不等式的证明ppt课件演示文稿(1)
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《不等式的证明》PPT课件
2
∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0, 1+ab>0， 1-a2>0,1-b2>0, 1-ab>0. 所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,
(a-b)2(1+ab)≥0.
1 1 2 故 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二:分析法 证明三:综合法 ∵a2+b2≥2ab, ∴-a2-b2≤-2ab. 从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,1-ab>0. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b2
证明二：(分析法)
证明三：(综合法)
一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3, …,n),都有:
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥(a1b1+a2b2+…+anbn) 2.(柯西不等式)
【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证: 1 1 2 . 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二：比较法（作商） ∵a2+b2≥2ab，
2 2 3 3 ( a b )( a b ab) a b ∴ 2 2 ab(a b) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab
又a>0，b>0，所以ab>0，
故a3+b3≥a2b+ab2.
证明一:比较法(作差)
1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 ab
(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 ab) 2(1 a 2 )(1 b 2 ) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0, 1+ab>0， 1-a2>0,1-b2>0, 1-ab>0. 所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,
(a-b)2(1+ab)≥0.
1 1 2 故 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二:分析法 证明三:综合法 ∵a2+b2≥2ab, ∴-a2-b2≤-2ab. 从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,1-ab>0. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b2
证明二：(分析法)
证明三：(综合法)
一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3, …,n),都有:
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥(a1b1+a2b2+…+anbn) 2.(柯西不等式)
【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证: 1 1 2 . 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二：比较法（作商） ∵a2+b2≥2ab，
2 2 3 3 ( a b )( a b ab) a b ∴ 2 2 ab(a b) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab
又a>0，b>0，所以ab>0，
故a3+b3≥a2b+ab2.
证明一:比较法(作差)
1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 ab
(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 ab) 2(1 a 2 )(1 b 2 ) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
不等式的证明PPT教学课件(1)
c=cosβ,d=sinβ, ∣ac+bd∣=|cosαcosβ+ sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1.
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
≤
a2 c2
+
b2 d 2 =
a2 b2 c2 d2
=1
2
2
2
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1
-1≤ac+bd≤1.
练习
1、已知a>b>c,
求证：
a
1
b
+
1 bc
4 ac
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0,
+>
求证：x2 xy y + y2 yz z 2
>x+y+z.
3、已知x>0,求证：x22x 4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。
(2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。
少量能量
12H2O
6 CO2 线粒体
有氧呼吸过程
细胞质基质
酶
葡萄糖
酶
2丙酮酸
无O2
酶
4[H]+少量能量
酒精+CO2+少量能量 乳酸+少量能量
无氧呼吸过程
3 呼吸作用的类型
•有氧呼吸 C6H12O6 +6H2O+6O*2
•无氧呼吸(植物) （酒精发酵）
C6H12O6
酶
•无氧呼吸(动物) （乳酸发酵）
先证ac+bd≥-1,
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
≤
a2 c2
+
b2 d 2 =
a2 b2 c2 d2
=1
2
2
2
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1
-1≤ac+bd≤1.
练习
1、已知a>b>c,
求证：
a
1
b
+
1 bc
4 ac
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0,
+>
求证：x2 xy y + y2 yz z 2
>x+y+z.
3、已知x>0,求证：x22x 4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。
(2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。
少量能量
12H2O
6 CO2 线粒体
有氧呼吸过程
细胞质基质
酶
葡萄糖
酶
2丙酮酸
无O2
酶
4[H]+少量能量
酒精+CO2+少量能量 乳酸+少量能量
无氧呼吸过程
3 呼吸作用的类型
•有氧呼吸 C6H12O6 +6H2O+6O*2
•无氧呼吸(植物) （酒精发酵）
C6H12O6
酶
•无氧呼吸(动物) （乳酸发酵）
先证ac+bd≥-1,
高二数学不等式的证明1ppt-资料.ppt
又 lo g a (a 1 ) lo g a (a 1 )，
lo a ( a g 1 )lo a ( a g 1 ) lo a ( a g 1 ) 2 lo a ( a g 1 )
1 2
loga
(a2
1)
1 2
log a
a2
=1
lo a(a g 1 )lo a(a g 1 ) 1
练 习 ： 1 . 已 知 x y 0 ,求 证 ： x y1 y x 4 x yx y
• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒 等变形。
二、综合法证明不等式：
利用已经证明过的不等式(如均值不等式及其变形式)和 不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法 叫做综合法.
例4.已知 a,b, c 是不全相等的正数,求证：
a (b 2 c 2 ) b (c 2 a 2 ) c (a 2 b 2 ) 6 abc
当a
b 时，a m
bm
a b
;
当a
b 时，a m
bm
a; b
例3. 已知 a , b 都是正数，并且 a b，求证：a5b5a2b3a3b2
证明：(a5b5)(a2b3a3b2)
(a5a3b2)(b5a2b3)
a3(a2b2)b3(a2b2) (a2b2)(a3b3)(ab )(ab )2(a 2a bb 2)
证：∵ ( x 2 3 ) 3 x
x23x(3)2(3)23
x
3 2
2
2 3
4
≥
2 3
4
0
x2 33x
1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是 多少。至于怎样变形，要灵活处理。
2.本题的变形方法——配方法
不等式的证明PPT优秀课件1
证明二：比较法（作商）
∵a2+b2≥2ab，
∴
(ab )( a b ab ) a b 2 2 ab (ab ) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab所以ab>0， 故a3+b3≥a2b+ab2.
证明三：分析法 欲证a3+b3≥a2b+ab2，
【 例 题 】 已 知 a>0 ， b>0 ， 求 证 ： a3+b3≥a2b+ab2.
证明一：比较法（作差）
（a3+b3）-（a2b+ab2） =（a3- a2b）+（b3-ab2） = ( a-b)2(a+b). ∵a>0，b>0， ∴a+b>0，而( a-b)2≥0.
∴( a-b)2(a+b)≥0. 故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0, 即a3+b3≥a2b+ab2.
1 25 2 25 y 2 a 2 a 13 2 ( a ) 2 2 2
2
思考7: 用判别式法来完成，在得到y＝2a22a+13 后 改变观点，视其为方程，有 2a22a+13y =0． 因a∈R，则∆＝442(13y) 0，从而
25 ( a 2 ) ( b 2 ) 2
数学更高的价值在于培养纯粹的思维能 力，启发人们向往理念的端倪；便于将 灵魂从变化世界转向真理的实在．
柏拉图《理想国》
不等式的证明
不等式的证明基本方法
1、比较法：作差比较与作商比较 2、综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式 的性质推导出所要证明的不等式成立的方法。 3、分析法：从要求证的不等式出发，分析这个不等 式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充 分条件是否具备的问题，即由果索因。
《不等式的证明》课件
练习与拓展
练习题
通过练习题巩固对不等式的理解 和运用，提升解题能力。
应用案例
通过实际应用案例，将不等式与 实际问题相结合，展示不等式在 实际中的应用价值。
拓展阅读
推荐一些经典的数学书籍，深入 了解不等式的更多内容和应用。
总结与展望
不等式作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。今后的学习方向可以 包括更复杂的不等式证明和更广泛的不等式应用，为自己的数学发展铺就坚 实的基础。
常见不等式与证明
平均值不等式
通过平均值不等式，可以证明两个数的平均值 大于等于它们的几何平均数。
阿姆-高斯不等式
阿姆-高斯不等式是一种描述算术平均数和几何 平均数之间关系的不等式。
柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式是一种描述向量内积的不等 式，可以用于证明其他数学不等式。
杨辉不等式
杨辉不等式是由杨辉三角形引出的一类不等式， 可以用于证明数列的性质。
《不等式的证明》PPT课 件
这是一门关于不等式证明的课件，通过简洁明了的排版和生动的图像来讲解 不等式的定义、性质、证明方法以及常见的不等式及其证明。
什么是不等式？
不等式是数学中用于表达两个数或两个数集之间关系的一种表示方法。不等式与等式有所不同，不等式可以描 述丰富的数值关系，而等式只表示相等关系。
不等式的证明方法
1
数学归纳法
通过归纳递推法证明不等式的成立，逐步展示每个步骤的正确性。
2
反证法
通过假设不等式不成立，推导出矛盾结论，从而证明不等式的正确性。
3
差值法
通过构造适当的差值，将不等式转化为易于证明的形式。
4
替换法
通过替换不等式中的数值或变量，将不等式转化为已知的等式或不等式。
5.3证明不等式的基本方法1 课件(人教A版选修4-5)
注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不 明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这 样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! （如课本第 24 页例 3） 练习：P26 3，5, 9
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b 3 a 2 b ab 2
f (x) x 2 (1 x 1 )(1 x 2 )
,∴ f ( x1 )
ab abm b
f ( x2 ) 0
,
在 [ 0 , ) 为增函数.
⑵∵在△ABC 中有 a + b > c>0,∴ f(a + b)>f(c)，即 又∵ a，b R ，∴
例题 2.(课本第 25 页例 4) 已知 a , b , c
0 , 求证:
a b b c c a
2 2 2 2 2 2
abc
≥ abc
.
证明不等式的常用的方法有: 比较法、综合法、分析法，它们各有其 优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应 该对具体问题的特点作具体分析，选择合适 的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻 找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个 证明过程.
1答案
2答案
已知
f ( x ) x px q
2
，求证：|
f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中至少有
一个不小于 .
2 1 分析：设 | f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中没有一个大于或等于 2
1
，
观察： f (1) 1 p q , f ( 2 ) 4 2 p q , f ( 3 ) 9 3 p q 得： f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) 2 所以 2= | f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) | ≤ | f (1) | 2 | f ( 2 ) | | f ( 3 ) | <
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b 3 a 2 b ab 2
f (x) x 2 (1 x 1 )(1 x 2 )
,∴ f ( x1 )
ab abm b
f ( x2 ) 0
,
在 [ 0 , ) 为增函数.
⑵∵在△ABC 中有 a + b > c>0,∴ f(a + b)>f(c)，即 又∵ a，b R ，∴
例题 2.(课本第 25 页例 4) 已知 a , b , c
0 , 求证:
a b b c c a
2 2 2 2 2 2
abc
≥ abc
.
证明不等式的常用的方法有: 比较法、综合法、分析法，它们各有其 优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应 该对具体问题的特点作具体分析，选择合适 的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻 找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个 证明过程.
1答案
2答案
已知
f ( x ) x px q
2
，求证：|
f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中至少有
一个不小于 .
2 1 分析：设 | f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中没有一个大于或等于 2
1
，
观察： f (1) 1 p q , f ( 2 ) 4 2 p q , f ( 3 ) 9 3 p q 得： f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) 2 所以 2= | f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) | ≤ | f (1) | 2 | f ( 2 ) | | f ( 3 ) | <
基本不等式ppt课件
a b
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
不等式的证明ppt课件
不等式证明——解答题13
1 1 证明 : f ( x1 ) f ( x2 ) (loga x1 loga x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 loga x1 x2 , f ( ) loga 2 2 1 x1 x2 当a 1时， f ( x1 ) f ( x2 ) f 2 2 1 x1 x2 当0 a 1时， f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
2 2 (b c) (c a ) 2 ( a b c ) 2 2 2
13.已知f ( x) loga x(a 0且a 1), 若x1 , x2 R* , 1 x1 x2 比较 f ( x1 ) f ( x2 )与f ( )的大小，并证明 . 2 2
2
a b 15.已知a b 0, 求证：
不等式证明——解答题15
2
8a
ab ab 2
证明：要证明原不等式成立
a b 8a 2 a b a b 只需证明： 2 2 a 2
a b 只要证明：
2
2
只需证明： 2 ab ຫໍສະໝຸດ a b a b 0 2 ab a b成立
m 0 此不等式无解 4 4m(m 1) 0
不存在实数m，能使不等式恒成立
恒成立问题——解答题11（1）
(2)若对于m 2,2不等式恒成立，求实数 x的范围
(2)原不等式变为： m( x2 1) 2x 1 0
令f (m) m( x 1) 2 x 1
16 14.已知a b 0, 求证：a 16 b( a b)
2
不等式证明——解答题14
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是等价变形，或 注意：1。每一步变形 者说是“可逆的”；
2。证明格式是：要证……，（因为…） 只要证……，即证……，可证…… 因为……成立，所以原不等式成立。
都
对分析法与综合法的表扬
• 综合法： • 易于表达，条理清楚，表述简洁； • 分析法： • 便于探求解题思路。
小经验：
对较复杂的不等式，直 接用综合法往往不易入手， 故常常先用分析法探索证明 途径，后用综合法加以证明。
一万年太久， 只争朝夕。
—— CHSH与同学们共勉
开始上课
例：如果a, b都是正数，且a≠b，求证 a b ＞ a b
b
a
a ----利用不等式的性质和 b 综合法 b＞ 2 a , a＞ 2 b a 基本不等式推导出所要证明 的不等式成立的一种方法。 a b ( b ) ( a )＞ 2 a 2 b b a
b
2
c
2
2
2
2
此式显然成立，故
ac bd
a b
2
c d
2
练习
•P16
（练习）1、2、3
作业：P17
4、5、6
• 证明： 要证明原不等式成立， • 只要证明： x y 4 xy x y
∵x＞ 0 ， y＞0 ∴
可证 即证
x y 4 xy
2
2
x 因 x
2
y y
2
2 xy 2 xy 成立，
2
故 原不等式成立。
小结 : •
证明不等式时，可从求证的不等式出发，分析、 探索使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转 化为判断这些充分条件是否具备的问题。如果能肯定 这些充分条件都具备，那么就可以断定原不等式成立。 这种证明的方法叫分析法。
2 2 2 2 明 • 求证：ac bd a b c d 是 非 证明：要证上述不等式成立，只要证
ac bd 即证2 Nhomakorabea a
2
2
b .c
2
2 2 2
2
d
2 2
2
①
2
a c b d
2
2
2
2
2abcd a
2
2abcd
a d
2
c b d a d b c
2 2
证明：∵ a, b都是正数，且a≠b，
b
a b ＞ a b a
b
问题
• 求证： 3
要证
7 ＜2 5 7
＜
证明:
因
3 7
和
2 5
都是正数
3
故只要证
即
3 7
2 5
2
＜
2 5
2
10 2 21
3
＜
20
亦即
21 ＜ 5
所以
21＜ 25
成立
7
＜
2 5
例:
11 4 设x ＞0, y ＞0, 求证： x y x y