【必考题】高三数学上期末试题(含答案)
高三数学上学期期末考试试题含解析 试题 4
恒大足球2021届高三数学上学期期末考试试题〔含解析〕一、选择题〔6×10=60分〕{}1,2,3,4,5A =，{}2B 320x x x =-+=，那么A ∩B 等于〔 〕A. {1，3}B. {1，2}C. {1}D. {2，3}【答案】B 【解析】 【分析】首先求出集合B ，再根据交集的定义计算即可； 【详解】解：因为{}2B 320x x x =-+= 所以{}B 1,2= 因为{}1,2,3,4,5A = 所以{}1,2AB =应选：B【点睛】此题考察交集的运算，属于根底题.()sin f x x π=的最小正周期是〔 〕A. 1B. 2C. πD. 2π【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用函数sin()y A x ωϕ=+的周期为2πω，求得结果．【详解】解：()sin f x x π=22T ππ∴==所以函数()sin f x x π=的最小正周期为2， 应选：B ．【点睛】此题主要考察函数sin()y A x ωϕ=+的周期性，利用了函数sin()y A x ωϕ=+的周期为2πω，属于根底题．a ，b 的夹角为90°，那么43a b -=〔 〕A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得0a b =，再根据()24343a b a b-=-计算可得；【详解】解：依题意a ，b 为夹角为90°的单位向量，0a b ∴=，()22224343162491612405a b a b a a b b -=-=-+=⨯-⨯+==即435a b -=， 应选：A【点睛】此题考察平面向量的数量积的运算律，属于根底题.4.函数f(x)的定义域为( ) A. (0,2) B. (0,2] C. (2，＋∞)D. [2，＋∞)【答案】C 【解析】 【分析】对数函数定义域及分母不为0，结合起来即可求得定义域．【详解】要使函数有意义，那么2log 10x x >⎧⎨->⎩解得x ＞2.【点睛】此题考察了对数函数真数大于0，同时分母不为0的定义域问题，属于根底题．ABC ∆中，A 45=︒，2c a ==，那么C =〔 〕 A. 30 B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】A 【解析】 【分析】由A ∠，c ，a 的值，利用正弦定理即可求出sin C 的值，又根据a 小于a 得到C 度数的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数．【详解】解：由正弦定理得：sin sin BC AB A C=，又45A ∠=︒，c =2a =，所以12sin 22C ==，又2c a =，得到：045C A <<=︒， 那么30C ∠=︒． 应选：A ．【点睛】此题考察学生灵敏运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，属于根底题．学生做题时注意判断C 度数的范围． 6.α是第二象限角，且3cos()5πα-=，那么sin α=〔 〕A.35B. 45-C.35D.45【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式求出cos α，再根据同角三角函数的根本关系计算可得； 【详解】解：3cos()5πα-=3cos 5α∴-=，3cos 5α∴=-22sin cos 1αα+=4sin 5α∴==±因为α是第二象限角，4sin 5α∴=应选：D【点睛】此题考察诱导公式及同角三角函数的根本关系，属于根底题. 7.焦距为8，离心率45e =，焦点在x 轴上的椭圆HY 方程是〔 〕 A. 2211625x y +=B. 221925x y +=C. 2212516x y +=D. 221259x y +=【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆的HY 方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由于28c =，45c e a ==，222a b c =+，解出即可．【详解】解：设椭圆的HY 方程为22221(0)x y a b a b+=>>．28c =，45c e a ==35c a =，222a b c =+， 解得4c =，3b =，5a =．∴椭圆的HY 方程为：221259x y +=．应选：D ．【点睛】此题考察了椭圆的HY 方程及其性质，属于根底题． 8.1tan151tan15+︒-︒的值是〔 〕B.2C. D. －2【答案】A 【解析】 【分析】根据tan451︒=，利用两角和的正切公式计算可得；【详解】解：()1tan15tan45tan15tan 45+15tan601tan151tan45tan15+︒︒+︒==︒︒=︒=-︒-︒⋅︒应选：A【点睛】此题考察两角和的正切公式的应用，特殊角的三角函数值，属于根底题.7,11,的第〔 〕项A. 503B. 504C. 505D. 506【答案】B 【解析】 【分析】依题意求出首项1a ，公差d ，从而求出通项公式n a ，由此能求出结果．【详解】解：等差数列7，11，中，首项17a =，公差1174d =-=， 7(1)443n a n n ∴=+-⨯=+， 432019n a n =+=，504n ∴=．故2019是等差数列7，11，的第504项．应选：B ．【点睛】此题考察等差数列的通项公式的计算，以及通项公式的应用，属于根底题．sin()6y x π=-的一个单调减区间是〔 〕A. 2[,]33ππ-B. 5[,]33ππC. 5[,]33ππ-D.2[,]33ππ-【答案】A 【解析】 【分析】此题即求函数sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调增区间，令22262k x k πππππ--+，k z ∈，求得x 的范围，可得结论． 【详解】解：函数sin sin 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调减区间，即函数sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间． 令22262k x k πππππ--+，k Z ∈，可得22233k x k ππππ-+，k Z ∈， 即函数的单调递减区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 当0k =时，2,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，应选：A ．【点睛】此题主要考察正弦函数的单调性，诱导公式，表达了转化的数学思想，属于根底题． 二、填空题〔6×6=36分〕{}n a 中，1480a a +=，那么公比q =_________.【答案】2- 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式得到方程解得即可；【详解】解：1480a a +=31180a a q ∴+=10a ≠380q ∴+=解得2q =-故答案为：2-【点睛】此题考察等比数列的通项公式的应用，属于根底题.2221x y -=的离心率为__________.【解析】 【分析】首先将方程化成HY 式，求出a 、c ，再根据离心率ce a=求出离心率． 【详解】解：因为2221x y -=，所以22112y x -=，∴21a =，212b =，即1a = 222c a b =+232c ∴=，即c =2c e a ∴==【点睛】此题考察双曲线的简单几何性质，属于根底题.13.(A B -，以AB 为直径的圆的方程为___________________.【答案】22(1)(9x y -+-= 【解析】 【分析】先求出A ，B 两点间中点坐标即为圆心坐标，然后根据两点间的间隔 公式求出AB 间的间隔 即为圆的直径，从而可得到圆的半径，确定圆的方程． 【详解】解：由题意可知A ，B 的中点为圆心，故圆心为：132⎛-+ ⎝⎭即(，AB 之间的间隔 等于直径6==，圆的半径为3，所求圆的方程为：()(2219x y -+-=；故答案为：()(2219x y -+-=．【点睛】此题主要考察两点间的间隔 公式和中点坐标．考察根底知识的综合运用，属于根底题．32()(21)1f x a x ax =---为偶函数，那么(2)f -=________.【解析】 【分析】由函数是偶函数求出a 的值，即可求出函数解析式，再求出(2)f -即可； 【详解】解：因为函数32()(21)1f x a x ax =---为偶函数，()()32()(21)1()f x a x a x f x ∴-=-----=210a ∴-=解得12a =21()12f x x ∴=--()()2122132f ∴-=-⨯--=-故答案为：3-【点睛】此题考察根据奇偶性求参数的值，以及函数值的计算，属于根底题.15.正△ABC 边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，那么2a b c +-等于_________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量的加减运算可得22a b c AB BC AC BC +-=+-=，即可求出2a b c +-； 【详解】解：因为AB a =，BC b =，AC c =，且1AB AC BC ===22a b c AB BC AC ∴+-=+-()2AB AC BC =-+2CB BC =+ BC =21a b c BC ∴+-==【点睛】此题考察向量的加减运算，属于根底题.21a b +=，且0,0a b >>，那么使得11t a b+>恒成立的t 的取值范围是__________.【答案】(,3-∞+ 【解析】 【分析】利用根本不等式求出11a b+的最小值，即可求出参数t 的取值范围； 【详解】解：因为21a b +=，且0,0a b >>，那么使得11t a b +>恒成立，那么min11t a b ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭ ()1111221233b a ab a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+=+⎪⎝⎭当且仅当2b a a b =时取等号，min113a b ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭3t <+，即(,3t ∈-∞+， 故答案为：(,3-∞+【点睛】此题考察根本不等式的应用，利用根本不等式需满足“一正、二定、三相等〞，属于中档题.三、解答题〔18分×3=54分〕17.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且33a =，7S 14=. 〔1〕求n a 和S n ；〔2〕假设2n an b =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】〔1〕6-n ；(11)2n n-；〔2〕6642n --. 【解析】 【分析】〔1〕设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由条件得到方程组，解得1a 、d ，即可求出通项公式及前n 项和；〔2〕由〔1〕可得661222n n nb -⎛⎫=⨯⎝= ⎪⎭，再由等比数列的前n 项和公式计算可得； 【详解】解：〔1〕设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由33a =，7S 14=， ()3171237717142a a d S a d =+=⎧⎪∴⎨⨯-=+=⎪⎩解得151a d =⎧⎨=-⎩， ()116n n a a n d +-=-=+∴，()()()15611S 222n n a a n n n n n ++--=== 〔2〕由〔1〕6n a n =-+，2n a n b =661222n n n b -∴⎛⎫=⨯⎝= ⎪⎭ 566612121226421212n n n n T -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴==-⨯=- ⎪⎝⎭- 【点睛】此题考察等差等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用，属于根底题. l ：320x y +-=的倾斜角为角α.〔1〕求tan α；〔2〕求sin α，cos2α的值.【答案】〔1〕13-；〔2〕10；45 【解析】【分析】〔1〕首先求出直线的斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值计算可得；〔2〕利用同角三角函数的根本关系及二倍角公式计算可得；【详解】解：〔1〕因为直线320x y +-=的斜率为13-，且直线的倾斜角为角α， 所以1tan 3α=- 〔2〕由〔1〕知1tan 3α=-， 22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==-⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩224cos 22cos 1215αα⎛∴=-=⨯-= ⎝⎭【点睛】此题考察直线的斜率与倾斜角的关系，同角三角函数的根本关系以及二倍角余弦公式的应用，属于根底题. 22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的一个焦点重合. 〔1〕求抛物线方程；〔2〕假设直线l ：20y kx --=与抛物线只有一个交点，求直线l 方程.【答案】〔1〕28y x =；〔2〕-20,y =或者20x y -+=【解析】【分析】 〔1〕利用抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的一个焦点重合，求出p ，即可求抛物线C 的HY 方程；〔2〕联立直线与抛物线方程，消去x 得28160ky y -+-=，分二次项系数为零与不为零两种情况讨论，即可求出参数k 的值，从而得到直线方程；【详解】解：〔1〕双曲线2213x y -=的一个焦点为()2,0， ∴22p =，4p ∴=， ∴抛物线C 的HY 方程为28y x =；〔2〕因为直线20y kx --=与抛物线只有一个交点，联立方程得2208y kx y x--=⎧⎨=⎩，消去x 得28160ky y -+-=， 当0k =时，8160y -=显然有一个交点，满足条件，此时直线方程为20y -=；当0k ≠时，()()284160k ∆=-⨯-⨯-=，解得1k =，此时直线方程为20x y -+=； 综上可得，直线方程为20y -=或者20x y -+=【点睛】此题考察抛物线的HY 方程及直线与抛物线的位置关系求参数的值，属于中档题.。
高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)
高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：______________一、单选题1．已知集合12|log (1)0A x ax ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，若1A ∈，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,)+∞2．设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．给出如下几个结论:①命题“R,cos sin 2x x x ∃∈+=”的否定是“R,cos sin 2x x x ∃∈+≠”; ②命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<”; ③对于π10,,tan 22tan x x x⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭;④R x ∃∈，使sin cos x x +=其中正确的是（ ） A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④4．已知a 、b 为正实数，a+b=1，则2134a b+的最小值是（ ） A ．1112 B ．116C ．1112+D ．1112+5．函数2441()2x f x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．当()0,x ∈+∞时幂函数()2531m y m m x --=--为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2m =D ．m ≠7．若0.110a =与lg0.8b =和5log 3.5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．a c b >>8．已知函数()f x 是定义在R 上的函数,()11f =.若对任意的1x ,2x R ∈且12x x <有12123f x f x x x ,则不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．已知0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是（ ）A ．22παβ-=B ．22παβ+=C ．2παβ+=D ．2παβ-=10．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 11．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A．2,3π-B．2,6π-C．4,6π-D．4,3π12．已知函数()2ln,01,0xxf x xx x⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩若函数()()g x f x k=-有三个零点，则（）A．1ek<≤B．1ek-<<C．1e<<k D．11ek<<二、填空题13．若22x x a++≥对Rx∈恒成立，则实数a的取值范围为___.14．已知实数0a≠，函数2,1()2,1x a xf xx a x+<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f a f a-=+，则a的值为________ 15．已知1cos63πα⎛⎫⎪⎝=⎭+，则5cos6πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值为______．三、双空题四、解答题17．已知幂函数()2()294mf x m m x=+-在(,0)-∞上为减函数.(1)试求函数()f x解析式；(2)判断函数()f x的奇偶性并写出其单调区间.18．已知函数()e ln exf x a x=--.（1）当1a=时讨论函数()f x的零点存在情况；（2）当1a>时证明：当0x>时()2ef x>-.19．已知函数2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.20．已知函数()()2112122f x cos x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2若7224f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭2sin α的值． 21．已知函数()||1()f x x x a x =--+∈R .(1)当2a =时试写出函数()()g x f x x =-的单调区间； (2)当1a >时求函数()f x 在[1,3]上的最大值.22．已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.参考答案与解析1．C【详解】1A ∈12log (1)0a ∴-> 011a ∴<-<，即12a <<则实数a 的取值范围是(1,2) 故选:C. 2．C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时()=()f x f x -对任意的x 恒成立()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 3．B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 知①不正确 命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<或sin 0x = ”,故②不正确；因为π10,,tan 22tan x x x ⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭当且仅当1tan tan x x=即π0,2π4x ⎛=∈⎫ ⎪⎝⎭ 时取等号，③正确；由πsin cos [4x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，比如π4x =时π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭故R x ∃∈，使sin cos x x += 故选：B 4．D 【分析】将2134a b +与a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2134a b+的最小值.【详解】由已知条件可得()2118318311111113412121212b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=时等号成立.因此，2134a b +的最小值是1112+故选：D. 5．D【分析】判断函数的奇偶性可排除B ，C ；利用特殊值可判断A,D,即得答案.【详解】因为函数2441()2x f x x -+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且2441()()2x f x f x x -+-== 故2441()2x f x x -+=是偶函数，排除选项B ，C ；当2x =时15(2)032f -=<，对应点在第四象限，故排除A 故选：D. 6．A【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.【详解】因为函数()2531m y m m x --=--既是幂函数又是()0,+∞的减函数所以211530m m m ⎧--=⎨--<⎩解得：m=2.故选：A. 7．D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=a cb ∴>>故选:D 8．C【解析】因为等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--,即()()112233f x x f x x +<+,令函数()()3F x f x x =+,根据函数()F x 是R 上的增函数,即可求得答案.【详解】 不等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--即()()112233f x x f x x +<+令函数()()3F x f x x =+,由()()112233f x x f x x +<+ 可得()()21>F x F x ,结合12x x <∴ 函数()()3F x f x x =+是R 上的增函数又()14F =不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦ ∴ ()()2log 321F x F -<⎡⎤⎣⎦ ∴ ()2log 321x -<,即0322x <-< ∴2433x <<不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为:24,33⎛⎫⎪⎝⎭. 故选:C.【点睛】利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题. 9．A【分析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，由此得出正确结论.【详解】有()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，得()22sin cos cos 2cos 1sin ααβαβ=+sin cos cos sin cos αβαβα-= ()πsin cos sin 2αβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，由于0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,222αβααβ-=--=，故选A. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题. 10．C【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可.【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后 可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当6x π=时()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误； 当6x π=-时()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．A【分析】根据()f x 的图象求得T π=，求得2ω=，再根据5()212f π=，求得2,3k k Z πϕπ=-+∈，求得ϕ的值，即可求解.【详解】根据函数()f x 的图象，可得353()41234T πππ=--=，可得T π=所以22Tπω== 又由5()212f π=，可得5sin(2)112πϕ⨯+=，即52,62k k Z ππϕπ+=+∈ 解得2,3k k Z πϕπ=-+∈因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-.故选：A. 12．C【分析】将问题转化为()y f x =与y k =图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出()f x 图象，即可确定k 的范围.【详解】由题意，()y f x =与y k =图象有三个交点 当0x >时()ln x f x x=，则()21ln xf x x -'=∴在()0,e 上0fx，()f x 递增，在()e,+∞上0fx，()f x 递减∴0x >时()ln x f x x =有最大值()1e ef =，且在()0,e 上()1(,)e f x ∈-∞，在()e,+∞上()1(0,)ef x ∈.当0x ≤时()21f x x =-+单调递增∴()f x 图象如下∴由图知：要使函数()g x 有三个零点，则10e<<k . 故选：C. 13．94a ≥【分析】根据一元二次不等式对R x ∈恒成立，可得Δ14(2)0a =--≤ ，即可求得答案. 【详解】220x x a ++-≥对R x ∈恒成立，9Δ14(2)0,4a a ∴=--≤∴≥ 故答案为：94a ≥14．34-【解析】分当0a >时和当a<0时两种分别讨论求解方程，可得答案. 【详解】当0a >时11,1+>1a a -<，所以(1)(1)f a f a -=+ ()()211+2,a a a a -+=--解得302a =-<，不满足，舍去；当a<0时1>1,1+1a a -<，所以()()1221,a a a a ---=++解得304a =-<，满足.故答案为34-.【点睛】本题考查解分段函数的方程，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，属于基础题．15．13-【分析】由已知条件，利用诱导公式化简5cos cos 66ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解.【详解】解：因为1cos 63πα⎛⎫ ⎪⎝=⎭+所以51cos cos cos 6663πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-⎪⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭ 故答案为：13-.16． sin x - 【分析】对()cos f x x '=求导可得()sin f x x ''=-，由正弦函数的图象可知()0f x ''<成立 根据函数的性质123123sin sin sin 3sin 3x x x x x x ++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，即可求得123sin sin sin x x x ++的最大值. 【详解】设()sin f x x =，()0,πx ∈则()cos f x x '= 则()sin f x x ''=-，()0,πx ∈由于()0f x ''<恒成立 故()f x 有如下性质()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭.则123123πsin sin sin 3sin 3sin 33x x x x x x ++⎛⎫++≤=⨯= ⎪⎝⎭∴123sin sin sin x x x ++故答案为 sin x -17．(1)5()f x x -=(2)奇函数，其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞【分析】（1）根据幂函数的定义，令22941m m +-=，求解即可； （2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间. 【详解】（1）由题意得22941m m +-=，解得12m =或5m =- 经检验当12m =时函数12()f x x =在区间(,0)-∞上无意义所以5m =-，则5()f x x -=. （2）551()f x x x -==，∴要使函数有意义，则0x ≠ 即定义域为(,0)(0,)-∞+∞，其关于原点对称.5511()()()f x f x x x-==-=--∴该幂函数为奇函数.当0x >时根据幂函数的性质可知5()f x x -=在(0,)+∞上为减函数函数()f x 是奇函数，∴在(,0)-∞上也为减函数故其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞.18．（1）两个零点；（2）证明见解析.【分析】(1)将1a =代入可得(1)0f =，求出函数()f x 的导数，利用导数探讨函数的单调性并借助零点存在性定理即可求解；(2)根据已知条件构造函数()e ln 2x g x x =--，证明()0g x >在0x >时恒成立即可得解.【详解】(1)当1a =时()e ln e x f x x =--，显然(1)0f =，即1是()f x 的一个零点求导得()1e x f x x '=-，()f x '在(0,)+∞上单调递增，且131e 303f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭(1)e 10f '=-> 则()f x '在1(,1)3上存在唯一零点0x ，当00x x <<时()0f x '<，当0x x >时()0f x '> 因此，函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，而()0(1)0f x f <= 31e 31e 3e 0ef ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭ 从而得在()00,x 上函数()f x 存在一个零点所以函数()f x 存在两个零点；(2)令()e ln 2x g x x =--，x>0，则1()e x g x x'=-，由(1)知()g x '在(0,)+∞上单调递增，且在1(,1)3上存在唯一零点0x ，即001x e x = 当()00,x x ∈时()g x 单调递减，当()0,x +∞时()g x 单调递增因此()000000011()e ln 2e ln 220e x x x g x g x x x x ≥=--=--=+->，即ln 2x e x ->，则e ln e 2e x x -->- 而1a >，有e e x x a >，于是得()e ln e>e ln e 2e x x f x a x x =---->-所以当1a >，0x >时()2e f x >-.19．（1）最小正周期为π，最大值为1（2）在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值；（2）根据[]20,3x ππ-∈，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得()f x 的单调性. 【详解】（1）2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin cos x x x =11cos 2sin 222x x +=sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则()f x 的最小正周期为22T ππ== 当22,32x k k Z πππ-=+∈，即25,1ππ=+∈x k k Z 时()f x取得最大值为1； （2）当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时[]20,3x ππ-∈ 则当20,32x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即5,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为增函数； 当2,32x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时即52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为减函数 f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.20．（1）3()4=max f x()min f x =；（2）2325 【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．()1由x 的范围求得相位的范围，则函数最值可求；()2由已知求得145sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由诱导公式及倍角公式求2sin α的值． 【详解】解：()2112122f x cos x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111622222222sin x cos x cos x cos x x π⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝⎭=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭131222222223cos x x sin x x x π⎛⎫⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()1,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,22,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦23sin x π⎡⎛⎫∴+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦ 则3()4max f x =()min f x = ()2由7224f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭7123ππα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭145sin πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭． 2123221212242525sin cos sin ππααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用,考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题．21．(1)单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)()()max 1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩【分析】（1）当2a =时求出()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩，利用二次函数的性质确定函数的单调区间； （2）作出函数()f x 的大致图象，数形结合，分类讨论，比较()f x 在[1,3]上的函数值(1)f (3)f ()f a 的大小关系，即可求得答案.（1）当2a =时()()2221(2)21212x x x f x x x x x x ⎧-+<⎪=--+=⎨-++≥⎪⎩所以()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩当2x <时2()31g x x x =-+，其图象开口向上，对称轴方程为32x =所以()g x 在3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当2x ≥时2()1g x x x =-++，其图象开口向下，对称轴方程为12x =所以()g x 在[2,)+∞上单调递减. 综上可知，()g x 的单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）由题意知1a >，()()2211()x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩作出大致图象如图：易得(0)()1f f a == 2124a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以可判断()f x 在[1,3]上的最大值在(1)f (3)f ()f a 中取得.当13a 时max ()()1f x f a ==.当3a >时()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,32a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增 又13422a a a ⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，若34a <<，则max ()(3)103f x f a ==-；若4a ≥，则max ()(1)2f x f a ==-.综上可知，在区间[1,3]上()()max1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩ . 22．(1)在3π[0,]4上，()f x 为增函数；在3π[,π]4上时()f x 为减函数. (2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断导数正负，从而判断函数单调性；（2）当1a =时结合（1）可得πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，整理为e sin 1sin cos x x x x +≥-，然后构造函数()πsin g x x x =--，利用其导数证明结论.【详解】（1）因为π()e sin sin ,[0,π]4x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以()π()e sin e cos cos()e sin cos )(cos sin )e (sin (cos )4x x x x f x x x x x x a x x a x x '=+-=+-+=-+因为1a ≤，所以在()0,π上e 0x a ->由()0f x '=，解得3π4x =. 当3π04x <<时()0f x '>，故()f x 在3π[0,]4上为增函数； 当3ππ4x <<时()0f x '<，()f x 在3π[,π]4上为减函数. （2）证明：由（1）知，当1a =时π()e sin 4x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π[0,]4上为增函数，在3π[,π]4上为减函数. 因为(0)1,(π)1f f ==-所以()(π)f x f ≥故πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以e sin sin cos 1x x x x ≥--所以e sin 1sin cos x x x x +≥-.设()πsin ,()1cos 0g x x x g x x '=--=--≤所以()g x 在[0,π]上为减函数.又(π)0g =，则()(π)0g x g ≥=，所以πsin x x -≥所以e (π)1e sin 1sin cos x x x x x x -+≥+≥-.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及利用导数证明不等式问题，解答时要明确导数与函数的单调性之间的关系，解答的关键是根据题中要证明的不等式合理变式，构造函数，利用导数判断单调性进而进行证明.。
【常考题】高三数学上期末试卷(附答案)
【常考题】高三数学上期末试卷(附答案)一、选择题1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D<a b <2．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234yx a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-B ．()1,4-C ．[]4,1-D ．()4,1-4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 7．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S，且2S =，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 8．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．39．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S <B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．3211．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ） A ．63B ．61C ．62D ．5712．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）A ．15B ．25C ．40D ．60二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b aa b+取最大值时，cos C =__________； 14．若为等比数列的前n 项的和，，则=___________15．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++L ________16．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三角形的面积2223)S a b c =+-，则角C =__________． 17．若x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________．18．设,x y 满足约束条件0{2321x y x y x y -≥+≤-≤，则4z x y =+的最大值为 .19．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是_______. 20．若无穷等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为______.三、解答题21．设 的内角 的对边分别为 已知．（1）求角 ；（2）若，，求的面积．22．已知函数()()22f x x x a x R =++∈（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。
【必考题】高三数学上期末试题(带答案)
【必考题】高三数学上期末试题(带答案)一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4015．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ）A ．78B ．18C ．78-D ．18-6．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．-1B ．12 C ．1 D ．327．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =8．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．849．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．610．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．911．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，二、填空题13．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且*2(2,)n n S a n n N =≥∈，则{}n a 的通项公式n a =____；14．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________15．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 16．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．17．已知函数()2xf x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.18．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．19．已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且bcosC ﹣ccosB 14=a 2，tanB ＝3tanC ，则a ＝_____．20．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = .三、解答题21．设函数()112f x x =+＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求11m n+的最小值. 22．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 23．在数列{}n a 中, 已知11a =，且数列{}n a 的前n 项和n S 满足1434n n S S +-=, n *∈N . （1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n na 的前n 项和为n T ，若不等式3()1604nn aT n+⋅-<对任意的n *∈N 恒成立, 求实数a 的取值范围. 24．己知数列的前n 项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和．25．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .26．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果2．C解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.3．C解析：C【解析】试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M=，满足2M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m <时，由约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以421m OB m =-u u u r ，由4221m m ≤-，解得1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由11n n a a +=+，可得)21111n a ++==，是以1为公差，以1为首项的等差数列.2,1n n a n ==-，即220201399a =-=.故选C.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．6．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件确定可行域，由1y x+的几何意义，即可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率求得答案． 【详解】由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得A （112，），1y x+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率， 由图可知，113212PAk +==最大．故答案为32． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．7．A解析：A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 8．C 解析：C 【解析】试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=--=（），选C . 考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.9．A解析：A 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.10．C解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 11．C解析：C 【解析】 【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2A B π+=可得到结论不正确；③可由余弦定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示： 由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x=-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率，结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.二、填空题13．【解析】【分析】根据递推关系式可得两式相减得：即可知从第二项起数列是等比数列即可写出通项公式【详解】因为所以两式相减得：即所以从第二项起是等比数列又所以故又所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式解析：21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩【解析】 【分析】根据递推关系式()*22,n n S a n n N=≥∈可得()*1123,n n Sa n n N --=≥∈，两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈，即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式. 【详解】因为()*22,n n S a n n N=≥∈所以()*1123,n n S a n n N--=≥∈两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈ 所以{}n a 从第二项起是等比数列， 又22221+S a a ==，所以21a =故22(2,n n a n -=≥ *)n N ∈，又11a =所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题.14．1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列是以为首项以为公比的等比数列然后利用等比数列的通项公式求解【详解】由得则数列是以为首项以为公比的等比数列故答案为：1【点睛】本题考查数列的递推关系等比数列通解析：1 【解析】 【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解． 【详解】由11()an n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9nn a a a -==，则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列， ∴19999991001log (99)199a =⋅=． 故答案为：1． 【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．15．3【解析】试题分析：根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值为3故填：3考点：基本不等式解析：3 【解析】试题分析：根据条件，解得，那么，当且仅当时取得等号，所以的最小值为3，故填：3. 考点：基本不等式16．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8解析：8 【解析】 【分析】 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=， 所以71101028a a =-=-=，故答案为8.17．【解析】【分析】根据指数运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等 解析：6-【解析】 【分析】根据指数运算出2468102a a a a a ++++=，再利用等差中项的性质得出625a =，并得出56825a a =-=-，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦L 的值.【详解】依题意有246810625a a a a a a ++++==，625a ∴=，且56282255a a =-=-=-. 则()()()110123101105610825556255a a a a a a a a a a +⎛⎫++++==+=+=⨯-+=- ⎪⎝⎭L ， 而()()()()1231061231022a a a a f a f a f a f a ++++-⋅⋅⋅⋅==L L ，因此，()()()()62123102log log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-⎡⎤⎣⎦L .故答案为6-. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.18．4【解析】【分析】由题知：四边形为圆内接四边形的最大值为四边形外接圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故的最大值为四边形外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到：又因为所以在中由正弦定解析：4 【解析】 【分析】由题知：四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定理即可求出AC 的最大值. 【详解】因为120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，所以 故AC 的最大值为四边形外接圆的直径. 当AC 为四边形外接圆的直径时，得到：90ADC ABC ∠=∠=︒，又因为2AB AD ==，60BCD ∠=︒， 所以30ACD ACB ∠=∠=︒. 在ABC V 中，由正弦定理得：sin 90sin 30AC AB=︒︒，解得：4AC =.故答案为：4 【点睛】本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形ABCD 为圆内接四边形是解题的关键，属于中档题.19．2【解析】【分析】根据题意由tanB ＝3tanC 可得3变形可得sinBcosC ＝3sinCcosB 结合正弦定理可得sinBcosC ﹣sinCcosBsinA×a 变形可得：sinBcosC ﹣sinCc解析：2 【解析】 【分析】根据题意，由tan B ＝3tan C 可得sinB cosB =3sinCcosC⨯，变形可得sin B cos C ＝3sin C cos B ，结合正弦定理可得sin B cos C ﹣sin C cos B 14=sin A ×a ，变形可得：sin B cos C ﹣sin C cos B 14=sin （B +C ）×a ，由和角公式分析可得sin B cos C ﹣sin C cos B 14=⨯a ×（sin B cos C +sin C cos B ），将sin B cos C ＝3sin C cos B 代入分析可得答案． 【详解】根据题意，△ABC 中，tanB ＝3tanC ，即sinB cosB =3sinCcosC⨯，变形可得sinBcosC ＝3sinCcosB ， 又由bcosC ﹣ccosB 14=a 2，由正弦定理可得：sinBcosC ﹣sinCcosB 14=sinA ×a ， 变形可得：sinBcosC ﹣sinCcosB 14=sin （B +C ）×a ， 即sinBcosC ﹣sinCcosB 14=⨯a ×（sinBcosC +sinCcosB ）， 又由sinBcosC ＝3sinCcosB ，则2sinCcosB ＝sinCcosB ×a ， 由题意可知：2B π≠，即sinCcosB≠0，变形可得：a ＝2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，涉及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．20．10【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得结合等差数列的性质即可求得k 的值【详解】因为且所以由等差数列性质可知因为所以则根据等差数列性质可知可得【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式等差数解析：10 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得70a =，结合等差数列的性质即可求得k 的值． 【详解】因为91239S a a a a =+++⋅⋅⋅ 41234S a a a a =+++，且94S S =所以567890a a a a a ++++= 由等差数列性质可知70a = 因为40k a a += 所以4770k a a a a +=+=则根据等差数列性质可知477k +=+ 可得10k = 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．三、解答题21．(1)1a =；(2)22. 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）根据单调性求出()f x 的最小值，即可求出a 的值； （2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可. 试题解析：(1)f(x)＝当x ∈(－∞，0)时，f(x)单调递减； 当x ∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增； ∴当x ＝0时，f(x)的最小值a ＝1. (2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得≥2，由于m>0，n>0， 则＋≥2≥2，当且仅当m ＝n ＝时取等号. ∴＋的最小值为2.22．（1）12n n a +=（2）2222222()()()122311n nS n n n =-+-++-=++L【解析】 【分析】 【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为71994{2a a a ＝，＝，所以11164{1828a d a d a d +++＝，＝（）. 解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n +. (2)b n ＝1n na ＝22211n n n n -++＝（），所以S n ＝2222222()122311n n n n ⎛⎫⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭－－－＝＋ 23．(1)见解析(2) (,20)-∞【解析】分析：（1）利用1434n n S S +-=推出134n n a a +=是常数，然后已知2134a a =，即可证明数列{}n a 是等比数列；（2）利用错位相减法求出数列{}n na 的前n 项和为n T n ，化简不等式31604nn aT n⎛⎫+⋅-< ⎪⎝⎭，通过对任意的*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围．详解：(1) Q 已知*1434,n n S S n N +-=∈,∴ 2n ≥时, 143 4.n n S S --= 相减得1430n n a a +-=. 又易知0,n a ≠134n n a a +∴=. 又由*1434,n n S S n N +-=∈得()121434,a a a +-=22133,44a a a ∴=∴=. 故数列{}n a 是等比数列.(2)由(1)知1133144n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1133312444n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ,123333124444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 相减得213113333341344444414nn n n n T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-L ,331616444n nn T n ⎛⎫⎛⎫∴=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴不等式31604nn a T n ⎛⎫+⨯-< ⎪⎝⎭为33316164160444nnna n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⨯-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 化简得2416n n a +>. 设()2416f n n n =+,*n N ∈Q ()()120min f n f ∴==.故所求实数a 的取值范围是(),20-∞.点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n 项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力． 24．（1）；（2）【解析】 【分析】 （1）运用，证明数列是等比数列，计算通项，即可。
高等数学上期末考试试题及参考答案
高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的反函数\( f^{-1}(x) \) 的定义域为（）A. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)B. \( [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)D. \( (-1, 1) \)答案：C2. 设函数 \( f(x) = \ln(2x - 1) \)，则 \( f'(x) \) 的值为（）A. \( \frac{2}{2x - 1} \)B. \( \frac{1}{2x - 1} \)C. \( \frac{2}{x - \frac{1}{2}} \)D. \( \frac{1}{x - \frac{1}{2}} \)答案：A3. 设 \( f(x) = e^x + e^{-x} \)，则 \( f''(x) \) 的值为（）A. \( e^x - e^{-x} \)B. \( e^x + e^{-x} \)C. \( 2e^x + 2e^{-x} \)D. \( 2e^x - 2e^{-x} \)答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 \( x = 0 \) 处可导但不可微？（）A. \( f(x) = |x| \)B. \( f(x) = \sqrt{x} \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \cos x \)答案：A5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 \)，则 \( f'(0) \) 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \) 的导数 \( f'(x) \) 为_________。
【常考题】高三数学上期末试卷及答案
【常考题】高三数学上期末试卷及答案一、选择题1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S3．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．14．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1765．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2D16．在ABC ∆中，2AC =,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) ABCD7．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．18．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形9．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且223tan 2S B =+，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．911．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．50512．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .15．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=L __________．16．观察下列的数表： 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …… ……设2018是该数表第m 行第n 列的数，则m n ⋅=__________．17．若变量,x y 满足约束条件{241y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最小值为_____．18．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．19．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是_______. 20．若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________.三、解答题21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a+的值； （2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.22．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 23．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n n a b +的首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ． 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*2N n n S a n n =-∈.（Ⅰ）证明：{}1n a +是等比数列； （Ⅱ）求13521n a a a a -+++⋯+的值.25．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2446,10a a S +==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）令2n n n b a =⋅*()n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．在ABC ∆中，3sincos a C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3ABC S ∆=，223b c +=+，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.2．C解析：C 【解析】 【分析】先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.3．B解析：B 【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．4．B解析：B 【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=，解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．6．A解析：A 【解析】 【分析】先由余弦定理得到AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】根据余弦定理得到22222AC BC AB AC BC +-=⨯⨯将2AC =,22BC =,代入等式得到AB=5 再由等面积法得到112252522222CD CD ⨯=⨯⇒=故答案为A. 【点睛】这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.7．D解析：D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】目标函数()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++， 设11y k x +=+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率， 若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，即12z k =+的最小值是32， 由3122k +=，得14k =，即k 的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时，直线的斜率k 最小，此时011314k a +==+， 得314a +=，得1a =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8．C解析：C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C.【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．C解析：C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 2bc c B +=，结合正弦定理及三角恒等变换知识cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】∵2tan bc c B S +=∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即c tan asinB a b B +==()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．10．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11．D解析：D 【解析】n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=Q 阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==，故选D.12．C解析：C【解析】 【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2A B π+=可得到结论不正确；③可由余弦定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.二、填空题13．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849【解析】 【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1，所以()()1001001346631184922S +⨯=+⨯+=，故答案为：1849 【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.14．【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为=-9 解析：9-【解析】 【分析】 【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为32q =-，6q = -9. 15．【解析】【分析】【详解】所以所以故答案为 解析：41n -【解析】 【分析】 【详解】()()145[415]4n n q a a n n -=-=-+---+=-，124253b a ==-⨯+=-，所以()11134n n n b b q --=⋅=-⋅-，()113434n n n b --=-⋅-=⋅，所以211214334343434114n n n n b b b --++⋯+=+⋅+⋅+⋯+⋅=⋅=--，故答案为41n -.16．4980【解析】【分析】表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列根据等差数列求和公式及通项公式确定求解【详解】解：表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列排完第行解析：4980 【解析】 【分析】表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解. 【详解】解：表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．排完第k 行，共用去1124221k k -+++⋯+=-个数字，2018是该表的第1009个数字， 由19021100921-<<-，所以2018应排在第10行，此时前9行用去了921511-=个数字， 由1009511498-=可知排在第10行的第498个位置， 即104984980m n =⨯=g， 故答案为：4980 【点睛】此题考查了等比数列求和公式，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．17．8【解析】【分析】【详解】作出不等式组表示的平面区域得到如图的△ABC 及其内部其中A （22）B （）C （32）设z=F （xy ）=3x+y 将直线l ：z=3x+y 进行平移当l 经过点A （22）时目标函数z 达解析：8 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （2，2），B （53,22）,C （3，2）设z =F （x ，y ）=3x +y ，将直线l ：z =3x +y 进行平移， 当l 经过点A （2，2）时，目标函数z 达到最小值 ∴z 最小值=F （2，2）=8 故选：C18．4【解析】【分析】由题知：四边形为圆内接四边形的最大值为四边形外接圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故的最大值为四边形外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到：又因为所以在中由正弦定解析：4 【解析】 【分析】由题知：四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定理即可求出AC 的最大值.【详解】因为120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，所以 故AC 的最大值为四边形外接圆的直径. 当AC 为四边形外接圆的直径时，得到：90ADC ABC ∠=∠=︒，又因为2AB AD ==，60BCD ∠=︒， 所以30ACD ACB ∠=∠=︒. 在ABC V 中，由正弦定理得：sin 90sin 30AC AB=︒︒，解得：4AC =.故答案为：4 【点睛】本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形ABCD 为圆内接四边形是解题的关键，属于中档题.19．【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为：【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解 解析：25【解析】 【分析】利用1的代换，将求式子43a b +的最小值等价于求43()(3)a b a b++的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】因为4343123123()(3)4913225b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++≥+⋅， 等号成立当且仅当21,55a b ==. 故答案为：25. 【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.20．1【解析】试题分析：由得所以（当且仅当即时等号成立）所以答案应填1考点：1对数的运算性质；2基本不等式解析：1 【解析】试题分析：由log 41,a b =-得104a b=>，所以114a b b b +=+≥=（当且仅当14b b =即12b =时，等号成立） 所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.三、解答题21．（1）2224b c a+=（2 【解析】 【分析】（I ）由题意2sin 3tan c B a A =，利用正、余弦定理化简得2224b c a +=，即可得到答案. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==，由余弦定理得6cos A bc=，进而利用基本不等式，得到6cos bc A =，且(0,)2A π∈，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质，即可求解面积的最大值. 【详解】解：（I ）∵2sin 3tan c B a A =， ∴2sin cos 3sin c B A a A =， 由正弦定理得22cos 3cb A a =，由余弦定理得22222?32b c a cb a bc+-=，化简得2224b c a +=，∴2224b c a+=. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==，∴由余弦定理得2226cos 2b c a A bc bc+-==， 根据重要不等式有222b c bc +≥，即8bc ≥，当且仅当b c =时“=”成立， ∴63cos 84A ≥=. 由6cos A bc =，得6cos bc A =，且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ABC ∆的面积116sin sin 3tan 22cos S bc A A A A==⨯⨯=. ∵2222222sin cos sin 11tan 1cos cos cos A A A A A A A++=+==，∴tan 3A =≤=∴3tan S A =≤∴ABC ∆的面积S . 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.22．（1）3π；（2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >，则1sin cos sin 62B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin B B =，tan B ∴=. 又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由1sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆3433=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.23．（1）32n a n =-+；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．利用通项公式即可得出．（Ⅱ）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，可得n b ．再利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵27382329a a a a +=-⎧⎨+=-⎩，∴1127232929a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得113a d =-⎧⎨=-⎩，∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+．（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列得1n n n a b q -+=，即132n n n b q --++=，∴132n n b n q -=-+，∴()()21147321n n S n q q q-⎡⎤=++++-+++++⎣⎦L L()()213112n n n q q q --=+++++L ．∴当1q =时，()231322n n n n nS n -+=+=； 当1q ≠时，()31121nn n n q S q--=+-．24．（I ）见解析；（II ）()2413n n --【解析】 【分析】（I ）计算1n S -，根据,n n S a 关系，可得121n n a a -=+，然后使用配凑法，可得结果. （II ）根据（1）的结果，可得n a ，然后计算21n a -，利用等比数列的前n 和公式，可得结果. 【详解】（I ）由2n n S a n =-①当1n =时，可得111211S a a =-⇒= 当2n ≥时，则()1121n n S a n --=--② 则①-②：()12212n n n a a a n -=--≥ 则()1121121n n n n a a a a --=+⇒+=+ 又112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列（II ）由（I ）可知：1221n nn n a a +=⇒=-所以2121121412n n n a --=-=⋅-记13521n n T a a a a -=+++⋯+ 所以()2144 (42)n n T n =+++- 又()()241444144 (414)3n n n --+++==-所以()()4412411233nnnT n n --=⋅-=- 【点睛】本题考查,n n S a 的关系证明等比数列以及等比数列的前n 和公式，熟练公式，以及掌握,n n S a 之间的关系，属基础题.25．（1）n a n =（2）1(1)22n n T n +=-⋅+【解析】试题分析：(Ⅰ)因为数列是等差数列，所以根据等差数列的通项公式建立关于首项和公差的方程组11246{434102a d a d +=⨯+=，即可解得11{1a d ==，从而写出通项公式n a n =； (Ⅱ)由题意22n n n n b a n =⋅=⋅，因为是等差数列与等比数列相乘的形式，所以采取错位相减的方法，注意错位相减后利用等比数列前n 项和公式，化简要准确得1(1)22n n T n +=-⋅+．试题解析：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,由2446,10a a S +==,可得11246{434102a d a d +=⨯+=, 即1123{235a d a d +=+=, 解得11{1a d ==, ∴()111(1)n a a n d n n =+-=+-=, 故所求等差数列{}n a 的通项公式为n a n =(Ⅱ)依题意,22n nn n b a n =⋅=⋅,∴12n n T b b b =+++L231122232(1)22n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ,又2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ,两式相减得2311(22222)2n n n n T n -+-=+++++-⋅L()1212212n n n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-,∴1(1)22n n T n +=-⋅+考点：1、等差数列通项公式；2、等差数列的前n 项和；3、等比数列的前n 项和；4、错位相减法． 26．(1) 6A π=;(2) 2a =.【解析】试题分析：（1sin sin cos A C C A ⋅=⋅．消去公因式得到所以tan 3A =． 进而得到角A ；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到2b c +=+式得到2a =． 解析：（Isin cos C c A =，所以cos 0A ≠， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 ()0,C π∈，sin 0C ≠，所以 tan 3A =． 又因为 ()0,A π∈， 所以 6A π=．（II ）由11sin 24ABC S bc A bc ∆===bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos6a b c bc π=+-，即()()222212a b c bc b c =+-=+-，因为2b c +=+ 解得 24a =. 因为 0a >， 所以 2a =.。
高三数学上学期期末考试试题含解析试题_1_1
2021届高三数学上学期期末考试试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题{}16,M x x x N =<<∈，{}1,2,3N =-，那么MN =〔 〕A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3,4,5C. {}2,3D.{}2,3,4【答案】C 【解析】 【分析】求出集合M ，然后利用交集的定义可求出集合M N ⋂. 【详解】{}{}16,2,3,4,5M x x x N =<<∈=，因此，{}2,3MN =，应选C.【点睛】此题考察交集的计算，考察计算才能，属于根底题.22y x 149-=的渐近线方程是 ( ) A. 3y x 2=±B. 2y x 3=±C. 9y x 4=±D.4y x 9=±【答案】B 【解析】由双曲线HY 方程可知，2,3a b ==，且焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为32y x =±，应选A.{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，那么“1532S S S +<〞是“0d <〞的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的定义以及前n 项和公式，结合充要条件的定义即可得到结论. 【详解】由1532S S S +<，得()111510233a a d a d ++<+，即0d <， 所以“1532S S S +<〞是“0d <〞的充分条件， 由0d <，()151********a a S S a a d ++=+=+，()1331322662a a S a d +=⨯=+， 所以，151********S S a d S a d +=+<=+， 所以“1532S S S +<〞是“0d <〞的必要条件， 综上，“1532S S S +<〞是“0d <〞的充要条件. 应选：C.【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质是解决此题的关键，属于根底题.4.某几何体的三视图如图，那么该几何体的体积为〔 〕A.76B.476C.72D.236【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可得几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，用三棱柱体积减去三棱锥的体积即为该几何体的体积.【详解】由三视图得到几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，所以几何体的体积为111232*********V ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.应选：D.【点睛】此题考察了几何体的三视图，属于根底题.()()2ln122x x f x xx ++=++-的图象大致是〔 〕A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】利用函数为奇函数，且()00f =，即可得到结论.【详解】由于()f x 是奇函数，故排除A ，B ；又()0f x =，那么0x =，即函数有唯一零点，再排除选C .应选：D.【点睛】此题主要考察函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性，利用排除法是解决此题的关键，属于根底题.X 的分布列是假设()116E X =，那么()D X 的值是〔 〕 A.1736B.1718C.239D.2318【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质得23a b +=，再由()116E X =，解得12a =，16b =，进而求得()D X 的值.【详解】由1231P P P ++=，得23a b +=①. 由()1112336a E Xb =++=②，得3232a b +=，联立①②，得12a =，16b =.所以()2221111111111712363626636D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.应选：A.【点睛】此题考察了离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差，属于根底题.x 的二项式(x +3ax)n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，那么a 的值是( ) A. 1 B. ＋1 C. 2 D. ±2【答案】C 【解析】由题意知2n＝32，n ＝5，T r ＋1＝5rC (x )5－r a r·r x13＝5rC a r 5526r x -，令55026r -=，得3r ＝，∴a 335C ＝80，解得a ＝2.应选C. 8.1F ，2F 为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212PF F F =且2F 到直线1PF 的间隔 等于b ，那么椭圆E 的离心率为〔 〕A.13B.12C.23D.34【答案】B 【解析】 【分析】过2F 做直线1PF 的垂线，交1PF 于点H ，根据题意以及椭圆的定义，利用等腰三角形三线合一，得关于a ，b ，c 的方程，进而可求得离心率的值. 【详解】由得2122PF F F c ==，根据椭圆的定义可得121222PF PF a PF a c +=⇒=-， 又2F 到直线1PF 的间隔 等于b ，即2F H b =， 由等腰三角形三线合一的性质可得：21F H PF ⊥， 可列方程：()()22222220a c b c a ac c -+=⇒--=()()120202a c a c a c e ⇒-+=⇒-=⇒=，应选：B.【点睛】此题考察椭圆的方程及其简单几何性质，考察等腰三角形性质及勾股定理的应用，椭圆的离心率的取值，考察数形结合思想，属于中档题.()()()21,111,1x x a x x x e f x f x +⎧-+≥-⎪=⎨+--<-⎪⎩，假设函数()2y f x =-恰有两个零点，那么实数a 的取值范围为〔 〕A. )1,2B.}[)11,2C.}[)11,+∞D.)1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性讨论a 的范围即可得到答案.【详解】由()()()21,111,1x x a x x x f x e f x +⎧-+≥-⎪=⎨+--<-⎪⎩()2221222(0)2(10)21(1)x x ax a x f x ax a x e a a x +⎧-+≥⎪⇒=-+-≤<⎨⎪++-<-⎩， 当0a <时，函数()f x 在R 上单调递增，不满足条件； 当0a =时，显然不满足条件；当0a >时，()f x 在(],1-∞-上为增函数，在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∵x →-∞，()221f x a a →+-且()2f x =恰有两个零点，那么()12f -=或者221222a a a f a f ⎧⎛⎫+-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩或者222122212a a a f a f a a ⎧⎛⎫+-> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪<≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得31a 或者12a ≤<.应选：B.【点睛】此题考察了利用函数有零点求参数的范围，分段函数单调性，属于中档题.ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，BC CD =，AB AD >，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折得到三棱锥'A BCD -，在此过程中，二面角'A BC D --、'A CD B --的大小分别为α，β，直线'A B 与平面BCD 所成角为γ，直线'A D 与平面BCD 所成角为δ，那么〔 〕 A. γδβ<<B. γαβ<<C. αδβ<<D.γαδ<<【答案】B 【解析】 【分析】利用定量分析结合最大角原理即可得到结论. 【详解】如图，因为AB AD >，所以点A 在BD 上的投影点H 靠近点D ，由翻折的性质，知点'A 在底面的投影点在AH 所在的直线上，如图设为点O ，那么'A FO α∠=，'A EO β∠=，'A BO γ∠=，'A DO δ∠=，由最大角原理知：γα<，δβ≤，当且仅当D 与E 重合时，取到等号；而'tan A O OB γ=，'tan A OOD δ=，如图易得，OB OD >，所以tan tan γδ<，即γδ<；又'tan A O OF α=，'tan A OOEβ=，由图易得，OF OE >，所以αβ<； 综上可得：γαβ<<. 应选：B.【点睛】此题考察二面角，线面角，利用平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，构造圆面解决问题是关键，属于中档题. 二、填空题()1z a i a R =+∈，21z i =+〔i 为虚数单位〕，那么2z =______；假设12z z 为纯虚数，那么a 的值是______.【答案】 (2). 1 【解析】 【分析】利用复数的模，复数的乘除运算化简，在令实部为0，即可得到答案.【详解】2z ==假设12z z 为纯虚数，那么()1211101z z a a i a a =-++⇒-=⇒=.；1.【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察了复数的根本概念，属于根底题． 12.中国古代数学专著?九章算术?有问题：“五只雀，六只燕，一共重一斤〔等于16两〕，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重〞，那么雀重______两，燕重______两. 【答案】 (1).3219 (2). 2419【解析】 【分析】分别设出雀与燕的重量，互换一只后，列出方程，解得即可. 【详解】设雀重x 两，燕重y 两， 由题意得：互换后有458x y y x +=+=，解得：3219x =，2419y =， 故答案为：3219；2419. 【点睛】此题考察了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出适宜的等量关系，列出方程，再求解，属于根底题.x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，且可行域表示的区域为三角形，那么实数m 的取值范围为______，假设目的函数z x y =-的最小值为-1，那么实数m 等于______. 【答案】 (1). 2m > (2). 5m = 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数的几何意义，结合目的函数z x y =-的最小值，利用数形结合即可得到结论. 【详解】作出可行域如图，那么要为三角形需满足()1,1B 在直线x y m +=下方，即11m +<，2m >； 目的函数可视为y x z =-，那么z 为斜率为1的直线纵截距的相反数， 该直线截距最大在过点A 时，此时min 1z =-，直线PA ：1y x =+，与AB ：21y x =-的交点为()2,3A ， 该点也在直线AC ：x y m +=上，故235m =+=， 故答案为：2m >；5m =.【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用目的函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的根本方法，属于根底题.ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos cos 2cos a B b AC c+=，那么C =______；又23ABC S ∆=6a b +=，那么c =______. 【答案】 (1). 3π(2). 23【解析】 【分析】利用正弦定理或者余弦定理将边化为角或者角化为边，在结合三角形的面积公式，整理化简即可得到结论.【详解】解析1：〔边化角〕∵cos cos sin cos sin cos sin a B b A A B B A c C ++=()sin 1sin A B C+==，∴2cos 1C =，∴1cos 2C =， ∵0C π<<，∴3C π=；∵1sin 24ABC ab C b S a ∆===8ab =，又∵6a b +=〔可消元求出边a 、b 〕 ∴()()22222cos 21cos c a b ab C a b ab C =+-=+-+216281122⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，∴c =.解析2：〔任意三角形射影定理〕∵cos cos 1a B b A cc c+==下同.故答案为：3π，【点睛】此题考察了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于根底题. 15.a ，b 均为正实数，那么()124a a b b ⎛+⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为______.【答案】【解析】 【分析】利用根本不等式即可得到结论.【详解】()1412284a b a b ab a b⎛⎫+=+++≥= ⎪⎝⎭+，当且仅当a =b =.故答案为：【点睛】此题考察了根本不等式的应用，构造根本不等式是解题的关键，属于根底题. 16.从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为a ，b ，c ，d ，e ，那么使a b c d e ⋅⋅+⋅为奇数的不同排列方法有______种.【答案】180 【解析】 【分析】分类讨论，先选后排，最后相加即可.【详解】假设a b c ⋅⋅为奇数d e ⋅为偶数时，有323336A A ⨯=种； 假设a b c ⋅⋅为偶数d e ⋅为奇数时，有2334144A A ⨯=种； 一共180种. 故答案为：180.【点睛】此题考察计数原理，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类，属于根底题．17.(b c k k ==>，0b c ⋅=，假设存在实数λ及单位向量a ，使得不等式()()()1112ab bc c b c λλ-+-++--≤成立，那么实数k 的最大值为______. 【答案】5【解析】 【分析】利用三点一共线，将不等式转化为求最值的间隔 问题，或者利用绝对值不等式a b a b +≥-，解得即可.【详解】解析：原题等价于()()()min1112a b b c c b c λλ⎧⎫-+-++--≤⎨⎬⎩⎭解析1：几何法〔三点一共线+将HY 饮马〕如图，()()()112a b b c c b c λλ-+-++--()()1112a b c c b c λλλλ⎡⎤⎡⎤=--++--+⎣⎦⎣⎦AP EP =+〔A 为单位圆上的，a OA =，b OB =，c OC =，P 为BC 上一点，E 为OC中点〕，由将HY 饮马模型，作E 关于BC 对称点'E ，那么()min '''1AP EP E A OE +==-225'112OC E C k =+-=-，所以，5451125k k -≤⇒≤.解析2：代数法〔建系坐标运算+将HY 饮马〕 设(),0c k =，()0,b k =，()cos ,sin a θθ=，()()()112a b b c c b c λλ-+-++--()()()2222221cos sin (1)12k k k k θλθλλλ⎛⎫=-+---+- ⎪⎝⎭()()()2222222212cos 21sin 1112k k k k k k λλθλθλλλ⎛⎫=---+-+-+- ⎪⎝⎭()()()()222222222222121sin 1112k k k k k k λλλθαλλλ⎛⎫=-+-++-+-+- ⎪⎝⎭()()222211112λλλλ⎛⎫≥+-+-+- ⎪⎝⎭那么k≤，由将HY 饮马可得2⎭2≥=⎝⎭，所以5k≤.解析3：绝对值不等式a b a b+≥-+将HY饮马因为()22122112b c k k aλλλλ--=-+≥≥=，所以()()()112a b b c c b cλλ-+-++--()()1112b c b caλλλλ⎛⎫≥--+-+--⎪⎝⎭12=-⎭，由解析2可得k≤解析4：绝对值不等式a b a b+≥-，{}max,a b a b a b+≥+-+对称转化因为b c k==，0b c⋅=，那么bc b cλμμλ±=±，那么()()()112a b b c c b cλλ-+-++--()()1112b c b c aλλλλ⎛⎫≥--+-+--⎪⎝⎭，因为b c k==，0b c⋅=，那么bc b cλμμλ±=±，那么()()1112b c b cλλλλ⎛⎫--+-+-⎪⎝⎭()()1112b c b cλλλλ⎛⎫=-++-+-⎪⎝⎭()()1112b c b cλλλλ⎛⎫=+-+-+-⎪⎝⎭，那么()()1112b c b cλλλλ⎛⎫--+-+-⎪⎝⎭max,max,22222c c kb⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪≥+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，所以1125k k-≤⇒≤.故答案为：5.【点睛】此题考察不等式成立问题，构造不等式解不等式是关键，“将HY饮马〞模型的使用，对称问题，两点之间，线段最短，点到直线的间隔 ，垂线段最短，属于难题. 三、解答题()()()sin 0f x x ωϕϕπ=+<<图象上相邻两个最高点的间隔 为π.〔1〕假设()y f x =的图象过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且局部图象如下图，求函数()f x 的解析式；〔2〕假设函数()y f x =是偶函数，将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，得到yg x 的图象，求函数()222x y fg x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 【答案】〔1〕()5sin 26f x x π⎛=⎫+ ⎪⎝⎭〔2〕()max 52f x =，()min 13f x =【解析】 【分析】〔1〕由题意得2ω=，再由()102f =，进而可得解析式； 〔2〕由()y f x =是偶函数，得2ϕπ=，从而()cos2f x x =，经过平移得()g x ，再表示出()222x y fg x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用余弦型函数即可得最值. 【详解】解析：由题意得，2T ππω==，所以2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+.〔1〕由于()102f =，那么1sin 2ϕ=，又0ϕπ<<， 那么56πϕ=或者6π=ϕ〔舍去〕，故()5sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.〔2〕由于()()sin 2y f x x ϕ==+是偶函数，那么()0sin 1f ϕ==±， 又0ϕπ<<，所以2ϕπ=，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，将()cos2y f x x ==的图象向左平移6π个单位长度， 得到()cos 23x y g x π=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故()2222cos cos 223x y fg x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦13331cos 2cos 2sin 21cos 2sin 22222x x x x x =++-=+-3113cos 2sin 213cos 2226x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72666x πππ≤+≤， 所以()()max 502f x f ==，()min 51312x f f π⎛⎫= ⎪⎭=-⎝. 【点睛】此题考察三角函数的图象与性质，图象的平移问题，余弦型函数求最值，属于根底题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AD =，1AB =，PA ⊥平面PCD ，且1PC PD ==，设E ，F 分别为PB ，AC 的中点.〔1〕求证：//EF 平面PAD ；〔2〕求直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕33020【解析】 【分析】〔1〕利用线面平行的性质定理即可得到结论；〔2〕方法一：利用几何法求线面角，一作，二证，三求解；方法二：利用空间直角坐标系，线面角的向量关系即可得到结论.【详解】〔1〕解析：因为底面ABCD 为平行四边形，F 是AC 中点，所以F 是BD 中点，所以1//2EF PD ，EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD . 〔2〕解析1：〔几何法〕 因为DE ⊂平面PBD ，平面PBD平面PAC PF =，所以直线DE 与平面PAC 的交点即为DE 与PF 的交点，设为G ，1PC PD CD ===，所以PCD ∆为等边三角形，取PC 中点O ，那么DO PC ⊥，因为PA ⊥平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD ， 平面PAC平面PCD PC =，DO PC ⊥，所以DO ⊥平面PAC ，所以DGO ∠是直线DE 与平面PAC 所成角，因为E ，F 分别为PB ，AC 的中点，所以G 是PBD ∆的重心， 在Rt PAD ∆中，3PA =2PB AC ==，在平行四边形ABCD 中，6BD =，在PBD ∆中，4161cos 2214BPD +-∠==-⨯⨯，在PED ∆中，2511211cos 2DE EPD =+-⨯⨯⨯∠=，所以102DE =， 所以21033DG DE ==，又因为32OD =， 所以3sin 3020OD DGO DG ∠==，即直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值为33020. 解析2：〔向量法〕取PC 中点O ，那么1//2OF PA ，因为PA ⊥平面PCD ， 所以OF ⊥平面PCD ，因为1PC PD CD ===，所以PCD ∆为等边三角形， 所以OD PC ⊥，此时OD ，OF ，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，在Rt PAD ∆中，3PA =3F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由12FE DP =，得3314E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以3333,,424DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，平面PAC 的法向量为32OD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以3cos ,3020DE OD DE OD DE OD⋅==-⋅， 所以3sin cos ,3020DE OD θ==即直线DE 与平面PAC 所成角的【点睛】此题考察线面平行，线面角，应用几何法求线面角，向量法求线面角，属于根底题.{}n a 满足212a a =，459a a +=，n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，122n n S S +=+.〔1〕求{}n a ，{}n b 的通项公式；〔2〕设23,41,n n nn a b n n a c ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，证明：12313...6n c c c c +++⋅⋅+<.【答案】〔1〕n a n =，112n n b -=〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕由根本量思想的等差数列{}n a 的通项公式，由n b 与n S 的关系即可得到结论； 〔2〕利用放缩法和数列求和即可得到不等式.【详解】〔1〕由题意得11112349a d a a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，∴n a n =，即数列{}n a 的通项公式为n a n =， 由122n n S S +=+，得21322222S S S S =+⎧⎨=+⎩，两式相减整理得：322b b =，∴12q =，11b =， ∴112n n b -=，即数列{}n b 的通项公式为112n n b -=〔2〕解析1：〔应用放缩和错位相减求和证明不等式〕解：123n n C c c c c =+++⋅⋅⋅+，1321k k A c c c -=++⋅⋅⋅+，242k k B c c c =++⋅⋅⋅+，012110123135214444431352144444k k k k k A k A -+⎧-⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨+⎛⎫⎪=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎩两式相减整理得5511023346k k A k ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，又因为()()()222121k k k >-+，∴()222111242k B k =++⋅⋅⋅+1111111213352121k k ⎛⎫<-+-+⋅⋅⋅- ⎪-+⎝⎭1326<=. 所以()22211132462k B k =++⋅⋅⋅+<，∴10313666n k k C A B =+<+=. 〔2〕解析2：〔应用放缩和裂项求和证明不等式〕 令()114n n d an b -=+，11214n n n n d d +--=-化简整理得：1841394n n d n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴115511023346k k k A d d k +⎛⎫=-=-+< ⎪⎝⎭，22221111123n T n =+++⋅⋅⋅+()111112231n n <+++⋅⋅⋅⨯⨯-⨯122n=-<，()222211111112242422n T n n =++⋅⋅⋅+<-<， 所以()22211132462k B k =++⋅⋅⋅+<，∴10313666n k k C A B =+<+=. 【点睛】此题考察等差数列与等比数列的通项公式，考察数列求和，考察放缩法，属于中档题.E ：()220y px p =>过点()1,2Q ，F 为其焦点，过F 且不垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，动点P 满足PAB ∆的垂心为原点O .〔1〕求抛物线E 的方程；〔2〕求证：动点P 在定直线m 上，并求PABQABS S ∆∆的最小值.【答案】〔1〕24y x =〔2〕证明见解析,PABQABS S ∆∆的最小值为【解析】 【分析】〔1〕直接将()1,2Q 代入抛物线方程即可得到答案； 〔2〕设直线方程为1ty x =-，联立方程，表示出PABQABS S ∆∆，运用根本不等式即可得到结论. 【详解】〔1〕由题意，将点()1,2Q 代入22y px =，即222p =，解得2p =，所以，抛物线E 的方程为24y x =. 〔2〕解析1：〔巧设直线〕证明：设l ：1ty x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立24y x =，可得2104y ty --=，那么有121244y y ty y +=⎧⎨=-⎩，可设AP ：()2112x y y x x y -=--，即21344y y x y =-+，同理BP ：12344y y x y =-+，解得()3,3P t -，即动点P 在定直线m ：3x =-上. 211221342122PAB QABAB d t S d S d t AB d ∆∆+===322t t =+≥，当且仅当3t =±1d ，2d 分别为点P 和点Q 到直线AB 的间隔 . 〔2〕解析2：〔利用向量以及同构式〕证明：设l ：()10x my m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立24y x =，可得2440y my --=，那么有121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩.21001,4y PA y x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，222,4y y OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又O 为PAB ∆的垂心，从而0PA OB ⋅=，代入化简得：20202304x y y y ++=，同理：20101304x y y y ++=，从而可知，1y ，2y 是方程200304xx y x ++=的两根，所以012012044124y y y m x y y x ⎧+=-=⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩00000333y mx y m x x =-=⎧⎧⇒⇒⎨⎨=-=-⎩⎩，所以动点P 在定直线m ：3x =-上. 211221342122PAB QABAB d m S d S d m AB d ∆∆+===322m m =+≥，当且仅当m =1d ，2d 分别为点P 和点Q 到直线AB 的间隔 .【点睛】此题考察抛物线的HY 方程，直线与抛物线的位置关系，考察韦达定理，考察根本不等式的应用，考察计算才能，属于中档题.()ln f x a x x b =-+，其中,a b ∈R .〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕使不等式()ln f x kx x x a ≥--对任意[]1,2a ∈，[]1,x e ∈恒成立时最大的k 记为c ，求当[]1,2b ∈时，b c +的取值范围.【答案】〔1〕()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞单调递减〔2〕14,2e e e ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦〔3〕42,2b c e ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】〔1〕求出函数的导函数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；〔2〕别离变量k 得不等式，由恒成立把[]1,2a ∈，[]1,x e ∈放缩程一个新不等式，再构造一个新函数，讨论出c 的范围，即可得到结论. 【详解】〔1〕因()f x 的定义域为()0,∞+，()()'10af x x x=->，当0a ≤时，()'0f x <，∴()f x 在()0,∞+上单调递减； 当0a >时，()'f x 在()0,∞+上单调递减，()'0f a =， ∴()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞单调递减； 〔2〕()()l ln n f x kx x x f x x x a k x a ++⇒≤≥--()1ln ln a x x x x bx+-++=. ∵[]1,2a ∈，[]1,x e ∈，∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x bx x+-+++-++≥， 令()()21ln ln ln 'x x x x b x x b g g x x x x +-++-+-=⇒=，由〔1〕()ln p x x x b ⇒=-+-在()1,+∞上递增；〔1〕当()10p ≥，即1b =时[]1,x e ∈，()()0'0p x g x ≥⇒≥，∴()g x 在[]1,e 上递增； ∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.〔2〕当()0p e ≤，即[]1,2b e ∈-时[]1,x e ∈，()()0'0p x g x ≤⇒≤，∴()g x 在[]1,e 上递减；∴()()min 22b b c g x g e b c b e e ++===⇒+=+14,2e ee ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦.〔3〕当()()10p p e <时，()ln p x x x b =-+-在上递增； 存在唯一实数()01,x e ∈，使得()00p x =，那么当()01,x x ∈时()()0'0p x g x ⇒<⇒<.当()0,x x e ∈时()()0'0p x g x ⇒>⇒>.∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===.∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+.此时00ln b x x =-. 令()()()11ln '10x h x x x h x h x x x-=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增，()()01,11,b e x e ∈-⇒∈，∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述，42,2b c e ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考察函数的单调区间，考察不等式的恒成立转化为求函数的最值问题，运用不等式放缩、分类讨论思想是解题的关键，属于难题.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高三数学上学期期末考试试题含解析试题1
卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学上学期期末考试试题〔含解析〕一、选择题〔每一小题4分，一共40分〕，集合，那么集合〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据补集的定义求出集合A的补集，然后和集合B进展交集运算，可求【详解】因为A={x|x≥3}，所以={x|x＜3}，所以〔〕∩B═{x|0≤x＜3}．应选：D．【点睛】此题的考点是集合的补集和交集运算，比较根底．的终边与单位圆交于点，那么()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义可直接求得结果。
【详解】由题意得：此题正确选项：【点睛】此题考察三角函数的定义，要注意区分与的详细表示形式，根底题。
在复平面内对应的点关于y轴对称，且，那么复数A. B.1C. D.【答案】C【解析】分析：由z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，求出z2，然后代入，利用复数代数形式的乘除运算化简即可．详解：∵z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，∴z2=﹣2﹣i．∴==，应选：C点睛：复数的运算，难点是乘除法法那么，设，那么，.，那么“〞是“〞的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充要条件的定义进展判断即可。
【详解】由得，，所以是充分条件；由可得，所以是必要条件，故“〞是“〞的充要条件。
答案选C。
【点睛】此题考察充分必要条件的定义，不等式的性质，属于根底题。
为数列的前项和，，，假设，那么＝()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，可列出，利用可求得数列为等比数列。
求解出的通项公式，进而解得的取值。
【详解】由可得：当时，两式作差得：，即又，满足是以为首项，为公比的等比数列，又此题正确选项：【点睛】解题关键在于利用数列的前项和求得数列的通项公式。
在利用时，要注意对数列首项是否满足所求通项公式的验证。
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f
(x)
{3x2 loxg2
x, 1,
x x
0 0
，则不等式
f
(x)
5 的解集为
()
A． 1,1
B． 2, 4
C． ,20,4 D．,20,4
5．已知等差数列 an ,前 n 项和为 Sn , a5 a6 28,则 S10 ( )
A．140
B．280
C．168
D．56
6．设数列an是等差数列，且 a2 6 ， a8 6 ， Sn 是数列an的前 n 项和，则
1即 log3
an1 an
1 an1 an
3
数列 an 是公比为 3 的等比数列 a5 a7 a9 q3 (a2 a4 a6 ) 33 9 35
log1 (a5 a7 a9 ) 5 ．
3
考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C
解析：C 【解析】 【分析】
先通过数列性质判断 a6 0 ，再通过数列的正负判断 Sn 的最小值.
【详解】
∵等差数列an中， a3 a9 0 ，∴ a3 a9 2a6 0 ，即 a6 0 .又 a7 0 ，∴an 的
前 n 项和 Sn 的最小值为 S6 .
3．C
解析：C
【解析】
在 ABC 中， cos C a2 b2 c2 ,a 2b cos C 2b a2 b2 c2 ，
2ab
2ab
a2 a2 b2 c2 ，b c,此三角形一定是等腰三角形，故选 C.
【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常
14．(广东深圳市 2017 届高三第二次（4 月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数 学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积
术”，即△ABC 的面积 S
1 4
a2c2
a2
c2 2
b2
2
，其中
a、b、c
分别为 △ABC
内角 A、B、C 的对边.若 b 2 ，且 tanC 3sinB ，则△ABC 的面积 S 的最大值为 1 3cosB
等腰三角形；③若 acosB bcos A c ，则 ABC —定为直角三角形.以上结论中正确的
个数有（ ）
A．0
B．1
二、填空题
C．2
D．3
13．设an是公比为 q 的等比数列， q 1，令 bn an 1(n 1, 2, ) ，若数列bn有连
续四项在集合53,23,19,37,82中，则 6q = .
【必考题】高三数学上期末试题(含答案)
一、选择题
1．等差数列an中，已知 a7 0 ， a3 a9 0 ，则an 的前 n 项和 Sn 的最小值为
（）
A． S4
B． S5
C． S6
D． S7
2．已知数列an的前 n 项和 Sn n2 ， bn 1n an 则数列bn的前 n 项和Tn 满足
详解：由于
f
x
3x2loxg2 x1,,
x x
0 0
，
当 x＞0 时，3+log2x≤5，即 log2x≤2=log24，解得 0＜x≤4，
当 x≤0 时，x2﹣x﹣1≤5，即（x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0，
∴不等式 f（x）≤5 的解集为[﹣2，4]，
故选 B．
点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的
①-②,得 2Tn
1
2 12
13
14
1n
2n
1 1 n1
1
2
12 1 1 n1 1 1
2n
1
1 n1
2
1n
n
,
∴Tn 1n n ,
∴数列bn的前 n 项和Tn 1n n .
故选:A. 【点睛】 本题考查了根据数列的前 n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前 n 项和,考查了计算能 力,属中档题.
（）
A．Tn 1n n
B．Tn n
C．Tn n
n, n为偶数， D．Tn 2n, n为奇数.
3．在 ABC 中 , a,b, c 分别为角 A, B,C 所对的边,若 a 2bcos?C ,则此三角形一定是
(
)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角
三角形
4．已知函数
11．A
解析：A 【解析】
分析：由已知条件构造基本不等式模型 x y x 2 y 2 4即可得出.
详解：
x,
值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每
段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.
5．A
解析：A
【解析】
由等差数列的性质得， a5 a6 28 a1 a10 ，其前10 项之和为
10a1 a10 10 28 140 ，故选 A.
当 n 2 时, an Sn Sn1 n2 n 12 2n 1,
又当 n 1时, a1 1符合上式,∴ an 2n 1,
∴ bn 1n an 1n 2n 1 ,
∴Tn 111 312 513 1n 2n 1 ①, ∴ Tn 112 313 514 1 n1 2n 1 ②,
x 1
10．已知变量 x,
y
满足约束条件
x
y
3
，则 z 2x y 的最小值为（ ）
x 2 y 3 0
A．1
B．2
C．3
D．6
11．已知 x ， y 均为正实数，且 1 1 1 ，则 x y 的最小值为（ ） x2 y2 6
A．20
B．24
C．28
D．32
12． ABC 中有：①若 A B ，则 sinA>sinB ；②若 sin2A sin2B ，则 ABC —定为
（ ）．
A． S4 S5
B． S4 S5
C． S6 S5
D． S6 S5
7．已知正项等比数列
an
的公比为 3 ，若 aman
9a22 ，则
2 m
1 2n
的最小值等于（
）
A．1
B． 1 2
C． 3 4
D． 3 2
8．已知数列{an} 满足 an1
2an 2an
,0
an
1 2
,
1 1, 2 an
6
m 2n 6
2n m 2 6 2
4
时取等号.
故选 C.
点睛：利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个
条件必须同时成立．
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的
形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．
画出可行域，平移基准直线 2x y 0 到可行域边界的点 C 1, 1 处，由此求得 z 的最小值.
【详解】
画出可行域如下图所示，平移基准直线 2x y 0 到可行域边界的点 C 1, 1 处，此时 z 取 得最小值为 21 1 1.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用数列递推式求出前几项，可得数列 an 是以 4 为周期的周期数列，即可得出答案.
【详解】
an1
2an , 0
2an 1,
1 2
an an
1 2 ，a1 1
3 5
a2
2a1
1
为_____．
三、解答题
21．在条件① (a b)(sin A sin B) (c b)sin C ，② asin B bcos(A ) ， 6
③ bsin B C a sin B 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 2
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， b c 6， a 2 6 ， .
故选 B.
点睛：本题考查等差数列的性质与前 n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运
用数列的基本概念与性质.
7．C
解析：C 【解析】
∵正项等比数列 an 的公比为 3，且 aman 9a22
∴ a2 3m2 a2 3n2 a22 3mn4 9a22
∴mn 6
∴ 1 (m n)( 2 1 ) 1 (2 m 2n 1) 1 (5 2) 3 ，当且仅当 m 2n 4
1,
若
a1
3 5
，则数列的第 2018 项为
（
）
A． 1 5
B． 2 5
C． 3 5
D． 4 5
9．已知数列{an}满足 log3 an 1 log3 an1(n N ) 且 a2 a4 a6 9 ，则
log1 (a5 a7 a9 ) 的值是( ) 3
A．－5
B．－ 1 5
C．5
D． 1 5
23．己知数列 的前 n 项和为 ，且
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设
，求数列
的前 n 项和 ．
24．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且
sin2 A sin2 C sin2 B 3 sin Asin C ．
（1）求角 B ；