2020-2021高三数学上期末试题(带答案)(2)

详解： 数列an为等差数列， a2 a8 2a5
又 a2 6, a8 6 ， a5 =0
由数列前 n 项和的定义 S5 S4 a5 ， S5 S4
故选 B.
点睛：本题考查等差数列的性质与前 n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运
用数列的基本概念与性质.
7．C
解析：C 【解析】
q
1
）的等比数列{an
}
满足
lim(
n
a1
a12 a2
qn )
3 2
，则 a1 的
取值范围是________.
15．在等差数列an中，首项 a1 3，公差 d 2 ，若某学生对其中连续 10 项进行求和，
在遗漏掉一项的情况下，求得余下 9 项的和为 185，则此连续 10 项的和为 ．
16．数列 an 满足 a1 4 ， an1 an 2n ， n N* ，则数列 an 的通项公式 an ______.
1 4 1 (a b)( 1 4) 1 (5 b 4a ) 1 (5 2 b 4a ) 3 ，当且仅当 b 4a ，
ab 6
ab 6 a b 6
ab 2
ab
即 a 1 ,b 2 时等号成立，即 1 4 的最小值为 3 ．
33
ab
2
故选：B.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基
2
(1)求 a；
(2)已知两个正数 m，n 满足 m2＋n2＝a，求 1 1 的最小值. mn
22．在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c, 向量 m 2a 3b, 3c ，向量
n (cos B,cosC) ，且 m / /n .
（1）求角 C 的大小；
（2）求 y sinA 3sin(B ) 的最大值. 3
10．D
解析：D 【解析】
解：由数列的递推关系可得： an1 1 2an 1, a1 1 2 ，
据此可得：数列an 1 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列，则：
an 1 2 2n1, an 2n 1 ，
分组求和有：
S5
2 1 25 1 2
5 57
.
本题选择 D 选项.
11．B
y 1
x 1
y 14 4 x 14 4 4 4 x y 6 4 4 5
y 1
x 1 x 1 y 1
x 1 y 1
1 3
x
1
y
1
4 x 1
4
y
1
5
4 3
2
y x
1 1
x y
1
1
5
4 3
2
2
x y
1 1
y x
1 1
5
1 3
，
当且仅当 x y 1 时，等号成立，即 x2 y2 的最小值为 1 ，则 m 1 .
A．充分不必要条件
C．充要条件
C． S6 S5
D． S6 S5
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
x y 1 0
8．变量
x,
y
满足条件
y 1
，则 (x 2)2 y2 的最小值为（
）
x 1
A． 3 2
B． 5
C．5
2
D． 9 2
9．等差数列an中，已知 a6 a11 ，且公差 d 0 ，则其前 n 项和取最小值时的 n 的值
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意可知，利用等差数列的性质，得 a1 a8 a3 a6 3 ，在利用等差数列的前 n 项和
公式，即可求解，得到答案。
【详解】
由题意可知，数列 an 为等差数列，所以 a1 a8 a3 a6 3 ，
为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
10．已知数列 an 中， a1 1, an1 2an 1 n N , Sn 为其前 n 项和， S5 的值为
（）
A．63
B．61
C．62
D．57
x y 7 0，
11．设
x，y
满足约束条件
x
3
y
1
0, 则 z 2x y 的最大值为（
）.
3x y 5 0，
本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．
5．A
解析：A 【解析】
依题意， 2a7 2b7
a1 a13 13
b1
2 b13
13
S13 T13
41 . 26
2
6．B
解析：B 【解析】
分析：由等差数列的性质，即 a2 a8 2a5 ，得 a5 =0 ，又由 S5 S4 a5 ，得 S5 S4 .
2
2
4
4
故选 C.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
作出可行域，求出 m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式
求得最小值．
【详解】
作出可行域，如图 ABC 内部（含边界），作直线 l : 2x y 0 ，平移该直线，当直线 l
过点 A(3, 0) 时， 2x y 取得最大值 6，所以 m 6 ．
∴由等差数列的求和公式可得
S8
8(a1 2
a8 )
83 2
12
，故选 C。
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，及前 n 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性
质和等差数列的前 n 项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
二、填空题
13．【解析】由得：所以当且仅当时取等号故填 解析： 1
8．C
解析：C 【解析】
由约束条件画出可行域，如下图，可知当过 A(0,1)点时，目标函数取最小值 5，选 C.
9．C
解析：C 【解析】
因为等差数列
an
中， a6 a11 ，所以 a6
0, a11
0, a6
a11, a1
15 2
d
，有
Sn
d 2
[(n
8)2
64] ，
所以当 n 8时前 n 项和取最小值.故选 C.
3cos(B C) 1 6cos B cos C ，（1）求 cos A（2）若 a 3，△ ABC 的面积为 2 2 ， 求 b、c
25．在 ABC 中， 3a sin C c cos A ． （Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）若 SABC 3 ， b c 2 2 3 ，求 a 的值． 26．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3 =9，S6=60．
3．C
解析：C 【解析】
设等比数列的公比为
q（q＞1），1+（a2-a4）+λ（a3-a5）=0，可得
λ=
1
a2 a5
a4 a3
则
a8+λa9=a8+ a9 a5 a3
a2a9 a4a9 a5 a3
q6 a8 q2 1
a8a3 a8a5 a5 a3
q6 a8 q2 1 a8
要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为： 996 斤棉花，分别赠送给 8
个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17 斤，直到第八个孩子为止.分配时一定
要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）
A． 65
B．184
C．183
D．176
3．若正项递增等比数列an满足1 a2 a4 a3 a5 0 R ，则 a8 a9 的最
19．已知数列{an}满足 an
( 1 2
a)n 1, n
6 ，若对任意 n N*
都有 an
an1 ，则实数
an5, n 6
a 的取值范围是_________.
20．已知 是数列 的前 项和，若
，则
_____．
三、解答题
21．设函数 f x 1 x 1 ＋|x|(x∈R)的最小值为 a.
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{bn}满足
bn+1﹣bn=
an
（n∈N+）且
b1=3，求数列
1
bn
的前
n
项和
Tn．
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一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】
由已知条件得 x 1 y 1 3，对代数式 x2 y2 变形，然后利用基本不等式求出
先考虑充分性,当 x>0 时， x 1 2 x 1 2 ，当且仅当 x=1 时取等.所以充分条件成立.
x
x
再考虑必要性，当 x 1 2 时，如果 x>0 时， x2 2x 1 0 (x 1)2 0 成立，当 x
x=1 时取等.当 x<0 时，不等式不成立. 所以 x>0.
故选 C.
设首项为 a1 ，结合等差数列前 n 项和公式有：
S8
8a1
87 2
d
8a1
2817
996 ，
解得： a1 65 ，则 a8 a1 7d 65 7 17 184 .
即第八个孩子分得斤数为184 .
本题选择 B 选项. 点睛：本题主要考查等差数列前 n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知 识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
q6 令 q2 1
t q2 1，（t＞0），q2=t+1，则设 f（t）
=
q6 q2 1
t
13
t
f
t