高三期末考试数学试题及答案
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测试试题含解析
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势3．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．(3,1)-B ．(3)-C ．(3,1)-D ．(1,3)-4．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减5．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．6．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20B ．15C ．10D ．257．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题8．复数1i i+=（ ） A ．2i - B ．12i C ．0 D ．2i9．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．3510．已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i -+B ．1C ．5D ．511．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>12．已知圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．52D ．54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）．A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A【分析】解绝对值不等式、一元二次不等式分别求集合A 、B ，再由集合并运算求A B ⋃. 【详解】由题设{|22}A x x =-<<，{|03}B x x =<<， 所以(2,3)A B =-. 故选：A2．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-1或1【答案】C【分析】根据纯虚数的定义列出方程(组)求解.【详解】由已知得21010x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得1x =,故选：C3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5 【答案】C【分析】利用各组的频率之和为1，求得a 的值，判定A ；根据众数和中位数的概念判定BC ；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】()0.0350.0300.0200.010101a ++++⨯=，解得0.005a =，故A 正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为4050452+=，所以众数为45，故B 正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为()0.0200.010100.30.5+⨯=<，所以60不是中位数，故C 错误；由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为()0.030.02100.5+⨯=，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5，故D 正确. 故选:C4．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）．A ．1-B ．4C ．5D ．14【答案】B【分析】由题设作出不等式组表示的区域，结合2z x y =+的几何意义即可求出答案. 【详解】作出不等式组表示的区域如下图中阴影部分，直线2z x y =+化为：1122y x+z =-表示斜率为12-的一组平行线，当1122y x+z =-经过点B 有最小值，由302101x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以()2,1B ，则2z x y =+的最小值为：224z =+=.故选：B.5．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为（ ）A ．14B ．18C ．116D ．132【答案】C【分析】由已知的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运算过程，即可得解.【详解】解：执行下面的程序框图，已知S ＝1，n ＝0，m ＝12； 执行循环体S ＝12，m ＝14，n ＝1；S ＝14，m ＝18，n ＝2；S ＝18，m ＝116，n ＝3；S ＝116，m ＝132，n ＝4； 如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为116． 故选：C ．6．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bty ae-=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（ ）. A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min【答案】D【分析】依题意有8b ae -= 12a ，解得ln28b =，得到ln 28t y ae -=，再令8a y =,求解得到t 的值，减去最初的8min 即得所求． 【详解】依题意有8b ae -=12a ，即8b e -= 12，两边取对数得ln281ln28ln ln2,,28t b b y ae --==-∴=∴= ， 当容器中只有开始时的八分之一，则有ln2ln2881188t t ae a e --=∴=， 两边取对数得ln21ln 3ln2,2488t t -==-∴=， 所以再经过的时间为()24816min -=． 故选:D ．7．已知α满足sin()4πα+，则2tan tan 1αα=+（ ）A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-【答案】D【分析】首先化简sin()4πα+得到8sin 29α=-，接着化切为弦将2tan tan 1αα+表示成1sin 22α，代入求解即可.【详解】解：∵sin()cos )4a παα+=+，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，∴8sin 29α=-， 故222tan 12sin cos 14sin 2tan 12sin cos 29ααααααα=⨯==-++；故选：D ．【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-=相切，则实数=a （ ） A ．2或3- B ．2-或3 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：因为322y x x x =-++，当1x =时3y =，又2321y x x '=-+，所以1|2x y ='=，所以曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为()321y x -=-，即210x y -+=，又222:250C x y ax a +-+-=，即()22:5C x a y -+=，即圆心(),0C a ，半径r =因为直线l 与C 相切，所以圆心到直线的距离d ==2a =或3a =-；故选：A9．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（ ） A ．25B ．12C ．35D ．310【答案】D【分析】根据题意，设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，进而()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.【详解】设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.故选：D.10．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x=,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x = 为偶函数， 所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）; ()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃. 故选：A【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当0x > 时， 当0x < 时两种情况，因为两边同时除以x ，要考虑其正负.11．已知曲线1C ：e x y =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．e 1-BC ．1D ．e 1+【答案】A【分析】根据题中条件，得到()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，推出()2e 201ln e x x m -<+-≤；证明ln 1x x ≤-，分离参数得2e2ex m x -≥-，构造函数求出2e2ex x --的最大值，即可得出结果.【详解】因为当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，所以有：()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，()2e 201ln e x x m -∴<+-≤，21ex m ∴>+，令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=， 所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 因此()()10g x g ≤=，即ln 1x x ≤-显然恒成立；因为21x m e->，所以()22ln 1x m x m -≤--，即()221ln x m x m +-≤-；为使()2e21ln e x x m -+-≤恒成立，只需2e2ex x m --≤恒成立；即2e2ex m x -≥-恒成立；令()e e x f x x -=-，则()e1e x f x -=-'，由0f x解得e x <；由()0f x '<解得e x >；所以()f x 在(),e -∞上单调递增；在()e,+∞上单调递减； 所以()()max e e 1f x f ==-；e 1m ∴≥-，因此m 的最小值为e 1-.故选：A12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】在ABC 中，由余弦定理，求得BC =得到BD =证得AB AD ⊥，进而证得AB ⊥平面PAB ，得到PA AD ⊥，证得PA ⊥平面ABC ，结合球的截面圆的性质，即可求得球O 的半径.【详解】如图所示，在ABC 中，因为2AB AC ==，23BAC π∠=， 可得222212cos 22222()232BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，又因为2BD DC =，所以433BD =， 由6ABC π∠=，2AB =，可得233AD =，可得22BD AB AD =+，所以AB AD ⊥， 又由AD PB ⊥，PB AB B ⋂=且,PB AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ， 又由PA ⊂平面PAB ，所以PA AD ⊥， 又由2PAB π∠=，即PA AB ⊥，且AB AD A ⋂=，可得PA ⊥平面ABC ，设ABC 外接圆的半径为r ，则24sin BDr A==，可得2r =，即12AO =， 设三棱锥-P ABC 的外接球的半径为R ，可得22222221111()2152PA R AO OO AO =+=+=+=，即5R =. 球O 的半径为5. 故选：D.【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.二、填空题13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．【答案】()3,0-，()3,0【分析】通过标准方程确定2a 和2b ，根据,,a b c 的关系，得到焦点(),0c ±． 【详解】由题意得：225a =，216b = 由222a b c =+得：25163c =-= ∴焦点坐标为()3,0±本题正确结果：()3,0-，()3,0【点睛】本题考查了椭圆标准方程的定义和简单几何性质，属于基础题． 14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．【答案】63【分析】本题首先可根据正三棱锥正视图绘出原图，然后通过原图得出正三棱锥的侧视图，即可求出结果.【详解】如图，根据正三棱锥正视图可绘出原图，正三棱锥高为22534-=，底面边长为6，结合原图易知，ABC 即正三棱锥的侧视图，BC 为底面三角形的高， 则侧视图的面积1334632S ， 故答案为：6315．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________. 【答案】116【分析】设直线AB 、CD 的方程联立抛物线，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，应用韦达定理求12x x +、12x x 、34x x +、34x x ，根据抛物线的定义易得12(2)(2)AF BF x x ⋅=++、34(2)(2)CF DF x x ⋅=++，进而求目标式的值. 【详解】由题设，直线AB 、CD 的斜率一定存在，设AB 为(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立抛物线方程，可得2222(48)40k x k x k -++=且264(1)0k ∆=+>，∴21224(2)k x x k ++=，124x x =，而1||2AF x =+，2||2BF x =+，∴2121212216(1)(2)(2)2()4k AF BF x x x x x x k +⋅=++=+++=，由CD AB ⊥，设CD 为2xy k-=，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立抛物线，可得22(84)40x k x -++=，同理有23484x x k +=+，344x x =，∴216(1)CF DF k ⋅=+，综上，222111116(1)16(1)16k AF BF CF DF k k +=+=⋅⋅++. 故答案为：116. 【点睛】关键点点睛：设直线方程联立抛物线，结合韦达定理及抛物线的定义求AF BF ⋅、CF DF ⋅，进而求目标式的值.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的编号为________． 【答案】①②④．【分析】①利用函数()()f a f b =-⇔()f x 关于点(,0)2a b+对称.即可得出答案. ②利用函数()()f a x f x -=⇔()f x 关于2ax =轴对称，再结合①即可得出答案. ③利用函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，即可求出周期的取值范围，当T 取最小值时，实数解最多.求出其实数解即可判断.④利用函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点结合①可得出81033w <≤，再结合()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调时3w ≤，即可得出ω的取值范围. 【详解】①因为73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且73212423πππ+=，所以203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.①正确. ②因为5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()f x 的对称轴为255162x ππ==, 125=3244TT ππππ-==⇒.②正确. ③在一个周期内()1f x =只有一个实数解，函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥.当23T π=时，()sin3f x x =，()1f x =在区间[)0,2π上实数解最多为53,,662πππ共3个.③错误 ④函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，213251325632632222T T w w ππππππ-≤⇒-≤⋅<⋅<，解得81033w <≤；又因为函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥，即2233w w ππ⇒≤≥， 所以8,33w ⎛⎤∈⎥⎝⎦.④正确 故填：①②④.【点睛】本题考查三角函数曲线.属于难题.熟练掌握三角函数曲线的性质是解本题的关键.三、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC 面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2． 【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABCSac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．18．体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1:3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在[]0,60范围内，且规定分数在40分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的22⨯列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别 非城镇学生城镇学生合计 优良不优良 115合计200（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？ 附参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0k2.0722.7063.841【答案】（1）填表见解析，没有；（2）34．【分析】（1）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，由条件可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】（1）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为1:3，且样本容量为200， 所以非城镇学生人数为50，城镇学生人数为150， 故城镇学生优良人数为15011535-=，又因为优良学生的人数为()0.0050.021020050+⨯⨯=，所以非城镇优良学生共为503515-=，则非城镇不优良学生人数为501535-=，代入数据计算()222001511535350.889 2.7065015050150K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关； （2）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为5012004p ==， 记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()13344E X =⨯=，故成绩为“优良”人数的期望值为34．【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.19．如图，在三棱锥-P ABC 中，ABC 为直角三角形，90ACB ∠=，PAC △是边长为4的等边三角形，BC =P AC B --的大小为60，点M 为P A 的中点．（1）请你判断平面P AB 垂直于平面ABC 吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由； （2）求CM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）3913． 【分析】（1）平面PAB ⊥平面ABC ；分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，即60PDE ∠=，进而根据勾股定理得PE ED ⊥，根据AC ⊥平面PED 得AC PE ⊥，进而可得答案；（2）根据题意，以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABC 理由如下：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则//DE BC ．因为90ACB ∠=，3BC = 所以DE AC ⊥，3DE因为PAC △是边长为4的等边三角形， 所以PD AC ⊥，23PD =于是，PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，则60PDE ∠=，在PDE △中，由余弦定理，得222cos603PE PD DE PD DE =+-⋅=， 所以222=PD PE ED +， 所以PE ED ⊥．因为ED AC ⊥，PD AC ⊥，ED PD D =， 所以AC ⊥平面PED ， 所以AC PE ⊥． 又ACED D =，所以PE ⊥平面ABC因为PE ⊂平面ABC ． 所以平面PAB ⊥平面ABC ．（2）以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,23,0)B ，(4,0,0)A ，3,0)E ，3,3)P ，33)2M 332CM →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,23,0CB →=，()3,3CP →=．设平面PBC 的一个法向量为()111,,n x y z →=， 则00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111230,2330x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取13x =，则()3,0,2n →=-．所以CM 与平面PBC 所成角的正弦值sin cos,CM nθ→→===【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面所成角的求解，考查空间想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力，是中档题.本题第一问在探究过程中，先假设平面PAB⊥平面ABC，再根据逻辑关系推理论证，关键在于分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，构造辅助线.20．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>F，上顶点为A，左顶点为B，且||||10FA FB⋅=+（1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C-，()4,0D，点P在椭圆上，直线PC，PD分别与椭圆交于另一点M，N，若CP CMλ=，DP DNμ=，求证：λμ+为定值.【答案】（1）221105x y+=；（2）证明见解析.【分析】（1）先表示出,FA FB，然后计算出FA FB⋅，结合离心率公式cea=和222a b c=+求解出22,a b的值，则椭圆方程可求；（2）设出,,P M N的坐标，通过将向量共线表示为坐标关系可得到,λμ的关系式①，再通过点差法分别求得,λμ满足的关系式②和关系式③，通过将关系式②和③作差可得,λμ的关系式④，再结合关系式①可证明λμ+为定值.【详解】解：()1设(),0F c.由题意得||FA a=，||FB a c=+，ca=，222a b c=+，()||||10FA FB a a c∴⋅=+=+解得210a=，25b=.∴椭圆的方程为221105x y+=.()2设()00,P x y，()11,M x y，()22,N x y.由CP CMλ=，DP DNμ=，得()()00114,4,x y x yλ+=+，()()00224,4,x y x yμ-=-，()010141,,x xy yλλλ⎧-=-∴⎨=⎩，()020241,,x xy yμμμ⎧-=-⎨=⎩()1284x xλμλμ∴-=-+，①又点P ，M ，N 均在椭圆上，由220022222111,105,105x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且01,y y λ=得()()01012110x x x x λλλ-+=-， ()01512x x λλ∴+=-+.②同理，由220022222221,105,105x y x y μμμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且02,y y μ=得()()22002110x x x x μμμ-+=-()02512x x μμ∴+=+.③ 联立②③得()12552x x λμλμ-=-+-.④ 联立①④得263λμ+=， λμ∴+为定值263. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对于向量共线的坐标表示以及点差法求解参数与坐标之间的关系，每一步都是通过构建关于,λμ的方程，结合联立方程的思想完成证明. 21．已知函数()ln a xf x bx x=+在1x =处的切线方程为1y x =-. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x kx ≤在区间()0,∞+上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【答案】（1）()ln x f x x =；（2）1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析. 【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，由题意得出()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()y f x =的解析式； （2）利用参变量法得出2ln xk x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln x g x x=，利用导数求得函数()y g x =在区间()0,∞+上的最大值，即可得出实数k 的取值范围； （3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，变形得出42ln 112x x e x≤⋅，利用放缩法得出()42ln 111112221n n n e n e n n ⎛⎫≤⋅<-≥ ⎪-⎝⎭，依次得到4ln 2111222e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，()4ln 111221n n n e n n ⎛⎫<-≥ ⎪-⎝⎭，利用不等式的可加性即可证得所证不等式成立. 【详解】（1）()ln a xf x bx x =+，该函数的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x b x -'=+， 由题意可知，点()()1,1f 在直线1y x =-上，()10f ∴=， 由题意得()()1011f b f a b ⎧==⎪⎨=+'=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()ln x f x x ∴=；（2）对任意的()0,x ∈+∞，由()f x kx ≤，得ln x kx x≥，即2ln xk x ≥，令()2ln xg x x =，其中0x >，则()max k g x ≥， ()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，可得x =所以，函数()y g x =在x ()max 12g x g e==. 12k e ∴≥，因此，实数k 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，则42ln 112x x e x≤⋅， 当2n ≥时，42ln 11111221n n e n e n n ⎛⎫<⋅=- ⎪-⎝⎭， 4ln 2111222e ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，4ln 11121n n e n n ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭， 上述不等式全部相加得444ln 2ln 3ln 11112322n n e n e⎛⎫+++<-<⎪⎝⎭. 因此，对任意的2n ≥，444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数解析式、利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查运算求解能力与推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）由题意，先设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，将3πθ=代入直线l 的极坐标方程，得到2ρ；将3πθ=代入圆的极坐标方程，得到1ρ，再由12ρρ=-PQ ，即可得出结果.【详解】（1）因为，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：()2211x y -+=；把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y -+=，化简得：2cos ρθ=，即为此圆的极坐标方程； （2）设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，因为直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=，将3πθ=代入()sin ρθθ=12ρ⎫=⎪⎪⎝⎭23ρ=； 将3πθ=代入2cos ρθ=得12cos13πρ==，所以122PQ ρρ=-=．【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型. 23．设()|1||3|f x x x =+--．（1）对一切x R ∈，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知0,0,()a b f x >>最大值为M ，(2)2a b M ab +=，且224128a b +≤，求证：216a b +=． 【答案】（1）(,4]-∞-；（2）证明见解析.【分析】（1）由零点分段法可得4,1()22,134,3x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，求得()f x 的最小值后，即可得实数m 的取值范围；第 21 页 共 21 页 （2）由题意转化条件得2(2)1a b ab+=，利用基本不等式可得216a b +≤、216a b +≥，即可得证. 【详解】（1）由题意4,1()1322,134,3x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≥⎩, 所以[]min ()4f x =-，所以，实数m 的取值范围是(,4]-∞-；（2）证明：由（1）知，4M =，由(2)2a b M ab +=得2(2)1a b ab+=，224128a b +≤，所以216a b +≤≤=，当且仅当2b a =，且224128a b +=，即4a =，8b =时，等号成立；2(2)42(2)242416a b a b a b a b ab b a ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4a b b a =，且2(2)1a b ab+=，即4a =，8b =时，等号成立； 综上所述，216a b +=．【点睛】本题考查了绝对值不等式恒成立问题的解决，考查了利用基本不等式证明不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.。
江苏省南京市南京师大附中2025届数学高三第一学期期末学业质量监测试题含解析
江苏省南京市南京师大附中2025届数学高三第一学期期末学业质量监测试题 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( )A ．−8B ．−6C ．6D ．82．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ）A ．28B ．14C ．7D ．2 3．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．3(0,]4 C ．3[,1]4 D ．[1,)+∞4．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．85．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ） A．5 B．7 C- D．9-6．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ） A ．[2，4] B ．[4，6] C ．[5，8] D ．[6，7]7．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24B ．36C ．48D ．64 8．若函数()2x f x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 9．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<10．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37 D ．92811．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥一六八中学等学校2024届高三上学期名校期末联合测试数学试题及答案
2024届高三名校期末测试数学考生注意：1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,2,U A B xx k k ====∈Z ∣，则U B A ⋂=ð（）A.{}4 B.{}2,4 C.{}1,2 D.{}1,3,52.复数31i i ⎛⎫- ⎪⎝⎭的虚部为（）A.8B.-8C.8iD.8i-3.已知向量()()0,2,1,a b t =-= ，若向量b 在向量a 上的投影向量为12a - ，则ab ⋅= （）A.2B.52-C.-2D.1124.在ABC 中，“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A.4B.14-C.4D.146.,,,,A B C D E 五人站成一排，如果,A B 必须相邻，那么排法种数为（）A.24B.120C.48D.607.若系列椭圆()22*:101,n n n C a x y a n +=<<∈N 的离心率12nn e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n a =（）A.114n⎛⎫- ⎪⎝⎭B.112n⎛⎫- ⎪⎝⎭8.已知等差数列{}n a （公差不为0）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，如果关于x 的实系数方程21003100310030x S x T -+=有实数解，那么以下1003个方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有（）个A.499B.500C.501D.502二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）9.已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）A.中位数不变B.平均数不变C.方差不变D.第40百分位数不变10.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，左､右顶点分别为,,A B O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左､右两支分别交于,P Q 两点，与其两条渐近线分别交于,R S 两点，则下列命题正确的是（）A.存在直线l ，使得AP ∥ORB.l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C.若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值D.若直线l 的方程为()2,22y x a RS SB =--= ，则双曲线C 11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P ABC -容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A.直线AE 与PB 所成的角为π2B.ABE 的周长最小值为4+C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为3D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部进入），则小球半径的最大值为25三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.小于300的所有末尾是1的三位数的和等于__________.13.已知函数()()ln 11axf x x x =+-+，若()0f x 恒成立，则a =__________.14.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，点P 为抛物线上的动点，点4,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点P 的距离AP 的最小值为2，则p =__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4,cos 0b c a C b ==+=.（1）求a ；（2）已知点D 在线段BC 上，且3π4ADB ∠=，求AD 长.16.（15分）甲､乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为0.7,0.2,0.1，乙击中8环､9环､10环的概率分别为0.6,0.2,0.2，且甲､乙两人射击相互独立.（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；（2）若独立进行三场比赛，其中X 场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求X 的分布列与数学期望.17.（15分）如图，圆台12O O 的轴截面为等腰梯形11111,224A ACC AC AA A C ===，B 为底面圆周上异于,A C 的点.（1）在平面1BCC 内，过1C 作一条直线与平面1A AB 平行，并说明理由.（2）设平面1A AB ⋂平面11,,C CB l Q l BC =∈与平面QAC 所成角为α，当四棱锥11B A ACC -的体积最大时，求sin α的取值范围.18.（17分）已知函数()()ln 1f x x ax x =--.（1）当0a <时，探究()f x '零点的个数；（2）当0a >时，证明：()32f x -.19.（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点,Q P 的距离之比(0,1),MQ MPλλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=，定点分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为12e =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于,B D （点B 在x 轴上方），点,S T 是椭圆C 上异于,B D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分BTD ∠.①求BS DS的取值范围；②将点S F T ､､看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.2024届高三名校期末测试·数学参考答案､提示及评分细则1.【答案】A【解析】{}{}{}U 1,2,3,4,5,2,3,1,4,5U A A ==∴= ð，又{}2,B x x k k ==∈Z ∣{}U 4B A ∴⋂=ð.故选：A.2.【答案】B【解析】因为331i (i i)8i i ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭.故选：B.3.【答案】C【解析】由题b 在a 上的投影向量为()()2cos 0,||a b a ab t a a θ⋅⋅⨯== ，又()10,1,12a t -=∴= ，即()()1,1,01212b a b =∴⋅=⨯+-⨯=-.故选：C.4.【答案】A【解析】在ABC 中，πA B C ++=，则πB C A =--，充分性：当π2C =时，ππ,sin sin cos 22B A B A A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，2222sin sin sin cos 1A B A A +=+=，所以“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的充分条件；必要性：当22sin sin 1A B +=时，取ππππ,121222A B A ==+=+，此时满足2222ππsin sin sincos 11212A B +=+=，但ππ32C =≠，所以“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的不必要条件.综上所述，“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的充分不必要条件.故选：A.5.【答案】B【解析】圆22410xy x +--=圆心()2,0C ，半径为r =；设()0,2P -，切线为PA PB ､，则PC PBC == 中，sin2BC PC α==，所以21cos 12sin 24αα=-=-.故选：B.6.【答案】C【解析】将,A B 看成一体，,A B 的排列方法有22A 种方法，然后将A 和B 当成一个整体与其他三个人一共4个元素进行全排列，即不同的排列方式有44A ，根据分步计数原理可知排法种数为2424A A 48=，故选：C.7.【答案】A【解析】椭圆n C 可化为22:111n x y a +=.因为01n a <<，所以离心率12nn ce a⎛⎫=== ⎪⎝⎭，解得：114nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：A.8.【答案】D【解析】由题意得：210031003410030S T -⨯ ，其中()110031003502100310032a a S a +==，()110031003502100310032b b T b +==，代入上式得：250250240a b - ，要方程()201,2,3,,1003i i x a x b i -+== 无实数解，则240i i a b -<，显然第502个方程有解.设方程2110x a x b -+=与方程2100310030x a x b -+=的判别式分别为11003Δ,Δ，则()()()22221100311100310031100311003ΔΔ444a b a b a a b b +=-+-=+-+()()()22110035022502502502502242824022a a ab b a b +-⨯=-=- ，等号成立的条件是11003a a =，所以11003Δ0,Δ0<<至多一个成立，同理可证：21002Δ0,Δ0<<至多一个成立，501503Δ0,Δ0<< 至多一个成立，且502Δ0 ，综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多501个，故有实数解的方程至少有502个.故选：D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.【答案】AD【解析】将原数据按从小到大的顺序排列为12,16,22,24,25,31,33,35,45，其中位数为25，平均数是()121622242531333545927++++++++÷=，方差是2222222221824(15)(11)(5)(3)(2)4681899⎡⎤⨯-+-+-+-+-++++=⎣⎦，由40%9 3.6⨯=，得原数据的第40百分位数是第4个数24.将原数据去掉12和45，得16,22,24,25,31,33,35，其中位数为25，平均数是()1861622242531333577++++++÷=，方差是222222217432181131455919167777777749⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-+-+++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由40%7 2.8⨯=，得新数据的第40百分位数是第3个数24，故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A ，D 正确，B ，C 错误.故选：AD.10.【答案】BD【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A 项判断；设直线:l y kx t =+分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出,P Q 和,R S 坐标，从而可对B C ､项判断；根据2RS SB =，求出b =，从而可对D 项判断.【解析】对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线:l y kx t =+，与双曲线联立22221y kx tx y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得：()()22222222220b a k x a ktx a t a b ---+=，设()()1122,,,P x y Q x y ，由根与系数关系得：2222212122222222,a kt a b a t x x x x b a k b a k++==---，所以线段PQ 中点2221212222222,,22x x y y a kta k t N tb a k b a k ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，将直线:l y kx t =+，与渐近线b y x a =联立得点S 坐标为,atbt S b ak b ak ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，将直线:l y kx t =+与渐近线b y x a =-联立得点R 坐标为,atbt R b ak b ak -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以线段RS 中点222222222,a kt a k tM t b a k b a k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合，所以2PQ RSPR SQ -==，故B 项正确；对于C 项：由B 项可得22112,,22ORBR ab b R S OB y OB b ak b ak b ak -⎛⎫=⨯=⎪+++⎝⎭ ，因为OB 为定值，当k 越来越接近渐近线b y x a =-的斜率ba-时，2b b ak +趋向于无穷，所以ORB S 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线by xa =，解得2S ，联立直线l 与渐近线by xa =-，解得2R 由题可知，2RS SB = ，所以()2S R B S y y y y -=-即32S R B y y y =+，=，解得b =，所以e =D 项正确.故选：BD.11.【答案】ACD【解析】A 选项，连接AD ，由于D 为PB 的中点，所以,PB CD PB AD ⊥⊥，又,,CD AD D AD CD ⋂=⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ，所以PB AE ⊥，故A 正确；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 在同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为AB 的长，由于4AD CD AC ===，2222221cos 23CD AD AC ADC CD AD ∠+-===⋅，π22cos cos sin 23ADB ADC ADC ∠∠∠⎛⎫=+=-=-⎪⎝⎭，所以222222cos 2221633AB BD AD BD AD ADB ∠⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，故AB ABE ==的周长最小值为4+B 错误；C 选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF 上，过点O 作ON PM ⊥于点N ，因为2,4AM AB ==，所以BM ==，同理PM =，则133MF BM ==，故3PF ==，设OF ON R ==，故3OP PF OF R =-=-，因为PNO PFM ∽，所以ON OP FM PM =3233R-=，解得63R =，C正确；D 选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r ，四个小球球心连线是棱长为2r 的正四面体Q VKG -，由C 选项可知，其高为263r ，由C 选项可知，PF 是正四面体P ABC -的高，PF 过点Q 且与平面VKG 交于S ，与平面HIJ 交于Z ，则26,3QS r SF r ==，由C 选项可知，正四面体内切球的半径是高的14，如图正四面体P HIJ -中，,3QZ r QP r ==，正四面体P ABC -高为2633r r r++43=，解得25r =，D 正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.【答案】3920【解析】小于300的所有末尾是1的三位数是101,111,121,,291 ，是以101为首项，以10为公差的等差数列，所以小于300的所有末尾是1的三位数的和为()202010129139202S ⨯+==，故答案为:3920.13.【答案】1【解析】由题意得()()22111(1)(1)x a af x x x x -'-=-=+++，①当0a 时，()0f x '>，所以()f x 在()1,∞-+上单调递增，所以当()1,0x ∈-时，()()00f x f <=，与()0f x 矛盾；②当0a >时，当()1,1x a ∈--时，()()0,f x f x '<单调递减，当()1,x a ∞∈-+时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()()min ()1ln 1f x f a a a =-=--，因为()0f x 恒成立，所以()ln 10a a -- ，记()()()11ln 1,1,ag a a a g a a a-=--=='-当()0,1a ∈时，()()0,g a g a '>单调递增，当()1,a ∞∈+时()()0,g a g a '<单调递减，所以()max ()10g a g ==，所以()ln 10a a -- ，又()ln 10a a -- ，所以()ln 10a a --=，所以1a =.14.【答案】24,12【解析】设()()2222222,,||424428342222p p p p P x y AP x y x x px x p x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2234822p x p p⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（i ）当3402p -，即803p < 时，2||AP 有最小值282p p -，即AP2=，解得2p =823+>，故2p =-.（ii ）当3402p -<，即83p >时，2||AP 有最小值242p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即AP 有最小值422p -=，解得4p =或12.综上，p的值为24,12.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.【答案】（1）a =（2）455【解析】（1）cos 0a C b +=，由余弦定理得22202a b c a b ab+-⋅+=，即22230,4a b c b c +-===，则可得a =；（2）由余弦定理2225cos 25b a c C ab +-===-，3ππsin ,544C ADB ADC ∠∠∴===∴= ，则在ADC 中，由正弦定理可得sin sin AD ACC ADC∠=，sin sin 52AC CAD ADC∠⋅∴==.16.【答案】（1）0.2（2）分布列见解析期望为0.6【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件B ，则事件B 包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，则()0.20.60.10.60.10.20.2P B =⨯+⨯+⨯=.（2）由题可知X 的所有可能取值为0,1,2,3，由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则()3,0.2X B ~，所以()()0312330C 0.2(10.2)0.512,1C 0.2(10.2)0.384P X P X ==⨯⨯-===⨯⨯-=，()()()22330332C 0.210.20.096,3C 0.2(10.2)0.008P X P X ==⨯⨯-===⨯⨯-=，故X 的分布列为X 0123P0.5120.3840.0960.008所以()30.20.6E X =⨯=.17.【解析】（1）取BC 中点P ，作直线1C P ，直线1C P 即为所求，取AB 中点H ，连接1,A H PH ，则有PH ∥1,2AC PH AC =，如图，在等腰梯形11A ACC 中，1112A C AC =.HP ∴∥1111,,A C HP A C =∴四边形11A C PH 为平行四边形.1C P ∴∥1A H ，又1A H ⊂平面11,A AB C P ⊄平面1A AB ，1C P ∴∥平面1;A AB（2）由题意作BO '⊥平面11A ACC ，即BO '为四棱锥11B A ACC -的高，在Rt ABC 中，22190,22BA BC BA BC ABC BO AC AC AC ∠⋅+=='=，当且仅当BA BC =时取等号，此时点O '为2O 重合，梯形11A ACC 的面积S 为定值，1113B A ACC V S BO -=⋅'，∴当BO '最大，即点O '与2O 重合时四棱椎11B A ACC -的体积最大，又22,2BO AC BO ⊥=，以2O 为原点，射线2221,,O A O B O O 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，在等腰梯形11A ACC 中，111224AC AA A C ===，此梯形的高h =11A C 为OAC的中位线，(()()((()11,2,0,0,0,2,0,,1,,2,2,0O A B C BC AB ∴-=--=-，(()20,,2,0,0BO O A =-=，设,R BQ BO λλ=∈，则()2,22AQ AB BQ AB BO λλ=+=+=-- ，设平面QAC 的一个法向量(),,n x y z = ，则()2202220n O A x n AQ x y z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，取111,1),sin cos ,||n BC n n BC n BC λα⋅=-∴===，令1t λ=+，则sin α=0t =时，sin 0α=，当0t ≠时，0sin 4α<=，当且仅当75t =，即25λ=时取等号，综上0sin 4α .18.【解析】（1）()21212ax ax f x ax a x x-++=-+='，定义域为()0,∞+.二次函数221ax ax -++的判别式为28a a +，对称轴为14x =.当0a <时，二次函数221ax ax -++的图象开口向上，①280a a +<，即80a -<<时，()f x '在()0,∞+上无零点；②280a a +=，即8a =-时，()f x '在()0,∞+上有1个零点14；③280a a +>，即8a <-时，()f x '在()0,∞+有2个不同的零点；综上，当80a -<<时，()f x '在()0,∞+上无零点；当8a =-时，()f x '在()0,∞+上有1个零点；当8a <-时，()f x '在()0,∞+有2个不同的零点；（2）由（1）分析知，当0a >时，()f x '在()0,∞+上有1个零点，设零点为0x ，则20012ax ax +=，解得，04a x a=，进一步，当00x x <<时，()0f x '>，当0x x >时，()0f x '<，所以()()()20000000ln 1ln f x f x x ax x x ax ax =--=-+ ()0000011ln ln 22ax ax x ax x +-=-+=+※易证ln 1x x - ，所以()()()()000822133341222222a a a x ax a x +++--+=-==※ .19.【答案】（1）22186x y +=（2）①1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭②22y x =-【解析】（1）方法①特殊值法，令()222,0,22c c M a a -+±=-+，且2a c =，解得22c =.22228,6a b a c ∴==-=，椭圆C 的方程为22186x y +=，方法②设(),M x y，由题意MF MAλ==（常数），整理得：2222222222011c a a c x y x λλλλ--+++=--，故222222220141c a a c λλλλ⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=-⎪-⎩，又12c a =，解得：a c ==.2226b a c ∴=-=，椭圆C 的方程为22186x y +=.（2）①由1sin 21sin 2SBFSDF SB SF BSF SB S S SD SD SF DSF ∠∠⋅⋅==⋅⋅ ，又SBF SDF BF S S DF = ，BS BF DSDF∴=（或由角平分线定理得），令BF DFλ=，则BF FD λ=，设()00,D x y ，则有2203424x y +=，又直线l 的斜率0k >，则()0001,B B x x x y y λλλ⎧=+-⎪∈-⎨=-⎪⎩代入2234240x y +-=得：)22200314240x y λλλ⎤+-+-=⎦，即()()01530x λλ+-=，10,,13λλ⎛⎫>∴=⎪⎝⎭.②由（1）知，SB TB BF SDTDDF==，由阿波罗尼斯圆定义知，,,S T F 在以,B D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为1C ，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有BF NB DFND=，即22BF r BF DFr DF-=+，解得：111r BF DF=-.又1281ππ8C S r ==圆，故119r BF DF =∴-=又012DF x ==，0000052111112111933222BF DF DF DF x x x λ--∴-=-===⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得：00,,242x y k =-=-∴=∴直线l的方程为22y x =-.。
北京市海淀区2024届高三上学期期末练习数学试题含答案
海淀区2023-2024学年第一学期期末练习高三数学2024.01（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A .i- B.1- C.3i - D.3-【答案】D 【解析】【分析】由复数对应的点求出复数1z ，2z ，计算12z z ⋅，得复数12z z ⋅的虚部.【详解】在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则112z i =+，22z i =-+，得()()1212i 2i 43i z z ⋅=+-+=--，所以复数12z z ⋅的虚部为3-.故选：D3.已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则=a （）A.1 B.1- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】由直线平行的充要条件列方程求解即可.【详解】由题意直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，所以()11202a ⨯--⨯=，解得1a =-.故选：B.4.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A. B.4C.5D.【答案】D 【解析】【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点M 的坐标，再利用两点间的距离公式求出MO .【详解】设()00,Mxy ，2008y x =，又因为024MF x =+=，所以2002,16x y ==，故MO ===故选：D.5.在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为π4，则该四棱锥的体积为（）A.4B.2C.43D.23【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到PQH ∠为二面角P CD A --的平面角，所以π4PQH ∠=，从而求出四棱锥的高，由棱锥体积公式求出答案.【详解】连接,AC BD ，相交于点H ，则H 为正方形ABCD 的中心，故PH ⊥底面ABCD ，取CD 的中点Q ，连接,HQ PQ ，则,HQ CD PQ CD ⊥⊥，112HQ AD ==，故PQH ∠为二面角P CD A --的平面角，所以π4PQH ∠=，故1PH HQ ==，所以该四棱锥的体积为21433AB PH ⨯⋅=.故选：C6.已知圆22:210C x x y ++-=，直线()10mx n y +-=与圆C 交于A ，B 两点.若ABC 为直角三角形，则（）A.0mn =B.0-=m nC.0m n +=D.2230m n -=【答案】A 【解析】【分析】由直线与圆相交的弦长公式AB =.【详解】因为圆22:210C x x y ++-=，圆心为()1,0C -，半径为r =CA CB ==因为ABC为直角三角形，所以2AB ==,设圆心()1,0C -到直线()10mx n y +-=的距离为d，d ==由弦长公式AB =1d =1=，化简得0mn =.故选：A.7.若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A.10B.eC.2D.54【答案】D 【解析】【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需函数()xf x a =与直线y x =相交即可.【详解】对比选项可知我们只需要讨论1a >时，关于x 的方程log 0xa x a -=的解的情况，若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，即()xf x a =与()log a g x x =的图像有交点，因为()xf x a =与()log a g x x =互为反函数，所以()xf x a =与()log a g x x =的图像关于直线对称，如图所示：设函数()xf x a =与直线y x =相切，切点为()00,P x y ，()ln xf x a a '=，则有000ln 1xx a a a x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得：0ex a =⎧⎪⎨=⎪⎩，由图像可知，当(a ∈时，曲线()x f x a =与直线y x =有交点，即()xf x a =与()log a g x x =的图像有交点，即方程log 0xa x a -=有解.故选：D.8.已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0αα->”是“120k k >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意首项得12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.【详解】由题意两直线均有斜率，所以12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，若取122ππ,33αα==，则有()1202ππ1332cos cos αα⎛=⎫-= ⎪⎭->⎝，但122ππtan tan 3033k k ==-<；若12121212sin sin tan tan 0cos cos k k αααααα==>，又12sin sin 0αα>，所以12cos cos 0αα>，而()121212cos cos cos sin sin 0αααααα-=+>，综上所述，“()12cos 0αα->”是“120k k >”的必要而不充分条件.故选：B.9.已知{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和.若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A.{}n a 是递增数列B.{}n a 是递减数列C.{}n S 是递增数列D.{}n S 是递减数列【答案】B 【解析】【分析】先根据等比数列前n 项和()111nn a q S q-=-,结合11na Sq<-恒成立，得出,a q 的取值范围，得到{}n a 是递减数列.【详解】{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和()111nn a q S q-=-,()1111111n n n a q a a S S q q q-<∴=<--- ，恒成立,101n a q q ⨯>-恒成立,若0q <，则n q 可能为正也可能为负，不成立所以10,01na q q>>-,当{}10,01,n a q a ><<是递减数列,当10,1,a q {}n a 是递减数列,故选:B .10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成.设1BC =，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3θ=-，tan 2θ=A. B.332C.922D.924【答案】D 【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】由于10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，所以10928GHI θ'∠=≈ ,连接G I ,取其中点为O ，连接OH ,所以2224tan2GO OH θ===,由1BC =，且多边形ABCDEF为正六边形，所以2sin 60AC AB == ，由于GI AC =,所以=44OH =，故一个菱形的面积为163222244GHI S GI OH =⨯⨯⋅= =，因此上顶的面积为344⨯=，故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在51x x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为__________.【答案】5-【解析】【分析】由二项式的展开式的通项进行求解即可.【详解】51x x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为()53521551C 1C rrrr rrr T x x x --+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭令5312r-=得1r =，所以125C 5T x x =-⋅=-，x 的系数为5-.故答案为：5-.12.已知双曲线221x my -=30y -=,则该双曲线的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】由双曲线方程可得其渐近线方程,从而得关于m 的方程,再结合离心率公式求解即可.【详解】由题意得0m >，易知双曲线221x my -=，即2211y x m-=的渐近线方程为1,y m =13,m=得13,m =所以该双曲线的离心率11 2.c e a m==+=故答案为：2.13.已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=__________；点C 到直线AB 的距离为__________.【答案】①.1-②.55755【解析】【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算公式以及点到直线的距离公式即可求解.【详解】以B 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题意()()()2,1,0,0,1,3A B C -，所以()()2,11,3231AB BC ⋅=-⋅=-=-，而直线AB 的表达式为12y x =-，即20x y +=所以点C 到直线AB 的距离为21235512d +⨯==+.故答案为：1-，55.14.已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数,公差为d ,则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和()1,2,n = 的一组1a ,d 的值为1a =__________,d =__________.【答案】①.1②.1（答案不唯一）【解析】【分析】设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,根据题意可得123,,b b b .根据2132,b b b =+结合等差数列的通项公式,可得关于1,a d 的方程,解方程即可.【详解】设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,则1,n n n S a a +=112223334,,.S a a S a a S a a ∴===又{}n a 是公差为d 的等差数列,11122212312233234233,2,2,b S a a b S S a a a a da b S S a a a a da ∴===-=-==-=-=2132,b b b =+ 即()()()21231111222,422,da a a da d a d a a d d a d ⨯=+∴+=+++整理得()110,a a d -=由题知110,.a a d >∴=故满足题意的一组1a ,d 的值为11a =,1d =.（答案不唯一）故答案为：1;1（答案不唯一）15.已知函数()cos f x x a =+.给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2+-=f x f x a ；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】取0a =可判断①，取1a =化简后可判断②，先化简，取πx =可判断③，取π2T =可判断④.【详解】对于①，当0a =时()cos f x x =，其最大值为1，最小值为0，()f x 的最大值与最小值的差为1，故①错误；对于②，当1a =时，()cos 11cos =+=+f x x x ，()()π-cos π-11cos 1cos =+=-=-f x x x x ，因此对任意x ∈R ，()()π22+-==f x f x a ，故②正确；对于③，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，当πx =时ππ22⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x a ，故③错误；对于④，当0a =时()cos f x x =，取π2T =，0π=4x ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+，故正确.故答案为：②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥.（1）求证：1//C M 平面11ADD A ；（2）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）69【解析】【分析】（1）连接1AD ，由四棱柱性质可得11MAD C 为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得1//C M 平面11ADD A ；（2）由面面垂直的性质以及线面垂直判定定理可求得1,,AD AB AA 三条棱两两垂直，建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得结果.【小问1详解】连接1AD ，如下图所示：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =,因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =，所以11C D AM ∥，11C D AM =,所以四边形11MAD C 为平行四边形，所以11MC AD ∥，因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ，【小问2详解】在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A ⊥⋂平面ABCD AB =；所以1AA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，即可得1AA AD ⊥，因为1AD B M ⊥，11,AA B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ，而AB ⊂平面11ABB A ，即AD AB ⊥；如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M .所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =.设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z =，则111020n C B x z n MC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2x =，则1y =-，2z =，于是()2,1,2n =-；因为111cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C所成角的正弦值为9.17.在ABC 中，2cos 2c A b a =-.（1）求C ∠的大小；（2）若c =ABC 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC的面积为；条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】17.π318.不能选①，选②或③，答案均为1【解析】【分析】（1）由正弦定理及sin sin cos cos sin B A C A C =+得到1cos 2C =，结合()0,πC ∈，得到π3C =；（2）选①，由三角形面积和余弦定理得到2211a b +=，由222a b ab +≥推出矛盾；选②，根据三角恒等变换得到π6A =，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC ，求出中线；选③，由余弦定理得到223a b ab +-=，设AC 边上的中线长为d ，再由余弦定理得到AC 边上的中线的长为1.【小问1详解】由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-.①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+.②由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠.所以1cos 2C =.因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】选①，ABC 的面积为即1sin 2ab C =，即4ab =8ab =，因为c =222cos 2a b c C ab +-=，即2231162a b +-=，解得2211a b +=，由基本不等式得222a b ab +≥，但1128<⨯，故此时三角形不存在，不能选①，选条件②：1sin sin 2B A -=.由（1）知，π33ππ2B A A ∠=--∠=-∠.所以2π1sin sin sin sin sin sin 322B A A A A A A⎛⎫-=--=+-⎪⎝⎭31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭.因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.所以π3π6A -=，即π6A =.所以ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以32πsin sin 3AB AC C ===.所以AC 边上的中线的长为112AC =.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223122a b ab +-=，即223a b ab +-=.设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=.所以AC 边上的中线的长为1.18.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系.【答案】（1）310（2）分布列见解析，43（3）()()()213D Y D Y D Y >>【解析】【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率；（2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。
安徽省六安市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题含答案
六安市2024年高三教学质量检测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log 1,A x x x =≤∈Z，{}220B x xx =+-<，则A B = （）A.{}0,1 B.{}2,1-- C.{}1,0- D.{}1-【答案】D 【解析】【分析】解出对数不等式和一元二次不等式，再根据交集含义即可.【详解】2log ||1x ≤，即22log ||log 2x ≤，则22x -≤≤且0x ≠，则{}2,1,1,2A =--，{}21B x x =-<<，所以{}1A B ⋂=-.故选：D .2.已知复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为()2,2-，则复数1z的虚部为（）A.1-B.i- C.14-D.1i 4-【答案】C 【解析】【分析】得到22i z =+，利用复数除法法则得到111i 44z =-，求出虚部.【详解】由已知得22i z =+，()()122i 1i 11i 22i 22i 444z --===-+-，则复数1z 的虚部为14-.故选：C3.已知向量a =，向量(1,b =- ，则a 与b 的夹角大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量a =，(1,b =-，则cos ,222a b 〈〉==-⨯ ，而0,180a b ︒≤〈〉≤︒ ，所以a，b的夹角为150︒.故选：D4.等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，若()83124m S a a a =++，则m =（）A.11B.12C.13D.14【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式与通项公式转化为基本量计算即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以81828S a d =+，则有()11118282214a d a d a m d a +=+++-+⎡⎤⎣⎦，即()141d m d =+，又0d ≠，所以114m +=，所以13m =.故选：C.5.函数()e 4,1ln ,1x x x f x x x ⎧+-<=⎨≥⎩，若()()()21105f a f a f +≤--，则实数a 的取值范围是（）A.{}1- B.(],1-∞-C.[)1,-+∞ D.11,e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】原不等式变形为()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】当1x <时，()e 4xf x x =+-，因为e ,4x y y x ==-在(),1∞-上单调递增，此时()f x 单调递增，当1x ≥时，易知()ln f x x =单调递增，且当1x =时，1e 14e 30ln1+-=-<=，则()f x 在R 上单调递增，因为211a +≥，则()()()()()222215ln 1ln5ln5151f a f a a f a ⎡⎤++=++=+=+⎣⎦，所以由()()()21105f a f a f +≤--得()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，所以()25110a a +≤-，解得1a =-.故选：A .6.已知ππcos 2cos 63αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.35 B.45C.45-D.35-【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式结合二倍角公式，利用齐次式计算可得.【详解】因为πππ632αα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππsin 2cos 33αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222πππ2sin cos 2tan 2πππ4333sin 22sin cos πππ3335sin cos tan 1333ααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=++=== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.7.圆()222:0O x y r r +=>上一点1,22A r r ⎛⎫⎪⎝⎭关于x 轴的对称点为B ，点E ，F 为圆O 上的两点，且满足EAB FAB ∠=∠，则直线EF 的斜率为（）A.B.3C.3D.13【答案】B 【解析】【分析】根据圆的性质以及斜率乘积与直线垂直的关系即可.【详解】由EAB FAB ∠=∠知BOE BOF ∠=∠，所以OB EF ⊥，而212OB OArk k r =-=-=，∴3EF k =.故选：B.8.某种生命体M 在生长一天后会分裂成2个生命体M 和1个生命体N ，1个生命体N 生长一天后可以分裂成2个生命体N 和1个生命体M ，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M 的生长开始计算，记n a 表示第n 天生命体M 的个数，n b 表示第n 天生命体N 的个数，则11a =，10b =，则下列结论中正确的是（）A.413a = B.数列{}nnb a 为递增数列C.5163ni b==∑ D.若{}n n a b λ+为等比数列，则1λ=【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出递推公式，进而求出数列{},{}n n a b 的通项公式，再逐项分析判断即得.【详解】依题意，12n n n a a b +=+，12n n n b b a +=+，则113()n n n n a b a b +++=+，而111a b +=，因此数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，13n n n a b -+=，又11n n n n a b a b ++=--，因此111n n a a b b -=-=，于是1312n n a -+=，1312n n b --=，对于A ，3431142a +==，A 错误；对于B ，11131213131n n n n n b a ----==-++，显然数列12{}31n -+是递减数列，因此{}n n b a 为递增数列，B 正确；对于C ，51014134058ni b==++++=∑，C 错误；对于D ，1122331,2,54a b a b a b λλλλλ==+=++++，由{}n n a b λ+为等比数列，得2(2)54λλ+=+，解得1λ=或1λ=-，当1λ=时，13n n n b a λ-+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，当1λ=-时，1n n a b λ+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，因此当数列{}n n a b λ+是等比数列时，1λ=或1λ=-，D 错误.故选：B【点睛】思路点睛：涉及求数列单调性问题，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答，也可以借助函数单调性进行判断.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.ln y x =B.ln y x= C.2y x -= D.e e x xy -=+【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，根据函数奇偶性得到()ln f x x =为偶函数，且在()0,∞+单调递增，A 正确；B 不满足奇偶性，C 不满足单调性；D 选项，满足为偶函数，且求导得到函数在()0,x ∈+∞上单调递增，得到答案.【详解】A 选项，()ln f x x =定义域为()(),00,x ∈-∞⋃+∞，且()()ln ln f x x x f x -=-==，故()ln f x x =为偶函数，且()0,x ∈+∞时，ln y x =单调递增，故A 正确；B 选项，ln y x =的定义域为()0,∞+，故不是偶函数，故B 项错误；C 选项，()0,x ∈+∞时，2y x -=单调递减，故C 项错误；D 选项，()e exxg x -=+的定义域为R ，且()()e e x xg x g x --=+=，故()e exxg x -=+是偶函数，且()0,x ∈+∞时，()e e0xxg x -'=->，函数单调递增，故D 项正确.故选：AD10.地震释放的能量E 与地震震级M 之间的关系式为lg 4.8 1.5E M =+，2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为1E ，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为2E ，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为3E ，下列说法正确的是（）A.1E 约为2E 的10倍B.3E 超过2E 的100倍C.3E 超过1E 的10倍D.3E 低于1E 的10倍【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，结合对数运算公式，即可判断.【详解】A.()12lg lg 1.5 6.9 5.9E E -=⨯-，所以 1.51210E E =，故A 错误；B.()32lg lg 1.57.7 5.9E E -=⨯-， 2.73210100E E =>，故B 正确；C.()31lg lg 1.57.7 6.9E E -=⨯-， 1.2311010E E =>，故C 项正确，D 项错误.故选：BC11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的正数x ，都满足()()()22f x xf x f x x <<-'，则下列结论正确的是（）A.()1122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B.()()1122f f <C.()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭D.()()11214f f <+【答案】BC 【解析】【分析】设()()()0f x g x x x=>，利用导数求出()g x 的单调性，据此即可判断A 和B 选项，设()()()220f x x h x x x-=>，根据导数求出()h x 的单调性，据此即可求解C 和D 选项.【详解】设()()()0f x g x x x=>，则()()()20xf x f x g x x'-='>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，由()112g g ⎛⎫>⎪⎝⎭得()1122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 项错误；由()()12g g <得()()1122f f <，故B 项正确；设()()()220f x x h x x x-=>，则()()()()()()()()243222220f x x f x x x xf x f x x h x x x ---⋅--=''=<'，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，由()112h h ⎛⎫<⎪⎝⎭得()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故C 项正确：由()()12h h >得()()11214f f >+，故D 项错误.故选：BC.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱上一点，满足1PA PC d +=（d 为定值），记P 点的个数为n ，则下列说法正确的是（）A.当d =2n =B.1d <<+时，6n =C.当d =时，15n =D.n 的最大值为18【答案】AD 【解析】【分析】由点P 的位置进行分类讨论判断求解即可.【详解】当点P 位于A 或1C 处时，d当P 在AB 棱上由A 到B 移动时，d 1，当P 在AD ，1AA ，1C C ，11C B ，11C D 等棱上移动时，d 1+当P 在1BB 棱上由B 到1B 移动时，d 由11+；当P 在BC ，DC ，1D D ，11A B ，11A D 等棱上移动时，d 也是由1+再由增大到1+.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线24y x =的焦点F 与x 轴上一点A 的连线的中点P 恰在抛物线上，则线段AF 的长为______.【答案】316##0.1875【解析】【分析】根据题意求线段AF 的中点坐标，结合抛物线的定义分析求解.【详解】因为24y x =，即214x y =，可知抛物线的焦点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为116y =-，设(),0A a ，则线段AF的中点为1,232a ⎛⎫⎪⎝⎭，则113321632PF =+=，所以3216AF PF ==.故答案为：316.14.如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，120ADC ∠=︒，AB =，1AD =，2CD =，求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积为______.【答案】(12π+【解析】【分析】作出辅助线，求出各边长度，求出以AB 为半径的圆的面积，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积，以BC 为母线的圆台的面积，相加后得到答案.【详解】作CE AD ⊥，CFAB ⊥，E ，F 为垂足，因为120ADC ∠=︒，所以60EDC ∠=︒，因为2CD =，所以1DE =，CE =，故==AF CE ，又AB =1AD =，故2CF AE AD DE ==+=，BF AB AF =-=，由勾股定理得CB ==，四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积分为三部分，以AB 为半径的圆的面积(2π12π=，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积πrl =，以BC 为母线的圆台的侧面积+=所以该几何体的表面积为(12π+.故答案为：(12π+15.已知函数()()()22cos0f x x ωω=>的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，则()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，根据三角函数图象变换的知识求得()g x ，进而求得()g x 在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域.【详解】()cos21f x x ω=+，2ππ2ω=，22ω=，()cos21f x x =+，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得到ππcos 21cos 2163y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到()πcos 413g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π40,33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1cos 4,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，圆222:O x y a +=与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点A ，点B 在双曲线C 上，222BF F A =-，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】2y x =±【解析】【分析】求出点A 的坐标及2AF 长，由222BF F A =-可得点A 为2BF 的中点，再结合双曲线定义求解即得.【详解】由222BF F A =-，得点A 为2BF 的中点，记1F 为C 的左焦点，连接1BF ，令半焦距为c ，则122BF OA a ==，由222b y x ax y a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,)a ab A c c ，而2(,0)F c ，因此2222()()a ab AF c b c c=-+=，由双曲线定义得222b a a -=，即2b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x=±四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()140n n S a λλλ-=->.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）当2λ=时，设1221log log n n n a n a n b a a ++++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析（2）261939n n nT n +=+【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩作差得到1n n a a λ+=，即可得证；（2）由（1）可得12n n a +=，则321122323n n n b n n n n ++=+=+-++++，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】证明：因为()()140n n S a λλλ-=->，当1n =时，()1114S a λλ-=-，解得14a =，由()14n n S a λλ-=-得()1114n n S a λλ++-=-，两式作差得()()()111144n n n n S S a a λλλλ++---=---，即()111n n n a a a λλλ++-=-，则1n n a a λ+=，又0λ>，所以数列{}n a 是首项为4，公比为λ的等比数列.【小问2详解】当2λ=时，由（1）得11422n n n a -+=⨯=，又223121322232log log log log 2322n n n n n n n a n a n n n b a a n n ++++++++++=+=+=+++，所以322131112232323n n n n n b n n n n n n +++++-=+=+=+-++++++，所以1111112344523n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112344523n n n ⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭21161923339n n n n n +⎛⎫=+-=⎪++⎝⎭.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .（1）若12b a =，6sin sin B A -=，求角A 的值；（2）若π3A =，且b 是a 和3c 的等差中项，求cos B 的值.【答案】（1）π3A =或2π3（2）1cos 7B =-【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果；（2）由等差中项可得23a b c =-，结合余弦定理解得83b c =，73a c =，代入余弦定理即可得结果.【小问1详解】因为12b a =，由正弦定理sin sin b a B A=得1sin sin 2B A =，又因为6sin sin B A -=sin 2A =，且()0,πA ∈，所以π3A =或2π3.【小问2详解】显然0,0,0a b c >>>，由b 是a 和3c 的等差中项得23b a c =+，即230a b c =->，可得32b c >，因为π3A =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得()22223b c b c bc -=+-，化简得2231180b bc c -+=，即()()380b c b c --=，解得83b c =或b c =（舍去），由23a b c =-，可得73a c =，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得22278133cos 7723c c c B c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.19.已知函数()()36R f x x ax a =+-∈.（1）若函数()f x 的图象在2x =处的切线与x 轴平行，求函数()f x 的图象在3x =-处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】19.15480x y -+=20.答案见解析【解析】【分析】（1）先求导函数再求斜率最后写出切线方程；（2）分类讨论列表根据导函数求单调性.【小问1详解】()23f x x a ='+.由题意()2120f a ='+=，解得12a =-，所以()3126f x x x =--，()33f -=，()315f '-=()f x 在3x =-处的切线方程为15480x y -+=【小问2详解】()23f x x a ='+.①当0a ≥时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当0a <时，由()0f x '=得x =，()f x 在R 上的变化情况如下表：由上表可得()f x 在,∞⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增.综上，当0a ≥时，增区间为(),∞∞-+，无减区间；当0a <时，增区间为,∞⎛- ⎝和∞⎫+⎪⎪⎭，减区间为⎛ ⎝.20.如图，在三棱锥A BCD -中，CE BD ⊥，垂足为点E ，AH ⊥平面BCD ，垂足H 在CE 上，点F 在AC 上，且CEF CAH ∠=∠.（1）证明：AC ⊥平面BDF ；（2）若22BE DE ==，22CH EH ==，三棱锥A BCD -的体积为BF 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5.【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到线线垂直，由CEF CAH ∠=∠，可得出AC EF ⊥，利用线面垂直的判定定理可以证得AC ⊥平面BDF ；（2）通过三棱锥A BCD -的体积，可以求出AH ，进一步求AC ，由两个三角形AHC ，EFC 相似，得出F 为AC 的中点，然后建立空间直角坐标系，求平面ABD 的法向量，进而可以求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由AH ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，得AH BD ⊥，又CE BD ⊥，而AH ⊂平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，AH CE H = ，所以BD ⊥平面ACE ，又AC ⊂平面ACE ，所以BD AC ⊥.再由AH ⊥平面BCD ，EC ⊂平面BCD ，得AH EC ⊥，得90AHC ∠=︒，又CEF CAH ∠=∠，ACH ECF ∠=∠，得90EFC AHC ︒∠=∠=，即AC EF ⊥.又EF ⊂平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，EF BD E = ，所以AC ⊥平面BDF .【小问2详解】由条件知11133322A BCD BCD V S AH BD CE AH AH -=⋅=⨯⨯⨯⨯==所以AH =，在Rt AHC 中，2228412AC AH CH =+=+=，所以AC =由（1）知Rt Rt AHC EFC ~△△，所以FC ECHC AC =，即2FC =，得FC =，可知F 为AC 的中点，过点H 作HG BD ∥交BC 于点G由（1）易得HG ，HC ，HA 两两垂直，以{HG 、HC 、}HA正交基底，建立空间直角坐标系H xyz -，如图所示由题意可知，(0,0,A ，()2,1,0B -，()0,1,0E -，()0,2,0C，(F .则(0,1,EA = ，()2,0,0EB =，(2,BF =- ，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则020EA n y EB n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =-，则y =，所以平面ABD的一个法向量()0,1n =-，设直线BF 与平面ABD 所成角θ，则sin =cos<,5n BF n BF n BFθ⋅>===⋅.故直线BF 与平面ABD所成角的正弦值为5.21.平面内一动点P 到直线:4l y =的距离，是它到定点()0,1F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；（2）经过点F 的直线（不与y 轴重合）与轨迹Γ相交于M ，N 两点，过点M 作y 轴平行线交直线l 于点T ，求证：直线NT 过定点.【答案】（1）22143y x +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得4y -=，化简即可得解；（2）设直线MN 的方程以及,,M N T 的坐标，联立若椭圆方程，由韦达定理得()121232kx x x x =+，表示出NT 的方程，令0x =，证明此时y 为定值即可得证.【小问1详解】由题意，设动点P 的坐标为(),x y，则4y -=，平方整理得22143y x +=，所以点P 的轨迹Γ方程为22143y x+=.【小问2详解】由题意，设直线MN 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1,4T x .将1y kx =+代入22143y x +=得()2234690k x kx ++-=，所以122634k x x k -+=+，122934x x k -=+，显然0∆>，所以()121232kx x x x =+.因为直线NT 的方程为()212144y y x x x x --=--，令0x =，则()21221221122121214144x x kx x x y x x kx x y x x x x x x -+---===---()()21122121213545222x x x x x x x x x x --+-===--，因此，直线NT 过定点50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线MN 的方程为1y kx =+，再将其椭圆方程联立得到韦达定理式，再化积为和得到()121232kx x x x =+，再得到直线NT 的方程，令0x =计算即可.22.已知函数()()()22ln 211R 2m f x x x m x m =+-++∈.（1）求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x ，求证：()()122f x f x f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分0m ≤，12m =，12m >，102m <<，得到函数的单调性，进而得到函数的极值情况；（2）由（1）得110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并得到()()12212ln 222f x f x m m m +=---，2222ln 44f m m ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，作差法得到()()21222f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，结合m 的范围得到结论.【小问1详解】()()22ln 2112m f x x x m x =+-++的定义域为()0,∞+，()()()()()()2212212210mx m x x mx f x mx m x x x x-++--'=+-+==>①若0m ≤，则()20f '=，()0,2x ∈时()0f x '>，()2,x ∞∈+时()0f x '<，故()f x 在()0,2x ∈上单调递增，在()2,x ∞∈+上单调递减，所以函数的极大值为()22ln221f m =--，无极小值，②若12m =，则()()2202x f x x'-=≥，()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值.③若12m >，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>，1,2x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()2,x ∞∈+时()0f x '>，故()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,∞+上单调递增，在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.④若102m <<，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，()0,2x ∈时()0f x '>，12,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()0f x '>，故()f x 在()0,2，1,m ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递增，在12,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭.综上，当0m ≤时，极大值为()22ln221f m =--，无极小值；当102m <<时，极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭；当12m =时，()f x 无极值；当12m >时，极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.【小问2详解】由（1）知函数()f x 有两个极值点时，110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()121122ln2212ln 12f x f x f f m m m m ⎛⎫+=+=----- ⎪⎝⎭212ln222m m m=---，()222224ln 222122ln 44f m m m m m ⎛⎫=+-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()()122122462f x f x f m m m ⎛⎫+-=--++- ⎪⎪⎝⎭22442⎫=-+-=-⎪⎭，因为110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2≠，所以()()212220f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-+< ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即()()1222f x f x f m ⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，导函数能因式分解的要进行因式分解，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.。
西城区2023-2024学年第一学期期末高三数学试题答案
20232024学年度第一学期期末试卷 第1页（共6页）北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）A （ 3 ）D （ 4 ）D （ 5 ）C（ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）A（ 9 ）B（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）12（12）3 （答案不唯一） （13）(4,)+∞ 4（14）2x =−2（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）由题设2πππ2sin cos 2cos 0666a −=，解得a………3分所以2()cos 2cos f x x x x =−2cos21x x =−− ………5分 π2sin (2)16x =−−．………6分 所以()f x 的最小正周期为π．………7分（Ⅱ）因为π02x ≤≤， 所以ππ5π2666x −−≤≤．………9分所以1πsin (2)126x −−≤≤， 即π22sin (2)116x −−−≤≤．20232024学年度第一学期期末试卷 第2页（共6页）当ππ262x −=，即π3x =时，()f x 取得最大值1； 当ππ266x −=−，即0x =时，()f x 取得最小值2−． ………11分由题设2m −≤，且1M ≥．所以m 的最大值是2−；M 的最小值是1．………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则80303(A)2008020P =⨯=． ………4分（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=， 所以X 的所有可能取值为0,1,2．………5分3638C 5(0)14C P X ===， 122638C C 15(1)28C P X ===， 212638C C 3(2)28C P X ===． ………8分所以X 的分布列为故X 的数学期望0121428284EX =⨯+⨯+⨯=． ………10分 （Ⅲ）222231s s s ．………13分20232024学年度第一学期期末试卷 第3页（共6页）（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥．………1分又因为平面PAB ⊥平面PAD ， 平面PAB 平面PAD PA =， 且DE ⊂平面PAB ． 所以DE ⊥平面PAB ． ………2分 所以DE AB ⊥．………3分因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥． 所以AB ⊥平面PAD ．………4分（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ．又PD ⊥平面ABCD ，所以,,DA DC DP 两两相互垂直． ………5分 如图建立空间直角坐标系D x y z −，………6分则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(1,0,1)E ． 所以(2,0,0)CB =,(0,2,2)CP =−,(1,0,1)DE =．设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0.CB CP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即20,220.x y z =⎧⎨−+=⎩令1y =，则1z =．于是(0,1,1)=m ． ………8分设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则 1||sin ,|cos |2||||DE DE DE α=〉=〈=⋅m m m ．………10分 所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30．………11分（Ⅲ）因为(1,0,1)EP =−，所以点E 到平面PBC 的距离为2||||EP d ==⋅m m ． ………13分因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△． ………14分20232024学年度第一学期期末试卷 第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，22222,411,c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩………3分解得228,2a b ==．………4分 所以椭圆E 的方程为22182x y +=．………5分（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =．………6分若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y k x =+．由221,48y k x x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(41)840k x kx ++−=． ………8分设1122(,),(,)A x y B x y ，则122841kx x k −+=+． ………9分 所以1224241M x x k x k +−==+，21141M M y kx k =+=+．………10分因为M 是CD 的中点， 所以282241D M C k x x x k −=−=−+，222141D M Cy y y k =−=−+． ………11分 因为2248D D x y +=，………12分所以222282(2)4(1)804141k k k −−+−−=++． 整理得340k k +=． ………13分 解得0k =．………14分但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去． 综上，直线AB 的方程为0x =．………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，e ()x f x x =， 所以2(1)e ()xx f x x −'=．………1分 所以(1)e f =，(1)0f '=．………3分 所以曲线()y f x =在点(,())11f 处的切线方程为e 0y −=． ………4分 （Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)(0,)−∞+∞，且2(1)e ()axax f x x −'=．………6分令()0f x '=，得1x a=． ()f x '与()f x 的情况如下：所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞；单调递减区间为(,0)−∞和1(0,)a．………10分（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−，证明如下： 令1()()g x f x x=−，则2(1)e 1()ax ax g x x −+'=．设()(1)e 1ax x h ax =−+，则2()e ax x h a x '=．………12分所以当(0),x ∈−∞时，()0x h '<；当()0,x ∈+∞时，()0x h '>． 所以()h x 在(0),−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增． 从而()(0)0h x h >=，即()0g x '>．所以()g x 的单调递增区间为(0),−∞和()0,+∞．………14分当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−； 当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−． 综上，当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−．………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第6页（共6页）（21）（共15分）解：（Ⅰ）:(1,2),(2,3),(3,1)A ，或:(1,3),(3,2),(2,1)A ．………4分（Ⅱ）因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，故26C 15m =≤，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次．又因为1(1,2,,1)i i x y i m +==−，所以只有1,m x y 对应的数可以出现5次， 故1(4425)132m ⨯⨯+⨯=≤．………9分（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明(2)()21T N T N N +=++．因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，所以21()C (1)2N T N N N =−≤． 当3N =时，构造:(1,2),(2,3),(3,1)A 恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1．对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '： 首先，对于如下21N +个数对集合：{(1,1),(1,1)}N N ++，{(1,2),(2,1)}N N ++， {(2,1),(1,2)}N N ++，{(2,2),(2,2)}N N ++， ……，{(,1),(1,)}N N N N ++，{(,2),(2,)}N N N N ++，{(1,2),(2,1)}N N N N ++++，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以(2)()21T N T N N +++≤． 其次，对每个不大于N 的偶数{2,4,,1}i N ∈−，将如下4个数对并为一组：(1,),(,2),(2,1),(1,1)N i i N N i i N ++++++，共得到12N −组，将这12N −组数对以及(1,1),(1,2),(2,1)N N N N ++++按如下方式补充到A 的后面，即：,(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1),,A N N N N N +++++(1,1),(1,2),(2,),(,1),(1,2),(2,1)N N N N N N N N N N N +−−++++++．此时恰有()21T N N ++项，所以(2)()21T N T N N +=++．综上，当N 为奇数时，()(()(2))((2)(4))((5)(3))(3)T N T N T N T N T N T T T =−−+−−−++−+[2(2)1][2(4)1](231)3N N =−++−+++⨯++1(1)2N N =−． ………15分。
2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题含解析
2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A ．48B ．60C ．72D ．1202．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ）A ．33-B ．3C ．332-D ．32 3．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55 C ．66 D ．784．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i +- B ．345i + C ．34i -+ D ．345i -+6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．6⎛ ⎝⎦B ．,15⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,5⎛ ⎝⎦D ．,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭7．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．12⎛ ⎝B ．12⎡⎢⎣C ．1,2e ⎛ ⎝⎦D ．12⎛ ⎝⎭8．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．2010．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，， 11．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．312．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷一、填空题：1.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z n n x x M ,3sinπ，则满足条件M P =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-23,23 的集合P 的个数是___个2.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+= 3．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0102202534x y x y x ，则POQ ∠cos 的最小值为__________4.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是_____________________ 5.已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则xf x f x 2)1()1(lim-+→=___________6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：()1sin cos ,f x x x =+ ()2f x x =，()3sin f x x =则___________________为“同形”函数 7.椭圆122=+by ax与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ba则,23=________ 8.一次研究性课堂上，老师给出函数)(||1)(R x x xx f ∈+=，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；丙：若规定||1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*∈N n 恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数有__________个9.过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422ab +的最小值为10.若直线2y a =与函数|1|(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 11.“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得m n S S =，则0m n S +=。
”，类比前面结论，若正项数列{}n b 为等比数列，12. Rt △ABC 中,斜边AB=1,E 为AB 的中点,CD ⊥AB,则))((CE CA CD CA ∙∙的最大值为_________.13.设A=),,(321a a a ，B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321b b b ，记A ☉B=max {}332211,,b a b a b a ，若A=)1,1,1(+-x x ，B=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121x x ，且A ☉B=1-x ，则x 的取值范围为 。
14.设A 为锐角三角形的内角，a 是大于0的正常数，函数AaA y cos 1cos 1-+=的最小值是9， 则a =___ _ 二、解答题15.已知32()31f x ax x x =+-+，a R ∈． （1）当3a =-时，求证：()f x 在R 上是减函数；（2）如果对x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，求实数a 的取值范围． 16.在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6，D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。
⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围 17.已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．18.已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny+=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.19.某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f(t)与时间t （单位：小时）之间的关系的函数模型：1()()2[0,24)3f tg t a a t =+-+∈，，其中，1()sin(18)224g t t π=-代表大气中某类随时间t 变化的典型污染物质的含量；参数a 代表某个已测定的环境气象指标，且]43,0[∈a 。
⑴ 求g(t)的值域； ⑵ 求M （a ）的表达式；⑶若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过 2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由。
20.已知函数)(3)(3R a ax x x f ∈-=A11A E C（1）当1=a 时，求)(x f 的最小值；（2）若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，求a 的取值范围（3）设]1,1[|,)(|)(-∈=x x f x g ，求)(x g 的最大值)(a F 的解析式。
参考答案：1. 42.12 3.22 3. 21 4. 50x y +-= 5. 126. ()()12,f x f x7.23 8. 3 9.32 10. 1(0,)211. 它的前n 项乘积为n T ，若m n T T =，则1m n T += 12.27213. [1，1+2] 14. 4 15．解：（1）当3a =-时，32()331f x x x x =-+-+，∵/2()961f x x x =-+-2(31)0x =--≤，∴()f x 在R 上是减函数.（2）∵x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，即x R ∀∈不等式23614ax x x +-≤恒成立， ∴x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立. 当0a =时，x R ∀∈ 210x -≤不恒成立； 当0a <时，x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立，即4120a ∆=+≤，∴13a ≤-.当0a >时，x R ∀∈不等式23210ax x +-≤不恒成立. 综上，a 的取值范围是1(]3-∞-，. 16．解：(1) 58222bc b c a -=-⇒542222=-+bc a c b⇒54cos =A ⇒53sin =A(2) 65321sin 21=⋅==∆bc A bc S ABC ，=∴bc 20 由542222=-+bc a c b 及=bc 20与a =3解得b=4，c=5或b=5,c= 4(3)设D 到三边的距离分别为x 、y 、z ，则6)543(21=++=∆z y x S ABC)2(51512y x z y x d ++=++= 又x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+，，，001243y x y x画出不等式表示的平面区域得：4512<<d17. (Ⅰ)证明：连结BD ，则BD //11B D ， …………1分 ∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵CE ⊥面ABCD ，∴CE BD ⊥．又C =ACCE ，∴BD ⊥面ACE ． ………………4分∵AE ⊂面ACE ，∴BD AE ⊥，∴11B D AE ⊥． …………………………………………5分 （Ⅱ）证明：作1BB 的中点F ，连结AF CF EF 、、． ∵E F 、是1BB 1CC 、的中点，∴CE1B F ，∴四边形1B FCE 是平行四边形，∴ 1CF// B E ． ………7分 ∵,E F 是1BB 1CC 、的中点，∴//EF BC ， 又//BC AD ，∴//EF AD ．∴四边形ADEF 是平行四边形，AF ∴//ED ， ∵AFCF C =，1B EED E =，∴平面//ACF 面1B DE ． …………………………………9分 又AC ⊂平面ACF ，∴//AC 面1B DE ． ………………10分 （Ⅲ）122ABDS AB AD ∆=⋅=． ……………………………12分 112333A BDEE ABD ABD ABD V V S CE S CE --∆∆==⋅=⋅=． ……………………………15分18.解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得F （3,0） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212516x y += （2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+, 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离1d r =<=. 所以直线l 与圆O 恒相交又直线l 被圆O截得的弦长为L ===由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则[,25L ∈, 即直线l 被圆O截得的弦长的取值范围是L ∈ 19. 解：⑴g(t) 的值域为[0，12]…………………5分 ⑵ 57,[0,]612()1733,(,]3124a a M a a a ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩…………………10分⑶当7[0,]12a ∈时，()M a =56a +≤712+56=1712<2; 当73(,]124a ∈时，()M a =133a -≤912324312-=<.所以若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数不会超标。
…………………15分 20.解：（1）11,0)(,33)(,1'2'=-==-==x x x f x x f a 或得令时当当)1,1(-∈x 时，),1[]1,(,0)('+∞--∞∈< x x f 当时，0)('>x f ， )(x f ∴的极小值是2)1(=f（2）a a x x f 333)(2'-≥-= ，∴要使直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，当且仅当a 31-<-时成立，31<∴a （3）因上的故只要求在上是偶函数在]1,0[,]1,1[|3||)|)(3--==ax x fx x g 最大值 ①当0≤a 时，)()(,0)0(]1,0[)(,0)('x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在②当0>a时，),)((333)(2'a x a x a x x f -+=-=（ⅰ）当1,1≥≥a a 即（ⅱ）当10,10<<<<a a 即时，,],0[)(上单调递减在a x f 在]1,[a 单调递增；1°当131,031)1(<≤≤-=a a f 即时，a a a f a F 2)()(=-=；2°当310,031)1(<<>-=a a f 即 （ⅰ）当a f a F a a f a f 31)1()(,410,31)1()(-==≤<-=≤-时即（ⅱ）当a a a f a F a a f a f 2)()(,3141,31)1()(=-=<<-=>-时即综上 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<≤-=)1(,13)141(,2)41(,31)(a a a a a a a x F。