2）当1x ≤-时，1413x x --+≥-，解得1x ≥-，即=1x -；（3）当113x -<<时，1413x x ++≥-，解得1x ≥-，即113x -<<综上：13x -≤≤故集合{|13}M x x =-££，3m =【小问2详解】由题意，1,3,3a b a b -≤≤+=，故(2)(3)8a b +++=故11(2)(3)132()[112328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++由于1,3a b -≤≤，故20,30a b +>+>由均值不等式，113211[11[1123823821b a a b a b +++=+++≥++=++++当且仅当3223b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立故求1123a b +++的最小值为12。
高三上学期期中考试(文科数学)
高三数学（文科）阶段性质量检测试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）共两卷．其中第l 卷共60分，第II 卷共90分，两卷合计I50分．答题时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上.） 1.已知函数)1lg()(x x f -=的定义域为M ，函数xy 1=的定义域为N ，则N M ⋂=（ ） A.{}0,1|≠<x x x 且 B.{}01|≠≤x x x 且 C.{}1|>x x D.{}1|≤x x2.设,)21(,5.225.205.2===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A.b c a >> B.b a c >> C.c a b >> D.c b a >> 3.如果命题 “⌝(p ∨ q)”为假命题，则（ ）A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ． p, q 中至多有一个为真命题 4.若向量(3,6),(4,2),(12,6)u v w =-==--，则下列结论中错误的是（ ） A.u v ⊥ B.v wC.3w u v =-D.对任一向量AB ，存在实数,a b 使AB au bv =+5.设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z x y =+（ ）A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最大值D ．既无最小值，也无最大值6.已知ααπααcos sin ),0,4(,25242sin +-∈-=则等于( ) A.51- B.51 C. 57- D.577.已知函数)(x f 是R 上的偶函数，若对于0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当)1(log )(,)2,0[2+=∈x x f x 时，则)2012()2011(f f +-的值为（ ）A.-2B.-1C.1D.2 8.函数)2||00)sin()(πφωφω<>>+=，，（A x A x f 的部分图象如图示，则将)(x f y =的图象向右平移6π个单位后，得到图象解析式为( ) A.x y 2sin = B.x y 2cos = C.)32sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y 9.已知2)(-=x a x f ，)1,0(log )(≠>=a a x x g a ，若0)4()4(<-g f ，则)(),(x g y x f y ==在同一坐标系内的大致图象是（ ）10. 首项为20-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 A.209d >B.52d ≤C.20592d <≤ D.20592d ≤< 11. 若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（ ）A.（-1，0）∪（1,+∞）B.（-∞，-1）∪（1,+∞）C.（-1，0）∪（0，1）D.（-∞，-1）∪（0,1）12.已知向量),4(),2,1(y b x a =-=，若b a ⊥，则yx 39+的最小值为( )A.2B.32C.6D.9第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4个小题，每题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.13.在ABC ∆中，若C B A cos cos 2sin =，则=+C B tan tan ________.14.函数⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,22)(2x x x x x x f 的图象和函数)1ln()(-=x x g 的图象的交点个数是______________.15.函数)2,0(),3sin(2ππ∈-=x x y 的单调递增区间为____________.16. 下列命题：（1）若函数）a x x x f ++=2lg()(为奇函数，则1=a ； （2）函数x x f sin )(=的周期π=T ； （3）方程x x sin lg =有且只有三个实数根；（4）对于函数x x f =)(，若2)()()2(0212121x x f x x f x x +<+<<，则. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号）三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17. （本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，a ＝2，sin,552=B 且△ABC 的面积为4. （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求边b 、c 的长。
河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中考试 数学文科试卷
2021年秋期高中三年级期中质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷和草稿纸上无效。
4.考试结束，只交答题卡。
第I卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有A.7个B.8个C.15个D.16个2.设iz＝4＋3i，则z＝A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i3.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－l)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。
若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前2021项的和为A.2020B.1348C.1347D.6724.已知命题p：“∃x0∈R，0x e－x0－1≤0”，则¬p为A.∀x∈R，e x－x－1≥0B.∀x∈R，e x－x－1>0C.∃x0∈R，0x e－x0－1≥0D.∃x0∈R，0x e－x0－1>05.已知f(x)＝14x2＋sin(2＋x)，f'(x)为f(x)的导函数，则y＝f'(x)的图象大致是6.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b7.设变量x ，y 满足约束条件x 1x 2y 30x y 0≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为A.－1B.0C.1D.38.若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a ＋lna>b ＋lnb ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知x>1，y>0，且1211x y+=-，则x ＋2y －1的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.2＋26 10.已知OA 、OB 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动。
高三数学文科上学期期中考试试题及答案
浙江省菱湖中学高三上学期期中考试（数学文）一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn ）图是 ( )2、已知，其中为虚数单位，则 ( ) A. B. 1 C. 2 D. 33、已知函数，若 = （ ） (A)0(B)1(C)2(D)34、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如上图所示,则其侧面积．．．等于( )A. B.2 C. D.65、如图所示的程序框图中输出的S= （ ） A ．B. C. D. 16、函数是 （ ）A ．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数7、公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 （ ）A. 18B. 24C. 60D. 90 . 8、若向量，则“”是“”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9、函数f （x ）= （ ） (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）U R ={1,0,1}M =-{}2|0N x x x =+=()2,a ib i a b R i+=+∈i a b +=1-)1(log )(2+=x x f ()1,f α=α3239998100991011001)4(cos 22--=πx y ππ2π2π{}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S (x,3)(x )a R =∈x 4=5||=→a 2xe x +-的零点所在的一个区间是10、设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 （ ） A ．B ．C ．D ．3 二、填空题（每小题4分，共28分） 11、某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 .12、三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为 。
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鄂州市第二中学-上学期高三期中考试高三数学试卷(文科）满分150 命题人：王志勇 审题人:潘内阁 考试时间：11月15日 上午 8:00-10:00一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 若复数为纯虚数，则实数的值为( ) A ． B ． C ． D ．或2.以下有关命题的说法错误的是（ ）A.命题“若02x 3x 2=+-，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则02x 3x 2≠+-”B.“1x =”是“02x 3x 2=+-”的充分不必要条件C. 对于命题R x :p ∈∃，使得01x x 2<++，则R x :p ∈∀⌝，均有01x x 2≥++D. 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题3．已知向量(2,1),10,52,a a b a b b =⋅=+=则等于（ ） A ．5 B ．10 C ．5 D ．254．函数f(x)y =在定义域（3,23-）内的图象如图所示，记f(x)y =的导函数为(x)'f y =，则不等式0)('≤x f 的解集为( )A ． )2,1[]21,23[⋃- B ． []3,2]1,31[⋃-C ．]38,34[]21,1[⋃- D .)3,34[]34,21[]31,23(⋃⋃--5. 已知数列{}n a 为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q >1，若11a b =，20112011a b =，则1006a 与1006b 的大小关系是（ ）A ．10061006a b = B ．10061006a b > C ．10061006a b < D ． 10061006a b ≥6.函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，2(1)(1)z x x i =-+-x 1-011-1①图象C 关于直线π1211=x 对称;②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数; ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中正确论断的个数为( ) A.0B.1C.2D.37.已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ． －110B ．－90C ． 90D ．110 8．设,6sin 236cos 21︒-︒=a 22tan131tan 13b ︒=-︒，250cos 1︒-=c 则有( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．a ＞b ＞c D ．a ＞c ＞b9．已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，n ∈*N . 下列命题中真命题是 （ ）A. 若n ∀∈*N 总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列B. 若n ∀∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C. 若n ∀∈*N 总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列D. 若n ∀∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列10．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则∑i ＝14(ih i )＝2Sk.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则∑i ＝14(ih i )＝()A.4V KB.3V KC.2V KD.V K二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．已知n ∈{－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－15)n ，则n ＝_________12. 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为13．若正数满足,则的最大值为 。
14．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有四个零点，则实数k 的取值范围是_______ 15．具有性质：)()1(x f xf -=的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①x 1x -=y ；②x 1x y +=； ③y= )1(1)1(,0)10(,>-=<<x xx x x ④ln (0)y x x =>中满足“倒负”变换的函数序号是三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．（本小题满分12分）已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos2B ＝-725. (1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．18.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝3－b n . ①求数列{a n }和{b n }的通项公式；②设c n ＝14a n ·13b n ，求数列{c n }的前n 项和R n 的表达式．c b ，，a 14=++c b a c b a 2++19.（本小题满分12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x＋10000x －1450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？20.（本小题满分13分）设数列{a n }满足a 1＝t ，a 2＝t 2，前n 项和为S n ，且S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0(n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)当12<t <2时，比较2n ＋2－n 与t n ＋t －n 的大小；(3)若12<t <2，b n ＝2a n 1＋a 2n，求证：1b 1＋1b 2＋…＋1b n <2n21．（本小题满分14分）设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0,2)． 证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)；(3)若过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的三条不同切线，求a 的取值范围．鄂州市第二中学-上学期高三期中考试高三数学(文科）答案一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. A2. D3. C4. B5.B6. C7. D8.A9.D 10.B二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11.-1或2 12．4 13.21014. (0，14] 15. ③④三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.……….6分(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0， 即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；……….8分 ②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；……….10分 ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.………. ……….11分 综上所述：当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.……….12分 17. 解：(1)∵cos2B ＝725-，且0<B <π，∴sin B ＝45，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.……….6分(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又cosB=35±∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B .12分18. 解： ①由题意得a n ＝S n －S n －1＝4n －4(n ≥2)而n ＝1时a 1＝S 1＝0也符合上式∴a n ＝4n －4(n ∈N ＋) ……….3分 又∵b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ，∴b n b n －1＝12∴{b n }是公比为12的等比数列，而b 1＝T 1＝3－b 1，∴b 1＝32，∴b n ＝32⎝⎛⎭⎫12n －1＝3·⎝⎛⎭⎫12n (n ∈N ＋)．……….6分②C n ＝14a n ·13b n ＝14(4n －4)×13×3⎝⎛⎭⎫12n ＝(n －1)⎝⎛⎭⎫12n ，∴R n ＝C 1＋C 2＋C 3＋…＋C n ＝⎝⎛⎭⎫122＋2·⎝⎛⎭⎫123＋3·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n∴12R n ＝⎝⎛⎭⎫123＋2·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －2)⎝⎛⎭⎫12n ＋(n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1∴12R n ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1∴R n ＝1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n . ……….12分 19. 解: (1)当0<x <80(x ∈N )时，L (x )＝500×1000x 10000－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80(x ∈N )时，L (x )＝50×1000x 10000－⎝⎛⎭⎫51x ＋10000x －1450－250＝1200－⎝⎛⎭⎫x ＋10000x ，∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250 (0<x <80，x ∈N *)1200－⎝⎛⎭⎫x ＋10000x (x ≥80，x ∈N *)……………………….6分(2)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950，当x ≥80，x ∈N *时，∵L (x )＝120－⎝⎛⎭⎫x ＋10000x ≤1200－2x ·10000x ＝1200－200＝1000，∴当且仅当x ＝10000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1000>950.综上所述，当x ＝100时L (x )取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．……………………….12分20.解：(1)证明：由S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0，得tS n ＋1－tS n ＝S n ＋2－S n ＋1，即a n ＋2＝ta n ＋1，而a 1＝t ，a 2＝t 2，∴数列{a n }是以t 为首项，t 为公比的等比数列， ∴a n ＝t n . ……………………….4分(2)∵(t n ＋t －n )－(2n ＋2－n )＝(t n －2n )[1－(12t )n ]，又12<t <2，∴14<12t<1，则t n －2n <0且1－(12t )n >0，∴(t n －2n )[1－(12t )n ]<0，∴t n ＋t －n <2n ＋2－n.……….8分(3)证明：∵1b n ＝12(t n ＋t －n )，∴2(1b 1＋1b 2＋…＋1b n )<(2＋22＋…2n )＋(2－1＋2－2＋…＋2－n )＝2(2n －1)＋1－2－n＝2n ＋1－(1＋2－n )<2n ＋1－22－n ，∴1b 1＋1b 2＋…＋1b n<2n .13分21.[解析] (1)由f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b ，又由曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0，故b ＝0，c ＝1.………………………. ………………………3分(2)f (x )＝13x 3－a2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－ax ，由于点(t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，而点(0,2)在切线上，所以2－f (t )＝f ′(t )(－t )，化简得23t 3－a2t 2＋1＝0，即t 满足的方程为23t 3－a2t 2＋1＝0，下面用反证法证明：假设f ′(x 1)＝f ′(x 2)，由于曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0,2)，则下列等式成立：⎩⎪⎨⎪⎧23x 31－a 2x 21＋1＝0 ①23x 32－a2x 22＋1＝0 ②x 21－ax 1＝x 22－ax 2③由③得x 1＋x 2＝a ，由①－②得x 21＋x 1x 2＋x 22＝34a 2④ 又x 21＋x 1·x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝a 2－x 1(a －x 2)＝x 21－ax 1＋a 2＝(x 1－a 2)2＋34a 2≥34a 2故由④得，x 1＝a 2，此时x 2＝a2与x 1≠x 2矛盾，所以f ′(x 1)≠f ′(x 2)． ………………………. ………………………8分(3)由(2)知，过点(0,2)可作y ＝f (x )的三条切线，等价于方程2－f (t )＝f ′(t )(0－t )有三个相异的实根，即等价于方程23t 3－a2t 2＋1＝0有三个相异的实根．设g (t )＝23t 3－a 2t 2＋1，则g ′(t )＝2t 2－at ＝2t (t －a2)由于a >0，故有由g (t )的单调性可知：要使g (t )＝0有三个相异的实根，当且仅当1－a 324<0，即a >233， ∴a 的取值范围是(233，＋∞)．………………………. ………………………14分 (4)。