不等式的证明(高三复习)_徐益强.PPT课件
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不等式的证明PPT教学课件(1)
c=cosβ,d=sinβ, ∣ac+bd∣=|cosαcosβ+ sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1.
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
≤
a2 c2
+
b2 d 2 =
a2 b2 c2 d2
=1
2
2
2
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1
-1≤ac+bd≤1.
练习
1、已知a>b>c,
求证：
a
1
b
+
1 bc
4 ac
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0,
+>
求证：x2 xy y + y2 yz z 2
>x+y+z.
3、已知x>0,求证：x22x 4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。
(2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。
少量能量
12H2O
6 CO2 线粒体
有氧呼吸过程
细胞质基质
酶
葡萄糖
酶
2丙酮酸
无O2
酶
4[H]+少量能量
酒精+CO2+少量能量 乳酸+少量能量
无氧呼吸过程
3 呼吸作用的类型
•有氧呼吸 C6H12O6 +6H2O+6O*2
•无氧呼吸(植物) （酒精发酵）
C6H12O6
酶
•无氧呼吸(动物) （乳酸发酵）
先证ac+bd≥-1,
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
≤
a2 c2
+
b2 d 2 =
a2 b2 c2 d2
=1
2
2
2
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1
-1≤ac+bd≤1.
练习
1、已知a>b>c,
求证：
a
1
b
+
1 bc
4 ac
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0,
+>
求证：x2 xy y + y2 yz z 2
>x+y+z.
3、已知x>0,求证：x22x 4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。
(2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。
少量能量
12H2O
6 CO2 线粒体
有氧呼吸过程
细胞质基质
酶
葡萄糖
酶
2丙酮酸
无O2
酶
4[H]+少量能量
酒精+CO2+少量能量 乳酸+少量能量
无氧呼吸过程
3 呼吸作用的类型
•有氧呼吸 C6H12O6 +6H2O+6O*2
•无氧呼吸(植物) （酒精发酵）
C6H12O6
酶
•无氧呼吸(动物) （乳酸发酵）
先证ac+bd≥-1,
不等式的证明(高三复习)徐益强
1 2
),
), 且 x 1 x 2，求证： f ( x1 x 2 2 )
f ( x1 ) f ( x 2 ) 2 变式：已知函数 若 x1 , x 2 (0,
f ( x ) tan x , x ( 0 ,
2
),
2
), 且 x 1 x 2，求证： f ( x1 x 2 2 )
1 2 ) 0
2
.
思考3:用综合法来完成，由 行变形．
(a
1 2
) 0
2
出发进
思考4:用放缩法来完成，利用基本不等式
a
2
b 2
2
a b 2
2
思考5:用均值换元法来完成，设
a 1 2 t， b 1 2 t
思考6:用构造函数法来，则
f ( x1 ) f ( x 2 ) 2
例：已知x,y,zR，A,B,C为一个三角形的三内角， 试证明：x2+y2+z22yzcosA+2xzcosB+2xycosC. 证:令f(x)=x2+y2+z22yzcosA2xzcosB2xycosC
=x2 2(zcosB+ycosC)x+y2+z22yzcosA
知识要点：
2.掌握一些重要的不等式结论：
(1 )a ( 2 )a
2
0; b
2
( 5 )a
0; ab ( a , b 0 ); 2 ( ab 0 );
3
b c
3
3
3 abc ( a , b , c 0 ); abc ( a , b , c 0 );
《不等式的证明》课件
练习与拓展
练习题
通过练习题巩固对不等式的理解 和运用，提升解题能力。
应用案例
通过实际应用案例，将不等式与 实际问题相结合，展示不等式在 实际中的应用价值。
拓展阅读
推荐一些经典的数学书籍，深入 了解不等式的更多内容和应用。
总结与展望
不等式作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。今后的学习方向可以 包括更复杂的不等式证明和更广泛的不等式应用，为自己的数学发展铺就坚 实的基础。
常见不等式与证明
平均值不等式
通过平均值不等式，可以证明两个数的平均值 大于等于它们的几何平均数。
阿姆-高斯不等式
阿姆-高斯不等式是一种描述算术平均数和几何 平均数之间关系的不等式。
柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式是一种描述向量内积的不等 式，可以用于证明其他数学不等式。
杨辉不等式
杨辉不等式是由杨辉三角形引出的一类不等式， 可以用于证明数列的性质。
《不等式的证明》PPT课 件
这是一门关于不等式证明的课件，通过简洁明了的排版和生动的图像来讲解 不等式的定义、性质、证明方法以及常见的不等式及其证明。
什么是不等式？
不等式是数学中用于表达两个数或两个数集之间关系的一种表示方法。不等式与等式有所不同，不等式可以描 述丰富的数值关系，而等式只表示相等关系。
不等式的证明方法
1
数学归纳法
通过归纳递推法证明不等式的成立，逐步展示每个步骤的正确性。
2
反证法
通过假设不等式不成立，推导出矛盾结论，从而证明不等式的正确性。
3
差值法
通过构造适当的差值，将不等式转化为易于证明的形式。
4
替换法
通过替换不等式中的数值或变量，将不等式转化为已知的等式或不等式。
高三数学复习课件——不等式的证明优秀课件
1 1 1 1 证一 : 假设三式同时大于 , 即 ( 1 a ) b , ( 1 b ) c , ( 1 c ) a . 4 4 4 4
1 即 ( 1 a ) b ( 1 b ) c ( 1 c ) a 64 1 a a 1 1 21 又 ( 1 a ) a ( ) , 同理 ( 1 b ) b , ( 1 c ) c 2 4 4 4 1 ( 1 a ) b ( 1 b ) c ( 1 c ) a . 64
1 22
1 22
1 1 1 b b 2 2 2 a 2 a 2 b a a 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 a b 2 2 2 2 b a 2 a 2 b b a 1 1 1 1 2 2 2 2 a b 2 2 故 a b b a
用 综 合 法 证 明 不 等 式 的 逻 辑 关 系 是 ： A B1 B2 Bn B . 综合法的思维特点是：由因导果
这是一种极为漂 亮的证法
常利用已知或已证过的 不式 .
2 若 a R , 则 a 0 , | a | 0
若 a , b R , 则 a b 2 ab a b 若 a 0 , b 0 , 则 ab 2 b a 若 a ,b 同号 , 则 2 a b
1 为x x2, 满足0 x1 x2 1, a (1)当x 0, x1 时, 证明 : x f(x) x1 x1 求证 : x0 2
2设函数f(x)的图象 关于直线x x0对称
在 等 比 数 列 a 等 差 数 列 b 中 ， 和 n n a= ,a b> ,a a. 1 b> 1 0 3= 3 0 1 3 试 比 较 a 和的 b 小 。 5 5 大
1 即 ( 1 a ) b ( 1 b ) c ( 1 c ) a 64 1 a a 1 1 21 又 ( 1 a ) a ( ) , 同理 ( 1 b ) b , ( 1 c ) c 2 4 4 4 1 ( 1 a ) b ( 1 b ) c ( 1 c ) a . 64
1 22
1 22
1 1 1 b b 2 2 2 a 2 a 2 b a a 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 a b 2 2 2 2 b a 2 a 2 b b a 1 1 1 1 2 2 2 2 a b 2 2 故 a b b a
用 综 合 法 证 明 不 等 式 的 逻 辑 关 系 是 ： A B1 B2 Bn B . 综合法的思维特点是：由因导果
这是一种极为漂 亮的证法
常利用已知或已证过的 不式 .
2 若 a R , 则 a 0 , | a | 0
若 a , b R , 则 a b 2 ab a b 若 a 0 , b 0 , 则 ab 2 b a 若 a ,b 同号 , 则 2 a b
1 为x x2, 满足0 x1 x2 1, a (1)当x 0, x1 时, 证明 : x f(x) x1 x1 求证 : x0 2
2设函数f(x)的图象 关于直线x x0对称
在 等 比 数 列 a 等 差 数 列 b 中 ， 和 n n a= ,a b> ,a a. 1 b> 1 0 3= 3 0 1 3 试 比 较 a 和的 b 小 。 5 5 大
高三数学不等式的证明
例1、已知a,b∈R,求证: a2+b2+1>ab+a
例2、P81例1设 a 0, b 0, 求证
(
a
2
)
1 2
(
b
2)Leabharlann 1 21a2
1
b2.
b
a
足球论坛 足球论坛
综合法：利用某些已经证明过的不等式作为
基础，再运用不等式的性质推导出所要求证
的不等式的方法。证明时要注意字母是否为
正和等号成立的条件。
(1)若 a 0,b 0,
则
a2 b2 a b
2
2
ab
1
2
1
当且仅当a=b时取等号。
ab
(2) a, b R, a 2 b2 2ab 当且仅当 a b时取等号
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
39《不等式的证明》
不等式的证明(一)
比较法证明不等式是最基本的方法也是最常 用的方法。比较法的两种形式：
②①比比商差法法：：要要证证a>ab>且b，b>只0，须只证须a-b证>0a。 1。 b
说明：①作差比较法证明不等式时， 通常是 进行因式分解，利用各因式的符号进行判断， 或进行配方，利用非负数的性质进行判断； ②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是 作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指 数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等 式时常用比差法。
(3)a,b同号, a b 2 当且仅当a b时取等号
ba
分析法：从求证的不等式出发，分析使这个 不等式成立的充分条件，把证明这个不等式 的问题转化为这些条件是否具备的问题，如 果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以 判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做 分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法 的逆过程
高三数学不等式的证明(PPT)4-3
容易跨越质膜，促进糖的运输。植物各器官间硼的含量以花最高，花中又以柱头和子房最高。硼对植物的生殖过程有重要的影响，与花粉形成、花粉管萌发 和受精有密切关系。缺硼时，花药和花丝萎缩，花粉发育不良。油菜和小麦出现的“花而不实”现象与植物硼酸缺乏有关。缺硼时根尖、茎尖的生长点停止 生长，侧根、侧芽大量发生，其后侧根、侧芽的生长点又死亡，从而形成簇生状。甜菜的褐腐病、马铃薯的卷叶病和苹果的缩果病等都是缺硼所致。 [ ]是一 种化学元素，它的化学符号是Si，旧称矽。原子序数4，相对原子质量.，有无定形硅和晶体硅两种同素异形体，属于元素周期表上第三周期，IVA族的类金属 元素。硅也是极为常见的一种元素，然而它极少以单质的形式在自然界出现，而是以复杂的硅酸盐或二氧化硅的形式，广泛存在于岩石、砂砾、尘土之中。 硅在宇宙中的储量排在第八位。在地壳中，它是第二丰富的元素，构成地壳总质量的.4%，仅次于第一位的氧（4 .4%）。 中文名 硅 外文名 silicon 元素符 号 Si 原子量 . 元素类型 非金属单质 原子序数 4 发现人永斯·雅各布·贝采利乌斯 CAS编号 744-- 目录 发现简史 矿藏分布 理化性质 ? 物理性质 ? 化学性质 4 制取方法 应用领域 生理功能 7 常见谣言 发现简史编辑 硅 硅 [] 77年，拉瓦锡首次发现硅存在于岩石中。 [] 年，
综合法：利用某些已经证明过的不等式作为 基础，再运用不等式的性质推导出所要求证 的不等式的方法。证明时要注意字母是否为 正和等号成立的条件。
(1)若 a 0,b 0, 则 a2 b2 a b ab ab
(2) a,b R, a2 b2 2ab 当且仅当 a b时取等号
39《不等式的证明》
有机化合物的羟基形成酯化物。动物与人的血液中硼的含量很低，并与膳食中镁的摄入有关，镁摄入低时，血液中硼的含量就增加。硼可在骨中蓄积，但尚 不清楚是何种形式。 硼普遍存在于蔬果中，是维持骨的健康和钙、磷、镁正常代谢所需要的微量元素之一。对停经后妇女防止钙质流失、预防骨质疏松症具 有功效，硼的缺乏会加重维生素D的缺乏；另一方面，硼也有助； 少儿模特培训加盟品牌 少儿模特培训加盟品牌 ；于提高男性睾丸 甾酮分泌量，强化肌肉，是运动员不可缺少的营养素。硼还有改善脑功能，提高反应能力的作用。虽然大多数人并不缺硼，但老年人有必要适当注意摄取。
综合法：利用某些已经证明过的不等式作为 基础，再运用不等式的性质推导出所要求证 的不等式的方法。证明时要注意字母是否为 正和等号成立的条件。
(1)若 a 0,b 0, 则 a2 b2 a b ab ab
(2) a,b R, a2 b2 2ab 当且仅当 a b时取等号
39《不等式的证明》
有机化合物的羟基形成酯化物。动物与人的血液中硼的含量很低，并与膳食中镁的摄入有关，镁摄入低时，血液中硼的含量就增加。硼可在骨中蓄积，但尚 不清楚是何种形式。 硼普遍存在于蔬果中，是维持骨的健康和钙、磷、镁正常代谢所需要的微量元素之一。对停经后妇女防止钙质流失、预防骨质疏松症具 有功效，硼的缺乏会加重维生素D的缺乏；另一方面，硼也有助； 少儿模特培训加盟品牌 少儿模特培训加盟品牌 ；于提高男性睾丸 甾酮分泌量，强化肌肉，是运动员不可缺少的营养素。硼还有改善脑功能，提高反应能力的作用。虽然大多数人并不缺硼，但老年人有必要适当注意摄取。
不等式的证明ppt课件
不等式证明——解答题13
1 1 证明 : f ( x1 ) f ( x2 ) (loga x1 loga x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 loga x1 x2 , f ( ) loga 2 2 1 x1 x2 当a 1时， f ( x1 ) f ( x2 ) f 2 2 1 x1 x2 当0 a 1时， f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
2 2 (b c) (c a ) 2 ( a b c ) 2 2 2
13.已知f ( x) loga x(a 0且a 1), 若x1 , x2 R* , 1 x1 x2 比较 f ( x1 ) f ( x2 )与f ( )的大小，并证明 . 2 2
2
a b 15.已知a b 0, 求证：
不等式证明——解答题15
2
8a
ab ab 2
证明：要证明原不等式成立
a b 8a 2 a b a b 只需证明： 2 2 a 2
a b 只要证明：
2
2
只需证明： 2 ab ຫໍສະໝຸດ a b a b 0 2 ab a b成立
m 0 此不等式无解 4 4m(m 1) 0
不存在实数m，能使不等式恒成立
恒成立问题——解答题11（1）
(2)若对于m 2,2不等式恒成立，求实数 x的范围
(2)原不等式变为： m( x2 1) 2x 1 0
令f (m) m( x 1) 2 x 1
16 14.已知a b 0, 求证：a 16 b( a b)
2
不等式证明——解答题14
高三数学不等式的证明2(PPT)5-3
(二)其它方法:
例1、已知 f (x) x2 px q ，求证：
1
| f (1) |,| f (2) |,| f (3) |中至少有一个不小于 2。
[思维点拔] 用反证法证明命题时，推导 出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛 盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违 背等等，推导出的矛盾必须是明显的。
反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理， 导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而 肯定原结论是正确的证明方法。
换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量 之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新 变量，代换原题中的部分式子，简化原有结 构，使其转化为便于研究的形式。 用换元法证明不等式时一定要注意新元的约 束条件及整体置换策略
Байду номын сангаас
类而意思相对的词或词素的前面，表示“既不…也不…”。ɑ）表示适中，恰到好处：～多～少｜～大～小｜～肥～瘦。）表示尴尬的中间状态：～方～ 圆｜～明～暗｜～上～下｜～死～活。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【不才】〈书〉①动没有才能（多用； 油猴脚本；来表示自谦）：弟子～｜～之士。②名“我”的谦称：其中道理，～愿洗耳聆 教。 【不测】①形属性词。不可测度的；不可预料的：天有～风云。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，以防～。 【不曾】副没有?（“曾经”的 否定）：我还～去过｜除此之外，～发现其他疑点。 【不差累黍】形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。 【不成】①动不行?。②形不行?。③助用在句末， 表示推测或反问的语气，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？｜这么晚他还不来，莫非家里出了什么事～？ 【不成比例】指数量或 大小等方面差得很远，不能相比。 【不成话】不像话。 【不成体统】说话、做事不合体制，没有规矩。 【不成文】形属性词。没有用文字固定下来的：～ 的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 【不成文法】名不经立法程序而由国家承认其有效的法律，如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。 【不逞】动 不能实现意愿；不得志：～之徒（因失意而胡作非为的人）。 【不齿】〈书〉动不与同列（表示鄙视）：人所～。 【不耻下问】不以向地位比自己低、知识 比自己少的人请教为可耻。 【不啻】〈书〉动①不止；不只：工程所需，～万金。②如同：相去～天渊。 【不揣】动谦辞，不自量，用于向人提出自己的见 解或有所请求时：～浅陋｜～冒昧（不考虑自己的莽撞，言语、行动是否相宜）。 【不辞】动①不告别：～而别。②不推脱；不拒绝：～辛劳｜万死～。 【不错】形①对；正确：～，情况正是如此｜～，当初他就是这么说的。②不坏；好：人家待你可真～｜虽说年纪大了，身体却还～。 【不打自招】还没有 拷问就招供了。比喻无意中泄露真实情况和想法。 【不大离儿】〈方〉形①差不多；相近：两个孩子的身量～。②还算不错：这块地的麦子长得～。 【不带 音】ī发音时声带不振动。参看页〖带音〗。 【不待】副用不着；不必：自～言｜～细说，他就明白了。 【不单】①副不仅?：超额完成生产任务的，～是这 几个厂。②连不但：她～教孩子学习，还照顾他们的生活。 【不但】连用在表示递进的复句的上半句里，下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、 还”
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8
例：已知x,y,zR，A,B,C为一个三角形的三内角， 试证明：x2+y2+z22yzcosA+2xzcosB+2xycosC.
证:令f(x)=x2+y2+z22yzcosA2xzcosB2xycosC =x2 2(zcosB+ycosC)x+y2+z22yzcosA
∵ f(x)的判别式∆0 ∴ f(x)0恒成立. 即原不等式成立.
0
.
思考3:用综合法来完成，由 (a 1)2 0 出发进
行变形．
2
2020/12/9
2
思考4:用放缩法来完成，利用基本不等式
a2
b2
a
b
2
2 2
思考5:用均值换元法来完成，设
a1t，b1t
2
2
思考6:用构造函数法来完成，由a+b=1，设 y=(a+2)2+(b+2)2，则
y2 a22 a1 32 (a1)22 525 2 22
x
2
若x1, x2 (0, 12),且x1 x2， 求 证 ：
f (x1) f (x2) f ( x1 x2 )
2
2
变 式 ： 已 知 函f (数 x) tanx, x(0, ),
2
若x1,
x2
(0, 2
),且x1
x2，
求
证
：
f (x1) f (x2) f ( x1 x2 )
2
2abc(a,b,c 0);
(2)a 2 b2 0;
(6)a b c 3 abc (a,b,c 0);
( 3 )a b ab (a , b 0 ); (7) 1 sin 1,1 cos 1;
(4 ) b a 2(ab 0 ); ab
(8)sin tan(0 )
利用平面几何知识及点到直线距离公式易得．
2020/12/9
4
知识要点：
1.不等式的基本性质及其推论是不等式证明的基 础；
(1)a b a b 0; (2)a b a b 0; (3)a b a b 0.
2020/12/9
5
知识要点：
2.掌握一些重要的不等式结论：
(1)a 2 0;
2020/12/9
1
引 例 ：a已 ,b知 R， 且 ab1， 求 证
(a2)2(b2)2 25 2
分析：观察条件和待证不等式的结构，可知连接它 们的“桥”较多，可从不同的角度来思考．
思考1:用作差比较来完成，利用a+b=1可将二元问 题化为一元问题．
思考2:用分析法来完成，最终可化为证
(a
1)2 2
2
(9)a,b,c为三角形a 三 b边 c,b， ca则 ,acb;
(1)0ababab.
2020/12/9
6
知识要点：
3.证明不等式的主要方法中最常用的还是比较法、 分析综合法（利用基本不等式）、换元法与数学 归纳法（与自然数有关的命题）.
2020/12/9
7
例 ： 已 知 函f (数 x) lg(1 1),x(0, 1),
2020/12/9
3
思考7:用判别式法来完成，在得到y＝2a22a+13后， 改变观点，视其为方程，有
2a22a+13y =0． 因a∈R，则∆＝442(13y) 0，从而
(a2)2(b2)225 2
思考8:用数形结合法来完成，欲证不等式的几何意义 是：点(2,2)到直线a+b=1上的点的距离的平方和的 最小值为12.5．
2020/12/9
9
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹