高三数学期末考试理科(含答案)
高三数学试卷期末理
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + b，若f(x)在区间[1, 3]上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A. a ≤ 1B. a ≥ 3C. a ≤ 3D. a ≥ 12. 下列命题中正确的是（）A. 函数y = log2(x - 1)的图像在y轴上对称B. 函数y = e^x的图像过点(0, 1)C. 函数y = sin(x)的周期为πD. 函数y = -x^2的图像开口向下，顶点坐标为(0, 0)3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 35，S10 = 85，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知圆O的方程为x^2 + y^2 = 4，直线l的方程为y = kx + 2。
若直线l与圆O相交于两点，则k的取值范围是（）A. -√3 < k < √3B. -2 < k < 2C. k ≠ 0D. k ≠ ±25. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/56. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[-1, 2]上的最大值为3，则f'(x) = 0的根的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - n + 1，则数列{an}的前n项和Sn为（）A. n^3 - n^2 + nB. n^3 - n^2 + 1C. n^3 - n^2 - nD. n^3 - n^2 - 18. 已知复数z = 2 + 3i，若|z - 2i| = |2i - z|，则复数z的实部为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则数列{an}的前n项和Sn为（）A. 2^n - 1B. 2^n - 2C. 2^n + 1D. 2^n + 210. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 3，f'(2) = 6，则a + b + c的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数y = 2x^3 - 6x^2 + 9x + 1的图像的对称轴方程为______。
2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）．A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A【分析】解绝对值不等式、一元二次不等式分别求集合A 、B ，再由集合并运算求A B ⋃. 【详解】由题设{|22}A x x =-<<，{|03}B x x =<<， 所以(2,3)A B =-. 故选：A2．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-1或1【答案】C【分析】根据纯虚数的定义列出方程(组)求解.【详解】由已知得21010x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得1x =,故选：C3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5 【答案】C【分析】利用各组的频率之和为1，求得a 的值，判定A ；根据众数和中位数的概念判定BC ；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】()0.0350.0300.0200.010101a ++++⨯=，解得0.005a =，故A 正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为4050452+=，所以众数为45，故B 正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为()0.0200.010100.30.5+⨯=<，所以60不是中位数，故C 错误；由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为()0.030.02100.5+⨯=，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5，故D 正确. 故选:C4．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）．A ．1-B ．4C ．5D ．14【答案】B【分析】由题设作出不等式组表示的区域，结合2z x y =+的几何意义即可求出答案. 【详解】作出不等式组表示的区域如下图中阴影部分，直线2z x y =+化为：1122y x+z =-表示斜率为12-的一组平行线，当1122y x+z =-经过点B 有最小值，由302101x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以()2,1B ，则2z x y =+的最小值为：224z =+=.故选：B.5．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为（ ）A ．14B ．18C ．116D ．132【答案】C【分析】由已知的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运算过程，即可得解.【详解】解：执行下面的程序框图，已知S ＝1，n ＝0，m ＝12； 执行循环体S ＝12，m ＝14，n ＝1；S ＝14，m ＝18，n ＝2；S ＝18，m ＝116，n ＝3；S ＝116，m ＝132，n ＝4； 如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为116． 故选：C ．6．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bty ae-=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（ ）. A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min【答案】D【分析】依题意有8b ae -= 12a ，解得ln28b =，得到ln 28t y ae -=，再令8a y =,求解得到t 的值，减去最初的8min 即得所求． 【详解】依题意有8b ae -=12a ，即8b e -= 12，两边取对数得ln281ln28ln ln2,,28t b b y ae --==-∴=∴= ， 当容器中只有开始时的八分之一，则有ln2ln2881188t t ae a e --=∴=， 两边取对数得ln21ln 3ln2,2488t t -==-∴=， 所以再经过的时间为()24816min -=． 故选:D ．7．已知α满足sin()4πα+，则2tan tan 1αα=+（ ）A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-【答案】D【分析】首先化简sin()4πα+得到8sin 29α=-，接着化切为弦将2tan tan 1αα+表示成1sin 22α，代入求解即可.【详解】解：∵sin()cos )4a παα+=+，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，∴8sin 29α=-， 故222tan 12sin cos 14sin 2tan 12sin cos 29ααααααα=⨯==-++；故选：D ．【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-=相切，则实数=a （ ） A ．2或3- B ．2-或3 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：因为322y x x x =-++，当1x =时3y =，又2321y x x '=-+，所以1|2x y ='=，所以曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为()321y x -=-，即210x y -+=，又222:250C x y ax a +-+-=，即()22:5C x a y -+=，即圆心(),0C a ，半径r =因为直线l 与C 相切，所以圆心到直线的距离d ==2a =或3a =-；故选：A9．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（ ） A ．25B ．12C ．35D ．310【答案】D【分析】根据题意，设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，进而()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.【详解】设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.故选：D.10．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x=,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x = 为偶函数， 所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）; ()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃. 故选：A【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当0x > 时， 当0x < 时两种情况，因为两边同时除以x ，要考虑其正负.11．已知曲线1C ：e x y =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．e 1-BC ．1D ．e 1+【答案】A【分析】根据题中条件，得到()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，推出()2e 201ln e x x m -<+-≤；证明ln 1x x ≤-，分离参数得2e2ex m x -≥-，构造函数求出2e2ex x --的最大值，即可得出结果.【详解】因为当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，所以有：()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，()2e 201ln e x x m -∴<+-≤，21ex m ∴>+，令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=， 所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 因此()()10g x g ≤=，即ln 1x x ≤-显然恒成立；因为21x m e->，所以()22ln 1x m x m -≤--，即()221ln x m x m +-≤-；为使()2e21ln e x x m -+-≤恒成立，只需2e2ex x m --≤恒成立；即2e2ex m x -≥-恒成立；令()e e x f x x -=-，则()e1e x f x -=-'，由0f x解得e x <；由()0f x '<解得e x >；所以()f x 在(),e -∞上单调递增；在()e,+∞上单调递减； 所以()()max e e 1f x f ==-；e 1m ∴≥-，因此m 的最小值为e 1-.故选：A12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】在ABC 中，由余弦定理，求得BC =得到BD =证得AB AD ⊥，进而证得AB ⊥平面PAB ，得到PA AD ⊥，证得PA ⊥平面ABC ，结合球的截面圆的性质，即可求得球O 的半径.【详解】如图所示，在ABC 中，因为2AB AC ==，23BAC π∠=， 可得222212cos 22222()232BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，又因为2BD DC =，所以433BD =， 由6ABC π∠=，2AB =，可得233AD =，可得22BD AB AD =+，所以AB AD ⊥， 又由AD PB ⊥，PB AB B ⋂=且,PB AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ， 又由PA ⊂平面PAB ，所以PA AD ⊥， 又由2PAB π∠=，即PA AB ⊥，且AB AD A ⋂=，可得PA ⊥平面ABC ，设ABC 外接圆的半径为r ，则24sin BDr A==，可得2r =，即12AO =， 设三棱锥-P ABC 的外接球的半径为R ，可得22222221111()2152PA R AO OO AO =+=+=+=，即5R =. 球O 的半径为5. 故选：D.【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.二、填空题13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．【答案】()3,0-，()3,0【分析】通过标准方程确定2a 和2b ，根据,,a b c 的关系，得到焦点(),0c ±． 【详解】由题意得：225a =，216b = 由222a b c =+得：25163c =-= ∴焦点坐标为()3,0±本题正确结果：()3,0-，()3,0【点睛】本题考查了椭圆标准方程的定义和简单几何性质，属于基础题． 14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．【答案】63【分析】本题首先可根据正三棱锥正视图绘出原图，然后通过原图得出正三棱锥的侧视图，即可求出结果.【详解】如图，根据正三棱锥正视图可绘出原图，正三棱锥高为22534-=，底面边长为6，结合原图易知，ABC 即正三棱锥的侧视图，BC 为底面三角形的高， 则侧视图的面积1334632S ， 故答案为：6315．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________. 【答案】116【分析】设直线AB 、CD 的方程联立抛物线，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，应用韦达定理求12x x +、12x x 、34x x +、34x x ，根据抛物线的定义易得12(2)(2)AF BF x x ⋅=++、34(2)(2)CF DF x x ⋅=++，进而求目标式的值. 【详解】由题设，直线AB 、CD 的斜率一定存在，设AB 为(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立抛物线方程，可得2222(48)40k x k x k -++=且264(1)0k ∆=+>，∴21224(2)k x x k ++=，124x x =，而1||2AF x =+，2||2BF x =+，∴2121212216(1)(2)(2)2()4k AF BF x x x x x x k +⋅=++=+++=，由CD AB ⊥，设CD 为2xy k-=，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立抛物线，可得22(84)40x k x -++=，同理有23484x x k +=+，344x x =，∴216(1)CF DF k ⋅=+，综上，222111116(1)16(1)16k AF BF CF DF k k +=+=⋅⋅++. 故答案为：116. 【点睛】关键点点睛：设直线方程联立抛物线，结合韦达定理及抛物线的定义求AF BF ⋅、CF DF ⋅，进而求目标式的值.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的编号为________． 【答案】①②④．【分析】①利用函数()()f a f b =-⇔()f x 关于点(,0)2a b+对称.即可得出答案. ②利用函数()()f a x f x -=⇔()f x 关于2ax =轴对称，再结合①即可得出答案. ③利用函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，即可求出周期的取值范围，当T 取最小值时，实数解最多.求出其实数解即可判断.④利用函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点结合①可得出81033w <≤，再结合()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调时3w ≤，即可得出ω的取值范围. 【详解】①因为73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且73212423πππ+=，所以203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.①正确. ②因为5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()f x 的对称轴为255162x ππ==, 125=3244TT ππππ-==⇒.②正确. ③在一个周期内()1f x =只有一个实数解，函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥.当23T π=时，()sin3f x x =，()1f x =在区间[)0,2π上实数解最多为53,,662πππ共3个.③错误 ④函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，213251325632632222T T w w ππππππ-≤⇒-≤⋅<⋅<，解得81033w <≤；又因为函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥，即2233w w ππ⇒≤≥， 所以8,33w ⎛⎤∈⎥⎝⎦.④正确 故填：①②④.【点睛】本题考查三角函数曲线.属于难题.熟练掌握三角函数曲线的性质是解本题的关键.三、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC 面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2． 【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABCSac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．18．体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1:3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在[]0,60范围内，且规定分数在40分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的22⨯列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别 非城镇学生城镇学生合计 优良不优良 115合计200（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？ 附参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0k2.0722.7063.841【答案】（1）填表见解析，没有；（2）34．【分析】（1）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，由条件可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】（1）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为1:3，且样本容量为200， 所以非城镇学生人数为50，城镇学生人数为150， 故城镇学生优良人数为15011535-=，又因为优良学生的人数为()0.0050.021020050+⨯⨯=，所以非城镇优良学生共为503515-=，则非城镇不优良学生人数为501535-=，代入数据计算()222001511535350.889 2.7065015050150K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关； （2）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为5012004p ==， 记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()13344E X =⨯=，故成绩为“优良”人数的期望值为34．【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.19．如图，在三棱锥-P ABC 中，ABC 为直角三角形，90ACB ∠=，PAC △是边长为4的等边三角形，BC =P AC B --的大小为60，点M 为P A 的中点．（1）请你判断平面P AB 垂直于平面ABC 吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由； （2）求CM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）3913． 【分析】（1）平面PAB ⊥平面ABC ；分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，即60PDE ∠=，进而根据勾股定理得PE ED ⊥，根据AC ⊥平面PED 得AC PE ⊥，进而可得答案；（2）根据题意，以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABC 理由如下：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则//DE BC ．因为90ACB ∠=，3BC = 所以DE AC ⊥，3DE因为PAC △是边长为4的等边三角形， 所以PD AC ⊥，23PD =于是，PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，则60PDE ∠=，在PDE △中，由余弦定理，得222cos603PE PD DE PD DE =+-⋅=， 所以222=PD PE ED +， 所以PE ED ⊥．因为ED AC ⊥，PD AC ⊥，ED PD D =， 所以AC ⊥平面PED ， 所以AC PE ⊥． 又ACED D =，所以PE ⊥平面ABC因为PE ⊂平面ABC ． 所以平面PAB ⊥平面ABC ．（2）以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,23,0)B ，(4,0,0)A ，3,0)E ，3,3)P ，33)2M 332CM →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,23,0CB →=，()3,3CP →=．设平面PBC 的一个法向量为()111,,n x y z →=， 则00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111230,2330x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取13x =，则()3,0,2n →=-．所以CM 与平面PBC 所成角的正弦值sin cos,CM nθ→→===【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面所成角的求解，考查空间想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力，是中档题.本题第一问在探究过程中，先假设平面PAB⊥平面ABC，再根据逻辑关系推理论证，关键在于分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，构造辅助线.20．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>F，上顶点为A，左顶点为B，且||||10FA FB⋅=+（1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C-，()4,0D，点P在椭圆上，直线PC，PD分别与椭圆交于另一点M，N，若CP CMλ=，DP DNμ=，求证：λμ+为定值.【答案】（1）221105x y+=；（2）证明见解析.【分析】（1）先表示出,FA FB，然后计算出FA FB⋅，结合离心率公式cea=和222a b c=+求解出22,a b的值，则椭圆方程可求；（2）设出,,P M N的坐标，通过将向量共线表示为坐标关系可得到,λμ的关系式①，再通过点差法分别求得,λμ满足的关系式②和关系式③，通过将关系式②和③作差可得,λμ的关系式④，再结合关系式①可证明λμ+为定值.【详解】解：()1设(),0F c.由题意得||FA a=，||FB a c=+，ca=，222a b c=+，()||||10FA FB a a c∴⋅=+=+解得210a=，25b=.∴椭圆的方程为221105x y+=.()2设()00,P x y，()11,M x y，()22,N x y.由CP CMλ=，DP DNμ=，得()()00114,4,x y x yλ+=+，()()00224,4,x y x yμ-=-，()010141,,x xy yλλλ⎧-=-∴⎨=⎩，()020241,,x xy yμμμ⎧-=-⎨=⎩()1284x xλμλμ∴-=-+，①又点P ，M ，N 均在椭圆上，由220022222111,105,105x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且01,y y λ=得()()01012110x x x x λλλ-+=-， ()01512x x λλ∴+=-+.②同理，由220022222221,105,105x y x y μμμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且02,y y μ=得()()22002110x x x x μμμ-+=-()02512x x μμ∴+=+.③ 联立②③得()12552x x λμλμ-=-+-.④ 联立①④得263λμ+=， λμ∴+为定值263. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对于向量共线的坐标表示以及点差法求解参数与坐标之间的关系，每一步都是通过构建关于,λμ的方程，结合联立方程的思想完成证明. 21．已知函数()ln a xf x bx x=+在1x =处的切线方程为1y x =-. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x kx ≤在区间()0,∞+上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【答案】（1）()ln x f x x =；（2）1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析. 【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，由题意得出()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()y f x =的解析式； （2）利用参变量法得出2ln xk x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln x g x x=，利用导数求得函数()y g x =在区间()0,∞+上的最大值，即可得出实数k 的取值范围； （3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，变形得出42ln 112x x e x≤⋅，利用放缩法得出()42ln 111112221n n n e n e n n ⎛⎫≤⋅<-≥ ⎪-⎝⎭，依次得到4ln 2111222e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，()4ln 111221n n n e n n ⎛⎫<-≥ ⎪-⎝⎭，利用不等式的可加性即可证得所证不等式成立. 【详解】（1）()ln a xf x bx x =+，该函数的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x b x -'=+， 由题意可知，点()()1,1f 在直线1y x =-上，()10f ∴=， 由题意得()()1011f b f a b ⎧==⎪⎨=+'=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()ln x f x x ∴=；（2）对任意的()0,x ∈+∞，由()f x kx ≤，得ln x kx x≥，即2ln xk x ≥，令()2ln xg x x =，其中0x >，则()max k g x ≥， ()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，可得x =所以，函数()y g x =在x ()max 12g x g e==. 12k e ∴≥，因此，实数k 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，则42ln 112x x e x≤⋅， 当2n ≥时，42ln 11111221n n e n e n n ⎛⎫<⋅=- ⎪-⎝⎭， 4ln 2111222e ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，4ln 11121n n e n n ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭， 上述不等式全部相加得444ln 2ln 3ln 11112322n n e n e⎛⎫+++<-<⎪⎝⎭. 因此，对任意的2n ≥，444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数解析式、利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查运算求解能力与推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）由题意，先设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，将3πθ=代入直线l 的极坐标方程，得到2ρ；将3πθ=代入圆的极坐标方程，得到1ρ，再由12ρρ=-PQ ，即可得出结果.【详解】（1）因为，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：()2211x y -+=；把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y -+=，化简得：2cos ρθ=，即为此圆的极坐标方程； （2）设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，因为直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=，将3πθ=代入()sin ρθθ=12ρ⎫=⎪⎪⎝⎭23ρ=； 将3πθ=代入2cos ρθ=得12cos13πρ==，所以122PQ ρρ=-=．【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型. 23．设()|1||3|f x x x =+--．（1）对一切x R ∈，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知0,0,()a b f x >>最大值为M ，(2)2a b M ab +=，且224128a b +≤，求证：216a b +=． 【答案】（1）(,4]-∞-；（2）证明见解析.【分析】（1）由零点分段法可得4,1()22,134,3x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，求得()f x 的最小值后，即可得实数m 的取值范围；第 21 页 共 21 页 （2）由题意转化条件得2(2)1a b ab+=，利用基本不等式可得216a b +≤、216a b +≥，即可得证. 【详解】（1）由题意4,1()1322,134,3x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≥⎩, 所以[]min ()4f x =-，所以，实数m 的取值范围是(,4]-∞-；（2）证明：由（1）知，4M =，由(2)2a b M ab +=得2(2)1a b ab+=，224128a b +≤，所以216a b +≤≤=，当且仅当2b a =，且224128a b +=，即4a =，8b =时，等号成立；2(2)42(2)242416a b a b a b a b ab b a ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4a b b a =，且2(2)1a b ab+=，即4a =，8b =时，等号成立； 综上所述，216a b +=．【点睛】本题考查了绝对值不等式恒成立问题的解决，考查了利用基本不等式证明不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.。
四川省泸县第四中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
四川省泸县四中高2023届高三上期末考试理科数学本试卷共4页。
考试结束后，只将答题卡交回注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,32．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．-1或13．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.54．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．1-B ．4C ．5D ．145．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为A ．14B ．18C ．116D ．1326．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bt y ae -=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min7．已知α满足sin()4πα+2tan tan 1αα=+A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-= 相切，则实数=a A ．2或3-B ．2-或3C ．2D ．39．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是A ．25B ．12C ．35D ．31010．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞11．已知双曲线1C ：x y e =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意1x ，2x 都有AB e ≥恒成立，则m 的最小值为A ．1e -B C ．1D ．1e +12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为A ．1B CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．15．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦．其中所有正确结论的编号为________．三、解答题：共70分。
内蒙古阿拉善盟2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试题及答案解析
内蒙古阿拉善盟第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试题及答案解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记集合{|||2}M x x =>，(){}2|ln 3N x y x x==-，则M N = （）A.{}32≤<x x B.{|3x x >或2}x <-C.{}20<≤x x D.{}32≤<-x x 2.已知复数1i z =+（i 是虚数单位），则izzz =+（）A.31i 55+ B.11i 55+ C.31i55-+ D.11i 55-+3.命题“2≥∀a ，()2f x x ax =-是奇函数”的否定是（）A.2≥∀a ，()2f x x ax =-是偶函数B.2≥∃a ，()2f x x ax =-不是奇函数C.2a ∀<，()2f x x ax =-是偶函数D.2a ∃<，()2f x x ax =-不是奇函数4.若()4sin 5πα+=-，则()cos 2πα-=（）A.35B.35-C.725D.725-5.若双曲线2221x y m-=（0m >）的渐近线与圆22610x y y +-+=相切，则m =（）A.4C.2D.6.端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A “取到的两个为同一种馅”，事件B “取到的两个都是艾香粽”，则()|P B A =（）A.35B.313C.58 D.13287.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则异面直线1B E 与1C D 所成角的余弦值为（）A.1010B.1010-C.104D.104-8.某地锰矿石原有储量为a 万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的m （01m <<，且m 为常数）倍，第n （*n ∈N ）年开采后剩余储量为(1)na m -，按该计划使用10年时间开采到剩余储量为原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有储量的70%，则需开采约（参考数107≈）（）A.3年B.4年C.5年D.6年9.在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，13AE EB = ，2DF FC = ，且6BF CE ⋅=-，则平行四边形ABCD 的面积为（）A.5B.5C.245D.12510.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”，如图是该算法的程序框图，如果输入99a =，231b =，则输出的a 是（）A.23 B.33C.37D.4211.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π0ϕ-<<）的部分图象如图所示，下列说法中错误的是（）A.函数()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B.函数()f x 的图象关于直线11π12x =-对称C.函数()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()f x 的图象向右平移π3个单位可得函数2sin2y x =-的图象12.若e 是自然对数的底数，()e ln x x m >+，则整数m 的最大值为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学第一学期期末考试理科试题
石景山区2021—2021学年高三第一学期期末考试数学〔理科〕一、选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．集合}2,1,0{=P ，},2|{P a a x x Q ∈==，那么Q P =〔 〕A ．}0{B ．}1,0{C ．}2,1{D ．}2,0{2．“b a +是偶数〞是“a 与b 都是偶数〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数x x f ln 21)(=的反函数是〔 〕 A ．21)(x e x f=- B ．2110)(x x f=- C ．x e x f21)(=-D ．x x f2110)(=-4．在ABC ∆中，︒=∠90C ，)1,(x BC =，)3,2(=AC ，那么x 的值是〔 〕A ．5B ．5-C ．23 D ．23-5．不等式212>++x x 的解集是〔 〕 A ．),1()0,1(+∞- B ．)1,0()1,( --∞ C ．)1,0()0,1( - D ．),1()1,(+∞--∞6．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，那么543a a a ++=( )A ．33B ．72C ．84D ．1897．设函数⎩⎨⎧>≤++=)0(2)0()(2x x c bx x x f ，假设)0()4(f f =-，2)2(-=-f ，那么关于x的方程x x f =)(的解的个数为〔 〕 A ．1B ．2C ．3D ．48．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字-09和字母F A -一共16个记数符号．这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：B D E 1=+，那么=⨯B A 〔 〕 A ．E 6 B ．72C ．F 5D ．0B二、填空题：本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分．把答案填在题中横线上． 9．复数ii4321-+的实部是 ． 10．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，假设这4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法种数一共有 ．〔用数字答题〕11．nx x )(1-+的展开式中各项系数的和是128，那么=n ；展开式中3x 的系数是 ．〔用数字答题〕12．函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤+>--)1()1(112x a x x x x 在1=x 处连续，那么实数a 的值是 ．13．在半径为35的球面上有A 、B 、C 三点，6=AB ，8=BC ，10=CA ，那么球心到平面ABC 的间隔 为 ．14．设函数)(x f 的图象与直线a x =，b x =及x 轴所围成图形的面积称为函数)(x f 在],[b a 上的面积，函数nx y sin =在[0，nπ]上的面积为n 2〔*∈N n 〕，那么〔1〕函数x y 3sin =在[0,3π]上的面积为 ；〔2〕函数1)3sin(+-=πx y 在[3π，34π]上的面积为 . 三、解答题：本大题一一共6个小题，一共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 15．〔此题满分是12分〕在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，73tan =C ．〔Ⅰ〕求C cos 的值； 〔Ⅱ〕假设25=⋅CA CB ，且9=+b a ，求c 的长．16．〔此题满分是12分〕函数b ax ax x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P .〔Ⅰ〕假设函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式； 〔Ⅱ〕假设3>a ，求函数)(x f y =的单调区间.17．〔此题满分是14分〕如图，在三棱锥BCD A -中，面⊥ABC 面BCD ，ABC ∆是正三角形，︒=∠90BCD ，︒=∠30CBD ．〔Ⅰ〕求证：CD AB ⊥；〔Ⅱ〕求二面角C AB D --的大小； 〔Ⅲ〕求异面直线AC 与BD 所成角的大小．ACBD18．〔此题满分是14分〕袋中装有4个黑球和3个白球一共7个球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的时机是等可能的，用ξ表示取球终止时所需的取球次数．〔Ⅰ〕求恰好取球3次的概率；〔Ⅱ〕求随机变量ξ的概率分布；〔Ⅲ〕求恰好甲取到白球的概率．19．〔此题满分是14分〕等差数列}{n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足：4532=⋅a a ，1441=+a a ．〔Ⅰ〕求数列}{n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕通过公式cn S b nn +=构造一个新的数列}{n b ．假设}{n b 也是等差数列， 求非零常数c ； 〔Ⅲ〕求1)25()(+⋅+=n n b n b n f 〔*N n ∈〕的最大值．20．〔此题满分是14分〕设)(2)(x f xppx x g --=，其中x x f ln )(=． 〔Ⅰ〕假设)(x g 在其定义域内为增函数，务实数p 的取值范围； 〔Ⅱ〕证明： ()1≤-f x x ；〔Ⅲ〕证明：2*222ln 2ln 3ln 21(,2)234(1)n n n n N n n n --+++<∈≥+．石景山区2021—2021学年第一学期期末考试试卷高三数学〔理科〕参考答案一、选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．二、填空题：本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分．把答案填在题中横线上．注：第11、14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题一一共6个小题，一共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 15．〔此题满分是12分〕 解：〔Ⅰ〕∵ 73tan =C , ∴ 73cos sin =CC. 又∵ 1cos sin 22=+C C , 解得 1cos 8C =±． ……………………3分 ∵ 0tan >C ，∴ C 是锐角．∴ 81cos =C ． ………………………6分 〔Ⅱ〕∵ 25=⋅CA CB ，∴ 25cos =C ab . 解得 20=ab ． …………………8分又∵ 9=+b a ， ∴ 4122=+b a ． ∴ 36cos 2222=-+=C ab b a c ．∴ 6=c ． ………………………12分16．〔此题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕a ax x x f ++='23)(2． ………………………2分由题意知⎩⎨⎧=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得⎩⎨⎧=-=23b a ． …………………5分 ∴ 233)(23+--=x x x x f ． ……………………6分〔Ⅱ〕023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=∆a a ．由0)(>'x f 解得332a a a x ---<或者332aa a x -+->，由0)(<'x f 解得333322aa a x a a a -+-<<---． ……………10分∴ )(x f 的单调增区间为：)33,(2a a a ----∞和),33(2+∞-+-aa a ； )(x f 的单调减区间为： )33,33(22aa a a a a -+----．……12分17．〔此题满分是14分〕 解法一：〔Ⅰ〕证明：∵ 面ABC ⊥面BCD ，︒=∠90BCD ，且面ABC 面BCD BC =，∴ ⊥CD 面ABC ． ……………2分 又∵ ⊂AB 面ABC ，∴ AB DC ⊥． ………………4分〔Ⅱ〕解：如图，过点C 作CM ⊥AB 于M ，连结DM ．由〔Ⅰ〕知⊥CD 面ABC ．∴ CM 是斜线DM 在平面ABC 内的射影， ∴ AB DM ⊥．〔三垂线定理〕∴ CMD ∠是二面角C AB D --的平面角． …………………6分 设1=CD ，由︒=∠90BCD ，︒=∠30CBD 得3=BC ，2=BD ．∵ ABC ∆是正三角形，∴ 2323=⋅=BC CM ． ∴ 32tan ==∠CM CD CMD ． ∴ 32arctan =∠CMD ．∴ 二面角C AB D --的大小为32arctan． …………………9分 〔Ⅲ〕解：如图，取三边AB 、AD 、BC 的中点M 、N 、O ，连结AO 、MO 、NO 、MN 、OD ， 那么AC OM //，AC OM 21=；BD MN //，BD MN 21=． ∴ OMN ∠是异面直线AC 与BD 所成的角或者其补角． ………………11分 ∵ ABC ∆是正三角形，且平面⊥ABC 平面BCD ， ∴ ⊥AO 面BCD ，AOD ∆是直角三角形，AD ON 21=． 又∵ ⊥CD 面ABC ，故2222==+=ON AC DC AD ．在OMN ∆中，23=OM ，1=MN ，1=ON ． ∴ 4321cos ==∠MN MOOMN ． ∴ 异面直线AC 和BD 所成角为43arccos． ……………14分 解法二：〔Ⅰ〕分别取BC 、BD 的中点O 、M ，连结AO 、OM ． ∵ ABC ∆是正三角形，ACBD∴ BC AO ⊥．∵ 面ABC ⊥面BCD ，且面ABC 面BCD BC =， ∴ ⊥AO 平面BCD ．∵ OM 是BCD ∆的中位线，且⊥CD 平面ABC ， ∴ ⊥OM 平面ABC ．以点O 为原点，OM 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系． ……………2分设1=CD ， 那么)0,0,0(O ，)23,0,0(A ，)0,23,0(-B ， )0,23,0(C ，)0,23,1(D ． ∴ )23,23,0(--=AB ，)0,0,1(=CD ． ……………………4分 ∴ 00)23(0)23(10=⨯-+⨯-+⨯=⋅CD AB ． ∴ CD AB ⊥，即 CD AB ⊥． …………………6分 〔Ⅱ〕∵ ⊥CD 平面ABC ，∴ 平面ABC 的法向量为)0,0,1(=CD ． ……………………7分 设平面ABD 的法向量为),,(z y x n =，∴ )23,23,0(--=AB ，)23,23,1(-=AD ． ∴ 0)23()23(0=⨯-+⨯-+⨯=⋅z y x AB n ，即 033=+z y ．0)23(231=⨯-+⨯+⨯=⋅z y x AD n ，即 0332=-+z y x ． y∴ 令3=y ，那么3-=x ，1-=z ．∴ )1,3,3(--=n ． ……………………9分∴ n CD n CD <,cos 13133-=． ∵ 二面角C AB D --是锐角，∴ 二面角C AB D --的大小为13133arccos． ………………11分〔Ⅲ〕∵ )0,3,1(=BD ，)23,23,0(-=AC ， ∴ AC BD <,cos 43)23()23(00)3(1)23(023301222222=-++⋅++-⨯+⨯+⨯=． ∴ 异面直线AC 和BD 所成角为43arccos ． ……………14分18．〔此题满分是14分〕解：〔Ⅰ〕恰好取球3次的概率3565673341=⨯⨯⨯⨯=P ； ……………………3分〔Ⅱ〕由题意知，ξ的可能取值为1、2、3、4、5，()317P ξ==， ()4322767P ξ⨯===⨯，()4336376535P ξ⨯⨯===⨯⨯，()432334765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯， ()43213157654335P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯． 所以，取球次数ξ的分布列为：…………………10分〔Ⅲ〕 因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．记“甲取到白球〞的事件为A ．那么()()“1”“3”“5”P A P ξξξ====或或．因为事件“1=ξ〞、“3=ξ〞、“5=ξ〞两两互斥， 所以)5()3()1()(=+=+==ξξξP P P A P 352235135673=++=． 所以恰好甲取到白球的概率为3522． ……………14分19．〔此题满分是14分〕解：〔Ⅰ〕∵ 数列{}n a 是等差数列，∴ 144132=+=+a a a a ．又4532=a a ， ∴ ⎩⎨⎧==9532a a ，或者⎩⎨⎧==5932a a ． ……………2分∵ 公差0>d ，∴ 52=a ，93=a ． ∴ 423=-=a a d ，121=-=d a a ．∴ 34)1(1-=-+=n d n a a n ． …………4分 〔Ⅱ〕∵ n n n n n d n n na S n -=-+=-+=212)1(2)1(21，∴ cn nn c n S b n n +-=+=22． ………………6分 ∵ 数列{}n b 是等差数列， ∴ 212+++=n n n b b b ．∴ cn n n c n n n c n n n +++-+++-=+++-+⋅)2()2()2(22)1()1()1(22222． 去分母，比拟系数，得 21-=c ． ……………9分 ∴ n n nn b n 22122=--=． ………………10分〔Ⅲ〕)1(2)25(2)(+⋅+=n n nn f2625125262++=++=nn n n n≤361． ……………12分当且仅当n n 25=，即5=n 时，)(n f 获得最大值361． ……………14分20．〔此题满分是14分〕 解：〔Ⅰ〕∵ x xppx x g ln 2)(--=〔0>x 〕， ∴ 22222)(x px px x x p p x g +-=-+=' ． ……………1分 令p x px x h +-=2)(2，要使)(x g 在),0(+∞为增函数， 只需)(x h 在),0(+∞上满足：0)(≥x h 恒成立， 即022≥+-p x px ．22(0,)1xp x ≥+∞+在上恒成立． 又∵ )0(1122121202>=⋅≤+=+<x xx xx x x， ………4分∴ 1p ≥． …………5分〔Ⅱ〕证明：要证 1ln -≤x x ，即证 01ln ≤+-x x )0(>x ， 设1ln )(+-=x x x k ，xxx x k -=-='111)(则． ………………6分 当]1,0(∈x 时，0)(>'x k ，∴ )(x k 为单调递增函数； 当),1(+∞∈x 时，0)(<'x k ，∴ )(x k 为单调递减函数；∴ 0)1()(max ==k x k ． …………………9分 即 01ln ≤+-x x ，∴ 1ln -≤x x ． …………10分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知1ln -≤x x ，又0>x ，∴xx x x x 111ln -=-≤． ∵ *∈N n ,2≥n ，可令2n x =，得 22211ln nn n -≤． …………12分∴ )11(21ln 22n n n -≤． ∴ )11311211(21ln 33ln 22ln 222222nn n -++-+-≤+++)]13121()1[(21222nn +++--=)])1(1431321()1[(21+++⨯+⨯--<n n n )]11141313121()1[(21+-++-+---=n n n )]1121(1[21+---=n n )1(4122+--=n n n ． ……………14分注：假设有其它解法，请酌情给分．。
高三数学下学期期末考试试题 理含解析 试题
安平中学2021-2021学年下学期期末考试高三数学试题〔理〕本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共150分。
考试时间是是120分钟第一卷〔选择题〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1.在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A. (1,)2π B. (1,)2π-C. (1,0)D. (1，π)【答案】B 【解析】【详解】由题圆2sin ρθ=-，那么可化为直角坐标系下的方程,22sin ρρθ=-，222x y y +=-，2220x y y ++=，圆心坐标为〔0，-1〕，那么极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭，应选B.考点：直角坐标与极坐标的互化. 【此处有视频，请去附件查看】2.假设一直线的参数方程为0012x x t y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，那么此直线的倾斜角为〔〕A. 60︒B. 120︒C. 30D. 150︒【答案】B 【解析】 【分析】消去参数t 转为普通方程，求得直线的斜率，进而求得倾斜角.【详解】消去参数t 00y y ++，故斜率为120，应选B. 【点睛】本小题主要考察直线的参数方程转化为普通方程，考察直线的斜率和倾斜角，属于根底题.3.函数|1||2|y x x =++-的最小值及获得最小值时x 的值分别是〔〕 A. 1，[1,2]x ∈-B. 3，0C. 3，[1,2]x ∈-D. 2，[]1,2x ∈【答案】C 【解析】【分析】利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应x 的值.【详解】依题意12123y x x x x =++-≥++-=，当且仅当()()120x x +-≥，即12x -≤≤时等号成立，应选C.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件，属于根底题.4.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取一样的长度单位，直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩〔t 为参数〕，圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，那么直线l 被圆C 截得的弦长为〔 〕B.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 圆心到直线l 的间隔 d=直线l 被圆C 截得的弦长为=【点睛】(1)此题主要考察参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =.5.假设不等式24ax +<的解集为()1,3-，那么实数a 等于〔〕 A. 8 B. 2C. -4D. -2【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法化简24ax +<，结合其解集的情况求得a 的值.【详解】由24ax +<得424,62ax ax -<+<-<<.当0a >时6123aa ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，无解.当0a <时，2163aa⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a =-，应选D.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察分类讨论的数学思想方法，属于根底题.1cos {2sin x y θθ=-+=+，〔θ为参数〕的对称中心〔 〕A. 在直线2y x =上B. 在直线2y x =-上C. 在直线1y x =-上D. 在直线1y x =+上【答案】B 【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，应选B.考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题. 【此处有视频，请去附件查看】7.“2a =〞是“关于x 的不等式1+2x x a ++<的解集非空〞的〔 〕 A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：解：因为()1+2121x x x x ++≥+-+=， 所以由不等式1+2x x a ++<的解集非空得：1a >所以，“2a =〞是“关于x 的不等式1+2x x a ++<的解集非空〞的充分不必要条件， 应选C.考点：1、绝对值不等式的性质；2、充要条件.8.过椭圆C ：2cos 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩〔θ为参数〕的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，那么11m n +的值是〔〕 A. 23B. 43C. 83D. 不能确定 【答案】B【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩〔α为参数〕，代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++〔12,t t 异号〕.故11m n m n mn ++=1212t t t t -===⋅43.应选B. 【点睛】本小题主要考察椭圆的参数方程化为普通方程，考察直线和椭圆的位置关系，考察利用直线参数的几何意义解题，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9.假设2a >，那么关于x 的不等式12x a -+>的解集为〔〕 A. {}3|x x a >- B. {}1|x x a >-C. ΦD. R【答案】D 【解析】 【分析】根据2a >求得2a -的取值范围，由此求得不等式的解集.【详解】原不等式可化为12x a ->-，由于2a >，故20a -<，根据绝对值的定义可知12x a ->-恒成立，故原不等式的解集为R .应选D.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察不等式的运算，属于根底题.10.a ，b ，0c >，且1ab c ++=A. 3B.C. 18D. 9【答案】B【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c=⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c===时，等号成立，应选B.【点睛】本小题主要考察利用柯西不等式求最大值，属于根底题.11.点〔x,y〕满足曲线方程4{6xyθθ==〔θ为参数〕，那么yx的最小值是〔〕B.32D. 1【答案】D【解析】消去参数可得曲线的方程为：()()22462x y-+-=，其轨迹为圆，目的函数y yx x-=-表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，如下图，数形结合可得：yx的最小值是1.此题选择D选项.点睛：(1)此题是线性规划的综合应用，考察的是非线性目的函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目的函数赋于一定的几何意义．12.x 为实数，且|5||3|x x m -+-<有解，那么m 的取值范围是〔 〕 A. 1m B. m 1≥C. 2m >D. 2m ≥【答案】C 【解析】 【分析】求出|x ﹣5|+|x ﹣3|的最小值，只需m 大于最小值即可满足题意．【详解】53x x m -+-<有解，只需m 大于53x x -+-的最小值，532x x -+-≥，所以2m >，53x x m -+-<有解． 应选：C ．【点睛】此题考察绝对值不等式的解法，考察计算才能，是根底题．第二卷〔非选择题〕二、填空题〔一共4题每一小题5分满分是20分〕 13.|a ＋b|＜－c(a ，b ，c∈R )，给出以下不等式：①a＜－b －c ；②a＞－b ＋c ；③a＜b －c ；④|a|＜|b|－c ； ⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先根据绝对值不等式的性质可得到c ＜a+b ＜﹣c ，进而可得到﹣b+c ＜a ＜﹣b ﹣c ，即可验证①②成立，③不成立，再结合|a+b|＜﹣c ，与|a+b|≥|a|﹣|b|，可得到|a|﹣|b|＜﹣c 即|a|＜|b|﹣c 成立，进而可验证④成立，⑤不成立，从而可确定答案． 【详解】∵|a＋b|＜－c ，∴c＜a ＋b ＜－c. ∴a＜－b －c ，a ＞－b ＋c ，①②成立且③不成立． ∵|a|－|b|≤|a＋b|＜－c ， ∴|a|＜|b|－c ，④成立且⑤不成立．【点睛】此题主要考察不等式的根本性质．考察根底知识的综合运用．14.在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=与sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线1C 和2C 交点的直角坐标为________． 【答案】()1,1 【解析】 【分析】联立两条曲线的极坐标方程，求得交点的极坐标，然后转化为直角坐标.【详解】由2sin cos sin 1ρθθρθ⎧=⎨=⎩，解得π4ρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故ππcos 1,sin 144x y ρρ====，故交点的直角坐标为()1,1. 故答案为()1,1【点睛】本小题主要考察极坐标下两条曲线的交点坐标的求法，考察极坐标和直角坐标互化，属于根底题.15.不等式32x x +>-的解集是_____. 【答案】1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】利用两边平方的方法，求出不等式的解集.【详解】由32x x +>-两边平方并化简得105x >-，解得12x >-，故原不等式的解集为1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭.故答案为1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【点睛】本小题主要考察含有绝对值的不等式的解法，属于根底题.16.238x y z ++=，那么222x y z ++获得最小值时，x ，y ，z 形成的点(,,)x y z =________.【答案】8124,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】利用柯西不等式求得222x y z ++的最小值，并求得此时,,x y z 的值.【详解】由于()()()22222222312364x y z x y z ++++≥++=，故222x y z ++6432147≥=.当且仅当8124,,777x y z ===时等号成立，故(,,)x y z =8124,,777⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为8124,,777⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考察利用柯西不等式求最值，并求等号成立的条件，属于根底题.三.解答题：〔解答题应写出必要的文字说明和演算步骤，17题10分，18-22每一小题12分〕17.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩〔α为参数〕．〔1〕以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； 〔2〕()2,0A -，()0,2B ，圆C 上任意一点(),M x y ，求ABM 面积的最大值．【答案】〔1〕26cos 8sin 210ρρθρθ-++=〔2〕9+【解析】 【分析】〔1〕消去参数α，将圆C 的参数方程，转化为普通方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==求得圆C 的极坐标方程.〔2〕利用圆的参数方程以及点到直线的间隔 公式，求得M 到直线AB 的间隔 ，由此求得三角形ABM 的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.【详解】解：〔1〕圆C 的参数方程为32cos 42sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩〔α为参数〕，所以其普通方程为()()22344x y -++=，所以圆C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=. 〔2〕点(),M x y 到直线AB ：20x y -+=的间隔d =故ABM 的面积1|||2cos 2sin 9|924S AB d πααα⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以ABM 面积的最大值为9+【点睛】本小题主要考察参数方程转化为普通方程，考察直角坐标方程转化为转化为极坐标方程，考察利用参数的方法求三角形面积的最值，考察点到直线间隔 公式，属于中档题.18.设函数()31f x x x =+--.〔1〕解不等式()0f x ≥； 〔2〕假设()21f x x m +-≥对任意的实数x 均成立，求m 的取值范围.【答案】〔1〕{|1}x x ≥-〔2〕4m ≤【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法去绝对值，分类讨论求得不等式()0f x ≥的解集.或者者用两边平方的方法求得不等式的解集.〔2〕利用绝对值不等，求得()21f x x +-的最小值，由此求得m 的取值范围.【详解】〔1〕解：()0f x ≥等价于31x x +≥-，当1x >时，31x x +≥-等价于31x x +≥-，即31≥-，不等式恒成立，故1x >； 当31x -≤≤时，31x x +≥-等价于31x x +≥-，解得1x ≥-，故11x -≤≤； 当3x <-时，31x x +≥-等价于31x x --≥-，即31-≥，无解.综上，原不等式的解集为{|1}x x ≥-.又解：()0f x ≥等价于31x x +≥-，即()()2231x x +≥-，化简得88x ≥-，解得1x ≥-，即原不等式的解集为{|1}x x ≥-.〔2〕()()21312131314f x x x x x x x x x +-=+--+-=++-≥+--=， 当且仅当()()310x x +-≤等号成立要使()21f x x m +-≥对任意的实数x 均成立，那么()min |21|f x x m ⎡⎤⎣⎦+-≥，所以4m ≤.【点睛】本小题主要考察分类讨论法解绝对值不等式，考察含有绝对值函数的最值的求法，考察恒成立问题的求解策略，属于中档题.19.在极坐标系中，曲线1C ：2cos ρθ=和曲线2C ：cos 3ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.〔1〕求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程； 〔2〕假设点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.【答案】(1)1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，2C 的直角坐标方程为3x =.(2)【解析】【分析】〔1〕极坐标方程化为直角坐标方程可得1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，2C 的直角坐标方程为3x =.〔2〕由几何关系可得直线PQ 的参数方程为2x tcos y tsin θθ=+⎧⎨=⎩〔t 为参数〕，据此可得2AP cos θ=，1AQ cos θ=，结合均值不等式的结论可得当且仅当12cos cos θθ=时，线段PQ 长度获得最小值为【详解】〔1〕1C 的极坐标方程即22cos ρρθ=，那么其直角坐标方程为222x y x +=， 整理可得直角坐标方程为()2211x y -+=， 2C 的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为3x =.〔2〕设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A ，∵PQ OP ⊥，∴PQ 过点()2,0A ，设直线PQ 的参数方程为2x tcos y tsin θθ=+⎧⎨=⎩〔t 为参数〕， 代入1C 可得220t tcos θ+=，解得10t =或者22t cos θ=-， 可知22AP t cos θ==，代入2C 可得23tcos θ+=，解得1't cos θ=，可知1'AQ t cos θ==， 所以1222PQ AP AQ cos cos θθ=+=+≥， 当且仅当12cos cos θθ=时取等号， 所以线段PQ 长度的最小值为22.【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生2ρ，cos ρθ,sin ρθ以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.20.函数()1f x x x =+-.(1)假设()1f x m ≥-恒成立，务实数m 的最大值；(2)记(1)中的m 最大值为M ，正实数a ，满足22a b M +=，证明: 2a b ab +≥.【答案】(1)2；(2)详见解析.【解析】【分析】〔1〕根据绝对值三解不等式求出f 〔x 〕的最小值为1，从而得出|m ﹣1|≤1，得出m 的范围； 〔2〕两边平方，使用作差法证明．【详解】(1)由()210101211x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩ 得()1min f x =，要使()1f x m ≥-恒成立，只要11m ≥-，即02x ≤≤，实数m 的最大值为2；(2)由(1)知222a b +=，又222a b ab +≥故1ab ≤， ()2222222424a b a b a b ab a b +-=++-()()222242121ab a b ab ab =+-=--+，01ab <≤，()()()222421210a b a b ab ab ∴+-=--+≥2a b ab ∴+≥.【点睛】此题考察了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．21.曲线C ：2cos ρθ=，直线l ：23324x t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩〔t 是参数〕． 〔1〕写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；〔2〕过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为45︒的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．【答案】〔1〕1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数);34120x y +-=〔2〕最大值为5，最小值为5【解析】【分析】〔1〕将2cos ρθ=两边乘以ρ，转化为直角坐标方程，配成圆的HY 方程后写出圆C 的参数方程.消去直线参数方程的参数t ，求得直线l 的普通方程.〔2〕利用圆的参数方程，设出曲线上任意一点P 的坐标，并求得P 到直线l 的间隔 d .将PA 转为sin 45d PA ==︒，根据三角函数最值的求法，求得PA 的最大值与最小值. 【详解】解：曲线C ：2cos ρθ=，可得22cos ρρθ=，所以222x y x +=，即：22(1)1x y -+=，曲线C 的参数方程，1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，θ为参数． 直线l ：23324x t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩〔t 是参数〕． 消去参数t ，可得：34120x y +-=．〔2〕曲线C 上任意一点1co ()s ,sin P θθ+到l 的间隔 为1|3cos 4sin 9|5d θθ=+-．那么()9sin 45d PA θϕ===+-︒，其中ϕ为锐角，且3tan 4ϕ=． 当sin()1θφ+=-时，PA． 当sin()1θφ+=时，PA获得最小值，最小值为5． 【点睛】本小题主要考察极坐标方程转为直角坐标方程，考察参数方程和普通方程互化，考察点到直线的间隔 公式，考察三角函数最值的求法，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22.函数()1||2f x x x a -=-+，0a >〔1〕假设1a =时，求不等式()1f x >的解集；〔2〕假设()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积小于6，求a 的取值范围．【答案】〔1〕2|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭〔2〕()0,2【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法分类讨论的数学思想，求得不等式()1f x >的解集.〔2〕先用零点分段法去绝对值，将()f x 转化为分段函数的形式，求得()f x 的图象与x 轴三个交点的坐标，由此求得所围成三角形面积的表达式，根据面积小于6列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】解：〔1〕当1a =时，()1f x >，化为：|1|2|1|10x x --+->，①， 当1x ≤-时，①式化为：20x +>，解得：21x -≤＜-，当11x -<<时，①式化为：320x -->，解得213x -<<-， 当1x ≥时，①式化为：40x -->，无解，∴()1f x >的解集是2|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭； 〔2〕由题设可得：21,()312,112,1x a x a f x x a a x x a x ++<-⎧⎪=-+--≤≤⎨⎪--->⎩∴函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：,(20)1A a --，,()1B a a +-，12,03a C -⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴21442(1)(1)233ABC a S a a +=⨯⨯+=+△， 由题设可得：22(1)63a +<，解得：02a <<， 故a 的范围是()0,2．【点睛】本小题主要考察零点分段法解绝对值不等式，考察三角形的面积公式和一元二次不等式的的解法，属于中档题.。
2023-2024学年四川省成都外国语学校高三(上)期末数学试卷(理科)(含答案)
2023-2024学年四川省成都外国语学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x ∈N ∗|x 2−5x ≤0}，B ={x ∈Z||x−1|<2}，则A ∩B =( )A. {0,1,2,3,4,5}B. {0,1,2}C. {1,2}D. {1,2,3,4,5}2.命题：“∀x ∈R ，x 2−x +2≥0”的否定是( )A. ∃x ∈R ，x 2−x +2≥0B. ∀x ∈R ，x 2−x +2≥0C. ∃x ∈R ，x 2−x +2<0D. ∀x ∈R ，x 2−x +2<03.已知i 为虚数单位，复数z 满足zi−i =z +1，则|z +1|=( )A. 2 B. 1 C. 5 D. 24.已知向量a =(−1,2),b =(1,−2λ)，若a //(a−b )，则实数λ的值为( )A. 1B. 0C. 43D. −235.设函数f(x)满足对∀x ∈R ，都有f(−x)=f(x)，且在(0,+∞)上单调递增，f(2)=0，g(x)=x 2，则函数y =f(x)g(x)的大致图象是( )A. B.C. D.6.已知x 和y 满足约束条件{y ≥0x +2y +1<0x +y +2>0，则y−2x−1的取值范围为( )A. (0,14) B. (14,12) C. (14,1) D. (12,1)7.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是( )A. 1237B. 1537C. 35D. 478.等腰直角三角形ABC 中，A =90°，该三角形分别绕AB ，BC 所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为( )A. 1： 2B. 2：1C. 1：2D. 2：19.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若a−c =bcosC−bcosA ，则△ABC 的形状为( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形10.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，其导函数为f′(x)，若xf′(x)−1<0.f(e)=2，则关于x 的不等式f(e x )<x +1的解集为( )A. (0,1)B. (1,e)C. (1,+∞)D. (e,+∞)11.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⋅F 1B =0，F 2B =−F 2A ，则双曲线C 的离心率为( )A. 3+12B. 3+1C. 5+12D. 5+112.已知log 6a =14，log 4b =13，c =(1+e )1e ，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. b <a <cD. a <c <b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学下学期期末考试试题理含解析试题
2021届高三数学下学期期末考试试题 理〔含解析〕第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共计60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.〕{A x y ==，{}|1B x a x a =+≤≤， 假设A B=A ，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A. (][),32,-∞-+∞ B. []1,2- C. []2,1-D.[)2,+∞【答案】C 【解析】试题分析：{}{||22A x y x x ===-≤≤，又因为A B A ⋃=即B A ⊆，所以12{2a a +≤≥-，解之得21a -≤≤，应选C. 考点：1.集合的表示；2.集合的运算.2.以下有关命题的说法正确的选项是〔 〕A. 命题“假设21x =，那么1x =〞的否命题为：“假设21x =，那么1x ≠〞B. “1x =-〞是“2560x x --=〞的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使210x x +-<〞的否认是：“x R ∀∈均有210x x +->〞D. 命题“假设x y =，那么sin sin x y =〞的逆否命题为真命题【答案】D 【解析】 【分析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：A ．命题“假设21x =，那么1x =〞的否命题为：“假设21x ≠，那么1x ≠〞，那么A 错误．B ．由2560x x --=，解得6x =或者1x =-，那么“1x =-〞是“2560x x --=〞的充分不必要条件，故B 错误．C ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<〞的否认是：“x R ∀∈均有210x x ++〞，故C 错误．D ．命题“假设x y =，那么sin sin x y =〞为真命题，那么根据逆否命题的等价性可知命题“假设x y =，那么sin sin x y =〞的逆否命题为真命题，故D 正确．应选：D ．【点睛】此题主要考察命题的真假判断，要求纯熟掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有一个量词的命题的否认．a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，那么以下说法正确的选项是〔 〕A. a b ∥，b α⊂，那么a αB. a α⊂，b β⊂，αβ∥，那么a b ∥C. a α⊂，b α⊂，a β∥，b β∥，那么αβ∥D. αβ∥，a α⊂，那么a β∥ 【答案】D 【解析】分析：在A 中，a∥α或者a⊂α；在B中，a与b平行或者异面；在C中，α与β相交或者平行；在D中，由面面平行的性质定理得a∥β．详解：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A 中，a∥b，b⊂α，那么a∥α或者a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，那么a与b平行或者异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，α∥β，b∥β，那么α与β相交或者平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，那么由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．应选：D．点睛：此题考察线面位置关系的判断，考察空间想象才能，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4.程大位?算法统宗?里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要清楚依次弟，孝和休惹外人传.〞意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开场，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级清楚，使孝顺子女的美德外传，那么第八个孩子分得斤数为〔〕A. 65B. 184C. 183D. 176【答案】B【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996，设首项为1a，结合等差数列前n项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，那么81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 此题选择B 选项.点睛：此题主要考察等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.,x y 满足不等式组1,1{0,0,x y y W xx y ≥-≥=-≥则的取值范围是〔 〕A. [一1，1〕B. [一1，2〕C. 〔-1，2〕D. [一1，1] 【答案】A 【解析】试题分析：这是一道线性规划题，先画出可行域，如下：1=y W x-表示的是到阴影局部上的点的斜率，故由图可知斜率的范围是[一1，1〕，那么1=y W x -的取值范围是[一1，1〕.考点：线性规划问题.6.一个几何体的三视图如下图，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，那么这个几何体的体积是〔 〕A. 8πB. 12πC. 14πD. 16π【答案】A 【解析】【详解】由几何体的三视图可知，此几何体为半径为2的球体的34，所以3342843V ππ=⨯⨯=.考点：几何体的三视图及球的体积公式.1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔 〕 A.13B. 13-C.79D. 79-【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简所求表达式，代入条件求得表达式的值. 【详解】依题意222πππcos 22cos 12cos 13326πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11699α⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，应选D.【点睛】本小题主要考察三角恒等变换，考察二倍角公式和诱导公式，属于根底题. 8.22cos a xdx ππ-=⎰，()f x 是以a 为周期的奇函数，且定义域为R ，那么()()20172018f f +的值是〔 〕A. 0B. 1C. 2D. 2018【答案】A 【解析】222sin 22a cosxdx ππππ-===-⎰ 可知()f x 的周期为2a =x R ∈，()00f =()()()()()20172018101f f f f f ∴+=+= ()()()()11211f f f f =-=-=- ()10f ∴=应选A2()1f x mx mx =--，假设对于任意[1,3]x ∈，()4f x m <-+恒成立，那么实数m 的取值范围为〔 〕A. (,0]-∞B. 5[0,)7C. 5(,)7-∞D.5(,0)(0,)7-∞⋃【答案】C 【解析】 【分析】恒成立问题，利用别离参数法得到m ＜251x x -+，转为求函数251y x x =-+在[]1,3的最小值，从而可求得m 的取值范围．【详解】由题意，f 〔x 〕＜﹣m +4，可得m 〔x 2﹣x +1〕＜5．∵当x ∈[1，3]时，x 2﹣x +1∈[1，7]，∴不等式f 〔x 〕＜﹣m +4等价于m ＜251x x -+．∵当x ＝3时，251x x -+的最小值为57，∴假设要不等式m ＜251x x -+恒成立，那么必须m ＜57，因此，实数m 的取值范围为〔﹣∞，57〕，应选：C ．【点睛】此题考察恒成立问题的解法，经常利用别离参数法，转为求函数最值问题，属于中档题．ABC △中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，假设(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，那么31m n+的最小值是 A. 9 B. 10 C. 11D. 12【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合向量一共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,A B E 三点一共线，那么：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,26m n ==时等号成立. 综上可得：31m n+的最小值是12.此题选择D 选项.【点睛】此题主要考察三点一共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，得到()g x 的图像，假设()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，那么122x x -的最大值为〔 〕 A.5512πB.5312πC.256πD.174π【答案】A 【解析】函数()226f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位，可得223y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向下平移1个单位，得到()2213g x sin x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，假设()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，那么()()123g x g x ==-，那么22,32x k k Z πππ+=-+∈，即5,12x k k Z ππ=-+∈，[]12,2,2x x ππ∈-，得12175719,,,,12121212x x ππππ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，当121917,1212x x ππ==-时，122x x -取最大值5512π，应选A.21(0)()21(0)x xx f x e x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，假设函数(())1y f f x a =--有三个零点，那么实数a 的取值范围是〔 〕A. 1(11)(23]e，，+⋃ B. 11(11)(23]3ee ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，， C. 11(11)[23)3e e ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，，D. 2(11)(23]e+⋃，， 【答案】B 【解析】分析：该题属于函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图像的走向，找出函数的极值，从而结合图像完成任务.详解：(())10f f x a --=，即(())1f f x a -=，结合函数解析式，可以求得方程()1f x =的根为2x =-或者0x =，从而得到()2f x a -=-和()0f x a -=一一共有三个根，即(),()2f x a f x a ==-一共有三个根，当0x ≥时，()1x xf x e=+，21'()x x xx e xe xf x e e--==，从而可以确定函数()f x 在(,1)-∞-上是减函数，在(1,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，且1(1)0,(1)1f f e-==+，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于20111a a e -<⎧⎪⎨<<+⎪⎩或者2011a a e -=⎧⎪⎨=+⎪⎩或者2001a a -=⎧⎨<≤⎩或者02111a a e <-≤⎧⎪⎨>+⎪⎩或者12111a ea e ⎧-=+⎪⎪⎨⎪>+⎪⎩，解得111a e <<+或者23a <≤或者13a e =+，所以所求a 的范围是11(1,1)(2,3]3ee ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭，应选B.点睛：解决该题的关键是明确函数图像的走向，利用数形结合，对参数进展分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.第II 卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.〕=(2,),(1,1)a x b =-，假设a b ⊥，那么a b +=__________.【解析】 【分析】利用a b ⊥求出x ，然后求.【详解】向量()=(2,),1,1a x b =-，假设a b ⊥，那么0202,a b x x ⋅=⇒-+=⇒=()1,3a b ∴+=-==【点睛】此题考察了向量垂直与数量积的关系，考察了向量的模的求法，考察推理才能与计算才能，属于根底题．()(0)af x x b x x=++≠在点(1(1))f ，处的切线方程为25y x =-+，那么a b -=__________．【答案】4 【解析】【详解】()af x x b x=++ ()21a f x x∴=-' ()112f a =-=-'，3a ∴=()114f a b b =++=+()1253f =-+=，43b ∴+=，1b =-那么()314a b -=--=15.观察以下的数表： 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …… ……设2021是该数表第m 行第n 列的数，那么m n ⋅=__________． 【答案】4980 【解析】 【分析】表中第n 行一共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解.【详解】解：表中第n 行一共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．排完第k 行，一共用去1124221k k -+++⋯+=-个数字， 2021是该表的第1009个数字， 由19021100921-<<-，所以2021应排在第10行，此时前9行用去了921511-=个数字， 由1009511498-=可知排在第10行的第498个位置， 即104984980m n =⨯=， 故答案为：4980【点睛】此题考察了等比数列求和公式，考察学生分析数据，总结、归纳数据规律的才能，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】327π【解析】如图，连结OE 交AB 于点I ，设,,,E F G H 重合于点P ，正方形的边长为()0x x >，那么,6,22x x OI IE ==-该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，246222x x x ⎛⎫∴⋅-= ⎪⎝⎭，解得4x =，设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，那么22OC =224223OP -=()(2222322R R =+，解得3R =，外接球的体积34500333V ππ==5003π.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，假设cos c A ，cos b B ，cos a C 成等差数列. 〔1〕求B ；〔2〕假设33a c +=3b =ABC ∆的面积. 【答案】(1)3B π=；(2)5316. 【解析】 【分析】〔1〕由题意可知2bcosB ccosA acosC =+，由正弦定理边化角整理可得()2sinBcosB sin A C =+，据此可知12cosB =，3B π=.〔2〕由题意结合余弦定理整理计算可得54ac =，结合三角形的面积公式可得ABC S ∆=. 【详解】〔1〕∵ccosA ，bcosB ，acosC 成等差数列, ∴2bcosB ccosA acosC =+，由正弦定理2a RsinA =，2c RsinC =，2b RsinB =，R 为ABC ∆外接圆的半径， 代入上式得：2sinBcosB sinCcosA sinAcosC =+， 即()2sinBcosB sin A C =+.又A C B π+=-，∴()2sinBcosB sin B π=-， 即2sinBcosB sinB =. 而0sinB ≠，∴12cosB =，由0B π<<，得3B π=. 〔2〕∵222122a cb cosB ac +-==，∴()222122a c acb ac+--=，又a c +=b = ∴27234ac ac --=，即54ac =，∴115224ABC S acsinB ∆==⨯=. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或者全部化为边的关系．题中假设出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．cos 2,cos 4a x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3,24b sin x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎭，函数()1f x a b =⋅+〔1〕求()f x 的最小正周期和单调增区间；〔2〕求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求出相应x 的值.【答案】〔1〕π,5[,],1212k k k Z ππππ-++∈；〔2〕=2x π时，()f x 最小，min ()f x ==12x π时，()f x 最大，max ()2f x =.【解析】 【分析】〔1〕利用数量积的坐标运算与辅助角公式可求得()2sin 2+3f x x π=（），从而可求()f x 的最小正周期和单调增区间； 〔2〕根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得42+[,]333x πππ∈结合正弦函数的图象可求()2sin 2+3f x x π=（）的最大值和最小值。
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全省联考卷理科数学（一）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.}42/{≤≤∈=x N x A ,}032/{2<--∈=x x Z x B 则=B A （ ）A ．}32/{<≤x xB ．}32/{≤≤x xC ．}2{D ．}3,2{2.已知()2323i z i +⋅=-（i 是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 设m n ,是不同的直线，βα,是不同的平面，下列命题正确的是 ( )A.若,//,m n n α⊥则α⊥mB.若,,m n n ⊥⊥α则α//mC.若α//,m m n ⊥，则α⊥nD.若ββα⊥⊥m ,，则α//m 4.1ln 03===-+x xxy y ax 在与曲线处的切线平行，则a 的值为（ ） A ． a=1 B ．a=-1 C ．a=2 D ．a=1 5.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A ．2014B ．2013C ．1008D ．10076.函数xx x y ln =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科， 每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（ ） (A)36种 (B)30 (C)24种 (D)6种8. 设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为( )2 B.223439.，的中线，若分别是三角形2,==BE AD ABC BE AD 且,AD EB 的夹角为32π，则AB AC ⋅= A.89； B.49； C.38； D.34。
10.已知抛物线B A x y ,,42=是抛物线上的两点（分别在x 轴的两侧），6=AB ,过B A ,分别作抛 物线的切线121,,l l l 与2l 交于点Q ,求三角形ABQ 面积的最大值（ ） A227B 8C 312D 18 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。
11.102)1)(1(x x x -++展开式中4x 的系数是12.双曲线116922=-x y 的焦点到其渐近线的距离是 13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为 ．14.设2022040x y x y x y ⎧-≤⎪-+≥⎨⎪-≤⎩围成的区域为D ，),(y x P 为D 内的一个动点，则2x y +的取值范围为15.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，Q P ,分别是线段11,D B AC 上的动点，现有如下命题：① AQ Q P 使得,,∃∥;1P C ② AQ Q P 使得,,∃⊥;1P C ③ AQ Q P 使得,,∃∥BP④ AQ Q P 使得,,∃⊥BP 其中真命题有 (写出所有真命题的序号) 二、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ， 丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果 相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率； （Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.17.（本小题满分12分）已知二次函数x x y +-=2在n S x =处的切线斜率为n a ，并且21,121==b b ，21112+++=n n n b b b（1）求n n b a 和的通项公式； （2）求数列}{nnb a 的前n 项和。
18..（本小题满分12分）如图，在四棱锥中ABCD S -，地面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于 ,BC AD 和3212,=====⊥BC AB AD SB SA ABCD SAD ，，，且底面平面（1）求证：SBC SAD 平面平面⊥（2）求平面.所成二面角的余弦值与底面ABCD SCD19.（本小题满分12分）已知x x x x x x f 2cos 3sin )2sin()3cos(sin 2)(-⋅++-⋅=ππ.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期及最大值；(Ⅱ)设锐角ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且ca cb ac b c a --+=-+2222222，求)12(π+A f 的取值范围.20.（本小题满分13分）如图，椭圆)0(1:2222 b a b y a x C =+经过点)3,2(P ，离心率21=e ，直线l 的方程为4=y . （1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过)3,0(的任一弦（不经过点P ）.设直线AB 与直线l 相交于点M ,记 321,,,,k k k PM PB PA 的斜率分别为，问：是否存在常数λ，使得32111k k k λ=+？ 若存在，求λ的值.21.（本小题满分14分）已知函数2()ln f x x x =+.（I ）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）在（1）的条件下，若1a >，3()3xx h x eae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；(Ⅲ)设2()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点,(0)m n m n <<，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.全省联考卷理科数学（答案）一、选择题：CCABD BBDCB 二、填空题：11. 135 12. 4 13. 344+ 14. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,21 15. 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
解16.设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则：()0.6,()0.5,()0.5,P D P E P F === 因此红队至少两人获胜的概率为()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………5分（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3。
(0)()0.40.50.50.1,P P DEF ξ===⨯⨯= (1)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(3)()0.60.50.50.15.P P DEF ξ===⨯⨯=由对立事件的概率公式得：(2)1(0)(1)(3)0.4,P P P P ξξξξ==-=-=--= 所以ξ的分布列为：因此00.110.3520.430.15 1.6.E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (12)分解17.（1）依题意得),1......(12+-=n n S a 则当2≥n 时，),2.....(1211+-=--n n S a （1）-（2）得n n n n n a S S a a 2)(211-=--=---即311=-n n a a ，又当1=n 时可知311=a 故}{n a 是依311=a 为首项，以31为公比的等比数列，则nn a )31(=………………3分 因为21112+++=n n n b b b 21,121==b b ，所以}1{n b 是以111=b 为首项，以11112=-b b 为公 差的等差数列，则n b n=1，故n b n 1=……………………………………………6分（2）记nn n n n b a c ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==31，记数列}{n n b a 的前n 项和为n T ，则n n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=31.....3123112，13231.....31231131+⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n n n T由错位相消得：nn n T 3143243+-=…………………………………………12分解19.（1）()x x x x x x f 2cos 3sin cos sin 23cos 21sin 2-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+= x x x x 22cos 3sin 3cos sin 2 -+=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=322sin 2cos 3sin2πx x x 所以：2,2max ===f T πϖπ……………………………………………………6分（2） c a c b a c b c a --+=-+2222222，由余弦定理得：ca Cab c B ac -=2cos 2cos 2 ()C b B c a cos cos 2=-∴,由正弦定理得：C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=- 即：()A C B B A sin sin cos sin 2=+=, 又,0sin ≠A 故21cos =B , 232,3πππA CB -==∴,则6π A ,因为△ABC 为锐角三角形，26ππ A ∴∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∴-62sin 2)12(,65626πππππA A f A的取值范围为(]2,1………12分解21.（Ⅰ）21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x'=-=+-=+- 由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1(2)a x x≤+.…… 2分又10,2x x x >+≥2x =时等号成立.故min 1(2)x x+=a ≤分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a <≤令xe t =，则[1,2]t ∈，则3()()3.h x H t t at ==-2()333(H t t a t t '=-=+……5分由()0H t '=，得t =t =，34(1,2[1,2]a ∈，①若1t <≤()0,()H t H t '<单调递减；()h x在也单调递减；2t <≤，则()0,()H t H t '>单调递增. ()h x 在2]也单调递增；故()h x的极小值为2h =-……8分（Ⅲ）设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln .F x x x kx =--结合题意，有220002ln 0,2ln 0,2,220,m m km n n kn m n x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩ ……10分①—②得2ln ()()().m m n m n k m n n -+-=-，所以02ln2.mn k x m n =--由④得0022.k x x =-所以2(1)2()ln .1m m m n n m n m n n --==++⑤ ……11分设(0,1)m u n =∈，⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+（转化为这个方程是否有解问题）设2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+，2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++ 所以函数2(1)ln 1u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，1|0u y y =<=，① ② ③④即2(1)ln 0.1u u u --<+也就是，2(1)ln 1m m n m n n -<+，此式与⑤矛盾.所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴. 14分。