高三期中调研考试数学试题(文科)
2021-2022年高三上学期期中考试数学(文)试题 含答案(III)
2021-2022年高三上学期期中考试数学（文）试题 含答案(III)（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（56分）2．方程 的解是 ．3．函数sin cos ()sin cos 44xxf x x x ππ-=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期 . 4. 满足的锐角的集合为 . 5. 函数的反函数是 .6. 满足不等式的实数的集合为 . 7．在的二项展开式中，常数项等于 . 8. 函数的单调递增区间为 . 9．设等比数列的公比,且()135218lim ,3n n a a a a -→∞++++=班级 姓名 班级学号 考试学号则 . 210. 若()22,[1,)x x af x x x++=∈+∞的函数值总为正实数，则实数的取值范围为 .11. 函数的值域为 .12.随机抽取9个同学中，恰有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果用最简分数表示）. 答： 13.函数的最小值为 .014.已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 . 二、选择题（20分）15. 要得到函数的图像，须把的图像（ ）向左平移个单位 向右平移个单位 向左平移个单位 向右平移个单位16. 若函数为上的奇函数，且当时，则当时，有（ ）17. 对于任意实数，要使函数*215cos()()36k y x k N ππ+=-∈在区间上的值出现的次数不小于次，又不多于次，则可以取……………………………（ B ）A. B. C. D.18．对任意两个非零的平面向量，定义,若平面向量与的夹角，且和都在集合中.则（ ）三、解答题19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，，，求：（1）三棱锥的体积；（6分）（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）（6分）EDPCBA解：⑴122323,2ABCS=⨯⨯= …………2分 三棱锥的体积为1142323333ABCV SPA =⨯⨯=⨯⨯= ……… 6分 ⑵取中点连接则（或其补角）是异面直线与所成的角，……… 8分在中，2,2,DE AE AD ===222223cos ,2224ADE +-∠==⨯⨯所以异面直线与所成的角的大小为……… 12分20. (满分14分)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解法一：如图，连结，………2分 由已知，122060A A ==，……4分 ，又12218012060A A B =-=∠， 是等边三角形，………6分 ， 由已知，，1121056045B A B =-=∠，………8分乙甲乙在中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-2220220=+-⨯⨯ ．．………12分因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里． ………14分解法二：如图，连结，………2分由已知，122060A A ==，………4分 ，cos 45cos60sin 45sin 60=-，sin 45cos60cos 45sin 60=+．………6分在中，由余弦定理：22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯乙甲．． ………8分由正弦定理：11121112222(13)2sin sin 210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， ，即121604515B A B =-=∠， ………10分2(1cos15sin1054+==．在中，由已知，由余弦定理，22212112221222cos15B B A B AB A B AB =++22210(1210(14+=+-⨯+⨯．，………12分乙船的速度的大小为海里/小时．………14分 答：乙船每小时航行海里．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分）在平面直角坐标系O 中，直线与抛物线＝2相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线过点T （3，0），那么”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3, 此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3； ……… 2分当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中， 由得 2122606ky y k y y --=⇒=- ………6分又 ∵ ，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，………8分综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题； (2)逆命题是：设直线交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0). ………10分该命题是假命题. ………12分 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB 的方程为：，而T(3,0)不在直线AB 上；……… 14分说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).22. （本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分12分设函数2()|2|(,f x x x a x R a =+-∈为实数).(1)若为偶函数，求实数的值； (2)设，求函数的最小值. 解：(1)由已知 ………2分|2||2|,0x a x a a -=+=即解得.……… 4分(2)2212,2()12,2x x a x af x x x a x a ⎧+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， ………6分 当时，22()2(1)(1)f x x x a x a =+-=+-+， 由得，从而，故在时单调递增，的最小值为；………10分 当时，22()2(1)(1)f x x x a x a =-+=-+-， 故当时，单调递增，当时，单调递减，则的最小值为；………14分由22(2)(1)044a a a ---=>，知的最小值为. ……… 16分23. (本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分) 已知函数的定义域是且,,当时,. (1)求证:是奇函数; (2)求在区间上的解析式;(3)是否存在正整数，使得当x ∈时,不等式有解?证明你的结论.23. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分） (1) 由得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+, ----------------------3分由得, ----------------------4分 故是奇函数. ----------------------5分(2)当x ∈时,，. ----------------------7分 而)(1)(1)1(x f x f x f =--=-，. ----------------------11分（3）当x ∈Z)时,，………………………密封线…………………………………………密封线………， 因此123)2()(--=-=k x k x f x f .----------------------13分 不等式 即为，即. ----------------------14分 令，对称轴为，因此函数在上单调递增. ----------------------15分因为221111(2)(2)(2)42224g k k k k k k +=+-++=+-，又为正整数，所以，因此在上恒成立，----------------------17分 因此不存在正整数使不等式有解.----------------------18分32909 808D 肍> w25572 63E4 揤A24148 5E54 幔6n20491 500B 個i40499 9E33 鸳22000 55F0 嗰r^。
河南省南阳市2023届高三上学期期中文科数学试题含答案
2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（文）（答案在最后）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合401x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}54B x x =-<<，则()R A B ⋂=ð（）A.(](),14,-∞-+∞ B.()(),14,-∞-⋃+∞ C.()5,1-- D.(]5,1--【答案】D 【解析】【分析】解不等式得到集合A ，然后利用补集和交集的定义计算即可.【详解】由题意得集合{}14A x x =-<≤，{R 1A x x =≤-ð或}4x >，所以(){}R 51A B x x ⋂=-<≤-ð.故选：D.2.若2z i z i +=-=，则z =（）A.1B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】设i z x y =+，,R x y ∈，由条件列方程求,x y ，再由复数的模的公式求z .【详解】设i z x y =+，,R x y ∈，因为2z i z i +=-=，2=2=，所以0y =，23x =，所以z ==，故选：C.3.已知()()()2lg5lg 10lg f x x x =⋅+，则()2f =（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】根据对数的运算性质及函数值的定义即可求解.【详解】因为()()()2lg5lg 10lg f x x x =⋅+，所以()()()()()()()22222lg5lg 20lg 2lg5lg 4lg 2l 5g5l g lg5lg g 2l 22f ⨯=⨯+++=⨯+=+⨯()()22lg 5lg 2lg101=+==.故选：A.4.已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-.若710k a <<，则k =（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】先求得n a ，然后根据710k a <<求得k 的值.【详解】依题意211n S n n =-，当1n =时，110a =-；当2n ≥时，211n S n n =-，()()22111111312n S n n n n -=---=-+，两式相减得()2122n a n n =-≥，1a 也符合上式，所以212n a n =-，*N k ∈，由721210k <-<解得911k <<，所以10k =.故选：B5.若x ，y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩则2x y -的最小值是（）A.3-B.5- C.8 D.7-【答案】D 【解析】【分析】根据题意画出可行域，令2z x y =-，即1122y x z =-，所以平移斜率为12的直线，12z -相当于在y 轴上的截距，找到使y 轴上的截距最值时的点代入即可.【详解】由题知，画出满足题意的可行域如下所示，令2z x y =-，即1122y x z =-，12z -相当于直线1122y x z =-在y 轴上的截距，平移直线12y x =，当直线过A 点时，截距最大，z 最小，联立203x y x -+=⎧⎨=⎩，可得()A 3,5，故在A 点时取得最优解，代入2z x y =-，可得7z =-.故选：D.6.已知：()1,2a =r，b = a b - 的最大值是（）A.B. C.+ D.-【答案】B 【解析】【分析】设向量a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，由()1,2a =r 可得a =得a b -=.【详解】设向量a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，由()1,2a =r ，得a == 所以a b -== ，因为0πθ≤≤，所以1cos θ1-＃，即52520cos 45θ≤-≤≤≤所以a b -的最大值为.故选：B.7.函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A.()1cos f x x x=+ B.()1sin f x x x =+C.()1cos f x x x=- D.()1sin f x x x=-【答案】D 【解析】【分析】由函数的奇偶性排除A ，C ，由函数在0x =处的变化趋势排除B ，得正确选项．【详解】由函数图像可知,函数()f x 为奇函数,对于A:()()()11cos cos f x x x f x x x-=-+=+≠---，()f x 不是奇函数排除A 选项；()()()11cos cos f x x x f x x x-=--=+≠--，()f x 不是奇函数排除C 选项；对于B ,当0x >，且x 趋近于0时，由图知()f x 趋近于-∞，但()10,sin 0x f x x x→=+>排除B ；故选：D.8.若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πcos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（）A.6B.6- C.3D.36【答案】B 【解析】【分析】先由已知条件求出πsin 6α⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由ππsin sin 66αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简计算可得答案.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为πcos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πsin 63α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以ππsin sin 66αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin6666αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132326-=⨯-⨯=，故选：B9.在ABC 中，30C =︒，b =，c x =.若满足条件的ABC 有且只有一个，则x 的可能取值是（）A.12B.32C.1D.【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理得到sin 2B x=，再分030B ︒<≤和30B ︒>两种情况讨论，结合正弦函数的性质求出x 的取值范围，即可判断.【详解】解：由正弦定理sin sin b c B C =，即sin sin 30x B ︒=，所以sin 2B x=，因为ABC 只有一解，若30B ︒>，则90B ︒=，若030B ︒<≤显然满足题意，所以10sin 2B <£或sin 1B =，所以1022x <≤或12x =，解得x ≥或2x =；故选：D10.若将函数()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，与函数()()2cos 2g x x ϕ=+的图像重合，则ϕ的一个可能取值为（）A.π3B.π3-C.2π3-D.4π3-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对()g x 的解析式变形处理，列出等式，即可判断.【详解】()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，周期2πT ω=，函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，得函数πππ2sin 2sin 236y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，而()()()ππ2cos 22sin 22sin 222g x x x x ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意π2,2π,Z π26k k ωϕ=+=-∈，Z 2,π32πk k ϕ∴=-∈，令32ππ2π3k ϕ=-=，得1Z 2k =∉，故A 错误；令32ππ23πk ϕ=-=-，得1Z 6=∉k ，故B 错误；令2π2π332πk ϕ=-=-，得0Z k =∈，故C 正确；令32π34π2πk ϕ=-=-，得1Z 3=-∉k ，故D 错误.故选：C.11.已知函数()πe (cos ),0,2π1,,02x x a x f x x x ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎤⎪--∈- ⎥⎪⎝⎦⎩在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≥B.3a ≥ C.2a ≥ D.12a ≤≤【答案】C 【解析】【分析】利用导数求解π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 单调递减满足的条件，即可结合分段函数的性质求解.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()e (cos )x f x x a =-，则()e (cos sin )0xf x x x a '=--≤所以πcos sin 4a x x x ⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭恒成立，由于π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()π1,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，因此1a ≥，要使()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则需要()()01201e cos0a a f a ≥⎧⇒≥⎨=-≥-⎩,故选：C12.已知：22π1tan 8π1tan 8a -=+，2b =，4log 3c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<b D.c b a<<【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的公式求出22a =，然后借助指数函数的单调性得到2log 31.5232<=<=，即可得到a c <，构造函数()22xf x x =-，利用函数的单调性得到0>，整理后即可得到b c >.【详解】222222πππ1tan cos sin π888cos πππ421tan cos sin 888a --====++，2242log 3log 3log 3log 42c ===，∵2log 31.5232<=<=，2log 3<，则2log 322<，即a c <，设函数()22xf x x =-，则()2ln 22x f x '=-，∵()22412ln 22ln 4ln ln 0f '=-=-=<e e ，()21624ln 22ln 0f '=-=>e，且函数()f x '单调递增，∴()f x '只存在一个0x 使()00f x '=，且()01,2x ∈，当0x x <时，()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减，∴()102f f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，即22log 30log 222>⇒>⇒>，即b c >，所以a c b <<.故选：B.【点睛】方法点睛：比较数值大小方法．（1）估值法：找出式子的取值区间，以此判断各个式子的大小关系；（2）构造函数法：当无法进行估值判断式子大小时，可通过构造函数，利用导数判断其单调性，从而判断式子大小．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()sin ,sin cos cos ,sin cos ,x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据2023π2023πsin cos 33⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎝⎭⎝⎭可得解.【详解】2023ππsin πsin 674πsin 3332⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎝⎭⎝⎭，2023ππ1cos πcos 674πcos 3332⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2023π2023πsin cos 33⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得202320231πcos π332⎛⎫==⎪⎝⎭f .故答案为：12.14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c)cos c b A a -=，b =ABC 的外接圆面积为__________.【答案】9π【解析】【分析】在ABC)cos c b A a -=)sin sin cos sin C B A A -=利用π--C B A =消角可得cos 2B =，则角B可求，又b =，可利用正弦定理求ABC 的外接圆直径，ABC 的外接圆面积可求.【详解】 在ABC)cos c b A a -=，∴)sin sin cos sin C B A A -=，又π--C B A =，())sin sin cos sin B A B A A +-=，)sin cos cos sin sin cos sin B A B A B A A +-=，sin sin B A A =，又在ABC 中sin 0A >，∴2cos 2B =.又 在ABC ，0πB <<，∴π4B =，∴ABC的外接圆直径=6sin 22b B ==，∴ABC 的外接圆的面积为9π.故答案为：9π.15.若()e e 1xx f x =+，则()2e 11ef x +-<的解集是______________.【答案】()0,2【解析】【分析】根据题意求得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，结合()2e 11(1)ef f +==，把不等式转化为()1(1)f x f -<，得到11x -<，即可求解.【详解】由函数()e e 1xx f x =+，可得()()11e e e ex xx xf x f x ---=+=+=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，可得()e e0x xf x -'=+>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又由()2e 11(1)e f f +==，所以不等式()2e 11ef x +-<等价于()1(1)f x f -<，则满足11x -<，解得02x <<，即不等式的解集为()0,2.故答案为：()0,2.16.不等式()()222e 1a b a b m m -+--≥-对任意实数a ，b 恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】[1,2]-【解析】【分析】设(,e ),(1,)a P a Q b b +，则可得22PQ m m ≥-，而,P Q 分别在曲线()x f x e =和直线1y x =-上，将直线1y x =-平移恰好与曲线()x f x e =相切时，可求出PQ 的最小值，从而可解关于m 的不等式可得答案.【详解】由题意设(,e ),(1,)aP a Q b b +，则()()222e 1aPQ b a b =-+--，所以22PQ m m ≥-，因为,P Q 分别在曲线()x f x e =和直线1y x =-上，所以将直线1y x =-平移恰好与曲线()x f x e =相切时，切点到直线1y x =-的距离最小，此时PQ 最小，设切线为y x m =+，切点为00(,)x y ，则()x f x e =，得()e x f x '=，所以0e 1x =，得00x =，则01y =，所以PQ 的最小值为点(0,1)到直线1y x =-的距离d ，d ==，即PQ ，所以22m m ≥-，即220m m --≤，解得12m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[1,2]-，故答案为：[1,2]-【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为(,e ),(1,)a P a Q b b +，22PQ m m ≥-，进一步转化为曲线()x f x e =上的点和直线1y x =-的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .AB AC ⋅=- ，ABC 的面积等于3.（1）求A ；（2）求222b c a +的最小值.【答案】（1）2π3A =（2）23【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积定义及三角形的面积公式可得tan A =，进而求解即可；（2）由（1）可得bc =，结合余弦定理可得222b c a +=-22221b c a a +=-，再根据基本不等式可得2222b c a bc +=-≥=2a ≥.【小问1详解】因为cos cos AB AC AB AC A bc A ⋅=⋅⋅=⋅=- 又1sin 32ABC S bc A ==△，两式相除得，tan A =又0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】由（1）知，cos bc A ⋅=-2π3A =，所以bc =，又2221cos 22b c a A bc +-==-，即222b c a +=-所以2222221b c a a a a+=--=，又因为2222b c a bc +=-=1423b c ==⨯时等号成立，所以2a ≥210a <≤，即214303a -≤-<，即2243113a≤-<，所以222b c a +的最小值为23.18.已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，)*N n b n =∈，且{}n b 是以2为公比的等比数列.（1）证明：24n n a a +=；（2）若2122n n n c a a -=+，求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析（2）154n n c -=⋅，()5413n n S =-【解析】【分析】（1）先求得n b ，然后根据递推关系证得24n n a a +=.（2）先求得n c ，然后结合等比数列前n 项和公式求得n S .【小问1详解】依题意，11a =，22a =，0n a >，)*N n b n =∈，1b ==，且{}n b 是以2为公比的等比数列，所以11222n n nb --==，所以1212122n n n n a a --+==，则21122n n n a a +++=，两式相除得224,4n n n na a a a ++==.【小问2详解】由（1）知数列{}2n a 和数列{}21n a -都是公比为4的等比数列，所以1211222221142,42n n n n n n a a a a -----=⋅==⋅=，22211212222254n n n n n n c a a ----=+=+⨯=⨯，1154,4n n n nc c c ++=⨯=，所以数列{}n c 是首项为5，公比为4的等比数列，所以()()514541143n n n S -==--.19.已知函数()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈（2）11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先表示出()g x ，根据对称性求出ϕ，即可得到()g x 的解析式，再根据x 的取值范围求出2x 的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭cos 211cos 23222x x π⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=--22cos 2cos sin 2sin 11cos 233222x x x ππ-+-=--1cos 2211cos 222222x x x --+-=--13cos 2211cos 222222x x x --+-=--3cos 2sin 2144x x =++1cos 2sin 21222x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭sin 2123x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即()sin 2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得5,Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为5,,Z 1212ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k .【小问2详解】解：因为()()()33sin 212212323g x f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，又()g x 的图像关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以2,Z 3k k ππϕπ++=∈，解得21,Z 32k k πϕπ=-+∈，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以()()sin 21sin 2122g x x x π=++=-+，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时22,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2,12x ⎤∈⎥⎣⎦，所以()11,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.20.已知函数()ln a f x x x x=+-，其中a ∈R .（1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x >，求实数a 的取值范围.【答案】（1）450x y --=（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）先将2a =代入得到()f x 解析式，对()f x 求导可得切线的斜率，由()1f 得切点的坐标，利用点斜式得到切线方程；（2）将()f x 代入得到2ln 2a x x x x <+-，所以将对于任意()1,x ∈+∞都有()2f x >转化成了()2min ln 2<+-a x x x x ，构造函数()2ln 2g x x x x x =+-，对()g x 求导判断函数()g x 单调递增，从而得()()1g x g >，即得证.【小问1详解】当2a =时，由已知得()2ln =+-f x x x x ，故()2121=++'f x x x ，所以()11214f '=++=，又因为()21ln1111=+-=-f ，所以函数()f x 的图象在点()1,1-处的切线方程为()141+=-y x ，即450x y --=；【小问2详解】由()2f x >，()1,x ∈+∞，得2ln 2<-+a x x x x ，设函数()2ln 2g x x x x x =+-，()1,x ∈+∞，则()1ln 22ln 21g x x x x x x x'=+⋅+-=+-，因为()1,x ∈+∞，所以ln 0x >，210x ->，所以当()1,x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->，故函数()g x 在()1,x ∈+∞上单调递增，所以当()1,x ∈+∞时，()()11ln11211g x g >=⨯+-⨯=-，因为对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x >成立，所以对于任意()1,x ∈+∞，都有()a g x <成立．所以1a ≤-．【点睛】思路点睛：本题利用导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.21.数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，()()*21n n S n a n +=∈N.（1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求出其通项公式；（2）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和53n T <.【答案】（1）32n a n =-（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥，从而得到12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥，即可得到122(3)n n n a a a n --=+≥，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；（2）由（1）可得()1231n S n n =-，适当放大再利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，*2(1)(N )n n S n a n =+∈①，当1n =时，1121a a =+，解得11a =；当2n ≥时，112(1)(1)n n S n a --=-+②，①-②得1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥③，所以12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥④，由③④得122(3)n n n a a a n --=+≥，所以数列{}n a 为等差数列，所以公差21413d a a =-=-=，所以13(1)32n a n n =+-=-．【小问2详解】由（1）可得()3212n n n S -+=，所以，所以()1231n S n n =-，当1n =时，11513S =<，当2n ≥时，()122121211(13133(1)31()3n S n n n n n n n n ==⋅<⋅=----，12111n nT S S S =++⋯+211211211131232331n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 525333n =-<,综上53n T <.22.已知()21e 12x f x x x =---.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()f x '是()f x 的导数.当[]1,1x ∈-时，记函数()f x 的最大值为M ，函数()f x '的最大值为N .求证：M N <.【答案】（1）()f x 在R 上单调递增（2）见解析【解析】【分析】（1）求导即可由导函数的正负求解原函数的单调性，（2）根据（1）的结论，分别求解M ，N ，即可作差求解大小.【小问1详解】函数()f x 的定义域为R ,()e 1xf x x '=--，令()()(),e 1xx f x x ϕϕ''==-，当()()0,0,x x x ϕϕ'>>单调递增，当()()0,0,x x x ϕϕ'<<单调递减，所以()(0)0x ϕϕ≥=，即()e 10x f x x ¢=--³故函数()f x 在R 上单调递增【小问2详解】由（1）知()f x 在[]1,1x ∈-时，单调递增，且()00f =，故()()[]()(],0,1,1,0f x x y f x f x x ⎧∈⎪==⎨-∈-⎪⎩，所以()(){}max 1,1M f f =-，由于()()115111e 3e 0e 22ef f --=---=--<，所以()()11f f -<，故()51e 2M f ==-,而()51e 2e 2N f M '≥=->-=,因此M N <。
文科高三期中模拟试题 文科数学
高三期中模拟试题 文科数学（满分150分，时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项的代号涂在答题卡上或填在答题纸相应空格里.1．设集合2{|0},{|||2},M x x x N x x =-<=<则A ．M N φ=B ．M N N =C ．M N M =D ．M N =R2．已知向量,m n 的夹角为6π，且|||2,==m n 在△ABC 中，,3,AB AC =+=-m n m n D为BC 边的中点，则||AD等于A ．1B ．2C ．3D ．4 3．设曲线2cos sin x y x -=在点(,2)2π处的切线与直线10x ay ++=垂直，则a 等于 A ．2 B ．-2 C ．-1 D ．1 4．不等式21log 1x x-≥的解集为 A ．(,1]-∞- B ．[1,)-+∞ C ．[-1，0） D ．(,1)(0,)-∞-+∞5．函数()sin f x x x =-的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．无数个 6．函数log (||1)(1)a y x a =+>的大致图像是7．已知函数1x y a -=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n=+的图象上，其中,0m n >，则11m n+的最小值为 A ．1 B．2 D ．4 8．函数()y f x =的导函数图象如图所示，则下面判断正确的是A ．在（-3，1）上()f x 是增函数B ．在1x =处()f x 有极大值C ．在2x =处()f x 取极大值D ．在（1，3）上()f x 为减函数9．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且1,45,2ABC a B S ∆=∠=︒=，则b 等于A．．3 C ．5 D10．若函数()f x 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数12122121,(),|()()|||x x x x f x f x x x ≠-<-恒成立”，则称()f x 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是A ．1()f x x= B ．()||f x x = C ．()23f x x =- D ．2()f x x =11．若0,0a b >>且4a b +=，则下列不等式恒成立的是A ．112ab >B ．111a b +≤ C2≥ D ．22118a b ≤+12．函数()sin()f x A x b ωϕ=++的图象如下，则(0)(1)(2011)S f f f =+++ 等于A ．0B ．503C ．1006D ．2012二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在答题纸相应题目的横线上.13．已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边，若1,2,a b A C B ==+=则sin C =____________14．已知||2,||4==a b ，且（+a b ）与a 垂直，则a 与b 的夹角是______________15．若20.30.30.3,2,log 2a b c ===，则,,a b c 由大到小的关系是______________16．设01a <≤，函数2(),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为__________三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.17．（本题满分12分）已知点(,)P x y 在由不等式组301010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩确定的平面区域内，O 为坐标原点，(1,2)A -，试求OP OA ⋅的最大值.18．（本题满分12分）已知函数()sin(2)sin(2)cos266f x x x x a ππ=++--+（,a R a ∈为常数）.（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）若函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后，得到函数()g x 的图像关于y 轴对称，求实数m 的最小值.19．（本题满分12分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，其中0αβπ<<<. （1）求证：+a b 与-a b 互相垂直；（2）若k +a b 与(0)k k -≠a b 的长度相等，求βα-. 20．（本题满分12分） 奇函数()()1()m g x f x g x -=+的定义域为R ，其中()y g x =为指数函数且过点（2，9）.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若对任意的[0,5]t ∈，不等式22(2)(225)0f t t k f t t +++-+->恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分12分）在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为1,23,x x x ，每个工作台上有若干名工人.现要在1x 与3x 之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短.（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值.22．（本题满分14分）已知函数2()ln(1)().f x x ax a x a =---∈R （1）求函数()f x 的单调区间；（2）试判断是否存在实数(1)a a ≥，使()y f x =的图像与直线1y =+无公共点（其中自然对数的底数e 为无理数且e =2.71828…）.高三期中模拟试题 文科数学 参考答案一、BADCA BDCCA DD二、13．1 14．23π 15．b a c >> 161a ≤18．解：（1）()sin(2)sin(2)cos266f x x x x a ππ=++--+2cos22sin(2).6x x a x a π=-+=-+…………………………………3分当222()262k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ，即()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z 时，函数()f x 单调递增，故所求区间为[,]().63k k k ππππ-+∈Z …………………………6分（2）函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后得()2sin[2()]6g x x m a π=+-+，要使()g x 的图像关于y 轴对称，只需2()62m k K Z πππ-=+∈…………………………9分即()23k m k Z ππ=+∈，所以m 的最小值为3π.………………………………12分 19．解：（1）22()()+⋅-=-a b a b a b 222222||||(cos sin )(cos sin )ααββ=-=+-+a b =1-1=0∴+a b 与-a b 互相垂直.……………………………………5分（2）+(cos cos ,sin sin ),k k k αβαβ=++a b -(cos cos ,sin sin ),k k k αβαβ=--ab |+||k k ∴=-=a b a b22|+|||,2cos()12cos()1,k k k k k k βαβα=-∴+-+=--+a b a b ……………9分2cos()2cos(),k k βαβα-=--0k ≠ ，故cos()0βα-=，又0,0,αβπβαπ<<<∴<-<.2πβα∴-=………………………12分20．解：（1）设()(0,1),x g x a a a =>≠则29,3a a =∴=或3a =-（舍），3()3,().13x xxm g x f x -∴==+……………………2分 又()f x 为奇函数，33()(),1313x xx x m m f x f x ----∴-=-∴=-++， 整理得(31)31x xm +=+ 1m ∴=13().13x xf x -∴=+ …………………………6分 （2）22.3ln3()0,()(13)x x f x y f x -'=<∴=+ 在R 上单调递减.……………………7分要使对任意的22[0,5],(2)(225)0t f t t k f t t ∈+++-+->恒成立， 即对任意的22[0,5],(2)(225)t f t t k f t t ∈++>--+-恒成立.()f x 为奇函数，22(2)(225)f t t k f t t ∴++>-+恒成立，…………………………9分又()y f x = 在R 上单调递减，222225t t k t t ∴++<-+当[0,5]t ∈时恒成立，2245(2)1k t t t ∴<-+=-+当[0,5]t ∈时恒成立，而当[0,5]t ∈时，21(2)110t ≤-+≤， 1.k ∴<………………………………12分21．解：设供应站坐标为x ，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为().d x（1）由题设知，13x x x ≤≤，所以123312()()||()||.d x x x x x x x x x x x =-+-+-=-+-………3分 故当2x x =时，()d x 取最小值，此时供应站的位置为2.x x =……………5分 （2）由题设知，13x x x ≤≤，所以各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为132()2()3()||.d x x x x x x x =-+-+-……………………………………8分 ∴3211232123232,,()32,.x x x x x x x d x x x x x x x -++-≤<⎧=⎨--≤≤⎩…………………………10分 因此，函数()d x 在区间（12,x x ）上是减函数，在区间[23,x x ]上是常数.故供应站位置位于区间[23,x x ]上任意一点时，均能使函数()d x 取得最小值，且最小值为32132.x x x --………………12分22．解：（1）函数2()ln(1)()f x x ax a x a =---∈R 的定义域是(1,).+∞………1分22()2()211a x x a f x x a x x +-'=--=--，…………………3分 ①若0a ≤，则22()221,()021a x x a f x x +-+'≤=>-在(1,)+∞上恒成立， 0a ∴≤时，()f x 的增区间为(1,)+∞…………………………5分②若0a >，则212a +>，故当2(1,]2a x +∈时，22()2()01a x x f x x +-'=≤-； 当时2[,)2a x +∈+∞时，22()2()01a x x f x x +-'=≥-，…………………………7分 0a ∴>时，()f x 的减区间为2(1,],()2a f x +的增区间为2[,).2a ++∞…………………8分（2）1a ≥时，由（1）可知，()f x 在(1,)+∞上的最小值为22()1ln .242a a af a +=-+-…………………10分设22()()1ln ([1,)),242a a a g a f a a +==-+-∈+∞则113()ln 1(1)ln 1ln 20,22222a a g a g ''=---≤=---=-+<2()1ln 42a ag a a ∴=-+-在[1,)+∞上单调递减，max 3()(1)ln 24g a g ∴==+，……………………………12分max 314()1ln 21ln 0,44eg a --+-->∴存在实数(1)a a ≥使()f x的最小值大于1+故存在实数(1)a a ≥，使()y f x =的图像与直线1y =+无公共点.……………14分。
高三第三次调研考试数学文科试题
高三第三次调研考试数学文科试题山东省枣庄市_届高三第三次调研考试数学试题(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第I卷(选择题,共60分)注意事项:1．答第I卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号.考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试卷上.3．考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式:①如果事件A.B互斥,那么②正棱锥.圆锥的侧面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A.B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)其中c表示底面周长,l表示斜高或母线长如果事件A在一次试验中发生的概率是球的体积公式P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径③K2统计量的表达式一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.1．的共轭复数是( )A． B． C．D．2．已知条件p:1≤_≤4,条件q:_－2_gt;1,则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件3．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( )A．8+B．4+C．8+4πD．4．在一底面半径和高都是2m的圆柱形容器中盛满小麦种子,但有一粒带麦锈病的种子混入了其中.现从中随机取出2m3的种子,则取出带麦锈病的种子的概率是( )A．B．C． D．5．设F是椭圆的右焦点,椭圆上的点与点F的最大距离为M,最小距离是m,则椭圆上与点F的距离等(M+m)的点的坐标是( )A．(0,±2)B．(0,±1)C．D．6．已知的值是 ( )A． B．C．24 D．127．如图,程序框图所进行的求和运算是( )A．B．C．D．8．设双曲线_2－y2=1的两条渐近线与直线_=围成的三角形区域(包含边界)为D,P(_,y)为D内的一个动点,则目标函数z=_－2y的最小值为( )A．－2 B．－C．0D．9．设α.β.γ为平面,a.b为直线,给出下列条件:①aα.bβ,a//β,b//α;②α//γ,β//γ;③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a//b.其中能使α//β成立的条件是( )A．①② B．②③ C．②④D．③④1,3,510．已知幂函数f(_)=_a的部分对应值如下表:_1f(_)1则不等式f(_)≤2的解集是( )A．{_0_lt;_≤} B．{_0≤_≤4} C．{_－≤_≤} D．{ _－4≤_≤4}11．在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线y=f(_),另一种平均价格曲线y=g(_),如f(2)=3表示股票开始卖卖后2小时的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图象,实线表示y=f(_),虚线表示y=g(_),其中可能正确的是( )12．已知,且对任意都有①f(m,n+1)=f(m,n)+2;②f(m+1,1)=2f(m,1).则f(_,_)的值为 ( )A．2_+_ B．2_+_ C．2_+4014 D．2_+4014 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.13．若点的弦AB的中点,则直线AB的方程是.1,3,514．设_,y为正数,有_,a1,a2,y成等差数列,_,b1,b2,y成等比数列,则的最小值是.15．在样本的频率分布直方图中,共有4个长方形,这4个小方形的面积由小到大构成等差数{an},已知a2 = 2a1,且样本容量为400,则小长方形面积最大的一组的频数为.16．对于函数给出下列四个命题:①该函数是以π为最小正周期的周期函数;②当且仅当_ = π+ kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值－1;③该函数的图象关于(k∈Z)对称;④当且仅当(k∈Z)时,其中正确合题的序号是(请将所有正确命题的序号都填上)三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)在△ABC中,a.b.c分别是角A.B.C的对边,若向量的夹角为(I)求角B的大小;(II)若,求a + c的最大值.18．(本小题满分12分)某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:积极参加班经工作不太主动参加班级工作1,3,5合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650(Ⅰ)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?(Ⅱ)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.(参考下表)P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点都在函数的图象上.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设,求数列{bn}的前n和Tn.20．(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D为AP的中点,E,F,G分别为PC.PD.CB的中点,将△PCD沿CD折起,使点P在平面ABCD内的射影为点D,如图2.(I)求证:AP∥平面EFG;(II)求三棱锥P—ABC的体积.21．(本小题满分12分)已知中心在原点,焦点在_轴上的椭圆,离心率e=,且经过抛物线_2=4y的焦点.(I)求椭圆的标准方程;(II)若过点B(2,0)的直线l(斜率不等于零)与椭圆交于不同的两点E.F(E在B.F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.22．(本小题满分14分)设(e为自然对数的底数)(I)求p与q的关系;(II)若在其定义域内为单调函数,求p的取值范围; (III)证明:①;②(n∈N,n≥2).参考答案一.选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,共60分. 1,3,5BBACB ACBCD CC二.填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,共16分. 13．14．4 15．160 16．③④三.解答题:本大题共6小题,共74分.17．(本小题满分12分)解:(I)由题意得,………………………………2分即, ,, ………………………………………………………… 4分(舍去),……………………………………………… 5分………………………………………………………… 6分(II)由(I)知而,……………………………………………7分………………………………………………………… 8分, …………………………………………………………………10分所以,a + c的最大值为2. (12)分18．(本小题满分12分)解:(I)积极参加班级工作的学生有24人,总人数为50人,概率为;…3分不太主动参加班级工作有学习积极性一般的学生有19人,概率为.……6分(II),……………………10分∵∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系.………………12分19．(本小题满分12分)解:(I)由题意,,,…………………………………… 3分当,也适合上式,∴数列{an}的通项公式为………………………………………5分(II)①② ………………7分②－①得,………………………………8分…………………………………………………………………………12分20．(本小题满分12分)解:由题意,△PCD折起后PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,PD=2.(I)∵E.F.G分别为PC.PD.BC的中点.∴EF∥CD,EG∥P B.又CD∥AB∴EF∥AB,PB∩AB = B,…………………………………………… 3分∴平面EFG∥平面PAB.∴PA∥平面EFG. (6)分(II)三棱锥P—ABC是以PD为高.△ABC为为底面的三棱锥,其体积………………12分21．(本小题满分12分)解:(I)设椭圆的方程为①∵抛物线_2=4y的焦点为(0,1),…………………………2分∴②.由①②解得a2=2,b2=1.…………………………4分∴椭圆的标准方程为.………………5分(II)如图,由题意知直线l的斜率存在且不为零,设l方程为y=k(_－2)(k≠0)①将①代入,整理,得,由△_gt;0得0_lt;k2_lt;.设E(_1,y1),F(_2,y2)则②…………………………7分令,由此可得由②知.∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是(3－2,1).………………12分) 22．(本小题满分14分)解:(I)由题意(II)由(I)知:令h(_)=p_2－2_+p.要使g(_)在(0,+∞)为单调函数,只需h(_)在(0,+∞)满足:h(_)≥0或h(_)≤0恒成立.………………………………4分①,∴g(_)在(0,+∞)单调递减,∴p=0适合题意.………………………………………………5分②当p_gt;0时,h(_)=p_2－2_+p图象为开口向上抛物线,称轴为_=∈(0,+∞).∴h(_)min=p－.只需p－≥0,即p≥1时h(_)≥0,g′(_) ≥0,∴g(_)在(0,+ ∞)单调递增,∴p≥1适合题意.…………………………7分③当p_lt;0时,h(_)=p_2－2_+p图象为开口向下的抛物线,其对称轴为_=(0,+∞),只需h(0)≤0,即p≤0时h(0)≤(0,+ ∞)恒成立.∴g′(_)_lt;0 ,∴g(_)在(0,+ ∞)单调递减,∴p_lt;0适合题意.综上①②③可得,p≥1或p≤0.……………………………………9分 (III)证明:①即证:ln_－_+1≤0(__gt;0),设.当_∈(0,1)时,k′(_)_gt;0,∴k(_)为单调递增函数;当_∈(1,∞)时,k′(_)_lt;0,∴k(_)为单调递减函数;∴_=1为k(_)的极大值点,∴k(_)≤k(1)=0.即ln_－_+1≤0,∴ln_≤_－1.………………………………11分②由①知ln_≤_－1,又__gt;0,∴结论成立.………………………………………………14分。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期期中考试文科数学试题(解析版)
成都七中2022～2023学年度（上）高三年级半期考试数学试卷（文科）（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，则()U A B = ð（ ）A. {}0,6 B. {}1,4 C. {}2,4 D. {}3,5【答案】C【解析】【分析】根据交集、补集的定义，即得解【详解】由题意，全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，故{0,2,4,6}U B =ð则(){2,4}U A B =∩ð故选：C2. 复数43i 2i z -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解.【详解】解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i 12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+，所以复数z 的虚部为2-，故选：A .3. 青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值()1,2,3,,12i a i =⋅⋅⋅（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3的人数，由茎叶图可知视力小于等于4.3的有5人，故选：B4. 抛物线()220y px p =≠上的一点()9,12P -到其焦点F 的距离PF 等于（ ）A. 17B. 15C. 13D. 11【答案】C【解析】【分析】由点的坐标求得参数p ，再由焦半径公式得结论．【详解】由题意2122(9)p =⨯-，解得8p =-，所以4(9)132P p PF x =--=--=，故选：C ．5. 奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（ ）A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数【答案】B【解析】的【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】对于A：众数可能不变，如8,7,7,7,4,4,1，故A错误；对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；故选：B6. 已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，根据题干三视图的数据，以及圆锥的侧面积和球的表面积公式，即得解【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同底面圆的半径1r =，圆锥的母线长2l ==记该几何体的表面积为S 故211(2)4422S r l r πππ=+⨯=故选：B7. 设平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a = ，2b = ，则()2a a b ⋅+= （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的运算律以及数量积的定义，计算即得解【详解】由题意，()22222112cos120211a ab a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯⨯=-= 则()21a a b ⋅+= 故选：A8. 设x ，y 满足240220330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示, 转化2z x y =+为2y x z =-+,要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大，数形结合即得解【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示转化2z x y =+为2y x z=-+要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大由图像可知，当经过图中B 点时，直线的截距最大240220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(0,2)B 故2022z =⨯+=故2z x y =+的最大值是2故选：D9. “α为第二象限角”是“sin 1αα>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件sin 1αα->求出α的范围，从而可判断出选项.【详解】因为1sin 2sin 2sin 23πααααα⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由sin 1αα>，得2sin 13πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1sin 32πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以522,636k k k Z ππππαπ+<-<+∈，即722,26k k k Z πππαπ+<<+∈，所以当α为第二象限角时，sin 1αα>；但当sin 1αα>时，α不一定为第二象限角，故“α为第二象限角”是“sin 1αα>”的充分不必要条件.故选：A .10. 已知直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，则22log log a b +的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 2-D. 3-【答案】D【解析】【分析】由直线与圆相切可得2214a b +=，然后利用均值不等式可得18ab ≤，从而可求22log log a b +的最大值.【详解】解：因为直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，2=，即2214a b +=，因为222a b ab +≥，所以18ab ≤，所以22221log log log log 38a b ab +=≤=-，所以22log log a b +的最大值为3-，故选：D .11. 关于函数()sin cos 6x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的叙述中，正确的有（ ）①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增；③3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数；④()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得()11sin(2)264f x x π=-+，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】()211sin cos sin sin )cos sin 622x f x x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭11112cos 2sin(2)44264x x x π-+=-+，∴最小正周期22T ππ==，①错误；令222262k x k πππππ-≤-≤+，则()f x 在[,63k k ππππ-+上递增，显然当0k =时,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②正确；1111sin(2)cos 2322424f x x x ππ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭，易知3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，③正确；令26x k ππ-=，则212k x ππ=+，Z k ∈，易知()f x 的图象关于1,124π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，④错误；故选：C12. 攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为a ，宝顶到上檐平面的距离为h ，则攒尖的体积为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】攒尖是一个正八棱锥，由棱锥体积公式计算可得．【详解】如图底面正八边形ABCDEFGH 的外接圆圆心是O （正八边形对角线交点），设外接圆半径为R ，在OAB 中，4AOB π∠=，AB a =，由余弦定理得222222cos (24a R R R R π=+-=-，22R ==，正八边形的面积为218sin 24S R π=⨯22(1a =，所以攒尖体积13V Sh ==．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是_______________________．【答案】2,2x x N x ∀∈≥【解析】【分析】根据命题的否定的定义求解．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是：2,2x x N x ∀∈≥．故答案为：2,2x x N x ∀∈≥．14. 函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为_______________________．（要求写一般式方程）【答案】230x y +-=【解析】【分析】利用导函数求出斜率，即可写出切线方程.【详解】()ln f x x =-的导函数是()1f x x'=，所以()111122f '=-=-.又()11f =，所以函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=.故答案为：230x y +-=.15. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，且两条渐近线互相垂直，若C 上一点P 满足213PF PF =，则12F PF ∠的余弦值为_______________________．【答案】13【解析】【分析】由题意可得b a =，进而得到c =，再结合双曲线的定义可得123,PF a PF a ==，进而结合余弦定理即可求出结果.【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，所以渐近线方程为b y x a =±，又因为两条渐近线互相垂直，所以21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1b a =，即b a =，因此c =，因此213PF PF =，又由双曲线的定义可知122PF PF a -=，则123,PF a PF a ==，所以在12F PF △中由余弦定理可得222122112121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠===⋅，故答案为：13.16. 已知向量(),a x m = ，()32,2b x x =-+ ．（1）若当2x =时，a b ⊥ ，则实数m 的值为_______________________；（2）若存在正数x ，使得//a b r r，则实数m 取值范围是__________________．【答案】①. 2- ②. (),0[2,)-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）由2x =时，得到()2,a m = ，()4,4b = ，然后根据a b ⊥ 求解；（2）根据存在正数x ，使得//a b r r，则()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，利用二次函数的根的分布求解.【详解】（1）当2x =时，()2,a m = ，()4,4b = ，因为a b ⊥ ，所以2440m ⨯+=，解得2m =-，所以实数m 的值为-2；（2）因为存在正数x ，使得//a b r r，所以()()232x x m x +=-，()0,x ∈+∞有解，即()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，所以()223022380m m m -⎧->⎪⎨⎪∆=--≥⎩或230220m m -⎧-≤⎪⎨⎪<⎩，解得2m ≥或0m <，所以实数m 的取值范围是(),0[2,)-∞⋃+∞.故答案为：-2，(),0[2,)-∞⋃+∞三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个题目考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1．现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记．的产品件数一等品二等品总计甲生产线2乙生产线7总计50（1）请将22⨯列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率．【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为产品的等级差异与生产线有关； （2）710【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，再与观测值比较即可判断；（2）记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；小问1详解】解：依题意可得22⨯列联表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线38240乙生产线7310总计45550所以()225038327 5.5561040545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为5.024 5.556 6.635<<，所以有97.5%的把握认为产品的等【级差异与生产线有关；【小问2详解】解：依题意，记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ；则从中随机抽取2件，所有可能结果有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc 共10个，至少有1件为甲生产线产品的有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc 共7个，所以至少有1件为甲生产线产品的概率710P =；18. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．（1）求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B ；（2）已知1AA =，求异面直线1A B 与1DC 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析； （2）6π【解析】【分析】（1）证得AD ⊥平面11BCC B ，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【小问1详解】因为正三棱柱111ABC A B C -，所以AB AC =，又因为D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以AD ⊥平面11BCC B ，又因为AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B ；【小问2详解】取11B C 的中点E ，连接DE ，由正三棱柱的几何特征可知,,DB DA DE 两两垂直，故以D 为坐标原点，分以,,DA DB DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，则1AA =，所以()()(11,0,1,0,0,0,0,0,1,A B D C -,则((11,0,1,A B DC =-=-u u u r u u u r，所以111111cos ,A B DC A B DC A B DC ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 由于异面直线成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线1A B 与1DC ，因此异面直线1A B 与1DC 所成角为6π.19. 已知n N *∈，数列{}n a 的首项11a =，且满足下列条件之一：①1122n n n a a +=+；②()121n n na n a +=+．（只能从①②中选择一个作为已知）（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 的前n 项和n S m <，求正整数m 的最小值．【答案】（1）22n nn a = （2）4【解析】【分析】（1）若选①，则可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，从而可得数列{}2nn a ⋅是以2为公差，2为首项的等差数列，则可求出2nn a ⋅，进而可求出n a ，若选②，则1112n n a a n n +=⋅+，从而可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1为首项的等比数列，则可求出na n，进而可求出n a ，（2）利用错位相减法求出n S ，从而可求出正整数m 的最小值【小问1详解】若选①，则由1122n n n a a +=+可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，所以数列{}2n n a ⋅是以2为公差，1122a ⋅=为首项的等差数列，所以222(1)2nn a n n ⋅=+-=，所以22n nn a =，若选②，则由()121n n na n a +=+，得1112n n a a n n +=⋅+，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1111a a ==为首项的等比数列，所以1112n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以1222n n nnn a -==【小问2详解】因为12312462(1)222222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，所以234112462(1)2222222n n n n nS +-=+++⋅⋅⋅++，所以23112222122222n n n n S +=+++⋅⋅⋅+-2311112()2222n nn=+++⋅⋅⋅+-111[1]42121212n nn -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--222n n +=-，所以2442n nn S +=-，所以4n S <，所以正整数m 的最小值为4，20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为，左顶点A 到右焦点F 的距离为3．（1）求椭圆C 的方程（2）设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N （不同于A ），且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得b =、3a c +=，再根据222c a b =-，即可求出a 、c ，从而求出椭圆方程、离心率；（2）设直线l 为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，依题意可得12AM AN k k ⋅=-，即可得到方程，整理得到225480m k km --=，即可得到m 、k 的关系，从而求出直线过定点；【小问1详解】解：依题意b =、3a c +=，又222c a b =-，解得2a =，1c =，所以椭圆方程为22143x y +=，离心率12c e a ==；【小问2详解】解：由（1）可知()2,0A -，当直线斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，联立方程得22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2223484120k xkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+；因为直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以12AM AN k k ⋅=-；即()()22121212121212121212222242AM ANk x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-+++++++所以2222222241281343441282243434m km k km m k k m km k k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭，即22221231164162k m k m km -+=-+-，所以225480m k km --=，即()()2520m k m k -+=，所以2m k =或25m k =-，当2m k =时，直线l ：2y kx k =+，恒过定点()2,0-，因为直线不过A 点，所以舍去；当25m k =-时，直线l ：25y kx k =-，恒过定点2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；当直线斜率不存在时，设直线0:l x x =，()00,M x y ，()00,N x y -，则00001222AM AN y y k k x x -⋅=⋅=-++，且2200143x y +=，解得025x =或02x =-（舍去）；综上可得直线l 恒过定点2,05⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()sin xf x e k x =-，其中k 为常数．（1）当1k =时，判断()f x 在区间()0,∞+内的单调性；（2）若对任意()0,x π∈，都有()1f x >，求k 的取值范围．【答案】（1）判断见解析 （2）(,1]k ∈-∞【解析】【分析】小问1：当1k =时，求出导数，判断导数在()0,∞+上的正负，即可确定()f x 在()0,∞+上的单调性；小问2：由()1f x >得sin 10x e k x -->，令()sin 1x g x e k x =--，将参数k 区分为0k ≤，01k <≤，1k >三种情况，分别讨论()g x 的单调性，求出最值，即可得到k 的取值范围.【小问1详解】当1k =时，得()sin xf x e x =-，故()cos xf x e x '=-，当()0,∞+时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间()0,∞+为单调递增函数.【小问2详解】当()0,x π∈时，sin (0,1]x ∈，故()1f x >，即sin 1x e k x ->，即sin 10x e k x -->.令()sin 1x g x e k x =--①当0k ≤时，因为()0,x π∈，故sin (0,1]x ∈，即sin 0k x -≥，又10x e ->，故()0f x >在()0,x π∈上恒成立，故0k ≤；②当01k <≤时，()cos x g x e k x '=-，()sin x g x e k x ''=+，故()0g x ''>在()0,x π∈上恒成立，()g x '在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)0g x g e k ''>=->，即()g x 在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)10g x g e >=-=，故01k <≤；③当1k >时，由②可知()g x '在()0,x π∈上单调递增，设()0g x '=时的根为0x ，则()g x 在0(0,)x x ∈时为单调递减；在0(,)x x π∈时为单调递增又0(0)10g e =-=，故0()0g x <，舍去；综上：(,1]k ∈-∞【点睛】本题考查了利用导数判断函数单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在平面直角坐标系xOy 中，伯努利双纽线1C （如图）的普通方程为()()222222x y x y +=-，曲线2C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（其中r ∈（，θ为参数）．的（1）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求1C 和2C 的极坐标方程；（2）设1C 与2C 的交于A ，B ，C ，D 四点，当r 变化时，求凸四边形ABCD 的最大面积．【答案】（1）1:C 2222cos 2sin ρθθ=-；2:C r ρ=（2）2【解析】【分析】（1）根据直角坐标方程，极坐标方程，参数方程之间的公式进行转化即可；（2）设点A 在第一象限，并且设点A 的极坐标，根据题意列出点A 的直角坐标，表示出四边形ABCD 的面积进行计算即可.小问1详解】1:C ()()222222x y x y +=-，由cos ,sin x y ρθρθ==，故222222()2(cos sin )ρρθρθ=-，即2222cos 2sin ρθθ=-2:C cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，即222x y r +=，即22r ρ=，rρ=【小问2详解】由1C 和2C 图象的对称性可知，四边形ABCD 为中心在原点处，且边与坐标轴平行的矩形，设点A 在第一象限，且坐标为(,)ρα(02πα<<，又r ρ=，则点A 的直角坐标为(cos ,sin )r r αα，又2222cos 2sin ραα=-，即2222cos 2sin 2cos 2r ααα=-=故S 四边形ABCD =22cos 2sin 2sin 2r r r ααα⋅==22cos 2sin 22sin 4ααα⋅⋅=又02πα<<，故042απ<<，因此当42πα=，即8πα=时，四边形ABCD 的面积最大为2.［选修4—5：不等式选讲]（10分）【23. 设M 为不等式1431x x ++≥-的解集．（1）求集合M 的最大元素m ；（2）若a ，b M ∈且a b m +=，求1123a b +++的最小值．【答案】（1）3m = （2）12【解析】【分析】（1）分类讨论13x ≥，1x ≤-，113x -<<，打开绝对值求解，即得解；（2）由题意1,3,3a b a b -≤≤+=，构造11(2)(3)132([11]2328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++，利用均值不等式即得解【小问1详解】由题意，1431x x ++≥-（1）当13x ≥时，1431x x ++≥-，解得3x ≤，即133x ≤≤；（2）当1x ≤-时，1413x x --+≥-，解得1x ≥-，即=1x -；（3）当113x -<<时，1413x x ++≥-，解得1x ≥-，即113x -<<综上：13x -≤≤故集合{|13}M x x =-££，3m =【小问2详解】由题意，1,3,3a b a b -≤≤+=，故(2)(3)8a b +++=故11(2)(3)132()[112328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++由于1,3a b -≤≤，故20,30a b +>+>由均值不等式，113211[11[1123823821b a a b a b +++=+++≥++=++++当且仅当3223b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立故求1123a b +++的最小值为12。
高三上学期期中考试(文科数学)
高三数学（文科）阶段性质量检测试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）共两卷．其中第l 卷共60分，第II 卷共90分，两卷合计I50分．答题时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上.） 1.已知函数)1lg()(x x f -=的定义域为M ，函数xy 1=的定义域为N ，则N M ⋂=（ ） A.{}0,1|≠<x x x 且 B.{}01|≠≤x x x 且 C.{}1|>x x D.{}1|≤x x2.设,)21(,5.225.205.2===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A.b c a >> B.b a c >> C.c a b >> D.c b a >> 3.如果命题 “⌝(p ∨ q)”为假命题，则（ ）A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ． p, q 中至多有一个为真命题 4.若向量(3,6),(4,2),(12,6)u v w =-==--，则下列结论中错误的是（ ） A.u v ⊥ B.v wC.3w u v =-D.对任一向量AB ，存在实数,a b 使AB au bv =+5.设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z x y =+（ ）A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最大值D ．既无最小值，也无最大值6.已知ααπααcos sin ),0,4(,25242sin +-∈-=则等于( ) A.51- B.51 C. 57- D.577.已知函数)(x f 是R 上的偶函数，若对于0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当)1(log )(,)2,0[2+=∈x x f x 时，则)2012()2011(f f +-的值为（ ）A.-2B.-1C.1D.2 8.函数)2||00)sin()(πφωφω<>>+=，，（A x A x f 的部分图象如图示，则将)(x f y =的图象向右平移6π个单位后，得到图象解析式为( ) A.x y 2sin = B.x y 2cos = C.)32sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y 9.已知2)(-=x a x f ，)1,0(log )(≠>=a a x x g a ，若0)4()4(<-g f ，则)(),(x g y x f y ==在同一坐标系内的大致图象是（ ）10. 首项为20-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 A.209d >B.52d ≤C.20592d <≤ D.20592d ≤< 11. 若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（ ）A.（-1，0）∪（1,+∞）B.（-∞，-1）∪（1,+∞）C.（-1，0）∪（0，1）D.（-∞，-1）∪（0,1）12.已知向量),4(),2,1(y b x a =-=，若b a ⊥，则yx 39+的最小值为( )A.2B.32C.6D.9第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4个小题，每题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.13.在ABC ∆中，若C B A cos cos 2sin =，则=+C B tan tan ________.14.函数⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,22)(2x x x x x x f 的图象和函数)1ln()(-=x x g 的图象的交点个数是______________.15.函数)2,0(),3sin(2ππ∈-=x x y 的单调递增区间为____________.16. 下列命题：（1）若函数）a x x x f ++=2lg()(为奇函数，则1=a ； （2）函数x x f sin )(=的周期π=T ； （3）方程x x sin lg =有且只有三个实数根；（4）对于函数x x f =)(，若2)()()2(0212121x x f x x f x x +<+<<，则. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号）三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17. （本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，a ＝2，sin,552=B 且△ABC 的面积为4. （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求边b 、c 的长。
山西省怀仁市2021-2022学年高三上学期期中文科数学题试卷及答案
的图像大致为
8. 已 知 函 数
f xx R 满 足
f x 4
f 2 x ， 函 数
gx 2x 1 。 若 函 数
x 1
f x与gx 与 的 图 像 共 有 214 个 交 点 ， 记 作 pi xi , yi i 1,2,,214 ， 则
214
xi yi x1 y1 x2 y2 xn yn 的值为
,
3
时，函数
h
x
2
f
x
1
m
有一个零点，求
m
的取值范围.
20.（本小题满分 12 分）
已知函数 f x 2ex 2ex ax b sin xa,b R （1）当 b=0 时， f x 为 R 上的增函数，求 a 的最小值； （2）若 a 1,2 b 3, f ax 1 f a x ，求 x 的取值范围。
21.（本小题满分 12 分） 本季度，全球某手机公司生产某种手机，由以往经验表明，不考虑其他因数，该手机全球 每日的销售量 y(单位：万台）与销售单价 x(单位：千元/台，4<x≤8）,满足关系式
y
mx 6
20x
n 4 2x0046
x
x
6 8
，其中
m,n
是常数，已知当销售价格为
5
千元/台时，全
19.（本小题满分 12 分）
在函数 f x Asin x ( x R ， A 0 ， 0 ， 0 )的图象与 x 轴的交
2
点中，相邻两个交点之间的距离为
2
，且图象上一个最低点为
M
2 3
,
2
.
（1）求 f x 的解析式；
（2）求 f x 的单调递减区间；
2021年高三(下)期中数学试卷(文科)
2021年高三（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）设P和Q是两个集合，如果P={x|log2x＜1}，Q={x|x2﹣4x+4＜1}，那么P∩Q等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}考点：交集及其运算．分析：根据对数函数的性质，可得P，再由一元二次不等式的解法，可得Q；进而由交集的运算，可得答案．解答：解：根据对数函数的性质，可得P={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，由一元二次不等式的解法，可得Q={x|x2﹣4x+4＜1}={x|1＜x＜3}，那么P∩Q={x|1＜x＜2}；故选C．点评：本题考查集合间的交集的运算，应注意不等式的正确求解，并结合数轴判断集合间的关系．2．（5分）（xx•海南）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2B．4C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质，借助公比q表示出S4和a1之间的关系，易得a2与a1间的关系，然后二者相除进而求得答案．解答：解：由于q=2，∴∴；故选C．点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用．等差数列及等比数列问题一直是高中数学的重点也是高考的一个热点，要予以高度重视．3．（5分）已知复数z=1+2i，则=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．分析：由题意可得=，只需分子分母同乘以分母的共轭复数，化简可得答案．解答：解：∵z=1+2i，∴====故选B点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．4．（5分）（xx•山东）已知=（1，n），=（﹣1，n），若2﹣与垂直，则||=（）A．1B．C．2D．4考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．分析：2﹣=（3，n），由2﹣与垂直可得：，||=2解答：解：∵=（1，n），=（﹣1，n），∴2﹣=（3，n），∵2﹣与b垂直∴∴||=2故选C．点评：本题主要考查向量的数量积的坐标表示．要注意两向量垂直时，二者点乘为0．5．（5分）（xx•安徽）若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据此距离等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：把圆x2+y2﹣2x﹣4y=0化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆心坐标为（1，2），∵圆心（1，2）到直线x﹣y+a=0的距离为，∴，即|a﹣1|=1，可化为a﹣1=1或a﹣1=﹣1，∴解得a=2或0．故选C．点评：此题考查学生会将圆的一般式方程化为圆的标准方程并会从标准方程中找出圆心坐标，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．6．（5分）（xx•河东区二模）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20考点：循环结构．专题：压轴题；图表型．分析：结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．解答：解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A点评：本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制．7．（5分）函数的图象为C，如下结论中不正确的是（）A．图象C关于直线对称B．图象C关于点对称C．函数f（x）在区间内是增函数D．由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C考函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；复合三角函数的单调性．点：专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+∅）的对称性和单调性可得A、B、C正确，再根据函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律可得D不正确，从而得出结论．解答：解：∵函数的图象为C，把x=代入可得f（x）=﹣3，为最大值，故图象C关于直线对称，故A正确．把x=代入可得f（x）=0，故图象C关于点对称，故B正确．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为（kπ﹣，kπ+ ），k∈z，故C正确．由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得函数y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）的图象，故D不正确．故选D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+∅）的对称性和单调性，属于中档题．8．（5分）（xx•湖南）“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：函数f（x）=|x﹣a|的图象是关于x=a对称的折线，在[a，+∞）上为增函数，由题意[1，+∞）⊆[a，+∞），可求a的范围．解答：解：若“a=1”，则函数f（x）=|x﹣a|=|x﹣1|在区间[1，+∞）上为增函数；而若f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数，则a≤1，所以“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查充要条件的判断和已知函数单调性求参数范围问题，对函数f（x）=|x﹣a|的图象要熟练掌握．9．（5分）半径为2cm的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（）A．B．C．2cm D．4cm考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题；压轴题．分析：根据折叠原理，折叠前半圆的弧长为圆锥的底面周长即：2πr=πR，找到两者的关系，再求得圆锥的高，利用等面积法求得底面圆心到母线的距离，再乘以2，即为最高处距桌面的距离．解解：设圆的半径为R，圆锥的底面半径为r，高为h，最高处距桌面距离为：H答：根据题意：2πr=πR∴R=2r∴h=∴最高处距桌面距离：H=2故选A点评：本题是一道折叠题，主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．10．（5分）某债券市场发行的三种值券：甲种面值为100元，一年到期本利共获103元；乙种面值为50元，半年期本利共50.9元；丙种面值为100元，但买入时只付97元，一年到期拿回100元，这三种投资收益比例从小到大排列为（）A．乙，甲，丙B．甲、丙、乙C．甲、乙、丙D．丙、甲、乙考点：进行简单的合情推理．专题：计算题．分析：假设年初都投入100元，根据所给数据及规则分别算出收益即可．解答：解：假设年初都投入100元，则①若买甲种债券，一年到期共获利103﹣100=3元；②若买乙种债券，一年共获利2（50.9﹣50）+101.8×≈3.63元；③若买乙种债券，一年到期共获利≈3.09元．∴3＜3.09＜3.63，因此这三种投资收益比例从小到大排列为甲、丙、乙．故选B．点评：根据规则正确计算出收益的大小是解题的关键．二.填空题：每小题5分，共20分.(14、15是选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选只计算前一题的得分)11．（5分）已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为或．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意可设此双曲线的方程为x2﹣y2=k（k≠0），利用焦点在坐标轴上且焦距是10，求得k即可．解答：解：设此双曲线的方程为x2﹣y2=k（k≠0），当k＞0时，a2=4k，b2=k，c2=5k，此时焦点为（±，0），由题意得：=5，解得k=5，双曲线的方程为；当k＜0时，a2=﹣k，b2=﹣4k，c2=﹣5k，此时焦点为（0，±），由题意得：=5，解得k=﹣5，双曲线的方程为．∴所求的双曲线方程为为或．故答案为：或．点评：本题考查双曲线的简单性质，据题意设双曲线的方程为x2﹣y2=k（k≠0）是捷径，考查待定系数法与分类讨论思想，属于中档题．12．（5分）如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，则f（1）+f（2）+f （3）+…+f（xx）=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数y的解析式．再利用周期性求得所求式子的值．解答：解：由函数的图象可得A=2，=6﹣2，解得ω=，故f（x）=2sin（x+φ）．再由五点法作图可得×2+φ=，∴φ=0．故f（x）=2sin（x），f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）=250×0+f（1）=2sin=，故答案为．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，利用函数的周期性求函数的值，属于中档题．13．（5分）设方程x2﹣mx+1=0两根为α，β，且0＜α＜1，1＜β＜2，则实数m的取值范围是．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：构造二次函数f（x）=x2﹣mx+1，根据一元二次函数的性质与图象知，考查x=1，0，2处的函数值的符号即可．解答：解：方程x2﹣mx+1=0对应的二次函数f（x）=x2﹣mx+1，方程x2﹣mx+1=0两根根为α，β，且0＜α＜1，1＜β＜2，∴解得．故答案为：点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系．考查一元二次函数的图象与性质．14．（5分）把参数方程（θ为参数）化为普通方程是．极坐标系中，圆的圆心坐标是（，）．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，把参数方程化为普通方程；把极坐标方程化为直角坐标方程，根据圆的一般方程的特征求出圆心．解答：解：参数方程（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程是x2=1﹣y （﹣≤x≤）．圆即ρ2=2ρ（sinθ+sinθ），化为直角坐标方程为，故它的圆心坐标是（，），故答案为、（，）．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，圆的一般式方程的特征，属于基础题．15．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=m：n，若△AEF的面积等于acm2，则△CDF的面积等于cm2．考点：三角形的面积公式．专题：计算题．分析：根据平行四边形对边平行，得到两个三角形相似，根据两个三角形相似，知道这两个三角形的面积之比等于边长之比的平方，做出两个三角形的边长之比，根据△AEF 的面积，得到要求的三角形的面积．解答：解：平行四边形ABCD中，有△AEF～△CDF∴△AEF与△CDF的面积之比等于对应边长之比的平方，∵AE：EB=m：n，∴AE：CD=m：（m+n）∵△AEF的面积等于acm2，∴∵△CDF的面积等于cm2故答案为：．点评：本题考查三角形相似的性质，两个三角形相似，对应的高线，中线和角平分线之比等于边长之比，两个三角形的面积之比等于边长比的平方，这种性质用的比较多．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知，a为实常数．（I）求f（x）的最小正周期；（II）若f（x）在上最大值与最小值之和为3，求a的值．考三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．点：专题：计算题．分析：（I）利用降幂公式（逆用二倍角余弦公式），结合辅助角公式，我们可将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据T=，即可求出f（x）的最小正周期；（II）由（I）中函数的解析式，我们易分析出函数f（x）在上的最大值和最小值（含参数a），进而根据f（x）在上最大值与最小值之和为3，构造出含a的方程，解方程即可求出a的值．解答：解：（I）=所以f（x）的最小正周期T=π；…（5分）（II）∵，则∴所以f（x）是最大值为3+a，最小值为a依题意有：3+2a=3，∴a=0…（10分）点评：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，其中利用降幂公式（逆用二倍角余弦公式），结合辅助角公式，化简函数的解析式是解答本题的关键．17．（12分）（xx•锦州一模）已知函数f（x）=alnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≤﹣2c2恒成立，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由f（x）在x=1处取得极值﹣3﹣c，可得，解出即可；（2）利用f'（x）＞0，此时f（x）为增函数；f'（x）＜0，此时f（x）为减函数．即可求得其单调区间．（3）要使f（x）≤﹣2c2（x＞0）恒成立，只需≤﹣2c2．利用（2）即可得出函数f（x）的最大值．解答：解：（1）由题意知f（1）=﹣3﹣c，∴f（1）=b﹣c=﹣3﹣c，从而b=﹣3．又．由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12．（2）由（1）知（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）为减函数．因此f（x）的单调递增区间为（0，1），而f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极大值f（1）=﹣3﹣c，此极大值也是最大值，要使f（x）≤﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≤﹣2c2．即2c2﹣c﹣3≤0，从而（2c﹣3）（c+1）≤0，解得．所以c的取值范围为．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质，要注意分离参数法、转化法的运用．18．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥底面ABCD．（1）求证：AQ∥平面CEP；（2）求证：平面AEQ⊥平面DEP；（3）若EP=AP=1，求三棱锥E﹣AQC的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明AQCP为平行四边形，可得CP∥AQ，从而证明AQ∥平面CEP．（2）先证明AQ⊥EP，利用ADQP为正方形可得AQ⊥DP，从而证得AQ⊥平面DEP，进而得到平面AEQ⊥平面DEP．（3）EP为三棱锥E﹣AQC的高，△ACQ的面积等于•CQ•AD，代入三棱锥的体积公式进行运算．解答：解：（1）在矩形ABCD中，∵AP=PB，DQ=QC，∴AP∥CQ 且AP=CQ，∴AQCP为平行四边形，∴CP∥AQ．∵CP⊂平面CEP，AQ⊄平面CEP，∴AQ∥平面CEP．（2）∵EP⊥平面ABCD，AQ⊂平面ABCD，∴AQ⊥EP．∵AB=2BC，P为AB中点，∴AP=AD．连PQ，则ADQP为正方形．∴AQ⊥DP．又EP∩DP=P，∴AQ⊥平面DEP．∵AQ⊂平面AEQ．∴平面AEQ⊥平面DEP．（3）∵EP⊥平面ABCD，∴EP为三棱锥E﹣AQC的高，∴=．点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求三棱锥的体积，证明AQ⊥平面DEP 是解题的难点．19．（14分）（xx•天津）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=4a n﹣3n+1，n∈N*．（Ⅰ）证明数列{a n﹣n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅲ）证明不等式S n+1≤4S n，对任意n∈N*皆成立．考点：数列的求和；等比关系的确定；等比数列的性质．专题：综合题．分析：（Ⅰ）整理题设a n+1=4a n﹣3n+1得a n+1﹣（n+1）=4（a n﹣n），进而可推断数列{a n ﹣n}是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可数列{a n﹣n}的通项公式，进而可得{a n}的通项公式根据等比和等差数列的求和公式，求得S n．（Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的S n代入S n+1﹣4S n整理后根据证明原式．解答：解：（Ⅰ）证明：由题设a n+1=4a n﹣3n+1，得a n+1﹣（n+1）=4（a n﹣n），n∈N*．又a1﹣1=1，所以数列{a n﹣n}是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n﹣n=4n﹣1，于是数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣1+n．所以数列{a n}的前n项和．（Ⅲ）证明：对任意的n∈N*，=．所以不等式S n+1≤4S n，对任意n∈N*皆成立．点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．20．（14分）（xx•山东）本公司计划xx年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？考点：简单线性规划的应用．分析：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．解答：解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z=3000x+xxy．二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图，作直线l：3000x+xxy=0，即3x+2y=0．平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立解得x=100，y=200．∴点M的坐标为（100，200）．∴z max=3000x+xxy=700000（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．21．（14分）已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3：（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；（2）问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．考点：二次函数的性质；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，要使函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则f（﹣1）•f（1）≤0，由此可解q的取值范围；（2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12﹣t求出t的值，验证范围后即可得到答案．解答：解：（1）∵二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3的对称轴是x=8∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减∴要使函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，须满足f（﹣1）•f（1）≤0．即（1+16+q+3）•（1﹣16+q+3）≤0解得﹣20≤q≤12．所以使函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点的实数q的取值范围是[﹣20，12]；（2）当时，即0≤t≤6时，f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，即[q﹣61，t2﹣16t+q+3]．∴t2﹣16t+q+3﹣（q﹣61）=t2﹣16t+64=12﹣t．∴t2﹣15t+52=0，∴．经检验不合题意，舍去．当时，即6≤t＜8时，f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[q﹣61，q﹣57]．∴q﹣57﹣（q﹣61）=4=12﹣t．∴t=8经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，即[t2﹣16t+q+3，q﹣57]∴q﹣57﹣（t2﹣16t+q+3）=﹣t2+16t﹣60=12﹣t∴t2﹣17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，所以存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．37338 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O１－２y x－Ｏxy－22江苏省如皋、海安联合高三期中调研考试 数学试题（文科）（满分160分，答卷时间120分钟）一、填空题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．把答案填写在答题纸相应位置上． 1． 已知(1,1),(1,3)x x =+=-a b ，且⊥a b ，则x = ． 2． 设集合{}2(,)|,M x y y x x ==∈R ，集合{}(,)|2,N x y y x x ==-∈R ，则MN = ．3． 将3OM OA OB OC =--写成AM xAB y AC=+时，x ＋y= ．4． sin 21cos81sin69cos9-= ． 5． 已知函数log ()a yxb 的图象如图所示，则b a = ．6． 设11,lg lg ,lg,lg(),22a b a b M a b N P ab +>>=⋅==则M ，N ，P的大小关系为 (用<联接)．7． 若 直角三角形的三边成等比数列，则较小内角的正弦值是 ．8． 设命题甲：{}2210a axax ++>R 的解集是；命题乙：01a <<，则命题甲是命题乙成立的 条件(从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选取). 定义一种运算：1*1=1，(1)13(1)n n +*=*，则1n *= ．10．过抛物线y2＝4x 的焦点F 作斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点(点A 在x 轴上方), 若AF FB λ=,则λ= ． 11．已知函数2()1,()f x xg x x ，令()max (),()F x f x g x (max 表示最大值)，则F(x)的最小值是 ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置正确填涂．12．不等边ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，且lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，则直线2sin sin x A y A a +=与直线2sin sin x B y C c +=的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．重合 D ．相交但不垂直 13．与图中曲线对应的函数(定义域为[]2π,2π-)是 （ ）A ．sin y x =B ．sin y x= C ．sin y x=- D ．sin y x=-AC BD 南东北西 14．已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且1MF x ⊥轴，则1F 到直线F2M 的距离为（ ）A ．65B ．56C ．36D ．5615．已知函数,(),n n f n n n ⎧=⎨⎩为奇数,-为偶数, ()(1)n a f n f n =++, 则1232007a a a a ++++=（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．2三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分） 函数f(x)的定义域为D{}0x x =>, 满足: 对于任意,m n D ∈，都有()()()f mn f m f n =+，且f(2)=1.（1）求f(4)的值；（2）如果(26)3,()(0,)f x f x -≤+∞且在上是单调增函数，求x 的取值范围.17．（本题满分14分）某观测站C 在城A 的南20˚西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处，有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A 城？18．（本题满分14分）一艘太空飞船飞往地球，第一次观测时，如图1发现一个正三角形的岛屿(3；第二次观测时，如图2发现它每边中央13处还有一正三角形海岬，形成了六角的星形；第三次观测时，如图3发现原先每一小边的中央13处又有一向外突出的正三角形海岬，把这个过程无限地继续下去，就得到著名的数学模型——柯克岛. 把第1，2，3，，n 次观测到的岛的海岸线长记为123,,,,n a a a a ，试求123,,a a a 的值及an 的表达式.O Fxy lB1B219．（本题满分14分）设关于x 的不等式0x x a b --<的解集为P ．（1）当2,3a b ==时，求集合P ； （2）若1a =，且{}|1P x x =<-，求实数b 的值．20．（本题满分14分）点12,B B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴端点，椭圆的右焦点为F ，12B B F ∆为等边三角形，点F 到椭圆右准线l 的距离为1．（1）求椭圆方程；（2）求经过点O 、F 且与右准线l 相切的圆的方程.21．（本题满分15分）数列{}n a 是公差为(0)d d >的等差数列，且214a a a 是与的等比中项，设*13521()n n S a a a a n -=++++∈N ．（1）求证21n n n S S S ++=（2）若14d =，令nn S b ，{}n b 的前n n T 项和为，是否存在整数P 、Q ，使得对任意n *∈N , 都有n P T Q <<，若存在，求出P 的最大值及Q 的最小值；若不存在，请说明理由．ACBD南 东北西2008江苏省如皋、海安联合高三期中调研考试 数学试题（文科）参考答案一、填空题（5分×11＝55分）1．212．{(1, 1), (－2, 4)} 3．－2 4．23-5．27 6．M<P<N 7．51- 8．必要不充分 9．13n - 10．322+ 11．15- 二、选择题（5分×4＝20分）12．C 13．C 14．A 15．A 三、解答题（85分） 16．（14分）（1）(4)(22)(2)(2)11 2.f f f f =⨯=+=+= ………………………5分 （2）3＝2＋1＝(4)(2)(42)(8).f f f f +=⨯= ………………………9分 因为()(0,)f x +∞在上是增函数，所以(26)3(26)(8)026837.f x f x f x x -≤⇔-≤⇔<-≤⇔<≤ ………………………13分即x 的取值范围是(]3,7. ………………………14分17．（14分）根据题意得，BC=31千米，BD=20千米， CD=21千米，∠CAB=60˚．………………2分 设∠ACD =α ，∠CDB = β ． 在△CDB 中，由余弦定理得2222222120311cos 2221207CD BD BC CD BD β+-+-===-⋅⋅⨯⨯， ……5分于是243sin 1cos ββ=-．………8分 ()()sin sin 2040sin 60αββ=--=-︒4335311sin cos60cos sin 6027ββ=︒-︒=+． ………………………11分在△ACD 中，由正弦定理得53532121sin 15().sin sin 6032CD AD A α=⋅===︒千米 ………………………13分O－－1xy18．（14分）由题意知，2123441633,3343,333333a a a ⎛⎫===== ⎪⎝⎭. ………………6分313，所以第n()1133n -； …………………………………9分因为第一个图形的边数为3，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍， 所以第n 个图形的边数为134n -⨯. …………………………………12分因此，()1433.3n n a -= ……………………………… 14分19．（14分）（1）当2,3a b ==时，原不等式为: 230x x --<. ………………………………2分当2x ≥时， 2230x x --<，即22,230,x x x ≥⎧⎨--<⎩解得23x ≤<；……………………4分当2x <时，2230x x -+-<，即22,230,x x x <⎧⎨-+>⎩解得 2x <. …………………… 6分所以，(),3P =-∞. ………………………7分（2）方法1 当1a =时，令()f x ＝1x x -22,1,, 1.x x x x x x ⎧-+≤=⎨->⎩ ………………………9分 作函数()f x 的图像(如图).当1x <-，()f x 的值域为(,2)-∞-，……………11分当1x ≥-，()f x 的值域为[)2,-+∞. ……………13分所以，当不等式的解集为{}|1P x x =<-时，2b =-．………………14分方法2 当1a =时，不等式为10x x b --<. ……8分若1x ≥，不等式的解集不可能是{}|1P x x =<-；……10分若1x <，不等式为(1)0x x b --<，即x2－x ＋b>0， …………………………11分 1,x <⎧⎪O Fxy lBB于是有1141b --=-，解得b ＝－2. ………………………………14 分20．（14分）1222,,B B F OF c OB b B F a ∆===因为为正三角形，，23cos30c OF e a FB ====所以. …………………………………3分准线l 的方程：2a x c =， 所以231,c a a c c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩ 解之得23,3,a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩……………6分于是3b =故椭圆方程为221123x y +=. ………………7分（2）设所求圆的圆心为D ，由(1)知椭圆的右准线方程为x ＝4， ……………………8分因为圆D 过点O ，F ，且与直线x ＝4相切，所以可设圆心()3,2D m，半径为52，于是圆D 的方程为()()2232524x y m -+-=, ……………………………………11分因为点O(0，0)在圆D 上，所以292544m +=，解得22m m ==-或, 所求圆的方程为()()22325224x y -+-=或()()22325224x y -++=. …………………14分21．（15分）（1）证明:214a a a 因为是与的等比中项，2111()(3)a d a a d +=+所以， …………………2分21d a d =于是有，因为0d >，所以1a d =.故 1(1)n a a n d nd =+-=. …………………………………………………4分 从而21211321()[(21)]22n n n n a a n d n d S a a a n d --++-=+++===. ……………………6分因为222(2)(2)n n S S n d n d n n d++=++所以+=. ……………………………………7分（2）当14d =时，224n n S n d ==，2n n n b ==. ……………………………………8分2311111232222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯, ①12n T = 231111112(1)2222n n n n +⨯+⨯++-⨯+⨯, ②①-②, 得211111122222n n n T n +=+++-⨯=11111221212n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭-⋅-=111122n n n +--⋅,12(2)2n nT n ∴=-+⋅ ………………………………………11分 由于111(1)2n n n T T n ++-=+⋅0>，所以数列{}n T 是递增数列， …………………………………………13分当n=1时，n T 的最小值为12，122n T ≤<，所以，存在整数P 、Q ，使得n P T Q <<，P 的最大值为0，Q 的最小值为2． …………………………………………15分。