2019-2020年高三数学文科期末考试答案
2019-2020学年内蒙古自治区赤峰市林西县三段中学高三数学文上学期期末试卷含解析
2019-2020学年内蒙古自治区赤峰市林西县三段中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在正三棱锥中，分别是的中点，有下列三个论断：①；②//平面；③平面，其中正确论断的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个参考答案：2. 集合，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.参考答案：A3. 函数在R上连续，则直线的倾斜角为A. arctan2B.- arctan2C. arctan( -2) D.+ arctan2参考答案：B略4. 在△ABC中，，c=4，，则b=（）A. B. 3 C. D.参考答案：B【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，根据正弦定理即可计算解得b的值．【详解】∵，c=4，，∴，∴由正弦定理，可得：，解得：b=3．故选：B．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．5. 已知集合A．B．C．D．参考答案：D6. 设函数的部分图像，若，且，则A．1 B．C．D．参考答案：D由图象可得A=1，，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），点（，0）相当于y=sinx中的故选：D7. 设是双曲线的两个焦点, 是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为( ) ．A. B. C. D.参考答案：D8. 设全集U＝R，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D9. 下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（）的共轭复数为的虚部为参考答案：C10. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B=4c sin C，cos A=－，则=A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：A由正弦定理可得到：，即，又由余弦定理可得到：，于是可得到二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数在上的最大值为．参考答案：12. 已知圆的方程为设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为。
2019-2020学年人教A版北京市通州区高三(上)期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高三上学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣2＜x＜﹣1} 2．在复平面内，复数（其中i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知点A（2，a）为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则|AF|等于（）A．4 B．3 C．D．24．若x＞y＞0，则下列各式中一定正确的是（）A．B．tan x＞tan yC．D．lnx＞lny5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为（）A．B．C．D．6．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A．24 B．12 C．8 D．67．对于向量，，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为﹣1；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量＝（3，﹣2），＝（1，m），若⊥（），则m＝．10．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，那么数列{a n}的前n项和S n等于．11．已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为．12．在△ABC中，a＝3，，∠B＝2∠A，则cos B＝．13．已知a，b，a+m均为大于0的实数，给出下列五个论断：①a＞b，②a＜b，③m＞0，④m＜0，⑤．以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题．14．如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l，花园中间有一条公路AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA．规划要求：道路PB，QA不穿过花园．已知OC⊥l，BD ⊥l（C、D为垂足），测得OC＝0.9，BD＝1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m 元/千米．在规划要求下，修建道路总费用的最小值为元．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H 学校比例等级优秀8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%良好37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%及格22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%不及格33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠SAD＝∠DAB＝90°，SA＝3，SB＝5，AB＝4，BC＝2，AD＝1．（Ⅰ）求证：AB⊥平面SAD；（Ⅱ）求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点E，F分别为线段BC，SB上的一点，若平面AEF∥平面SCD，求三棱锥B﹣AEF 的体积．18．已知椭圆C ：（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（4，0），点N（0，n），若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．19．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣零点的个数．20．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a n}满足如下条件：①a n∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜a m．若数列{b n}满足b n＝，其中n＝1，2，…，m，则称{b n}为{a n}的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n}为{a n}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞b m；（Ⅲ）已知数列{a n}存在“伴随数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求m的最大值．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣2＜x＜﹣1} 【分析】根据题意，由并集的定义分析可得答案．解：根据题意，集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}；故选：A．2．在复平面内，复数（其中i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．解：∵复数＝＝＝，∴复数对应的点的坐标是（，）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A．3．已知点A（2，a）为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则|AF|等于（）A．4 B．3 C．D．2【分析】由题意可得抛物线的焦点和准线，而|AF|等于点A到准线的距离d＝|2﹣（﹣1）|，计算可得．解：由题意可得抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线的方程为x＝﹣1，由抛物线的定义可知|AF|等于点A到准线的距离d，而d＝|2﹣（﹣1）|＝3，故|AF|＝3，故选：B．4．若x＞y＞0，则下列各式中一定正确的是（）A．B．tan x＞tan yC．D．lnx＞lny【分析】A．利用不等式的基本性质即可判断出正误．B．利用三角函数的单调性周期性即可判断出正误．C．利用指数函数的单调性即可判断出正误．D．利用对数函数的单调性即可判断出正误．解：A．∵x＞y＞0，∴＞，因此不正确；B．取x＝π+，y＝，满足x＞y＞0，但是tan x＜tan y，因此不正确；C．由x＞y＞0，∴＜，因此不正确；D．由x＞y＞0，∴lnx＞lny，因此正确．故选：D．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用公式的应用求出结果解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以：AB＝．故选：C．6．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A．24 B．12 C．8 D．6【分析】根据题意，分3步依次分析甲、乙和其他2人的站法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分3步进行分析：①，老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，则甲的站法有2种，乙的站法有2种，②，乙同学与老师相邻，则乙的站法有2种，③，将剩下的2人全排列，安排在剩下的2个位置，有A22＝2种情况，则不同站法有2×2×2＝8种；故选：C．7．对于向量，，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】举例说明由不能得到；反之成立．再由充分必要条件的判定得答案．解：当，且与的夹角为120°时，有，故由，不能得到；反之，由，能够得到．∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．8．关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为﹣1；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1，e x﹣1＞0．①令f（x）＝0，可得x2+ax﹣1＝0，△＞0，函数恒有两个零点，可得两个零点之积，即可判断出正误；②f′（x）＝[x2+（2+a）x+a﹣1]e x﹣1．令g（x）＝x2+（2+a）x+a﹣1，△＞0．可得方程x2+（2+a）x+a﹣1＝0，有两个不相等的实数根．可得其单调性极值，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为a﹣1，即可判断出正误；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，可得4﹣2（2+a）+a﹣1＝0，解得a，即可判断出正误．解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1，e x﹣1＞0．①令f（x）＝0，则x2+ax﹣1＝0，△＝a2+4＞0，则函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1，正确；②f′（x）＝[x2+（2+a）x+a﹣1]e x﹣1．令g（x）＝x2+（2+a）x+a﹣1，△＝（2+a）2﹣4（a﹣1）＝a2+8＞0．∴方程x2+（2+a）x+a﹣1＝0，有两个不相等的实数根．又e x﹣1＞0，∴函数f（x）有两个极值点x1，x2，不妨设x1＜x2，则函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．∴函数恒有两个极值点且两个极值点之积为a﹣1，因此②不正确；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则4﹣2（2+a）+a﹣1＝0，解得a＝﹣1．∴f′（x）＝（x2+x﹣2）e x﹣1＝（x+2）（x﹣1）e x﹣1．可得x＝1时函数f（x）取得极小值，f（1）＝（1﹣1﹣1）e0＝﹣1．则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有2个．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量＝（3，﹣2），＝（1，m），若⊥（），则m＝﹣5 ．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出m的值．解：向量＝（3，﹣2），＝（1，m），则﹣＝（2，﹣m﹣2），又⊥（），所以•（﹣）＝0，即3×2﹣2×（﹣m﹣2）＝0，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．10．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，那么数列{a n}的前n项和S n等于．【分析】设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得公差d，由等差数列的求和公式，计算可得所求和．解：在公差d不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，可得a32＝a1a7，即（2+2d）2＝2（2+6d），解得d＝1，（0舍去），则数列{a n}的前n项和S n＝2n+n（n﹣1）＝n2+n．故答案为：n2+n．11．已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为x2﹣y2＝1 ．【分析】设双曲线的标准方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），由题意可得c，结合渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的标准方程．解：设双曲线的标准方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），由题意可得c＝＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，两条渐近线互相垂直，可得﹣＝﹣1，解得a＝b＝1，则双曲线的标准方程为x2﹣y2＝1，故答案为：x2﹣y2＝1．12．在△ABC中，a＝3，，∠B＝2∠A，则cos B＝．【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos A的值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可求解cos B的值．解：∵a＝3，，∠B＝2∠A，∴由正弦定理，可得＝＝，∴解得cos A＝，∴cos B＝cos2A＝2cos2A﹣1＝．故答案为：．13．已知a，b，a+m均为大于0的实数，给出下列五个论断：①a＞b，②a＜b，③m＞0，④m＜0，⑤．以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）．【分析】利用不等式的基本性质可得由①③⇒⑤．（答案不唯一）．解：因为：若a，b满足a＞b，b＞0，则a＞b，m＞0，⇒﹣＝＝＞0；即由①③⇒⑤．（答案不唯一）．故答案为：①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）14．如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l，花园中间有一条公路AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA．规划要求：道路PB，QA不穿过花园．已知OC⊥l，BD ⊥l（C、D为垂足），测得OC＝0.9，BD＝1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m 元/千米．在规划要求下，修建道路总费用的最小值为 2.1m元．【分析】根据题意找到对应的点P，Q，利用三角形相似计算即可解：根据题意，因为道路PB，QA不穿过花园，所以作AQ⊥l，垂足为Q，此时AQ最短，过B作圆O的切线BP交l于P，此时PB最短，如图：根据平行线段成比例可得AQ＝0.6，即有AQ为△BMD的中位线，所以BM＝2AB＝2，则在Rt△BMD中，DM＝1.6，又因为△PBD∽△BMD，所以PB＝＝＝1.5，故修建道路总费用的最小值为1.5m+0.6m＝2.1m，故答案为：2.1m．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（I）先化简f（x），根据周期计算公式即可得出T．（II）利用三角函数的单调性即可得出．解：＝，（Ⅰ）f（x）的最小正周期T＝，（Ⅱ）因为，所以，所以当，即x＝0时，f（x）取得最小值0；当，即时，f（x）取得最大值．16．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H 学校比例等级优秀8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%良好37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%及格22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%不及格33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）【分析】（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，即可得出从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．利用超几何分布列即可得出随机变量X的分布列．（Ⅲ）经过计算即可得出S12与S22的关系．解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．，所以随机变量X的分布列为：X0 1 2P（Ⅲ）S12＝S22．17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠SAD＝∠DAB＝90°，SA＝3，SB＝5，AB＝4，BC＝2，AD＝1．（Ⅰ）求证：AB⊥平面SAD；（Ⅱ）求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点E，F分别为线段BC，SB上的一点，若平面AEF∥平面SCD，求三棱锥B﹣AEF 的体积．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥SA，AB⊥AD，然后证明AB⊥平面SAD．（Ⅱ）建立如图直角坐标系，求出平面SAB的法向量，平面SDC的法向量，通过向量的数量积求解即可．（Ⅲ）利用V B﹣AEF＝V F﹣ABE，转化求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△SAB中，因为SA＝3，AB＝4，SB＝5，所以AB⊥SA．又因为∠DAB＝90°所以AB⊥AD，因为SA∩AD＝A所以AB⊥平面SAD．（Ⅱ）解：因为SA⊥AD，AB⊥SA，AB⊥AD．建立如图直角坐标系则A（0，0，0）B（0，4，0），C（2，4，0），D（1，0，0），S（0，0，3）．平面SAB的法向量为．设平面SDC的法向量为所以有即，令x＝1所以平面SDC的法向量为，所以．（Ⅲ）解：因为平面AEF∥平面SCD，平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面SCD∩平面ABCD＝CD，所以AE∥CD，平面AEF∩平面SBC＝EF，平面SCD∩平面SBC＝SC，所以FE∥SC，由AE∥CD，AD∥BC得四边形AEDC为平行四边形．所以E为BC中点．又FE∥SC，所以F为SB中点，所以F到平面ABE的距离为，又△ABE的面积为2，所以V B﹣AEF＝V F﹣ABE＝1．18．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（4，0），点N（0，n），若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．【分析】（Ⅰ）由椭圆的长轴长，结合离心率求出a，b，然后求解椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：设点P（x0，y0），则，PN的中点，通过，结合函数的值域为[﹣12，20]，求解n的范围即可．法二：设点P（x0，y0），则．设PN的中点为Q，利用|MP|＝|MN|，通过函数的值域为[﹣12，20]，求解即可．解：（Ⅰ）由椭圆的长轴长2a＝4，得a＝2又离心率，所以所以b2＝a2﹣c2＝2．所以椭圆C的方程为；．（Ⅱ）法一：设点P（x0，y0），则所以PN的中点，，．因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ⊥NP，则，即．又因为，所以所以．函数的值域为[﹣12，20]所以0≤n2≤20所以．法二：设点P（x0，y0），则．设PN的中点为Q因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ是线段PN的垂直平分线，所以|MP|＝|MN|，即，所以．函数的值域为[﹣12，20]，所以0≤n2≤20．所以．19．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣零点的个数．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再求出f（0），利用直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）由为偶函数，g（0）＝1，把求g（x）在x∈R上零点个数，转化为求g（x）在x∈（0，+∞）上零点个数即可．利用导数研究函数单调性，再由函数零点存在性定理判定．解：（Ⅰ）f'（x）＝x cos x，∴f'（0）＝0．又f（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（Ⅱ）∵为偶函数，g（0）＝1，∴要求g（x）在x∈R上零点个数，只需求g（x）在x∈（0，+∞）上零点个数即可．，令g'（x）＝0，得，k ∈N，∴g（x ）在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增k∈N*，列表得：x 0 …g'（x）0 + 0 ﹣0 + 0 ﹣0 …g （x ）1 ↗极大值↘极小值↗极大值↘极小值…由上表可以看出g（x ）在（k∈N ）处取得极大值，在（k∈N）处取得极小值，又；．当k∈N*且k≥1时，，（或，）．∴g（x）在x∈（0，+∞）上只有一个零点．故函数零点的个数为2．20．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a n}满足如下条件：①a n∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜a m．若数列{b n}满足b n＝，其中n＝1，2，…，m，则称{b n}为{a n}的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n}为{a n}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞b m；（Ⅲ）已知数列{a n}存在“伴随数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题目中“伴随数列”的定义得，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）只要用作差法证明{b n}的单调性即可，（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有，因为，b1＞b2＞…＞b m．因为，所以a n﹣a n﹣1≥m﹣1，又a m﹣a1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m﹣1）＝（m﹣1）2．所以2049﹣1≥（m﹣1）2，即可解得m的最大值．解：（Ⅰ）数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．因为，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）证明：因为，1≤n≤m﹣1，n∈N*，又因为a1＜a2＜…＜a m，所以有a n﹣a n+1＜0，所以，所以b1＞b2＞…＞b m成立．（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有，因为，b1＞b2＞…＞b m．所以，所以，所以，因为，所以a n﹣a n﹣1≥m﹣1，又a m﹣a1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m﹣1）＝（m﹣1）2．所以2049﹣1≥（m﹣1）2所以（m﹣1）2≤2048，所以m≤46，又，所以m≤33，例如：a n＝64n﹣63（1≤n≤33），满足题意，所以，m的最大值是33．。
2019-2020学年山西省高三(上)期末数学试卷(文科)(a卷)
2019-2020学年山西省高三（上）期末数学试卷（文科）（A 卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x =<，2{|0}B x x x =->，则(A B =I ) A ．{|12}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|12}x x <„D ．{|14}x x <„2．（5分）已知复数z 满足21iz i-=+，则(z = ) A ．132i+ B ．132i- C ．32i+ D ．32i- 3．（5分）由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是( )A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 4．（5分）已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos()(πθ-= )A ．45-B ．45 C ．35-D ．355．（5分）若椭圆221(0)2x y p p p+=>的一个焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，则(p = )A ．2B ．3C ．4D ．86．（5分）已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0，(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）函数2sin()1x xf x x +=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则( )A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行9．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为( ) A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．2021202010．（5分）“角谷定理”的内容为对于每一个正整数．如果它是奇数．则对它乘3再加1，如果它是偶数．则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10．则输出i 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．811．（5分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DABπ∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A 3B 3C 3D 3 12．（5分）设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，[,]43ππϕ∈，已知()f x 在[0，2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是( ) A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若||3a =r，||2b =r ，|2|37a b +=r r ，则a r 与b r 的夹角为 ． 14．（5分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列1{2}n S a -也为等比数列，则43S S = 15．（5分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品(10个产品均为次品）．如果将5袋产品以1~5编号，第i 袋取出i 个产品(1i =，2，3，4，5)，并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子编号是2，此时的重量y = g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y = g ．16．（5分）已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212()0||||PF PF QF PF PF +=u u u r u u u u r u u u u r u u ur u u u u r g ，②1212()0||||PF PF QP PF PF λ++=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则点Q 的轨迹方程为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值．18．（12分）“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间（单位：时）的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12，16]内的人数为92．（1）估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；（2）用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16，24]内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16，20]，(20，24]内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率．19．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与C ，D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点P ，Q 在平面ABCD 的两侧． （1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点E ，F 分别是PQB ∆和POA ∆的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题． ()i 证明：//EF 平面PAQ ； ()ii 求三棱锥A OEF -的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为4，且过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 于一点(Q Q 不与A ，B 重合）．设ABQ ∆的外心为G ，求证2||||AB GF 为定值． 21．（12分）已知函数()2(12)a f x x a lnx x=+-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解1x ，2x ，且12x x <，证明：12()02x x f +'>． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为212(2x ss y s ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||24|f x x x =++-．（1）求不等式()6f x …的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(,)m n ，正数a ，b 满足6ma nb +=，求23a b+的取值范围．2019-2020学年山西省高三（上）期末数学试卷（文科）（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x =<，2{|0}B x x x =->，则(A B =I ) A ．{|12}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|12}x x <„D ．{|14}x x <„【解答】解：由题意得2{|log 1}{|02}A x x x x =<=<<，2{|0}{|0B x x x x x =->=<或1}x >， {|12}A B x x ∴=<<I ．故选：A ．2．（5分）已知复数z 满足21iz i-=+，则(z = ) A ．132i+ B ．132i - C ．32i+ D ．32i- 【解答】解：2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i ---===-++-， 故选：B ．3．（5分）由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是( )A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位【解答】解：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故D 项表达错误． 故选：D ．4．（5分）已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos()(πθ-= )A ．45-B ．45 C ．35-D ．35【解答】解：因为角θ的终边过点(3,4)P -，所以5r ， 所以3cos 5x r θ==-， 所以3cos()cos 5πθθ-=-=． 故选：D ．5．（5分）若椭圆221(0)2x y p p p+=>的一个焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，则(p = )A ．2B ．3C ．4D ．8【解答】解：由椭圆221(0)2x y p p p+=>，得c∴椭圆的焦点坐标为(0)，0)，抛物线的焦点坐标为(2p，0)，∴2p=，解得4p =， 故选：C ．6．（5分）已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0，(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：()x f x ae x b =++的导数为()1x f x ae '=+，所以(0)12f a '=+=，解得1a =， (0)13f a b b =+=+=，所以2b =，所以2ab =，故选：B ．7．（5分）函数2sin ()1x xf x x +=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：2sin ()1x x f x x +=+是奇函数，排除A ；2sin ()01f ππππ+=>+，排除B ，C ． 故选：D ．8．（5分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则( )A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行【解答】解：取CF 的中点H ，连接DH ，GH ，在PBC ∆中，23PG PH PB PC ==，所以//GH BC ，且223GH BC ==， 又因为//AD BC 且2AD =，所以//GH AD ，且GH AD =， 所以四边形ADHG 为平行四边形，所以//AG DH ，且AG DH =． 在PDH ∆中，E 、F 分别为PD 和PH 的中点，所以//EF DH ，且12EF DH =， 所以//EF AG ，且12EF AG =，即2AG EF =． 故选：D ．9．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为( ) A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．20212020【解答】解：由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则112767282a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩． ∴数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=，*n N ∈． ∴111(1)n n a a n n +=+． 设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则12231111n n n T a a a a a a +=++⋯+1111223(1)n n =++⋯+⨯⨯+ 1111112231n n =-+-+⋯+-+ 111n =-+ 1nn =+． 202020202021T ∴=． 故选：A ．10．（5分）“角谷定理”的内容为对于每一个正整数．如果它是奇数．则对它乘3再加1，如果它是偶数．则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10．则输出i 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：模拟程序的运行，可得0i =，10n =不满足条件1n =，满足条件n 是偶数，5n =，1i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，16n =，2i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，8n =，3i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，4n =，4i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，2n =，5i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，1n =，6i = 此时，满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为6． 故选：B ．11．（5分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A 3B 3C 3D 3 【解答】解：根据已知得三棱锥A BCD -的外接球的半径1r =，90ADB ACB ∠=∠=︒Q ，AB ∴为外接球直径，则2AB =，且3AD =，1BD =，2AC BC ==．当点C 到平面ABD 距离最大时，三棱锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，∴1113311332A BCD C ABD ABD V V S d --∆===⨯⨯⨯⨯=g ． 故选：B ．12．（5分）设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，[,]43ππϕ∈，已知()f x 在[0，2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是( ) A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=【解答】解：设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟，所以sin y t =在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点， 可知425ππωϕπ+<„，所以52222ϕϕωππ-<-„， 又[,]43ππϕ∈，所以5342222ππωππ-<-„，即15783ω<„，满足的只有A ，故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若||3a =r ，||2b =r ，|2|37a b +=r r ，则a r 与b r 的夹角为 3π．【解答】解：设a r 与b r 的夹角为θ，则[0θ∈，]π，Q ||3a =r，||2b =r ，|2|37a b +=r r ，∴2244943cos 4437a a b b θ++=++=rrrr g g g g ，求得1cos 2θ=，3πθ∴=， 故答案为：3π． 14．（5分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列1{2}n S a -也为等比数列，则43S S =1514【解答】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，对于等比数列1{2}n S a -，其前三项为：1a -，21a a -，321a a a +-，则有2132121()()()a a a a a a -+-=-， 变形可得：22(1)(1)q q q -+-=-， 解可得：12q =或0（舍)，则12q =， 则41443313(1)1151(1)1141a q S q q a q S q q---===---； 故答案为：1514． 15．（5分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品(10个产品均为次品）．如果将5袋产品以1~5编号，第i 袋取出i 个产品(1i =，2，3，4，5)，并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子编号是2，此时的重量y = 1520g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y = g ．【解答】解：第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个．若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=； 若次品是第({1n n ∈，2，3，4，5})袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个， 此时的重量100(15)110150010y n n n =⨯-+⨯=+，{1n ∈，2，3，4，5}． 故答案为：1520；150010n +，{1n ∈，2，3，4，5}．16．（5分）已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212()0||||PF PF QF PF PF +=u u u r u u u u r u u u u r u u ur u u u u r g ，②1212()0||||PF PF QP PF PF λ++=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则点Q 的轨迹方程为 2211()2x y x +=> ．【解答】解：设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上，结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在△2PF A 中，2AF PQ ⊥．又PQ 平分2APF ∠，所以△2PF A 为等腰三角形，即2||||PF PA =，2||||AQ QF =．因为点P 为双曲线上的点，所以12||||2PF PF -=，即12||||||2PA AF PF +-=，所以1||2AF =．又在△12F AF 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点，所以11||||12OQ AF ==，所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆，所以点Q 的轨迹方程为2211()2x y x +=>．故答案为：2211()2x y x +=>．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值． 【解答】解：sin 2sin()0c B b A B -+=Q ，由正弦定理可得，sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简可得，2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=，sin sin 0B C ≠Q ，1cos 2B ∴=， (0,)B π∈Q ，∴13B π=，（2）由余弦定理可得，2221cos 22a c b B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，27b ∴=，由正弦定理可得，sin 321sin c B C b ==18．（12分）“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间（单位：时）的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12，16]内的人数为92．（1）估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；（2）用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16，24]内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16，20]，(20，24]内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率．【解答】解：（1）由已知可得14(0.02500.04750.05000.0125)0.1150a=÷-+++=，所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为(60.0250100.0475140.1150180.0500220.0125)413.64⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．（2）因为0.1150492n⨯⨯=，所以922000.11504n==⨯．故参与主题教育活动的时间在(16，20]的人数为0.0500420040⨯⨯=，参与主题教育活动的时间在(20，24]的人数为0.0125420010⨯⨯=．则利用分层抽样抽取的人数：在(16，20]内为4人，设为a，b，c，d，在(20，24]内为1人，设为A．从这5人中选取3人的事件空间为：{(a，b，)c，(a，b，)d，(a，b，)A，(a，c，)A，(a，d，)A，(b，c，)d，(b，c，)A，(b，d，)A，(c，d，)}A，共10种情况，其中全是二等奖的有4种情况，故3人均获二等奖的概率42105P==．19．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点P是圆弧CD上的一动点（不与C，D重合），点Q是圆弧AB的中点，且点P，Q在平面ABCD的两侧．（1）证明：平面PAD⊥平面PBC；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点E ，F 分别是PQB ∆和POA ∆的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题． ()i 证明：//EF 平面PAQ ； ()ii 求三棱锥A OEF -的体积．【解答】解：（1）证明：因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥， 又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与C ，D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥， 又AD PD D =I ，PD 在平面PAD 内，AD 在平面PAD 内，所以PC ⊥平面PAD ， 又PC 在平面PBC ，故平面PAD ⊥平面PBC ．（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO ．()i 证明：连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为E ，F 分别为三角形的重心，所以23PE PF PM PN ==，所以//EF MN ， 所以//EF AQ ，又AQ 在平面PAQ 内，EF 不在平面PAQ 内，所以//EF 平面PAQ ．()ii 因为PO ⊥平面ABO ，所以PO BO ⊥，又AO BO ⊥，AO PO O =I ，所以BO ⊥平面PAO ， 因为////EF AQ BO ，所以EF ⊥平面PAO ，即EF ⊥平面FAO ，即EF 是三棱锥E AOF -的高．又23EF BO ==11232AOF S ∆=⨯⨯ 所以14||327A OEF E AOF AOF V V S EF --∆===g ． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为4，且过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 于一点(Q Q 不与A ，B 重合）．设ABQ ∆的外心为G ，求证2||||AB GF 为定值． 【解答】解：（1）由题意知2a =，将P 点坐标代入椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，得291414b +=，解得b = 所以椭圆方程为22143x y +=；（2）证明：由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得22(34)690m y my ++-=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+， 所以AB 的中点坐标为2243(,)3434mm m -++，所以2212(1)||34m AB m +==+． 因为G 是ABQ ∆的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为2234()3434m y m x m m +=--++，令0y =，得2134x m =+，即21(,0)34G m +，所以2222133|||1|3434m GF m m +=-=++， 所以2222212(1)||34433||34m AB m m GF m ++==++，所以2||||AB GF 为定值，定值为4． 21．（12分）已知函数()2(12)af x x a lnx x=+-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解1x ，2x ，且12x x <，证明：12()02x x f +'>． 【解答】解：（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x-+---+'=+-==>， ①当0a „时，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增； ②当0a >时，(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减； (,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，综上，当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增．（2）由（1）知，当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意； 当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则f '（a ）0=． 不妨设120x a x <<<， 要证12()02x x f +'>，即证122x x a +>，即证212x x +>，即证212x a x >-．因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证21()(2)f x f a x >-，因为21()()f x f x =，所以即证11()(2)f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-， 令()()()[2()(12)()][2()(12)()]a ag x f a x f a x a x a ln a x a x a ln a x a x a x=+--=++-++--+--++-4(12)()(12)()a ax a ln a x a ln a x a x a x=+-+---+-+-． 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- 222222222222(12)2()4()4()()()()a a a a x x x a a a x a x a x a x a x -+--=+-=-+-+-． 当(0,)x a ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=， 所以(0,)x a ∈，时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-， 即()(2)f x f a x >-，又1(0,)x a ∈，所以11()(2)f x f a x >-，所以12()02x x f +>． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为212(x ss y ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解答】解：（1）直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为212(x s s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），消取参数可知：C 的直角坐标方程为：24y x =．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入l 的极坐标方程cos 2sin 90ρθρθ++=，可得l 的直角坐标方程为：290x y ++=．（2）设点2(2s P)，则点P 到直线l的距离221|9||(5|s s s d ++++==g ，当s =-d ==[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||24|f x x x =++-． （1）求不等式()6f x „的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(,)m n ，正数a ，b 满足6ma nb +=，求23a b+的取值范围．【解答】解：（1）33,2()|1||24|5,1233,1x x f x x x x x x x -⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-+-⎩…„，∴由()6f x „，得2336x x ⎧⎨-⎩…„或1256x x -<<⎧⎨-+⎩„或1336x x -⎧⎨-+⎩„„，[2x ∴∈，3]或(1,2)x ∈-或1x =-．综上，[1x ∈-，3]．（2）Q 33,2()5,1233,1x x f x x x x x -⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+-⎩…„，∴当2x =时，()3min f x =，最低点为(2,3)，即236a b +=，∴132a b+=． ∴232323()()3232a b b a a b a b a b +=++=+++ 1325266+=…，当且仅当65a b ==时等号成立， ∴2325[,)6a b +∈+∞．。
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
北京市西城区2019~2020学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。
第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。
银川二中2019-2020学年第一学期高三年级文科数学试卷及答案详解(12页)
银川二中2019-2020学年第一学期高三年级文科数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|y＝lg（2x﹣3）}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜＜} B．{x|x＞1} C．{x|x＞2}D．{x|＜＜}2．记复数z的共轭复数为，若（1﹣i）＝2i（i为虚数单位），则复数z的模|z|＝（）A．B．1 C．2D．23．若直线a和b异面，直线b和c异面，则直线a和c（）A．异面或相交B．异面或平行C．异面或平行或相交D．相交或平行4．“a＝0”是“函数f（x）＝sin x a为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，图中的曲线为半圆弧或圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．25π6．在等差数列{a n}中，a3，a9是方程x2+24x+12＝0的两根，则数列{a n}的前11项和等于（）A．66 B．132 C．﹣66 D．﹣1327．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16 B．8 C．4 D．28．已知，则（）A．B．C．D．9．函数的图象可由y＝2cos2x的图象如何变换得到（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位10．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则（）A．B．C．D．11．如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知P A＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．已知函数，＜，，则方程f（x）＝kx+1有3个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．，C．，D．（0，+∞）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．在平面直角坐标系xOy中，点A，B均在圆心为原点额单位圆上，已知点A 在第一象限的横坐标为，点B（1，0）设∠BOA＝θ，则sin2θ＝．14．已知向量，，，，θ为两个向量的夹角，则cosθ＝．15．记数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝3a n+2n﹣3，则数列{a n}的通项公式为a n＝．16．如图边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF以及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则四面体P﹣AEF的高为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．已知函数f（x）sin2x﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c，f（C）＝0．若sin B＝2sin A，求a，b的值．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．19．已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．20．已知数列{a n}满足：a n≠1，a n+1＝2（n∈N*），数列{b n}中，b n，且b1，b2，b4成等比数列；（1）求证：{b n}是等差数列；（2）S n是数列{b n}的前n项和，求数列{}的前n项和T n．21．已知函数f（x）ax2﹣（2a+1）x+2lnx．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝0时，证明：f（x）＜2e x﹣x﹣4（其中e为自然对数的底数）．（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρcos2θ＝4a sinθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数）．直线l与曲线C交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程（不要求具体过程）；（Ⅱ）设P（﹣2，﹣1），若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．23．[选修4-5：不等式选讲]已经f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m、n、p为正实数，且m+n+p＝f（3），求证：mn+np+pm≤12．答案详解：一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D2．3．C4．C5．C6．D7．C8．A9．B10．D11．D12．B二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．平面直角坐标系xOy中，点A，B均在圆心为原点的单位圆上，已知点A 在第一象限的横坐标为，点B（1，0）设∠BOA＝θ，则cosθ，sinθ，则sin2θ＝2sinθcosθ，14．向量，，，，则两个向量的夹角余弦值为cosθ．15．S n＝3a n+2n﹣3，可得n＝1，a1＝S1＝3a1﹣1，即a1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝3a n+2n﹣3﹣3a n﹣1﹣2n+2+3，即有a n a n﹣1﹣1，由a n+λ（a n﹣1+λ），解得λ＝﹣2，可得{a n﹣2}为为首项，为公比的等比数列，即有a n﹣2＝﹣（）n，则a n＝2﹣（）n，16．边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF以及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则P A，PE，PF两两垂直，∴P A⊥平面PEF，∴V A﹣PEF，设P到平面AEF的距离为h，∵S△AEF，∴，∴，解得h．∴四面体P﹣AEF的高为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（1）∵f（x）sin2x﹣cos2x，x∈R．sin2x＝sin（2x）﹣1∴Tπ∴由2kπ2x2kπ，k∈Z可解得：x∈[kπ，kπ]，k∈Z∴f（x）单调递减区间是：[kπ，kπ]，k∈Z（2）f（C）＝sin（2C）﹣1＝0，则sin（2C）＝1∵0＜C＜π，∴C∵sin B＝2sin A，∴由正弦定理可得b＝2a①∵c，∴由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣ab＝3②由①②可得a＝1，b＝2．18．证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．19．（1）因为{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，所以，即，解得a1＝1．………………所以a n＝a1+（n﹣1）d＝n．………………………………………（2），（6分）两式相减得（8分）所以（11分）所以．…………………………………20．（1）证明：a n≠1，a n+1＝2（n∈N*），可得a n+1﹣1＝1，1，即有b n+1＝1+b n，可得{b n}是公差均为1的等差数列；（2）b1，b2，b4成等比数列，可得b22＝b1b4，可得（b1+1）2＝b1（b1+3），解得b1＝1，即S n＝n n（n﹣1），可得2（），则前n项和T n＝2（1）＝2（1）．21．（1）∵f（x）x2﹣3x+2lnx，x＞0，∴f′（x）＝x﹣3，令f′（x）＝0，解得x＝1，或x＝2，当f′（x）＞0时，解得0＜x＜1或x＞2，当f′（x）＜0时，解得1＜x＜2，∴单调递增区间为（0，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）当a＝0时，由f（x）＜2e x﹣x﹣4，只需证明e x＞lnx+2，令h（x）＝e x﹣lnx﹣2（x＞0），h′（x）＝e x，故h′（x）递增，h′（1）＝e﹣1＞0，h′（）2＜0，故存在x0∈（，1），使得h′（x0）＝0，即0，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，故x＝x0时，h（x）取得唯一的极小值，也是最小值，h（x）的最小值是h（x）lnx0﹣2x0﹣2＞0，（0＜x0＜1，）．另解：构造不等式，e x﹣1＞x≥lnx+1（x＞0），即可证明．22．（Ⅰ）曲线C：ρcos2θ＝4a sinθ（a＞0），转换为直角坐标方程为：x2＝4ay（a＞0）直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线x2＝4ay．得到：，（t1和t2为M、N对应的参数）所以：，t1t2＝8（a+1），由于：|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，故：，整理得：32（a+1）2＝40（a+1），解得：a．23．（1）解：①x≥2时，f（x）＝2x﹣4+x+1＝3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）＝4﹣2x+x+1＝5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x ＞﹣1，即﹣1＜x＜2，③x≤﹣1时，f（x）＝4﹣2x﹣1﹣x＝3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x ＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|，∴f（3）＝6，∴m+n+p＝f（3）＝6，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝36，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝36≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤12．故证毕．。
2019-2020学年人教A版广东省东莞市高三第一学期期末文科数学试卷(解析版)
2019-2020学年高三第一学期期末（文科）数学试卷一、选择题1．若z（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B等于（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，3}3．已知向量满足，且与的夹角为60°，则＝（）A．B．C．D．4．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝（）A．42 B．21 C．7 D．35．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%6．已知P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．7．函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．8．为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图案．为了测算纪念图案的面积，如图，作一个面积约为12cm2的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm29．已知函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．B．x＝πC．x＝2πD．10．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是（）A．①②③B．①③C．①④D．③④11．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣112．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝﹣f（2﹣x），函数g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），若方程f（x）＝g（x）有2019个解，记为x i（i＝1，2，…，2019），则＝（）A．2019 B．4038 C．2020 D．4040二、填空题13．已知函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，则a的值为．14．已知，则＝．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b cos A+a cos B＝2c cos B，，则△ABC外接圆的面积为．16．如图，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子（F）恰好在正八面体的顶点上，而硫原子（S）恰好是正八面体的中心．若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为．三、解答题（一）必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.17．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝1，a2+a3＝12，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．18．某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图1），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图2），得到如下资料：（1）请画出发芽数y与温差x的散点图；（2）若建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；（3）①求出发芽数y与温差x之间的回归方程（系数精确到0.01）；②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的y关于x的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数．参考数据：＝2051，≈4.2，≈6.5．参考公式：相关系数：r＝（当|r|＞0.75时，具有较强的相关关系）．回归方程中斜率和截距计算公式：＝，＝．19．如图1，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD＝AE＝CD＝2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD（E，F重合，记为点P）．（1）求证：BM⊥DP；（2）求点M到平面BDP距离h．20．已知函数f（x）＝e x﹣2ax（a∈R）．（1）若f（x）的极值为0，求实数a的值；（2）若f（x）≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，求实数a的取值范围．21．已知抛物线C：y2＝4x，在x轴正半轴上任意选定一点M（m，0）（m＞0），过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．（1）设m＝1，证明：抛物线C：y2＝4x在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称；（2）通过解答（1），猜想求过抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点G（x0，y0）（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+5＝0．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）记函数f（x）的最大值为s，若＝s（a，b，c＞0），证明：≥3．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．若z（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝．故选：B．2．已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B等于（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，3}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．3．已知向量满足，且与的夹角为60°，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据条件进行数量积的运算即可求出的值，进而得出的值．解：∵，∴，∴．故选：A．4．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝（）A．42 B．21 C．7 D．3【分析】利用等差数列通项公式求出a1+3d＝3，再由S7＝＝7（a1+3d），能求出结果．解：∵数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，∴a1+5d+a1+2d﹣a1﹣4d＝a1+3d＝3，∴S7＝＝7（a1+3d）＝21．故选：B．5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图直接求解．解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图，知：在A中，互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；在B中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故B错误；在C中，互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%，故D正确．故选：B．6．已知P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得＝，由双曲线的离心率公式，计算可得所求值．解：P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线y＝x上，可得＝，则双曲线的离心率为e＝＝＝＝，故选：D．7．函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f（x）→0，排除B，由此得到答案．解：，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3（e x﹣1）＞＞e x+1，f（x）→0，故排除B．故选：D．8．为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图案．为了测算纪念图案的面积，如图，作一个面积约为12cm2的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2【分析】设纪念图案的面积为S，由题意可得：≈，解得S．解：设纪念图案的面积为S，由题意可得：≈，解得S≈5cm2．故选：C．9．已知函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．B．x＝πC．x＝2πD．【分析】根据三角函数的图象平移得出函数g（x）的解析式，再求函数g（x）的对称轴方程即可．解：函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位，得y＝f（x﹣）＝sin[（x﹣）﹣]＝sin（x﹣）＝﹣cos x的图象，则函数y＝g（x）＝﹣cos x；所以函数g（x）的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z；即x＝2kπ，k∈Z；令k＝1，得x＝2π，所以x＝2π是g（x）的一条对称轴方程．故选：C．10．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是（）A．①②③B．①③C．①④D．③④【分析】根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真假性即可．解：对于①，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都在α内存在直线与直线AB异面，所以①正确；对于②，当直线AB与α平行时，平面α内不存在直线与直线AB相交，所以②错误；对于③，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都存在过直线AB的平面与α垂直，所以③正确；对于④，若直线AB与α相交，则不存在过直线AB的平面与α平行，所以④错误；综上知，正确的命题序号是①③．故选：B．11．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣1【分析】可解得点A、B坐标，由AF⊥BF，得•＝0，把b2＝a2﹣c2代入该式整理后两边同除以a4，得e的方程，解出即可，注意e的取值范围解：由，消y可得得（3a2+b2）x2＝a2b2，解得x＝±，分别代入y＝±，∴A（，），B（﹣，﹣），∴＝（+c，），＝（c﹣，﹣），∴•＝c2﹣﹣＝0，∴c2＝，（*）把b2＝a2﹣c2代入（*）式并整理得4a2c2﹣c4＝4a2（a2﹣c2），两边同除以a4并整理得e4﹣8e2+4＝0，解得e2＝4﹣2∴e＝﹣1，故选：D．12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝﹣f（2﹣x），函数g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），若方程f（x）＝g（x）有2019个解，记为x i（i＝1，2，…，2019），则＝（）A．2019 B．4038 C．2020 D．4040【分析】分析可知，函数f（x）与g（x）均关于（1，0）对称，根据对称性即可得解．解：∵f（x）＝﹣f（2﹣x），∴f（x）关于（1，0）对称，∵g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），∴g（2﹣x）＝a（e1﹣x﹣e x﹣1）＝﹣a（e x﹣1﹣e1﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）关于（1，0）对称，∵方程f（x）＝g（x）有2019个解，即y＝f（x）与y＝g（x）有2019个交点，∴必有一个交点的横坐标为1，且其余2018个交点关于关于（1，0）对称，共1009对，而且每对横坐标之和为2，∴．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13．已知函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，则a的值为2018 ．【分析】推导出f（a）＝﹣f（﹣1）＝﹣e0＝﹣1．当a＜0时，f（a）＝e a+1＝﹣1，当a ≥0时，f（a）＝a﹣2019＝﹣1，由此能求出a的值．解：∵函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，∴f（a）＝﹣f（﹣1）＝﹣e0＝﹣1．当a＜0时，f（a）＝e a+1＝﹣1，无解，当a≥0时，f（a）＝a﹣2019＝﹣1，解得a＝2018．故答案为：2018．14．已知，则＝．【分析】利用换元法结合三角函数的诱导公式进行化简即可．解：设θ＝α+，则sinθ＝，α＝θ﹣，则＝cos（θ﹣﹣）＝cos（θ﹣）＝cos（﹣θ）＝sinθ＝，故答案为：15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b cos A+a cos B＝2c cos B，，则△ABC外接圆的面积为4π．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C＝2sin C cos B，由sin C≠0，可得cos B＝，结合范围B∈（0，π），可得B＝，设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求R的值，进而即可得解△ABC外接圆的面积．解：∵b cos A+a cos B＝2c cos B，∴由正弦定理可得sin B cos A+sin A cos B＝2sin C cos B，∴sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos B，∵sin C≠0，∴可得cos B＝，∵B∈（0，π），∴可得B＝，∵，∴设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R＝＝＝4，可得R＝2，∴△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π．故答案为：4π．16．如图，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子（F）恰好在正八面体的顶点上，而硫原子（S）恰好是正八面体的中心．若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为π．【分析】连结EF，SF，则S在线段EF上，当球半径R＝SF＝EF时，这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值，由此能求出结果．解：连结EF，SF，则S在线段EF上，当球半径R＝SF＝EF时，这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，这个正八面体结构是两个正四棱锥组合而成，设正四棱锥的底面正方形的边长为x，则2x2＝4R2，解得x＝，∴这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为：＝π．故答案为：π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.17．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝1，a2+a3＝12，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用已知条件和定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）因为{a n}是正数等比数列，且a1＝1，a2+a3＝12，所以，即q2+q﹣12＝0，分解得（q+4）（q﹣3）＝0，又因为a n＞0，所以q＝3，所以数列{a n}的通项公式为；（2）因为{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，所以b n﹣a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，所以，所以T n＝b1+b2+…+b n＝（30+1）+（31+3）+…+（3n﹣1+2n﹣1），＝（30+31+…+3n﹣1）+（1+3+…+2n﹣1），＝，＝．18．某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图1），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图2），得到如下资料：（1）请画出发芽数y与温差x的散点图；（2）若建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；（3）①求出发芽数y与温差x之间的回归方程（系数精确到0.01）；②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的y关于x的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数．参考数据：＝2051，≈4.2，≈6.5．参考公式：相关系数：r＝（当|r|＞0.75时，具有较强的相关关系）．回归方程中斜率和截距计算公式：＝，＝．【分析】（1）直接根据资料画出发芽数y与温差x的散点图即可；（2）先求出相关系数r，判断r是否大于0.75，再说明建立模型的合理性；（3）直接根据条件求出线性回归方程，再将x＝8代入回归方程中计算出发芽数．解：（1）散点图如图所示（2）≈＝，∵y与x的相关系数近似为0.952＞0.75，说明y与x的线性相关程度较强，从而建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型是合理的．（3）①由最小二乘估计公式，得≈＝，，∴，②当x＝8时，（颗），∴估计该实验室12月7日当天种子的发芽数为20颗，19．如图1，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD＝AE＝CD＝2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD（E，F重合，记为点P）．（1）求证：BM⊥DP；（2）求点M到平面BDP距离h．【分析】（1）由已知可得AD⊥AP，AD⊥AB，得到AD⊥平面ABP，则AD⊥BM；再证明BM ⊥AP；由线面垂直的判定可得BM⊥平面ADP，从而得到BM⊥DP；（2）取BP中点N，连结DN，由题意AD⊥平面ABP，由V M﹣BDP＝V D﹣BMP，即可求得点M到平面BDP的距离h．【解答】（1）证明：∵AD⊥EF，∴AD⊥AP，AD⊥AB，又AP∩AB＝A，AP，AB⊂平面ABP，∴AD⊥平面ABP．∵BM⊂平面ABP，∴AD⊥BM；由已知得，AB＝AP＝BP＝2，∴△ABP是等边三角形，又∵点M是AP的中点，∴BM⊥AP；∵AD⊥BM，AP⊥BM，AD∩AP＝A，AD，AP⊂平面ADP，∴BM⊥平面ADP，∵DP⊂平面ADP，∴BM⊥DP；（2）解：取BP中点N，连结DN，∵AD⊥平面ABP，AB＝AP＝AD＝2，∴，∴DN⊥BP，在Rt△DPN中，，∴，∵AD⊥平面ABP，∴，∵V M﹣BDP＝V D﹣BMP，∴，又，∴，即点M到平面BDP的距离为．20．已知函数f（x）＝e x﹣2ax（a∈R）．（1）若f（x）的极值为0，求实数a的值；（2）若f（x）≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性，极值的关系可求，（2）分离系数可得，对于x∈（2，4）恒成立，构造函数，原问题转化为2a≤H（x）min，x∈（2，4），结合导数与函数的性质可求．解：（1）由题得f'（x）＝e x﹣2a，①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，没有极值．②当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝ln2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减当x∈（ln2a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（ln2a，+∞）上单调递增，∴f（x）在x＝ln2a时取到极小值，∵f（x）的极值为0，∴f（ln2a）＝0，∴e ln2a﹣2aln2a＝0即 2a（1﹣ln2a）＝0，∴，（2）由题得e x﹣2ax≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，∴对于x∈（2，4）恒成立，令，原问题转化为2a≤H（x）min，x∈（2，4），又，令G（x）＝e x x﹣e x﹣2x，则G'（x）＝e x x﹣2＞0在x∈（2，4）上恒成立，∴G（x）在（2，4）上单调递增，∴G（x）＞G（2）＝2e2﹣e2﹣4＝e2﹣4＞0，∴H'（x）＞0∴，在（2，4）上单调递增，∴，∴，21．已知抛物线C：y2＝4x，在x轴正半轴上任意选定一点M（m，0）（m＞0），过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．（1）设m＝1，证明：抛物线C：y2＝4x在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称；（2）通过解答（1），猜想求过抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点G（x0，y0）（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明．【分析】（1）m＝1时可求得x＝1与抛物线的交点P，Q的坐标，设在P处的切线方程，与抛物线联立用判别式为零求出斜率，进而求出在P处的切线方程，同理求出在Q处的切线方程，两式联立求出交点即N的坐标，证出N与点M关于原点O对称；（2）故G做GM⊥x轴交于M，求得M关于原点的对称点M'，则GM'为抛物线的切线，将直线GM'与抛物线联立可得判别式为零，证得直线GM'与抛物线相切．解：（1）解法一：证明：当m＝1时，点M（1，0），P（1，2），Q（1，﹣2），设在点P处的切线的斜率为k（k≠0），联立得，由，得k＝1，故在点P处的切线方程为y＝x+1，同理，求得在点Q的切线方程为y＝﹣x﹣1，由得交点N（﹣1，0），所以交点N与点M关于原点O对称；解法二：m＝1时，点M（1，0），P（1，2），Q（1，﹣2，由y2＝4x得，故或，所以在点P处的切线方程为y﹣2＝x﹣1即y＝x+1，在点Q处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1）即y＝﹣x﹣1，由得交点N（﹣1，0），所以交点N与M关于原点O对称；（2）解法一：过点G（x0，y0），（x0≠0）作与x轴垂直的直线交x轴于点M（x0，0），作点M关于原点对称的点M'（﹣x0，0），猜想切线方程为直线GM'：，即y0y＝p（x+x0），其中，联立得，∵，所以y0y＝p（x+x0）与抛物线y2＝2px相切．解法二：过点G（x0，y0），（x0≠0）作与x轴垂直的直线交x轴于点M（x0，0），作点M关于原点对称的点M'（﹣x0，0），猜想切线方程为直线GM'：，即y0y＝p（x+x0），其中，由y2＝2px得，∴或，所以在点G（x0，y0）处的切线斜率为或故点G（x0，y0）处的切线方程为或，由得或所以在点G（x0，y0）处切线方程为，整理得，即y0y＝p（x+x0）．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+5＝0．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和方程组的解法的应用求出结果．解：（1）圆C的方程可化为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝8，圆心为C（2，3），半径为，∴圆C的参数方程为（α为参数）直线l的极坐标方程可化为ρsinθ+ρcosθ＝﹣3，∵，∴直线l的直角坐标方程为x+y+3＝0．（2）：曲线C是以C（2，3）为圆心，半径为的圆，圆心C（2，3）到直线l：x+y+3＝0的距离，所以，此时直线PQ经过圆心C（2，3），且与直线l：x+y+3＝0垂直，k PQ•k l＝﹣1，所以k PQ＝1，PQ所在直线方程为y﹣3＝x﹣2，即y＝x+1．联立直线和圆的方程，解得或当|PQ|取得最小值时，点P的坐标为（0，1）所以，此时点P的坐标为（0，1）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）记函数f（x）的最大值为s，若＝s（a，b，c＞0），证明：≥3．【分析】（1）先将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤1分别解不等式即可；（2）先由（1）得到f（x）的最大值s，然后利用基本不等式即可证明≥3成立．解：（1），①当x≤﹣1时，﹣3≤1恒成立，所以x≤﹣1；②当﹣1＜x＜2时，2x﹣1≤1，即x≤1，所以﹣1＜x≤1；③当x≥2时，3≤1显然不成立，所以不合题意；综上，不等式的解集为（﹣∞，1]．（2）证明：由（1）知f（x）max＝3＝s，于是，所以≥＝6，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，所以．。
2019-2020学年天津市南开区高三上学期期末考试数学试卷及答案
G'（x）
1 x
2x
0
,
G（x）在（0, +）上单调递减,且 G（1） 0 ,
当 x （0,1）时, G（x） 0, F'（x） 0, F（x）单调递增；
当 x （1, ）,G（x） 0, F'（x） 0, F（x）单调递减,
F（x）max F（1） 1,
实数 a 的取值范围为[1, ）．
（
Ⅲ
）
则 C（0, 0, 0）, B（1, 0, 0）,C（1 0, 2, 0）, B（1 1, 2, 0）, A（0, 0, 3）, A（1 0, 2, 3）,
DC1
3CD ，
D（0,
1 2
,
0）,
（ Ⅰ）证明： AB1 （1, 2, 3）, A1B （1, 2,
3）, BD
（1,
1
,
0）,
3
（ Ⅱ）sin2A 2sinAcosA 2 2 2 1 4 2 , 33 9
cos2A 2cos 2A 1 7 , 9
故 co（s 2A ） cos2Acos sin2Asin 7 3 4 2 1 4 2 7 3 ．
6
6
6 92 9 2
18
17．依题意,以 C 为原点,CB 为 x 轴, CC1 为 y 轴,CA 为 z 轴,建立空间直角坐标系,
n 1 n n
；
（
Ⅲ）由（3
b2n 3）bn1
6n （3 3）（3 n1）
2n 3n
,
可设 Tn
n
b2i
（ 3） 3
i 1
bi1
2 4 6 3 9 27
2n 3n ,
1 3
Tn
山东省威海市文登区2019-2020学年高三上学期期末数学试题(解析版)
高三数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合2{|230}A x Z x x =∈--≤，1{|0}x B x x +=>，若集合{|C x x A =∈且}x B ∉，则C =（）A. [1,0]-B. [0,3]C. {1,0}-D. {0,1,2,3}【答案】C【解析】【分析】解不等式可得集合{}1,0,1,2,3A =-，()(),11,B =-∞-+∞U ，即可得到集合C.【详解】由题可得：{}2{|230}1,0,1,2,3A x Z x x =∈--≤=-，()()1{|0},10,x B x x +=>=-∞-+∞U ，{|C x x A =∈且}x B ∉={1,0}-.故选：C【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解不等式，根据集合的新定义求解.2.若复数z 满足(1)1z i i -=+，i 为虚数单位，则2019z =（ ）A. 1-B. 1C. i -D. i【答案】C【解析】【分析】求出z i =，根据()201950434i i i =即可得解.【详解】由题(1)1z i i -=+()()()112(1)12i i iz i i i ++===-+，()2019201043954i i z i i ==-=.故选：C 【点睛】此题考查复数的运算，关键在于熟练掌握复数的乘法和乘方运算法则.3.命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. 12a < B. 12a ≤ C. 2a ≤ D. 3a ≤【答案】D【解析】【分析】根据题意解得命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的充要条件时2a ≤，结合四个选项即可得到其必要不充分条件.【详解】2[1,2],20x x a ∃∈-≥即()2max 20x a -≥，所以420a -≥，解得2a ≤，只有D 选项3a ≤是其必要不充分条件.故选：D【点睛】此题考查求必要不充分条件，关键在于根据特称命题真假准确求解参数的取值范围，根据充分性和必要性判断.4.在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载这样一个问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数．试计算这些士兵可能有（ ）A. 2006B. 2111C. 2113D. 2141【答案】B【解析】【分析】 根据总数除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，依次判断排除即可得解.【详解】有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，设总人数x ，除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，2006不满足除以6余5，2113不满足除以5余1， 的2141不满足除以11余10，2111全都满足故选：B【点睛】此题以中华民族优秀传统文化背景，考查推理，涉及数论相关知识，但此题可通过排除法求解，降低思维难度.5.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转π4后经过点(，则tanα=（）A. 3--B. 3-+C. 1-D. 1【答案】A【解析】分析】设π,tan4βαβ=+=，πtan tan4αβ⎛⎫=-⎪⎝⎭利用两角差的正切公式即可得解.【详解】由题：设π,tan42βαβ=+=-，即，tan2β=-πtan tanπ4tan tan3π41tan tan4βαββ-⎛⎫=-==--⎪⎝⎭+故选：A【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求三角函数值，根据两角差的正切公式进行三角恒等变换解决给值求值的问题.6.若函数||()21()x mf x m+=-∈R为偶函数，设0.30.2(2),(log3),(2)ma fb fc f===，则,,a b c的大小关系为（）A. a c b<< B. a b c<< C. c b a<< D. b a c<<【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性求出0m=得出单调性，通过转化0.30.255(1),(log3)(log3)(log3),(2)a fb f f fc f===-==即可得到大小关系.【【详解】函数||()21()x m f x m +=-∈R 为偶函数，()()f x f x =-恒成立，||||22x m x m +-+=恒成立，即0m =，||()21x f x =-在()0,x ∈+∞单调递增，所以0.30.2(1),(log 3),(2)a f b f c f ===，0.30.255(1),(log 3)(log 3)(log 3),(2)a f b f f f c f ===-==，0.350log 312<<<所以b a c <<.故选：D【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求参数的取值，根据单调性和奇偶性的综合运用比较函数值的大小. 7.二项式2()n x x -的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）A. 160-B. 80-C. 80D. 160 【答案】A【解析】【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n ，结合通项即可得到常数项.【详解】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =， 二项式62()x x -的展开式中，通项6162()r r r r T C x x-+=-， 当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x +=-=-.故选：A【点睛】此题考查二项式定理，根据二项式系数关系求解参数，根据通项求展开式中的指定项. 8.已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,0]-∞B. [1,0]-C. [1,1]-D. 1[,0]2- 【答案】D【解析】【分析】作出函数图象，结合图象分别讨论即可得解.【详解】作出函数图象：结合图象可得，要使|()|2f x ax ≥恒成立，当x ＞0，必有0a ≤，当0x ≤时，只需22x x ax -≥，即12x a -≤恒成立， 所以12a ≥- 综上所述1[,0]2a ∈-故选：D【点睛】此题考查分段函数，根据不等式恒成立求参数的取值范围，涉及分类与整合，数形结合思想.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下图为某省高考数学理科试卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，下列结论正确的有（ ）A. 近三年容易题分值逐年增加B. 近三年难题分值逐年减少C. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年D. 2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上【答案】AD【解析】【分析】根据对比图可得，近三年容易题分值逐年增加，三年难题分值不是逐年减少，2016年中档题的占比最高，2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上【详解】根据对比图可得容易题这三年分别分值40,55,96，逐年增加，A 正确；难题分值：34,46,12，并不是逐年减少，所以B 不正确；2016年中档题分值76，占比最高，所以C 不正确；2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的138100%90%150⨯>，所以D 正确. 故选：AD 【点睛】此题考查对统计图的认识，关键在于认真审题读懂对比图中反映的数据特征，根据所需判断条件计算分析.10.如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，,D E 分别是1,BB AC 的中点，则下列结论成立的是（ ）A. 直线CD 与11B C 是异面直线B. 直线BE 与平面1A CD 平行C. 直线AC 与直线1A DD. 直线CD 与平面11AAC C 【答案】BCD【解析】【分析】直线CD 与11B C 在同一平面内，不是异面直线，分别证明线面平行，计算异面直线夹角和直线与平面所成角的大小即可得解.【详解】直线CD 与11B C 在同一平面11B C CB 内，不是异面直线，所以A 选项错误；取11,A C AC 交点O ，连接,OE OD ，1//,//OE CC OE BD 11=2OE CC BD =， 所以四边形BDOE 是平行四边形，//BE OD ， BE ⊄平面1A CD ，OD ⊂平面1A CD ，所以直线BE 与平面1A CD 平行，B 选项正确；11//AC A C 直线AC 与直线1A D 所成角就是11A C 与直线1A D 所成角，正三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，连接1C D 在11AC D ∆中，11111,AC C D A D ===由余弦定理可得11cos DAC ∠==所以直线AC 与直线1A D 所成角的余弦值为4，所以C 选项正确； 由题可得：平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，根据面面垂直的性质可得BE ⊥平面11AAC C ，//BE OD ，所以OD ⊥平面11AAC C ，线CD 与平面11AAC C 所成角就是DCO ∠，在直角三角形DCO 中，CD CO ==直线CD 与平面11AAC C D 选项正确. 故选：BCD【点睛】此题考查空间线面位置关系，涉及异面直线判定，求异面直线所成角，判断线面平行，求直线与平面所成角的大小，关键在于熟练掌握相关定理和解决问题的基本方法.11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，若当[0,2]x ∈时，()21x f x =-，则下列结论正确的是（ ）A. 当[2,0]x ∈-时，()21x f x -=-B. (2019)1f =C. ()y f x =的图像关于点(2,0)对称D. 函数2()()log g x f x x =-有3个零点 【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的奇偶性和周期性判定AB 正确，结合图象可得D 正确，利用反例推翻C 选项，或者作图得C 选项错误.【详解】已知()f x 是定义在R 上偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，即该函数周期为4， 由题：[0,2]x ∈时，()21x f x =-，当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，()()21x f x f x -=-=-，所以A 选项正确；()()()(2019)45051111f f f f =⨯-=-==，所以B 选项正确；()y f x =的图象关于点(2,0)对称，则()(3)10f f +=，但是()()(3)111f f f =-==，()(3)10f f +≠与()(3)10f f +=矛盾，所以C 选项错误；作出函数2(),log y f x y x ==的图象即可得到， 函数2()()log g x f x x =-有3个零点，所以D 选项正确.故选：ABD【点睛】此题考查函数周期性与奇偶性的综合应用，利用性质求函数值，根据函数图象解决零点个数问题. 的12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点22P ，F 为C 的右焦点，则下列结论正确的是（ ）A. C 的离心率为2B. C 的渐近线方程为0x -=C. 若F 到C ，则C 的方程为22142x y -=D. 设O 为坐标原点，若||||PO PF =,则2POF S ∆=【答案】AC【解析】【分析】根据双曲线渐近线经过的点求渐近线方程，结合斜率求解离心率，根据焦点到渐近线距离求解方程，结合线段相等关系求解三角形面积.【详解】由题：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点P ，所以渐近线方程为2y x =±，所以B 选项错误；所以2b a =，离心率c e a ====A 选项正确；若F 到C ，即2b a ==则C 的方程为22142x y -=，所以C 选项正确；O 为坐标原点，若||||PO PF =,P ，所以F12POF S ∆==，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】此题考查双曲线的几何性质，涉及渐近线方程的斜率与离心率的关系，根据长度和点的坐标关系求解三角形面积，关键在于熟练掌握双曲线的几何性质.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.已知单位向量,m n u r r 的夹角为23π，则|3|m n +=u r r ________．【解析】【分析】根据题意|3|m n +=u r r 结合平面向量数量积运算即可得解.【详解】单位向量,m n u r r 的夹角为23π，则|3|m n +===u r r .【点睛】此题考查求解向量的模长，关键在于熟练掌握平面向量数量积的运算法则，根据基本运算律进行计算化简.14.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos b C 与cos c B 的等差中项为cos a B ．则B =________；若5a c +=，ABC V的面积S =b =________． 【答案】 (1).3π(2). 【解析】【分析】 ①根据正弦定理2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，即2sin cos sin A B A =，即可得解； ②根据面积公式求得4ac =，由余弦定理b ==即可得解．【详解】①由题：cos b C 与cos c B 的等差中项为cos a B即2cos cos cos a B b C c B =+，由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，即()()sin si n cos n 2si B A B C A π==+-()sin ,0,,si 2cos n 0sin A B A A A π∈=>，所以()1cos ,0,,23B B B ππ=∈=，②5a c +=，ABC V的面积S =1sin 42ac B ac ==则由余弦定理b ===故答案为：①3π【点睛】此题考查正余弦定理的应用，根据正弦定理进行边角互化求角的大小，根据面积公式和余弦定理求解边长.15.已知圆22:4440C x y x y +--+=，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，其焦点为F ，则直线CF 被抛物线截得的弦长为________________． 【答案】258【解析】 【分析】根据圆心坐标求出抛物线方程和焦点坐标，求出直线42:33CF y x =-，联立抛物线方程和直线方程根据弦长公式即可得解.【详解】圆22:4440C x y x y +--+=，所以()2,2C ，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，即44,1p p ==，其焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2041322CF k -==- 则直线42:33CF y x =-，联立直线与抛物线方程：242332y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得281720x x -+=， 直线217640∆=->，设其两根为12,x x 弦长121725188x x p ++=+= 所以被抛物线截得的弦长为258. 故答案为：258【点睛】此题考查根据抛物线经过的点求抛物线方程和焦点坐标，根据直线与抛物线形成弦长公式求解弦长，关键在于熟练掌握直线与抛物线问题常见处理办法.16.已知三棱锥S ABC -内接于半径为4的球中，SA ⊥平面ABC ，45BAC ∠=o ，BC =锥S ABC -体积的最大值为________．【答案】3【解析】 【分析】根据外接球的性质求出SA 的长度，将体积最大值转化为求三角形ABC 面积最大值，结合图形求解【详解】设三棱锥S ABC -外接球O ，三角形ABC 所在外接圆O 1，由正弦定理可得三角形ABC 2= 根据球的几何性质有1OO ⊥平面ABC ，1//OO AS ， 取AS 中点E ，4OS OA ==，OE AS ⊥，所以AS ==所以三棱锥S ABC -体积3S ABC ABC V S -∆=结合图形可得当三角形ABC 面积最大时，A 到BC 距离最大，结合圆的几何性质可得此时AB =AC ，190BO C ∠=︒，1O 到BC ，A 到BC 距离，三角形ABC 面积最大值为(1222⨯=+三棱锥S ABC -体积3S ABC ABC V S -∆=的最大值为3(2+=3故答案为：3【点睛】此题考查多面体外接球问题，根据几何特征处理几何体的体积，将体积问题转化为求三角形面积问题，涉及数形结合，转化与化归思想.四、解答题：本题共6小题，共70分．把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在①()f x 的图像关于直线56x πω=对称，②()cos f x x x ωω=，③()(0)f x f ≤恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的值，若ω不存在，请说明理由．设函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+>≤≤，________，是否存在正整数ω，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】任选一个条件求出ϕ的取值，结合单调性分析ω的情况即可得解. 【详解】若选①，令,x k k Z ωϕπ+=∈，代入56x πω=，解得5,6k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ≤≤，所以当1k =时，6π=ϕ，()2cos()6f x x πω=+， 当[0,]2x π∈时，[,]6626x πππωπω+∈+， 若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有26πωππ+≤，解得503ω<≤， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选②，()cos 2cos()3f x x x x πωωω==+，所以3πϕ=，当[0,]2x π∈时，[,]3323x πππωπω+∈+， 若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有23πωππ+≤，解得403ω<≤， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选③，因为()(0)f x f ≤恒成立，即max ()(0)2cos 2f x f ϕ===，所以cos 1ϕ=，因为02πϕ≤≤，所以0ϕ=，()2cos f x x ω=，当[0,]2x π∈时，[0,]2x πωω∈，若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有2πωπ≤，解得02ω<≤，所以存在正整数1ω=或2时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．【点睛】此题考查三角函数的综合应用，根据对称性单调性以及最值的关系求解参数，需要熟练掌握三角函数相关性质.18.已知各项都为正数的数列{}n a 满足14a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*(25)cos ()n n b a n n n N =+-∈π，求数列{}n b 的前2n 项和． 【答案】（1）12n n a += （2）22224n n ++-【解析】 【分析】（1）原式变形11(2)(1)0n n n a a a ++-+=，结合各项都为正数，即可得到等比数列，求得通项公式；（2）结合（1）写出通项公式11252,21,22-5,2,n n n n n k n N b n n k n N++*⎧+-=+∈=⎨+=∈⎩，利用分组求和即可得解. 【详解】（1）由211(21)20n n n n a a a a ++---=得11(2)(1)0n n n a a a ++-+=，11110,2,2n n n n na a a a a ++++>∴=∴=Q ． 所以{}n a 为首项为4,2q =的等比数列，11422n n n a -+∴=⋅=．（2）由题意11252,21,22-5,2,n n n n n k n Nb n n k n N ++*⎧+-=+∈=⎨+=∈⎩则{}n b 的前2n 项和2321222 (2)2[(21)(43)...(221)]n n S n n +=++++-+-++-+ 222242222412n n n n ++-=+=+--．【点睛】此题考查根据数列递推关系求通项公式，利用分组求和进行数列求和，需要熟练掌握常见递推数列处理办法，熟记相关公式.19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =D 为AC 的中点．（1）当112AE EA =u u u r u u u r时，求证：1DE BC ⊥；（2）在线段1AA 上是否存在点E ，使二面角A BE D --等于30°？若存在求出AE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明ED ⊥平面1BDC 得证线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决.【详解】（1）证明：连结1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC V 为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥．因为112AE EA =u u u r u u u r ,2AB =，1AA =AE=31AD =， 所以在Rt ADE △中，30ADE ∠=︒，在1Rt DCC V 中，160C DC ∠=︒， 所以190EDC ∠︒＝，即1ED DC ⊥，所以ED ⊥平面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，所以1DE BC ⊥．（也可以利用建系的方法证明） （2）假设存在点E 满足条件，设AE h =．取11A C 的中点1D ，连结1DD ，则1DD ⊥平面ABC ，所以1DD AD ⊥，1DD BD ⊥，分别以DA 、DB 、1DD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)?，，E(1,0,)h ，所以DB =u u u r (1,0,) DE h =u u ur AB =uu u r (0,0,)AE h =u u u r，设平面DBE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u r，则1100n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v⇒11100x hz ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 令11z =，得1,0,1()n h -=u r，同理，平面ABE 的一个法向量为2222(,,)n x y z =u u r，则2200n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v⇒22200x hz ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩∴2n =u u r．所以12 cos ,n n ==o u r u u r ，所以||h = 所以h 无解．故不存在点E ，使二面角A BE D --等于30°．【点睛】此题考查线面垂直的证明，利用线面垂直证明线线垂直，利用空间直角坐标系解决空间角的问题，需要熟练掌握法向量法在解决空间角问题中的应用.20.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核为优秀．现获得该公司20112018-年的相关数据如下表所示：注：=年返修台数年返修率年生产台数．（1）从该公司20112018-年的相关数据中任意选取4年的数据，以ξ表示4年中生产部门考核为优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y （百万元）关于年生产台数x （万台）的线性回归方程（精确到0.01）．参考公式：回归方程y bx a =+$$$，其中1121221(ˆ()())n niii ii i nniii i x y x x y x y n x ybx x xn ====---==--∑∑∑∑ˆˆay bx =-． 参考数据：81168i i x x ===∑，81148i i y y ===∑，81()()34.5i i i x x y y =--=∑，81()18.045i i y y =-=∑，821()72ii x x =-=∑．【答案】（1）分布列见解析，() 2.5E ξ=； （2）$0.48 1.27y x =+ 【解析】 【分析】（1）ξ可能取1,2,3,4，分别求出其概率，写出分布列，根据公式求得期望；（2）因为56x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响ˆb的值，根据新数据求出样本点的中心，即可得到回归直线方程.【详解】（1）由数据可知，2012,2013,2016,2017,2018五个年份考核优秀．ξ可能取1,2,3,4．所以3135481(1)14C C P C ξ===,2235483(2)7C C P C ξ===，1335483(3)7C C P C ξ===，0435481(4)7C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为故数学期望13315()1234 2.51477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==（万元）． （2）因为56x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响ˆb的值， 所以121(34.5ˆ0.4872()())niii nii bx x x x y y ==--==≈-∑∑． 去掉2015年的数据后，68667x ⨯-'==，4832977y ⨯-'==， 所以2934.5ˆˆ6 1.27772ay bx =-=-⨯≈， 所以y 关于x 的线性回归方程为$0.48 1.27y x =+．【点睛】此题考查求离散型随机变量分布列和期望，根据数据求解回归直线方程，关键在于熟练掌握回归方程相关数据的求解方法，准确计算概率.21.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点在抛物线2y =的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点2F 做斜率存在的直线l ，交椭圆于A B 、两点．（i ）已知点1(0,)2M ，是否存在直线l ，使||||MA MB =？若存在，求直线l 方程；若不存在，说明理由； （ii ）若O 为坐标原点，求ABO S V 的取值范围．【答案】（1）2212x y +=； （2）（i ）存在，0y =；（ii ）(0,2【解析】 【分析】（1）根据焦距和顶点坐标求解椭圆的标准方程；（2）（i ）设出直线方程，联立直线和椭圆方程结合韦达定理，利用斜率关系求解；（ii ）求出弦长和点到直线距离表示出三角形面积，利用函数关系求解三角形面积取值范围. 【详解】（1）由题意可得22,1c c =∴=抛物线2y =的准线为x a =∴=解得222211b a c ∴=-=-=所以椭圆的标准方程为2212x y +=（2）（i ）已知2(1,0)F ，设直线的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y 22(,)B x y联立直线与椭圆方程22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得：2222)202142(-=+-+x k x k k 所以22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，121222()212k y y k x x k k -+=+-=+ 所以AB 的中点坐标为2222(,)1212k kG k k-++ ①当0k ≠时，2222212121122||||,24012MGk k k k MA MB k k k kk ------+=∴===-+Q ， 整理得22210,k k -+=方程无解②当0k =时，AB 的中垂线方程为0x =，满足题意． 所以存在直线0y =满足题意．（ii ）由（i）知||AB ==22)12k k+=+ 而原点O 到直线l的距离d =所以1||2ABOS AB d ===V221,0,4()1,022ABO k R k k S ∈≠∴+>∴<<V Q 综上，ABO S V的取值范围为． 【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的位置关系结合韦达定理解决是否存在满足条件的探索问题，求解面积最值问题. 22.已知函数()2ln f x x x x =+．（1）若直线l 过点(0,2)-，且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程； （2）若1x ∀>时，()0f x kx k -+>成立，求整数k 的最大值． 【答案】（1）32y x =- （2）4 【解析】 【分析】（1）设切点坐标，写出切线方程，建立等量关系求解； （2）将问题转化为1x ∀>，2ln 1x x xk x +>-恒成立，利用函数求解最值，即可得解.【详解】（1）因为点(0,2)-不在直线l 上， 设切点坐标为00(,)x y ，则00002ln y x x x =+． 因为()12ln 232ln f x x x '=++=+． 所以00000000222ln ()32ln l y x x x k f x x x x +++'==+==，解得01x =． 所以3l k =，所以直线l 的方程为32y x =-． （2）由题意知，1x ∀>，2ln 1x x xk x +>-恒成立min 2ln ()1x x xk x +>-令2ln ()1x x x g x x +=-，22(32ln )(1)(2ln )22ln 3()(1)(1)x x x x x x x g x x x +--+--'∴==--．设()22ln 3h x x x =--，所以2(1)()0x h x x-'=>， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增． 又55(2)12ln 20,()2(1ln )022h h =--<=->， 所以存在05(2,)2x ∈，在005(2,),()0,(,),()02x x h x x x h x ∈<∈>，所以()g x 在0(2,)x 上单调递减，在05(,)2x 上单调递增． 所以000min 002ln ()()1x x x g x g x x +==-， 而000()22ln 30,h x x x =--= 所以200min 0022()21x x g x x x -==-． 所以0max 2(4,5),4k x k <∈∴=．【点睛】此题考查导数的综合应用，利用导数的几何意义解决切线问题，等价转化，分离参数，利用导数求解最值问题，涉及隐零点问题的处理.。
江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题含解析
江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆2．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π3．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)43z i =，则z =（ ）A ．23B ．4C ．83D ．165．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-6．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元7．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．212+B ．12C ．212-D ．214-9．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A 5B 5C ．102D ．10510．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种11．已知函数()sin 3f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 12．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e =D ．01a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2019-2020年高三数学文科期末考试答案
答案及评分参考2011．1
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
第II卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）
9. 10. 19 11.
12. 13. 14. 4 3
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（共13分）
解：（I），............................... 3分
的周期为（或答:）. ................................4分
因为，所以,
所以值域为. ...............................5分（II）由（I）可知，, ...............................6分
, ...............................7分
,
, ..................................8分
得到. ...............................9分
且, ....................................10分
, , ....................................11分
，. ....................................12分
. ....................................13分
16. （共13分）
解：（I）围棋社共有60人，...................................1分由可知三个社团一共有150人. ...................................3分
（II ）设初中的两名同学为，高中的3名同学为, ...................................5分
随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:
，共10个基本事件. ..................................8分
设事件表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分
则事件共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件.
...................................11分
.
故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为. ................................13分
17. （共13分）
解：（I ）四边形ABCD 为菱形且，
是的中点 . ...................................2分
又点F 为的中点,
在中，, ...................................4分
平面，平面 ,
平面 . ...................................6分 （II ）四边形ABCD 为菱形,
, ...................................8分
又，且平面 ,.................................10分
平面, ................................11分
平面 ,
平面平面. ................................13分
18. （共13分）
解：，. .........................................2分
（I ）由题意可得，解得， ........................................3分
此时，在点处的切线为，与直线平行.
故所求值为1. ........................................4分
（II ）由可得，， ........................................ 5分
①当时，在上恒成立 ，
所以在上递增， .....................................6分
所以在上的最小值为 . ........................................7分
②当时，
....................................10分
由上表可得在上的最小值为. ......................................11分
③当时，在上恒成立，
所以在上递减. ......................................12分
所以在上的最小值为. .....................................13分
综上讨论，可知：
当时，在上的最小值为；
当时，在上的最小值为；
当时，在上的最小值为.
19. （共14分）
解：根据题意，设.
(I)设两切点为，则，
由题意可知即，............................................2分
解得，所以点坐标为. ...........................................3分
在中，易得，所以. ............................................4分
所以两切线所夹劣弧长为. ...........................................5分
（II）设，，
依题意，直线经过点，
可以设，............................................6分
和圆联立，得到，
代入消元得到，， ......................................7分
因为直线经过点，所以是方程的两个根，
所以有，，..................................... 8分
代入直线方程得，. ..................................9分
同理，设，联立方程有，
代入消元得到，
因为直线经过点，所以是方程的两个根，
，，
代入得到. .....................11分
若，则，此时
显然三点在直线上，即直线经过定点............................12分
若，则，，
所以有，................13分
所以，所以三点共线，
即直线经过定点.
综上所述，直线经过定点. .......................................14分
20. （共14分）
解：（Ⅰ）当时，集合，
不具有性质. ...................................1分
因为对任意不大于10的正整数m，
都可以找到集合中两个元素与，
使得成立. ...................................3分集合具有性质. ....................................4分
因为可取，对于该集合中任意一对元素，
都有. ............................................6分
（Ⅱ）若集合S具有性质，那么集合一定具有性质. ..........7分首先因为，任取其中，
因为，所以，
从而，即所以...........................8分
由S具有性质，可知存在不大于的正整数m，
使得对S中的任意一对元素，都有，..................................9分对上述取定的不大于的正整数m，
从集合中任取元素，
其中，都有；
因为，所以有，即
所以集合具有性质．.............................14分
说明：其它正确解法按相应步骤给分.。